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因式分解重要方法—公式法逆向用多项式的乘法公式来分解因式的方法称为公式法。
为了更好更快地用这种方法来分解因式，我们要注意如下几种变形:一、指数变形例1 分解因式444a b c -.解：原式＝()()22222a b c - ＝()()222222a b c a b c +-＝()()()222a b c ab c ab c ++-。
二、系数变形例2 分解因式()()229x y 4x y +--。
解：原式＝()()223x y 2x y +--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦＝()()223x 3y 2x 2y +--＝()()()()3x 3y 2x 2y 3x 3y 2x 2y ++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦＝()()5x y x 5y ++.三、提取因式变形例3 分解因式322a c 4a bc 4ab c -+.解:原式＝()22ac a 4ab 4b -+＝()2ac a 2b -.四、换元变形例4 分解因式()()22222x xy y 4xy x y ++-+. 解:设22x y = m , xy = n +，那么原式＝()2m n 4mn +-＝()222m 2mn n = m n -+-＝()222x y xy +-.五、分组变形例5 分解因式222a 4b 6bc 9c -+-。
解：原式＝()222a 4b 6bc 9c --+＝()22a 2b 3c --＝()()a 2b 3c a 2b 3c +--+。
六、拆项变形例6 分解因式42x 7x 1-+.解：原式＝()422x 2x 19x ++-＝()()222x 13x +- ＝()()22x 3x 1x 3x 1++-+。
七、添项变形例7 分解因式44a 4b +.解：原式＝()422422a 4a b 4b 4a b ++-＝()()2222a 2b 2ab +- ＝()()2222a 2b 2ab a 2b 2ab +++-。
尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
因式分解十忌学习了因式分解，感觉掌握如何？分解因式时会出现错误吗？为了帮助大家学好因式分解，现就分解因式易出现的一些错误剖析如下.1.忌走回头路例1 分解因式x4-16.错解：x4-16=(x2+4)(x2-4)=x4-16.剖析：分解因式是将和的形式，变成和原来多项式值相等的几个整式的积的形式，即等式的左边是和的形式，右边是整式的积的形式.错解走回头路，把分解后的结果又进行了整式的乘法运算，走了“回头路〞.正解：x4-16=(x2+4)(x2-4)=(x2+4)(x+2)(x-2).提示：防止走回头路的关键是理解因式分解的概念.2.忌有而不提例2 分解因式81x2-54x+9.错解：81x2-54x+9=(9x-3)2.剖析：分解因式时，如果有公因式，首先要提取公因式，此题没有提公因式而出现分解不彻底.正解： 81x2-54x+9=3(3x-1)2.提示：分解因式时，要保证结果中的每个因式都不含有公因式.3.忌提后丢项例3分解因式12x2y-8xy2+4xy.错解： 12x2y-8xy2+4xy=4xy(3x-2y).剖析：在提取公因式式，如果一个多项式有n项，那么提取公式后，剩下的项数仍为n项.错解在提取公因式后最后一项应剩下1，而不是0.正解：12x2y-8xy2+4xy=4xy(3x-2y+1).提示：原多项式有几项，提出公因式后还是是几项.4.忌提而不尽例4 分解因式:6(x-y)2-12(x-y).错解：6(x-y)2-12(x-y)=3(x-y)(2x-2y-4).剖析：在利用提取公因式分解因式时，要将公因式提尽，即每个多项式都不能再有公因式可提.错解在没有将公因式提尽.正解： 6(x-y)2-12(x-y)=6(x-y)(x-y-2)提示：分解因式最后的结果是每个因式中都不能再含有公因式.5.忌提而不合例5 分解因式x(x-y)(x+y)-x(x+y)2.错解：x(x-y)(x+y)-x(x+y)2=x(x+y)[(x-y)-(x+y)].剖析：在分解因式时，如果能合并同类项的一定要合并同类项.上面的解法没有合并同类项.分解也就不彻底.正解：x(x-y)(x+y)-x(x+y)2=-2xy(x+y).提示：当分解后的结果中含有中括号，那么应去掉中括号.6.忌因式非整式例6 分解因式x 4-1.错解：x 4-1=x 2(x 2-21x)=x 2(x+x 1)(x-x 1). 剖析：错解在没有正确理解因式分解的定义.因式分解是把多项式化为整式的积，而变形中的x1不是整式，故此变形不叫因式分解. 正解：x 4-1=(x 2+1)(x 2-1)(x 2+1)(x+1)(x-1).