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一类反应扩散方程组解的稳定性与唯一性
郑靖波
【期刊名称】《安徽工业大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】1989(006)002
【总页数】10页(P106-115)
【作者】郑靖波
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】TF0
【相关文献】
1.一类奇异半线性反应扩散方程组解的存在唯一性 [J], 王兰梓
2.一类反应扩散方程组平衡解的局部分歧及稳定性 [J], 李津;李艳玲
3.一类反应扩散方程组正平衡解的存在性与唯一性 [J], 蒋飞达;李刚
4.一类Liénard型方程周期解及概周期解的存在唯一性和渐近稳定性 [J], 蒋贵荣;罗桂烈
5.一类非齐次泛函微分方程周期解的存在唯一性与稳定性 [J], 成佳玲
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一类具有饱和发生率的病毒感染模型的稳定性分析吴朝彪;夏米西努尔·阿布都热合曼【摘要】讨论了具有饱和发生率xβ+xvvp的病毒感染模型。
对于模型中p≥2的情况进行稳定性分析。
得到了当病毒感染阈值R0<1时，无病平衡点全局渐近稳定；当R0>1时，持续带毒平衡点全局渐近稳定。
%In this paper, we considered a viral infection model with saturated incidence rate xβ+xvvp . For a special case p≥2,we studied the stability of the model. The main result is that disease-free equilibrium is globally asymptotically stable for R0<1 and endemic equilibrium is globally asymptotically stable whenR0>1.【期刊名称】《新疆大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)002【总页数】6页(P177-182)【关键词】病毒;地方病平衡点;全局渐近稳定性;第二加性复合矩阵【作者】吴朝彪;夏米西努尔·阿布都热合曼【作者单位】新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐 830046;新疆大学数学与系统科学学院，新疆乌鲁木齐 830046【正文语种】中文【中图分类】O175.140 引言人类的病毒性感染十分普遍,如在第三世界国家中,成人几乎都感染过单纯疱疹病毒.其他如病毒性上呼吸道感染也很普遍,几乎人人都患过此病.多数病毒性疾病均能自愈,少数严重感染者可致死亡.急性感染发病急,进展快,病程一般为数日至数周.病毒感染人体后,引起体液免疫反应产生特异性抗体,和病毒的抗原结合再摄取补体,形成免疫复合物,一方面可以被吞噬细胞吞噬或由尿排出体外,清除病毒.用传染病数学模型研究病毒性疾病一直以来收到广泛关注,人们最为关心的是模型中的参数满足什么条件时,该传染病会最终流行或灭绝,也就是模型的无病平衡点和地方病平衡点的稳定性问题.病毒感染的基本模型是由Nowak等[1]提出来的,其基本假设是把宿主体内研究群体分为未感染细胞x(t),感染细胞y(t)和游离病毒v(t)三类.未感染细胞与病毒接触后会产生染病细胞.而根据疾病的传播的不同机理,在模型中用到的疾病发生率也会不同,常用的发生率有双线性发生率,标准发生率和饱和发生率等.这几年来,传染病模型的研究中饱和发生率使用的比较广泛,比如文献[2]中,作者引用了饱和发生率这里S 为易感者,I为染病者.而文献[3]中作者引用了上述饱和发生率在p=q=1的情形,文献[4]引用了上述饱和发生率在p=q=2的情形,文献[5]则引用了上述发生率的另一个特殊情形,即q=3,p=1的情形.文献[6]引用了形如的发生率,而文献[7]引用的发生率是,文献[8]引用了饱和发生率应用于基本的病毒感染模型,本文是在文献[8]的前提下作了一些改进,所讨论的模型中的发生率为当p≥2时的情形.通过分析得到了模型无病平衡点和持续带毒平衡点的全局稳定性,可以看到应用的发生率比[8]中的更一般些,同样得到了持续带毒平衡点是全局渐近稳定的当且仅当基本再生数R0>1的结论.1 基本性质本文在文献[8]模型下做出一些改变,研究如下一般非线性病毒发病感染率的xyv模型,其中x(t),y(t),v(t)分别代表t时刻宿主体内未感染细胞数量、感染细胞数量和游离病毒的数量,则可得到带有饱合发生率的病毒感染数学模型其中参数λ表示未感染细胞在人体组织中的常数产生率；d表示未感染细胞的死亡率,α表示感染细胞的死亡率,u表示游离病毒的死亡率表示游离病毒接触并成功感染未感染细胞的速率;k是指感染细胞释放游离病毒的速率.模型(1)的初始条件为系统(1)有一个无感染平衡点令基本再生数取为引理1 若R0≥1,即则系统(1)存在唯一的持续带毒平衡点其中而v∗满足下面的方程(4)证明令由图像分析知,当p≥2,R0>1时,第一个方程指数函数图像在第一象限单调递增,而在第一象限单调递减,由他们的值域和定义域可知,必然在在第一象限有且只有一个交点V∗使得方程(4)成立.引理2 设(x(t),y(t),v(t))是模型(1)满足初始条件(2)的解,则对任意的t≥0,解(x(t),y(t),v(t))是正的.证明假设x(t)在(0,)内不恒大于0,则存在>0,使得(x(t)>0),t∈(0,)但是x()=0,对于t∈(0,),从而有令由于x(t)连续,则矛盾,所以x(t)>0,t>0,类似于x(t)正性的证明,可以得到y(t),v(t))的正性.引理3 对系统(1)满足初始条件(2)的任意解(x(t),y(t),v(t))是有界的.证明令N(t)=x(t)+y(t),m=min(d,α),则故,x(t),y(t)有界,由系统(1)的第三个方程知v(t)也有界,即存在M 使得是系统(1)的正向不变集:2 无感染平衡点的全局动力学在本节中,假设R0≤1,并构造Lyapunov函数,得出模型(2)的无感染平衡点是全局渐近稳定的.定理1 当R0<1时,系统(1)的无病平衡点是全局渐近稳定的.证明首先证明系统无病平衡点E0的局部稳定性.系统(1)的Jacobian矩阵为它有三个特征根分别为故当时无病平衡点是局部稳定的,当Ro>1时,是不稳定的.下面证明当R0<1时,是全局吸引的.构造Lyapunov函数如下记：容易看出,系统(1)在E中的最大不变集M只有唯一的点由LaSalle不变性原理及极限方程理论可知是全局吸引的,结合E0的局部稳定性可知,当R0<1时,E0全局渐近稳定.3 持续带毒平衡点的全局稳定性本部分利用Bendixson判据方法[9]分析持续带毒平衡点的全局稳定性.设开集D⊂Rn,对x7→f(x)∈Rn是C1类函数,考虑微分方程设x(t,x0)是方程(8)满足条件x(t,x0)=x0的解.集合K被称为方程(8)在D内的吸引集,若对每一个紧子集K1⊂D,当t充分大时,都有x(t,K1)⊂K.给出基本假设：(H1)方程˙x=f(x)在D内存在一个紧吸引子集K⊂D,(H2)方程˙x=f(x)在D内存在唯一平衡点¯x⊂D.有如下Bendixson判据定理,参看[9]的定理2.3.文献[9]显示,如果D是单连通的,条件q<0能排除系统出现任何闭轨道,包括周期轨道,同宿轨道和异宿轨道.这里的Bendixson判据定义如下:设x→P(x)是一个矩阵函数,且对x∈D 它是C1的,假设P−1(x)存在且x∈K 上是连续的,K∈D是一个紧的吸引集,定义这里是把矩阵P的每一个元素Pij,用Pij沿f的方向导数取代得到的矩阵,µ(B)是矩阵Lozinshil测度定理2[9]若D是单连通区域,且条件(H1)和(H2)成立,则当q<0时,系统x˙=f(x)的唯一平衡点x∗在D内是全局渐近稳定的.下面应用定理2来讨论系统(1)持续带毒平衡点E∗=(x∗,y∗,v∗)的稳定性.定理3 若R0>1则E∗=(x∗,y∗,v∗)在Γ内是全局渐近稳定的.证明由定理1可得到R0<1时,E0是全局渐近稳定的,排除了持续性的任何可能性,由文献[10]中定理4.3得到R0>1是一致待续的充分条件,当R0>1时,令x=R3且E=Γ,系统(1)满足文献[10]中定理4.3的所有条件,在边界集∂Γ上的最大不变集是点集{E0}且是孤立的,因此对系统(1)一致持续的充分条件等价于E0是不稳定的,当且仅当R0>1时,E0是不稳定的,故系统(1)在˚T内是一致持续的,因此,在D内存在一个紧吸引子集K,故定理2的假设(H1)与(H2)成立.注系统(1)在有界集内中的一致持续性等价于系统(1)在内部中存在一个紧吸引子集K⊂Γ.下面验证q<0.令,则p是C1且在内是非奇异的,令f表示系统(1)的向量域,则系统(1)一般解X(t)=(x(t),y(t),v(t))的第二加性复合矩阵为：令矩阵其中令(x,y,v)是R3中的一个向量,定义在R3中的向量模为令µ为这个模的Lozinski.令其中为L1模下的Lozinski测量值,则由上可得下面计算µ(B22),把B22的每一列的非对角矩阵取绝对值,然后加到相对应列的对角元素上得取的两个对角元素的最大值即得µ(B22),则m=min{d,α} 因此,当 t>t∗时,又因为所以由于因此,g1<g2.利用µ(B)≤sup{g1,g2}得对 t>t∗从而又因为从而因此定理2的全部条件满足,故结论成立,可得到E∗是全局稳定的.即,若R0>1,则系统(1)的持续带毒平衡点E∗=(x∗,y∗,v∗)是在˚T内全局渐近稳定的.4 数值模拟这一部分,对系统的平衡点E∗=(x∗,y∗,v∗)在R0>1时,取不同的p值进行数值模拟,数值仿真采用Matlab软件.通过一些数值实例来说明结论的正确性和方法的有效性.如图1∼图4,这里模型中的参数分别取为λ=1.2,d=0.4,β=0.6,k=0.4,α=0.5,u=0.3,p=13,9,7,3,x(0)=2,y(0)=5,v(0)=1,此时R0=1.6>1.5 讨论这篇文章主要研究了模型(1)的动力学性质,通过建立新的Lyapunov函数并且利用微分方程中相关的稳定性理论,在基本假设(H1)和(H2)下,得到模型(1)的全局渐近稳定性.即无病平衡点是全局渐近稳定的当且仅当基本再生数R0<1,持续带毒平衡点是全局渐近稳定的当且仅当基本再生数R0>1,我们讨论的是模型发生率是当p≥2时的情形,可以看到应用的发生率比文献[8]中的更一般些,同样得到了持续带毒平衡点是全局渐近稳定的当且仅当基本再生数R0>1的结论.