河南省洛阳市2013届高三二练考试数学(理)试题

2013年河南省新课程高考适应性考试（一）理科数学试题参考答案及评分标准（13）1-（1415）1（16）16三、解答题（17）解：（Ⅰ）递推公式可化为2112()3n n n n a a a a +++-=-，即123n n b b +=. …………3分又1213b a a =-=，所以数列{}n b 是首项为3，公比为23的等比数列.……………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，123()3n n b -=，所以1123().3n n n a a -+-=……………7分12132431()()()()n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-22222133()3()3()333n -=+++++1121()2313109().2313n n ---=+=--……………12分（18）解：（Ⅰ）设分数在[)70,80内的频率为x ，根据频率分布直方图，则有(0.010.01520.0250.005)101x ⨯++⨯+=＋，可得x =0.3. 所以频率分布直方图如图所示：……………4分（Ⅱ）平均分为：450.1550.15650.15750.3850.25950.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯71.=………………6分（Ⅲ）学生成绩在[40,70)的有0.4×60=24人，在[70,100]的有0.6×60=36人，且X 的可能取值是0，1，2．则22426046(0)295C P X C ===，112436260144(1)295C C P X C ===，236260105(2)295C P X C ===． 所以X 的分布列为：所以EX ＝0×46295＋1×144295＋2×105295＝354295．……………12分 （19）解：（Ⅰ）连接1A C 交1AC 于O ,连接OM .在三角形1A BC 中，OM 是三角形1A BC 的中位线，所以OM ∥1A B , 又因OM ⊂平面1AMC ，所以OM ∥平面1AMC .……………4分 （Ⅱ）（法一）设直线1CC 与平面1AMC 所成角为θ，C 点到平面1AMC 的距离为h，11AA =，则=2AB BC =，因为1113C AMC AMC V S CC -=⋅❒,1122133C AMC V -=⨯⨯=，所以1112133C AMC C AMC AMC V V S h --===⋅❒.……………5分因为113,AM AC MC ===所以1cos C AM ∠==,1sin C AM ∠=.111332AMC S C AM =⨯∠==❒. 112133C AMC AMC V S h h -==⋅=❒， 23h =，2sin 3θ=.……………8分（法二）如图以BC 所在的直线为x 轴, 以BA 所在的直线为y 轴, 以1BB 所在的直线为z 轴， 以1BB 的长度为单位长度建立空间直角坐标系.CA C 1则(0,0,0)B ,(2,0,0)C ,(0,2,0)A ,(1,0,0)M ，1(2,0,1)C ,1(0,1,0)B ,1(0,2,1)A .设直线1CC 与平面1AMC 所成角为θ，平面1AMC 的法向量为(,,)x y z =n .则有1(0,0,1)CC = ,(1,2,0)AM =- ,1(1,0,1)C M =--， 100C M AM ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 200.x y x z -=⎧⇔⎨--=⎩，令2x =,得(2,1,2)=-n ， 设直线1CC 与平面1AMC 所成角为θ，则122sin cos ,33CC θ-=<>==n .……………8分 （Ⅲ）假设直线11A B 上存在点N ，使AN 与1MC 成角为60 .设(0,,1)N b ，则(0,2,1)AN b =- ，1MC =设其夹角为α， 所以，cos α=12==，12=，2=1b ⇒=或3b =（舍去）， 故(0,1,1)N .所以在棱11A B 上存在棱11A B 的中点N ，使AN 与1MC 成角60 .……12分（20）解：（Ⅰ）在12F MF 中,设11F M r =,22F M r =,由余弦定理得222121242cos60c r r rr ︒=+-，即221212124()22cos60c r r r r r r ︒=+--，即2212124()3c r r r r =+-，得21234r r b =. 又因为12121s 602F MF S r r in ︒∆==12163rr =，24b =， 又因为24,c =所以2228a b c =+=，所以所求椭圆的方程为22184x y +=.……………5分（Ⅱ）显然直线AB 的斜率k 存在，设直线方程为y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y ，由22,28y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222()8x kx m ++=，即222(21)4280k x kmx m +++-=，222(4)4(21)(28)0km k m ∆=-+-≥，1224,21kmx x k -+=+21222(4)21m x x k -=+， 由124k k +=得，1212224y y x x --+=，又11y kx m =+，22y kx m =+， 则1212224kx m kx m x x +-+-+=，1212(2)()24m x x k x x -++=， 2224(2)212422(4)21kmm k k m k m k --++=⇒=--+， 那么2(1)2y kx m y kx k y k x =+⇒=+-⇒=+-， 则直线AB 过定点(1,2)--.……………10分因为222(4)4(21)(28)0km k m ∆=-+-≥，2m k =-，222[4(2)]4(21)[2(2)8]0k k k k --+--≥， 22224(2)(21)(28)0k k k k k --+-≥，22222(2)(21)(4)0k k k k k --+-≥，22[2(2)(21)(4)]0k k k k k --+-≥，(74)0k k +≥，所以0k ≥或47k -≤.……………12分（21）解：（Ⅰ）令0x =得2)0(=f ，1'()23'(0)1f x f x x =--+，所以'(0)1f =-， ∴2()ln(1)22f x x x x =+-++，……………3分2121'()2211x f x x x x -=+-=++， 由'()0f x <得x <<， ∴()f x的减区间为（,）.……………5分 （Ⅱ）由题意22ln(1)22x x x x ax b +-++++≤， ∴2ln(1)(2)b x a x -+-+≥，设()ln(1)(2)g x x a x =+-+，1'()(2)1g x a x =-++.……………7分 当20a +≤时，'()0g x >恒成立，()g x 无最大值；当20a +>时，由'()0g x >得1112x a -<<-+，'()0g x <得112x a >-+. ∴()g x 在1(1,1)2a --+上为增函数，在1(1,)2a -+∞+上为减函数.∴1()(1)1ln(2)2g x g a a a -=+-++≤， ∴21ln(2)b a a -+-+≥， ∴3ln(2)222b a a a a a -+-+++≥，……………10分 设ln(2)()22a a h a a a +=-++，21ln(2)'()(2)a h a a ++=+， 由'()0h a >得12e a >-，'()0h a <得122ea -<<-，∴1()(2)1e e h a h -=-≥，所以32b a -+的最小值为1e -.……………12分 （22）证明：（Ⅰ）如图，∠DEF =180°-（180°-2∠B ）-（180°-2∠C ）=180°-2∠A ．因此∠A 是锐角，从而ADF 的外心与顶点A 在DF 的同侧， ∠DOF =2∠A =180°-∠DEF ．因此D ，E ，F ，O 四点共圆．……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠DEO =∠DFO =∠FDO =∠FEO ，即O 在∠DEF 的平分线上． ……………10分（23）解:（Ⅰ）由6sin ρθ=得26sin ρρθ=，化为直角坐标方程为226x y y +=，即22(3)9x y +-=.……………4分（Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22(cos sin )70t t αα+--=.由2(2cos 2sin )470αα∆=-+⨯>，故可设12,t t 是上述方程的两根， 所以12122(cos sin ),7,t t t t αα+=--⎧⎨⋅=-⎩又直线l 过点(1,2)，故结合t 的几何意义得||||PA PB +=1212||||||t t t t +=-=所以||||PA PB +的最小值为……………10分（24）解：（Ⅰ）1,(2)()2|2|539,(2)x x f x x x x x +⎧=--+=⎨-+<⎩≥ACE BD OF显然，函数()f x 在区间(,2)-∞上单调递减，在区间[2,)+∞上单调递增， 所以函数()f x 的最小值(2) 3.m f ==……………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知3m =，|||2|3x a x -++≥恒成立，由于|||2||()(2)||2|x a x x a x a -++--+=+≥， 等号当且仅当()(2)0x a x -+≤时成立， 故|2|3a +≥，解之得1a ≥或 5.a -≤所以实数a 的取值范围为1a ≥或 5.a -≤……………10分。

