信号与系统第2章 习题答案
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习 题 一 第一章习题解答基本练习题1-1 解 (a) 基频 =0f GCD (15,6)=3 Hz 。
因此,公共周期3110==f T s 。
(b) )30cos 10(cos 5.0)20cos()10cos()(t t t t t f ππππ+==基频 =0f GCD (5, 15)=5 Hz 。
因此,公共周期5110==f T s 。
(c) 由于两个分量的频率1ω=10π rad/s 、1ω=20 rad/s 的比值是无理数,因此无法找出公共周期。
所以是非周期的。
(d) 两个分量是同频率的,基频 =0f 1/π Hz 。
因此,公共周期π==01f T s 。
1-2 解 (a) 波形如图1-2(a)所示。
显然是功率信号。
t d t f TP T TT ⎰-∞→=2)(21lim16163611lim 22110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰∞→t d t d t d T T T W(b) 波形如图1.2(b)所示。
显然是能量信号。
3716112=⨯+⨯=E J (c) 能量信号 1.0101)(lim101025=-===⎰⎰∞∞---∞→T t ttT e dt edt eE J(d) 功率信号,显然有 1=P W1-3 解 周期T=7 ,一个周期的能量为 5624316=⨯+⨯=E J 信号的功率为 8756===T E P W 1-5 解 (a) )(4)2()23(2t tt δδ=+; (b) )5.2(5.0)5.2(5.0)25(5.733-=-=----t e t e t et tδδδ(c) )2(23)2()3sin()2()32sin(πδπδπππδπ+-=++-=++t t t t 题解图1-2(a) 21题解图1-2(b) 21(d) )3()3()(1)2(-=----t e t t et δδε。
1-6 解 (a) 5)3()94()3()4(2-=+-=+-⎰⎰∞∞-∞∞-dt t dt t t δδ(b) 0)4()4(632=+-⎰-dt t t δ(c) 2)]2(2)4(10[)]42(2)4()[6(63632=+++-=+++-⎰⎰--dt t t dt t t t δδδδ(d)3)3(3)(3sin )(1010=⋅=⎰⎰∞-∞-dt t Sa t dt ttt δδ。
第二章 连续时间系统的时域分析1.已知连续时间信号1()e ()t f t u t -=和2()e ()t f t u t =-,求卷积积分12()()()f t f t f t =*,并画出()f t 的波形图。
解:1212()()()()()f t f t f t f t f d τττ∞-∞=*=-⎰反褶1()f τ得1()f τ-,右移t 得11[()]()f t f t ττ--=-,作出2()f τ图形及不同t 取值的1()f t τ-图形,由此可得:当0t ≤时,21()e e ee e 2ttt tt f t d d τττττ---∞-∞===⎰⎰当0t ≥时,0021()e e e e e 2t t t f t d d τττττ----∞-∞===⎰⎰综上,||111()e ()e ()e 222t t t f t u t u t --=-+=()f t 是个双边指数函数。
讨论:当1()f t 、2()f t 为普通函数(不含有()t δ、()t δ'等)时,卷积结果()f t 是一个连续函数,且()f t 非零取值区间的左边界为1()f t 、2()f t 左边界之和,右边界为1()f t 、2()f t 右边界之和,也就是说,()f t 的时宽为1()f t 、2()f t 时宽之和。
τttt2.计算题图2(a )所示函数)(1t f 和)(2t f 的卷积积分)()()(21t f t f t f *=,并画出)(t f 的图形。
解法一:图解法1212()()()()()f t f t f t f t f d τττ∞-∞=*=-⎰其中1()f t τ-的波形见题图2(b),由此可得: 当10t +≤,即1t ≤-时,()0f t = 当011t ≤+≤,即10t -≤≤时,120()2(1)t f t d t ττ+==+⎰当11t +≥但10t -≤,即01t ≤≤时,1()21f t d ττ==⎰当011t ≤-≤,即12t ≤≤时,121()21(1)t f t d t ττ-==--⎰当11t -≥,即2t ≥时,()0f t =综上,220,1,2(1),10()1,011(1),12t t t t f t t t t ≤-≥⎧⎪+-≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪--≤≤⎩ ()f t 波形见题图2(c)。
习题二2.1信号cos()t e wt σ可以表示为 st e 与 *s t e 之和,其中 s jw σ=+,*s jw σ=-, 粗略画出下列信号的波形,并在s 平面标出其频率位置。
