信号与系统第2章 习题答案
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习 题 一 第一章习题解答基本练习题1-1 解 (a) 基频 =0f GCD (15,6)=3 Hz 。
因此,公共周期3110==f T s 。
(b) )30cos 10(cos 5.0)20cos()10cos()(t t t t t f ππππ+==基频 =0f GCD (5, 15)=5 Hz 。
因此,公共周期5110==f T s 。
(c) 由于两个分量的频率1ω=10π rad/s 、1ω=20 rad/s 的比值是无理数,因此无法找出公共周期。
所以是非周期的。
(d) 两个分量是同频率的,基频 =0f 1/π Hz 。
因此,公共周期π==01f T s 。
1-2 解 (a) 波形如图1-2(a)所示。
显然是功率信号。
t d t f TP T TT ⎰-∞→=2)(21lim16163611lim 22110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰∞→t d t d t d T T T W(b) 波形如图1.2(b)所示。
显然是能量信号。
3716112=⨯+⨯=E J (c) 能量信号 1.0101)(lim101025=-===⎰⎰∞∞---∞→T t ttT e dt edt eE J(d) 功率信号,显然有 1=P W1-3 解 周期T=7 ,一个周期的能量为 5624316=⨯+⨯=E J 信号的功率为 8756===T E P W 1-5 解 (a) )(4)2()23(2t tt δδ=+; (b) )5.2(5.0)5.2(5.0)25(5.733-=-=----t e t e t et tδδδ(c) )2(23)2()3sin()2()32sin(πδπδπππδπ+-=++-=++t t t t 题解图1-2(a) 21题解图1-2(b) 21(d) )3()3()(1)2(-=----t e t t et δδε。
1-6 解 (a) 5)3()94()3()4(2-=+-=+-⎰⎰∞∞-∞∞-dt t dt t t δδ(b) 0)4()4(632=+-⎰-dt t t δ(c) 2)]2(2)4(10[)]42(2)4()[6(63632=+++-=+++-⎰⎰--dt t t dt t t t δδδδ(d)3)3(3)(3sin )(1010=⋅=⎰⎰∞-∞-dt t Sa t dt ttt δδ。
第二章 连续时间系统的时域分析1.已知连续时间信号1()e ()t f t u t -=和2()e ()t f t u t =-,求卷积积分12()()()f t f t f t =*,并画出()f t 的波形图。
解:1212()()()()()f t f t f t f t f d τττ∞-∞=*=-⎰反褶1()f τ得1()f τ-,右移t 得11[()]()f t f t ττ--=-,作出2()f τ图形及不同t 取值的1()f t τ-图形,由此可得:当0t ≤时,21()e e ee e 2ttt tt f t d d τττττ---∞-∞===⎰⎰当0t ≥时,0021()e e e e e 2t t t f t d d τττττ----∞-∞===⎰⎰综上,||111()e ()e ()e 222t t t f t u t u t --=-+=()f t 是个双边指数函数。
讨论:当1()f t 、2()f t 为普通函数(不含有()t δ、()t δ'等)时,卷积结果()f t 是一个连续函数,且()f t 非零取值区间的左边界为1()f t 、2()f t 左边界之和,右边界为1()f t 、2()f t 右边界之和,也就是说,()f t 的时宽为1()f t 、2()f t 时宽之和。
τttt2.计算题图2(a )所示函数)(1t f 和)(2t f 的卷积积分)()()(21t f t f t f *=,并画出)(t f 的图形。
解法一:图解法1212()()()()()f t f t f t f t f d τττ∞-∞=*=-⎰其中1()f t τ-的波形见题图2(b),由此可得: 当10t +≤,即1t ≤-时,()0f t = 当011t ≤+≤,即10t -≤≤时,120()2(1)t f t d t ττ+==+⎰当11t +≥但10t -≤,即01t ≤≤时,1()21f t d ττ==⎰当011t ≤-≤,即12t ≤≤时,121()21(1)t f t d t ττ-==--⎰当11t -≥,即2t ≥时,()0f t =综上,220,1,2(1),10()1,011(1),12t t t t f t t t t ≤-≥⎧⎪+-≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪--≤≤⎩ ()f t 波形见题图2(c)。
习题二2.1信号cos()t e wt σ可以表示为 st e 与 *s t e 之和,其中 s jw σ=+,*s jw σ=-, 粗略画出下列信号的波形,并在s 平面标出其频率位置。
(1)()cos(3)x t t =(2)3()cos(3)t x t e t -=(3)2()cos(3)t x t e t =(4)2()t x t e -=(5)3()t x t e =(6)()5x t =x (t )50t2.2粗略画出下列信号。
