2022届高三数学(理)一轮总复习课时规范训练：第五章 数列 5-1 Word版含答案

【考纲要求】1、数列的概念和简单表示法（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）. （2）了解数列是自变量为正整数的一类函数. 【基础知识】 1、数列的定义按照一定顺序排列的一列数，称为数列。

数列中的每一项叫做数列的项。

数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项。

一般记为数列{}n a2、数列的分类（1）按照数列的项数分，可以分为有穷数列和无穷数列。

（2）按照单调性分，数列可以分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。

3、数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集N *和正整数集N *的有限子集。

所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点。

4、数列的常用表示方法 （1）数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 和项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

即()n a f n =。

不是每一个数列都有通项公式。

不是每一个数列只有一个通项公式。

（2）数列的递推公式如果已知数列的第一项或前几项，且任意一项n a 与它的前一项1n a -的关系可以用一个式子1()n n a f a -=来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式。

5、数列的前n 项和12n n S a a a =++⋅⋅⋅+6、数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分。

【例题精讲】例1 若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)。

（1） 求此数列的通项公式；（2） 数列{na n }中数值最小的项是第几项？解析：n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11；n ＝1时，a n ＝S 1＝－9符合上式．∴a n ＝2n －11.设第n 项最小，则⎩⎪⎨⎪⎧na n ≤n ＋1a n ＋1na n ≤n －1a n －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2n 2－11n ≤n ＋1·2n －92n 2－11n ≤n －1·2n －13，解得94≤n ≤134.又n ∈N *，∴n ＝3.例2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 解：(1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项a 2，a 3是负数． (2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝(n －52)2－94的对称轴方程为n ＝52.又n ∈N *，∴n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值， 其最小值为a 2＝a 3＝－2.5.1数列的概念强化训练 【基础精练】1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516 B.158 C.34D.382．已知数列{a n }满足a 1>0，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }是( ) A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．不确定3．下列说法正确的是( ) A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同数列C ．数列{n ＋1n }的第k 项为1＋1kD ．数列0,2,4,6，…可记为{2n }4．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )A．a n＝n2－n＋1 B．a n＝n n－12C．a n＝n n＋12D．a n＝n n＋225．已知a1＝1，a n＝n(a n＋1－a n)(n∈N*)，则数列{a n}的通项公式是( )A．2n－1 B．(n＋1n)n－1 C．n2D．n6．共有10项的数列{a n}的通项a n＝2 007－10n2 008－10n，则该数列中最大项、最小项的情况是( )A．最大项为a1，最小项为a10B．最大项为a10，最小项为a1 C．最大项为a6，最小项为a5D．最大项为a4，最小项为a37.已知数列{a n}的前n项和S n＝n3，则a6＋a7＋a8＋a9等于( )A．729 B．367 C．604 D．8548．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－9n，第k项满足5<a k<8，则k＝( ) A．6 B．7 C．8 D．99．数列53，108，17a＋b，a－b24，…中，有序数对(a，b)可以是__________．10．已知S n是数列{a n}的前n项和，且有S n＝n2＋1，则数列{a n}的通项公式是________．【拓展提高】1.已知数列{a n}的前n项和为S n，满足log2(1＋S n)＝n＋1，求数列的通项公式．2．在数列{a n}中，a1＝12，a n＝1－1a n－1(n≥2，n∈N*)，数列{a n}的前n项和为S n.(1)求证：a n＋3＝a n；(2)求a2008.【基础精练参考答案】2.B 【解析】∵a n ＋1a n ＝12<1.又a 1>0，则a n >0，∴a n ＋1<a n ， ∴{a n }是递减数列．3.C 【解析】由数列定义可知A 、B 错误；数列{n ＋1n }的第k 项为k ＋1k ＝1＋1k，故C 正确；数列0,2,4,6，…的通项公式为a n ＝2n －2，故D 错．4.C 【解析】从图中可观察星星的构成规律，n ＝1时，有1个；n ＝2时，有3个； n ＝3时，有6个；n ＝4时，有10个；…∴a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12.5.D 【解析】法一：由已知整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1， ∴a n ＋1n ＋1＝a n n ，∴数列{a nn }是常数列． 且a n n ＝a 11＝1，∴a n ＝n . 法二：累乘法：n ≥2时，a n a n －1＝n n －1a n －1a n －2＝n －1n －2⋮a 3a 2＝32 a 2a 1＝21两边分别相乘得a n a 1＝n . 又∵a 1＝1，∴a n ＝n .6.D【解析】a n＝2 008－10n－12 008－10n ＝1＋110n－2 008，则a n在n≤3且n∈N*时为递减数列，n≥4，n∈N*时也为递减数列，∴1>a1>a2>a3，a4>a5>a6>…>a10>1.故最大项为a4，最小项为a3.7.C【解析】a6＋a7＋a8＋a9＝S9－S5＝93－53＝604.8.C【解析】由S n＝n2－9n可得等差数列{a n}的通项公式a n＝S n－S n－1＝2n－10，由5<a k<8可得5<2k－10<8且k∈Z，解得152<k<9且k∈Z，∴k＝8.9. (412，－112)【解析】从上面的规律可以看出⎩⎪⎨⎪⎧a＋b＝15a－b＝26，解上式得⎩⎪⎨⎪⎧a＝412b＝－112.10.2(1)21(2)nnan n=⎧=⎨-⎩≥【解析】当n＝1时，a1＝S1＝1＋1＝2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝2n－1.2(1)21(2) nnan n=⎧=⎨-⎩≥【拓展提高参考答案】2.【解析】(1)证明：a n＋3＝1－1a n＋2＝1－11－1a n＋1＝1－11－11－1a n ＝1－11－1a n－1a n＝1－11－a na n－1＝1－1a n－1－a na n－1＝1－1－1a n－1＝1－(1－a n)＝a n.∴a n＋3＝a n.(2)解：由(1)知数列{a n}的周期T＝3，a1＝12，a2＝－1，a3＝2.又∵a 2008＝a 3×669＋1＝a 1＝12.∴a 2008＝12.。

第五章数列第一讲数列的概念与简单表示法A组基础巩固一、选择题1．(2021·广东广州模拟）数列｛a n｝为错误!,3，错误!，8，错误!，…,则此数列的通项公式可能是(A)A．a n＝错误!B．a n＝错误!C．a n＝错误!D．a n＝错误!［解析]解法一：数列｛a n}为错误!，错误!，错误!，错误!,错误!，…,其分母为2，分子是首项为1，公差为5的等差数列，故其通项公式为a n＝错误!。

解法二：当n＝2时，a2＝3，而选项B、C、D,都不符合题意,故选A.2．（2021·天津河东区月考)已知数列错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，…，则5错误!是它的（C)A．第19项B．第20项C．第21项D．第22项[解析］数列错误!，错误!,错误!，错误!,错误!，…中的各项分别可变形为错误!，错误!，错误!，错误!,错误!，…，所以该数列的通项公式为a n＝错误!＝错误!,令错误!＝5错误!，得n＝21.3．（2021·山东潍坊学情调研)已知数列｛a n｝中,a1＝2,a n＝1－错误!(n≥2),则a2 022＝（C）A。

错误!B．－错误!C．－1D．2［解析］∵a1＝2,a n＝1－错误!（n≥2)，∴a2＝1－错误!＝错误!，a3＝1－2＝－1，a4＝1－（－1）＝2，a5＝1－错误!＝错误!，…。

∴数列{a n}是以3为周期的周期数列．∵2 022＝3×674，∴a2 022＝a3＝－1，故选C。

4．已知数列｛a n｝的通项公式为a n＝错误!(n∈N＊)．则下列说法正确的是(C）A．这个数列的第10项为错误!B.错误!是该数列中的项C．数列中的各项都在区间错误!内D．数列{a n｝是单调递减数列［解析］a n＝错误!＝错误!＝错误!。

令n＝10，得a10＝错误!，故选项A不正确；令错误!＝错误!，得n＝错误!∉N，故错误!不是该数列中的项，故选项B不正确；因为a n ＝错误!＝错误!＝1－错误!，又n∈N＊，所以数列{a n}是单调递增数列,所以错误!≤a n<1,所以数列中的各项都在区间错误!内，故选项C正确，选项D不正确．故选B、C。

