弧弦圆周角之间的关系

人教版九年级数学（上）第24章圆24.1圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角教案【教材内容】1．圆心角的概念；2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．【教学目标】1．了解圆心角的概念;2．掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．【教学重点】通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．【教学难点】弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据．【教学过程设计】一、情境导入人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？二、合作探究知识点一：圆心角 【类型一】圆心角的识别例1 如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( )A ．∠ABCB ．∠AOBC ．∠OABD ．∠OCB 解析：根据圆心角的概念，∠ABC 、∠OAB 、∠OCB 的顶点分别是B 、A 、C ，都不是圆心O ，因此都不是圆心角．只有B 中的∠AOB 的顶点在圆心，是圆心角．故选B.方法总结：确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．知识点二：圆心角的性质 【类型一】利用圆心角的性质求角例2 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C 、D 是BE ︵的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 的大小是( )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°解析：∵C 、D 是BE ︵的三等分点，∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE .∵∠AOE ＝60°，∴∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝13×(180°－60°)＝40°，∴∠COE ＝80°.故选C.方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点三：圆心角、弦、弧之间的关系 【类型一】结合三角形内角和求角例3 如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A ＝________．解析：由AB ︵＝AC ︵，得这两条弧所对的弦AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C .因为∠B ＝70°，所以∠C ＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A 的度数为40°.故答案为40°.方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．【类型二】弧相等的简单证明例4 如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵＝BD ︵.解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．证法1：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD .∵OA ＝OB .又M ，N 分别是OA ，OB 的中点，∴OM ＝ON .又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°.∴Rt △CMO ≌Rt △DNO .∴∠1＝∠2.∴AC ︵＝BD ︵.证法2：如图①所示，分别延长CM ，DN 交⊙O 于点E ，F .∵OM ＝12OA ，ON ＝12OB ，OA ＝OB ，∴OM ＝ON .又∵OM ⊥CE ，ON ⊥DF ，∴CE ＝DF ，∴CE ︵＝DF ︵.又∵AC ︵＝12CE ︵，BD ︵＝12DF ︵.∴AC ︵＝BD ︵.图①图②证法3：如图②所示，连接AC ，BD .由证法1，知CM ＝DN .又∵AM ＝BN ，∠AMC ＝∠BND ＝90°，∴△AMC ≌△BND .∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．知识点四：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 例5 如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ．（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？ （2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？∠AOB 与∠COD 呢？解析：（1）要说明OE=OF ，只要在直角三角形AOE 和直角三角形COF 中说明AE=CF ，即说明AB=CD ，因此，只要运用前面所讲的定理即可．（2）∵OE=OF ，∴在Rt △AOE 和Rt △COF 中， 又有AO=CO 是半径，∴Rt △AOE ≌Rt•△COF ，∴AE=CF ，∴AB=CD ，又可运用上面的定理得到AB =CD 解：（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ∴AE=12AB ，CF=12CD ∴AE=CF 又∵OA=OC ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴OE=OF（2）如果OE=OF ，那么AB=CD ，AB =CD ，∠AOB=∠COD 理由是：∵OA=OC ，OE=OF ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴AE=CF又∵OE ⊥AB ，OF ⊥CDD∴AE=12AB，CF=12CD∴AB=2AE，CD=2CF∴AB=CD∴AB=CD，∠AOB=∠COD方法归纳：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．三、教学小结师生一起总结本节学习知识要点：1．圆心角的概念；2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．【板书设计】24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角1.圆心角的识别2.圆心角的性质3.弧、弦、圆心角之间的关系4.运用弧、弦、圆心角的关系进行证明与计算【课堂检测】1．(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，•所对的弦也．(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的也相等．2. 如图，在⊙O中，AB=AC∠ACB=60 °，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC3. 如图，AB，CD是⊙O的两条弦。

