北师大版九年级上册第一次月考数学试卷(含解析)

北师大版九年级上册第一次月考数学试卷

（考试时间：90分钟 总分：120分）

一、选择题（共10题；共30分）

1.下列各组线段中，成比例的是（ ）

A. 2cm，3cm，4cm，5cm B. 2cm，4cm，6cm，8cm

C. 3cm，6cm，8cm，12cm D. 1cm，3cm，5cm，15cm

2.已知 𝑏𝑎 ＝2，则 𝑎−𝑏𝑎+𝑏 的值是（ ）

A. 13 B. － 13 C. 3 D. －3

3.不透明袋子中装有红、绿小球各2个，除颜色外无其他差别.随机摸出一个小球后，不放回，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（ ）

A. 18 B. 16 C. 14 D. 13

4.方程 𝑥(𝑥−2)=𝑥 的解是（ ）

A. 𝑥=2 B. 𝑥1=0,𝑥2=2 C. 𝑥1=0,𝑥2=3 D. 𝑥=3

5.如图，菱形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的对角线 𝐴𝐶 、 𝐵𝐷 相交于点 𝑂 ，过点 𝐷 作 𝐷𝐻⊥𝐴𝐵 于点 𝐻 ，连接 𝑂𝐻 ，若 𝑂𝐴=6 ，

𝑂𝐻=4 ，则菱形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的面积为（ ）

A. 72 B. 24 C. 48 D. 96

6.如图，在△ABC中，DE∥AB，且 𝐶𝐷𝐵𝐷 ＝ 32 ，则 𝐶𝐸𝐶𝐴 的值为（ ）

A. 35 B. 23 C. 45 D. 32

7.若 𝑥2 ＝ 𝑦3 ＝ 𝑧4 ≠0，则下列各式正确的是（ ）

A. 2x＝3y＝4z B. 2𝑥+2𝑦5 ＝ 𝑧2 C. 𝑥+12 ＝ 𝑦+13 D. 𝑥+12 ＝ 𝑧−24

8.已知关于 𝑥 的一元二次方程 (𝑎−1)𝑥2−2𝑥+1=0 有实数根，则 𝑎 的取值范围是（ ）

A. 𝑎≤2 B. 𝑎>2 C. 𝑎≤2 且 𝑎≠1 D. 𝑎<−2 9.把边长分别为1和2的两个正方形按图 3 的方式放置.则图中阴影部分的面积为（ ）

A. 16 B. 13 C. 15 D. 14

10.如图，在 𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶 中， 𝐶𝐷 为斜边 𝐴𝐵 的中线，过点D作 𝐷𝐸⊥𝐴𝐶 于点E ， 延长 𝐷𝐸 至点F ， 使 𝐸𝐹=𝐷𝐸 ，连接 𝐴𝐹,𝐶𝐹 ，点G在线段 𝐶𝐹 上，连接 𝐸𝐺 ，且 ∠𝐶𝐷𝐸+∠𝐸𝐺𝐶=180°,𝐹𝐺=2,𝐺𝐶=3 ．下列结论：①

𝐷𝐸=12𝐵𝐶 ；②四边形 𝐷𝐵𝐶𝐹 是平行四边形；③ 𝐸𝐹=𝐸𝐺 ；④ 𝐵𝐶=2√5 ．其中正确结论的个数是（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

二、填空题（共7题；共28分）

11.在一个布袋中装有只有颜色不同的a个小球，其中红球的个数为2，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋中，通过大量重复实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出a大约是________.

12.设x1 ， x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则2x12﹣x1+x22＝________．

13.如图，将矩形纸片ABCD沿直线AF翻折，使点B恰好落在CD边的中点E处，点F在BC边上，若CD＝6，则AD＝________.

14.小明在打网球时，为使球恰好能过网（网高0.8米），且落在对方区域离网5米的位置上，她的击球高度是2.4米，则她应站在离网的________米处。

15.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，沿BC以2cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为t s，当t=________时，△CPQ与△CBA相似． 16.如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3.点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形，则AE的长=________.

17.如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点（点P与点A、C不重合），则在点P的移动过程中，△PBE周长的最小值为________.

