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第一章 矩阵矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==（一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0） 转置：A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)( 方幂：2121k k k kA AA += 2121)(k k k k A A +=逆矩阵：设A 是N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， 且B A=-1矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A 的逆矩阵也是可逆的，且A A =--11)(2、可逆矩阵A 的数乘矩阵kA 也是可逆的，且111)(--=A kkA 3、可逆矩阵A 的转置TA 也是可逆的，且T T A A )()(11--=4、两个可逆矩阵A 与B 的乘积AB 也是可逆的，且111)(---=A B AB ，但是两个可逆矩阵A 与B 的和A+B 不一定可逆，即使可逆，但11)(--+≠+B A B A 。
A 为N 阶方阵，若|A|=0，则称A 为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。
5、若A 可逆，则11--=A A逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
分块矩阵：加法，数乘，乘法都类似普通矩阵转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素初等变换：1、交换两行（列）2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列） 初等变换不改变矩阵的可逆性，初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O O O I D r r第二章 行列式N 阶行列式的值：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
说明：1.本总结只是把课本的重点知识总结了一下，我没有看到期末考试题，所以考着了算是侥幸，考不着也正常。
2.知识点会了不一定做的对题，所以还要有相应的练习题。
3.前后内容要贯穿起来，融汇贯通，建立自己的知识框架。
第一章行列式1.行列式的定义式（两种定义式）-->行列式的性质-->对行列式进行行、列变换化为上下三角（求行列式的各种方法逐行相加、倒叙相减、加行加列、递推等方法，所有方法是使行列式出现尽可能多的0为依据的）。
2.行列式的应用——>克拉默法则（成立的前提、描述的内容、用途，简单的证明可从逆矩阵入手）。
总结：期末第一章可能不再单独考，但会在求特征值/判断正定性等内容时顺便考察行列式的求解。
第二章矩阵1.矩阵是一个数组按一定的顺序排列，和行列式（一个数）具有天壤之别。
2.高斯消元法求线性方程组的解—>唯一解、无解、无穷解时阶梯型的样子(与第三章解存在的条件以及解的结构联系在一起)3.求逆矩阵的方法（初等变换法，I起到记录所有初等变换的作用）、逆矩阵与伴随矩阵的关系。
4.初等矩阵和初等变换的一一对应关系，学会由初等变换找出与之对应的初等矩阵。
5.分块矩阵（运用分块矩阵有时可以很简单的解决一些复杂问题）记得结论A 可逆，则)A -(1|A |A -1T T αααα=+。
第三章 线性方程组第三章从向量组的角度入手，把线性方程组的系数矩阵的每一列看作一个列向量，从而得到一个向量组假设为n 21,,,ααα ，右边常则看作一个向量β，1）若向量β被向量组n 21,,,ααα 表出唯一（即满足关系：n n n ==),,,,(r ),,,(r 2121βαααααα 时，因为只有向量组n 21,,,ααα 线性无关才表出唯一），则只有唯一解；2）若β不能由向量组n 21,,,ααα 线性表出（即满足条件),,,,(r 1),,,(r 2121βααααααn n =+时）则无解；3）若β由向量组n 21,,,ααα 表出不唯一（即满足条件n n n <=),,,,(r ),,,(r 2121βαααααα 时，只有n 21,,,ααα 线性相关才表出不唯一）有无穷解。
线性代数知识点总结线性代数知识点总结篇1第一章行列式知识点1：行列式、逆序数知识点2：余子式、代数余子式知识点3：行列式的性质知识点4：行列式按一行（列）展开公式知识点5：计算行列式的方法知识点6：克拉默法则第二章矩阵知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律知识点8：矩阵的乘法运算及运算律知识点9：计算方阵的幂知识点10：转置矩阵及运算律知识点11：伴随矩阵及其性质知识点12：逆矩阵及运算律知识点13：矩阵可逆的判断知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15：矩阵方程的求解知识点16：初等变换的概念及其应用知识点17：初等方阵的概念知识点18：初等变换与初等方阵的关系知识点19：等价矩阵的概念与判断知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式知识点21：矩阵的秩的概念与判断知识点22：矩阵的秩的性质与定理知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