课时规范训练[A 级 基础演练]1．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12D ．－15解析：选A.记b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15.故选A.2．(2021·河北承德模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ＝1，2，3，…)，当首项a 1和公差d 变化时，若a 5＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各数中为定值的是( )A ．S 17B ．S 18C ．S 15D ．S 16解析：选C.由等差数列的性质得a 5＋a 11＝2a 8，所以a 5＋a 8＋a 11为定值，即a 8为定值．又由于S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15×2a 82＝15a 8，所以S 15为定值．故选C.3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12π，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 016＝( )A.2 015×2 0162B ．2 016×2 0172C.2 015×2 0152D ．2 016×2 0162解析：选B.a n ＝n 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12π＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2n2（n 为奇数），（n 为偶数），∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 016＝－12＋22－32＋42－…－2 0152＋2 0162＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(2 0162－2 0152)＝1＋2＋3＋4＋…＋2 016＝2 016×2 0172.4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2D ．2解析：选A.由等差数列性质及前n 项和公式，得 S 8＝8（a 1＋a 8）2＝4(a 3＋a 6)＝4a 3，所以a 6＝0.又a 7＝－2，所以公差d ＝－2，所以a 9＝a 7＋2d ＝－6.5．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( )A ．3 690B ．3 660C ．1 845D ．1 830解析：选D.当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1， 当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k －1＝4k －3， ∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，∴a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2， ∴a 2k －1＝a 2k ＋3， ∴a 1＝a 5＝…＝a 61.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61)＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝30×（3＋119）2＝30×61＝1 830.6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n(a n ＋1)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 2 017＝ ． 解析：由a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n(a n ＋1)可得该数列是周期为4的数列，且a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝0，a 5＝1，所以S 2 017＝504(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 017＝504×(－2)＋1＝－1 007.答案：－1 0077．(2021·江西八所中学联考)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＋(－1)na n ＝cos(n ＋1)π，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 017＝ ．解析：∵a n ＋1＋(－1)na n ＝cos(n ＋1)π＝(－1)n ＋1，∴当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝－1，k ∈N *，∴S 2 017＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝1＋(－1)×1 008＝－1 007.答案：－1 0078．等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{}a n 的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{}b n 的前n 项和T n .解：(1)由a 1＝10，a 2为整数，知等差数列{}a n 的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0. 解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.数列{}a n 的通项公式为a n ＝13－3n .(2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n10（10－3n ）.9．(2021·辽宁五校联考)已知等差数列{}a n ，公差d >0，前n 项和为S n ，S 3＝6且满足a 3－a 1，2a 2，a 8成等比数列．(1)求{}a n 的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n ＋2，求数列{}b n 的前n 项和T n .解：(1)由S 3＝6，得a 2＝2. ∵a 3－a 1，2a 2，a 8成等比数列，∴2d ·(2＋6d )＝42，解得，d ＝1或d ＝－43.∵d >0，∴d ＝1，∴数列{}a n 的通项公式为a n ＝n . (2)∵b n ＝1a n ·a n ＋2＝1n （n ＋2），∴T n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n （n ＋2）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝3n 2＋5n 4（n ＋1）（n ＋2）. [B 级 力量突破]1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不犯难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公认真算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从其次天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问其次天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里解析：选B.由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为12的等比数列，则a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝96，即其次天走了96里．故选B.2．已知数列5，6，1，－5，…，该数列的特点是从其次项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( )A ．5B ．6C ．7D ．16解析：选C.依据题意这个数列的前7项分别为5，6，1，－5，－6，－1，5，6，发觉从第7项起，数字重复消灭，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又由于16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C. 3．数列{a n }的通项为a n ＝(－1)n(2n ＋1)sin n π2＋1，前n 项和为S n ，则S 100＝ ．解析：由a n ＝(－1)n(2n ＋1)sinn π2＋1可得全部的偶数项为1，奇数项有以下规律：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，a 5＝－10，a 9＝－18，…⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 7＝16，a 11＝24，…所以a 1＋a 5＋…＋a 97＝25×(－2)＋25×242×(－8)＝－2 450，a 3＋a 7＋…＋a 99＝25×8＋25×242×8＝2 600，a 2＋a 4＋…＋a 100＝50×1＝50 所以S 100＝－2 450＋2 600＋50＝200. 答案：2004．(2021·昆明调研)已知等差数列{}a n 中，a 2＝4，a 4是a 2与a 8的等比中项． (1)求数列{}a n 的通项公式； (2)若a n ＋1≠a n ，求数列{}2n －1·a n 的前n 项和．解：(1)由a 2＝4，且a 4是a 2，a 8的等比中项可得a 1＋d ＝4，a 24＝a 2a 8，即(4＋2d )2＝4(4＋6d )，化简得d 2－2d ＝0， 则d ＝0或d ＝2，由于a 2＝4，当d ＝0时，a n ＝4； 当d ＝2时，a 1＝2，则a n ＝2n . (2)∵a n ＋1≠a n ，∴a n ＝2n ，则2n －1a n ＝2n －1·2n ＝2n ·n ，∵S n ＝21＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n，(*1)(*1)×2得，2S n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)·2n＋n ·2n ＋1，(*2)(*1)－(*2)得，－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2（1－2n）1－2－n ·2n ＋1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.5．在等比数列{}a n 中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1、a 5的等比中项为16. (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{}b n 的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n<k 对任意n ∈N*恒成立？若存在，求出正整数k 的最小值；不存在，请说明理由．解：(1)设数列{}a n 的公比为q ，由题意可得a 3＝16，∵a 3－a 2＝8，则a 2＝8，∴q ＝2.∴a n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝log 42n ＋1＝n ＋12，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n （n ＋3）4.∵1S n＝4n （n ＋3）＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋3，∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫11－14＋12－15＋13－16＋…＋1n －1n ＋3＝43⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3<43⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＝229， ∴存在正整数k ，其最小值为3.。

课时规范训练A 组 基础演练1．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.明显，n ∈N *，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，不肯定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，….2．设{}a n 是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选D.由于等差数列{}a n 的前n 项和为S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，所以S 1，S 2，S 4分别为a 1,2a 1－1,4a 1－6.由于S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6)．解得a 1＝－12.3．在等比数列{a n }中，若a 4，a 8是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则a 6的值是( ) A ．±2 B ．－ 2 C. 2D ．±2解析：选C.由于a 4，a 8是方程的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 8＝3＞0a 4a 8＝2＞0，∴a 4＞0，a 8＞0，又a 26＝a 4a 8＝2，∴a 6＝ 2.4．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，且2a 4，a 6,48成等差数列，则{a n }的前8项和为( ) A ．127 B ．255 C ．511D ．1 023解析：选B.∵2a 6＝2a 4＋48，即a 6＝a 4＋24 ∴25a 1＝23a 1＋24，从而a 1＝1.于是S 8＝1×(1－28)1－2＝28－1＝255.5．设数列{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152 B.314 C.334D.172解析：选B.设此数列的公比为q (q ＞0)，由已知a 2a 4＝1，得a 23＝1，∴a 3＝1，由S 3＝7，知a 3＋a 3q ＋a 3q 2＝7，即6q 2－q －1＝0，解得q ＝12，从而a 1＝4， 所以S 5＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝314. 6．等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 为________． 解析：由a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1得 a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3， ∴a 4＝3a 3，∴q ＝a 4a 3＝3.答案：37．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．解析：由已知条件得2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2， 即2S n ＝2S n ＋2a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＋2a n ＋1＝q ＝－2.答案：－28．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.解析：由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0. 由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)， ∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝1－(－2)53＝11.答案：119．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1. 解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列， ∴S n ＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2. 当n ＝1时，a 1＝1，不适合上式． ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝2(1－4n )1－4＝2(4n －1)3.∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝2(4n －1)3＋1＝22n ＋1＋13.10．已知成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列． 解：(1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d .依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)， ∴b 3＝5，公比q ＝2，因此b 1＝54，故b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明：由(1)知b 1＝54，公比q ＝2，∴S n ＝54(1－2n)1－2＝5·2n －2－54，则S n ＋54＝5·2n －2，因此S 1＋54＝52，S n ＋54S n －1＋54＝5·2n －25·2n －3＝2(n ≥2)． ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，公比为2的等比数列．B 组 力量突破1．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3D ．3解析：选B.设公比为q ，若q ＝1，则S 2mS m＝2， 与题中条件冲突，故q ≠1.∵S 2m S m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q＝q m ＋1＝9，∴q m＝8. ∴a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.2．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2.a 5＞a 2，则a n 等于( ) A ．(－2)n －1 B ．－(－2)n －1 C ．(－2)nD ．－(－2)n解析：选A.∵|a 1|＝1，∴a 1＝1或a 1＝－1. ∵a 5＝－8a 2＝a 2·q 3，∴q 3＝－8，∴q ＝－2. 又a 5＞a 2，即a 2q 3＞a 2，∴a 2＜0.而a 2＝a 1q ＝a 1·(－2)＜0，∴a 1＝1. 故a n ＝a 1·(－2)n －1＝(－2)n －1.3．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 33＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2 B.12(9n －1) C ．9n－1D.14(3n－1)解析：选B.∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *， n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1， ∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1， 又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1， 故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列． 因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1－9n )1－9＝12(9n －1)． 4．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＝－8，a 4＋a 5＋a 6＝1，则a 11－q ＝__________.解析：∵a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝－18，∴q ＝－12，把q ＝－12代入a 1＋a 2＋a 3＝－8， 解得a 1＝－323，∴a 11－q ＝－649.答案：－6495．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． 又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)， ∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ， 则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )． 又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1， 即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．。

