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天津市河北区2017届高三数学总复习质量检测试题（二）文（扫描版）编辑整理：
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河北区2016－2017学年度高三年级总复习质量检测（二）数 学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3． 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：· 如果事件A ，B 互斥，那么P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )· 如果事件A ，B 相互独立，那么P (AB )＝P (A )P (B )· 球的表面积公式 S ＝24R π球的体积公式 V ＝343R π其中R 表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集U ＝R ，集合A ＝{1，2，3，4，5}， B ＝{x ∈R | x ≥3}，则图中阴影部分所表示的集合为（A ）{1，2，3} （B ）{3，4，5}（C ）{1，2} （D ）{4，5}（2）若x 、y 满足 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且 z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为（A ）2（B ）－2（C ）12（D ）－12（3）在△ABC 中，已知BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积为3，则AC 的长为（A ）3 （B ）13（C ）21 （D ）57（4）执行如图所示的程序框图．如果输入 n ＝5，则输出的S 值为 （A ）49（B ）89（C ）511（D ）1011（5）已知条件 p ：|x ＋1|＞2，条件 q ：x ＞a ，且 ¬p 是 ¬q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是 （A ）a ≤1（B ）a ≥1（C ）a ≥－1 （D ）a ≤－3（6）已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的 斜率为 （A ）－2（B ）－43（C ）－34（D ）－12（7）若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足 (OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， 则△ABC 的形状为（A ）直角三角形（B ）等腰三角形（C ）等腰直角三角形（D ）等边三角形（8）对任意的x ＞0，总有 ()|lg |f x a x x =--≤0，则a 的取值范围是 （A ）(－∞，lge －lg(lge)] （B ）(－∞，1]（C ）[1，lge －lg(lge)] （D ）[lge －lg(lge)，＋∞)河北区2016－2017学年度高三年级总复习质量检测（二）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2017-2018学年天津市河北区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣3x＜0，x∈R}，B={x||x|＞2，x∈R}，则A∩B=（）A．（2，3）B．（﹣2，0）C．（﹣2，3）D．（0，2）2．若复数z=是纯虚数（i是虚数单位），则实数a的值为（）A．B．﹣1 C．1 D．3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+2πB．16+π C．8+2π D．8+π4．设a，b∈R，则“2a+2b=2a+b”是“a+b≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．26．实数x，y满足不等式组为常数），且x+3y的最大值为12，则实数k=（）A．9 B．﹣9 C．﹣12 D．127．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，当x1，x2∈（0，+∞）时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＜0．设，则（）A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（a）＞f（c）C．f（c）＞f（a）＞f（b）D．f（c）＞f（b）＞f（a）8．若存在至少一个x（x≥0）使得关于x的不等式x2≤4﹣|2x﹣m|成立，则实数m的取值范围为（）A．[﹣4，5]B．[﹣5，5]C．[4，5]D．[﹣5，4]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．10．如图，切线PA切圆O于点A，割线PBC与圆O交于点B，C，且PC=2PA，D为线段PC的中点，AD的延长线交圆O于点E．若PB=，则AD•DE的值为．11．（x﹣）6的展开式中常数项为．12．由曲线y=3x2与直线y=3所围成的封闭图形的面积是．13．设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是．14．在△ABC中，||=3，||=5，M是BC的中点，=λ（λ∈R），若=+，则△ABC的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）+a（ω＞0）图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求a和ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．16．已知盒中有4个红球，4个黄球，4个白球，且每种颜色的四个球均按A，B，C，D编号．现从中摸出4个球（除颜色与编号外球没有区别）．（Ⅰ）求恰好包含字母A，B，C，D的概率；（Ⅱ）设摸出的4个球中出现的颜色种数为X，求随机变量X的分布列和期望E（X）．17．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：平面SAC⊥平面AMN；（Ⅲ）求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．18．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），且a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和．19．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）椭圆C的右焦点为F，过F点的两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于P，Q两点，直线l2与直线x=4交于T点．（i）求证：线段PQ的中点在直线OT上；（ii）求的取值范围．20．已知关于x函数g（x）=﹣alnx（a∈R），f（x）=x2+g（x）（Ⅰ）试求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，1）内有极值，试求a的取值范围；（Ⅲ）a＞0时，若f（x）有唯一的零点x0，试求[x0]．