弧与弦的关系
在圆或圆弧中，弦与弧之间存在以下关系：
1.弦长小于或等于弧长：在一个圆中，任何弦的长度都小于或等于与它所对应
的弧的长度。

这是因为在圆中，弦是连接圆上两点的线段，而弧是这两点之间圆的部分。

2.弦长等于半弧长：在一个半圆中，弦长等于半圆的直径，也等于与它所对应
的弧的长度。

这是因为在半圆中，弦与直径重合，而弧与半圆的圆周重合。

3.弦长大于弧长：在一个小于半圆的圆弧中，弦长大于与它所对应的弧的长度。

这是因为在这种情况下，弦所连接的两点之间的距离大于弧所对应的圆周的部分。

以上关系在数学和几何学中是非常基础和重要的，它们被广泛应用于各种问题解决和计算中。

圆周角,弦,弧的关系嘿，朋友们！今天咱们来聊聊圆里那超级有趣的圆周角、弦和弧的关系，就像是在探索一个神秘的圆之王国里的奇妙故事。

你看那圆周角啊，就像是圆这个大舞台上的小演员。

它站在圆周上，那角度的大小可是有着严格的规定，就像演员要遵循剧本的台词一样。

而且圆周角特别“爱凑热闹”，只要弦和弧一出现，它就立马跟它们产生联系。

弦呢，就像是圆里的一座桥梁。

它把圆上的两个点紧紧地连接在一起，仿佛是两个好朋友之间牵起的手。

这弦的长度不同，就好像是桥梁有长有短。

而弦越长，感觉就像造桥的时候用了更多的材料，它所对的弧也越大，就像长桥对应的路程更远一样。

弧就像是圆上的一段旅程。

有的弧长，就像长途旅行；有的弧短，那就是短途漫步啦。

弧和圆周角的关系可有趣了。

同一个弧所对的圆周角就像一群有着共同目标的小伙伴，它们的大小总是相等的。

这就好比是同一条路上的行者，不管他们站在路的哪一段，看到的风景有相似之处，这里的风景就是角度啦。

如果把圆比作一个大披萨（哎呀，突然有点饿了呢），弦就是切披萨的一刀，把披萨分成了两部分，这两部分对应的弧就像是被分开的两块披萨。

而圆周角呢，就像是坐在披萨边缘，看着被弦分割的这两块披萨的小食客，角度大小取决于这两块披萨的比例关系呢。

再夸张一点说，圆周角就像是圆这个大宇宙里的小星球，弦是连接星球的神秘轨道，弧则是小星球沿着轨道运行的轨迹。

它们三个相互影响，谁也离不开谁。

要是弦动了，就像是桥梁发生了摇晃，那它所对的弧和圆周角都要跟着改变。

就像在一个连锁反应里，一个环节出了问题，整个系统都要调整。

有时候我感觉圆周角、弦和弧就像一个魔法三角。

它们之间的关系是一种神秘的魔法力量。

当你掌握了这个魔法，就能在圆的世界里自由穿梭，轻松解答那些看似复杂的几何问题。

不管怎么说，圆周角、弦和弧的关系就是这么奇妙又有趣。

就像一场精彩的魔术表演，每次研究它们之间的关系，都像是在揭开一个新的魔术秘密，充满了惊喜和欢乐。

希望你们也能感受到这圆中三角关系的独特魅力呀！。

同弧所对的圆心角和圆周角的关系
圆周角和圆心角的关系：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，即圆周角定理。

圆周角是顶点在圆周上的角，圆心角是顶点在圆心上的角。

1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距
中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

2、在同圆或等圆中，成正比的弧所对的圆周角等同于它面元的圆心角的`一半(圆周
角与圆心角在弦的同侧)。

3、圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半。

4、直径面元的圆周角就是直角;90度的圆周角面元的弦就是直径。

5、圆心角计算公式：θ=(l/2πr)×°=°l/πr=l/r(弧度)。

即为圆心角的度数等同于它面元的弧的度数;圆周角的度数等同于它面元的弧的度数
的一半。

(教案)圆周角与圆心角、弧的关系一、知识讲解：1．圆周角与圆心角的的概念：顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。

3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。

4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。

5．圆的内接四边形对角之和是180度。

6．弧的度数确实是圆心角的度数。

解题思路：1．已知圆周角，能够利用圆周角求出圆心角2．已知圆心角，能够利用圆心角求出圆周角3．已知直径和弧度，能够求出圆周角与圆心角1.圆周角与圆心角的定义顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。

注意圆周角定义的两个差不多特点：(1)顶点在圆上；(2)两边都和圆相交。

二、教学内容【1】圆心角：顶点在圆心的角。

利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个差不多特点：练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．【2】明白得圆周角定理的证明一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。