图1 x(t),y(t),v(t)的立体图像图2 v(t)与参数p的图像图3 y(t)与参数p的图像图4 x(t)与参数p的图像参考文献：[1]Nowak M A,May R M.Viral dynamics[M].Oxford:Oxford University Press,2000.[2]Liu W M,Hethcote H W,Levin S A.Dynamical behavior of epidemiological models with nonlinear incidence rates[J].Math Biol,1987,25(4):359-380. [3]Vargas De Leon C.Constructions of Lyapunov Functions for Classics SIS,SIR,and SIRS Epidemic model with Variable Population Size[J].Acta Mathematica Scientia,2001,10(5):75-83.[4]Song X Y,Neumann A U.Global stability and periodia solution of the viral dynamics[J].Math Anal Appl,2007,329(1):281-297.[5]Korobenikov A.A Lyapunov fuction and global properties for SIR and SEIR epidemicological models with nonlinear incidence[J],Math Biosci Eng,2004,1:57-60.[6]Li J,Zhang J,Ma Z.Global analysis of some epidemic models with general contact rate and constant immigration[J],Appl Math Mech,2004,25(4):36-41.[7]Li G,Jin Z.Global stability of a SEIR epidemic model with infectious forcein latent,and immune period[J].Chaos,solitons and Fractals 2005,25:1177-1184.[8]JI Yu,MIN Le-quan,SU Yong-mei.Global stability of a viral infection model with saturatinon incidence[J].Journal ofBiomathematics,2010,25(2):267-272.[9]M Y Li,J S Muldoweny.A geometric approach to the global-stability problems[J].Math Anal,1996,27:1070-1083.[10]H R Freedman,S G Ruan and M X Tang.Uniform persistence and fl ows near a close positively invariant set[J].Dyn DiffEqus,1994,6(4):583-600.。
抗体免疫反应的病毒模型的全局性态何金如【摘要】研究了考虑抗体免疫反应的病毒动力学模型的全局性态;证明了当基本再生数R0≤1时病毒在体内清除,当R0>1时病毒在体内持续生存;并且模型的正解当抗体免疫再生数R1≤1时趋于无免疫平衡点,当R1>1时趋于正平衡点.【期刊名称】《浙江师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(033)002【总页数】4页(P146-149)【关键词】病毒动力学模型;抗体免疫反应;全局稳定性;基本再生数【作者】何金如【作者单位】浙江广播电视大学,义乌学院,浙江,义乌,322000【正文语种】中文【中图分类】O175;Q1410 引言目前，宿主体内的群体动力学研究主要集中在持续性病毒感染[1-7].为了定量分析体内病毒感染的过程，针对未感染目标细胞、被感染细胞和游离病毒三者的相互作用生态关系，广泛采用如下微分方程组进行描述：(1)式(1)中：T为未感染目标细胞数；I为被感染细胞数；V为游离病毒数；未感染细胞以常数速率λ生成，以速率dTT死亡(dT 是未感染细胞死亡率)，以速率βTV成为被感染细胞；β是描述感染过程的常数率，相当于未感染细胞与游离病毒的接触率；被感染细胞以速率βTV生成，以速率dII死亡(dI是感染细胞死亡率)；游离病毒由被感染细胞死亡裂解而产生，其速率为rdII,并以速率dVV被清除(dV是游离病毒死亡率).因此，未感染细胞、被感染细胞和游离病毒的平均生存时间分别为由一个被感染细胞内产生的病毒颗粒总数为r.对系统的局部性态，如果病毒的基本再生数则在感染开始时，每个细胞被感染后平均产生少于1个的新的感染细胞.此时感染未能扩散，而整个系统回复至未感染状态，系统的无病(病毒消除)平衡点全局稳定；如果R0>1，则每一起始的病毒感染细胞产生平均大于1个的新的感染细胞，病毒在最初时间内呈指数增长，随着未感染细胞数量的下降，病毒感染新的细胞的机会下降，病毒数量增长减慢，最后系统经阻尼震荡趋向于正(病毒幸存)平衡点全局稳定，其证明见文献[1-2].从文献[1-2]看，模型(1)对一些临床数据能较好地模拟，可近似估算初发感染或使用抗病毒药物后病毒颗粒的产生量.清除率等对评价药物的抗病毒效果和用药方案的制定有一定帮助.病毒动力学模型，特别是考虑免疫反应的病毒动力学模型,是目前国内外学者研究的热点.高维模型的全局性态较为复杂，很可能出现分支或混沌[3-8].文献[3]首次在模型(1)的基础上引入抗体免疫反应的系统，研究了如下模型的局部性态:(2)模型(2)中：A表示针对病毒宿主体内免疫系统产生的抗体细胞数;假设宿主体内病毒以速率gAV刺激病毒特异性抗体的产生;g是描述免疫过程的常数率，相当于抗体细胞与游离病毒的接触率；而病毒被病毒特异性抗体以速率qAV中和，并且假设抗体的死亡率为dA.文献[3]已建立病毒入侵和消除的阈值，证明正平衡点一旦存在就是局部稳定的，但对模型的全局性态分析较少，故笔者主要讨论模型的全局性态.1 平衡点及其稳定性首先研究系统的平衡点存在情况.系统(2)总存在一个无病平衡点E0=(T0,0,0,0)此平衡点代表宿主体内不存在病毒.模型(2)的基本再生数为若R0>1，则系统(2)存在一个无免疫平衡点E1=(T1,I1,V1,0)此平衡点代表宿主体内存在感染细胞、病毒，但不存在抗体细胞.定义一个免疫再生数对R1的意义可以这样理解：假设基本再生数R0>1，在假设宿主体内抗体免疫反应未能建立的情况下，单位时间的病毒量为由模型(2)的第4个方程知，单位时间内由病毒刺激产生的抗体细胞量为则在一个抗体细胞存活周期内，抗体量为若R1>1，则系统(2)存在一个正平衡点此平衡点代表宿主体内病毒与抗体共存. 下面研究这3个平衡点的全局性态.首先分析无病平衡点E0.定理1 若基本再生数R0≤1，则无病平衡点E0全局稳定.证明定义一个全局Lyapunov函数L1=T-T0-T0ln+I+V+A,并对L1求导，可得(3)注意到将T0 ，R0代入式(3)可得(4)由算术平均数大于或等于几何平均数的性质，有由式(4)得L′1≤0.L′1≤0当且仅当A=0，V=0且T=T0.{(T,I,V,A)∈R4+:L′1=0}的最大紧不变集即为{E0}，由Lasalle不变原理[9]可得E0的全局稳定性.注1 定理1的生物学意义为：若一个病毒在其存活周期内繁殖的病毒数不多于1，则病毒不能成功入侵宿主并且很快会被清除.下面分析无免疫平衡点E1.定理2 当R0>1且R1≤1时，无免疫平衡点E1全局稳定.证明定义一个全局Lyapunov函数并对L2求导，得到(5)注意到且将其代入式(5)，得(6)注意到又等价于R1≤1，则由式(6)得到L′2≤0.同定理1的证明过程，可证得E1的全局稳定性.注2 定理2的生物学意义为：当基本再生数R0>1时，病毒能成功入侵宿主.但由于免疫再生数小于等于1，即由病毒刺激产生的一个抗体在其存活周期内繁殖的抗体细胞数不多于1，抗体免疫反应不能在宿主体内建立.最后，分析正平衡点E*.定理3 若R1>1，则正平衡点E*全局稳定.证明定义全局Lyapunov函数并对L3求导，可得(7)注意到并将其代入式(7)，得L′3=dTT*+dII*-dTT-(dTT*+dII*)(8)又且故进一步整理式(8)，得(9)由式(9)得L′3≤0.同定理1的证明过程，也可证得E*的全局稳定性.注3 定理3的生物学意义为：若一个病毒在抗体存活周期内能够刺激产生多于1个的抗体细胞，则宿主体内能够建立抗体免疫反应.健康细胞、感染细胞、病毒和抗体细胞以一个全局稳定的正平衡点的形式在宿主体内共存.2 结论Kajiwara等[3]在基础病毒动力学模型的基础上引入了抗体免疫反应,得到了模型(2),并研究了模型(2)的局部性态.本文则在证明中采用了构造Lyapunov函数的方法，对模型(2)的全局性态给出了一个较好的结果.证明了当基本再生数R0≤1时，病毒在体内清除，当R0>1时，病毒在体内持续生存.并且模型的正解当抗体免疫再生数R1≤1时趋于无免疫平衡点，当R1>1时趋于正平衡点.参考文献：[1]Patrick D L,Hal L S.Virus Dynamics:A global analysis[J].MathAnal,2003,63(4)：1313-1327.[2]Korobeinikov A.Global Properties of Basic Virus DynamicsModels[J].Bulletin of Mathematical Biology,2004,66(4)：879-883.[3]Kajiwara T,Sasaki T.A note on the stability analysis of pathogen-immune interaction dynamics[J].Discrete and Continuous Dynamical Systems-Series B,2004,4(3)：615-622.[4]Murase A,Sasaki T,Kajiwara T.Stability analysis of pathogen-immune interaction dynamics[J].J Math Bio,2005,51(3)：247-267.[5]Cai Liming,Li Xuezhi.Stability and Hopf bifurcation in a delayed modelfor HIV infection of CD4+ T cells[J].Chaos,Solitons & Fractals,2009,42(1)：1-11.[6]Wang Yan,Zhou Yicang,Wu Jianhong,et al.Oscillatory dynamics in a delayed HIV pathogenesis model[J].Mathematical Biosciences,2009,219(2)：104-112.[7]Fan Aijun,Wang Kaifa.A viral infection model with immune circadian rhythms[J].Applied Mathematics and Computation,2010,215(9)：3369-3374.[8]王开发，邓国宏，樊爱军.宿主体内病毒感染的群体动力学研究[M]//陆征一，周义仓.数学生物学进展.北京：科学出版社，2006：58-73.[9]Lasalle J P.An invariance principle in the theory of stability[C]//Proc Int Symp Differential Equations and DynamicalSystems.Philadelphia:SIAM,1976:277-286.。