课时规范训练A 组 基础演练1．在等差数列{}a n 中，a 2＝3，a 3＋a 4＝9，则a 1a 6的值为( )A ．14B ．18C ．21D ．27解析：选A.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝3，2a 1＋5d ＝9，由此解得d ＝1，a 1＝2，a 6＝a 1＋5d ＝7，a 1a 6＝14.2．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )A ．a 1＋a 101＞0B ．a 2＋a 100＜0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51解析：选C.由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝a 3＋a 99＝0.3．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为() A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：选B.法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2.∴d ＝2.法二：∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5.又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2.4．记S n 为等差数列{a n }前n 项和，若S 33－S 22＝1，则其公差d ＝() A.12B ．2C ．3D ．4解析：选B.由S 33－S 22＝1，得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝1， 即a 1＋d －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋d 2＝1，∴d ＝2. 5．已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( )A ．30B ．45C ．90D ．186解析：选C.因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝6a 5＝a 1＋4d ＝15， 所以a 1＝3，d ＝3，b n ＝a 2n ＝a 1＋(2n －1)d ＝6n ，S 5＝5(b 1＋b 5)2＝5(6＋6×5)2＝90，因此选C 项． 6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝13，S 7＝35，则a 7＝________. 解析：设数列{a n }的公差为d ，则由已知得(a 1＋2d )＋(a 1＋7d )＝13 ①，S 7＝7(a 1＋a 1＋6d )2＝35 ②. 联立①②，解方程组得a 1＝2，d ＝1，∴a 7＝a 1＋6d ＝8.答案：87．若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝________.解析：由题意得该等差数列的公差d ＝9－25－1＝74， 所以c －a ＝2d ＝72. 答案：728．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9＞0，a 7＋a 10＜0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．解析：根据题意知a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，即a 8＞0.又a 8＋a 9＝a 7＋a 10＜0，∴a 9＜0，∴当n ＝8时，{a n }的前n 项和最大．答案：89．已知等差数列{a n }中，a 2＝8，前10项和S 10＝185.求数列{a n }的通项公式a n . 解：设数列{a n }的公差为d ，因为a 2＝8，S 10＝185，所以⎩⎨⎧ a 1＋d ＝810a 1＋10×92d ＝185，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5d ＝3， 所以a n ＝5＋(n －1)×3＝3n ＋2，即a n ＝3n ＋2.10．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }为首项为3，公差为1的等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即a n ＝n ＋2.B 组 能力突破1．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．84解析：选C.由a 1＞0，a 10·a 11＜0可知d ＜0，a 10＞0，a 11＜0，∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60，故选C.2．已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在直线y －2＝k (x －5)上，则数列{a n }的前9项和S 9等于( )A ．18B ．20C ．22D ．24解析：选A.∵点(n ，a n )在直线y －2＝k (x －5)上，∴a n －2＝k (n －5)，∴a n ＝kn －5k ＋2，∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－5k ＋2]－(kn －5k ＋2)＝k ，∴{a n }是等差数列．当n ＝5时，a 5＝2，∴S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝18. 3．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D.法一：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ＋n (n －1)＝n 2，则S n ＋2＝(n ＋2)2，由S n ＋2－S n ＝36，得(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4＝36，所以n ＝8.法二：S n ＋2－S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋2(2n ＋1)＝36，解得n ＝8，所以选D.4．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意正整数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 解析：因为{a n }，{b n }为等差数列，所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. 因为S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， 所以a 6b 6＝1941. 答案：19415．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.解：(1)由题意得，a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，由a 1＝10，{a n }为公差为d 的等差数列得，d 2－3d －4＝0，解得d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11(n ∈N *)或a n ＝4n ＋6(n ∈N *)．(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，所以当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－12n 2＋212n ；当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 11－(a 12＋a 13＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 11)－(a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12＋a 13＋…＋a n )＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述， |a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.。