河南省洛阳市2008-2009学年高三第二次统一考试数学（理科）试题第Ⅰ卷(选择题，共60分)一．选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 符合要求的。

1．2)11(ii +- 的值为 A ．1B ．iC ．1-D ．i - 2．下列四组函数中，表示相同函数的一组是A ．x x f =)(，2)(x x g =B ．2)(x x f =，2)()(x x g =C ．11)(2--=x x x f ，1)(+=x x g D ．11)(-⋅+=x x x f ，1)(2-=x x g3．对于平面α和直线m ．n ，给出下列命题① 若n m //，则m ．n 与α所成的角相等；② 若α//m ，α//n ，则n m //；③ 若α⊥m ，n m ⊥，则α//n④ 若m 与n 是异面直线，且α//m ，则n 与α相交。

其中真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．44．若二项式n x x )2(3+的展开式存在常数项，则n 值可以为 A ．7 B ．8 C ．9 D ．105．已知x ．y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+≥004430y y x x ，则x y x 222++的最小值为A ．52B ．12-C ．2524D ．16．一个正四面体的外接球半径与内切球半径之比为A ．1:3B ．2:3C ．1:4D ．1:27．已知等比数列{}n a 的前n 项和5152-⋅=-n n t S ，则实数t 的值为 A ．4 B ．5 C ．54 D ．51 8．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中，选出一个偶数和三个奇数组成一个没有重复数字的四位数，这样的四位数共有A ．1480个B ．1440个C ．1200个D ．1140个9．已知10<<<y x ，)1(log +=x a x ，)1(log +=y b y ，则a ．b 的大小关系是A ．b a >B ．b a =C ．b a <D ．与x ．y 的具体取值有关10．在ABC ∆中，内角A ．B ．C 的对边分别为a ．b ．c ，已知a ．b ．c 成等比数列，3=+c a ，43cos =B ，则BC AB ⋅等于 A ．23 B ．32- C ．3 D ．3-11．设离心率为e 的双曲线C ：12222=-by a x )0,0(>>b a 的右焦点为F ，直线l 过焦点F ，且斜率为k ，则直线l 与双曲线C 的左右两支都相交的充要条件是A ．122>-e kB ．122<-e kC ．122>-k eD ．122<-k e 12．函数⎩⎨⎧-=-x x f x f 2)4()(2,2,-≤->x x 在[)+∞,2上为增函数，且0)0(=f ，则)(x f 的最小值是 A ．)0(f B ．)2(fC ．)4(fD ．)2(-f第Ⅱ卷(选择题，共90分)二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

河南省洛阳市高三“一练”数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（•洛阳模拟）设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z 的共轭复数为=（）A．B．2C．D．1考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：计算题．分析：给出z=﹣1﹣i ，则，代入整理后直接求模．解答：解：由z=﹣1﹣i ，则，所以=．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，考查了学生的运算能力，此题是基础题．2．（5分）（•洛阳模拟）已知集合，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．1B．2C．4D．8考点：集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：通过解分式不等式求出好A，无理不等式求出集合B，通过满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数即可．解答：解：∵={1，2}={0，1，2，3，4}，因为A⊆C⊆B，所以C中元素个数至少有1，2；至多为：0，1，2，3，4；所以集合C的个数为{0，3，4}子集的个数：23=8．故选D．点评：本题考查分式不等式与无理不等式的求法，集合的子集的求解，考查计算能力，转化思想．3．（5分）（•洛阳模拟）如果函数y=3sin（2x﹣φ）（φ＞0）的图象关于直线对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．考点：正弦函数的对称性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数图象对称轴方程的公式，建立关于φ的等式，化简可得﹣φ=+kπ（k∈Z），取k=﹣1得φ=，即为正数φ的最小值．解答：解：∵函数y=3sin（2x ﹣φ）的图象关于直线对称，∴当x=时，函数达到最大或最小值由此可得：2﹣φ=+kπ（k∈Z）∴﹣φ=+kπ（k∈Z），取k=﹣1，得φ=因此，φ的最小值为故选：C点评：本题给出三角函数图象的一条对称轴方程，求参数φ的最小值，着重考查了三角函数和图象与性质和正弦函数图象的对称性等知识，属于基础题．4．（5分）（•揭阳一模）如图，阅读程序框图，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题．分析：据程序框图得到事件“能输出数对（x，y）”满足的条件，求出所有基本事件构成的区域面积；利用定积分求出事件A构成的区域面积，据几何概型求出事件的概率．解答：解：是几何概型所有的基本事件Ω=设能输出数对（x，y）为事件A，则A=S（Ω）=1S（A）=∫01x2dx==故选A点评：本题考查程序框图与概率结合，由程序框图得到事件满足的条件、考查利用定积分求曲边图象的面积；利用几何概型概率公式求出事件的概率．5．（5分）（•洛阳模拟）若函数为常数）在定义域内为奇函数，则k的值为（）A．1B．﹣1 C．±1D．0考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由奇函数定义知f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，进行化简整理即可求得k值．解答：解：因为f（x）为定义域内的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，所以（2﹣x﹣k•2x）（2x+k•2﹣x）=﹣（2x﹣k•2﹣x）（2﹣x+k•2x），所以2﹣x•2x+k•2﹣2x﹣k•22x﹣k2•2x•2﹣x=﹣2x•2﹣x﹣k•22x+•k•2﹣2x+k2•2﹣x•2x，即1﹣k2=﹣1+k2，解得k=±1，故选C．点评：本题考查函数的奇偶性，考查指数幂的运算法则，考查学生的运算能力，属中档题．6．（5分）（•洛阳模拟）在△ABC中，D为BC 边上的点，的最大值为（）A．1B．C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：在△ABC中，D为BC边的点，由D，B，C三点共线可知λ+μ=1，（λ、μ＞0），利用基本不等式即可求得λμ的最大值．解答：解：∵在△ABC中，D为BC边的点，∴D，B，C三点共线且D在B，C之间，∴λ+μ=1，（λ＞0，μ＞0）∴λμ≤==（当且仅当λ=μ时取“=”）．∴λμ的最大值为．故选D．点评：本题考查基本不等式，求得λ+μ=1，（λ＞0，μ＞0）是关键，属于中档题．7．（5分）（•洛阳模拟）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．64+32πB．64+64πC．256+64πD．256+128π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．据此即可计算出．解答：解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．∴该几何体的体积V=8×8×4+π×42×4=256+64π．故选C．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．8．（5分）（•洛阳模拟）已知F是抛物线y2=4x的焦点，过点F1的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|=3|BF|，则线段AB的中点到该抛物线准线的距离为（）A．B．C．D．10考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离．解答：解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=3|BF|，∴x1+1=3（x2+1），∴x1=3x2+2∵|y1|=3|y2|，∴x1=9x2，∴x1=3，x2=∴线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为[（x1+1）+（x2+1）]=故选B．点评：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键．9．（5分）（•洛阳模拟）函数的最大值为（）A．2B．3C．D．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域，即可确定出f（x）的最大值．解答：解：f（x）=1﹣cos （+2x ）﹣cos2x=1+（sin2x ﹣cos2x）=1+2sin（2x ﹣），∵≤x≤，∴≤2x﹣≤，∵≤sin（2x ﹣）≤1，即2≤1+2sin（2x ﹣）≤3，则f（x）的最大值为3．