第３７卷第３期２０２３年５月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３７N o ．３M a y ２０２３收稿日期:２０２２Ｇ０３Ｇ０６基金项目:福建省教育科学 十四五 规划课题(F J J K B K ２１Ｇ１００);泉州科技高层次人才创新创业项目(２０１８C ０９４R );福建省教育厅中青年教育科研项目(J A T ２１０６１６,J A T ２００９８０)作者简介:陈清婉(１９８６Ｇ),女,福建南安人,讲师,研究方向:非线性偏微分方程㊁生物数学．E Ｇm a i l :l w q８４８１５＠１６３．c o m．㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０２３)０３Ｇ０００８Ｇ０６具有时滞和一般接触率的扩散病毒模型的稳定性陈清婉,柳文清(闽南科技学院通识教育学院,福建泉州３６２３００)摘要:研究了具有时滞和一般接触率的扩散病毒模型,研究了无病平衡点和感染平衡点的稳定性,结论表明:当基本再生数R ０ɤ１时,无病平衡点是全局渐近稳定的,此时病毒趋于灭绝．当基本再生数R ０＞１时,感染平衡点是全局渐近稳定的,病毒蔓延．最后,利用数值模拟验证所得结论．关键词:时滞;一般接触率;扩散;稳定性中图分类号:O １７５．１３㊀㊀㊀文献标志码:AS t a b i l i t y o fD i f f u s i v eV i r u sM o d e lw i t hT i m eD e l a y a n dG e n e r a l C o n t a c tR a t eC H E N Q i n g Ｇw a n ,L I U W e n Ｇq i n g(S c h o o l o fG e n e r a l E d u c a t i o n ,M i n n a nS c i e n c e a n dT e c h n o l o g y C o l l e g e ,Q u a n z h o u３６２３００,F u ji a n ,C h i n a )A b s t r a c t :T h e d i f f u s i o nv i r u sm o d e lw i t ht i m ed e l a y an d g e n e r a l c o n t a c t r a t e i ss t u d i e d ,a n d t h e s t a b i l i t y t h e d i s e a s e Ｇf r e e e q u i l i b r i u m p o i n t a n d i n f e c t i o n e q u i l i b r i u m p o i n t a r e s t u d i e d ．T h e r e s u l t s s h o wt h a t t h ed i s e a s e Ｇf r e ee q u i l i b r i u m p o i n t i s g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y st a b l ea n dt h e v i r u s t e n d s t o b e e x t i n c tw h e n t h e b a s i c r e p r o d u c t i v e n u m b e r R ０＜１,t h e i n f e c t i o n e qu i l i b r i u m i s g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e a n d t h e v i r u s s p r e a d sw h e n t h e b a s i c r e pr o d u c t i v e n u m b e r R ０＞１．F i n a l l y ,t h e r e s u l t s a r e v e r i f i e db y n u m e r i c a l s i m u l a t i o n ．K e y wo r d s :t i m e d e l a y ;g e n e r a l c o n t a c t r a t e ;d i f f u s i o n ;s t a b i l i t y 0㊀引言当今世界,越来越多的人受到艾滋病㊁禽流感㊁霍乱㊁埃博拉等疾病的困扰．为了探索这些疾病的机制,科学家提出了许多描述疾病传播的数学模型,如传染病模型(S I ㊁S I R ㊁S E I )[１Ｇ４]和宿主病毒模型(H B V ㊁H C V ㊁H I V )[５Ｇ９]．考虑到病毒进入宿主传播或者染病细胞分解成游离病毒时都有一定的延迟,从而得到具有时滞的病毒传播模型[１０Ｇ１３]．另一方面,考虑到细胞和病毒在宿主体内或空气中的自由扩散运动,可得到具有时空效应的反应扩散病毒模型[１４Ｇ１７]．基于以上考虑,本文建立具有扩散和时滞的病毒模型u t ＝d １Δu ＋１－u －f (u ,v ),㊀㊀(x ,t )ɪΩˑ(０,T );w t ＝d ２Δw ＋e －σ１τf (u τ,v τ)－ρ１w ,㊀㊀(x ,t )ɪΩˑ(０,T);v t ＝d ３Δv ＋ρ２e －σ２τw τ－ρ３v ,㊀㊀(x ,t )ɪΩˑ(０,T );∂u ∂n ＝∂w ∂n ＝∂v∂n ＝０,㊀㊀x ɪ∂Ωˑ(０,T );u (x ,s )＝φ１(x ,s ),w (x ,s )＝㊀㊀φ２(x ,s ),v (x ,s )＝φ３(x ,s ),㊀㊀(x ,s )ɪΩˑ(－τ,０)．ìîíïïïïïïïïïïïïïïïïïï(１)类似于文献[１８],对模型中的系数做了无量纲简化．其中u ,w ,v 分别表示未感染细胞密度㊁感染细胞密度和游离病毒密度．u τ＝u (x ,t －τ),v τ＝v (x ,t －τ),w τ＝w (x ,t －τ),其他参数均为正常数;初值φ１(x ,s ),φ２(x ,s ),φ３(x ,s )非负连续不恒为０;d i ＞０,i ＝１,２,３,表示扩散率;f (u ,v )表示病毒感染函数,可微并且满足如下条件:f (０,v )＝f (u ,０)＝０;㊀㊀f (u ,v )＞０,当u ,㊀㊀v ＞０;㊀㊀当v ȡ０,存在η＞０,u ,㊀㊀㊀使得f (u ,v )＜ηu ∂f ∂u ＞０,u ȡ０,v ＞０;㊀㊀∂f ∂v ȡ０,㊀㊀v ∂f ∂v ɤf (u ,v ),u ,v ȡ０．ìîíïïïïïïïïïïïïïïïï(２)容易验证当f (u ,v )分别为βu v １＋b v ,βu v １＋a u ＋b v,βu v １＋a u ＋b v ＋c u v (a ,b ,c ,β＞０)时均满足条件(２),文献[１５Ｇ１７]分别讨论了这三种形式只有病毒扩散的情形．本文在这些研究的基础上进一步讨论具有一般接触率的问题．定义基本再生数为R ０＝ρ２e －(σ１＋σ２)τρ１ρ３∂f (１,０)∂v ．仿照文献[１８],当R ０＜１时,模型(１)存在唯一的无病平衡点E ０＝(１,０,０);当R ０＞１时,模型(１)存在唯一的地方病平衡点E ∗＝(u ∗,w ∗,v ∗)．本文主要证明平衡点的局部稳定性和全局稳定性．局部稳定性通过特征值分析得到,全局稳定性通过构造L y a pn o v 函数加以证明．1㊀边界平衡点的稳定性引理１㊀当R ０＜１时,E ０＝(１,０,０)是局部渐近稳定的;当R ０＞１时,E ０＝(１,０,０)是不稳定的．证明㊀记Ω上的算子ＧΔ在齐次N e u m a n n 边界条件下的特征值序列为０＝μ０＜μ１＜ ,通过计算,不难得出模型(１)在平衡点E ０的特征值方程为(λ＋d １u i ＋１)[λ２＋(d ２u i ＋d ３u i ＋ρ３＋ρ１)λ＋(d ２u i ＋ρ１)(d ３u i ＋ρ３)－ρ２e －(σ１＋σ２)τe －２λτ∂f (１,０)∂v]＝０．上述方程有一负特征根,其余特征根由f １(λ)＝λ２＋(d ２u i ＋d ３u i ＋ρ３＋ρ１)λ＋(d ２u i ＋ρ１)(d ３u i ＋ρ３)－ρ２e －(σ１＋σ２)τe －２λτ∂f (１,０)∂v(３)决定．当R ０＞１且i ＝０时f １(０)|i ＝０＝ρ１ρ３－ρ２e －(σ１＋σ２)τ∂f (１,０)∂v＝ρ１ρ３(１－R ０)＜０,这说明特征值有一正根,故E ０不稳定．当R ０＜１,τ＝０时,f １(λ)＝λ２＋(d ２u i ＋d ３u i ＋ρ３＋ρ１)λ＋(d ２u i ＋ρ１)(d ３u i ＋ρ３)－ρ２∂f (１,０)∂v．由于(d ２u i ＋ρ１)(d ３u i ＋ρ３)－ρ２∂f (１,０)∂vȡρ１d ３u i ＋ρ１ρ３(１－R ０)＞０．此时,特征方程有两负根,则R ０＜１,τ＝０时,E ０局部渐近稳定．对于R ０＜１,τ＞０,假设i ω(ωɪR ,ω＞０)是(３)的根,代入计算分离实部虚部可得－w ２＋(d ２u i ＋ρ１)(d ３u i ＋ρ３)＝－∂f (１,０)∂vρ２e －(σ１＋σ２)τc o s w t ,(d ２u i ＋d ３u i ＋ρ３＋ρ１)w ＝－∂f (１,０)∂vρ２e －(σ１＋σ２)τs i n w t ．平方求和可得w ４＋[(d ２u i ＋d ３u i ＋ρ３＋ρ１)２－２(d ２u i ＋ρ１)(d ３u i ＋ρ３)]w ２＋(d ２u i ＋ρ１＋r )２(d ３u i ＋ρ３)２＋∂f (１,０)∂v ρ２e －(σ１＋σ２)τéëêêùûúú２．