已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，求证：∠BAC= 1/2∠BOC.分析：通过图形的演示指导学生进一步去查找圆心O与∠BAC的关系本题有三种情形：（1）圆心O在∠BAC的一边上 O（2）圆心O在∠BAC的内部（3）圆心O在∠BAC的外部 B D C●假如圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明●假如圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将那个角转化为上述情形的两个角的和或差即可证明:圆心O在∠BAC的一条边上 AOA=OC==>∠C=∠BAC∠BOC=∠BAC+∠C O==>∠BAC=1/2∠BOC. B C【3】圆周角与圆心角的关系（1）．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。

弧圆心角圆周角的关系稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊弧圆心角圆周角的关系，这可有意思啦！你看哈，圆心角就好像是圆的“内心独白”，它的两条边都是从圆心出发的。

而圆周角呢，就像是圆的“周边故事”，它的顶点在圆上，两条边是圆上的弦。

当一条弧对着一个圆心角的时候，它们的度数是相等的哟！比如说，圆心角是 60 度，那这条弧所对的圆心角也就是 60 度。

可圆周角就有点特别啦！同弧所对的圆周角是圆心角的一半。

就好比圆心角是 100 度，那同弧所对的圆周角就是 50 度。

这关系是不是很神奇呀？想象一下，圆就像一个大舞台，圆心角是舞台中央的主角，光芒四射；圆周角就是舞台周边的配角，虽然没有那么耀眼，但也起着重要的作用。

而且哦，如果有两条弧相等，那么它们所对的圆心角和圆周角也分别相等。

这就好像是一对双胞胎，长得一样，性格也差不多。

怎么样，是不是觉得弧圆心角圆周角的关系挺有趣的？多琢磨琢磨，数学的世界可精彩啦！稿子二哈喽呀！今天咱们来唠唠弧圆心角圆周角的那些事儿！先来说说圆心角，它可是圆的“老大”，从圆心出发，那威风劲儿可足啦！而圆周角呢，就像是圆的“小伙伴”，在圆的边上玩耍。

你知道吗？当一条弧在那的时候，它对应的圆心角和圆周角可有特别的联系。

比如说，圆心角就像是个大老板，定了个度数，那同弧所对的圆周角只能乖乖地是它的一半。

举个例子，圆心角是 80 度，那圆周角就只能是 40 度，是不是很神奇？这就好像圆心角是大哥，圆周角是小弟，得听大哥的。

还有哦，如果有好多条弧都一样长，那它们对应的圆心角和圆周角也都一样。

就好像一群小伙伴，穿一样的衣服，做一样的动作。

再想想，如果一个圆里有好多好多的弧，那这些弧对应的圆心角和圆周角就组成了一个奇妙的大家庭，互相有着固定的关系，谁也跑不掉。

所以呀，弄清楚弧圆心角圆周角的关系，数学的大门就为咱们开得更大啦，能看到更多有趣的东西！怎么样，是不是有点意思？。

弧弦圆心角之间的关系
圆心角、弧、弦之间的关系如下：
1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。

连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord），在同一个圆内最长的弦是直径。

顶点在圆心上的角叫做圆心角。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc），以“⌒”表示。

相关计算公式：（R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，L是扇形对应的弧长）
扇形弧长L=圆心角（弧度制）×R= nπR/180（θ为圆心角）（R 为扇形半径）
扇形面积S=nπ R²/360=LR/2（L为扇形的弧长）
圆锥底面半径 r=nR/360（r为底面半径）（n为圆心角）。