故选B点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）（•洛阳模拟）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．64π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．解答：解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，∴球O的半径R==2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故选C．．点评：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题时要关键．11．（5分）（•洛阳模拟）已知的两个零点，则（）A．B．1＜x1x2＜e C．1＜x1x2＜10 D．e＜x1x2＜10考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：若的两个零点，则x1，x2是函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象交点的横坐标，在同一个坐标系中，画函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象，利用对数函数的性质，可判断出x1x2的范围．解答：解：若的两个零点，则x1，x2是函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象交点的横坐标在同一个坐标系中，画函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象如下图所示：由图可得即﹣1＜ln（x1•x2）＜1即又∵﹣lnx1＞lnx2∴ln（x1•x2）＜0∴x1•x2＜1综上故选A点评：本题考查的知识点是函数的零点，对数函数的图象和性质，其中画出函数的图象，并利用数形结合的办法进行解答是关键．12．（5分）（•洛阳模拟）设F1，F2分别为双曲线的左右焦点，过F1引圆x2+y2=9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．4B．3C．2D．1考点：两点间的距离公式；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程，算出c==5，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，并结合双曲线的定义可得|MO|﹣|MT|=4﹣a=1，得到本题答案．解答：解：∵MO是△PF1F2的中位线，∴|MO|=|PF2|，|MT|=|PF1|﹣|F1T|，根据双曲线的方程得：a=3，b=4，c==5，∴|OF1|=5，∵PF1是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，∴Rt△OTF1中，|FT|==4，∴|MO|﹣|MT|=|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=|F1T|﹣（|PF1|﹣|PF2|）=4﹣a=1故选：D点评：本题给出双曲线与圆的方程，求|MO|﹣|MT|的值，着重考查了双曲线的简单性质、三角形中位线定理和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（•洛阳模拟）设变量x，y 满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y 的最小值为7 ．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：先根据条件画出可行域，设z=2x+3y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+3y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，1），B（4，5），C（1，2），当直线过A（2，1）时，目标函数z=2x+3y的最小，最小值为7．故答案为：7．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．14．（5分）（•洛阳模拟）曲线处的切线方程为x+y﹣2=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由y=，知，由此能求出曲线处的切线方程．解答：解：∵y=，∴，∴曲线处的切线方程的斜率k=y′|x=0=﹣1，∴曲线处的切线方程为y﹣2=﹣x，即x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．点评：本题考查曲线方程在某点处的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的几何意义的灵活运用．15．（5分）（•洛阳模拟）的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x2的系数为160 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；概率与统计．分析：由的展开式中各项系数之和为729，知3n=729，解得n=6．再由（2x+）6的通项公式为T r+1==，能求出该展开式中x2的系数．解答：解：∵的展开式中各项系数之和为729，令x=1，得3n=729，解得n=6．∵（2x+）6的通项公式为T r+1==，由6﹣=2，得r=3．∴该展开式中x2的系数为=8×=160．故答案为：160．点评：本题考查二项式系数的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．16．（5分）（•洛阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosB=acosC+ccosA，且b2=3ac，则角A 的大小为或．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理、诱导公式可得sin2B=sin（A+C），得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，即sin2B=3sinAsinC，利用积化和差公式求得cos（A﹣C）=0，得A﹣C=±90°，由此可得A的大小．解答：解：△ABC中，∵2bcosB=acosC+c•cosA，由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinC•cosA，∴sin2B=sin（A+C）．得2B=A+C （如果2B=180°﹣（A+C），结合A+B+C=180°易得B=0°，不合题意）．A+B+C=180°=3B，得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，故 sin2B=3sinAsinC，∴=3sinAsinC=3×[cos（A﹣C）﹣cos（A+C）]=（cos（A﹣C）+），解得 cos（A﹣C）=0，故A﹣C=±90°，结合A+C=120°，易得 A=，或A=．故答案为A=，或A=点评：本题主要考查正弦定理、诱导公式、积化和差公式的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．三、解答题：本大题共8小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（•洛阳模拟）设数列{a n}满足：a1+2a2+3a3+…+na n=2n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=n2a n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题．分析：（1）根据题意，可得a1+2a 2+3a3++（n﹣1）a n﹣1=2n﹣1，两者相减，可得数列{a n}的通项公式．（2）根据题意，求出b n的通项公式，继而求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）∵a1+2a2+3a3+…+na n=2n①，∴n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1=2n﹣1②①﹣②得na n=2n﹣1，a n=（n≥2），在①中令n=1得a1=2，∴a n=（2）∵b n=．则当n=1时，S1=2∴当n≥2时，S n=2+2×2+3×22+…+n×2n﹣1则2S n=4+2×22+3×23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n相减得S n=n•2n﹣（2+22+23+…+2n﹣1）=（n﹣1）2n+2（n≥2）又S1=2，符合S n的形式，∴S n=（n﹣1）•2n+2（n∈N*）点评：此题主要考查数列通项公式的求解和相关计算．18．（12分）（•洛阳模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB的中点．