例第三章向量知识点25：向量的概念及运算知识点26：向量的线性组合与线性表示知识点27：向量组之间的线性表示及等价知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念知识点29：线性表示与线性相关性的关系知识点30：线性相关性的判别法知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系知识点33：求向量组的最大无关组知识点34：有关向量组的定理的综合运用知识点35：内积的概念及性质知识点36：正交向量组、正交阵及其性质知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法知识点38：向量空间（数一）知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）知识点40：基变换下的坐标变换（数一）第四章线性方程组知识点41：齐次线性方程组解的性质与结构知识点42：非齐次方程组解的性质及结构知识点43：非齐次线性线性方程组解的各种情形知识点44：用初等行变换求解线性方程组知识点45：线性方程组的公共解、同解知识点46：方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系知识点47：方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例第五章矩阵的特征值与特征向量知识点48：特征值与特征向量的概念与性质知识点49：特征值和特征向量的求解知识点50：相似矩阵的概念及性质知识点51：矩阵的相似对角化知识点52：实对称矩阵的相似对角化.知识点53：利用相似对角化求矩阵和矩阵的幂第六章二次型知识点54：二次型及其矩阵表示知识点55：矩阵的合同知识点56 : 矩阵的等价、相似与合同的关系知识点57：二次型的标准形知识点58：用正交变换化二次型为标准形知识点59：用配方法化二次型为标准形知识点60：正定二次型的概念及判断线性代数知识点总结篇2行列式一、行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
大一线性代数第一章知识点线性代数是现代数学的一个重要分支，它研究向量空间和线性映射之间的关系。
在大一的线性代数课程中，第一章是介绍向量和矩阵的基本概念。
以下将对第一章的几个知识点进行论述。
一、向量的定义和性质在线性代数中，向量是一个有大小和方向的量。
它可以用一个有序的数组表示，每个数组元素代表向量在某个坐标轴上的分量。
向量有很多基本性质，包括加法、数乘、模长等。
其中，向量的加法和数乘是线性代数中最基本的运算。
向量的加法满足交换律和结合律，数乘满足结合律和分配律。
二、向量空间的定义和性质向量空间是指具有加法和数乘运算的集合，满足一定的公理。
在线性代数中，向量空间是向量运算的集合，它具有许多基本性质。
向量空间中的向量可以进行加法和数乘运算，并且满足一些规律，如交换律、结合律和分配律等。
三、矩阵的定义和性质矩阵是线性代数中另一个重要的概念。
它由若干行和列组成的矩形阵列。
矩阵可以表示为一个矩阵元素的矩阵，每个矩阵元素代表矩阵在某个位置上的值。
矩阵有许多基本性质，包括加法、数乘、乘法等。
矩阵的加法和数乘满足一些基本规律，如交换律和结合律。
矩阵的乘法是线性代数中比较复杂的运算，它是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵，满足一定的规律。
四、矩阵的行列式和逆矩阵行列式是一个与矩阵相关的数值，它可以用来判断一个矩阵的特征。
对于一个n阶矩阵，它的行列式是一个数值，代表了矩阵的一些性质。
行列式有一些基本性质，如反演性、行列式的性质和行列式的计算方法等。
逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。
只有非奇异矩阵才有逆矩阵，奇异矩阵没有逆矩阵。
矩阵的逆矩阵具有一些基本性质，如逆矩阵的性质和逆矩阵的计算方法等。
五、线性方程组的解法线性方程组是线性代数中的一个重要概念，它由一系列线性方程组成。
线性方程组的解是指使得方程组成立的未知数的值。
线性方程组的解法有很多种，包括高斯消元法、矩阵求逆法和向量法等。
高斯消元法是一种常用的解线性方程组的方法，它通过一系列消元和代入操作，将方程组转化为简化的阶梯形矩阵，进而求得方程组的解。
线性代数 第一章 行列式§1 二阶和三阶行列式一、二元一次线性方程组与二阶行列式结论：如果112212210a a a a -≠，则二元线性方程组 11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩的解为122122*********b a a b x a a a a -=-，1121212112121a b b a x a b b a -=-。
定义：设11122122,,,a a a a ，记11221221a a a a -为11122122a a a a 。