当R ０＜１时,w ４＋[(d ２u i ＋d ３u i ＋ρ３＋ρ１)２－９第３期陈清婉等:具有时滞和一般接触率的扩散病毒模型的稳定性２(d ２u i ＋ρ１)(d ３u i ＋ρ３)]w ２＋(d ２u i ＋ρ１)２(d ３u i ＋ρ３)２－∂f (１,０)∂v ρ２e －(σ１＋σ２)τéëêêùûúú２＞０,故由R o u t h ＧH u r w i t z 准则可知,E ０是局部渐近稳定,在此基础上进一步证明全局稳定性．定理１㊀当R ０ɤ１时,E ０＝(１,０,０)是全局渐近稳定的．证明㊀定义L y a pu n o v 函数为L (t )＝ʏΩw ＋ρ１e σ２t v ρ２＋L １(x ,t )æèçöø÷d x ,L １(x ,t )＝ρ１ʏt t －τw (x ,θ)d θ＋ʏt t －τf (u (x ,θ),v (x ,θ))d θ．L (t )对t 求导,利用格林公式可得∂L ∂t＝ʏΩ(d ２Δw ＋ρ１e σ２td ３Δv ρ２－ρ１ρ３e σ２t v ρ２＋e －σ１t f (u ,v ))d x ɤeσ２t ʏΩ－ρ１ρ３v ρ２＋e －(σ１＋σ２)t f (u ,v )æèçöø÷d x ．由于u t ɤ１－u ,所以有l i m t ң¥u (x ,t )ɤ１,由假设(２)可知∂f ∂uȡ０,从而有f (u ,v )ɤf (１,v ),f (u ,v )v æèçöø÷ᶄv u ＝１＝v f v (１,v )－fv ２＜０．因此ρ１ρ３v ρ２＋e －(σ１＋σ２)t f (u ,v )＝ρ１ρ３v ρ２ρ２ρ１ρ３e －(σ１＋σ２)t f (u ,v )v －１æèçöø÷ɤρ１ρ３v ρ２ρ２ρ１ρ３e －(σ１＋σ２)tf (１,v )v －１æèçöø÷ɤρ１ρ３v ρ２ρ２ρ１ρ３e －(σ１＋σ２)t l i m v ң０f (１,v )v －１æèçöø÷＝ρ１ρ３v ρ２(R ０－１)ɤ０．易知,当且仅当(u ,w ,v )＝(１,０,０)时,∂L∂t＝０．从而由L a s a u e 不变原理可得E ０是全局渐近稳定的．2㊀正平衡点的稳定性引理２㊀当R ０＞１时,E ∗是局部渐近稳定的．证明㊀记δ１＝∂f (E ∗)∂u ,δ２＝ρ２e －(σ１＋σ２)τρ１ρ３ ∂f (E ∗)∂v ．通过计算不难得出模型(１)在平衡点E ∗的特征值方程为f ２(λ)＝λ３＋p ２λ２＋p １λ＋p ０＋e －λτ(q１λ＋q ０)＝０．(４)这里p ２＝d １μi ＋１＋δ１＋d ２μi ＋ρ１＋d ３μi ＋ρ３;p １＝(d １μi ＋１＋δ１)(d ２μi ＋ρ１＋d ３μi ＋ρ３)＋(d ２μi ＋ρ１)(d ３μi ＋ρ３);p ０＝(d １μi ＋１＋δ１)(d ２μi ＋ρ１)(d ３μi ＋ρ３);q １＝－ρ１ρ３δ２;q ０＝q １(１＋d １μi )．当R ０＞１,τ＝０时,特征方程为λ３＋p ２λ２＋(p １＋q １)λ＋p ０＋q ０＝０,p １＋q １＞ρ１ρ３(１－δ２)＝ρ１ρ３１－v ∗f (u ∗,v ∗)∂f (E ∗)∂v æèçöø÷＞０．由条件(２)可知,v ∗f(u ∗,v ∗)∂f (E ∗)∂v ɤ１,则p １＋q １＞０．同理p ０＋q ０＞(１＋d １μi )ρ１ρ３(１－δ２)＞０．由R o u t h ＧH u r w i t z 准则可知,E ∗是局部渐近稳定．当R ０＞１,τ＞０时,假设i ω(ωɪR ,ω＞０)是(４)的根,代入计算,分离实部虚部可得z ３＋(p ２２－２p １)z ２＋(p １２－２p ０p ２－q１２)z ＋p ０２－q ０２＝０,z ＝ω２．计算可得p ２２－２p １＝(d １μi ＋１＋δ１)２＋(d ２μi ＋ρ１＋r )２＋(d ３μi ＋ρ３)２＞０,p １２－２p ０p ２－q１２＝(d １μi ＋１＋δ１)２(d ２μi ＋ρ１＋r )２＋０１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３７卷(d １μi ＋１＋δ１)２(d ３μi ＋ρ３)２＋(d ２μi ＋ρ１＋r )２(d ３μi ＋ρ３)２－q １２＞[(ρ１＋r )ρ３(１＋δ１)－(ρ１＋r )ρ３δ２] [(ρ１＋r )ρ３(１＋δ１)＋(ρ１＋r )ρ３δ２]＞０,p ０２－q ０２＝(p ０＋q ０)(p ０－q０)＞０．故由R o u t h ＧH u r w i t z 准则可知,E ∗是局部渐近稳定的,在此基础上进一步证明全局稳定性．定理２㊀当R ０＞１,且满足条件v v ∗－f (u ,v )f (u ∗,v ∗)æèçöø÷f (u ,v )f (u ∗,v ∗)－１æèçöø÷ȡ０(５)时,E ∗是全局渐近稳定的．证明㊀定义L y a pu n o v 函数为L (t )＝ʏΩ{e －(σ１＋σ２)τu －u ∗－ʏuu ∗f (u ∗,v ∗)f (ξ,v∗)d ξéëêêùûúú＋f (u ∗,v ∗)ʏt t －τg f (u (x ,ξ),v (x ,ξ))f (u ∗,v ∗)æèçöø÷d ξ＋ρ１w ∗e －σ２τʏtt －τg w (x ,ξ)w ∗æèçöø÷d ξ}d x ．函数g (y )＝y －１－l n y ,当且仅当y ＝１时,g (y )取最小,为０．容易验证L (t )ȡ０,求导可得∂L∂t＝ʏΩ{e －(σ１＋σ２)τ１－f (u ∗,v ∗)f(u ,v ∗)æèçöø÷(１－u －f (u ,v )＋d １Δu )＋ρ１ρ２１－v ∗v æèçöø÷(ρ２e －σ２τw τ－ρ３v ＋d ３Δv )＋e －σ２τ(１－w ∗w)(e －σ１τ－ρ１w ＋d ２Δw )＋e －σ２τ[g f (u (x ,t ),v (x ,t ))f (u ,v ∗)æèçöø÷－g f (u (x ,t ),v (x ,t ))f(u ∗,v ∗)æèçöø÷]＋ρ１w ∗[g (w w ∗)－g (w τw ∗)]}d x ＝ʏΩ{e －(σ１＋σ２)τ１－f (u ∗,v ∗)f (u ,v ∗)æèçöø÷d １Δu ＋e －σ１τ(１－w ∗w )d ２Δw ＋ρ１ρ２(１－v ∗v )d ３Δv ＋e －(σ１＋σ２)τu ∗１－f (u ∗,v ∗)f(u ,v ∗)æèçöø÷(１－u u ∗)＋e－(σ１＋σ２)τf (u ∗,w ∗)１－f (u ∗,v ∗)f (u ,v ∗)æèçöø÷ １－f (u ,v )f(u ∗,v ∗)æèçöø÷＋e －(σ１＋σ２)τf (u ∗,w ∗)f (u τ,v τ)f (u ∗,v ∗)－w w ∗æèçöø÷＋e －(σ１＋σ２)τf (u ∗,w ∗)(w τw ∗－v v ∗)(１－v v∗)＋e －(σ１＋σ２)τf (u ∗,w ∗)[g f (u (x ,t ),v (x ,t ))f (u ,v ∗)æèçöø÷－g f (u (x ,t ),v (x ,t ))f (u ∗,v ∗)æèçöø÷]＋e －(σ１＋σ２)τf (u ∗,w ∗)g w w ∗æèçöø÷－g w τw ∗æèçöø÷éëêêùûúú}d x ．结合格林公式可得ʏΩΔu １－f (u ∗,w ∗)f (u ,w ∗)æèçöø÷d x ＝f (u ∗,w ∗)w ∗ʏΩÑu Ñ１＋βw ∗u d x ＝－f (u ∗,w ∗)(１＋βw ∗)w ∗ʏΩ|Ñu |２u ２d x ,ʏΩΔv (１－v ∗v )d x ＝－ʏΩ|Ñv |２v ２d x ,ʏΩΔw (１－w ∗w)d x ＝－ʏΩ|Ñw |２w ２d x ．注意到e －σ１τf (u ∗,v ∗)＝ρ１w ∗,ρ２e －σ２τw ∗－ρ３v ∗＝０,从而有∂L ∂tɤʏΩ{e－(σ１＋σ２)τu ∗１－f (u ∗,w ∗)f (u ,w ∗)æèçöø÷１－u u ∗æèçöø÷＋e －(σ１＋σ２)τf (u ∗,v ∗) {g f (u (x ,t ),v (x ,t ))f (u ,v∗)æèçöø÷－g f (u ∗,v ∗)f (u ,v ∗)æèçöø÷－g f (u τ,v τ)w ∗f (u ∗,v ∗)w æèçöø÷－g w τv ∗v w ∗æèçöø÷－－g v v ∗æèçöø÷}}dx ,由条件(２)可知１－f (u ∗,w ∗)f (u ,w ∗)æèçöø÷１－u u ∗æèçöø÷ɤ０．由条件(５)可知g f (u (x ,t ),v (x ,t ))f (u ∗,v∗)æèçöø÷－g v v ∗æèçöø÷ɤ０．１１第３期陈清婉等:具有时滞和一般接触率的扩散病毒模型的稳定性从而∂L∂tɤ０．易知,当且仅当(u ,w ,v )＝(u ∗,w ∗,v ∗)时,∂L∂t ＝０．由L a s a u e 不变原理可得全局渐近稳定性．3㊀数值模拟本节利用M a t l a b 软件对本文结果进行数值模拟,采用紧致差分格式．令f (u ,v )＝u v１＋a u ＋b v ＋a b u v．选取参数ρ１＝１,ρ２＝e ,ρ３＝１,a ＝０．５,b ＝０．４,σ１＝σ２＝５,τ＝０．１．计算可得R ０＝２/３＜１．由定理可知E ２＝(u ∗,v ∗)全局渐近稳定,如图１所示．ρ１＝１,ρ２＝２e ,ρ３＝１,a ＝０．５,b ＝０．４,σ１＝σ２＝５,τ＝０．１．计算可得R ０＝２＞１．由定理可知E ２＝(u ∗,v ∗)全局渐近稳定,如图２所示．图１㊀无病平衡点的稳定性图２㊀地方平衡点的稳定性4㊀结语本文研究了具有时滞和一般接触率的扩散病毒模型．研究了无病平衡点和感染平衡点的稳定性,阈值对于病毒的蔓延和灭绝起决定性的作用．结论表明:当感染细胞和游离病毒死亡率较高和感染细胞转化游离病毒转化较低且时滞比较大时会使病毒趋于灭绝．反之,病毒蔓延,这与实际情况是吻合的．参考文献:[１]R A J A S E K A RSP ,P I T C HA I MA N I M．E r go d i cs t a Ｇt i o n a r y di s t r i b u t i o n a n d e x t i n c t i o n o f a s t o c h a s t i c S I R Se p i d e m i cm o d e l w i t h l o gi s t i c g r o w t h a n dn o n l i n Ｇe a r i n c i d e n c e [J ]．A p p l i e d M a t h e m a t i c s a n dC o m pu t a Ｇt i o n ,２０１７,４６９(１):５１０Ｇ５１７．[２]C H E N Q i n g m e i ．