(1)()cos(3)x t t =(2)3()cos(3)t x t e t -=(3)2()cos(3)t x t e t =(4)2()t x t e -=(5)3()t x t e =(6)()5x t =x (t )50t2.2粗略画出下列信号。
(1)()(3)(5)x t u t u t =---012345tx (t )1(2)()(3)(5)x t u t u t =-+-(3)2(){(3)(5)}x t t u t u t =--- x (t )902535t(4)()2(3)(5)(7)x t u t u t u t =-----2.3简化下列表达式(1)2sin ()()2t x t t t δ=+=0 (2)2()()9jw x jw ωδω+=+=2()9δω (3) ()()2sin 22()14t x t t t πδ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭=-+=-1(1)5t δ- (4) sin()()()kw x t w wδ==k ()w δ 2.4 求下列积分(1)()()()x t x t d δτττ+∞-∞=-⎰=()()x t d δττ+∞-∞⎰=x(t) (2) ()()()x t x t d τδττ+∞-∞=-⎰=()()()x t t d x t δττ+∞-∞-=⎰ (3) 313()(23)sin()(23)sin()()222x t t t dt t dt t dt δπδπδ+∞+∞+∞-∞-∞-∞=-=-=--⎰⎰⎰=-12(4) ()()()1jwt x t t e dt t dt δδ+∞+∞-∞-∞===⎰⎰(5) ()(2)(3)(1)(3)(1)x t x t t dt x t dt x δδ+∞+∞-∞-∞=--=--=-⎰⎰(6) ()()()()t tjw x t e d d u t τδττδττ-∞-∞===⎰⎰(7) 3()(1)cos[(3)]sin[(3)]|0t x t t w t dt w w t δ+∞=-∞'=--=-=⎰(8)()(2)cos[(2)]cos[(2)](2)t tx t t w t dt w t d t δδ-∞-∞'=--=--=⎰⎰cos[(2)](2)|(2)cos[(2)]tt w t t t d w t δδ-∞-∞-----⎰1(2)sin[(2)]1tw t w t dt δ-∞=----=⎰2.5(1)求信号2()()t x t e u t -=的偶部与奇部2()()t x t e u t -=-偶部 {}{}2211()()(){()()}22t t Ev x t x t x t e u t e u t -=+-=+- 奇部{}{}2211{()}()()()()22t t Od x t x t x t e u t e u t -=--=--(2)2401|()|4t E x t dt e dt +∞+∞-∞-∞===⎰⎰ 总能量422220111|||()()|2448t t t E Ev dt e u t e u t dt e dt -+∞+∞+∞-∞-∞-∞==+-=⨯⨯=⎰⎰⎰偶部能量 422220111|||()()|2448t t t E Od dt e u t e u t dt e dt -+∞+∞+∞-∞-∞-∞==--=⨯⨯=⎰⎰⎰奇部能量 (3)由第二问可以得出信号的总能量等于其奇部与偶部能量之和。
第二章部分习题参考答案2-6 试求下列各函数1()f t 与2()f t 之卷积。
121212(-)01(1) ()() ()() (0) ()()()(-) ()(-)11(1) 0(2) ()t tt t tt t f t u t f t e u t f t f t f f t d u eu t d e e d e e e t f t ααταατααταατττττττααδ-+∞-∞+∞---∞--==>*===⋅=⋅=-≥=⎰⎰⎰,解:,2121212() ()cos(45)()()()cos[()45] cos(45)(3) ()(1)[()(1)] ()(1)(2) ()()t f t t f t f t t d t f t t u t u t f t u t u t f t f t ωδτωττω+∞-∞=+*=-+=+=+--=---*⎰,解:,解:ττ222221211211()(-1)(-1)-2(-2)(-2)(-1)(-1)-(-2)(-2)2211-(-2)(-2)(-3)(-3)-(-2)(-2)(-3)(-3)22()*()()1,()0123, (1-)(1)21(1)--(12ttf t t u t t u t t u t t u t t u t t u t t u t t u t f t f t f t t f t t t dt t ft t t t τττ=+++=<=<<+=+-=++⎰222-112222212111)-222123, (1-)(1)-221()2(1)-2(1-)(-1)211121---152223, ()*()0.t t t t t t d t f t t t t t t t t t t t f t f t ττττ-+=<<+=+=+++=+++=++>=⎰121221--(4) cos , (1)-(-1)()*()()(-) [(1)-(-1)][cos(-)] cos[(1)]-cos[(-1)]f t t f t t t f t f t f f t d t t t d t t ωδδτττδδωττωω+∞∞+∞∞==+==+⋅=+⎰⎰ -212-212--2-220(5) ()(), ()sin ()()()*()()sin(-)(-) sin(-)sin t t ttt tf t e u t f t t u t f t f t f t e u t u t d e t d ee d τττττττττ+∞∞==⋅==⋅⋅⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰-12-(-)--0022-(-)-33-2-3(6) ()2[()-(-3)], ()4()-(-2)0, ()0.02,()2488-825, 88()8(-)5, ()0.t tt t t tt t t t t f t e u t u t f t u t u t t f t t f t e d e e e t ft ed ef t e e e t f t ττττττ-==<=<<==⋅=<<===>=⎰⎰2-8 求阶跃响应为32()(21)()t t s t e e u t --=-+的LTI (线性时不变)系统对输入()()t x t e u t =的响应。
第2章习题答案2-1 绘出下列各时间函数的波形图。
(1)1()(1)f t tu t =-(2)2()[()(1)](1)f t t u t u t u t =--+-(3)3()(1)[()(1)]f t t u t u t =---- (4)4()[(2)(3)]f t t u t u t =--- (5)5()(2)[(2)(3)]f t t u t u t =---- (6)6()()2(1)(2)f t u t u t u t =--+-解:2-5 已知()f t 波形如图题2-5所示,试画出下列信号的波形图。
t图 题2-5(3)3()(36)f t f t =+ (5)511()36ft f t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭解:t f 3(t)2-5/31-7/3tf 5(t)2-1/21-7/25/2002-6 已知()f t 波形如图题2-6所示,试画出下列信号的波形图。
图 题2-6(4)4()(2)(2)f t f t u t =-- (6)6()(1)[()(2)]f t f t u t u t =--- 解:tf 4(t)2120tf 6(t)21/23/22-7 计算下列各式。
(1)0()()f t t t δ+ (2)00()()d f t t t t t δ∞-∞+-⎰(3)24e (3)d t t t δ-+⎰(4)e sin (1)d tt t t δ∞-+⎰(5)d [e ()]d t t tδ-(6)0()()d f t t t tδ∞-∞-⎰(7)0()()d f t t t tδ∞-∞-⎰(8)00()d 2t t t u t t δ∞-∞⎛⎫--⎪⎝⎭⎰(9)00()(2)d t t u t t t δ∞-∞--⎰(10)(e )(2)d t t t t δ∞-∞++⎰(11)(sin )d 6t t t tδ∞-∞π⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎰(12)j 0e [()()]d t t t t t Ωδδ∞--∞--⎰解:(1) 原式0()()f t t δ=(2)原式)2()()(0000t f dt t t t t f =-+=⎰+∞∞-δ(3)原式2334(3)e t dt e δ---=+=⎰(4)原式10sin(1)(1)0((1))e t dt t δδ+∞-=-+=+⎰不在积分区间内(5)原式)()](['0t t e dtd δδ== (6)原式)()()0(00t f dt t t f -=-=⎰+∞∞-δ(7)原式00(0)()()f t t dt f t δ+∞-∞=-=⎰(8)原式⎩⎨⎧><==--=⎰∞+∞-0100)2()2()(000000t t t u dt t t u t t δ(9)原式⎩⎨⎧<>=-=--=⎰∞+∞-0100)()2()(000000t t t u dt t t u t t δ(10)原式22(2)(2)2e t dt e δ+∞---∞=-+=-⎰(11)原式1(sin )()66662t dt ππππδ+∞-∞=+-=+⎰ (12)原式000[()()]1j t j t e t e t t dt e δδ+∞-Ω-Ω-∞=--=-⎰2-8 画出图题2-8所示各信号的偶分量和奇分量的波形。
《信号与系统》(第3版)习题解析高等教育目录第1章习题解析 (2)第2章习题解析 (6)第3章习题解析 (16)第4章习题解析 (23)第5章习题解析 (31)第6章习题解析 (41)第7章习题解析 (49)第8章习题解析 (55)第1章习题解析1-1 题1-1图示信号中,哪些是连续信号?哪些是离散信号?哪些是周期信号?哪些是非周期信号?哪些是有始信号?(c) (d)题1-1图解 (a)、(c)、(d)为连续信号;(b)为离散信号;(d)为周期信号;其余为非周期信号;(a)、(b)、(c)为有始(因果)信号。