第五章 数列 第二节 等差数列及其前n 项和[A 组 基础对点练]1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11解析：∵{a n }是等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3，即a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1， ∴S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5a 3＝5.答案：A2．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0C ．14D ．12解析：由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝12，a 4＝32，∴公差d ＝a 4－a 22＝12，∴a 1＝a 2－d ＝0. 答案：B3．(2021·某某某某市高三摸底考试)等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 3＋a 11＝4，则S 13＝( )A ．13B ．26C ．39D ．52解析：由等差数列的性质可知，a 1＋a 13＝a 3＋a 11＝4， ∴S 13＝13（a 1＋a 13）2＝26.答案：B4．等差数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝100(n ≥3).若{a n }的公差为某一自然数，则n 的所有可能取值为( )A ．3，7，9，15，100B ．4，10，12，34，100C ．5，11，16，30，100D ．4，10，13，43，100解析：由等差数列的通项公式得，公差d ＝a n －a 1n －1＝99n －1.又因为d ∈N ，n ≥3，所以n －1可能为3，9，11，33，99，n 的所有可能取值为4，10，12，34，100.答案：B5．(2020·某某六校第一次联考)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若S 5＝2S 4，a 2＋a 4＝8，则a 5＝( )A ．6B ．7C ．8D ．10解析：法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋4×32d ，a 1＋d ＋a 1＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3，故a 5＝a 1＋4d ＝－2＋12＝10.法二：因为S 5＝2S 4，所以a 5＝S 4＝12S 5.因为a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝8，所以S 5＝（a 1＋a 5）·52＝8×52＝20，所以a 5＝12S 5＝12×20＝10.答案：D6．(2020·某某百校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1≠0，S 2＝a 4，则a 5S 3＝( )A ．1B ．23C ．53D ．79解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 2＝a 4，得2a 1＋d ＝a 1＋3d ，所以a 1＝2d ，所以a 5S 3＝a 1＋4d 3a 1＋3d ＝6d 9d ＝23. 答案：B7．(2020·某某八校联考)在公差不为0的等差数列{a n }中，4a 3＋a 11－3a 5＝10，则15a 4＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：法一：设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由4a 3＋a 11－3a 5＝10，得4(a 1＋2d )＋(a 1＋10d )－3(a 1＋4d )＝10，即2a 1＋6d ＝10，即a 1＋3d ＝5，故a 4＝5，所以15a 4＝1.法二：设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，因为a n ＝a m ＋(n －m )d ，所以由4a 3＋a 11－3a 5＝10，得4(a 4－d )＋(a 4＋7d )－3(a 4＋d )＝10，整理得a 4＝5，所以15a 4＝1.法三：由等差数列的性质，得2a 7＋3a 3－3a 5＝10，所以4a 5＋a 3－3a 5＝10，即a 5＋a 3＝10，则2a 4＝10，即a 4＝5，所以15a 4＝1.答案：C8．已知{a n }是等差数列，a 1＝9，S 5＝S 9，那么使其前n 项和S n 最大的n 是( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9解析：因为a 1＞0，S 5＝S 9，所以公差小于零，数列{a n }的散点图对应的抛物线开口向下且对称轴为x ＝7，故n ＝7时，S n 最大．答案：B9．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________． 解析：设数列首项为a 1，则a 1＋2 0152＝1 010，故a 1＝5.答案：510．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意正整数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．解析：因为{a n }，{b n }为等差数列， 所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.因为S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝1941.答案：194111．(2020·某某第一次模拟)等差数列log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)，…的第四项等于________．解析：∵log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)成等差数列， ∴log 3(2x )＋log 3(4x ＋2)＝2log 3(3x )， ∴log 3[2x (4x ＋2)]＝log 3(3x )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x （4x ＋2）＝（3x ）2，2x ＞0，4x ＋2＞0，3x ＞0，解得x ＝4，∴等差数列的前三项为log 38，log 312，log 318， ∴公差d ＝log 312－log 38＝log 332，∴数列的第四项为log 318＋log 332＝log 327＝3.答案：312．(2021·某某六校第三次联考)等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，求a 9－13a 11的值． 解析：依题意，由a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，得5a 8＝120，即a 8＝24，所以a 9－13a 11＝13(3a 9－a 11)＝13(a 9＋a 7＋a 11－a 11)＝13(a 9＋a 7)＝23a 8＝23×24＝16. [B 组 素养提升练]1．(2021·某某某某模拟)已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则{a n }的前100项的和为( )A ．－200B ．－100C ．0D ．－50解析：由y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，可得y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，由数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，可得a 50＋a 51＝－2.又由等差数列的性质得a 1＋a 100＝a 50＋a 51＝－2， 则{a n }的前100项的和为100（a 1＋a 100）2＝－100.答案：B2．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于__________．解析：∵{a n }是等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1.又∵a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2，∴S 2n －1＝(2n －1)a n ＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10.答案：103．已知数列{a n }满足a 1＝2，n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *).(1)求证数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求其通项公式；(2)设b n ＝2a n －15，求数列{|b n |}的前n 项和T n .解析：(1)证明：∵n (a n ＋1－n －1)＝(n ＋1)(a n ＋n )(n ∈N *)， ∴na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，∴a n ＋1n ＋1－a n n＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，其公差为2，首项为2，∴a n n＝2＋2(n －1)＝2n .(2)由(1)知a n ＝2n 2，∴b n ＝2a n －15＝2n －15，则数列{b n }的前n 项和S n ＝n （－13＋2n －15）2＝n 2－14n .令b n ＝2n －15≤0，解得n ≤7.∴当n ≤7时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b n ＝－S n ＝－n 2＋14n . 当n ≥8时，数列{|b n |}的前n 项和T n ＝－b 1－b 2－…－b 7＋b 8＋…＋b n ＝－2S 7＋S n ＝－2×(72－14×7)＋n 2－14n ＝n 2－14n ＋98.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14n －n 2，n ≤7，n 2－14n ＋98，n ≥8.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－2，公差为d (d ∈N *). (1)若a 5＝30，求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在d ，n 使S n ＝10成立？若存在，试找出所有满足条件的d ，n 的值，并求出数列{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由．解析：(1)当a 5＝30时，由a 5＝a 1＋4d ， 得30＝－2＋4d ，解得d ＝8， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝8n －10， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝8n －10. (2)由S n ＝10，得－2n ＋n （n －1）2d ＝10，即－4n ＋dn 2－dn ＝20， 所以dn 2－(d ＋4)n －20＝0. 当n ＝1时，得－24＝0不存在； 当n ＝2时，得d ＝14符合，此时数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝14n －16；当n ＝3时，得d ＝163不符合；当n ＝4时，得d ＝3符合，此时数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n －5； 当n ＝5时，d ＝2符合，此时数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －4；当n ＝6时，得d ＝2215不符合；当n ＝7时，得d ＝87不符合；当n ＝8时，得d ＝1314不符合；当n ≥9时，d ＜1均不符合，所以存在3组满足题意，其解与相应的通项公式分别为d ＝14，n ＝2，a n ＝14n －16； d ＝3，n ＝4，a n ＝3n －5； d ＝2，n ＝5，a n ＝2n －4.。

