线性代数知识点总结
第一章 行列式
(一)要点
1、二阶、三阶行列式
2、全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理），n 阶行列式的定义
3、行列式的性质
4、n 阶行列式ij a D =，元素ij a 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理
5、克莱姆法则
（二）基本要求
1、理解n 阶行列式的定义
2、掌握n 阶行列式的性质
3、会用定义判定行列式中项的符号
4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即
5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法：
归化为上三角或下三角行列式，
各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式，
利用展开式计算
6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论
会用克莱姆法则解低阶的线性方程组
7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件
第二章 矩阵
（一）要点
1、矩阵的概念
n m ⨯矩阵n m ij a A ⨯=)(是一个矩阵表。当n m =时，称A 为n 阶矩阵，此时由A 的元素按原来排列的形式构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记为A .
注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。
2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵
3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法
（1）矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。
如果两矩阵A 与B 相乘，有BA AB =,则称矩阵A 与B 可换。
注：矩阵乘积不一定符合交换
（2）方阵的幂：对于n 阶矩阵A 及自然数k ，
规定I A =0
,其中I 为单位阵 .
(3) 设多项式函数k k k k a a a a ++++=--λλλλϕ1110)( ，A 为方阵，矩阵A 的
多项式I a A a A a A a A k k k k ++++=--1110)( ϕ,其中I 为单位阵。
（4）n 阶矩阵A 和B ，则B A AB =.
（5）n 阶矩阵A ，则A A n λλ=
4、分块矩阵及其运算
5、逆矩阵：可逆矩阵（若矩阵A 可逆，则其逆矩阵是唯一的）；矩阵A 的伴随矩阵记为*A ，
矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。
6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵A 可逆的又一充分必要条件：A 可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵。
7、矩阵的秩：矩阵的k 阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩
8、矩阵的等价
（二）要求
1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等
2、了解几种特殊的矩阵及其性质
3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质
4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵
5、了解分块矩阵及其运算的方法
（1）在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。
（2）特殊分法的分块矩阵的乘法，例如n m A ⨯，l n B ⨯，将矩阵B 分块为
) (21l b b b B =，其中j b （l j 2, ,1=）是矩阵B 的第j 列，
则
又如将n 阶矩阵P 分块为) (21n p p p P =，其中j p （n j 2, ,1=）是矩阵P 的第j 列.
（3）设对角分块矩阵
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=SS A A A A 2211 ,),2,1(s P A PP =均为方阵， A 可逆的充要条件是PP A 均可逆，s P ,2,1=，且
6、理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论；掌握矩阵的初等变换；化矩阵为行最简形；会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵
7、理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论
8、若矩阵A 经过有限次初等变换得到矩阵B ,则称矩阵A 和矩阵B 等价，记为B A ≅. n m ⨯矩阵A 和B 等价当且仅当)()(B r A r =,在等价意义下的标准型：若r A r =)(，则
r D A ≅，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0
00 r r I D ，r I 为r 阶单位矩阵。 因此n 阶矩阵A 可逆的充要条件为n I A ≅。
第三章 线性方程组
(一)要点
1、n 维向量；向量的线性运算及其有关运算律
记所有n 维向量的集合为n R ，n R 中定义了n 维向量的线性运算，则称n
R 为 n 维向量空间。
2、向量间的线性关系
（1）线性组合与线性表示；线性表示的判定
（2）线性相关与线性无关；向量组的线性相关与无关的判定
3、向量组的等价，向量组的秩；向量组的极大无关组及其求法；向量组的秩及其求法
（1）设有两个向量组
向量组)(A 和)(B 可以相互表示，称向量组)(A 和)(B 等价。向量组的等价具有传递性。
（2）一个向量组的极大无关组不是惟一的，但其所含向量的个数相同，那么这个相同
的个数定义为向量组的秩。
4、矩阵的秩与向量组的秩的关系
5、线性方程组的求解
（1）线性方程组的消元解法
（2）线性方程组解的存在性和唯一性的判定
（3）线性方程组解的结构