A n e wi d e ao nd e n s i t y fu n c t i o na n d c o v a r i a n c em a t r i xa n a l y s i so fas t o c h a s t i cS E I Se pi Ｇd e m i c m o d e lw i t h d e g e n e r a t ed i f f u s i o n [J ]．A p p l i e d M a t h e m a t i c sL e t t e r s ,２０２０,１０３:１０６２００．[３]L I U Q u n ,J I A N G D a q i n g．T h r e s h o l db e h a v i o ri na s t o c h a s t i cS I R e p i d e m i c m o d e l w i t h L o g i s t i c b i r t h [J ]．P h y s i c aA ＧS t a t i s t i c a lM e c h a n i c s a n dI t sA p pl i c a Ｇt i o n s ,２０２０,５４０:１２３４８８．[４]陈清婉,柳文清．具有交叉扩散和B ＧD 反应函数的病毒模型的稳定性分析[J ]．北华大学学报(自然科学版),２０１８,１９(１):１３Ｇ１７．２１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３７卷[５]N OWA K M A,B A N G HAM C R M．P o p u l a t i o nd yＧn a m i c s o f i mm u n e r e s p o n s e s t o p e r s i s t e n t v i r u s e s[J]．S c i e n c e,１９９６(２７２):７４Ｇ７９．[６]E B E R T D,Z S C HO K K EＧR OH R I N G E R C D,C A R IＧU S H J．D o s ee f f e c t sa n dd e n s i t yＧd e p e n d e n tr e g u l aＧt i o no ft w o m i c r o p a r a s i t e so f D a p h n i a m a g n a[J]．O e c o l o g i a,２０００,１２２(２):２００Ｇ２０９．[７]M C L E A N AR,B O S T O C KCJ．S c r a p i e i n f e c t i o n s i n iＧt i a t e da t v a r y i n g d o s e s;a n a n a l y s i s o f１１７t i t r a t i o n e xＧp e r i m e n t s[J]．P h i l o s o p h i c a l T r a n s a c t i o n s o f t h eR o y a l S o c i e t y BB i o l o g i c a l S c i e n c e s,２０００,３５５(１４００):１０４３Ｇ１０５０．[８]柳文清,陈清婉．具有治疗和时滞的扩散病毒模型的稳定性[J]．生物数学学报,２０２０,３５(２):２５３Ｇ２５８．[９]S O N GX,N E UMA N N A．G l o b a l s t a b i l i t y a n d p e r i o dＧi co fV i r a ld y n a m i c s[J]．M a t h e m a t i c a lA n a l y s i sa n d A p p l i c a t i o n,２００７,３２９(１):２８１Ｇ２９７．[１０]HA N Y,Y A N GZC．S t a b i l i t y a n d p e r s i s t e n c e f o r a nH I VＧ１i n f e c t i o nm o d e lw i t h t i m ed e l a y a n dn o n l i n e a r i n f e c t i o nr a t e[J]．J o u r n a lo fS o u t h w e s tU n i v e r s i t y,２０１３,３５(３):８４Ｇ９０．[１１]M I C HA E L Y L,S HU H Y．G l o b a l d y n a m i c so f a n i nＧh o s t v i r a lm o d e lw i t hi n t r a c e l l u l a rd e l a y[J]．B u l lM a t hB i o l,２０１０,７２(６):１４９２Ｇ１５０５．[１２]MO N I C AC,P I T C HA I MA N IM．A n a l y s i s o f s t a b i l iＧt y a n dH o p f b i f u r c a t i o n f o rH I VＧ１d y n a m i c sw i t hP I a n d t h r e e i n t r a c e l l u l a r d e l a y s[J]．N o n l i n e a rA n a l y s i sR e a lW o r l dA p p l i c a t i o n s,２０１６(２７):５５Ｇ６９．[１３]Z HU H Y．I n p a c t o f d e l a y s i n c e l l i n f e c t i o n a n d v i r u s p r o d u c t i o n o n H I VＧ１d y n a m i c s[J]．M a t h e m a t i c a l M e d i c i n e a n dB i o l o g y,２００８,２５(２):９９Ｇ１１２．[１４]柳文清,陈清婉．具斑块迁移的病毒模型的稳定性分析[J]．纯粹数学与应用数学,２０１９,３５(１):１０９Ｇ１１４．[１５]Z HA N G Y i y i,X U Z h i t i n g．D y n a m i c so fad i f f u s i v eH B V m o d e lw i t hd e l a y e dB e d d i n g t o nＧD e A n g e l i sr eＧs p o n s e[J]．N o n l i n e a rA n a l y s i sR e a lW o r l d A p p l i c aＧt i o n s,２０１４(１５):１１８Ｇ１３９．[１６]HA T T A FK,Y O U S F IN．G l o b a l d y n a m i c so f ad eＧl a y r e a c t i o nＧd i f f u s i o n m o d e l f o rv i r a l i n f e c t i o n w i t h s p e c i f i c f u n c t i o n a lr e s p o n s e[J]．C o m p u t a t i o n a la n dA p p l i e d M a t h e m a t i c 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一类具疫苗接种传染病扩散模型的定性分析传染病一直危害着人类的健康,严重时甚至会影响社会秩序和经济的正常发展。
长期以来,人类一直在与传染病进行不屈不饶的斗争。
对于控制日益猖獗的传染病,主要方法有控制传染源,切断传播途径,保护易感染者以及接种疫苗,其中接种是预防和控制疾病最有效的手段之一。
在传染病动力学中,最有影响的是由Kermack与McKendri ck在1927年提出的SIR“仓室模型”。
1932年,为了研究麻疹,水痘等传染病的传播规律,他们又提出了SIS模型。
随着人们对传染病动力学的深入研究和传染病传播规律的深刻理解,从不同角度和侧重点发展了仓室模型,如：SIRS、SEIR等模型均有很多学者对其进行研究。
由于接种疫苗对传染病的控制有着很明显的效果,因此Gumel和Moghada在2003年提出了SVI模型,其中V表示接种疫苗部分。
而当传染病在某一地区盛行时,通常会存在由于疾病被隔离或者因疾病被治愈而永久获得免疫部分。
因此,本文将对SVI模型进行改进,加入表示恢复健康者的移出项R,建立SVIR数学模型,并对SVIR模型进行定性分析和数值模拟。
具体来说本文共包含五个章节。
第一章主要介绍传染病模型发展的背景,研究现状以及本文研究问题的来源,最后简单介绍了本文研究的主要内容。
第二章对SVI模型进行改进,建立常微分的SVIR数学模型并讨论了无病平衡点及染病染病平衡点的局部稳定性。
构造Lyapunov函数考察无病平衡点及染病平衡点的全局稳定性。
当R0=1时我们讨论了模型在无病平衡点处是否经历了跨临界分岔。
最后利用极大值原理来考虑接种疫苗和治疗对疾病的控制。
第三章对于常微分的SVIR数学模型引入扩散项考虑偏微分模型。
我们首先讨论该模型解的有界性,再利用空间分解的方法研究无病平衡点以及染病平衡点的局部稳定性,最后构造Lyapunov函数证明了无病平衡点及染病平衡点的全局稳定性。
第四章用Matlab软件对所得到的理论结果进行数值模拟,并利用所得的三维图说明理论结果的正确性。
