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单自由度强迫振动系统归一化位移振幅公式推导1. 概述单自由度强迫振动系统是工程和物理学中经常遇到的问题之一。
在实际应用中，我们常常需要对振动系统进行分析和计算，以便更好地理解和控制其运动行为。
而单自由度强迫振动系统的归一化位移振幅公式是其中一个重要的推导内容。
2. 系统背景我们需要了解什么是单自由度强迫振动系统。
单自由度指的是系统中只有一个自由度可以独立运动，而强迫振动是指系统在外力作用下的振动。
在振动系统的分析中，我们通常会用到位移、速度、加速度等概念来描述系统的运动状态。
3. 归一化位移振幅公式的意义为了更好地描述振动系统的运动情况，我们希望能够得到一个通用的表达式，用以表示系统的振动幅度。
而归一化位移振幅公式就是这样一个表达式，它可以帮助我们更加清晰地了解系统的振动情况，并在实际问题中提供便利的计算方法。
4. 推导步骤下面我们将从基本的动力学方程出发，推导出单自由度强迫振动系统的归一化位移振幅公式。
步骤1：建立动力学方程考虑单自由度强迫振动系统的动力学方程为：\[ m\frac{d^2x}{dt^2}+c\frac{dx}{dt}+kx=F_0\cos(\omega t) \]其中，m为系统的质量，c为系统的阻尼系数，k为系统的弹簧刚度，\( F_0 \)为外力的幅值，\( \omega \)为外力的频率，x为系统的位移。
步骤2：假设解的形式为了求解上述动力学方程，我们假设系统的位移x可以表示为一个特定形式的函数。
在这里，我们采用复数表示法，假设系统的位移可以表示为：\[ x=Ae^{j\omega t} \]其中，A为振幅，\( j=\sqrt{-1} \)为虚数单位。
步骤3：代入动力学方程将假设的解形式代入动力学方程中，得到：\[ -\omega^2mAe^{j\omega t}+jc\omega Ae^{j\omegat}+kAe^{j\omega t}=F_0e^{j\omega t} \]步骤4：整理方程整理上述方程，得到：\[ (-\omega^2m+jc\omega+k)A=F_0 \]步骤5：求解振幅A根据上述方程，可以解得振幅A的表达式为：\[ A=\frac{F_0}{-\omega^2m+jc\omega+k} \]5. 结论通过上述推导，我们得到了单自由度强迫振动系统的归一化位移振幅公式：\[ A=\frac{F_0}{-\omega^2m+jc\omega+k} \]这个公式可以帮助我们更好地理解单自由度强迫振动系统的振动特性，并在实际问题中提供便利的计算方法。
第1章 单自由度系统的振动1.1概述机械振动是工程中常见的物理现象。
悬挂在弹簧上的物体在外界干扰下所作的往复运动就是最简单直观的机械振动。
广泛地说，各种机器设备及其零部件和基础，都可以看成是不同程度的弹性系统。
例如桥梁在车辆通过时引起的振动，汽轮机、发电机由于转子不平衡引起的振动等。
因此，机械振动就是在一定的条件下，振动体在其平衡位置附近所作的往复性的机械运动。
实际中的振动系统是很复杂的。
为了便于分析研究和运用数学工具进行计算，需要在满足工程要求的条件下，把实际的振动系统简化为力学模型。
例如图示1.1-1就是个最简单的单自由度质量(m )—弹簧(k )系统。
如果实际系统很复杂，要求的精度较高，简化的力学模型也就复杂。
振动系统中和参数的动态特性，可以用常系数线性微分方程来描述的，称为线性振动。
但工程实际中也有很多振动系统是不能线性化的，如果勉强线性化，就会使系统的性质改变，所得的系统只能按非线性振动系统处理。
机械振动分析方法很多。
对于简单的振动系统，可以直接求解其微分方程的通解。
由于计算机进行数值计算非常方便，所以振动仿真是一种最直接的方法。