称11122122a a a a 为二阶行列式有了行列式的符号，二元线性方程组的求解公式可以改写为112222111122122b a b a x a a a a =，111122211122122a b a b x a a a a =二、三阶行列式与三元一次线性方程组定义：111213212223313233a a a a a a a a a 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---定理：如果1112132122233132330a a a D a a a a a a =≠，则***123(,,)x x x 是下面的三元线性方程组的解111122133121122223323113223333a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩当且仅当*1x =112132222333233/b a a b a a D b a a ,*2x =111132122331333/a b a a b a D a b a ,*3x =111212122231323/a a b a a b D a a b 其中111213212223313233a a a a a a a a a 为系数行列式。
线性代数知识点总结第一章 行列式一要点1、二阶、三阶行列式2、全排列和逆序数;奇偶排列可以不介绍对换及有关定理;n 阶行列式的定义3、行列式的性质4、n 阶行列式ij a D =;元素ij a 的余子式和代数余子式;行列式按行列展开定理5、克莱姆法则二基本要求1、理解n 阶行列式的定义2、掌握n 阶行列式的性质3、会用定义判定行列式中项的符号4、理解和掌握行列式按行列展开的计算方法;即+11j i A a +22j i A a ⎩⎨⎧≠==+j i j i D A a jn in 0 +j i A a 1122i j a A +⎩⎨⎧≠==+j i j i D A a nj ni0 5、会用行列式的性质简化行列式的计算;并掌握几个基本方法：归化为上三角或下三角行列式;各行列元素之和等于同一个常数的行列式;利用展开式计算6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论会用克莱姆法则解低阶的线性方程组7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件第二章 矩阵一要点1、矩阵的概念n m ⨯矩阵n m ij a A ⨯=)(是一个矩阵表..当n m =时;称A 为n 阶矩阵;此时由A 的元素按原来排列的形式构成的n 阶行列式;称为矩阵A 的行列式;记为A .注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念..2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法1矩阵的乘法不满足交换律和消去律;两个非零矩阵相乘可能是零矩阵..如果两矩阵A 与B 相乘;有BA AB =;则称矩阵A 与B 可换..注：矩阵乘积不一定符合交换2方阵的幂：对于n 阶矩阵A 及自然数k ;个k k A A A A ⋅⋅= 规定I A =0;其中I 为单位阵 .3 设多项式函数k k k k a a a a ++++=--λλλλϕ1110)( ;A 为方阵;矩阵A 的多项式I a A a A a A a A k k k k ++++=--1110)( ϕ;其中I 为单位阵..4n 阶矩阵A 和B ;则B A AB =.5n 阶矩阵A ;则A A nλλ=4、分块矩阵及其运算5、逆矩阵：可逆矩阵若矩阵A 可逆;则其逆矩阵是唯一的；矩阵A 的伴随矩阵记为*A ; E A A A AA ==**矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质..6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵A 可逆的又一充分必要条件：A 可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵..7、矩阵的秩：矩阵的k 阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩8、矩阵的等价二要求1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等2、了解几种特殊的矩阵及其性质3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时;会用伴随矩阵求逆矩阵5、了解分块矩阵及其运算的方法1在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下;其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的..2特殊分法的分块矩阵的乘法;例如n m A ⨯;l n B ⨯;将矩阵B 分块为) (21l b b b B =;其中j b l j 2, ,1=是矩阵B 的第j 列;则=AB ) (21l b b b A ) (21l Ab Ab Ab =又如将n 阶矩阵P 分块为) (21n p p p P =;其中j p n j 2, ,1=是矩阵P 的第j 列.