1-2 给定题1-2图示信号f ( t ),试画出下列信号的波形。
[提示:f ( 2t )表示将f ( t )波形压缩,f (2t)表示将f ( t )波形展宽。
](a) 2 f ( t - 2 ) (b) f ( 2t )(c) f ( 2t)(d) f ( -t +1 )题1-2图解 以上各函数的波形如图p1-2所示。
图p1-21-3 如图1-3图示,R 、L 、C 元件可以看成以电流为输入,电压为响应的简单线性系统S R 、S L 、S C ,试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。
题1-3图解 各系统响应与输入的关系可分别表示为)()(t i R t u R R ⋅= tt i Lt u L L d )(d )(= ⎰∞-=tC C i Ct u ττd )(1)(1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a 的放大器三个子系统组成,系统属于何种联接形式?试写出该系统的微分方程。
S RS LS C题1-4图解 系统为反馈联接形式。
设加法器的输出为x ( t ),由于)()()()(t y a t f t x -+=且)()(,d )()(t y t x t t x t y '==⎰故有)()()(t ay t f t y -='即)()()(t f t ay t y =+'1-5 已知某系统的输入f ( t )与输出y ( t )的关系为y ( t ) = | f ( t )|,试判定该系统是否为线性时不变系统?解 设T 为系统的运算子,则可以表示为)()]([)(t f t f T t y ==不失一般性,设f ( t ) = f 1( t ) + f 2( t ),则)()()]([111t y t f t f T == )()()]([222t y t f t f T ==故有)()()()]([21t y t f t f t f T =+=显然)()()()(2121t f t f t f t f +≠+即不满足可加性,故为非线性时不变系统。
信号与系统第三版课后习题答案信号与系统第三版课后习题答案信号与系统是电子信息类专业中一门重要的基础课程,它是研究信号的产生、传输、处理和识别的学科。
在学习这门课程时,课后习题是非常重要的,它可以帮助我们巩固所学的知识,并且提高解决问题的能力。
下面是信号与系统第三版课后习题的答案。
第一章:信号与系统的基本概念1. 信号是指随时间、空间或其他独立变量的变化而变化的物理量。
系统是指能够对输入信号进行处理并产生输出信号的物理设备或数学模型。
2. 连续时间信号是在连续时间范围内定义的信号,可以用连续函数表示。
离散时间信号是在离散时间范围内定义的信号,可以用数列表示。
3. 周期信号是指在一定时间间隔内重复出现的信号,具有周期性。
非周期信号是指不具有周期性的信号。
4. 奇对称信号是指关于原点对称的信号,即f(t)=-f(-t)。
偶对称信号是指关于原点对称的信号,即f(t)=f(-t)。
5. 系统的线性性质是指系统满足叠加原理,即对于输入信号的线性组合,输出信号也是这些输入信号的线性组合。
6. 系统的时不变性质是指系统对于不同时间的输入信号,输出信号的特性是不变的。
7. 系统的因果性质是指系统的输出只依赖于当前和过去的输入信号,而不依赖于未来的输入信号。
第二章:连续时间信号与系统的时域分析1. 奇偶分解是将一个信号分解为奇对称和偶对称两个部分的过程。
奇偶分解的目的是简化信号的处理和分析。
2. 卷积是信号处理中常用的一种操作,它描述了两个信号之间的相互作用。
卷积的定义为:y(t) = ∫[x(τ)h(t-τ)]dτ。
3. 系统的冲激响应是指系统对于单位冲激信号的输出响应。
冲激响应可以用来描述系统的特性和性能。
4. 系统的单位阶跃响应是指系统对于单位阶跃信号的输出响应。
单位阶跃响应可以用来描述系统的稳定性和响应速度。
5. 系统的单位斜坡响应是指系统对于单位斜坡信号的输出响应。
单位斜坡响应可以用来描述系统的积分特性。
第二章 连续时间系统的时域分析经典法:双零法卷积积分法:求零状态响应求解系统响应→定初始条件满足换路定则起始点有跳变:求跳变量零输入响应:用经典法求解零状态响应:卷积积分法求解()()()()⎩⎨⎧==-+-+0000L L c c i i u u例题•例题1:连续时间系统求解(经典法,双零法) •例题2:求冲激响应(n >m ) •例题3:求冲激响应(n <m ) •例题4:求系统的零状态响应 •例题5:卷积 •例题6:系统互联例2-1分析在求解系统的完全响应时,要用到有关的三个量是: :起始状态,它决定零输入响应;()()()()()()()()()强迫响应。
状态响应,自由响应,并指出零输入响应,零,求系统的全响应,已知 系统的微分方程为描述某t u t e r r t e t t e t r t t r t t r =='=+=++--,00,206d d 22d d 3d d LTI 22()-0)(k r ⎩⎨⎧状态变量描述法输出描述法—输入建立系统的数学模型:跳变量,它决定零状态响应; :初始条件,它决定完全响应;这三个量之间的关系是 分别利用 求零状态响应和完全响应,需先确定微分方程的特解。