2022年最新中考数学知识点梳理考点总结+真题演练涵盖近年来的中考真题和中考模拟考点17 圆考点总结一、圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．6）弦心距：圆心到弦的距离．2．注意1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．二、垂径定理及其推论1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．三、圆心角、弧、弦的关系1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．四、圆周角定理及其推论1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．六、切线的性质与判定1．切线的性质1）切线与圆只有一个公共点．2）切线到圆心的距离等于圆的半径．3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．七、三角形与圆1．三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．八、正多边形的有关概念正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．九、与圆有关的计算公式1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=π180n r；扇形的面积S=2π360n r=12lr．2．圆锥与侧面展开图1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为S圆锥侧=12ππ2l r rl⋅=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．真题演练一．选择题（共10小题）1．（2021秋•临河区校级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠D的度数为（）A．70°B．120°C．140°D．110°【分析】根据圆周角定理求出∠BAC，根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：∵BC＝CD，∴BĈ=CD̂，∵∠DAB＝40°，∴∠BAC=12∠DAB＝20°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝70°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°﹣∠B＝110°，故选：D．2．（2021•河北模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点M是△ABC内一点，连接BM交AD于点N，已知∠AMB＝108°，若点M是△CAN的内心，则∠BAC的度数为（）A．36°B．48°C．60°D．72°【分析】过点M作ME⊥AD于点E，根据已知条件可得△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中垂线，证明ME∥BC，可得∠NME＝∠NBD，由点M是△CAN的内心，可得点M在∠NAC 和∠ANC的角平分线上，设∠NAM＝x，∠NBD＝y，所以∠BAC＝4x，∠NBD＝∠NCD＝∠NME＝y，∠ENM＝∠CNM＝2y，然后利用∠AMB＝108°，列出方程组{y−x=18°2y+x=72°，求解即可得结论．【解答】解：如图，过点M作ME⊥AD于点E，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中垂线，∴NB＝NC，∠BAD＝∠CAD，∴∠NBD＝∠NCD，∵ME⊥AD，AD⊥BC，∴ME∥BC，∴∠NME＝∠NBD，∵点M是△CAN的内心，∴点M在∠NAC和∠ANC的角平分线上，∴∠NAM＝∠CAM，∠ANM＝∠CNM，设∠NAM＝x，∠NBD＝y，∴∠BAC＝4x，∠NBD＝∠NCD＝∠NME＝y，∴∠ENM＝∠CNM＝∠NBC+∠NCB＝2y，∵∠AMB＝108°，∴∠AME＝∠AMB﹣∠EMN＝108°﹣y，在△AEM中，∠EAM+∠AME＝90°，∴x+108°﹣y＝90°，∴y ﹣x ＝18°，在△ANM 中，∠NAM +∠ANM ＝180°﹣108°，∴x +2y ＝72°，{y −x =18°2y +x =72°， 解得{x =12°y =30°， ∴∠BAC ＝4x ＝48°．故选：B ．3．（2021•桥东区二模）如图，点O 为△ABC 的内心，∠B ＝58°，BC ＜AB ，点M ，N 分别为AB ，BC 上的点，且∠MON ＝122°．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：OM ＝ON ；乙：四边形OMBN 的面积是定值；丙：当MN ⊥BC 时，△MON 的周长取得最小值．则下列说法正确的是（ ）A ．只有甲正确B ．只有丙错误C ．乙、丙都正确D ．