下载文档原格式
高中数学三角函数解三角形知识点高中数学中，三角函数和解三角形是重要的知识点。
本文将详细介绍三角函数的定义和性质，以及如何运用三角函数解决各种三角形相关的问题。
一、三角函数的定义和性质1. 正弦函数（sin）：在一个直角三角形中，对于一个锐角θ，正弦函数的值定义为所对直角边与斜边之比，即sinθ = 对边/斜边。
2. 余弦函数（cos）：在一个直角三角形中，对于一个锐角θ，余弦函数的值定义为所对直角边与斜边之比，即cosθ = 邻边/斜边。
3. 正切函数（tan）：在一个直角三角形中，对于一个锐角θ，正切函数的值定义为所对直角边与邻边之比，即tanθ = 对边/邻边。
4. 正弦函数和余弦函数的关系：正弦函数与余弦函数互为倒数，即sinθ = 1/cosθ。
5. 正切函数与正弦函数、余弦函数的关系：正切函数与正弦函数、余弦函数的比值相等，即tanθ = sinθ/cosθ。
6.三角函数的周期性：正弦函数、余弦函数、正切函数都具有周期性，周期为2π或360°。
7.三角函数的图像：正弦函数图像为一条波浪线，余弦函数图像为正弦函数图像向右平移π/2或90°，正切函数图像则为一系列渐进线（纵坐标趋近于正负无穷）。
二、解三角形的基本方法解三角形是指已知一个或多个角度和边长，求解出三角形的未知边长和角度的过程。
1.已知两边算第三边：利用三角形的两边之和大于第三边的性质，可以根据给定的两边长度求解第三边的取值范围。
2.已知一边和与之相对的角度算另外两个角度：根据三角形的内角和等于180°，可以利用给定的一边和一个角求解另外两个角度。
3.已知两边和一个角度算第三边：先根据已知的两边和一个角度求解第三个角度，然后根据三角形的角度和边长之间的关系求解第三边。
三、解三角形的具体例题1.已知三边，求三个角的大小：根据余弦定理或正弦定理计算出三个角的大小。
2.已知三个角，求三个边长：根据正弦定理或余弦定理计算出三个边长的取值范围。
三角函数和解三角形知识点汇总知识点一三角函数（一）、角的概念的推广1．定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.2．分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角．按终边位置不同分为象限角和轴线角．3．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.（二）、弧度制的定义和公式1．定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．公式（三）、任意角的三角函数（四）、同角三角函数的基本关系 1．平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. 2．商数关系：sin αcos α＝tan α.（五）、三角函数的诱导公式知识点二 三角函数的图像与性质（一）、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图1．正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).2．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).（二）、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )知识点三函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像及应用（一）、“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：1．定点：如下表所示.2．作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝A sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象.3．扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ)在R上的图象.（二）、函数y＝A sin(ωx＋φ)中各量的物理意义当函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞) 表示一个振动量时，几个相关的概念如下表：（三）、函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径知识点四 三角恒等变换（一）、两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.（二）、二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.（三）、有关公式的逆用、变形等 1．tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β). 2．cos 2α＝1＋cos 2α2， sin 2α＝1－cos 2α2. 3．1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.