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n P λλλ 0 0 00 0 00 0 0 21 ) (21n p p p = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ 0 0 00 0 00 0 0 21) (2211n n p p p λλλ = 3设对角分块矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=SS A A A A 2211 ;),2,1(s P A PP =均为方阵; A 可逆的充要条件是PP A 均可逆;s P ,2,1=;且⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----11221111 ss A A A A6、理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论；掌握矩阵的初等变换；化矩阵为行最简形；会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵7、理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论8、若矩阵A 经过有限次初等变换得到矩阵B ;则称矩阵A 和矩阵B 等价;记为B A ≅. n m ⨯矩阵A 和B 等价当且仅当)()(B r A r =;在等价意义下的标准型：若r A r =)(;则r D A ≅;⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000 r r I D ;r I 为r 阶单位矩阵.. 因此n 阶矩阵A 可逆的充要条件为n I A ≅..第三章 线性方程组一要点1、n 维向量；向量的线性运算及其有关运算律记所有n 维向量的集合为n R ;n R 中定义了n 维向量的线性运算;则称nR 为 n 维向量空间..2、向量间的线性关系1线性组合与线性表示；线性表示的判定2线性相关与线性无关；向量组的线性相关与无关的判定3、向量组的等价;向量组的秩；向量组的极大无关组及其求法；向量组的秩及其求法 1设有两个向量组,1α,2αs α )(A,1β,2βt β )(B向量组)(A 和)(B 可以相互表示;称向量组)(A 和)(B 等价..向量组的等价具有传递性..2一个向量组的极大无关组不是惟一的;但其所含向量的个数相同;那么这个相同的个数定义为向量组的秩..4、矩阵的秩与向量组的秩的关系5、线性方程组的求解1线性方程组的消元解法2线性方程组解的存在性和唯一性的判定3线性方程组解的结构4齐次线性方程的基础解系与全部解的求法5非齐次方程组解的求法二要求1、理解n 维向量的概念；掌握向量的线性运算及有关的运算律2、掌握向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念3、掌握线性表示、线性相关、线性无关的有关定理4、理解并掌握向量组的等价极大无关组、向量组的秩等概念；及极大无关组、向量组秩的求法5、掌握线性方程组的矩阵形式、向量形式的表示方法6、会用消元法解线性方程组7、理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法8、理解并掌握齐次方程组的基础解系、全部解的概念及其求法9、理解非齐次方程组与其导出组解的关系；掌握非齐次方程组的求解方法第四章 矩阵的特征值与特征向量一要点1、矩阵的特征值与特征向量的定义；特征方程、特征值与特征向量的求法与性质2、相似矩阵的定义、性质；矩阵可对角化的条件3、实对称矩阵的特征值和特征向量向量内积的定义及其性质；正交向量组；施密特正交化方法；正交矩阵；实对称矩阵的特征值与特征向量的性质；实对称矩阵的对角化二要求1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念及有关性质2、掌握特征值与特征向量的求法3、理解并掌握相似矩阵的概念与性质4、掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法5、会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵..第五章二次型一要点1、二次型与对称矩阵：二次型的定义；二次型与对称矩阵的对应关系2、二次型与对称矩阵的标准形配方法；初等变换法；正交变换法；合同矩阵；二次型及对称矩阵的标准形与规范形 3、二次型与对称矩阵的有定性二次型与对称矩阵的正定、负定、半正定、半负定二要求1、理解并掌握二次型的定义及其矩阵的表示方法..2、会用三种非退化线性替换：即配方法、初等变换法、正交变换法化二次型为标准形及规范型3、掌握二次型的正定、负定、半正定、半负定的定义;会判定二次型的正定性..。
线代1知识点总结1. 向量向量是线性代数中最基本的概念之一。
在欧几里得空间中，向量通常表示为一个有序组，例如(a1, a2, ..., an)，其中a1, a2, ..., an为实数。
向量可以表示为列向量或行向量，列向量表示为一个n✕1的矩阵，行向量表示为一个1✕n的矩阵。
向量可以进行加法、数乘等操作，满足向量空间的性质。
2. 矩阵矩阵是线性代数中另一个重要的概念。
矩阵表示为一个m✕n的矩形数组，其中每个元素都是实数。
矩阵可以进行加法、数乘、矩阵乘法等运算。
矩阵的转置、逆矩阵、行列式等概念在线性代数中也有重要的作用。
3. 线性方程组线性方程组是代数中的一个重要概念，也是线性代数中的基本内容。
线性方程组可以表示为矩阵的形式Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。
线性方程组的解可以通过求解系数矩阵的逆矩阵来得到，也可以通过高斯消元法等方法来求解。
4. 向量空间向量空间是线性代数中一个核心概念，它是一个满足一定性质的集合，包括加法和数乘运算，并且满足一定的公理。
向量空间的性质对于理解线性代数中的其他概念和定理至关重要。
5. 线性变换线性变换是线性代数中另一个重要的概念，它是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，并且满足线性性质。
线性变换可以用矩阵来表示，它可以描述多种几何变换，如旋转、缩放、平移等。
6. 特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的一个非常重要的概念。