甲、乙、丙都正确【分析】过点O 作OD ⊥BC ，OE ⊥AB 于点D ，E ，根据三角形内心可得OD ＝OE ，然后证明△DON ≌△EOM ，可得ON ＝OM ；连接OB ，根据△DON ≌△EOM ，可得四边形OMBN 的面积＝2S △BOD ，根据点D 的位置固定，可得四边形OMBN 的面积是定值；过点O 作OF ⊥MN 于点F ，根据ON ＝OM ，∠MON ＝122°，可得∠ONM ＝29°，MN ＝2NF ＝2ON cos29°，所以△MON 的周长＝2ON （cos29°+1），可得当ON 最小时，即当ON ⊥BC 时，△MON 的周长最小值，进而可得结论．【解答】解：如图，过点O 作OD ⊥BC ，OE ⊥AB 于点D ，E ，∵点O 为△ABC 的内心，∴OB 是∠ABC 的平分线，∴OD ＝OE ，∵∠B ＝58°，∴∠DOE ＝122°，∵∠MON ＝122°，∴∠DON ＝∠EOM ，在△DON 和△EOM 中，{∠DON =∠EOMOD =OE ∠NDO =∠MEO，∴△DON ≌△EOM （ASA ），∴ON ＝OM ，所以甲的判断正确；连接OB ，∵△DON ≌△EOM ，∴四边形OMBN 的面积＝2S △BOD ，∵点D 的位置固定，∴四边形OMBN 的面积是定值，所以乙的判断正确；如图，过点O 作OF ⊥MN 于点F ，∵ON ＝OM ，∠MON ＝122°，∴∠ONM ＝29°，∴MN＝2NF＝2ON cos∠ONM＝2ON cos29°，∴△MON的周长＝MN+2ON＝2ON cos29°+2ON＝2ON（cos29°+1），∴当ON最小时，即当ON⊥BC时，△MON的周长最小值，此时，MN不垂直于BC，所以丙的判断错误．综上所述：说法正确的是甲、乙．故选：B．4．（2021•开平区一模）如图所示的正方形网格中，A，B，C三点均在格点上，那么△ABC的外接圆圆心是（）A．点E B．点F C．点G D．点H【分析】根据三角形的外接圆圆心的性质即可得到结论．【解答】解：作线段AB和线段BC的垂直平分线，两线交于点G，则△ABC的外接圆圆心是点G，故选：C．5．（2021•河北模拟）已知：直线AB及AB外一点P．如图求作：经过点P，且垂直AB的直线，作法：①以点P为圆心，适当的长为半径画弧，交直线AB于点C，D．②分别以点C、D为圆心，适当的长为半径，在直线AB的另一侧画弧，两弧交于点Q．③过点P、Q作直线．直线PQ即为所求．在作法过程中，出现了两次“适当的长”，对于这两次“适当的长”，下列理解正确的是（）A．这两个适当的长相等B．①中“适当的长”指大于点P到直线AB的距离C．②中“适当的长”指大于线段CD的长D．②中“适当的长”指大于点P到直线AB的距离【分析】利用基本作图进行判断．【解答】解：①中“适当的长”指大于点P到直线AB的距离；②中“适当的长”指大于线段CD的长的一半．故选：B．6．（2021•河北模拟）有一题目：已知△ABC外接圆的半径为2，BC＝2√3，求∠A的度数．嘉嘉这样求解：如图，作直径CD，点A在BDĈ上，∵CD为直径，∴∠CBD＝90°，在Rt△BCD中，∵sin D=BCCD=2√34=√32，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°．琪琪说：“嘉嘉的答案不全，∠A还有一个不同的值．”下列判断正确的是（）A．嘉嘉的答案没有遗漏B．嘉嘉的结果错误，∠A＝30°C．琪琪的说法错误D．琪琪的说法正确，还有一个答案为120°【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．【解答】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．故∠A′＝180°﹣60°＝120°．故选：D．7．（2021•桥东区二模）下列由实线组成的图形中，为半圆的是（）A．B．C．D．【分析】根据圆的有关定义进行解答．【解答】解：根据半圆的定义可知，选项B的图形是半圆．故选：B．8．（2021•桥东区二模）阅读图中的材料，解答下面的问题：已知⊙O是一个正十二边形的外接圆，该正十二边形的半径为1，如果用它的面积来近似估计⊙O的面积，则⊙O的面积约是（）A．3 B．3.1 C．3.14 D．π【分析】设AB为正十二边形的边，连接OB，过A作AD⊥OB于D，由正十二边形的性质得出∠AOB＝30°，由直角三角形的性质得出AD=12OA=12，求出△AOB的面积=12OB•AD=14，即可得出答案． 【解答】解：设AB 为正十二边形的边，连接OB ，过A 作AD ⊥OB 于D ，如图所示： ∴∠AOB =360°12=30°， ∵AD ⊥OB ，∴AD =12OA =12，∴△AOB 的面积=12OB ×AD =12×1×12=14，∴正十二边形的面积＝12×14=3， ∴⊙O 的面积≈正十二边形的面积＝3，故选：A ．9．（2021•顺平县二模）如图，每个小三角形都是边长为1的正三角形，D 、E 、F 、G 四点中有一点是△ABC 的外心，该点到线段AB 的距离是（ ）A ．√32B ．√2C ．12D ．1【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的三线合一得到△ABC 为直角三角形，根据直角三角形的外心的位置是斜边的中点解答．