（1）证明：CD⊥平面POC；（2）求二面角C﹣PD﹣O的余弦值的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（1）利用侧面PAB⊥底面ABCD，可证PO⊥底面ABCD，从而可证PO⊥CD，利用勾股定理，可证OC⊥CD，从而利用线面垂直的判定，可得CD⊥平面POC；（2）建立坐标系，确定平面OPD、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角O﹣PD ﹣C的余弦值；解答：证明：（1）∵PA=PB=，O为AB中点，∴PO⊥AB∵侧面PAB⊥底面ABCD，PO⊂侧面PAB，侧面PAB∩底面ABCD=AB，∴PO⊥底面ABCD∵CD⊂底面ABCD，∴PO⊥CD在Rt△OBC中，OC2=OB2+BC2=2在Rt△OAD中，OD2=OA2+AD2=10在直角梯形ABCD中，CD2=AB2+（AD﹣BC）2=8∴OC2+CD2=OD2，∴△ODC是以∠OCD为直角的直角三角形，∴OC⊥CD∵OC，OP是平面POC内的两条相交直线∴CD⊥平面POC…（6分）解：（2）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，0，2），D（﹣1，3，0），C（1，1，0）∴=（0，0，2），=（﹣1，3，0），=（﹣1，﹣1，2），=（﹣2，2，0）假设平面OPD 的一个法向量为=（x，y，z），平面PCD 的法向量为=（a，b，c），则由可得，令x=3，得y=1，z=0，则=（3，1，0），由可得，令a=2，得b=2，c=，即=（2，2，）∴cos＜，＞===故二面角O﹣PD﹣C 的余弦值为．…（12分）点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量方法解决空间角问题，正确运用线面垂直的判定是关键．19．（12分）（•洛阳模拟）随着建设资源节约型、环境友好型社会的宣传与实践，低碳绿色的出行方式越来越受到追捧，全国各地兴起了建设公共自行车租赁系统的热潮，据不完全统计，已有北京、株洲、杭州、太原、苏州、深圳等城市建设成公共自行车租赁系统，某市公共自行车实行60分钟内免费租用，60分钟以上至120分钟（含），收取1元租车服务费，120分钟以上至180分钟（含），收取2元租车服务费，超过180分钟以上的时间，按每小时3元计费（不足一小时的按一小时计），租车费用实行分段合计．现有甲，乙两人相互到租车点租车上班（各租一车一次），设甲，乙不超过1小时还车的概率分别为小时以上且不超过2小时还车的概率分别为小时以上且不超过3小时还车的概率分别为，两人租车时间均不会超过4小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率．（2）设甲一周内有四天（每天租车一次）均租车上班，X表示一周内租车费用不超过2元的次数，求X的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元，然后利用互斥事件的概率公式分别求出相应的概率，最后求和可求出所求；（2）X的取值可能为0，1，2，3，4，然后利用二项分布的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．解答：解：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元两人都付0元的概率为P1=×=两人都付1元的概率为P2=×=两人都付3元的概率为P3=×=两人都付6元的概率为P4=（1﹣﹣﹣）×（1﹣﹣﹣）=×=则甲，乙两人所付租车费用相同的概率为P=P1+P2+P3+P4=（2）依题意，甲某每天租车费用不超过2元的概率为P=+=则P（X=0）=××=，P（X=1）==P（X=2）==，P（X=3）==P（X=4）==∴X的分布列为X 0 1 2 3 4PX的数学期望为E（X ）=1×+2×+3×+4×=3点评：本题主要考查了事件、互斥事件的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．20．（12分）（•洛阳模拟）在平面直角坐标系中xOy中，O为坐标原点，A（﹣2，0），B（2，0），点P为动点，且直线AP与直线BP 的斜率之积为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点D（1，0）的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，△MON的面积是否存在最大值？若存在，求出△MON 的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设P点坐标为（x，y）根据直线AP与直线BP 的斜率之积为，代入斜率公式，整理可得动点P的轨迹C的方程；（2）设出交点M，N的坐标及直线l的方程为x=ny+1，联立方程根据韦达定理求出y1+y2，y1•y2的值，根据弦长公式求出MN长，求出△MON的面积的表达式，分析出对应函数的单调性，可得答案．解答：解：设P点的坐标为（x，y）∵A（﹣2，0），B（2，0），直线AP与直线BP 的斜率之积为．∴•=（x≠±2）整理得P 点的轨迹方程为（x≠±2）（2）设直线l的方程为x=ny+1联立方程x=ny+1与（x≠±2）得（3n2+4）y2+6ny﹣9=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1•y2=△MON的面积S=•|OP|•|y1﹣y2|====令t=，则t≥1，且y=3t+在[1，+∞）是单调递增∴当t=1时，y=3t+取最小值4此时S 取最大值此时直线的方程为x=1点评：本题考查的知识点是轨迹方程，直线与圆锥曲线的关系，熟练掌握设而不求，联立方程，韦达定理，弦长公式等一系列处理直线与圆锥曲线关系的方法和技巧是解答的关键．21．（12分）（•洛阳模拟）已知函数．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意的，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=2时，求出f（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；（2）对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），等价于f（x0）min＞m（1﹣a2），用导数可求f（x0）min，构造函数g（a）=f（x0）min﹣m（1﹣a2）（1＜a＜2），问题转化为g（a）min＞0（1＜a＜2），分类讨论可求出m的取值范围．解答：解：（1）当a=2时，f（x）=，定义域为（﹣，+∞）．f′（x）=2x﹣2+=2x﹣2+=．由f′（x）＞0，得，或x ＞；由f′（x）＜0，得0＜x ＜．所以函数f（x ）的单调递增区间为（，0），（，+∞），单调递减区间为（0，）．（2）y=f（x ）的定义域为（﹣，+∞）．f′（x）=2x﹣a+=2x﹣a+==．当1＜a＜2时，﹣1==＜0，即，所以当1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a+ln （）．依题意，对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），即可转化为对任意的a∈（1，2），1﹣a+ln （）﹣m（1﹣a2）＞0恒成立．设g（a）=1﹣a+ln （）﹣m（1﹣a2）（1＜a＜2）．则g′（a）=﹣1++2ma==，①当m≤0时，2ma﹣（1﹣2m）＜0，且＞0，所以g′（a）＜0，所以g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，则g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾．②当m＞0时，g′（a）=，若，则g′（a）＜0，g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾；若1＜＜2，则g（a）在（1，）上单调递减，在（，2）上单调递增，且g（1）=0，g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0矛盾；若，则g（a）在（1，2）上单调递增，且g（1）=0，则恒有g（a）＞g（1）=0，所以，解得m，所以m的取值范围为[，+∞）．点评：本题考查综合运用导数求函数的单调区间、最值及函数恒成立问题，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想的运用．22．（10分）（•洛阳模拟）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O于A，B两点，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D．求证：（1）CE=DE；（2）．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．专题：选作题．分析：（1）由弦切角定理是，及PC为∠APE的平分线，可证得∠ECD=∠EDC，进而证得CE=DE （2）先由AA证明出△PBC∽△ECD，进而证得△PBC∽△PEC，可由相似三角形对应边成比例得到结论．解答：解：（1）PE切圆O于点E∴∠A=∠BEP∵PC平分∠APE，∴∠A+∠CPA=∠BEP+∠DPE∵∠ECD=∠A+∠CPA，∠EDC=∠BEP+∠DPE∴∠ECD=∠EDC，∴EC=ED（2）∵∠PDB=∠EDC，∠EDC=∠ECD∴∠PDB=∠PCE∵∠BPD=∠EPC∴△PDB∽△PEC∴=同理△PDE∽△PCA∴=∴=∵DE=CE∴点评：本题考查的往右点是与圆相关的比例线段，相似三角形的性质，熟练掌握弦切角定理及相似三角形的判定及性质是解答的关键．23．（•洛阳模拟）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．考点：直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）先根据极坐标与直角坐标互化的公式，算出曲线C的直角坐标方程，再结合直线l 的参数方程：，联解得到关于参数t的二次方程，运用根的判别式列式并解之，即可得到角α的取值范围；（2）由（1）可得曲线C的参数方程，从而得到x+y=3+2sin （θ+），最后结合正弦函数的值域，即可得到x+y的取值范围．