七年级数学辅助线知识点

专题一平行线中关于“拐点”的辅助线

【类型1】“M”形图

1．如图，BA∥DE，∠B＝30°，∠D＝40°，则∠C的度数是（）

A．10°B．35°C．70°D．80°

2．如图，l1∥l2，则∠1、∠2、∠3关系是（）

A．∠2＞∠1+∠3B．无法确定C．∠3＝∠1﹣∠2D．∠2＝∠1+∠3

3．如图，已知AB∥CD，∠BED＝90°，则∠1与∠2之间的数量关系可表示为（）

A．∠2＝2∠1B．∠2﹣∠1＝90°C．∠1+∠2＝180°D．无法表示

4．如图，已知AB∥CD，∠AFC＝120°，∠EAF=13∠EAB，∠ECF=13∠ECD，则∠AEC＝度．

5．如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝90°，则∠BFD＝．

6．（1）如图甲，AB∥CD，∠BEC与∠1+∠3的关系是什么？并写出推理过程；

（2）如图乙，AB∥CD，直接写出∠2+∠4与∠1+∠3+∠5的数量关系；

（3）如图丙，AB∥CD，直接写出∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7的数量关系．

7．已知AB∥CD，点E在AB与CD之间．

（1）图1中，试说明：∠BED＝∠ABE+∠CDE；

（2）图2中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请利用（1）的结论说明：∠BED＝2∠BFD．

（3）图3中，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，请直接写出∠BED与∠BFD之间的数量关系．【类型2】“U”形图

8．如图，已知AB∥CD，∠A＝120°，∠C＝130°，那么∠APC的度数是（）

A．100°B．110°C．120°D．130°

9．如图，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+…+∠2n＝度．

10．（1）如图，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，你能求出∠C的度数吗？

（2）在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠C、∠D之间的数量关系吗？并说明理由．

【类型3】“Z”形图

11．如图，AB∥DE，那么∠BCD＝（）

1 第9关 平行线分线段成比例常见辅助线作法（讲义部分）

知识点1 平行线分线段成比例

定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直 线平行于三角形的第三边．

推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角 形的三边与原三角形的三边对应成比例．

题型1 构造平行线

【例1】如图，已知////ADBECF，它们依次交直线1l、2l于点A、B、C和点D、E、F．

（1）如果6AB，8BC，21DF，求DE的长；

（2）如果:2:5DEDF，9AD，14CF，求BE的长．

【解答】解：（1）////ADBECF，

DEABDFAC，

6AB，8BC，21DF，

62168DE，

9DE．

（2）过点D作//DGAC，交BE于点H，交CF于点G，

则9CGBHAD，

1495GF，

//HEGF，

HEDEGFDF，

:2:5DEDF，5GF，

255HE，

2HE，

9211BE．

2 【点评】本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线， 所得的对应线段成比例．

【例2】如图，点D、E分别在ABC的边AB、AC上，若:2:1ADBD，点G在DE上，:1:2DGGE，连接BG并延长交AC于点F，则:AFEF等于( )

A．1:1 B．4:3 C．3:2 D．2:3

【解答】解：如图，作//DHBF交AC于H．

//DHBF，

::2:1AHHFADDB，

可以假设HFa，则2AHa，

//FGDH，

::1:2FHEFDGEG，

2EFa，

初中数学之二倍角问题辅助线的添加规律知识点

一些几何题中常含有一个角是另一个角的二倍的条件，处理这类问题常用如下的方法添加辅助线：

（1）作二倍角的平分线，构成等腰三角形。

如下图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，作∠ABC的角平分线交AC于点D，则∠DBC=∠C，△DBC是等腰三角形。

（2）延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形，利用等腰三角形的性质证题。

如下图，在△ABC中，∠B=2∠C，可延长CB到D，使BD=AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形。

【典例】已知，如下图所示，在△ABC中，∠C=2∠A，AC=2BC，求证：∠B=90°.

思路一：要证∠B=90°，可设法证∠B等于某个直角.由∠C=2∠A，可联想作∠C的角平分线CE，则△ACE是等腰三角形，如果作这个等腰三角形底边上的高ED，则出现直角，再证∠B=∠CDE即可。

【证法一】如下图，作∠C的平分线CE交AB于点E，过E作ED⊥AC于D。

则∠ACE=∠A，∴AE=CE.∵ED⊥AC，∴CD=1/2AC. ∵AC=2BC，∴CD=CB. 则可证得△CDE≌△CBE.

即∠B=∠CDE=90°.

思路二：作∠C的平分线CD，将△CDA沿CD翻折过来，得△CDE.要证∠ABC=90°，需证CD=ED，BC=BE. 【证法二】如下图，作∠C的平分线CD，延长CB到E，使CE=AC，∴AC=BC+BE. ∵AC=2BC，∴BC=BE.

在△ACD和△ECD中，AC=EC，∠ACD=∠ECD，CD=CD，∴△ACD≌△ECD. ∴∠A=∠E，又∠DCB=∠DCA=∠A，

∴∠E=∠DCB. ∴DC=DE. ∴∠ABC=90°.

思路三：延长AC到D，使CD=BC，连接BD，则△CBD和△ABD都是等腰三角形，由条件AC=2BC，可联想到取AC的中点E，连接BE，则∠DBE=90°.要证∠ABC=90°，只需证∠ABE=∠DBC.

2020年北京市中考数学考点之做辅助线的方法

1、中点、中位线，延线，平行线。

如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。

2、垂线、分角线，翻转全等连。

如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。

3、边边若相等，旋转做实验。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。

4、造角、平、相似，和、差、积、商见。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”

托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表

5、两圆若相交，连心公共弦。

如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。

6、两圆相切、离，连心，公切线。

如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。

7、切线连直径，直角与半圆。

如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。

如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。