提示：分解因式其结果一定是整式的积的形式.7.忌顾此失彼例7 分解因式-2a 2+8ab-8b 2.错解：-2a 3+8a 2b-8ab 2=2a(-a 2+4ab-4b 2).剖析：分解因式时，如果第一项出现负号，一般要将负号提出.此题由于没有将负号提出，出现了分解没有到底的错误.正解：-2a 3+8a 2b-8ab 2=-2a(a 2-4ab+4b 2) =-2a(a-2b)2.提示：当多项式第一项为哪一项负号时，提取负号，柳暗花明.8.忌变形不等 例8分解因式21a 2-ab+21b 2. 错解：21a 2-ab+21b 2=a 2-2ab+b 2=(a-b)2. 剖析：因式分解是将多项式和的形式转化为几个整式的积的形式，是一种值不改变的变形.不同于解方程的去分母.错解是思维混乱，将分解因式与解方程的变形混淆. 正解：21a 2-ab+21b 2=21(a 2-2ab+b 2)=21(a-b)2. 提示：因式分解不改变原多项式的值，即分解因式是恒等变形.9.忌张冠李戴例9 分解因式9a 2-4b 2.错解： 9a 2-4b 2=(3a-2b)2.剖析：记住平方差公式和完全平方式是利用公式法分解因式的关键.错解在混淆两种公式，出现了张冠李戴现象.正解：9a 2-4b 2=(3a+2b)(3a-2b).提示：当多项式是两项时，注意思考平方差公式的应用，当是三项时，思考完全平方公式的应用.10. 忌符号出错例10分解因式-x 2y+2xy+3y.错解：-x 2y+2xy+3y=-y(x 2+2x-3)=-y(x-1)(x+3).分析：提取的公因式带负号，括号中各项都要变号.上面错在提取后有一项未变号. 正解：-x 2y+2xy+3y=-y(x 2-2x-3)=-y(x+1)(x-3).提示：符号作用大，变形想着它.。
12.4 用公式法进行因式分解一、选择题1、多项式4a 2+ma +25是完全平方式，那么m 的值是（ ）A 。
10B 。
20C 。
－20D.±202、在一个边长为12.75 cm 的正方形纸板内，割去一个边长为7.25 cm 的正方形，剩下部分的面积等于（ )A 。
100 cm 2B.105 cm 2C 。
108 cm2D.110 cm 23、如果b －a =－6，ab =7，那么a 2b －ab 2的值是（ ）A.42B.－42C.13D.－134、从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小 正方形(如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是( ）A ．a 2 – b 2 =(a +b )（a -b ）B ．（a – b ）2 = a 2 –2ab + b 2C ．（a + b )2= a 2+2ab + b 2D ．a 2+ ab = a (a +b ） 二、填空题1、请你任意写出一个．．三项式，使它们的公因式是－2a 2b ,这个三项式可以是________. 2、用简便方法计算，并写出运算过程：（753)2－2。
42=_____________.9。
92+9.9×0。
2+0。
01=_____________.3、如果把多项式x 2－8x +m 分解因式得（x －10）(x +n )，那么m =________，n =_______。
4、若x =61,y =81，则代数式(2x +3y ）2－(2x －3y ）2的值是________。
三、解答题 1、计算与求值（1)29×20。
03+72×20.03+13×20.03－14×20.03。
(2）已知S =πrl +πRl ，当r =45，R =55，l =25，π=3.14时，求S 的值。
2、32003－4×32002+10×32001能被7整除吗？为什么？3、求证：当n 是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
因式分解中考风向标
一、 直接提公因式
提公因式法是分解因式时的首选方法.对于一个多项式，首先要看能否提公因式，其次才考虑其他方法.
例1分解因式：222a ab -= ．
析解：第一步找出公因式2a ，第二步用多项式2a 2-2ab 除以公因式2a 得另一个因式（a-b ），所以答案为2()a a b -.
例2下列分解因式正确的是（ ）
A.)1(222--=--y x x x xy x
B. )32(322---=-+-x xy y y xy xy
C. 2)()()(y x y x y y x x -=---
D. 3)1(32--=--x x x x
析解：此题A 选项中的多项式2x 2-xy-x 的公因式是x 而不是2x, B 选项提出公因式-y 后应为-y （xy-2x+3），D 选项从左到右的变形不是因式分解，故A 、B 、D 都错误，对于C 选项中的多项式x （x-y ）-y （x-y ），可提出公因式（x-y ）进行分解.原式=（x-y ）（x-y ）=（x-y ）2.所以应选C.