2021-2022年高考数学大一轮复习第五章数列同步练习文1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1>a n其中n∈N*递减数列a n＋1<a n常数列a n＋1＝a n数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．1．a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)1,1,1,1，…不能构成一个数列．( )(2)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( ) (5)已知a n ＋2＝f (a n ＋1，a n )时，如果要确定这个数列，则必须知道初始值a 1，a 2.( )(6)如果数列{a n }的前n 项和为 S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) 答案： (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√ 2．数列－3,7，－11,15，…的通项公式可能是( ) A ．a n ＝4n －7 B ．a n ＝(－1)n (4n ＋1) C ．a n ＝(－1)n (4n －1) D ．a n ＝(－1)n ＋1(4n －1)答案： C3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋qn (p ，q 为常数)，且a 2＝32，a 4＝32，则a 8＝( )A ．54B ．94C ．34D ．2解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2p ＋q 2＝324p ＋q 4＝32，解得⎩⎨⎧p ＝14q ＝2.∴a 8＝8p ＋q8＝8×14＋28＝94.答案： B4．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 2＋1，则0.98是它的第________项．解析：n 2n 2＋1＝0.98＝4950，∴n ＝7. 答案： 75．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n－3，则数列{a n }的通项公式是________． 解析： 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－(2n －1－3)＝2n －2n －1＝2n －1.故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.由数列的前几项求数列的通项公式自主练透型写出下列各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3333，….解析： (1)各项减去1后为正偶数， 所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n－12n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故第n 项的符号为(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋－1nn，也可写为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为：93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，….所以a n ＝13(10n－1)．由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k ＋1，k ∈N*处理．由a n 与S n 的关系求通项a n 分层深化型 已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ，求a 5＋a 6及a n ；(2)若S n ＝3n＋2n ＋1.求a n .解析： (1)因为a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1)＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)] ＝(－1)n ＋1·(2n －1)，又a 1也适合于此式， 所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝6； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2×3n －1＋2，由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2×3n －1＋2，n ≥2.1．已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n＋b .解析： (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝kc n－k (其中c ，k 为常数)，且a 2＝4，a 6＝8a 3，求a n . 解析： 由S n ＝kc n －k 得a n ＝S n －S n －1＝kc n －kcn －1(n ≥2)，由a 2＝4，a 6＝8a 3得kc (c －1)＝4，kc 5(c －1)＝8kc 2(c －1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，k ＝2，所以a n ＝kc n －kcn －1＝2n (n ≥2)，又a 1＝S 1＝2，于是a n ＝2n.3．(xx·陕西四校联考)已知数列{a n }满足条件12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋5，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n ＋1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14n ＝12n ＋1n ≥2C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n ＋2解析： 由题意可知，数列{a n }满足条件12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋5，则12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n －1a n －1 ＝2(n －1)＋5，n >1，两式相减可得：a n2n ＝2n ＋5－2(n －1)－5＝2，∴a n ＝2n ＋1，n >1，n ∈N *.当n ＝1时，a 12＝7，∴a 1＝14，综上可知，数列{a n }的通项公式为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14n ＝1，2n ＋1n ≥2.故选B ． 答案： B4．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1，n ∈N )，则数列{a n }的通项公式是________．解析： 由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减，得a n ＋1－a n ＝2a n ，a n ＋1＝3a n (n ≥2)．∵a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，故数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列． ∴a n ＝3n －1.故填a n ＝3n －1(n ≥1，且n ∈N )．答案： a n ＝3n －1(n ≥1，且n ∈N )已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．由递推关系式求数列的通项公式互动讲练型根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1； (2)a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.解析： (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋n －12＋n2＝n n ＋12＋1.又a 1＝2＝1×1＋12＋1，符合上式， 因此a n ＝n n ＋12＋1.(2)∵a n ＝n －1na n －1(n ≥2)， ∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立． ∴a n ＝1n.(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3， ∴数列{a n ＋1} 为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n. (2)a 1＝1，a n ＋1＝2na n .解析： (1)a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.(2)由于a n ＋1a n＝2n， 故a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1， 将这n －1个等式叠乘， 得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2n n －12，故a n ＝2n n －12.由数列递推式求通项公式常用方法有：累加法、累积法、构造法．形如a n ＝pa n －1＋m (p 、m 为常数，p ≠1，m ≠0)时，构造等比数列；形如a n ＝a n －1＋f (n )({f (n )}可求和)时，用累加法求解；形如a na n ＋1＝f (n )({f (n )}可求积)时，用累积法求解．A 级 基础训练1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n解析： 根据定义，属于无穷数列的是选项A 、B 、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C 、D ，故同时满足要求的是选项C ．答案： C2．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( ) A ．2n －1B ．n 2C ．n ＋12n 2D ．n 2n －12解析： 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2n －12.答案： D3．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5B ．72C ．92D ．132解析： ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2， n 为偶数.∴S 21＝11×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋10×2＝72.故选B ． 答案： B4．(xx·吉林普通中学摸底)已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列， 则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，6]B ．(－∞，4]C ．(－∞，5]D ．(－∞，3]解析： 数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，若数列是递减数列， 则－λ2·－2≤32，即λ≤6. 答案： A5．(xx·安徽合肥二检)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2 014＝( )A ．16B ．－16C ．6D ．－6解析： 由a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，得a n ＋1＝1＋a n1－a n，而a 1＝2，则有a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，故数列{a n }是以4为周期的周期数列，且a 1a 2a 3a 4＝1， 所以T 2 014＝(a 1a 2a 3a 4)503a 1a 2＝1503×2×(－3)＝－6.故选D ． 答案： D6．(xx·海南三亚一模)在数列1,2，7，10，13，…中，219是这个数列的第________项．解析： 因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，得n ＝26.答案： 267．(xx·天津六校第三次联考)数列{a n }中， 已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 7＝________.解析： 由已知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a 1＝1，a 2＝2，能够计算出a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1.答案： 18．数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝na n ，则a n ＝________. 解析： 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1， ∴a n ＝a n －1(n ≥2)． 又∵a 1＝1， ∴a n ＝1. 答案： 19．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解析： (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍)． ∴从第7项起各项都是正数．10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .求数列{a n }与{b n }的通项公式．解析： ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋2n )－[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4也适合， ∴{a n }的通项公式是a n ＝4n (n ∈N *)．∵T n ＝2－b n ，∴当n ＝1时，b 1＝2－b 1，b 1＝1. 当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝(2－b n )－(2－b n －1)， ∴2b n ＝b n －1.∴数列{b n }是公比为12，首项为1的等比数列．∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.B 级 能力提升1．定义：称nP 1＋P 2＋…＋P n为n 个正数P 1，P 2，…，P n 的“均倒数”．若数列{a n }的前n项的“均倒数”为12n －1，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝4n －1C ．a n ＝4n －3D ．a n ＝4n －5解析：na 1＋a 2＋…＋a n＝12n －1，∴a 1＋a 2＋…＋a nn＝2n －1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2n －1)n ；a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(2n －3)(n －1)(n ≥2)，当n ≥2时，a n ＝(2n －1)n －(2n －3)(n －1)＝4n －3；a 1＝1也适合此等式，∴a n ＝4n －3.答案： C2．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是________．解析： 从题图中可观察星星的构成规律，n ＝1时，有1个；n ＝2时，有3个；n ＝3时，有6个；n ＝4时，有10个；…∴a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12.答案： a n ＝n n ＋123．已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解析： (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1 n ≥22 n ＝1∴b n＝⎩⎪⎨⎪⎧1n n ≥223n ＝1.(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－12n ＋32n ＋2＜0，∴{c n }是递减数列．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在数列{b n }中，b 1＝5，b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式． 解析： (1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝32a 1－1，所以a 1＝2. 