矩阵的特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的性质和结构，对于矩阵的对角化、相似变换等有着重要的作用。
7. 线性相关与线性无关线性相关与线性无关是线性代数中的一个重要概念，它描述了向量集合之间的关系。
线性相关的向量集合可以表示为线性组合，线性无关的向量集合则不能表示为线性组合。
线性相关与线性无关对于理解矩阵的秩和特征值有着重要的作用。
8. 矩阵的秩矩阵的秩是一个矩阵的一个重要性质，它描述了矩阵列向量的线性相关性。
矩阵的秩可以通过高斯消元法、行简化阶梯形等方法来求解，对于理解矩阵的结构和性质有着重要的作用。
第一章 行列式线性方程组的求解是线性代数的一个重要课题。
行列式是由研究线性方程组产生的，它是一个重要的数学工具，它在数学及其他学科中都有着广泛的应用。
本章的教学基本要求：了解行列式的定义和性质，掌握利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的方法，会计算简单的n 阶行列式。
理解和掌握克拉默（Cramer ）法则。
本章的重点及难点：利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的值，主要是三阶、四阶行列式的计算；利用克拉默法则求解线性方程组。
§ 1 二阶、三阶行列式一、内容提要 1．二阶行列式的定义2112221122211211a a a a a a a a -= 其中ij a 称为行列式的元素，ij a 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下标称为行标，表明该元素位于第i 行；第二个下标称为列标，表明该元素位于第j 列。
二阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的展开式，二阶行列式的展开式可以用所谓对角线法则得到，即：2111 a a -+2212a a =21122211a a a a -其中，实线上两个元素的乘积带正号，虚线上两个元素的乘积带负号，所得两项的代数和就是二阶行列式的展开式。
2．三阶行列式的定义333231232221131211a a a a a a a a a 322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= 三阶行列式的展开式也可以用对角线法则得到，三阶行列式的对角线法则如下图所示：+- 333231232221131211a a a a a a a a a其中每一条实线上三个元素的乘积带正号，每一条虚线上三个元素的乘积带负号，所得六项的代数和就是三阶行列式的展开式。
二、例题分析例1 求解二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+342232121x x x x解： 由于系数行列式 4123=D 0101243≠=⨯-⨯= 2324243221=⨯-⨯==D ， 7123331232=⨯-⨯==D 所以方程组有唯一解为： 2.011==D Dx ， 7.022==DD x 。
例2 计算行列式 252431321-=D解 5412)1(22335)1(3242231⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-⨯+⨯⨯+⨯⨯=D 27-= 例3 计算行列式22121110a a a D =；3323221312112000a a a a a a D =； 22211130a a a D =； 3332312221114000a a a a a a D = 解： 由对角线法则有： 22111a a D = ；3322112a a a D =； 22113a a D = ；3322114a a a D =特别地:22112211a a a a = ； 33221133221100000a a a a a a = 三、小结对角线法则只适用与二阶与三阶行列式的计算。
由例3得结论：（1）上（下）三角行列式等于主对角线上元素的乘积。
（2）对角行列式等于主对角线上元素的乘积。
§ 2 全排列及其逆序数一、内容提要排列 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列，简称排列.n 个不同元素的所有排列的种数，通常用n P 表示.!n P n =。
逆序 在一个排列n t s p p p p p 21 中，若t s p p >，则称这两个数组成一个逆序. 排列n p p p 21 中，所有逆序的总数称为此排列的逆序数。
记为) (21n p p p τ。
排列n p p p 21 中，考虑元素),,2,1( n i p i =，如果比i p 大的且排在i p 前面的元素有it 个，则称元素i p 的逆序数是i t 。
记为i i t p =)(τ。
奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列。
偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列。
特别地，标准排列1，2，···，n 的逆序数0)123(=n τ。
规定，标准排列是偶排列。
二、例题分析排列n p p p 21 中，考虑比),,2,1( n i p i =大，且排在i p 前面的元素的个数，就可以排列的逆序数。