解:方法一:利用 先来求完全响应,再求零输入响应,零状态响应等于完全响应减去零输入响应。
方法二:用方法一求零输入响应后,利用跳变量 来求零状态响应,零状态响应加上零输入响应等于完全响应。
本题也可以用卷积积分求系统的零状态响应。
方法一1. 完全响应 该完全响应是方程 (1)方程(1)的特征方程为 特征根为 方程(1)的齐次解为因为方程(1)在t >0时,可写为 (2)显然,方程(1)的特解可设为常数D ,把D 代入方程(2)求得 所以方程(1)的解为下面由冲激函数匹配法定初始条件 由冲激函数匹配法定初始条件 据方程(1)可设代入方程(1),得匹配方程两端的 ,及其各阶导数项,得 所以,所以系统的完全响应为()+0)(k zsr ()+0)(k r ()()()+-+=-000)()()(k zs k k r r r ()()++00)()(k k zs r r ,()()代入原方程有将t u t e =()()()()()t u t t r t t r t t r 622d d 3d d 22+=++δ()()++'0,0r r ()()++''0,0zs zs r r ()()()()()t u t t r t t r t t r 622d d 3d d 22+=++δ()()的解且满足00,20='=--r r 0232=++αα2121-=-=αα,()t t e A e A t r 221--+=()()()()t u t r t t r tt r 62d d 3d d 22=++3=D ()3221++=--tt e A e A t r ()()()t u b t a t t r ∆+=δ22d d ()()t u a t t r ∆=d d ()无跳变t r ()()()()()()t u t t r t u a t u b t a 6223+=+∆+∆+δδ2=a ()t δ()()22000=+=+'='-+a r r ()()200==-+r r ()()代入把20,20=='++r r ()3221++=--t t e A e A t r 1,021-==A A 得()0 32≥+-=-t e t r t ()t r zi 再求零输入响应2.求零输入响应 (3)(3)式的特征根为 方程(3)的齐次解即系统的零输入响应为所以,系统的零输入响应为 下面求零状态响应零状态响应=完全响应—零输入响应,即 因为特解为3,所以强迫响应是3,自由响应是方法二(5)以上分析可用下面的数学过程描述 代入(5)式 根据在t =0时刻,微分方程两端的 及其各阶导数应该平衡相等,得 于是t >0时,方程为 齐次解为 ,特解为3,于是有所以,系统的零状态响应为方法一求出系统的零输入响应为()是方程响应因为激励为零,零输入t r zi ()()()02d 3d d 22=++t r dt t r t t r ()()()()()()的解.,且满足 0000 2000='='='===--+--+r r r r r r zi zi zi zi 2121-=-=αα,()t t zi e B e B t r 221--+=()()式解得,代入,由)4(0020='=++zi zi r r 2,421-==B B ()0 242≥-=--t e e t r t t zi ()0 342≥++-=--t e e t r t t zs t t e e 24--+-()是方程零状态响应t r zs ()()()()()t u t t r t t r t t r 622d d 3d d 22+=++δ()()的解且满足000='=--zs zs r r ()项由于上式等号右边有t δ()应含有冲激函数,,故t r zs "()将发生跳变,即从而t r zs '()()-+'≠'00zs zs r r ()处是连续的.在而0=t t r zs ()()()()()t u a t r t t u b t a t r tzs zs∆=+∆+=+d d ,d d 22δ()()()()()()t u t t r t u a t u b t a 6223+=+∆+∆+δδ()t δ2=a ()()()()002000===+'='-+-+zs zs zs zs r r a r r ()()()()t u t r t t r t t r 62d d 3d d 22=++ 221t t e D e D --+()3221++=--t t zi e D e D t r ()()得由初始条件0,200=='++zs zs r r 1,421=-=D D ()0) ( 342≥++-=--t e e t r t t zs ()0 242≥-=--t e e t r t t zi完全响应=零状态响应+零输入响应,即例2-2冲激响应是系统对单位冲激信号激励时的零状态响应。
第2章 线性时不变连续系统的时域分析2.1如题图2-1所示机械位移系统,质量为m 的刚体一端由弹簧牵引,弹簧的另一端固定在壁上,弹簧的刚度系数为k 。