由于振动模型中尤其是多自由度振动很方便用矩阵微分方程来描述，所以MATLAB 语言在振动仿真中体现出十分优越的特性。
本章先介绍机械振动的单自由度、多自由度振动的基础，然后介绍仿真计算的各种计算公式，最后通过MATLAB 语言来实现。
1.2单自由度系统的振动1.2.1 无阻尼自由振动如图1.1-1所示的单自由度振动系统可以用如下微分方程描述：0=+kx xm (1.2.1-1) 令mkn =2ω ，方程的通解为t b t a x n n ωωcos sin += (1.2.1-2)式(1.2.1-2)表示了图示(1.1-1)中质量m 的位置随时间而变化的函数关系，反映了振动的形式与特点，称为振动函数。
式(1.2.1-2)中，a 、b 为积分常数，它决定于振动的初始条件。
●谐变化的力在谐位移上的功是●运动较慢时，＝, 外力主要用于克服弹簧力，一周中所作功为零●运动较快时，, 外力分量克服阻尼力，一部分功转变为热能●共振时，，外力平衡阻尼力，功全部消耗于阻尼⏹阻尼振幅⏹阻尼消耗的功=外力功⏹⏹共振●这是相位差为的频率下的振幅，接近于最大振幅的频率能量法求解共振振幅每周的能量振幅外力阻尼力0A B C共振时的放大因子共振另一方面，有阻尼振动的对数衰减率近似为 共振时的放大因子用对数衰减率表示为瞬态振动和稳态振动瞬态振动稳态振动特解例题汽车重千克，装在四只弹簧上，在车身重量作用下弹簧下压厘米，四只缓冲器，每只在1厘米/秒的速度时具有阻尼系数千克。
把车子和四只车轮一起安装在一个试验台上，实验台以共振速率上下运动，振幅为厘米。
假定中心时在轴距中心处，试求车身在弹簧上的振幅。
解：rad具有振幅的弹簧顶部的运动相当于在质量上具有振幅的力kgcm●假定弹簧质量体系，由旋转机械的不平衡运动激励，只能竖向运动●不平衡部分用一个离心质量表示，离心距为，角速度为●表示非旋转部分的位移(以静平衡位置为参考)，的运动可以表示为考虑阻尼影响的转动失衡2014/10/2232运动平衡方程sinsin这个方程与具有振幅的弹簧顶部运动导致的振动方程是一样的,令, 可直接得到振动的振幅tan332014/10/22进一步，可以写成如下的无量纲关系tan342014/10/22转动失衡受迫振动幅频和相频特性352014/10/22●前面的例子是旋转不平衡发生在单一平面内，现在讨论在几个平面内的平衡情况●静不平衡⏹不平衡质量都在同一平面内，合力是一个单一的径向力⏹这种不平衡可以用静态试验测出来，即把轮-轴架在轨道上，使其停留在某个位置：重心在轴的下方⏹不用转动轮子就可以测得不平衡位置●动不平衡⏹不平衡出现在多个平面内⏹合力是一个集中力和一个摇摆力矩⏹通过旋转转子才能测出转子失衡2014/10/2236平衡机一般来讲，比较长的转子，例如马达的电枢或者汽车的发动机的机轴，汽车的轮毂和轮胎，都可以认为是一系列薄盘组成，每个薄盘都带有不同程度的失衡⏹用于检测并修正转子失衡的机器叫平衡机⏹平衡机包含弹性支承用于通过运动检测不平衡力⏹测得支承振动幅度和相对相位，进而确定转子的不平衡量并进行修正⏹这是一个二自由度问题：转子的平动和转动是同时发生的372014/10/22●在设计机械具体实施上述原理的检测过程的时候，会采用各种振动传感器、光电传感器，测量其振动情况和转速同步信号，确定失衡重点的位置，然后根据需要对转子进行加重法和去重法的对转子进行平衡加工⏹加重法：在不平衡相反方向配上校正重块。
·kxcxckxmm xO 0cos F tw 实验名称 单自由度系统数值模拟一、实验目的、要求一、实验目的、要求1．熟悉单自由度系统强迫振动特性和求解方法；．熟悉单自由度系统强迫振动特性和求解方法； 2．掌握强迫振动系统的计算机模拟仿真方法。
．掌握强迫振动系统的计算机模拟仿真方法。
二、实验设备及仪器1. 计算机计算机2. Matlab 软件软件3. c 语言语言 三、实验步骤1．利用如右图所示的受力分析，得出单自由度系统强迫振动的运动方程。