（四）、函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .知识点五 解三角形（一）、正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则（二）、S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.（三）、实际问题中的常用角1．仰角和俯角：在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2．方位角：从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角．如B点的方位角为α(如图2)．3．方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4．坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.。
三角函数问题解题思想总结三角函数是高中数学中的重要内容之一，它在几何图形的变化和物理问题的求解中有着广泛的应用。
解决三角函数问题要掌握以下几点思想。
第一，几何意义。
三角函数中的正弦、余弦和正切等函数都可以用来描述角度和边长之间的关系。
在解决问题时，要根据题目中给出的条件，通过几何意义来确定所需要求解的函数和关系。
第二，特殊角的性质。
在三角函数中，经常会遇到特殊角度的计算。
对于0度、30度、45度、60度和90度等特殊角度，要熟练掌握它们的函数值和特点，从而能够快速计算出结果。
第三，三角函数的性质。
三角函数具有周期性和对称性的性质。
周期性意味着函数值在一定范围内重复出现，对称性则表示函数关于某一点对称。
利用这些性质，可以简化计算，减少求解的范围。
第四，化简与换元。
对于复杂的三角函数式子，可以通过化简和换元的方法简化计算。
化简过程中可以利用三角恒等式和函数的基本定义等性质来进行推导，从而得到简洁的结果。
换元则是通过引入新的变量或函数，将原问题转化为更简单的形式。
第五，解方程与解不等式。
三角函数问题中常常涉及方程和不等式的求解。
对于方程，可以通过化简、换元和迭代等方法，求得满足方程条件的解；对于不等式，可以通过绘图、判断符号等方法，确定其解的范围。
第六，图像与性质。
三角函数的图像与函数的性质有着密切关系。
通过绘制函数图像，可以观察函数的周期、极值、单调性等特点，从而对问题的求解提供有益的线索。
在解决三角函数问题时，需要结合以上的思想，并灵活运用各种计算、推导和判断方法。
通过不断的练习与实践，提高对三角函数的理解和运用能力，才能在解决问题中更加得心应手。
同时，也需要注意审题，理解题目中的条件和要求，准确地转化为数学语言，从而得到正确的解答。
解三角形与三角函数最全知识总结三角形与三角函数是数学中非常重要的内容，广泛应用于几何学、物理学、工程学等多个领域。
以下是对三角形与三角函数的最全知识总结。
一、基本概念1.三角形：由三条边和三个内角组成的图形。
根据边的长度和角的大小关系，可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等等。
2.内角和：三角形的三个内角的和为180度，或者π弧度。
3.值得注意的几何关系：三角形的内角对应的边对边长相等，相等的两个角对应的边对边长也相等。
4.三角形的面积：可以通过底边和高的乘积的一半来计算，也可以通过三边的长度来计算。
二、三角函数的定义与性质1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，对于一个锐角A，正弦函数的值等于对边与斜边的比值。
即sin(A) = 对边/斜边。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，对于一个锐角A，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值。
即cos(A) = 邻边/斜边。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，对于一个锐角A，正切函数的值等于对边与邻边的比值。
即tan(A) = 对边/邻边。
4.三角恒等式：包括平方恒等式、和差恒等式、倍角恒等式等等，可以通过这些恒等式将一个三角函数的式子转化为另外一个三角函数的式子。
5.周期性：三角函数是周期函数，即在每个周期内的函数值是相同的。
三、三角函数的图像与性质1.正弦函数图像：正弦函数的图像是一个连续、周期为2π的曲线，以原点为对称中心。
2.余弦函数图像：余弦函数的图像也是一个连续、周期为2π的曲线，但它的图像是以横坐标π/2为对称轴。
3.正切函数图像：正切函数的图像是一个连续、以π为周期的曲线，有无穷多个渐近线。
四、三角函数的应用1.解三角形：通过已知的边长和角度，可以利用三角函数解出未知的边长和角度。
2.测高度：利用三角形的性质，可以通过测量两个视角和距离，计算出高度的长度。
3.平衡力问题：在物理学中，利用三角函数可以计算出干涉力、斜面上的力等问题。
