第九章常微分方程初值问题的数值解法

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常微分方程初值问题数值解法的比较

数值计算实践—课程设计报告

课题名称 常微分方程初值问题数值解法的比较 完成时间 2013-1-17

姓名 班级 学号 成绩

一. 实验目的及内容

1实验目的：（1） 了解常微分方程初值问题的理论背景以及初值问题稳定性、收敛性的研究；

（2） 熟练掌握欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法以及截断误差分析；

（3） 比较欧拉法、改进欧拉法及龙格-库塔法，能够选择合适的方法进行问题的研究计算；

2实验内容：求微分方程)10(1)0('xyyy（欧拉法求解）

求微分方程)10(1)0(2'xyyxyy（改进欧拉法求解）

求微分方程)10(1)0()1log(1'xyxy（龙格-库塔求解）

根据实验的结果进行分析，了解一般方法的的优缺点，稳定性，收敛性以及截断误差的分析，针对相应问题拿出有效方法得出最优的结果。

二．相关背景知识介绍以及初值问题稳定性的研究：

在科学与工程问题中，常微分方程表述物理量的变化规律，应用非常广泛，比如，天体运动的轨迹，机器人控制，化学反应过程的描述和控制以及电路瞬态过程分析等。这些问题中要求解随时间变化的物理量，即位置函数tty),(表示时间，而微分方程描述了未知函数与它的一阶或高阶导数之间的关系。

考虑一阶常微分方程的初值问题 000')(],,[),,(yxybxxyxfy，如果存在实数,0L使

1 / 1 得,,|,|),(|),(|212121RyyyyLyxfyxf则称f关于y满足利普希茨条件，L称为利普希茨常数。

对于常微分方程初值问题000')(),,(ytyttytfy，考虑初值0y的扰动是问题的解)(ty发生偏差的情形。若t时)(ty的偏差被控制在有界范围内，则称该初值问题是稳定的，否则该初值问题不稳定的。

常微分方程初值问题的数值解法

摘要:本文分别介绍了Euler法和常用的标准四阶龙格——库塔（Runge-Kutta）公式法来求常微分方程初值问题的数值解。通过两种不同方法求出解的结果，并将结果进行比较，分析两种方法的优劣。

关键字: Euler 四阶龙格-库塔 常微分方程初值问题 数值解

一、问题描述与分析

分别使用Euler法和四阶龙格-库塔公式法求解常微分方程初值问题的数值解。

例如：1)0()10(2222'ytttyy

1、微分方程的概念

未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。如果未知函数是一元函数，称为常微分方程。常微分方程的一般形式为0)yy,yy,(t,(n)F。

如果未知函数是多元函数，成为偏微分方程。联系一些未知函数的一组微分方程组称为微分方程组。微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶解数称为微分方程的阶。若方程中未知函数及其各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程，一般表示为b(t)(t)yay(t)(t)yn1-1)-(n1(n)naay。若上式中n1,2,i(t)，ia,均与t无关，称之为常系数。

2、常微分方程的解析解

（1）微分方程可直接通过积分求解.例如,一解常系数常微分方程1ydtdy，可以转化形式为dtydy1，两边同时积分可以得到通解1-tcey，其中c为任意常数。

(2)有些常微分方程可用一些技巧,如分离变量法,积分因子法,常数变异法,降阶法等可化为可积分的方程而求得解析解.

线性常微分方程的解满足叠加原理,从而他们的求解可归结为求一个特解和相应齐次微分方程的通解.一阶变系数线性微分方程总可用这一思路求得显式解。高阶线性常系数微分方程可用特征根法求得相应齐次微分方程的基本解，再用常数变异法求特解。

一阶常微分方程与高阶微分方程可以互化，已给一个n阶方程)y,y,y(t,1)-(n(n)fy。设yy1，yy2，，1)-(nyyn，可将上式转化为以解方程组：)y,,y,y(t,n211-3221fyyyyyyynnn 反过来，在许多情况下，一阶微分方程组也可化为高阶方程。所以一阶微分方程组与高阶常微分方程的理论与方法在许多方面是相通的，一阶常系数线性微分方程组也可用特征根法求解。

浅谈常微分方程初值问题数值解法

在自然科学、工程技术、甚至社会科学的一些领域中，常常会遇见一阶常微分方程的求解问题：

()

上述问题，寻求解的具体表达式十分困难，仅对一些特殊形式的才有可能找到解的解析表达式，在大多情况下，初值问题的解不能用初等函数表示出来即使可写出解的解析表达式，但因为这些表达式过于复杂，要计算它在某些点上的函数值也异常困难。在实际问题中，经常需要的恰是解在某些点上的函数值，因此研究初值问题的数值解法十分必要。

1 常微分方程初值问题的数值解法

常微分方程的近似解法大体可分成三大类：一类是图解法和器械法；第二类是解的近似法；第三类是数值解法，即通过离散化的方法直接求出函数在某些点上的近似值，此数值解仅为精确解的近似解。其基本原理为：

一阶常微分方程的初值问题的解是上变量的连续函数，因此求上述问题的数值解，就是在区间上的若干离散点上用离散化的方法将初值问题化成离散变量的相应问题，从而相应问题的解可作为初值问题理论解的近似值。由常微分方程的理论可知，只要在区域内连续，且关于满足林普希兹条件，则方程的解存在且唯一。

初值问题的数值解法通常采取“步进法”，而“步进法”又可分为“单步法”和“多步法”两类。

（1）单步法。所谓“单步法”是指在计算时，只用到前一步的有关信息。其一般形式为： ，主要包括下面三种方法：Euler方法，改进的Euler公式-梯形公式和Runge-Kutta法。

（2）线性多步法。单步法没有用到前几步计算得到的信息，因此为了提高精度，需重新计算多个点处的函数数值，如RK方法，故计算量较大。线性多步法的基本思想是充分利用前面的已知信息来构造精度高且计算量小的算法来计算。多步法常用方法是线性多步法，求解公式为：

构造的常用方法是Taylor展开和数值积分方法。常用的线性多步公式有： 四阶Adams显式公式：

四阶Adams隐式公式：

四阶Milne显式公式：

三阶Hamming公式： （隐式公式）

福师《常微分方程》在线作业一-0006

试卷总分:100 得分:100

一、判断题 (共 50 道试题,共 100 分)

1.dy/dx=(x+y)/(x-y)是一阶齐次方程。

答案:正确

2.

答案:正确

3.

答案:正确

4.{图}

答案:正确

5.(dy/dx)^2+y^2-1=0的奇解是y=±1

答案:正确

6.n阶齐次线性方程的任意两个解之和也是该方程的解

答案:正确

7.题目如图{图}

答案:正确

8.n阶非齐次线性方程的任意两个解之差也是该方程的解

答案:错误

9.

答案:正确

10.

答案:错误

11.

答案:正确

12.一阶微分方程的通解的包络如果存在的话一定是奇解

答案:正确

13.

答案:错误

14.

答案:错误