一类具反馈控制的病毒感染模型的稳定性与周期解程荣福【摘要】研究了一类具有反馈控制的病毒感染动力学模型.利用常微分方程定性与稳定性方法,通过分析特征方程,讨论了该模型各个平衡点的局部稳定性;通过构造适当的Lyapunov泛函,证明了未感染平衡点和反馈控制病毒感染平衡点的全局稳定性;最后,利用重合度理论中的延拓定理,给出了保证其周期系统存在正周期解的充分条件.【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(012)001【总页数】8页(P10-17)【关键词】病毒感染模型;反馈控制;重合度理论;稳定性;周期解【作者】程荣福【作者单位】北华大学数学学院,吉林,吉林,132033【正文语种】中文【中图分类】O175.11 引言数学生态学模型具有非常深刻的实际背景，历来受到学术界的重视，现已有了大量工作(参见文献[1-6]及其参考文献).基于人与自然的协调发展和生态资源的可持续发展，带有反馈控制的数学生态学模型更具有深远意义，反馈控制已被越来越多的学者所关注.在具体的生态问题中，为了某种需要，需人为地改变种群规模的正平衡态，一种有效的办法是在所考虑的生态系统中引入反馈控制变量，借以改变生态系统正平衡点的大小.文献[7-8]提出了如下反馈控制系统(1.1)其中：n(t)表示t时刻的种群数目；u(t)表示t时刻的反馈控制变量.给出了该模型正平衡点全局渐近稳定的充分条件.文献[9]研究了如下一类具有非线性感染率的病毒动力学模型(1.2)其中:x(t)表示t时刻的易感细胞的数目；y(t)表示t时刻的感染细胞的数目.讨论了非线性感染率对病毒感染动力学性态的影响，给出了病毒消失平衡点和病毒幸存平衡点全局渐近稳定的充分条件.近年来，对带有反馈控制的数学生态学模型的研究，大多集中于无病毒感染发生的自治系统或非自治系统来讨论其动力学性质[10-12]，考虑带有反馈控制的病毒感染模型却不多见.基于以上工作，本文考虑如下具反馈控制的病毒感染模型(1.3)其中:x(t),y(t)分别表示t时刻易感者种群的密度和已染病者种群的密度；u(t)表示t 时刻的控制变量的密度；β(y)表示非线性感染发生率；参数a,b,c,d,p,r,α,β均为正常数.模型(1.3)的建立基于以下假设:1)易感者种群:以常数速率r产生，以速率dx死亡并以速率β(y)x变为感染者；2)感染者种群:以速率β(y)x产生，以速率ay死亡并以速率αyu被控制变量所捕获；3)控制变量:以速率by产生并以速率cu死亡.3：x(t)≥0，y(t)≥0，u(t)≥0}.在本文中，我们首先利用常微分方程定性分析方法，对模型(1.3)在内的非负平衡点性态进行分析；然后通过构造Lyapunov泛函，利用LaSalle不变性原理，讨论模型(1.3)非负平衡点全局渐近稳定性的充分条件；最后考虑模型(1.3)为周期系统时，研究周期系统的正周期解存在的充分性判据.模型(1.3)具有生态背景和一般性.2 局部稳定性易知，模型(1.3)存在一个未染病平衡点E0(x0，0，0)；当rβ>ad时，模型(1.3)存在一个带有反馈控制的病毒感染平衡点Ω(x*，y*，u*).其中：；；； .式中：A=bα(dp+β)；B=ac(dp+β)+bαd；C=c(rβ-ad).据此，我们有如下结论: 引理2.1 模型(1.3)存在一个未染病平衡点E0(x0，0，0)；当rβ>ad时，模型(1.3)存在一个带有反馈控制的病毒感染平衡点Ω(x*，y*，u*).下面我们在引理2.1的基础上，运用常微分方程定性分析方法，讨论模型(1.3)的两个非负平衡点的局部稳定性.1)模型(1.3)在未染病平衡点E0(x0，0，0)处的线性化矩阵为特征方程为(λ+b)(λ+d)(λ-βx0+a)=0.显然，特征方程有3个实根λ1=-b<0，λ2=-d<0，当rβ>ad时，λ3>0，于是E0(x0，0，0)是不稳定的；当rβ<ad时，λ3<0，于是E0(x0，0，0)是局部稳定的.2)模型(1.3)在带有反馈控制的病毒感染平衡点Ω(x*，y*，u*)处(rβ>ad)的线性化特征方程为λ3+n2λ2+n1λ+n0=0，其中：易知n2n1-n0>0，由Hurwitz判据[13]知特征方程的所有根均具有负实部，因此，Ω(x*，y*，z*)是局部稳定的.综上，我们得到如下结论:定理2.1 模型(1.3)的两个非负平衡点E0(x0，0，0)，Ω(x*，y*，z*)性态如下:1)当rβ<ad时，E0(x0，0，0)是局部稳定的；当rβ>ad时，E0(x0，0，0)是不稳定的.2)当rβ>ad时，Ω(x*，y*，z*)总是局部稳定的.3 全局稳定性下面我们在定理2.1的基础上，通过构造适当的Lyapunov泛函，利用LaSalle不变性原理[13]，讨论模型(1.3)两个非负平衡点全局渐近稳定的充分条件.定理3.1 如果rβ<ad，则模型(1.3)的未感染平衡点E0(x0，0，0)是全局渐近稳定的.证明将模型(1.3)改写为如下等价系统(3.1)设(x(t)，y(t)，u(t))T是系统(3.1)的任意正解，构造Lyapunov泛函其中:待定常数ai>0(i=1，2，3).计算V1(t)沿着系统(3.1)的解的导数得D+V1(t)= a1(x(t)-x1)x′(t)+a2y′(t)+a3u′(t)=-a1(x(t)-x0)2-(a1x0-a2)βx(t)+a2a-a1β+a2apy(t)-a3b-a3bpy(t)-(a2py(t)+a3c)u(t)，当rβ<ad时，选取注意到则易见模型(1.3)在M1中的最大不变集只有点E0(x0，0，0)，因此E0(x0，0，0)是全局吸引的.由定理2.1知，当rβ<ad时E0(x0，0，0)是局部稳定性的，进而由LaSalle不变性原理知，模型(1.3)的未感染平衡点E0(x0，0，0)是全局渐近稳定的. 定理3.2 如果rβ>ad，则模型(1.3)带有反馈控制的病毒感染平衡点Ω(x*，y*，z*)是全局渐近稳定的.证明将模型(1.3)改写为如下等价系统(3.2)设(x(t)，y(t)，u(t))T是系统(3.2)的任意正解，构造Lyapunov泛函其中:待定常数ci>0(i=1，2，3).计算V2(t)沿着系统(3.2)的解的导数得D+V2(t)= c1(x(t)-x1)x′(t)+c2(y(t)-y1)+c3(u(t)-u*)u′(t)=当rβ>ad时，选取则易见模型(1.3)在M2中的最大不变集只有点Ω(x*，y*，z*)，因此Ω(x*，y*，z*)是全局吸引的.由定理2.1知，当rβ>ad时Ω(x*，y*，z*)是局部稳定性的，进而由LaSalle不变性原理知，模型(1.3)带有反馈控制的病毒感染平衡点Ω(x*，y*，z*)是全局渐近稳定的.4 周期解的存在性真正符合实际的生态系统其系数都是时变的，特别地，如果考虑到季节环境的周期性变化、动物繁殖的周期性变化以及流行病的周期性变化等，均可以假设生态系统系数是有公共周期的连续周期函数.因此，我们假设模型(1.3)中参数a,b,c,d,r,α,β都是关于t的ω-周期连续函数，状态常数p>0，这样模型(1.3)就成为一个ω-周期系统(4.1)系统(4.1)在t时刻的生态意义与模型(1.3)相同.下面研究系统(4.1)存在正周期解的充分性判据.为此，我们引入重合度理论中的延拓定理[14].设X,Z是赋范向量空间，L：DomL⊂X→Z为线性映射，N：X→Z为连续映射.如果dim KerL=co dim ImL<+∞且ImL为Z中闭子集，则称映射L为指标为零的Fredholm映射.如果L是指标为零的Fredholm映射且存在连续投影P：X→X以及Q：Z→Z使ImP=KerL，ImL=KerQ=Im(I-Q)，则LDomL∩KerP：(I-P)X→ImL可逆，设其逆映射为KP.设Ω为X中的有界开集，如果有界且是紧的，则称N在上是L-紧的.由于ImQ与KerL同构，因而存在同构映射J：ImQ→KerL.引理4.1 设X、Z是Banach空间，同构映射J：ImQ→KerL，L是指标为零的Fredholm算子，在上是L-紧的，其中Ω是X中的有界开集，且满足：ⅰ) Lx≠λNx，∀x∈∂Ω∩DomL，λ∈(0，1)；ⅱ) QNx≠0，∀x∈∂Ω∩K erL；ⅲ) deg{JQN，Ω∩KerL，0}≠0.则方程Lx=Nx在内至少存在一个解.为着以下证明，对连续的ω-周期函数g(t)，本文采用记号:定理4.1 如果并且则系统(4.1)至少有一个ω-周期正解.证明作变换x(t)=ex1(t)，y(t)=ex2(t)，u(t)=ex3(t)，则系统(4.1)化为如下等价系统(4.2)易知，如果系统(4.2)有ω-周期解那么就是系统(4.1)的ω-周期正解.为此，我们只需证明系统(4.2)的ω-周期解的存在性.取X=Z={x=(x1(t)，x2(t)，x3(t))T∈C(，3)：x(t+ω)=x(t)}，x=xi(t)，则X、Z在如上范数·下为Banach空间.令L：DomL∩X，DomL={x∈C1(，3)}，N:X→X,定义两个投影P及Q为显然，是X的闭子空间，而且dim KerL=3=dim(Z\ImL)，因此L是指标为零的Fredholm算子，容易证明P、Q是连续投影且使得ImP=KerL，KerQ=ImL=Im(I-Q).因此LP的逆映射KP具有形式KP：ImL→DomL∩KerP， KP(x)=x(s)ds-x(s)dsdt.显然，利用Lebesgue收敛定理可以证明QN及KP(I-Q)N是连续的.利用Arzela-Ascoli定理，能够证明对X中的任何有界开集和是相对紧的.因此，对X中的任何有界开集Ω，N在上是L-紧的.对应算子方程Lx=λNx，λ∈(0，1)，有(4.3)设x∈X是系统(4.3)对应某个λ∈(0，1)的解，将系统(4.3)中各式两端同时从0到ω积分得dt=0， (4.4)dt=0， (4.5)b(t)ex2(t)-x3(t)-c(t)dt=0. (4.6)因为x∈X，所以存在ηi，ξi∈[0，ω]使得(t) (i=1，2，3).(4.7)于是由式(4.4)～(4.7)有(4.8)-a(η2)-α(η2)ex3(η2)=0,(4.9)b(η3)ex2(η3)-x3(η3)-c(η3)=0,(4.10)以及(4.13)由式(4.8)有则得M1.(4.14)由式(4.10)有b(η3)ex2(η3)=c(η3)ex3(η3)，即(4.15)由式(4.9)有=a(η2)+α(η2)ex3(η2)>a(η2)，根据定理条件和式(4.14)可得M2.(4.16)将式(4.16)代入式(4.15)得到M3.(4.17)另一方面，由式(4.11)有即m1.(4.18)由式(4.13)有(4.19)利用式(4.17)～(4.18)，对式(4.12)有于是，根据定理条件可得m2>0.(4.20)将式(4.20)代入式(4.19)得到m3.(4.21)综上，由式(4.14)、(4.16)～(4.18)、(4.20)～(4.21)得xi(t)<max{lnMi，lnmi}Bi(i=1，2，3).显然，Bi(i=1，2，3)与λ的选取无关.由于代数方程组在定理所给的条件下有唯一正解因此，令这里B0取充分大，使得(lnx*，lny*，lnu*)T=lnx*+lny*+lnu*<B0.令Ω={x∈X：x<B}.则Ω满足引理4.1的条件ⅰ).当x∈∂Ω∩KerL=∂Ω∩3时，x是3的一个常向量且满足x=B，于是这样Ω满足了引理4.1的条件ⅱ).直接计算得deg{JQN，Ω∩KerL，0}=sgn=-1≠0.这里同构J映射可取恒同映射，因为ImQ=KerL.这就证明了Ω也满足引理4.1的条件ⅲ).至此，Ω满足引理4.1的所有条件，由引理4.1知，方程Lx=Nx在中至少有一个解，即系统(4.3)在Ω内均至少存在一个ω-周期解.从而，由变换x(t)=ex1(t)，y(t)=ex2(t)，u(t)=ex3(t)知，周期系统(4.2)至少存在一个ω-周期正解.