解答：解：（1）将曲线ρ2﹣6ρcosθ+5=0化成直角坐标方程，得圆C：x2+y2﹣6x+5=0直线l 的参数方程为（t为参数）将其代入圆C方程，得（﹣1+tcosα）2+（tsinα）2﹣6tsinα+5=0整理，得t2﹣8tcosα+12=0∵直线l与圆C有公共点，∴△≥0，即64cos2α﹣48≥0，可得cosα≤﹣或cosα≥∵α为直线的倾斜角，得α∈[0，π）∴α的取值范围为[0，]∪[，π）（2）由圆C：x2+y2﹣6x+5=0化成参数方程，得（θ为参数）∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2sin （θ+）∵sin（θ+）∈[﹣1，1]∴2sin （θ+）∈[﹣2，2]，可得x+y的取值范围是[3﹣2，3+2]．点评：本题给出直线与圆的极坐标方程，要求我们将其化成直角坐标方程并研究直线与圆位置关系．着重考查了直角坐标与极坐标的互化、简单曲线的极坐标方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．24．（•洛阳模拟）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a．（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=1时，利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；（2）⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+⇔a+≤4，对a进行分类讨论可求a的取值范围．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣1≥|（x+1）﹣（x﹣4）|﹣1=5﹣1=4．所以函数f（x）的最小值为4．（2）对任意的实数x恒成立⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+对任意的实数x恒成立⇔a+≤4对任意实数x恒成立．当a＜0时，上式显然成立；当a＞0时，a+≥2=4，当且仅当a=即a=2时上式取等号，此时a+≤4成立．综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪{2}．点评：本题考查绝对值函数、基本不等式以及恒成立问题，考查分类讨论思想，恒成立问题一般转化为函数最值问题解决，．四、附加题（满分0分，不计入总分）25．（•洛阳模拟）有小于1的n（n≥2）个正数x1，x2，x3，…，x n，且x1+x2+x3+…+x n=1．求证：．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：由x1，x2，x3，…，x n均为小于1的正数，可得，由均值定理及放缩法，证得成立．解答：证明：∵x1，x2，x3，…，x n均为小于1的正数，∴∴＞≥又∵≤=∴≥n∴＞n2≥22=4即＞4点评：本题考查的知识点是不等式的证明，熟练掌握均值定理及放缩法是解答的关键．。

洛阳市2012-2013学年高三年级期末考试数 学 试 卷（理科）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数11z i=+在复平面内所对应的点在 Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限2.已知全集U R =,集合22{|log (22)}M y y x x ==++，则U C M =A ．(),0-∞B ．[)0,+∞C ．(),1-∞D ．[)1,+∞3.若24sin 2,0254παα=<<)4πα-的值为A ．75 B ． C ．15- D ．154.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，两曲线的一个交点为M ．若|MF|＝5，则椭圆的离心率为A.12 C. 135.如果执行下面的程序框图，则运行结果为A. 8B. 3C. 2D. -26.一个几何体的三视图如右上图所示，该几何体的体积为8 C. D. 837. 将函数()sin()f x x ωϕ=+的图象向右平移4π个单位，若所得函数的最小正周期为π，且在(,)2ππ单调递减，则ϕ的值可以为（ ） A ．-π B ．2π- C ． 0 D ．π8. 若函数1()xf x e ax=+的定义域为R ，则实数a 的取值范围是A ．(),0e -B ．(],0e -C ．(]1,0-D ．()1,-+∞9.已知向量OA ，OB ，OC 满足：=3,2OA OB =，OA 与OB 夹角为600，11=32OC OA OB +，则A CB C的值为A . 32- B. 3210 . 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,P Q .若点P 是线段1F Q 的中点，且12QF QF ⊥,则此双曲线的渐近线方程为A ．y =B ． y =C ．2y x =±D ． 3y x =±11. 用[x]表示不超过x 的最大整数，例如：[][][]2.22, 2.73,00=-=-=.已知数列{}n a 满足：11111,(1)n n n a a a a +==+.记则122013111111s a a a =++⋯++++，则[]s 等于 A. 1 B. 2 C. 3 D.412.定义在[]1,1-上的偶函数()f x 满足：当10x -≤≤时，3()1f x x =+，则方程2(2)(01)f x x a a +=≤≤的根的个数不可能为A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知5250125(21)x a a x a x a x -=++++，则125a a a +++= .（用具体数字作答） 14.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若a =c －b ＝1，cos A ＝23，则△ABC 的面积是 .15. 若Ω为不等式组0,,210x x y e x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域，则当a 从1连续变化到e+1时，动直线x y a+=扫过Ω中的那部分区域的面积为 . 16．将3B π=，边长为2的菱形ABCD 沿对角线AC 折成大小等于θ的二面角B AC D --，则下列说法中正确的有 （填上所有正确的答案）. ①AC BD ⊥；②当时，BC AD ⊥；③若平面BAD ⊥平面BCD ，则 BC ⊥DC ，BA ⊥DA ；④当1cos 3θ=-时，四面体B-ACD. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是一个公差大于0的等差数列， 125,,a a a 成等比数列， 2614a a +=. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式：n a =312n23...2222nb b b b++++(*)n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 为菱形， PA⊥底面ABCD ，∠ABC=60°，E ，F ，M 分别是BC ，CD, PB 的中点. （I ）证明：AE ⊥MF ；（II ）若PA=BA ，求二面角E —AM —F 的余弦值.19.（本小题满分12分）“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是815. (Ⅰ)请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为爱好运动与性别有关？（Ⅱ）若从这30人中的女性员工中随机抽取2人参加一活动，记爱好运动的人数为X ，求X 的分布列、数学期望.附：22()=,()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++其中n a b c d =+++,20.（本小题满分12分）已知抛物线E ：y 2=2px(p>0)的焦点为F ，定点(2,3)M 与点F 在抛物线E 的两侧，抛物线E 上的动点P 到点M 的距离与到其准线l（Ⅰ）求抛物线E 的方程；(Ⅱ) 设直线12y x b =+与圆229x y +=和抛物线E 交于四个不同点，从左到右依次为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ.若直线BF ，DF 的倾斜角互补，求||||AB CD +的值.21.（本小题满分12分）已知函数()ln ,f x ax x x a R =-∈.（Ⅰ）若对0x >，()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围；（Ⅰ）设112212(,()),(,())(0)A x f x B x f x x x <<是函数()f x 图象上的任意两点，记直线AB 的斜率为k . 证明()f x 图象上存在点000(,),P x y 满足102x x x <<，且0()f x k '=．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B 铅笔在答题卷上把所选题目对应的题号涂黑。