由S n ＝32a n －1，①可知当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－1，②①－②，得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32a n －1－1， 所以a n ＝3a n －1，又a 1≠0， 故a n －1≠0， 所以a na n －1＝3， 故数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， 所以a n ＝2·3n －1.(2)由(1)知b n ＋1＝b n ＋2·3n －1. 当n ≥2时，b n ＝b n －1＋2·3n －2，…，b 3＝b 2＋2·31， b 2＝b 1＋2·30，将以上n －1个式子相加并整理， 得b n ＝b 1＋2×(3n －2＋…＋31＋30)＝5＋2×1－3n －11－3＝3n －1＋4.当n ＝1时，31－1＋4＝5＝b 1，所以b n ＝3n －1＋4(n ∈N *)．第二节 等差数列及其前n 项和1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －12d ＝a 1＋a n n2.1．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 2．等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) (5)数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝n ，则数列{a n }是等差数列．( )(6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( )答案： (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)√2．已知在等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项和S 10＝( ) A ．100 B ．210 C ．380D ．400解析： 因为a 2＝7，a 4＝15，所以d ＝4，a 1＝3， 故S 10＝10×3＋12×10×9×4＝210.答案： B3．(xx·北京海淀区期末)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析： ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . 答案： B4．(xx·重庆卷)若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝________. 解析： 设公差为d ，∵2，a ，b ，c,9成等差数列， ∴9－2＝4d ，∴d ＝74.又∵c －a ＝2d ，∴c －a ＝2×74＝72.答案： 725．在等差数列40,37,34，…中，第一个负数项是________． 解析： ∵a 1＝40，d ＝37－40＝－3， ∴a n ＝40＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋43， 令a n ＜0，即－3n ＋43＜0，解得n ＞433，故第一个负数项是第15项，即a 15＝－3×15＋43＝－2. 答案： －2等差数列的基本运算自主练透型1．(xx·福建卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12D ．14解析： 因为S 3＝3a 1＋3×3－12d ＝3×2＋3×22d ＝12，所以d ＝2.所以a 6＝a 1＋(6－1)d ＝2＋5×2＝12.故选C ．答案： C2．(xx·天津卷)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．解析： 由已知得S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1＋4×32×(－1)＝4a 1－6，而S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，整理得2a 1＋1＝0，解得a 1＝－12.答案： －123．(xx·福建福州一模)已知等差数列{a n }，其中a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 的值为________．解析： 在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝23＋5d ＝4，所以d ＝23，又a n ＝13＋23(n－1)＝33，解得n ＝50.答案： 504．已知a n ＝－2n ＋27，则a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2＝________.解析： 由a n ＝－2n ＋27，知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .答案： －3n 2＋28n等差数列基本运算的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．等差数列的判定与证明分层深化型 已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1－2n.设b n ＝a n －2n3n.证明：数列{b n }为等差数列，并求{a n }的通项公式． 证明： ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1－2n ＋13n ＋1－a n －2n3n＝3a n ＋3n ＋1－2n －2n ＋13n ＋1－3a n －3·2n3n ＋1＝1， ∴{b n }为等差数列，又b 1＝a 1－23＝0.∴b n ＝n －1，∴a n ＝(n －1)·3n＋2n.1．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．设b n ＝1a n －1(n ∈N *)，求证：数列{b n }是等差数列． 证明： ∵a n ＝2－1a n －1，∴a n ＋1＝2－1a n.∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．2．在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)．(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解析： (1)证明：将 3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)整理得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)．所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)由(1)可得1a n＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝13n －2.3．(xx·新课标全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．解析： (1)证明：由题设知a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1， 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1， 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设知a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 等差数列的判定方法大全(1)等差数列的判定通常有两种方法：第一种是定义法，a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2)；第二种方法是利用等差中项，即2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)．(2)解答选择题和填空题时也可以用通项公式与前n 项和公式直接判定．(3)若判定一个数列不是等差数列，则只需要说明某连续3项(如前三项)不是等差数列即可．等差数列的性质互动讲练型(1)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A ．0 B ．37 C ．100D ．－37(2)(xx·北京卷)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．(3)(xx·上海虹口二模)等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －8，下列四个命题．α1：数列{a n }是递增数列；α2：数列{na n }是递增数列；α3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；α4：数列{a 2n }是递增数列．其中真命题是________．解析： (1)设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100.(2)由等差数列的性质可得a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，即a 8>0；而a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，故a 9<0.所以数列{a n }的前8项和最大．(3)由已知a n ＝2n －8可知等差数列{a n }的公差d 为2，∴{a n }是递增数列，命题α1正确；而na n ＝2n 2－8n ＝2(n －2)2－8，易知数列{na n }不是递增数列，命题α2错误；a n n ＝2－8n，易证数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列，命题α3正确；a 2n ＝4(n －4)2，有a 21>a 22>a 23>a 24<a 25<a 26<…，∴{a 2n }不是递增数列，命题α4错误．综上，真命题是α1，α3.答案： (1)C (2)8 (3)α1，α31．等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( ) A ．20 B ．22 C ．24D ．－8解析： ∵a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，∴a 8＝24，∴2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24. 答案： C2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 解析： ∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20，∴S 30－30＝10＋2×10＝30，∴S 30＝60. 答案： 603．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n >6)，则数列{a n }的项数n ＝________.解析： 由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，①a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36， 又S n ＝n a 1＋a n2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18.答案： 184．在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值．解析： 法一：∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653. ∴a 13＝0.即当n ≤12时，a n >0，n ≥14时，a n <0.∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.法二：同方法一求得d ＝－53.∴S n ＝20n ＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 等差数列的最值的处理方法：(1)利用S n ＝an 2＋bn 转化为二次函数求最值时要注意n 的取值． (2)若{a n }是等差数列，求其前n 项和的最值时，①若a 1＞0，d ＜0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1<0，前n 项和S n 最大．②若a 1＜0，d ＞0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1>0，前n 项和S n 最小．A 级 基础训练1．(xx·海淀质检)等差数列{a n }中，a 2＝3，a 3＋a 4＝9，则a 1a 6的值为( ) A ．14 B ．18 C ．21D ．27解析： 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，2a 1＋5d ＝9，由此解得d ＝1，a 1＝2，a 6＝a 1＋5d ＝7，a 1a 6＝14.答案： A2．(xx·陕西五校三模)等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66解析： 由等差数列的性质可知，2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)＝39＋27＝66，∴a 2＋a 5＋a 8＝33，则数列{a n }前9项的和为66＋33＝99. 答案： C3．(xx·河北唐山一中调研)已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64解析： 由题意可知2a 8＝a 7＋a 9＝16⇒a 8＝8，S 11＝11a 1＋a 112＝11×2a 62＝11a 6＝992，a 6＝92，则d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝a 8＋4d ＝15，故选A ． 答案： A4．(xx·安徽六校联考)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列， 且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11解析： 设{b n }的公差为d ，∵b 10－b 3＝7d ＝12－(－2)＝14，∴d ＝2. ∵b 3＝－2，∴b 1＝b 3－2d ＝－2－4＝－6.∴b 1＋b 2＋…＋b 7＝7b 1＋7×62·d ＝7×(－6)＋21×2＝0.又b 1＋b 2＋…＋b 7＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝a 8－a 1＝a 8－3＝0，∴a 8＝3.故选B ．答案： B5．(xx·辽宁鞍山检测)已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2 014＝( )A ．1 006×2 013B ．1 006×2 014C ．1 007×2 013D ．1 007×2 014解析： 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2＝2a 2，a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，S 2 014＝2 014×2 0132＝1 007×2 013.故选C ．答案： C6．(xx·江苏连云港二调)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－12，则正整数k ＝________.解析： 由S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212，又S k ＋1＝k ＋1a 1＋a k ＋12＝k ＋1⎝⎛⎭⎪⎫－3＋322＝－212，解得k ＝13.答案： 137．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 解析： 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案： 1308．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．解析： ∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 6b 6＝1941. 答案：19419．各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和． (1)求a 1，a 2的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解析： (1)当n ＝1时，a 21＝4S 1－2a 1－1， 即(a 1－1)2＝0，解得a 1＝1.