【相关文献】[1] Zeng G Z，Chen L S，Chen J F.Persistence and Periodic Orbits for Two-species Nonautonomous diffusion Lotka-Volterra Models [J].Math Comput Modeling，1994，20(12):69-80.[2] 程荣福，常亮.具无限时滞和非单调功能性反应捕食系统的多周期解[J].吉林大学学报:理学版，2010，48(5):761-765.[3] Gao P，Cheng R F.Existence of Multiple Periodic Solutions of a Predator-Prey System with Infinite Delay[J].Word Academic Union，2010，16:77-80.[4] 赵明，程荣福.一类具生物控制和比率型功能反应的食物链系统周期解的存在性[J].吉林大学学报:理学版，2009，47(4):730-736.[5] Gao P，Cheng R F.Periodic of Predator-Prey Diffusion System with Depositings and Bedding-Type[J].Word Academic Press，2010，4(6):201-205.[6] Cheng R F.Global Existence of Positive Periodic Solution of a Predator-Prey Diffusive Model with Double-Density Restrict and Functional Response[J].Word Academic Union，2010，7:52-55.[7] Gopalsamy K.Stability and Oscillations in Delay Differential Equation of Population Dynamics[M].Boston:Kluwer Academic Publishers，1992.[8] Gopalsamy K，Weng P X.Feedback Regulation of Logistic Growth[J].Internal Math and Math Sci，1993，16:177-192.[9] 杨茂，王开发.一类非线性感染率病毒动力学模型分析[J].四川师范大学学报:自然科学版，2009，32(3):304-306.[10] 程荣福，孙吉荣.具生物控制的时滞阶段结构种群模型的稳定性[J].北华大学学报:自然科学版，2008，9(2):97-103.[11] 丁孝全，程述汉.具反馈控制的时滞阶段结构种群模型的稳定性[J].生物数学学报，2006，21(2):225-232．[12] 程荣福.一类具生物控制的多滞量捕食模型正周期解的存在性[J].北华大学学报:自然科学版，2010，11(1):1-6.[13] 马知恩，周义仓.常微分方程定性与稳定性方法[M].北京：科学出版社，2001:49-70.[14] Gaines R E，Mawhin J L.Coincidence Degree and Nonlinear DifferentialEquations[M].Berlin:Springer-Verlag，1977:40-45.。
一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题共3篇一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题1一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题随着全球各地出现新型传染病的不断增多，防控传染病的研究成为了热点问题。
传染病模型是目前研究传染病防控的重要手段之一。
其中，SIR模型被广泛应用于传染病的研究中。
本文将从SIR模型的稳定性出发，进行一类传染病模型的稳定性分析及其最优控制问题的探讨。
首先，我们介绍一类传染病模型的基本形式。
该模型包括三个部分：易感人群（S）、感染人群（I）和恢复人群（R）。
我们假设人口总数为N，初始时刻t=0时，有s0个易感人群、i0个感染人群和r0个恢复人群。
在接下来的时间内，易感人群可能感染，成为感染人群；感染人群可能恢复，成为恢复人群。
因此，易感人群的人数变化率为-dSI/dt，感染人群的变化率为dSI/dt-dIR/dt，恢复人群的变化率为dIR/dt。
其中，d表示变化速率，I=I(t)、R=R(t)、S=S(t)。
我们可以得到以下方程：dS/dt=-βSI/NdI/dt= βSI/N-γIdR/dt= γI其中，β表示感染人群对易感人群传播病毒的速率；γ表示感染人群从感染状态到康复状态的速率。
当病毒传染率和治愈率确定后，模型的稳定性成为了一个重要的问题。
对于该模型的稳定性分析，我们引入李雅普诺夫函数法，采用线性稳定性分析，得到以下结果：当易感人群初始密度大于R0时，该模型为不稳定模型，传染病会持续地传播；当易感人群初始密度小于R0时，该模型为稳定模型，传染病将最终消失。
其中，R0=βN/γ表示病毒的基本再生数，即每个感染者能将该病毒传染给多少个易感者。
在了解该模型的稳定性后，我们进一步探讨如何最优地控制传染病的传播。
最优控制是指通过合理的控制策略来使系统达到最优状态的问题。
本问题中，最优控制即使得病毒传播最小的控制策略。
我们将控制方案分为两种：一是加强个人防护措施，减少感染率β；二是提高诊治能力，加快病人康复速度γ。
摘 要传染病模型是生物数学研究的主要内容，运用传染病动力学知识，建立传染病数学模型，并进行数值模拟，得到传染病的传播规律，分析传染病爆发和流行的主要原因，从而找到预防传染病的最好方法。
本文的主要研究内容如下：首先，建立了一类具有CTL 免疫的乙肝病毒模型，研究分析了该模型的平衡点的动态稳定性，利用谱半径的方法求出基本再生数0R 。
当01R ≤时，通过构造Lyapunov 函数，利用Lassalle 不变性原理验证了系统无病平衡点的局部稳定性；当01R >时，研究分析了系统地方病平衡点的局部渐近稳定性。
再通过选取恰当的参数进行数值模拟验证了理论结果。
其次，研究了一类具有时滞和饱和发生率的乙肝病毒模型，考虑到感染细胞的恢复率，分析确定了疾病是否流行的阈值0R ，通过构造Lyapunov 函数，利用Lassalle 不变集原理证明了当01R <时，对于任意时滞，系统在无病平衡点处是全局渐近稳定的；当01R >时，分析了地方病平衡点的局部渐近稳定性。
再通过选取恰当的参数进行数值模拟验证了理论结果。
最后，研究了一类带有接种的非线性发生率的传染病模型，分析了该模型的平衡点的动态稳定性，得到了疾病流行与否的阈值0R 。
假设所有输入者都是易感者，当01R <时，通过构造Lyapunov 函数，验证了无病平衡点的全局渐近稳定性；当01R >时，利用Hurwitz 判据证明了地方病平衡点的局部渐近稳定性。
再通过选取恰当的参数进行数值模拟验证了理论结果。
关键词：传染病模型，HBV ，时滞，Lyapunov 函数，稳定性ABSTRACTInfectious disease model has been the main content of mathematical biologyresearch, based on the dynamic analysis and numerical simulation can show the process of development of infectious diseases, propagation reveal and prediction of infectious diseases, analysis of the causes of disease outbreaks and the key factors, so as to find the optimal strategy for the prevention and control of infectious disease. The main contents of this paper are as follows:Firstly, a kind of hepatitis B virus model with CTL immunity is established, andthe dynamic stability of the equilibrium point is analyzed, the threshold of disease prevalence is obtained, that is, the basic reproduction number 0R . When 01R ≤, by constructing Lyapunov function, it is proved that the disease -free equilibrium is globally asymptotically stable by using Lassalle invariance principle;When 01R >, the system has a unique endemic equilibrium and is locally asymptotically stable at the local equilibrium point. Then, the theoretical results are verified by numerical simulation with appropriate parameters.Secondly, a class of hepatitis B virus model with delay and saturation incidence isstudied. Considering the recovery rate of infected cells, the threshold of disease is determined 0R , by constructing Lyapunov function, The Hurwitz criterion is used to prove when 01R <, for any delay, the disease -free equilibrium is globally asymptotically stable, at this point the disease died out. When 01R >, the system has a unique endemic equilibrium and is locally asymptotically stable at