(1)()(3)(5)x t u t u t =---012345tx (t )1(2)()(3)(5)x t u t u t =-+-(3)2(){(3)(5)}x t t u t u t =--- x (t )902535t(4)()2(3)(5)(7)x t u t u t u t =-----2.3简化下列表达式(1)2sin ()()2t x t t t δ=+=0 (2)2()()9jw x jw ωδω+=+=2()9δω (3) ()()2sin 22()14t x t t t πδ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭=-+=-1(1)5t δ- (4) sin()()()kw x t w wδ==k ()w δ 2.4 求下列积分(1)()()()x t x t d δτττ+∞-∞=-⎰=()()x t d δττ+∞-∞⎰=x(t) (2) ()()()x t x t d τδττ+∞-∞=-⎰=()()()x t t d x t δττ+∞-∞-=⎰ (3) 313()(23)sin()(23)sin()()222x t t t dt t dt t dt δπδπδ+∞+∞+∞-∞-∞-∞=-=-=--⎰⎰⎰=-12(4) ()()()1jwt x t t e dt t dt δδ+∞+∞-∞-∞===⎰⎰(5) ()(2)(3)(1)(3)(1)x t x t t dt x t dt x δδ+∞+∞-∞-∞=--=--=-⎰⎰(6) ()()()()t tjw x t e d d u t τδττδττ-∞-∞===⎰⎰(7) 3()(1)cos[(3)]sin[(3)]|0t x t t w t dt w w t δ+∞=-∞'=--=-=⎰(8)()(2)cos[(2)]cos[(2)](2)t tx t t w t dt w t d t δδ-∞-∞'=--=--=⎰⎰cos[(2)](2)|(2)cos[(2)]tt w t t t d w t δδ-∞-∞-----⎰1(2)sin[(2)]1tw t w t dt δ-∞=----=⎰2.5(1)求信号2()()t x t e u t -=的偶部与奇部2()()t x t e u t -=-偶部 {}{}2211()()(){()()}22t t Ev x t x t x t e u t e u t -=+-=+- 奇部{}{}2211{()}()()()()22t t Od x t x t x t e u t e u t -=--=--(2)2401|()|4t E x t dt e dt +∞+∞-∞-∞===⎰⎰ 总能量422220111|||()()|2448t t t E Ev dt e u t e u t dt e dt -+∞+∞+∞-∞-∞-∞==+-=⨯⨯=⎰⎰⎰偶部能量 422220111|||()()|2448t t t E Od dt e u t e u t dt e dt -+∞+∞+∞-∞-∞-∞==--=⨯⨯=⎰⎰⎰奇部能量 (3)由第二问可以得出信号的总能量等于其奇部与偶部能量之和。
第二章部分习题参考答案2-6 试求下列各函数1()f t 与2()f t 之卷积。
121212(-)01(1) ()() ()() (0) ()()()(-) ()(-)11(1) 0(2) ()t tt t tt t f t u t f t e u t f t f t f f t d u eu t d e e d e e e t f t ααταατααταατττττττααδ-+∞-∞+∞---∞--==>*===⋅=⋅=-≥=⎰⎰⎰,解:,2121212() ()cos(45)()()()cos[()45] cos(45)(3) ()(1)[()(1)] ()(1)(2) ()()t f t t f t f t t d t f t t u t u t f t u t u t f t f t ωδτωττω+∞-∞=+*=-+=+=+--=---*⎰,解:,解:ττ222221211211()(-1)(-1)-2(-2)(-2)(-1)(-1)-(-2)(-2)2211-(-2)(-2)(-3)(-3)-(-2)(-2)(-3)(-3)22()*()()1,()0123, (1-)(1)21(1)--(12ttf t t u t t u t t u t t u t t u t t u t t u t t u t f t f t f t t f t t t dt t ft t t t τττ=+++=<=<<+=+-=++⎰222-112222212111)-222123, (1-)(1)-221()2(1)-2(1-)(-1)211121---152223, ()*()0.t t t t t t d t f t t t t t t t t t t t f t f t ττττ-+=<<+=+=+++=+++=++>=⎰121221--(4) cos , (1)-(-1)()*()()(-) [(1)-(-1)][cos(-)] cos[(1)]-cos[(-1)]f t t f t t t f t f t f f t d t t t d t t ωδδτττδδωττωω+∞∞+∞∞==+==+⋅=+⎰⎰ -212-212--2-220(5) ()(), ()sin ()()()*()()sin(-)(-) sin(-)sin t t ttt tf t e u t f t t u t f t f t f t e u t u t d e t d ee d τττττττττ+∞∞==⋅==⋅⋅⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰-12-(-)--0022-(-)-33-2-3(6) ()2[()-(-3)], ()4()-(-2)0, ()0.02,()2488-825, 88()8(-)5, ()0.t tt t t tt t t t t f t e u t u t f t u t u t t f t t f t e d e e e t ft ed ef t e e e t f t ττττττ-==<=<<==⋅=<<===>=⎰⎰2-8 求阶跃响应为32()(21)()t t s t e e u t --=-+的LTI (线性时不变)系统对输入()()t x t e u t =的响应。