河南开封市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卷面清洁，不折叠，不破掼．5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的标准差；s =，其中x 为样本平均数；柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积、h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；球的表面积、体积公式：24πS R =，34π3V R =，其中R 为球的半径． 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数34a iz i +=∈+R ，则实数a 的值是 A ．34- B ．34C ．43D ．—432．若集合{}01A =，，{}21B a =-，，则“1a =”是“{}1A B =∩”的 A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若执行如图所示的框图，输入11x =，22x =，33x =，2x =，则输出的数S 等于A ．23 B ．1 C ．13D ．124．从10位同学中选6位参加一项活动，其中有2位同学不能同时参加，则选取的方法种数有 A ．84 B ．98 C ．112 D ．1405．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a = A ．4- B ．6-C ．8-D ．10-6．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是A ．5B ．6C ．7D ．87．下列四个判断：侧视图俯视图主视图①x ∃∈R ，210x x -+≤；②已知随机变量x 服从正态分布()23N σ，，()60.72P X =≤，则()00.28P X =≤；③已知21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的各项系数和为32，则展开式中x 项的系数为20；④11edx x >⎰⎰其中正确的个数有： A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个8．已知双曲线22221x y a b-=（1a >，0b >）的焦距为2c ，若点()10-，与点()10，到直线1x y a b -=的距离之和为S ，且45S c ≥，则离心率e 的取值范围是A．B．⎣ C．⎣D．9．函数124()(2)4x x f x xf x x ⎧->⎪=⎨⎪+⎩≤，，记a f ⎛= ⎝，()b f =，()c f =，则 A ．a b c >> B ．b a c << C ．a c b <<D ．a c b >> 10．ABC △中，60A ∠=︒，角A 的平分线AD 将BC 分成BD 、DC 两段，若向量13AD AB ACλ=+（λ∈R ），则角C =A ．π6 B ．π4 C ．π2D ．π311．已知三棱锥O ABC -，A 、B 、C 三点均在球心为O 的球表面上，1AB BC ==，120ABC ∠=︒，三棱锥O ABC -，则球O 的表面积是 A ．64πB ．16πC ．32π3D ．544π12．定义在R 上的函数()12f x '<满足()11f =，且对任意x ∈R 都有()12f x '<，则不等式()2212x f x +>的解集为 A ．()12，B ．()01，C ．()1+∞，D ．()11-，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题．每小题5分．13．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =，其中一个顶点坐标为()02，，则椭圆的方程为 ．14．已知函数()()2log 2f x x =-，若实数m ，n 满足()()23f m f n +=，则m n +的最小值是 ． 15．若不等式组()||||221x y y k x +⎧⎪⎨++⎪⎩≤≤表示平面三角形区域，则实数k 的取值范围是 ．16．若二次函数()y f x =的图象经过点()010，，导函数()25f x x '=-，当 (]1x n n ∈+，（*n ∈N ）时，()f x 是整数的个数记为n a ，则n a = ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤17．（本小题满分12分）已知函数()()21cos cos 02f x x x x ωωωω=->的最小正周期为π （Ⅰ）求ω值及()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知1a =，b2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求角C 的大小． 18．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB BC ==，12CC =，1AC 与平面11BCC B 所成角为30︒，AB ⊥平面11BB C C ．（Ⅰ）求证：1BC AC ⊥；（Ⅱ）求二面角11C AC B --的余弦值．19．某苗木公司要为一小区种植三棵景观树，有甲、乙两种方案．甲方案：若第一年种植后全部成活，小区全额付款8千元；若第一年成活率不足12，终止合作，小区不付任何款项；若成活率超过12，但没有全成活，第二年公司将对没有成活的树补种，若补种的树全部成活，小区付款8千元，否则终止合作，小区付给公司2千元．乙方案：只种树不保证成活，每棵树小区付给公司1．3千元．苗木公司种植每棵树的成本为1千C 1B 1A 1CB A元，这种树的成活率为23． （Ⅰ）若实行甲方案，求小区给苗木公司付款的概率； （Ⅱ）公司从获得更大利润考虑，应选择那种方案． 20．（本小题满分12分）已知点()11A x y ，，()22B x y ，（120x x ≠）是抛物线22y px =（0p >）上的两个动点，O 是坐标原点，0OA OB ⋅=（Ⅰ）试判断直线AB 是否过定点？若过，求定点的坐标； （Ⅱ）当弦AB 的中点到直线20x y -=时，求抛物线方程． 21．（本小题满分12分）已知函数()()()222ln 1m f x m x mx m x+=-++--≥． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()2251113122xx x x g x x ⎧--⎪=⎨-<⎪⎩≥，2m =时，若对任意()102x ∈，，存在[]21x k k ∈+，（k ∈N ），使()()12f x g x <，求实数k 的最小值．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在ABC △中，C ∠为钝角，点E 、H 是边AB 上的点，点K 、M 分别是边AC 和BC 上的点，且AH AC =，EB BC =，AE AK =，BH BM =． （I ）求证：E 、H 、M 、K 四点共圆；（Ⅱ）若KE EH -，3CE =，求线段KM 的长．23．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程已知极点与坐标原点重合，极轴与x 轴非负半轴重合，两个坐标系单位长度相同，己知直线1cos 1sin x t l y t αα=-+⎧⎨=+⎩∶（t 为参数），曲线C 的极坐标方程：4cos ρθ=．（Ⅰ）若直线l 的斜率为1-，求直线l 与曲线C 交点的极坐标；（Ⅱ）设曲线C 与直线l 相交于A 、B两点，且AB =l 的参数方程． 24．（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知函数()()20f x x x a a =+->．B（Ⅰ）当1a =时，解不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若不等式()4f x ≥对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围高三数学试题（理科）参考答案一、选择题： 1．B 2．A ３．A ４．D ５．B 6．C 7．A8．B 9．D 10．C 11．A 12．D二、填空题：13．22154x y += 14．7 15．2k <-或203k <≤16．2112243n n a n n n =⎧⎪==⎨⎪-⎩≥，，，三、解答题： 17．解：（Ⅰ）()1cos 21π2sin 2226x f x x x αωω+⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭ 2分T x =，1ω=4分()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，增区间πππ36k kx ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，，（k ∈Z ） 6分（Ⅱ）因为2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，角A 为ABC △的内角且()a b <，所以π6A =．8分又因为1a =，b =，所以由正弦定理，得sin sin a bA B=，也就是sin 1sin 2b A B a ===． 因为b a >，所以π4B =或3π4B ＝，当π4B =时，ππ7ππ6412C =--=； 当3π4B =时，π3πππ6412C =--=．12分18．（Ⅰ）证明：连接1BC ，∵AB ⊥平面11BCC B ，∴130AC B =︒∠．∵1AB =，∴1BC =∵1BC =，12CC =，∴22211BC BC CC +=，即190CBC =︒∠．2分yx1B 1∵CB AB ⊥，1CB BC ⊥，∴CB ⊥平面1ABC ， 4分 ∴1CB AC ⊥6分（Ⅱ）解：建立如图所示坐标系：()000B ，，，()100C ，，，()100C ，()001A ，，,()110B =-.()201AC =-，()110CC =-，()11100C B =-，，，8分设1ACC 的法向量为()111m x y z =，，． 