第二章
2.1 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入相应（1）y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t), y(0-)=1, y’(0-)=-1
解：微分方程对应的特征方程为λ2+5λ+6=0
其特征根为λ1=-2，λ2=-3,系统的零输入响应可写为
y zi (t)=C1e-2t+C2e-3t
又(0-)=y(0-)=1, ()=()=-1,则有
1=+
-1=-2-3
由以上两式联立，解得=2=-1
即系统的零输入响应为(t)=2-,t
(2)
微分方程的特征方程为
其特征根系统的零输入响应可写为
又()=()=-2,则有
)=
以上两式联立，解得
因此系统的零输入响应为，(3)
微分方程对应的特征方程为
其特征根为=-1，系统的零输入响应可写为
又)=()=则有)=，()=-=1
以上两式联立，解得
因此系统的零输入响应为
,
(4)
微分方程对应的特征方程为
其特征根为系统的零输入响应可写为
又)=()=则有
)=()==0
因此系统的零输入响应为
(5)
微分方程对应的特征方程为
其特征根为, 系统的零输入响应可写为
+
又)=()=
则有
)=
() =
以上三式联立，解得
，
因此系统的零输入响应为
,t
2.2已知描述系统的微分方程和初始态度如下，试求其
(1)
输入则方程右端不含冲激函数项，则f(t)及其导数在t=0处均不发生跃变，即
(2)
将代入微分方程，有
○1
由于方程右端含有项，则，设
(t)+ ○2其中不含及其导数项。
对○2式两边从-到t积分，得
(t)+b+○3其中(t)，而(t)=(故不含及其导数项。
同理，对○3式两边从-到t积分，得
○4其中及其导数项。
将○2○3○4式代入○1式，整理得
a(t)+(8a+6b+c)+
比较上式两端及其各阶导数前的系数，有
a=1
6a+b=0
8a+6b+c=0
以上三式联立，解得
a=1,b=-6,c=28
对○2○3两式两端从积分，得
=b=-6
则有
（3）
将代入微分方程，有
○1由于方程右端含有项，则中含有，设
(t)+c○2其中不含及其导数项。
对○2式两端从-到t积分，得
(t)+b○3其中(t),不含及其导数项。
对○3式两端从-到t积分，得
○4其中=b+，不含及其导数项。
将○2○3○4式代入○1中，整理得
(t)+(3a+4b+c)
=
比较上式两端及其导数前的系数，有
a=1
4a+b=0
3a+4b+c=1
以上三式联立，解得
a=1,b=-4,c=14
对○2○3两断从积分，得
则有
(4))=2,
f(t)=
由f(t) =求得
将上式代入微分方程，得
○1由于方程右端含项，则中含，设
○2其中不含及其导数项。
对○2式两端从-到t积分，得
=(t) ○3其中=a+(t)，不含及其导数项
将○2○3与上式代入○1式，整理得a +4+5(t)=-2
比较上式两端前系数，知
a=1
对○2○3式两端从积分，得
a=1
因此，
2.3
如图所示RC电路中，已知R=1，
C=0.5F，电容的初始状态
-1V，试求激励电压源为下列函数时电容电压的全响应(t)
(1)= (2) (3)=(4)
解：根据电路列出微分方程，有+
-
R
C
+
-
代入元件参数值，整理得
(1)当时，系统的微分方程为由于方程右端不含冲激项，故
微分方程的齐次解为
易求其特解为
故微分方程的完全解为
代入初始值
故
因此，电路在的激励作用下的全响应为(2)当时，系统的微分方程为
由于方程右端不含冲激项，故
微分方程的齐次解为
易求其特解为
故微分方程的完全解为
代入初始值，有
因此电路在时全响应为
(3)当时，系统的微分方程为由于方程右端不含冲激项，故
微分方程的齐次解为
易求其特解为
故微分方程的完全解为
代入初始值，有
因此电路在时全响应为（4）当时，系统的微分方程为
由于方程右端不含冲激项，故
微分方程的齐次解为
易求其特解为
故微分方程的完全解为
代入初始值，有
因此电路在时全响应为
2.4已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应，零状态响应和全响应。
（1）
(2)
,
解：
（1）由零输入响应的定义，可知