第2章 线性时不变连续系统的时域分析2.1如题图2-1所示机械位移系统,质量为m 的刚体一端由弹簧牵引,弹簧的另一端固定在壁上,弹簧的刚度系数为k 。
刚体与地面间的摩擦系数为f ,外加牵引力为)(t F S ,求外加牵引力)(t F S 与刚体运动速度)(t v 间的关系。
题图2-1解:由机械系统元件特性,拉力k F 与位移x 成正比,即k F kx =又()()tx t v d ττ-∞=⎰所以,()()()tk F t kx t kv d ττ-∞==⎰刚体在光滑表面滑动,摩擦力与速度成正比,即()()f F t fv t = 根据牛顿第二定律以及整个系统力平衡的达朗贝尔原理,可得()()()()ts dF t fv t k v d mv t dtττ-∞--=⎰ 整理得22()()()()s d d dm v t fv t kv t F t dt dt dt--= 2.2题图2-2所示电路,输入激励是电流源)(t i s ,试列出电流)(t i L 及1R 上电压)(1t u 为输出响应变量的方程式。
题图2-2解:由电路的基尔霍夫电流定律可得:()()()C L S i t i t i t += (1) 根据电容特性,()()C C di t Cu t dt= (2) 由电路的基尔霍夫电压定律可得:12()()()()C C L L du t R i t L i t R i t dt+=+ (3) 将21()()()()C L L C du t Li t R i t R i t dt=+-代入(2)得 2212()()()()C L L C d d di t LC i t R C i t R C i t dt dt dt=+-(4)()()()C S L i t i t i t =-代入(4)得,22112()()()()()()S L L L S L d d d di t i t LC i t R C i t R C i t R C i t dt dt dt dt-=+-+整理得,21212()11()()()()()L L L S S R R R d d d i t i t i t i t i t dt L dt LC L dt LC+++=+ (5) 将111()()(()())C S L u t i t R i t i t R ==-,即11()()()L S u t i t i t R =-代入(5)得 21121112111()()()()11(())(())(())()()S S S S S u t R R u t u t R d d d i t i t i t i t i t dt R L dt R LC R L dt LC+-+-+-=+整理得,221211211122()()()()()()S S R R u t R R d d d u t u t R i t i t dt L LC dt L dt+++=-- 2.3某连续系统的输入输出方程为)(')(4)('3)("2t x t y t y t y =++已知)()(t u t x =,1)0(=-y ,1)0('=-y ,试计算)0(+y 和)0('+y 值。
解:将输入代入系统方程可得()t t y t y t y δ=++)(4)('3)("2 采用冲激函数匹配法求)0(+y 和)0('+y 方程右端的冲激函数项最高阶数为()t δ,设()()()t u b t a t y ∆+=''δ,则有:()()()()t u at t y t u a t y ∆=∆=',,将其代入原系方程,得()()()()()t t u at t u a t u b t a δδ=∆+∆+∆+4322所以21=a ()()()()100231210210===+='+='∴-+-+y y y y2.4 已知描述某线性时不变连续系统的微分方程如下,)(3)()(4)(4)(22t x t x dt dt y t y dt d t y dtd +=++, 1)0(=-y ,2)0(=-y ,)()(t ue t x t -=,试求其完全响应。
解:(1)求齐次解()t y h特征方程为:0442=++αα 特征根为:221==αα 所以,()()t h e t C C t y 221-+= (2)求特解()t y p()()()tp t p et y A t Ae t y --=∴=>=220:特解为:代入原方程得:设特解为(3)全响应()()()()t tp h e e t C C t y t y t y --++=+=2221将()()t f t e u t -=代入系统方程得()t t u e t y t y dtdt y dt d t δ+=++-)(2)(4)(4)(22 (1) ()()()()()()()()()()()(),10030,1001,)1(,:==∴='+'='∴=∆=∆='∆+=''-++-+y y y y y a t u at t y t u a t y t u b t a t y 得将其代入式则设δ将初始条件代入()()()()t tp h e e t C C t y t y t y --++=+=2221得:3,121=-=C C所以全响应为:()()()()0,2312>++-=+=--t e et t y t y t y t tp h2.5 已知描述某线性时不变连续系统的微分方程为)(3)()(2)(3)(22t x t x dt dt y t y dt d t y dtd +=++, 当激励为)()(t ue t x t-=时,系统的完全响应为t te e t t y 22)32()(---+=,0≥t 。