说明：用提公因式法分解因式要先确定多项式各项的公因式，然后再提取公因式.当多项式的第一项符号为负时，连同负号和公因式一起提出来，使括号内的第一项变为正.如果多项式的某一项恰好是公因式，提取公因式后，该项变为1，而不是0，不要丢项.
二、 直接运用公式
当一个多项式没有公因式时，就应考虑运用公式法分解因式，然后再考虑其他方法. 例3分解因式：24x -= ．
析解：本例是两个平方数之差，所以应用平方差公式.2
4x -=x 2-22=（x+2）(x-2). 故应填（x+2）(x-2).
例4因式分解：122+-x x = .
析解：此题是关于三项式的因式分解，要考虑用完全平方公式.x 2-2x+1= x 2-2×1×x +12
=（x-1）2，故应（x-1）2.
说明：在运用公式法分解因式时要注意两个公式的特征，另外公式中的字母可以是单项式，也可以是多项式.
三、 先提公因式，再分解
很多多项式的因式分解仅用一种方法无法完成，需要先提公因式，再运用公式法分解. 例5分解因式：3
4x x - = ．
析解：多项式的各项都含有一个相同的字母x ，提出公因式x 以后的另一因式为（x 2-4），可以用平方差公式继续分解.34x x - =x （x 2-4）=(2)(2)x x x +-. 故答案为(2)(2)x x x +-.
例6把多项式2mx 2－4mxy ＋2my 2
分解因式的结果是 ．
析解：多项式的各项都含有相同的因式2m ，提出公因式2m 以后的另一因式为（x 2-2xy+ y 2），可以用完全平方公式继续分解.2mx 2－4mxy ＋2my 2=2m （x 2-2xy+ y 2）=2m (x-y)2. 故答案为2m (x-y)2.
说明：因式分解的结果要求分解到每个多项式因式都不能再分解为止.
四、先计算，再分解
有的题目需要先进行计算，再根据计算结果中多项式的特点选择适当方法进行分解. 例7分解因式：ab b a 8)2(2+- =____________．
析解：不难发现，此题化简后是一个三项式，可以用完全平方公式分解.ab b a 8)2(2+-=4a 2+4ab 2+b 2=(2a)2+ 2×2ab+b 2=2)2(b a +.故应填2)2(b a +. 例8给出三个多项式X =2a 2＋3ab ＋b 2，Y =3a 2＋3ab ，Z = a 2＋ab ，请你任选两个进行加(或减)法运算，再将结果分解因式．
析解：这是一道答案不唯一的开放性试题，以下给出三种选择方案，其他方案从略. 解答一：Y + Z =(3a 2+3ab)+ (a 2+ab)
=4a 2+4ab
=4a(a+b)．
解答二： X- Z = (2a 2＋3ab ＋b 2)-(a 2+ab)
=a 2+2ab+b 2
=(a+b)2．
解答三：Y- X=(3a 2+3ab)- (2a 2＋3ab ＋b 2)
=a 2- b
2 =(a+b)(a-b)．
说明：以上两例是对整式运算与因式分解的综合考查，先准确地进行整式运算，再根据结果中多项式的结构特征确定分解方法是解决此类问题的关键。
下面也是关于因式分解的中考题，请同学们自己完成.
1、分解因式：2a a -= .
2、分解因式：=-ay ax .
3、下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A.x 2－xy
B. x 2＋xy
C. x 2－y 2
D. x 2＋y 2 4、因式分解:92-x ＝ ________________.
5、分解因式：282x -=______________.
6、分解因式：32a ab -=___________.
7、分解因式：328m m -= ．
8、分解因式：3269x x x -+.
9、分解因式33222ax y axy ax y +-= ．
10、分解因式(4)4x x ++的结果是 ．
答案：
1、a(a-1)
2、a(x-y)
3、C
4、()()33+-x x
5、2（x+2）(x-2)
6 、()()a a b a b +-； 7、2(2)(2)m m m +- 8、原式=2(69)x x x -+2(3)x x =- 9、2()axy x y - 10、(x+2)2.。