数学初中必考三角函数知识点解析与解题技巧分享【数学初中必考三角函数知识点解析与解题技巧分享】数学是一门基础学科，也是让许多初中生望而生畏的学科之一。
在数学的各个领域中，三角函数是一个至关重要的知识点。
本文将对初中数学中的三角函数进行解析，并分享一些解题技巧，帮助同学们更好地掌握这一知识。
一、初识三角函数在学习三角函数之前，我们先来了解一下三角函数的概念。
三角函数是描述角与边之间关系的函数。
在初中数学中，我们主要学习正弦函数、余弦函数和正切函数。
1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦函数是指一个角的对边与斜边之比，即sinA=对边/斜边。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦函数是指一个角的邻边与斜边之比，即cosA=邻边/斜边。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切函数是指一个角的对边与邻边之比，即tanA=对边/邻边。
二、基本公式与性质掌握三角函数的基本公式与性质是解题的基础。
以下是几个常用的公式与性质：1. 三角函数的定义域：sin、cos、tan的定义域都是全体实数。
2. 周期性：sin、cos、tan都具有周期性，且周期为360度（或2π弧度）。
3. 奇偶性：sin为奇函数，cos为偶函数，tan为奇函数。
4. 正交关系：在单位圆上，对于任意的角A，sin A与cos A是正交的。
5. 三角函数的和差化简公式：例如sin(A±B)、cos(A±B)等，可以通过这些公式将角度和简化成单一的角度。
三、解题技巧分享在解题过程中，我们可以运用一些技巧来帮助我们更快地解题。
以下是一些常用的解题技巧：1. 利用基本三角函数的性质，将复杂的三角函数化简成简单的三角函数。
例如利用和差化简公式将一个角化简为两个角，再利用基本三角函数的值进行计算。
2. 将角度转化为弧度制。
在一些题目中，我们需要将角度转化为弧度制进行计算，此时需要注意弧度和角度的换算关系。
常用的换算关系是：1°=π/180。
三角函数三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象x 限的角。
若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k或与角终边在同一条直线上的角的集合：；与角终边关于轴对称的角的集合：；x 与角终边关于轴对称的角的集合：；y 与角终边关于轴对称的角的集合：；x y②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合：；终边在一、三象限的平分线上角的集合：；终边在二、四象限的平分线上角的集合：；终边在四个象限的平分线上角的集合：；（3）区间角的表示：①象限角：第一象限角：；第三象限角：；第一、三象限角：；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“间的角”=；oo90~0“第一象限的角”= ；“锐角”= ；“小于的角”= ；o90（5）由的终边所在的象限，通过来判断所在的象限，通过2来判断所在的象限3（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角的弧度数的绝对值，其中为以角作为圆心角时所对圆rl ||l 弧的长，为圆的半径。
注意钟表指针所转过的角是负角。
r （7）弧长公式：；半径公式：；xyOxyO扇形面积公式：；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取x 一个异于原点的点，点到原点的距离记为，则；),(y x P P r sincos；；tan 如：角的终边上一点，则。
注意r>0)3,(a a sin2cos （2）在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线；x yOa x y Oa xy Oa yOa比较，，，的大小关系：。
)2,0(xx sin x tan x （3）特殊角的三角函数值：643223sin costan三、同角三角函数的关系与诱导公式：（1）同角三角函数的关系作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
三角函数和解三角形知识点汇总三角函数和解三角形是高中数学中的重要内容，这两个知识点在解决几何问题和求解三角方程等方面具有广泛的应用。
本文将对三角函数和解三角形的相关概念和性质进行汇总和总结。
一、三角函数的基本概念和性质1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边之比。
在单位圆中，正弦函数定义为点在单位圆上的纵坐标。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边之比。
在单位圆中，余弦函数定义为点在单位圆上的横坐标。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边之比。
在单位圆中，正切函数定义为点在单位圆上的纵坐标与横坐标之比。