由10m AC ⋅= ，10m CC ⋅=，得：11x =，1y =1z =，即11m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设11AB C 的法向量为()222n x y z =，，，由110n B C ⋅=，10n AC ⋅= ，解得：20x =，2y =，21z =，即01n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭10分从而cos n <，n m m n m ⋅>⋅．故二面角的余弦值是 12分19．解：（Ⅰ）设小区付款为事件A ．()23232122033327P A C ⎛⎫⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以小区付款的概率为20275分 （Ⅱ）设甲方案的利润ξ可取值为3-，2-，4，56分()232321220333327P C ξ⎛⎫⎛⎫=-=⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2232114233327P C ξ⎛⎫=-=⋅= ⎪⎝⎭()2232128433327P C ξ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭()3285327P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()3285327P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()7488433248272272727n E ξ=-⋅+-⨯-⨯+⨯=10分乙方案每棵树获得利润为0.3千元共计0.9千元因为430.927<，所以苗木公司用甲方案可能获得更大利润．12分20．（Ⅰ）∵0OA OB ⋅= ，2212y px = 2222y px =∴12120x x y y += 2124y y p ⇒=- 当12x x ≠时 122AB pk y y =+ 2分 AB 方程()11122py y x x y y -=-+3分()212212322y y y y y y px px +--=-()21224y y y px p +=-即()()1222y y y p x p +=- 经过()20p ，当12x x =时，122x x p == 即直线AB 方程为2x p = 过定点()20p ，6分（Ⅱ）设弦AB 中点()C x y ，，则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩若中点C 到直线20x y -=的距离为d ，则d = 7分∴d==22+-+=10分当122y y p +=，d ∴2p =，此时抛物线方程为24y x =12分21．解：（Ⅰ）由题意函数()f x 的定义域为()0+∞，，()2222m m f x m x x--+'=++= ()()212x mx m x --+⎡⎤⎣⎦=2分（1）若0m =，()222x f x x -+'=，从而当1x <时，()0f x '>；当1x >时， ()0f x '<，此时函数()f x 的单调递增区间为()01，，单调递减区间为[)1+∞，．（2）若0m ≠，则()()2211m x x m f x x ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦'=（看不清分式） ①当0m >时，∵211m +>，从而当1x <或21x m>+时，()0f x '>． 当211x m <<+时，()0f x '<，此时函数()f x 的单调递增区间为()01，和21m ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭，，单调递减区间为211m ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，； ②当10m -<<时，210m+≤，此时函数()f x 的单调递增区间为()01，． 单调递减区间为[)1+∞，，综上所述，当10m -≤≤时，函数()f x 的单调递增区间为()01，，单调递减区间为[)1+∞，，当0m >时，函数()f x 的单调递增区间为()01，和21m ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭，，单调递减区间为211m ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得当2m =时，()f x 在区间()01，上单调递增． 在()12，上单调递减，所以在区间()02，上，()()max 12f x f ==-，8分由题意，对任意()102x ∈，，存在[]21x k k ∈+，（k ∈N ），使()()12f x g x ． 从而存在[]1x k k ∈+，（k ∈N ）使()2g x >-，即只需函数()g x 在区间[]1x k k ∈+，（k ∈N ）上的最大值大于2-， 当0=时，[]01x ∈，，()1162x -≤g ≤-，不符． 10分∵()g x 在()01，减，在()1+∞，增 1k =，[]12x ∈，，()65g x --≤≤，不符； 2k =，[]23x ∈，；()52g x --≤≤，不符3k =，[]34x ∈，，()23g x -≤≤∴k 最小值是3． 12分22．证明：（Ⅰ）连接CH ，∵AC AH =，AK AE =，∴四边形CHEK 为等腰梯形，注意到等腰梯形的对角互补，故C ，H ，E ，K 四点共圆，同理C ，E ，H ，M 四点共圆，即E ，H ，M ，K 四点共圆，同理C ，E ，H ，M 四点共圆，即E ，H ，M ，K 均在点C ，E ，H 所确定的圆上．（Ⅱ）连结EM ，由（Ⅰ）得E ，H ，M ，C ，K 五点共圆，∵CEHM 为等腰梯形， ∴EM HC =，故MKE CEH =∠∠，故KE EH =，可得KME ECM =∠∠，故MEK CEH △≌△，即3KM EC ==为所求．23．解：（Ⅰ）4cos ρθ=，24cos ρρθ=，()2224C y x +-=∶，直线l ****x 联立得0x =，2x =，l ，C 交点()00A ，，()22B -，，极坐标()00A ，，π4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 5分（Ⅱ）直线方程()11y k x -=+，圆心()20C ，到直线l 的距离为1，C 到l之距离10d k ==⇒=，34-． l 的参数方程11x t y =-+⎧⎨=⎩（t 为参数）或415315x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） 10分24．解：（Ⅰ）1α=时1233x t x =-+⎧⎨-⎩≤或0124x x ⎧⎨-⎩≤≤≤或1203243x x x >⎧⇒-<⎨-⎩≤≤或[]01x ∈，或(]12x ∈， ∴不等式解集223⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 5分（Ⅱ）化为()()[]()()23022032a x x f x x x a a x x a x a x a -<⎧⎪⎪=+-=-∈⎨⎪->⎪⎩，(]()a a -∞↓+∞↑，，，，所以x a =，()min f x a =，∴4a ≥ 10分 A B CE HMK。

2013年河南省新课标高考适应性考试（二） 理科数学试题参考答案及评分标准 一、选择题 123456789101112答案BAACCCBCCDBB二、填空题（13） （14） （15） （16） （18）解：（）三个单位分别有1人、2人、2人时的分配方案有 (种)； ……………………………2分 三个单位分别有1人、1人、3人时的分配方案有 (种)； ……………………………4分 则分配方案共有90+60=150（种）． ……………………………5分 （）, ……………………………6分 , …………………………… 7分 , …………………………… 8分 则X的分布列是： X123P……………………………10分 所以, …………………………11分 所以随机变量X的期望是． ……………………………12分 （Ⅱ）因为， 因为，所以， ……………………………9分 是与平面所称二面角的平面角. 所以所求二面角是 …………………………12分（Ⅱ）因为平面的法向量为, 又面的法向量为 ……………………………8分 所以与的夹角的余弦值, 所以 ……………………………11分 即平面BEF与平面ABCD所成的较小的二面角是.………12分 20）解：（）由题意知 ，即 则 ……………………2分 右焦点F的坐标为（c，0），将x=c代入椭圆方程， 得则， 则， 即 ……………………4分 由，解得，所求椭圆C的方程是. ……5分 （）可求A点的坐标是， ……………………6分 由消去y得………7分 设M（），N（则， 则由直线与椭圆相交于M，N两点 则 （） 直线OA方程为且OA平分线段MN 所以的面积的最大值是， 此时直线的方程是或. ……………12分 （21）（） ……………1分 当时，所以的单调增区间内为 当时，由，得， ………………….2分 ，单调递增， 时，，单调递减， 所以函数的单调增区间是，单调减区间是. ……3分 由题意可知，若对任意，均存在，使得 则有，而 ………………………5分 由（）知，时，，所以的单调增区间为值域为，故不符合题意. 当时，函数的单调增区间是，单调减区间是 所以………………7 分 所以，解得，所以，a的取值范围为………8分 （22）解：（）连接OG，则．因为，所以，即的半径是．……………………………3分（）连接EF,EN,FN,则EN=FN,．………………4分 因为， 所以．……………………………6分 因为四点E,F,N,M共圆， 所以……………………………7分 因为, 所以,所以,即直线MN平分．……………………………10分 （23）解：设直线l的参数方程为：，即代入得：，即，……………………………4分 设此方程的根为，则：……………………………5分 因为===．……………………………8分 因为，所以时有最小值．………………10分 E O M H G F D C B A · N P。