三、解答题一（共3题；共18分）

18.计算题:解方程与化简求值

（1）解方程 𝑥2−2𝑥=8 （2）已知a：b：c=3：2：5．求 𝑎−3𝑏+4𝑐2𝑎+𝑏−𝑐 的值．

19.某商店经销的某种商品，每件成本为30元.经市场调查，当售价为每件70元时，可销售20件。假设在一定范围内，售价每降低2元，销售量平均增加4件。如果降价后商店销售这批商品获利1200元，问这种商品每件售价是多少元？

20.如图，在矩形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中， 𝑂 为对角线 𝐴𝐶 的中点，过点 𝑂 作直线分别与矩形的边 𝐴𝐷 ， 𝐵𝐶 交于 𝑀 ， 𝑁

两点，连接 𝐶𝑀 ， 𝐴𝑁 ．

（1）求证：四边形 𝐴𝑁𝐶𝑀 为平行四边形；

（2）若 𝐴𝐷=4 ， 𝐴𝐵=2 ，且 𝑀𝑁⊥𝐴𝐶 ，求 𝐷𝑀 的长

四、解答题二（共3题；共24分）

21.如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M.连接CM交DB于N.

（1）求证：BD2＝AD•CD；

（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长.

22.我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．

（1）成绩为“B等级”的学生人数有________名；

（2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为________，图中m的值为________；

（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．

23.已知四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形， ∠𝐴𝐵𝐶=60∘,∠𝐸𝐴𝐹 的两边分别与射线 𝐶𝐵、𝐷𝐶 相交于点 𝐸、𝐹 ，且 ∠𝐸𝐴𝐹=60°.

（1）如图1，当点E是线段 𝐶𝐵 的中点时，求证： 𝐴𝐸=𝐸𝐹 ；

（2）如图2，当点E是线段 𝐶𝐵 上任意一点时(点E不与 𝐵、𝐶 重合)，求证： 𝐵𝐸=𝐶𝐹 ；

（3）如图3，当点E在线段 𝐶𝐵 的延长线上时，设 𝐴𝐹 交 𝐵𝐶 于点G求证： 𝐴𝐺⋅𝐶𝐹=𝐴𝐹⋅𝐶𝐺 ．

五、解答题三（共2题；共20分）

24.如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边AD上，连接BE，在BE上取点F，连接AF并延长交BD于H，且∠AFE＝60°，过C作CG∥BD，直线CG、AF交于G．

（1）求证：∠FAE＝∠EBA；

（2）求证：AH＝BE；

（3）若AE＝3，BH＝5，求线段FG的长．

25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止.设运动时间为t秒.

（1）①求线段CD的长；

②求证：△CBD∽△ABC.

（2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值.

（3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由.

答案

一、选择题

1.解：A、∵2×5≠3×4，∴选项A不成比例；

B、∵2×8≠4×6，∴选项B不成比例；

C、∵3×12≠6×8，∴选项C不成比例；

D、∵1×15＝3×5，∴选项D成比例.

故答案为：D

2. ∵𝑏𝑎=2 ，

∴𝑏=2𝑎 ，且 𝑎≠0 ，

则 𝑎−𝑏𝑎+𝑏=𝑎−2𝑎𝑎+2𝑎=−𝑎3𝑎=−13 ，

故答案为：B．

3.解：如图，

总共有12种等可能的情况数，其中两次都是红球的情况有2种，

所以两次都摸到红球的概率为： 212=16 .

故答案为：B.

4.方程 𝑥(𝑥−2)=𝑥 ，

移项得： 𝑥(𝑥−2)−𝑥=0 ，

因式分解得： 𝑥(𝑥−2−1)=0 ，

∴ 𝑥=0 或 𝑥−3=0 ，

∴ 𝑥1=0，𝑥2=3 ．

故答案为：C．

5.解：∵四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 是菱形，

∴ 𝑂𝐴=𝑂𝐶 ， 𝑂𝐵=𝑂𝐷 ， 𝐴𝐶⊥𝐵𝐷 ，

∵ 𝐷𝐻⊥𝐴𝐵 ，

∴ ∠𝐵𝐻𝐷=90° ，

∴ 𝐵𝐷=2𝑂𝐻 ，

∵ 𝑂𝐻=4 ，

∴ 𝐵𝐷=8 ，

∵ 𝑂𝐴=6 ， ∴ 𝐴𝐶=12 ，