4. 三角函数的周期性：正弦函数、余弦函数和正切函数都具有周期性，周期为360度或2π弧度。
5. 三角函数的基本关系：正弦函数、余弦函数和正切函数之间存在一定的关系，如正弦函数与余弦函数的平方和等于1，正切函数与正弦函数的比值等于余弦函数。
二、解三角形的基本方法1. 解直角三角形：直角三角形是最简单的三角形，可以通过已知两个角或两个边长度，求解出三个角和三个边的长度。
解直角三角形常用的方法包括正弦定理、余弦定理和勾股定理。
2. 解一般三角形：一般三角形包括三个不等边和三个不等角。
解一般三角形的关键是要找到足够的已知条件，一般包括已知两个角和一个边的长度，或已知两个边和一个角的大小。
解一般三角形常用的方法有正弦定理和余弦定理。
三、三角函数和解三角形的应用1. 几何问题的求解：三角函数和解三角形广泛应用于几何问题的求解，如求解三角形的面积、角度、边长等。
2. 物理问题的求解：三角函数和解三角形也在物理问题的求解中发挥着重要作用，如求解力的合成与分解、两个物体之间的角度等。
3. 工程问题的求解：在工程问题中，三角函数和解三角形用于求解斜面的倾斜角度、测量高楼大厦的高度等。
四、总结本文对三角函数和解三角形的相关知识进行了汇总和总结。
三角函数的思想和方法总结三角函数是数学中的重要概念之一，它是描述角度与长度之间关系的数学工具。
三角函数的思想和方法可以总结为以下几点：首先，三角函数的思想是基于直角三角形的。
直角三角形是一种特殊的三角形，其中包含有一个直角（即90度的角度）。
对于一个任意的直角三角形，我们可以定义三个基本的三角函数——正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）和正切函数（tangent）。
这三个函数的定义是基于三角形中的比例关系，具体来说，正弦函数等于角度对边长与斜边长度的比值，余弦函数等于角度邻边长度与斜边长度的比值，正切函数等于角度对边长与角度邻边长度的比值。
其次，三角函数的方法是通过表格和图像来表示和计算。
在数学课堂上，我们常常会用表格的形式列出三角函数的取值，以便于计算和查询。
表格中通常列出一系列标准角的三角函数值，例如0度、30度、45度、60度和90度等。
通过查表可以获得这些标准角的三角函数值，并结合比例关系求解其他角度的三角函数值。
此外，三角函数的图像也是计算和理解三角函数的重要方法。
正弦函数和余弦函数的图像是周期性的曲线，它们在0至2π之间循环出现。
正切函数的图像则是连续的曲线，呈现出一种奇特的波动形态。
此外，三角函数的方法还包括一系列的基本性质和应用。
例如，正弦函数和余弦函数是互为倒数的，即sin(x) = cos(π/2 - x)，在一些问题中可以利用这个性质简化计算。
另外，在求解实际问题时，三角函数也有广泛的应用，例如用三角函数来描述振动的规律、求解三角形的边长和角度等。
总之，三角函数是一种重要的数学工具，它的思想和方法基于直角三角形的比例关系，通过表格和图像来表示和计算。
三角函数的方法除了基本的定义和性质之外，还包括一系列的特殊角和实际问题的应用。
通过充分理解和掌握三角函数的思想和方法，我们可以更好地应用它们来解决数学问题和理解自然现象。
三角函数及解三角形知识点总结三角函数是数学中一个重要的分支，它研究了三角形中角度和边长之间的关系。
解三角形则是利用已知的一些条件，计算出三角形中的未知量。
本文将总结三角函数和解三角形的相关知识点，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、三角函数的基本概念1. 正弦函数（sine function）正弦函数是三角函数中最基本的一种，用sin表示。
它表示一个角的对边与斜边之比，即sinθ = 对边 / 斜边。
2. 余弦函数（cosine function）余弦函数是与正弦函数相似的三角函数，用cos表示。
它表示一个角的邻边与斜边之比，即cosθ = 邻边 / 斜边。
3. 正切函数（tangent function）正切函数也是常见的三角函数，用tan表示。
它表示一个角的对边与邻边之比，即tanθ = 对边 / 邻边。
二、三角函数的性质1. 周期性三角函数具有周期性，即在一定范围内，函数值会重复出现。
例如正弦函数和余弦函数的周期是2π，而正切函数的周期是π。
2. 定义域和值域不同的三角函数具有不同的定义域和值域。
正弦函数和余弦函数的定义域是整个实数集，值域是[-1, 1]；而正切函数的定义域是除去其奇点的整个实数集，值域是整个实数集。
三、解三角形的基本方法解三角形是根据已知条件来计算未知量和角度的过程。
下面介绍几种常用的解三角形方法。
1. 余弦定理（Law of Cosines）余弦定理可以用来计算三角形中的边长。
对于一个三角形ABC，已知边长a、b和夹角C，余弦定理可以表示为c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cosC。
通过此公式，我们可以计算出任意一条边的长度。
2. 正弦定理（Law of Sines）正弦定理可以用来计算三角形中的角度和边长。
对于一个三角形ABC，已知边长a，b和夹角C，正弦定理可以表示为a/sinA = b/sinB = c/sinC。
通过此公式，我们可以计算出未知的角度和边长。