【解答】解：∵每个小三角形都是正三角形，∴AM ＝AN ，MB ＝BN ，∴AB ⊥MN ，∴△ABC 为直角三角形，∵G 是AN 的中点，GE ∥BC ，∴点E 是△ABC 斜边的中点，∴△ABC 的外心是斜边的中点，即点E ，∴E 到AB 的距离1，故选：D ．10．（2021•河北模拟）如图，取正六边形ABCDEF 的各边中点并依次连接，得到正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，再取正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的各边中点并依次连接，得到正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，则正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2与正六边形ABCDEF 的边长之比为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．45 【分析】如图，设AF 1＝FF 1＝a ，求出AF ，F 2E 2（用a 表示），可得结论．【解答】解：如图，设AF 1＝FF 1＝a ，∵∠A ＝120°，AA 1＝AF 1＝a ，∴A 1F 1=√3a ，∴A 1F 2＝F 2F 1=√32a ，∵∠F 2F 1E 2＝120°，∴F 2E 2=√3F 2F 1=32a ，∴A 2B 2C 2D 2E 2F 2与正六边形ABCDEF 的边长之比=32a ：2a ＝3：4，故选：C ．二．填空题（共5小题）11．（2021•开平区一模）正多边形的外角为120度，边长为m ，则这个正多边形的面积是√34m 2 ． 【分析】多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，据此即可求得正多边形的边数，进而求解．【解答】解：正多边形的边数是：360÷120＝3．等边三角形的边长为2cm ，所以正六边形的面积=12×m ×m ×√32=√34m 2． 故答案为：√34m 2． 12．（2021•路南区二模）如图所示，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，交AD ，BC于E ，F ，延长BA 交⊙A 于G ，连结GF 、FE ，当∠D ＝60°时，∠GFE ＝ 30 °．【分析】先根据平行四边形的性质和平行线的性质得到∠GAD ＝∠D ＝60°，然后根据圆周角定理求解．【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠GAD ＝∠D ＝60°，∴∠GFE =12∠GAE =12×60°＝30°．故答案为30．13．（2021•长安区二模）如图，正方形ABCD 和正六边形AEFCGH 均内接于⊙O ，连接HD ；若线段HD 恰好是⊙O 的一个内接正n 边形的一条边，则n ＝ 12 ．【分析】连接OH 、OD 、OA ，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O 的内接正四边形与内接六三角形的中心角得到∠HOA ＝60°，∠DOA ＝90°，∠DOH ＝∠DOA ﹣∠HOA ＝90°﹣60°＝30°，然后计算n ．【解答】解：连接OH 、OD 、OA ，如图，∵正方形ABCD和正六边形AEFCGH均内接于⊙O，∴∠HOA=360°6=60°，∠DOA=360°4=90°，∠DOH＝∠DOA﹣∠HOA＝90°﹣60°＝30°，∴n=360°30°=12，即HD恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．故答案为12．14．（2021•石家庄模拟）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为4，弦AB的长为3，过O作OC⊥AB于点C，则OC的长度是√552，⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是√552−√5，最大值是√552+√5．【分析】连接OB，根据垂径定理求出BC，根据勾股定理计算求出OC，根据勾股定理求出OD，求出点D到AB的距离的最值．【解答】解：连接OB，∵OC⊥AB，∴BC=12AB=32，由勾股定理得，OC =√OB 2−BC 2=√552，由勾股定理得，OD =√22+12=√5，当点D 在直线OC 上时，点D 到AB 的距离的最小或最大，∴点D 到AB 的距离的最小值为√552−√5，点D 到AB 的距离的最大值为√552+√5， 故答案为：√552；√552−√5；√552+√5．15．（2021•石家庄一模）如图，已知AB ＝AC ＝BE ＝CD ，AD ＝AE ，点F 为△ADE 的外心，若∠DAE ＝40°，则∠BFC ＝ 140 °．【分析】由等腰三角形的性质得出∠BEA ＝∠BAE ＝70°，求出∠ABE ＝40°，连接AF ，EF ，DF ，由三角形外心的性质求出∠EBF ＝∠FCB ＝20°，由三角形内角和定理可得出答案．