即=) (21n p p p τ（1p 前面比1p 大的数的个数）+（2p 前面比2p 大的数的个数）+ ······ + （n p 前面比n p 大的数的个数）)()()(21n p p p τττ+++= ；同样，考虑比)1,,2,1( -=n i p i 小，且排在i p 后面的元素的个数，就可以排列的逆序数。
即=) (21n p p p τ（1p 后面比1p 小的数的个数）+（2p 后面比2p 小的数的个数）+ ······ + （1-n p 后面比1-n p 小的数的个数）。
例4 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。
（1）5 3 2 1 4； （2）n (n –1) ···2 1； （3）(2k ) 1 (2k –1) 2 (2k –2) 3 (2k –3) ··· ( k +1) k 。
解：（1）5 3 2 1 40)5(=τ，1)3(=τ，2)2(=τ，3)1(=τ，1)4(=τ。
因此，713210)53214(=++++=τ。
此排列为奇排列。
（2）n (n –1) ···2 10)(=n τ，1)1(=-n τ，2)2(=-n τ，···，3)3(-=n τ，2)2(-=n τ，1)1(-=n τ。
因此，2)1()1()2(210]321)2)(1([-=-+-++++=--n n n n n n n τ。
当14 ,4+=k k n 时，排列为偶排列；当34 ,24++=k k n 时，排列为奇排列。
（3）(2k ) 1 (2k –1) 2 (2k –2) 3 (2k –3) ··· ( k +1) k0)2(=k τ， 1)1(=τ， 1)12(=-k τ，2)2(=τ， 2)22(=-k τ，······， ······，1)1(-=-k k τ， 1)1(-=+k k τ， k k =)(τ。
因此，])1()22(2)12(1)2[(k k k k k +-- τk k +-++++=)]1(21[2022)1(2k k k k =+-⋅=。
当k 为偶数时，排列为偶排列； 当k 为奇数时，排列为奇排列。
例5 设n p p p 21 的逆序数为k ，问排列121 p p p p n n -的逆序数是多少？解：若在排列n p p p 21 中，i p 后面比i p 小的数共有i k 个)1,,2,1(-=n i ，则在排列121 p p p p n n -中，i p 前面的数共有i n -个，i p 前面比i p 大的数共有i k i n --)(个)1,,2,1(-=n i 。
由已知有k k k k n =+++-121 。
所以排列121 p p p p n n -的逆序数为})]1({[])2[(])1[(121----++--+--n k n n k n k n k n n k k k n n n --=+++--=-2)1()(2)1(121 。
三、小结求排列n p p p 21的逆序数的方法：（1）=) (21n p p p τ（1p 前面比1p 大的数的个数）+（2p 前面比2p 大的数的个数）+ ······ + （n p 前面比n p 大的数的个数）)()()(21n p p p τττ+++= ；（2）=) (21n p p p τ（1p 后面比1p 小的数的个数）+（2p 后面比2p 小的数的个数）+ ······ + （1-n p 后面比1-n p 小的数的个数）。
§ 3 n 阶行列式的定义一、内容提要由n 2个元素),,2,1,( n j i a ij =组成的记号nnn n nn a a a a a a a a a D212222111211=称为n 阶行列式。
其值等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和，各项的符号是：当这一项中的n 个元素的行标排成标准排列后，若对应的列标构成的排列为偶数，则取正号；若对应的列标构成的排列为奇数，则取负号，即∑-==nn n p p p np p p p p p nnn n nna a a a a a a a a a a a D21212121)(212222111211)1(τ。
行列式简记为)(det ij a 。
一阶行列式为a a =。
n 阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的展开式， 二、例题分析例6 判别665642312314a a a a a a 和665143241532a a a a a a -是否为六阶行列式中的项。
分析：判别是否为n 阶行列式中的项，要考虑： （1）n 个元素是否位于不同行，不同列； （2）确定其符号。
解： 665642312314a a a a a a 不是六阶行列式中的项。
这是因为，56a 与66a 都位于第6列。
665143211532a a a a a a -是六阶行列式中的项。
首先，665143241532a a a a a a -中的6个元素位于不同行，不同列；再有，665143322415665143241532a a a a a a a a a a a a -=-。
确定其符号：9)542316()(621==ττp p p ，因此，应带负号。
N 阶行列式的展开式是n !项的代数和，每项都是位于不同行不同列的n 个元素的乘积。
因此，对于含零元素较多的行列式，可直接用定义计算。
但对于一般性的行列式，常用后面将要学到的性质与定理进行简化计算。
对于含零元素较多的行列式，用定义计算时，只需求出所有非零项，并进行代数和即可。
例7 计算行列式 0004003002001000=D 。
解：这是一个4阶行列式。
其展开式中项的一般形式为432143214321)()1(p p p p p p p p a a a a τ-。