当n ＝2时，a 22＝4S 2－2a 2－1＝4a 1＋2a 2－1 ＝3＋2a 2，解得a 2＝3或a 2＝－1(舍去)． (2)a 2n ＝4S n －2a n －1，①a 2n ＋1＝4S n ＋1－2a n ＋1－1.②②－①得a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋1－2a n ＋1＋2a n ＝2(a n ＋1＋a n )，即(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝2(a n ＋1＋a n )． ∵数列{a n }各项均为正数， ∴a n ＋1＋a n ＞0，a n ＋1－a n ＝2，∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴a n ＝2n －1.10．(xx·湖北卷)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解析： (1)设等差数列{a n }的公差为d .∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴a 22＝a 1a 5，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，解得d ＝0或d ＝4.∴a n ＝2或a n ＝4n －2.(2)当a n ＝2时，S n ＝2n .由2n >60n ＋800及n ∈N *得n 无解； 当a n ＝4n －2时，S n ＝n a 1＋a n2＝2n 2，由2n 2>60n ＋800得n >40.∵n ∈N *，∴n 的最小值为41.B 级 能力提升1．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝r ·a n ＋r (n ∈N *，r ∈R 且r ≠0)，则“r ＝1”是“数列{a n }为等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 当r ＝1时，易知数列{a n }为等差数列；由题意易知a 2＝2r ，a 3＝2r 2＋r ，当数列{a n }是等差数列时，a 2－a 1＝a 3－a 2，即2r －1＝2r 2－r ，解得r ＝12或r ＝1，当r ＝12时，a n ＝1，故“r ＝1”是“数列{a n }为等差数列”的充分不必要条件，选A ．答案： A2．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a n a n，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围为________．解析： 依题意得b n ＝1＋1a n，对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8，即数列{b n }的最小项是第8项，于是有1a n ≥1a 8.又数列{a n }是公差为1的等差数列，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 8<0a 9>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7<0a ＋8>0，由此解得－8<a <－7，即实数a 的取值范围是(－8，－7)． 答案： (－8，－7)3．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．解析： ∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1. 故数列{a n } 为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝106a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4.∴a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎪⎨⎪⎧b n ≤0b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤02n ＋1－31≥0，解得292≤n ≤312，∵n ∈N *，∴n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小．∵数列{b n }的首项是－29，公差为2， ∴T 15＝15－29＋2×15－312＝－225，∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225. 4．设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n ∈N *)；②b n ≤M (n ∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界”数列．(1)若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ； (2)判断(1)中的数列{S n }是否为“特界”数列，并说明理由． 解析： (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 1＋2d ＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝18， 解得a 1＝8，d ＝－2， ∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝－n 2＋9n .(2){S n }是“特界”数列，理由如下： 由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝S n ＋2－S n ＋1－S n ＋1－S n2＝a n ＋2－a n ＋12＝d2＝－1＜0， 得S n ＋S n ＋22＜S n ＋1，故数列{S n }适合条件①.而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922＋814(n ∈N *)，则当n ＝4或5时，S n 有最大值20， 即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②. 综上，数列{S n }是“特界”数列．第三节 等比数列及其前n 项和1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q . (2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1.a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.1．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和． (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r .(2)若数列{a n }、{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }、⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 、{a 2n }、{a n ·b n }、⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列．(3)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k.(4)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．2．等比数列的三种判定方法 (1)定义：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式：a n ＝cqn －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．( )(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( ) (3)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (4)如果{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) 答案： (1)× (2)× (3)× (4)×2．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( ) A ．63 B ．64 C ．127D ．128解析： 由a 1＝1，a 5＝16，得q 4＝a 5a 1＝16(q >0)，q ＝2，S 7＝a 11－q 71－q＝127.答案： C3．(xx·重庆卷)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：设等比数列的公比为q，因为a 6a3＝a 9a6＝q3，即a26＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．故选D．答案： D4．在等比数列{a n}中，已知a7·a12＝5，则a8a9a10a11＝________.解析：∵a7a12＝5，∴a8a9a10a11＝(a8a11)(a9a10)＝(a7a12)2＝25.答案：255．设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝________.解析：∵8a2＋a5＝0，∴8a2＝－a5，即a5a2＝－8.∴q3＝－8，∴q＝－2.∴S5S2＝a11－q51－qa11－q21－q＝1－q51－q2＝1－－251－－22＝－11.答案：－11等比数列的基本运算自主练透型1．(xx·北京朝阳一模)在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1＝2，a2＋a3＝12，则该数列的前4项和为________．解析：设等比数列{a n}的公比为q，由a1＝2，a2＋a3＝12，则a1q＋a1q2＝12，解得q ＝2，故S4＝2×1－241－2＝30.答案：302．(xx·扬州中学期中测试)设等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，若a1＝1，a3＝4，S k＝63，则k＝________.解析：设等比数列{a n}公比为q，由已知a1＝1，a3＝4，得q2＝a3a1＝4.又{a n}的各项均为正数，∴q＝2.而S k＝1－2k1－2＝63，∴2k－1＝63，解得k＝6.答案： 63．已知等比数列{a n}为递增数列，且a25＝a10,2(a n＋a n＋2)＝5a n＋1，则数列{a n}的通项公式a n＝________.解析：设数列{a n}的首项为a1，公比为q，∵a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 21·q 8＝a 1·q 9， ①21＋q 2＝5q ， ②由①得a 1＝q ， 由②知q ＝2或q ＝12，又数列{a n }为递增数列，∴a 1＝q ＝2，从而a n ＝2n. 答案： 2n4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .解析： 设{a n }的公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝3，当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3×(2n－1)； 当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n－1.1.等比数列基本运算方法(1)使用两个公式，即通项公式和前n 项和公式． (2)使用通项公式的变形：a n ＝a m qn －m(m ，n ∈N *)．2．等比数列前n 项和公式的应用在使用等比数列前n 项和公式时，应首先判断公比q 能否为1，若能，应分q ＝1与q ≠1两种情况求解．等比数列的判定与证明分层深化型 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 解析： (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12. ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1， ∴a 1＝12，c 1＝－12.又cn ＝a n －1，故{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知c n ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n∴a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.1．已知数列{a n }的首项a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5(n ∈N *)．证明数列{a n ＋1}是等比数列．证明： 由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5(n ∈N *)可得当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4，两式相减得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1，从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，即a 2＋a 1＝2a 1＋6， 又a 1＝5，所以a 2＝11，从而a 2＋1＝2(a 1＋1)． 故a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，对n ∈N *恒成立， 又a 1＝5，a 1＋1≠0，从而a n ＋1＋1a n ＋1＝2. 所以数列{a n ＋1}是等比数列．2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝1，S 11＝33. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14a n ， 求证：{b n }是等比数列，并求其前n 项和T n . 解析： (1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝111a 1＋11×102d ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12d ＝12，∴a n ＝n2.(2)证明：∵b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴b n ＋1b n ＝12为常数． ∴{b n }是以12为首项，12为公比的等比数列，∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.3．已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n(a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)证明：对任意实数λ，数列{a n }不是等比数列； (2)证明：当λ≠－18时，数列{b n }是等比数列． 证明： (1)假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－32＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫49λ－4⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾． 所以{a n }不是等比数列． (2)b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n·(a n －3n ＋21)＝－23b n .又λ≠－18，所以b 1＝－(λ＋18)≠0. 由上式知b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)． 故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．等比数列的判断与证明的常用方法 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数，且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列；(2)中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0，且a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列； (3)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定某连续三项不成等比数列即可． 等比数列的性质互动讲练型(1)(xx·山东淄博期末)已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝2，则a 1＝( )A ．12B ．22。