2014—一2015学年高中三年级第二次统一考试数学试卷（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考号填写在答题卷上．2．考试结束，将答题卷交回．一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则复数z的实部与虚部之和为A．0 B．1 C．2 D．42．集合A＝{x｜x＜0}，B＝{x｜y＝lg[x（x＋1）]}，若A－B＝{x｜x∈A，且xB}，则A－B＝A．{x｜x＜－1} B．{x｜－1≤x＜0}C．{x｜－1＜x＜0} D．{x｜x≤－1}3．若函数y＝f（2x＋1）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象的对称轴方程是A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－24．设等比数列{}的公比为q，则“0＜q＜1”是“{}是递减数列”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知函数f（x）＝，g（x）＝lgx，若有f（a）＝g（b），则b的取值范围是A．[0，＋∞）B．（0，＋∞）C．[1，＋∞）D．（1，＋∞）6．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S＋＝，则cosA等于A．B．－C．D．－7A．－100 B．－15 C．35 D．2208．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为A B CD9．已知双曲线C a＞0，b＞0），斜率为1的直线过双曲线C的左焦点且与该曲线交于A，B3，－1）共线，则双曲线C的离心率为A B CD．310．设函数f（x）＝x｜x－a｜,[3，0恒成立，则实数a的取值范围是A．（－∞，－3] B．[－3，0）C．（－∞，3]D．（0，3]11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为A．1 BC D．12．已知点A、B、C、D均在球O上，AB＝BC＝＝3，若三棱锥D－ABC体积的最大值为A．36πB．16π第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．13．执行下面的程序，若输入的x＝2，则输出的所有x的值的和为________________．14．已知tanα，tanβ0的两个实根，则tan（α＋β）＝_________．1521，且对一切实数x________________．a＞0）的左，右焦16．已知F1，F2分别是双曲点，P PF1｜＋｜PF2｜＝12，则抛物线的准线方程为_____________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知正项数列的前n N﹡有（1）求数列的通项公式；。

河南省洛阳市2013届高三年级二练数学（理）试题本试卷分第 I 卷（选择题）和第 Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150 分．考试时间 120 分钟。

第I 卷（选择题，共 60 分）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卷上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，将答题卷交回．一、选择超：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知22={|2},{(,)|4}M y y x N x y x y ==+=，则M N 中元素个数为A ． 0B ． 1C ． 2D ．不确定2．i 是虚数单位，则(1)ii i +的模为A ．12 B．2CD ． 23．某项测量中，测量结果2~(1,)(0)X N σσ>，若 X 在（0， 1 ）内取值的概率为 0．4 ，则 X 在（0, 2 ）内取值的概率为 A ．0．8 B ．0．4 C ．0．3 D ．0．24．已知(nx 的展开式中第五项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为A ． 128B ． 64C ． 32D ．165．设n S 是等差数列｛a n ｝的前 n 项和。

若533S S =，则96S S A ．32B ．53C ． 2D ． 36．已知命题22:,11,:,10,P x R mx q x R x mx ∃∈+≤∀∈++≥若 ()p q ∨⌝为假命题，则实数m 的取值范围是 A ． （(,0)(2,)-∞+∞B ．[0，2]C ．RD ．φ7· 已知正数x ，y 满足20,350.x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩则22111z og x og y =++的最大值是A ． 8B ． 4C ． 2D ． 18．已知双曲线22145x y -=上一点 P 到 F （ 3 ，0）的距离为 6，O 为坐标原点，1(),||2OQ OP OF OQ =+=则 A ． 1 B ． 2C ． 2 或 5D ． 1 或 59．对任意非零实数 a , b ，若 a *b 的运算原理如图所示，sin xxdx =⎰A B ．3C D 10．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象关于直线3x π=对称，且()012f π=，则ω的最小值是A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 11．动点 P 在正方体A BCD 一 A 1B 1C 1D 1的对角线 BD 1上，过 P 作垂直于平面 BB 1 D 1D 的直线，与正方体表面交于 M , N 两点，设|BP|= x ， △ BMN 的面积是 y , 则函数()y f x =的图象大致为12．已知正数是 a , b , c 满足：534,1111c a b c a c nb a c nc nb na -≤≤-≥+-则的取值范围是A ．(],17n -∞B ．[]212,12n n -C ．31,15n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,17n第 Ⅱ 卷（非选择题，共 90 分）二、坡空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分．共 20 分13．正三角形 A BC 中， D 是边 BC 上的点， AB =3，BD = l ，则AB ·AD = 。

洛阳市2012—2013学年高三年级5月统一考试数学试卷（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卷上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，将答题卷交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A＝{x∈R｜x＋1＞0},集合B＝{x∈R｜（x－1）（x＋2）＜0}，则A∩B＝A．（－1，1）B．（－2，－1）C．（－∞，－2）D．（1，＋∞）2．复数z满足12iz－＝2(1)i＋，i为虚数单位，则z的实部为A．1 B．12C．－12D．－13．如图所示程序框图,执行该程序后输出的结果是A．126 B．64 C．62 D．304．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的直径为A B C．D．5．直线2x＋my＝2m－4与直线mx＋2y＝m－2平行的充要条件是A ．m ＝2B ．m ＝±2C ．m ＝0D ．m ＝－26．已知a r ＝（2sinx,1），b r ＝（cosx ，－2），则函数f （x ）＝a r ·b r＋1的一个对称中心是A ．（0，0）B ．（4π，－1） C ．（2π，－1） D ．（4π，0）7．椭圆2221x a b2y ＋＝（a ＞b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，O 为原点，M 为椭圆上一点，｜MO｜OF 2｜，∠F 1MF 2＝120°,则椭圆的离心率为 ABC ．12D ．348．数列{n a }满足a 1＝1，a 2＝1，n a ＝1n a －＋2n a －（n ∈N ﹡，n ≥3）．从该数列的前15项中随机抽取一项，则它是3的倍数的概率为 A ．215 B ．15 C ．415 D ．3109．设变量x ，y 满足不等式组0,0,10.x y x y y ⎧⎪⎨⎪⎩－≤10≤＋≤21≤≤则2x ＋3y 的最大值等于A ．20B ．45C ．50D ．5510．直角△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AD uuu r ＝t AB uu u r ，其中1≤t ≤3，则BC uu u r ·DC uuu r的最大值为A ．12B ．C ．3D ．11．函数y ＝2x－2sinx 的图象大致是12．已知函数f （x ）＝m （x ＋m ）（2x －m －6），g （x ）＝1()2x －2，命题p ：x ∀∈R ，f （x ）＜0或g （x ）＜0．命题q ：若方程f （x ）＝0的两根为α，β，则α＜1且β＞1．如果命题p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范嗣是 A ．（－8，－2）∪（－1，0） B ．（－8，－2）∪（－1，1） C ．（－8，－4）∪（－2，0） D ．（－8，－4）∪（－1，0）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题。