【解答】解：∵∠DAE ＝40°，AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ，∴∠AED =12（180°﹣40°）＝70°，∵AB ＝BE ，∴∠BEA ＝∠BAE ＝70°，∴∠ABE ＝40°，连接AF ，EF ，DF ，∵点F 为△ADE 的外心，∴AF ＝EF ，AF ＝DF ，∴点F 在AE 的垂直平分线上，同理点B 在AE 的垂直平分线上，∴∠ABF ＝∠EBF ，∴∠EBF =12∠ABE ＝20°，同理∠FCB ＝20°，∴∠BFC ＝180°﹣∠FBC ﹣∠FCB ＝180°﹣20°﹣20°＝140°．故答案为：140．三．解答题（共3小题）16．（2021•开平区一模）如图，∠AOB 内有一点P ，PC ⊥OA ，垂足为C ，以P 为圆心PC 为半径画14⊙P ，与OB 交于点E ， （1）过点D 作PD 的垂线与OB 交于点M ，连接PM ，过圆心P 作PN ⊥PM 交OA 于点N ，求证△PMN 是等腰直角三角形．（2）若PC ＝2，∠DPE ＝15°，计算扇形PEC 的面积（结果保留π）．【分析】（1）连接MN ．证明△DPM ≌△CPN （ASA ），推出PM ＝PN ，可得结论．（2）利用扇形面积公式求解即可．【解答】（1）证明：连接MN ．∵PM ⊥PN ，∴∠MPN ＝90°，∵∠CPD ＝90°，∴∠CPD ＝∠MPN ，∴∠DPM ＝∠CPN ，∵DM ⊥PD ，PC ⊥OA ，∴∠PDM ＝∠PCN ＝90°，在△PDM 和△PCN 中，{∠PDM =∠PCNPD =PC ∠DPM =∠CPN，∴△DPM ≌△CPN （ASA ），∴PM ＝PN ，∵∠MPN ＝90°，∴△PMN 是等腰直角三角形．（2）解：∵∠DPE ＝15°，∴∠CPE ＝90°﹣15°＝75°，∴S 扇形PEC =75×π×22360=5π6．17．（2021•滦州市一模）如图，AM ∥BN ，AB ⊥BN ，点C 在射线BN 上且∠ACB ＝50°，BQ ⊥AC于点Q ，点P 是线段QA 上任意一点，延长BP 交AM 于点D ，AB ＝6．（1）若点P 为AC 中点，求证：△APD ≌△CPB ；（2）当△PBC 为等腰三角形时，求∠PBC 的度数；（3）直接写出△PBC 的外心运动的路径长．【分析】（1）根据全等三角形的判定方法：ASA即可得到结论；（2）分三种情况：当PC＝PB时，当BC＝BP时，当BC＝BP时，分别计算即可；（3）作BC的垂直平分线l1，QC的垂直平分线l2，AC的垂直平分线l3，l2交QC于E，l3交AC于F，设CQ＝x，AQ＝y，设△PBC外心运动路径长为h，外心一定在直线l1上，根据三角函数可得答案．【解答】解（1）∵P为AC中点，∴PA＝PC，∵AM∥BN，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠BPC＝∠APD，∴△APD≌△CPB（ASA）．（2）当PC＝PB时，∠PBC＝∠ACB＝50°，当CP＝CB时，∠PBC＝∠CPB=180°−50°2=65°，当BC＝BP时，∠PBC＝108﹣2x50＝80°，综上：∠PBC＝50°或65°或80°．（3）作BC的垂直平分线l1，QC的垂直平分线l2，AC的垂直平分线l3，l2交QC于E，l3交AC于F，设CQ ＝x ，AQ ＝y ，∴EF =x+y 2−x 2=y 2，设△PBC 外心运动路径长为h ，外心一定在直线l 1上，∵∠CFT ＝∠CAB ＝40°，∴cos40°＝（y 2）÷h =AB AC =AQ AB =y 6， ∴y 2÷h ＝y ÷6， ∴h ＝3，故△PBC 的外心运动的路径长为3．18．（2021•南皮县一模）如图，射线AM ⊥AB ，O 是AM 上的一点，以O 为圆心，OA 长为半径，在AM 上方作半圆AOC ，BE 与半圆相切于点D ，交AM 于点E ，EF ⊥BO 于点F ．（1）求证：BA ＝BD ；（2）若∠ABE ＝60°，①判断点F 与半圆AOC 所在圆的位置关系，并说明理由；②若AB =√3，直接写出阴影部分的面积．【分析】（1）由切线长定理可得出答案；（2）①证明△OBA≌△OEF（AAS），由全等三角形的性质得出OF＝OA，则可得出答案；②连接OD，则OD⊥BE，由直角三角形的性质求出OD的长，根据扇形的面积公式和三角形的面积公式可得出答案．【解答】（1）证明：∵AM⊥AB，∴BA是半圆的切线，切点为A，又∵BE与半圆相切于点D，∴BA＝BD；（2）解：①点F在半圆AOC所在的圆上，理由如下：∵∠ABE＝60°，∴∠BEA＝30°，又∵OBA＝∠OBE=12∠ABE＝30°，∴∠OBE＝∠OEB，∴OB＝OE，又∵∠AOB＝∠FOE，∠A＝∠F＝90°，∴△OBA≌△OEF（AAS），∴OF＝OA，∴点F在半圆AOC所在的圆上；②连接OD，则OD⊥BE，∵OB＝OE，∴DE＝BD＝AB=√3，∵∠OBA＝30°，∴OD＝OA＝AB•tan30°=√3×√33=1，2 360=√32−π6．∴S阴影＝S△COE﹣S扇形COD=12×√3×1−60π×1。