2022届高考数学第一轮精讲精练5第五章数列复习教案新人教版【知识图解】通一般前n函数等差通项前n项和中项特殊通项等比前n项和中项【方法点拨】1．学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证．2．强化基本量思想，并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧．3．在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差（比）数列的比较简单的数列进行化归与转化．4．一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习．如错位相减法、迭加法、迭乘法等．5．增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解．第1课数列的概念【考点导读】1．了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；2．理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系；3．能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前n项和的问题。

【基础练习】-1-1.已知数列{an}满足a10,an1an33an1(nN某)，则a20=3。

分析:由a1=0,an1an33an1(nN)得a23,a33,a40,由此可知:数列{an}是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a20a23.2．在数列{an}中，若a11，an1an2(n1)，则该数列的通项an2n-1 a1(3n1)3．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn(nN某)，且a454，则a1____2__.24．已知数列{an}的前n项和Sn【范例导析】例1．设数列{an}的通项公式是ann28n5，则（1）70是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？（2）写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象；（3）这个数列所有项中有没有最小的项？如果有，是第几项？分析：70是否是数列的项，只要通过解方程70n28n5就可以知道；而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点；判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。

第五章数列第一讲数列的概念与简单表示法练好题﹒考点自测1.下列说法正确的是( )A.数列{}的第k项为1+B.数列的项数是无限的C.数列的通项公式的表达式是唯一的D.数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7}2.[2021十堰模拟]图5-1-1是谢尔宾斯基(Sierpinski)三角形,在所给的四个三角形图案中,阴影小三角形的个数构成数列{a n}的前4项,则{a n}的通项公式可以是( )图5-1-1A.a n=3n-1B.a n=2n-1C.a n=3nD.a n=2n-13.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-1,则a1+a3+a5+a7+a9= ( )A.40B.44C.45D.494.已知数列{a n}中,a1=3,a2=6,a n+2=a n+1-a n,则a2 021等于( )A.6B.-6C.3D.-35.[2020山东泰安4月模拟]在数列{a n}中,a1=100,a n+1=a n+3n(n∈N*),则通项公式a n= .6.[2016浙江,6分]设数列{a n}的前n项和为S n.若S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*,则a1= ,S5= .7.[2021安徽省四校联考]已知数列{a n}的首项a1=m,其前n项和为S n,且满足S n+S n+1=2n2+3n,若数列{a n}是递增数列,则实数m的取值范围是.拓展变式1.[2018全国卷Ⅰ,5分]记S n为数列{a n}的前n项和.若S n=2a n+1,则S6= .2.(1)[2020 四川德阳二诊]已知数列{a n}满足21·a1+22·a2+23·a3+…+2n·a n=(n-1)·2n+1+2(n∈N*),则数列{a n}的通项公式a n= .(2)已知数列{a n}中,a1=,a n+1=a n+()n+1,则a n= .3.[2021福建五校第二次联考][多选题]已知数列{a n}满足0<a1<1,a n+1-a n=ln(4-a n),则下列说法正确的是( )A.数列{a n}先增后减B.数列{a n}为递增数列C.a n<3D.a2 020>(2)[2020 海口4月检测]设数列{a n}满足:a1=2,a n+1=(n∈N*).则该数列前2 019项的乘积a1a2a3a4…a2 019= .答案第一讲数列的概念与简单表示法1.A 根据数列的表示方法可知,求数列的第k项就是将k代入通项公式,经验证知A正确;数列的项数可能是有限的,也可能是无限的,并且数列的通项公式的表达式不是唯一的,故BC不正确;集合中的元素具有无序性,而数列中每一个数的位置都是确定的,故D不正确.所以只有A正确.2.A 题图中的阴影小三角形的个数构成数列{a n}的前4项,分别为a1=1,a2=3,a3=3×3=32,a4=32×3=33,因此{a n}的通项公式可以是a n=3n-1.故选A.3.B 因为S n=n2-1,所以当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2-1-(n-1)2+1=2n-1,又a1=S1=0,所以a n=所以a1+a3+a5+a7+a9=0+5+9+13+17=44.故选B.4.B 依次写出数列的各项:3,6,3,-3,-6,-3,3,6,3,-3,….所以数列{a n}以6为周期循环.又2 021=6×336+5,故a2 021=a5=-6.故选B.5.·3n+,n∈N*由a n+1=a n+3n(n∈N*)得,a n+1-a n=3n(n∈N*),分别令n=1,2,3,4,…,n-1(n≥2),得到(n-1)个等式: a2-a1=3,a3-a2=32,a4-a3=33,…,a n-a n-1=3n-1.将这(n-1)个等式累加可得a n=a1+3+32+…+3n-1=100+=·3n+(n≥2).显然a1=100适合上式,故通项公式a n=·3n+,n∈N*.6.1 121 由解得由a n+1=S n+1-S n=2S n+1得S n+1=3S n+1,所以S n+1+=3(S n+),所以{S n+}是以为首项,3为公比的等比数列,所以S n+=×3n-1,即S n=,所以S5=121.7.(,) 解法一由S n+S n+1=2n2+3n可得,S n-1+S n=2(n-1)2+3(n-1)(n≥2),两式相减得,a n+a n+1=4n+1(n≥2),∴a n-1+a n=4n-3(n≥3),∴a n+1-a n-1=4(n≥3),∴数列a2,a4,a6,…是以4为公差的等差数列,数列a3,a5,a7,…是以4为公差的等差数列.将n=1代入S n+S n+1=2n2+3n可得a2=5-2m,将n=2代入a n+a n+1=4n+1(n≥2)可得a3=4+2m,∵a4=a2+4=9-2m,∴要使得任意n∈N*,a n<a n+1恒成立,只需要a1<a2<a3<a4即可.∴m<5-2m<4+2m<9-2m,解得<m<,∴实数m的取值范围是(,).解法二当n=1 时,2a1+a2=5,∵a1=m,∴a2=5-2m.当n≥2时,由S n+S n+1=2n2+3n ①,得S n-1+S n=2(n-1)2+3(n-1)②.①-②得,a n+a n+1=4n+1(n≥2)③,∴a n-1+a n=4n-3(n≥3)④.③-④得,a n+1-a n-1=4(n≥3),∴数列{a n}的偶数项成等差数列,奇数项从第三项起是等差数列,且公差都是4.易知a3=4+2m,∴a2k=a2+4(k-1)=5-2m+4k-4=4k-2m+1,a2k+1=a3+4(k-1)=4+2m+4(k-1)=4k+2m .若对任意n∈N*,a n<a n+1恒成立,则当n=1 时,由a1<a2,解得m<;当n=2k+1时,由a2k+1<a2k+2,即4k+2m<4k-2m+5,解得m<;当n=2k时,由a2k<a2k+1 ,即4k-2m+1<4k+2m ,解得m>.∴实数m的取值范围是(,).1.-63 解法一因为S n=2a n+1,所以当n=1时,a1=S1=2a1+1,解得a1=-1;当n=2时,a1+a2=S2=2a2+1,解得a2=-2;当n=3时,a1+a2+a3=S3=2a3+1,解得a3=-4;当n=4时,a1+a2+a3+a4=S4=2a4+1,解得a4=-8;当n=5时,a1+a2+a3+a4+a5=S5=2a5+1,解得a5=-16;当n=6时,a1+a2+a3+a4+a5+a6=S6=2a6+1,解得a6=-32.所以S6=-1-2-4-8-16-32=-63.解法二因为S n=2a n+1,所以当n=1时,a1=S1=2a1+1,解得a1=-1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=2a n+1-(2a n-1+1),所以a n=2a n-1,所以数列{a n}是以-1为首项,2为公比的等比数列,所以a n=-2n-1,所以S6==-63.2.(1)n(n∈N*) 在21·a1+22·a2+23·a3+…+2n·a n=(n-1)·2n+1+2(n∈N*)中,令n为n-1,得21·a1+22·a2+23·a3+…+2n-1·a n-1=(n-2)·2n+2(n≥2).两式相减得2n a n=n·2n,即a n=n(n≥2).当n=1时,a1=1,适合a n=n.故a n=n,n∈N*.(2)-解法一将a n+1=a n+()n+1两边同时乘以2n+1,得2n+1·a n+1=(2n·a n)+1.令b n=2n·a n,则b n+1=b n+1,将上式变形,得b n+1-3=(b n-3).所以数列{b n-3}是首项为b1-3=2×-3=-,公比为的等比数列.所以b n-3=-·()n-1,即b n=3-2·()n.于是a n==-.解法二将a n+1=a n+()n+1两边同时乘以3n+1,得3n+1a n+1=3n a n+()n+1.令b n=3n·a n,则b n+1=b n+()n+1,所以b n-b n-1=()n,b n-1-b n-2=()n-1,…,b2-b1=()2.将以上各式累加,得b n-b1=()2+…+()n-1+()n(n≥2).又b1=3a1=3×==1+,所以b n=1++()2+…+()n-1+()n==2·()n+1-2(n≥2),又b1=满足上式,所以b n=2·()n+1-2.故a n==-.3.(1)BCD 由a n+1-a n=ln(4-a n)得a n+1=a n+ln(4-a n).设函数f(x)=x+ln(4-x)(0<x<4),则f '(x)=1-=,当0<x<3时,f '(x)>0,当3<x<4时,f '(x)<0,故f(x)在(0,3)上单调递增,在(3,4)上单调递减,所以f(x)≤f(3)=3.则a n+1=f(a n)≤3,当且仅当a n=3时“=”成立,此时{a n}为常数列且a n=3,与0<a1<1矛盾,所以a n<3,C正确.由a n<3可知ln(4-a n)>0,所以a n+1-a n>0,所以数列{a n}为递增数列,A错误,B正确.因为0<a1<1,所以a2=a1+ln(4-a1)>ln4>1,a3=a2+ln(4-a2)>ln 4+ln(4-ln 4)>1+ln 3>2,a4=a3+ln(4-a3)>2+ln(4-2)=2+ln 2>,所以a2 020>a4>,故D正确.故选BCD.(2)3 解法一由a1=2得a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,…,显然该数列中的数从a5开始循环,周期是4.a1a2a3a4=1,a2 020=a4=.故a1a2a3a4…a2 019=(a1a2a3a4)505·=3.解法二因为a n+1=,所以a n+2===-.于是a n+4=-=a n,即{a n}是周期为4的周期数列.由a1=2得a 2=-3,a3=-,a4=,a1a2a3a4=1.故a1a2a3a4…a2 019=·==3.高中数学各知识点公式定理记忆口诀大全《集合与函数》内容子交并补集，还有幂指对函数。

■课时作业•巩固提升授课提示：对应学生用书第295页[A 组基础保分练]1. 已知数列修.｝的前〃项和为且 ai=5, a2=2, a n =2a n -i+3a n -2(n^3),则 S 6=() A. 567B. 637C. 657D. 727 答案：B2. 已知数列｛痴｝的前〃项和 &=1—5+9 —13 + •••+(—l)"「i(4〃一3),则 S15+S22—S3i = () A. 76B. 78C. -78D. -76 答案：D3. (202L 保定期末测试)在数列｛a"｝中，若ai = l, “2=3,林2=如4—妃住N*),则该数列的 前100项之和是()A. 18B. 8C. 5D. 2 答案：C4. (2021-济南模拟)已知数列｛勿｝的前〃项和为S 〃，ai = l, S…=2a n+i,则S…=()A.借「1B. 2"「iC.(扣D.拙- c q解析：由&=2勿+i 可得S…=2(S…+i -S…),可得3&=2&+i,即号=茅所以数列｛&｝是以S=<2i = 1为首项，三为公比的等比数列，即&=(D"一七 答案：A5. 数列｛a n ｝, ｛b n ｝满足 ai =bi =lt a n +i —a 〃= —=2, n £ N*,则数列｛ba”｝的刖"项和为()A.|(4,!-1-l)B. |(4n -l)C.§(4”「i-1)D. |(4"-1) 解析：因为a n+i-a…=^1=2, ai=bi=l,所以数列｛a,｝是等差数列,数列｛陈｝是等比数列, a n = 1 +2(n — l) = 2n — 1, b n =l X2n ~i = 2n ~i ,数列化。

〃｝的前〃项和为 bai+bm --------- b a n =b\第五章数列活页装订方便使用_ 1 — 4" 1+b3+b5+-+史,i=2°+22+24 ——F 2-'^-=^^=^（4,!-1）.答案：D6.（多选题）（2021.山东济宁期末）若&为数列皿｝的前"项和，且S…=2a,,+1,则下列说法正确的是（）A.<75= — 16B.S5=—63C.数列｛《,｝是等比数列D.数列俱+1｝是等比数列解析：因为&为数列｛《,｝的前"项和，且S…=2«…+l,所以«i=Si = 2ai + l,所以«i = — 1.当"N2时，a n= S…—S…-i= 2a… — 2a n-1,即cz…=2cz…-i,所以数列｛。