函数图像问题

1 函数图象问题

数形结合是中学数学的重要的数学思想方法，尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题的结果的重要工具.

（一）知识方法

1.用描点法作函数的图象.2.正比例函数、反比例函数、二次函数的图象及几种基本初等函数的图象.3.图象变换与变量替换的关系

(1)平移变换（（2）变换作图法：

①平移：个单位向右平移axfy)()(axfy；

)(xfy个单位向上平移b.)(bxfy

②对称：)(xfy轴对称关于x)(xfy；

)(xfy轴对称关于y)(xfy；

)(xfy关于原点对称)(xfy.

③其他：)(xfy再把轴上方图象保留,x|)(|xfy；

)(xfy再把轴右边的图象保留,x|).(|xfy

［例］作函数1||4||2xxy的图象时，先用虚线作14||2xxy的图象，再保留y轴右边图象，并把它对称翻到y轴左边，即得到1||4||2xxy的图象，如图所示。

4．作函数图像的一般步骤是：

（1）求出函数的定义域；（2）化简函数式；（3）讨论函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性）以及图像上的特殊点、线（如极值点、渐近线、对称轴等）；（4）利用基本函数的图像画出所给函数的图像。

（二）例题演练：

例1．函数111xy的图象是（ ）

轴下方图象对称到上方x轴左边轴右边图象对称到yy2 ［解析］该题考查对xxf1)(图象以及坐标平移公式的理解，将函数xxf1)(的图象变形到11)(xxf，即向右平移一个单位，再变形到11)(xxf，即将前面图象沿x轴翻转，再变形到111)(xxf，即将前面图象再向上平移一个单位，从而得到答案B。

例2．如图所示，)(),(),(),(4321xfxfxfxf是定义在]1,0[上的四个函数，其中满足性质：“对]1,0[中任意的1x和2x，)]()([21)2(2121xfxfxxf恒成立”的只有（ ）

［解析］)2(21xxf为自变量21,xx的中点，)2(21xxf对应的函数值即“中点的纵坐标”，)]()([2121xfxf为自变量21,xx对应的函数值所对应的点的中点，即“纵坐标的中点”。再结合)(xf函数图象的凹凸性，可得到答案A，这是函数凹凸性的基本应用。故选A。

例3、利用函数xxf2)(的图象，作出下列各函数的图象：

（1）)1(xf；（2）|)(|xf；（3）1)(xf；（4）)(xf；（5）.|1)(|xf

［解析］利用指数函数xy2的图象及变换作图法可作要作的函数图象，其图象如图（1）—（5）中的实线部分。

3 ［例4］已知0a，且a1，函数xay与)(logxya的图象只能是图中的（ ）

［分析］可以从图象所在的位置及单调性来判别，也可利用函数的性质识别图象，特别注意底数a对图象的影响。

解法一：首先，曲线xay只可能在上半平面，)(logxya只可能在左半平面上，从而排除A、C。

其次，从单调性着眼，xay与)(logxya的增减性正好相反，又可排除D。

解法二：若10a，则曲线xay下降且过点(0,1)，而曲线)(logxya上升且过)0,1(，以上图象均不符合这些条件. 若1a时，则曲线xay上升且过(0,1)，而曲线)(logxya下降且过)0,1(，只有B满足条件。

解法三：如果注意到)(logxya的图象关于y轴的对称图象为xyalog，又xyalog与xay互为反函数（图象关于直线xy对称），则可直接选定B。

［答案］B

［例5］作出2|)1(log|2xy的图象.

［分析］利用图象变换作图（如图）

［解析］第一步：作出xy2log的图象（图①）.

第二步：将xy2log的图象沿x轴向左平移1个单位得)1(logxyx的图象（图②）.

第三步：将)1(log2xy的图象在x轴下方的图象，以x轴为对称轴对称到x轴的上方得|)1(log|2xy的图象）（图③）.

第四步：将|)1(log|2xy的图象沿y轴方向向上平移2个单位，得到2|)1(log|2xy的图象（图④）.

［点评］（1）一般地，函数),()(为正数babaxfy的图象可由函数)(xfy的图象变换得到。 4 将)(xfy的图象向左或向右平移a个单位可得到函数)(axfy的图象，向下或向上平移b个单位可得到函数baxfy)(的图象（记忆口诀：上加下减）。

（2）含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换，一般地，|)(|axfy的图象是关于ax对称的轴对称图形；函数|)(|xfy的图象与)(xfy的图象在x轴上方相同，在x轴下方关于x轴对称。

（3）)(xfy的图象)(xfy的图象关于y轴对称，)(xfy的图象与)(xfy的图象关于x轴对称。

［例6］函数)(xfy与函数)(xgy的图象如右，则函数)(xfy·)(xg的图象是（ ）

［解析］由图象可知，)(xf是偶函数，)(xg是奇函数，且)(xf与)(xg的公共定义域为0x，排除C、D。令)()(xfxF·)(xg，则)()()()(xfxgxfxF·)(xg，所以)()()(xgxfxF为奇函数，其图象关于原点对称，排除B。故选A。

三、同步练习：

1：如图所示，单位圆中弧AB的长为,()xfx表示弧AB与弦AB

所围成的弓形面积的２倍，则函数()yfx的图象是

答案：( D )

设计意图：考察图象与式子运算的能力 5 2、为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关，且使a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格：

月份 1 2 3 4 5 6 7

价格（元/担） 68 78 67 71 72 70

则7月份该产品的市场收购价格应为 （ ）

A．69元 B．70元 C．71元 D．72元

答案：C

3、已知函数)(xf是R上的增函数，)1,3(),1,0(A是其函数图象上的两点，那么1)1(xf的解集的补集是：（ ）

)2,1.(A )4,1.(B ),4[]1,(C ),2[]1,(D

答案：D

4、方程22xX的实根的个数为（ ）A：0 B：1 C：2 D：3

答案D

5．为了得到函数xy)31(3的图象，可以把函数xy)31(的图象（ ）

A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度

C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度

［解析］∵1)31()31(3xxy，∴由xy)31(的图象向右平移1个单位长度。

6．已知函数xxf2)(，则)1(xf的图象为图中的（ ）

［解析］11)21()21(2222)1(xxxxxf，这是把函数xy)21(的图象向右平移1个单位而得。

故选C。

7。要得到)3lg(xy的图像，只需作xylg关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到。

答案：y轴，右 6 8。已知)(xf是偶函数，则)2(xf的图像关于__________对称；已知)2(xf是偶函数，则函数)(xf的图像关于____________对称.

答案：直线2x；直线2x

9、写出函数)21(log24xxy的图像经过怎样的变换可得到函数xy2log的图像。

答案、左移1个单位

10、 若01a,则方程logxaax有几个实根

答案：（1） 2个

11、设曲线C的方程是xxy3,将C沿x轴,y轴正方向分别平行移动t,s单位长度后得曲线1C。 (1)写出曲线1C的方程；(2)证明曲线C与1C关于点2,2stA对称

答案：（1）3()()yxtxts（2）略

12、将函数xy21log的图像沿x轴向右平移1个单位，得到图像C，图像C1与C关于原点对称，图像C2与C1关于直线y=x对称，求C2对应的函数。

答案、12xy

13、试讨论方程kxx1的实数根的个数。

答案、0k或k1或k<-1时有一解；当01k时有二解；当10k无解

14、设a是常数，函数f(x)对一切实数x都满足)()(xafxaf，求证函数f(x)的图像关于点(a,0)成中心对称图形。

答案：略