刚体与地面间的摩擦系数为f ,外加牵引力为)(t F S ,求外加牵引力)(t F S 与刚体运动速度)(t v 间的关系。
题图2-1解:由机械系统元件特性,拉力k F 与位移x 成正比,即k F kx =又()()tx t v d ττ-∞=⎰所以,()()()tk F t kx t kv d ττ-∞==⎰刚体在光滑表面滑动,摩擦力与速度成正比,即()()f F t fv t = 根据牛顿第二定律以及整个系统力平衡的达朗贝尔原理,可得()()()()ts dF t fv t k v d mv t dtττ-∞--=⎰ 整理得22()()()()s d d dm v t fv t kv t F t dt dt dt--= 2.2题图2-2所示电路,输入激励是电流源)(t i s ,试列出电流)(t i L 及1R 上电压)(1t u 为输出响应变量的方程式。
题图2-2解:由电路的基尔霍夫电流定律可得:()()()C L S i t i t i t += (1) 根据电容特性,()()C C di t Cu t dt= (2) 由电路的基尔霍夫电压定律可得:12()()()()C C L L du t R i t L i t R i t dt+=+ (3) 将21()()()()C L L C du t Li t R i t R i t dt=+-代入(2)得 2212()()()()C L L C d d di t LC i t R C i t R C i t dt dt dt=+-(4)()()()C S L i t i t i t =-代入(4)得,22112()()()()()()S L L L S L d d d di t i t LC i t R C i t R C i t R C i t dt dt dt dt-=+-+整理得,21212()11()()()()()L L L S S R R R d d d i t i t i t i t i t dt L dt LC L dt LC+++=+ (5) 将111()()(()())C S L u t i t R i t i t R ==-,即11()()()L S u t i t i t R =-代入(5)得 21121112111()()()()11(())(())(())()()S S S S S u t R R u t u t R d d d i t i t i t i t i t dt R L dt R LC R L dt LC+-+-+-=+整理得,221211211122()()()()()()S S R R u t R R d d d u t u t R i t i t dt L LC dt L dt+++=-- 2.3某连续系统的输入输出方程为)(')(4)('3)("2t x t y t y t y =++已知)()(t u t x =,1)0(=-y ,1)0('=-y ,试计算)0(+y 和)0('+y 值。
解:将输入代入系统方程可得()t t y t y t y δ=++)(4)('3)("2 采用冲激函数匹配法求)0(+y 和)0('+y 方程右端的冲激函数项最高阶数为()t δ,设()()()t u b t a t y ∆+=''δ,则有:()()()()t u at t y t u a t y ∆=∆=',,将其代入原系方程,得()()()()()t t u at t u a t u b t a δδ=∆+∆+∆+4322所以21=a ()()()()100231210210===+='+='∴-+-+y y y y2.4 已知描述某线性时不变连续系统的微分方程如下,)(3)()(4)(4)(22t x t x dt dt y t y dt d t y dtd +=++, 1)0(=-y ,2)0(=-y ,)()(t ue t x t -=,试求其完全响应。
解:(1)求齐次解()t y h特征方程为:0442=++αα 特征根为:221==αα 所以,()()t h e t C C t y 221-+= (2)求特解()t y p()()()tp t p et y A t Ae t y --=∴=>=220:特解为:代入原方程得:设特解为(3)全响应()()()()t tp h e e t C C t y t y t y --++=+=2221将()()t f t e u t -=代入系统方程得()t t u e t y t y dtdt y dt d t δ+=++-)(2)(4)(4)(22 (1) ()()()()()()()()()()()(),10030,1001,)1(,:==∴='+'='∴=∆=∆='∆+=''-++-+y y y y y a t u at t y t u a t y t u b t a t y 得将其代入式则设δ将初始条件代入()()()()t tp h e e t C C t y t y t y --++=+=2221得:3,121=-=C C所以全响应为:()()()()0,2312>++-=+=--t e et t y t y t y t tp h2.5 已知描述某线性时不变连续系统的微分方程为)(3)()(2)(3)(22t x t x dt dt y t y dt d t y dtd +=++, 当激励为)()(t ue t x t-=时,系统的完全响应为t te e t t y 22)32()(---+=,0≥t 。