the local equilibrium point. Then, the theoretical results are verified by numerical simulation with appropriate parameters.Finally, an epidemic model with nonlinear incidence rate is studied,the dynamicstability of the equilibrium point of the model is obtained, the threshold of disease is determined 0R .Assume that all inputs are susceptible, When 01R <, by constructing Lyapunov function, it is proved that the disease -free equilibrium is globally asymptotically stable; When 01R >, the system has a unique endemic equilibrium and is locally asymptotically stable at the local equilibrium point. The theoretical resultsKey words: Infectious disease model, HBV, delay, Lyapunov function, stability目录第一章引言 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 国内外研究现状 (2)1.3 主要研究内容 (4)1.4 知识预备 (5)1.4.1 Hurwitz判据 (5)1.4.2 Lassalle不变性原理 (5)第二章一类具有CTL免疫的乙肝病毒模型的稳定性分析 (7)2.1模型的建立 (7)2.2平衡点和基本再生数 (8)2.3无病平衡点的局部和全局稳定性 (8)2.4地方病平衡点的局部渐近稳定性 (10)2.5数值模拟 (11)2.6 本章小结 (14)第三章具有时滞和饱和发生率的乙肝病毒模型的稳定性分析 (15)3.1模型的建立 (15)3.2平衡点和基本再生数 (16)3.3无病平衡点的局部和全局稳定性 (16)3.4地方病平衡点的局部稳定性 (19)3.5数值模拟 (21)3.6本章小结 (25)第四章带有接种的非线性发生率的传染病模型的稳定性分析 (26)4.1 模型的建立 (26)4.2模型的分析 (26)4.3 无病平衡点的稳定性 (27)I4.3.2 无病平衡点的局部以及全局稳定性 (27)4.4地方病平衡点的局部稳定性 (29)4.5数值模拟 (31)4.6本章小结 (32)结束语 (33)参考文献 (34)攻读硕士学位期间研究成果 (39)致谢II第一章引言1.1 研究背景传染病[1-3]，人类文明的产物，并对人类文明产生了巨大而深刻的影响，比起历史上一些大的战争、暴乱等，传染病的影响可能更甚。
一类考虑CTL免疫反应的病毒动力学模型的全局性态郑重武;张凤琴【摘要】建立并讨论了一类考虑CTL免疫反应的病毒动力学模型.借助Lyapunov 函数,得到当R0≤1时,无病平衡点全局渐近稳定,宿主体内病毒被清除;当R0>1,免疫反应再生数R1≤1时,无免疫平衡点全局渐近稳定;当R1>1时,正平衡点全局渐近稳定.【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(011)003【总页数】3页(P210-212)【关键词】CTL免疫反应;平衡点;全局渐近稳定【作者】郑重武;张凤琴【作者单位】中北大学,理学院,山西,太原,030051;运城学院,应用数学系,山西,运城,044000【正文语种】中文【中图分类】O175.211 引言宿主体内的群体动力学性态可通过易感染细胞、感染细胞以及游离病毒的相互作用的关系来描述.在一些实际的系统中，我们还可考虑从细胞被感染到具有感染其他细胞的感染性中间有时间间隔，因此可在系统中增加一个状态变量来表示这段潜伏阶段，在此不妨将此时的细胞状态称之为“暴露细胞”.文献[1]分析了考虑此类暴露细胞和不考虑暴露细胞时两种病毒动力学模型的全局性态，但未考虑具有免疫反应的情况.近年来，对于具有抗体免疫反应和CTL免疫反应的病毒动力学模型的性态已有一定的研究[2-6].文献[7]研究了一类具有抗体免疫反应的系统的局部性态，文献[8]讨论了一类具有CTL免疫反应的系统的全局性态.本文将借助Lyapunov函数这种常用方法[9-10]来讨论一类考虑暴露细胞且系统具有CTL免疫反应的病毒动力学模型的全局性态.2 模型及平衡点分析考虑暴露细胞存在且系统具有CTL免疫反应，建立如下病毒动力学模型：(2.1)其中，x(t)，z(t)，y(t)，v(t)，C(t)分别表示易感细胞、暴露细胞、被感染细胞、游离病毒以及CTL细胞.假定细胞以常数速率λ生成，且新生细胞为未感染病毒的易感细胞.易感细胞、被感染细胞、游离病毒以及CTL细胞的平均生存时间分别为1/m，1/d，1/u，1/α.易感细胞被感染速率为βxv.游离病毒以速率ky从感染细胞中裂解产生，感染细胞刺激CTL细胞以速率qyC产生，感染细胞被CTL细胞以速率pyC清除，此时假定CTL细胞作用的靶细胞为表现出感染性的感染细胞.1/e为潜在状态的平均时间，同时，我们假定所有系数为正，且b>e，k<d.分析系统(2.1)平衡点情况，可得系统(2.1)存在无病平衡点E0=(x0，0，0，0，0)=(λ/m，0，0，0，0).当基本再生数时，系统(2.1)存在一无免疫平衡点E1=(x1，z1，y1，v1，0)，其中，(2.2)定义为免疫反应再生数.当R1>1时，系统(2.1)存在正平衡点E*=(x*，z*，y*，v*，C*)，其中，(2.3)正平衡点表示宿主体内病毒与CTL免疫细胞的共存状态.3 平衡点的全局性态定理3.1 当R0≤1时，无病平衡点E0=(x0，0，0，0，0)=(λ/m，0，0，0，0)全局渐近稳定.证明定义Lyapunov函数注意到λ=mx0，由系统(2.1)可得由于又当时，从而对所有的x，z，y，v，C>0，当R0≤1时，当且仅当v=0，C=0，x=x0.由Lasalle不变集原理[11]可得E0全局渐近稳定.定理3.2 当R0>1，R1≥1时，无免疫平衡点E1全局渐近稳定.证明定义Lyapunov函数此时应用式(2.2)并且注意到λ=mx1+βx1v1，βx1v1=bz1，则有由于而当R1≤1时有y1q-α≤0，从而故对所有的x，z，y，v，C>0，当R0>1，R1≤1时，当且仅当x=x1，z=z1，y=y1，v=v1，C=0.由Lasalle不变集原理[11]可得E1全局渐近稳定.定理3.3 当R1>1时，正平衡点E*全局渐近稳定.证明定义Lyapunov函数结合式(2.3)及由系统(2.1)可得同时，由式(2.3)知，所以有由于从而对所有的x，z，y，v，C>0，当R1>1时，≤0.=0当且仅当x=x*，z=z*，y=y*，v=v*，C=C*.由Lasalle不变集原理[11]可得E*全局渐近稳定.4 小结从上面的讨论可以看出，当基本再生数R0≤1，亦即一个病毒在其存活周期内繁殖病毒个数少于一个时，病毒很快被宿主体内免疫系统清除，无法成功入侵宿主，整个机体仍未感染病毒；当R0>1，R1≤1时，病毒可成功入侵宿主，且由于刺激产生的CTL细胞在其生存周期内繁殖CTL细胞少于一个，此时机体感染病毒且尚未建立免疫反应机制；当R1>1时，机体受到病毒感染且建立起免疫反应系统，此时宿主体内病毒与CTL免疫反应机制共存.【相关文献】[1] Andrei Korobeinikov.Global Properties of Basic Virus Dynamics Models[J].Bulletin of Mathematical Biology，2004，66：879-883.[2] Martin A.Nowak，Charles R.M.Bangham.Population Dynamics of Immune Responses Topersistent Virusces[J].Science，1996，272：74-79.[3] Dominik Wodarz.Hepatitis C Virus Dynamics and Pathology：the Role of CTL and Antibody Response[J].Journal of Genaral Virology，2003，84：174-1750.[4] K Wang，W Wen，H Pang，et plex Dynamic Behavior in a Viral Model with Delayed Immune Response[J].Physica D，2007，26：197-208.[5] Xia Wang，Xinyu Song.Global Properties of a Model of Immune Effection Responses to Viral Infection[J]，2007(4)：495-503.[6] Martin A Nowak，R M May.Virus Dynamics：Mathematical Principles of Immunologyand Virology[M].New York：Oxford University Press，2000.[7] Tsuyoshi Kajiwawa，Toru Sasaki.A Note on the Stability Analysis of Patheogen-immune Interaction Dynamics[J].Discrete and continuous Dynamical System Series，2004(B4)：615-622.[8] Haiyan Pang，Wendi Wang，Kaifa Wang.Global properties of virus dynamics with CTL immune response[J].西南师范大学学报：自然科学版，2005，30：796-799.[9] 李艳红.非自治-食饵——两竞争捕食者系统的持久性和全局渐近稳定性[J].北华大学学报：自然科学版，2008，9(2)：104-107.[10] 赵宏伟.一类具有功能性反应的三种群食物链系统的稳定性[J].北华大学学报：自然科学版，2009，10(4)：296-299.[11] J P Lasalle.The Stablity of Dynamical Systems[M].Philadelphia：SIAM，1976.。