试求其零输入响应、零状态响应、自由响应和强迫响应。
解:由全响应得初始条件1)0(=-y ,3)0(='-y(1)求零输入响应)(t y zi特征方程为0232=++λλ, 特征根为1-=λ,2-=λ所以tzi t zi zi e C e C t y 221)(--+=t zi t zi zi e C eC t y 2212)(----=' 代入初始条件1)0(=-y ,3)0(='-y ,解得51=zi C ,42-=zi C 所以,0,45)(2≥-=--t e e t y tt zi (2)求零状态响应)(t y zs0,2)22()45(]2)32[()()()(222≥+-=---+=-=------t e e t e e e e t t y t y t y t t t t t t zi zs(3)2.6 已知某线性时不变系统的方程式为0)(2)(3)(≥=+t t x t y t y dtd试求系统的冲激响应h(t)。
解:方程右端的冲激函数项最高阶数为()t δ,设()()()t u b t a t h ∆+='δ,则有:()()t u a t h ∆=,将其代入原系方程,得6,2-==b a()()()()()02220,0220033>=∴==≥==+=∴-+--+t e t h A h t Ae t h h h tt h 得,代入将:而方程的齐次解为2.7若描述系统的微分方程为)(2)(21)(2)(3)("''t x t x t y t y t y +=++ 试求系统的阶跃响应。
解:由题可知:()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()t u e e t h A A A A h A A h e A e A t h a a a a t h a h h b h h b a t u a t h t u b t a t h t u c t b t a t h t t t h t h t h t t t t ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+===='+=-=-==++⎪⎩⎪⎨⎧=+'==+'='==∆=∆+='∆++'=''+'=+'+''--++---+-+2323-1210--22101,20232100210021)1(,,1221232212121221212所以:,所以齐次解:特征根为:,的齐次方程为:又知所以:得:将其代入方程所以:由冲激匹配法设:δδδδδ阶跃响应:()()()=⎪⎭⎫⎝⎛+-==⎰⎰∞---∞-ττττττd u e e d h t g t t232 2.8已知某线性时不变(LTI)系统如题图 2.8所示。
已知图中)1()(1-=t t h δ,)3()()(2--=t u t u t h ,)1()()(--=t u t u t x ,试求该系统的冲激响应)(t h 。
题图2.8 解:利用系统串联与系统并联的冲激响应求解()()()()[]()()()()[]()()[]()()[]()()[]()()[]322111*********---+---+--=--*-*-+-+=+*++=t u t u t u t u t u t u t u t u t t t t h t h t h t h t h δδδ2.9 设系统的微分方程表示为)()(6)('5)("t u e t y t y t y t -=++,求使完全响应为)(t u Ce t-时的系统起始状态_)0(y 和_)0('y ,并确定常数C 。
解:引入微分算子,则原微分方程可变换为:()()()()()()()()()()()()()t u e e e t p p p t p p p t y t p t y p pt t t zs ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+=+++=+=++---32221213212112132111165δδδ则零状态响应为:又由原微分方程知特征根为:3,221-=-=αα 所以:()03221>+=--t e A eA t y ttzi()()()()()()()()()()()213200210021,1,2121212121213232211-=--='='=+==-===⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=+==+-+-------A A y y A A y y A A C t u e e e t u e A e A t y t y t u e C t y zi zi t t t t t zs zi t 所以起始状态:所以:全响应为:2.10 已知某连续系统的微分方程为)(6)('2)(6)('5)("t x t x t y t y t y +=++若系统的初始条件1)0(=-y 和0)0('=-y ,输入信号)()1()(t u e t x t-+=,求系统的零输入响应)(t y zi ,零状态响应)(t y zs 和完全响应)(t y 。