试求其零输入响应、零状态响应、自由响应和强迫响应。
解:由全响应得初始条件1)0(=-y ,3)0(='-y(1)求零输入响应)(t y zi特征方程为0232=++λλ, 特征根为1-=λ,2-=λ所以tzi t zi zi e C e C t y 221)(--+=t zi t zi zi e C eC t y 2212)(----=' 代入初始条件1)0(=-y ,3)0(='-y ,解得51=zi C ,42-=zi C 所以,0,45)(2≥-=--t e e t y tt zi (2)求零状态响应)(t y zs0,2)22()45(]2)32[()()()(222≥+-=---+=-=------t e e t e e e e t t y t y t y t t t t t t zi zs(3)2.6 已知某线性时不变系统的方程式为0)(2)(3)(≥=+t t x t y t y dtd试求系统的冲激响应h(t)。
解:方程右端的冲激函数项最高阶数为()t δ,设()()()t u b t a t h ∆+='δ,则有:()()t u a t h ∆=,将其代入原系方程,得6,2-==b a()()()()()02220,0220033>=∴==≥==+=∴-+--+t e t h A h t Ae t h h h tt h 得,代入将:而方程的齐次解为2.7若描述系统的微分方程为)(2)(21)(2)(3)("''t x t x t y t y t y +=++ 试求系统的阶跃响应。
解:由题可知:()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()t u e e t h A A A A h A A h e A e A t h a a a a t h a h h b h h b a t u a t h t u b t a t h t u c t b t a t h t t t h t h t h t t t t ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+===='+=-=-==++⎪⎩⎪⎨⎧=+'==+'='==∆=∆+='∆++'=''+'=+'+''--++---+-+2323-1210--22101,20232100210021)1(,,1221232212121221212所以:,所以齐次解:特征根为:,的齐次方程为:又知所以:得:将其代入方程所以:由冲激匹配法设:δδδδδ阶跃响应:()()()=⎪⎭⎫⎝⎛+-==⎰⎰∞---∞-ττττττd u e e d h t g t t232 2.8已知某线性时不变(LTI)系统如题图 2.8所示。
已知图中)1()(1-=t t h δ,)3()()(2--=t u t u t h ,)1()()(--=t u t u t x ,试求该系统的冲激响应)(t h 。
题图2.8 解:利用系统串联与系统并联的冲激响应求解()()()()[]()()()()[]()()[]()()[]()()[]()()[]322111*********---+---+--=--*-*-+-+=+*++=t u t u t u t u t u t u t u t u t t t t h t h t h t h t h δδδ2.9 设系统的微分方程表示为)()(6)('5)("t u e t y t y t y t -=++,求使完全响应为)(t u Ce t-时的系统起始状态_)0(y 和_)0('y ,并确定常数C 。
解:引入微分算子,则原微分方程可变换为:()()()()()()()()()()()()()t u e e e t p p p t p p p t y t p t y p pt t t zs ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+=+++=+=++---32221213212112132111165δδδ则零状态响应为:又由原微分方程知特征根为:3,221-=-=αα 所以:()03221>+=--t e A eA t y ttzi()()()()()()()()()()()213200210021,1,2121212121213232211-=--='='=+==-===⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=+==+-+-------A A y y A A y y A A C t u e e e t u e A e A t y t y t u e C t y zi zi t t t t t zs zi t 所以起始状态:所以:全响应为:2.10 已知某连续系统的微分方程为)(6)('2)(6)('5)("t x t x t y t y t y +=++若系统的初始条件1)0(=-y 和0)0('=-y ,输入信号)()1()(t u e t x t-+=,求系统的零输入响应)(t y zi ,零状态响应)(t y zs 和完全响应)(t y 。