自由度系统强迫振动的运动方程。
物体沿水平方向振动，取物体无扰力下的静平衡位置为坐标原点，水平向右为x 轴正向，建立如图所示的坐标系。
受力情况如图，其激励力为：0cos F F t w =，其中，，其中，0F 称为激励力的力幅，为常值。
称为激励力的力幅，为常值。
w 为激励频率，为常值。
为激励频率，为常值。
根据牛顿第二定律，得到单自由度系统强迫振动的运动方程：强迫振动的运动方程：0cos m x F t kx cxw =-- 2．对方程进行求解。
令n km w =，00F X k =，22c n c km m w ==，22c n c c c c m kmz w ===则原方程可以变形为：则原方程可以变形为：2202cos n n n x x x X t zw w w w ++=这是一个非齐次二阶常系数微分方程，根据微分方程理论，它的解由两部分组成这是一个非齐次二阶常系数微分方程，根据微分方程理论，它的解由两部分组成 12x x x =+其中，1x 代表齐次微分方程220n n x x x zw w ++=的解，简称齐次解，当1z <时，由前面的单自由度阻尼自由振动可得：前面的单自由度阻尼自由振动可得：()112cos sin cos()n n ttd d d x eBt B t Aet zwzww w w j --=+=-其中：21d n w zw =-×，称为衰减振动的固有频率。
专题一机械振动基础1. 单自由度系统无阻尼自由振动2. 求系统固有频率的方法3. 单自由度系统的有阻尼自由振动4. 单自由度系统的无阻尼强迫振动5. 单自由度系统的有阻尼强迫振动4. 单自由度系统的无阻尼强迫振动4.1 强迫振动的概念4.2 无阻尼强迫振动微分方程及其解4.3 稳态强迫振动的主要特性4. 单自由度系统的无阻尼强迫振动4.1 强迫振动的概念4.2 无阻尼强迫振动微分方程及其解4.3 稳态强迫振动的主要特性)sin(ϕω+=t H F 强迫振动：在外加激振力作用下的振动。
简谐激振力：φ—激振力的初相位H —力幅ω—激振力的圆频率4.1 强迫振动的概念无阻尼强迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次线性微分方程。
)sin(ϕω++−=t H kx x m 则令 , 2m Hh m k n ==ω)sin(2ϕωω+=+t h x x n 4.2 无阻尼强迫振动微分方程及其解全解为：稳态强迫振动21x x x +=)sin(1θω+=t A x n )sin(2ϕω+=t b x 为对应齐次方程的通解为特解)sin(22222ϕωωωωω+−=−=t h x h b n n ,)sin()sin(22ϕωωωθω+−++=t h t A x n n(3) 强迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。
(1) 在简谐激振力下，单自由度系统强迫振动亦为简谐振动。
(2) 强迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的质量及刚度系数无关。
4.3 稳态强迫振动的主要特性)sin(222ϕωωω+−=t h x n 稳态响应(1) ω=0时(2) 时，振幅b 随ω增大而增大；当时，n ωω<(3)时，振动相位与激振力相位反相，相差。
n ωω>b 随ω增大而减小；kHh b n ==20ωn ωω →∞→b rad π22ωω−=n hb β：振幅比或动力系数λ：频率比β−λ曲线：幅频响应曲线（幅频特性曲线）10 ; , 20→∞→==b b b n 时时ωωω)sin(222ϕωωω+−=t hx n(4)共振现象，这种现象称为共振，无稳态解。