（注：[x]为取整函数，表示不超过x的最大整数，如[0.3]=0，[2.6]=2[﹣1.4]=﹣2；以下数据供参考：ln2=0.6931，ln3=1.099，ln5=1.609，ln7=1.946）2016年天津市河北区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|x2﹣3x＜0，x∈R}，B={x||x|＞2，x∈R}，则A∩B=（）A．（2，3）B．（﹣2，0）C．（﹣2，3）D．（0，2）【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣3）＜0，解得：0＜x＜3，即A=（0，3），由B中不等式解得：x＞2或x＜﹣2，即B=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），则A∩B=（2，3），故选：A．2．若复数z=是纯虚数（i是虚数单位），则实数a的值为（）A．B．﹣1 C．1 D．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵z==是纯虚数，∴，解得：a=﹣1．故选：B．3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+2πB．16+π C．8+2π D．8+π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据三视图可知几何体下部为长方体，上部为两个半圆柱，代入体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知几何体由一个长方体和两个半圆柱组成．长方体的棱长分别为4，2，1，半圆柱的底面半径为1，高为2，∴几何体的体积V=4×2×1+π×12×2=8+2π．故选：C．4．设a，b∈R，则“2a+2b=2a+b”是“a+b≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【解答】解：若a=0，b=3，满足a+b≥2但2a+2b=1+8=9，2a+b=8，则2a+2b=2a+b不成立，若2a+2b=2a+b，则2a+b=2a+2b，即（2a+b）2≥4（2a+b），解得2a+b≥4或2a+b≤0（舍去），即a+b≥2成立，即“2a+2b=2a+b”是“a+b≥2”的充分不必要条件，故选：A5．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=x与圆x2+y2﹣4y+3=0相切⇔圆心（0，2）到渐近线的距离等于半径r，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出．【解答】解：取双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=x，即bx﹣ay=0．由圆x2+y2﹣4y+3=0化为x2+（y﹣2）2=1．圆心（0，2），半径r=1．∵渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，∴=1化为3a2=b2．∴该双曲线的离心率e===2．故选：D．6．实数x，y满足不等式组为常数），且x+3y的最大值为12，则实数k=（）A．9 B．﹣9 C．﹣12 D．12【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对于的平面区域，设z=x+3y，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：设z=x+3y，则z的最大值为12，即x+3y=12，且y=，则直线y=的截距最大时，z也取得最大值，则不等式组对应的平面区域在直线y=的下方，由，解得，即A（3，3），此时A也在直线2x+y+k=0上，即6+3+k=0，解得k=﹣9，故选：B．7．已知函数y=f（x）是R上的偶函数，当x1，x2∈（0，+∞）时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＜0．设，则（）A．f（a）＞f（b）＞f（c）B．f（b）＞f（a）＞f（c）C．f（c）＞f（a）＞f（b）D．f（c）＞f（b）＞f（a）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据已知条件便可判断f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）是偶函数，所以f （x）=f（|x|），所以根据对数的运算，及对数的取值比较|a|，|b|，|c|的大小即可得出f（a），f（b），f（c）的大小关系．【解答】解：根据已知条件便知f（x）在（0，+∞）上是减函数；且f（a）=f（|a|），f（b）=f（|b|），f（c）=f（|c|）；|a|=lnπ＞1，b=（lnπ）2＞|a|，c=；∴f（c）＞f（a）＞f（b）．故选：C．8．若存在至少一个x（x≥0）使得关于x的不等式x2≤4﹣|2x﹣m|成立，则实数m的取值范围为（）A．[﹣4，5]B．[﹣5，5]C．[4，5]D．[﹣5，4]【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】不等式可化为|2x﹣m|≤﹣x2+4；先求对任意x≥0，都有|2x﹣m|＞﹣x2+4；作函数图象，由数形结合求实数m的取值范围．【解答】解：不等式x2≤4﹣|2x﹣m|可化为|2x﹣m|≤﹣x2+4；若对任意x≥0，都有|2x﹣m|＞﹣x2+4，作函数y=|2x﹣m|与y=﹣x2+4的图象如下，结合图象可知，当m＞5或m＜﹣4时，对任意x≥0，都有|2x﹣m|＞﹣x2+4；故实数m的取值范围为[﹣4，5]；故选A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是20．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，n=1执行循环体，S=3，n=2不满足条件S≥15，执行循环体，S=9，n=3不满足条件S≥15，执行循环体，S=20，n=4满足条件S≥15，退出循环，输出S的值为20．故答案为：20．10．如图，切线PA切圆O于点A，割线PBC与圆O交于点B，C，且PC=2PA，D为线段PC的中点，AD的延长线交圆O于点E．若PB=，则AD•DE的值为．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】利用切割线定理，可得PA，利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2，即可得出结论【解答】解：∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，PB=，∴PA2=•2PA，∴PA=．∵PA2=PB•PC，PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD=，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2=．故答案为：．11．（x﹣）6的展开式中常数项为﹣．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1项，令x的指数为0得常数项．【解答】解：展开式的通项公式为T r+1=（﹣）r C6r x6﹣2r，令6﹣2r=0得r=3，得常数项为C63（﹣）3=﹣．故答案为：﹣．12．由曲线y=3x2与直线y=3所围成的封闭图形的面积是4．【考点】定积分．【分析】联立，解得x=±1．曲线y=3x2与直线y=3所围成的封闭图形的面积S=，解出即可得出．【解答】解：联立，解得x=±1．曲线y=3x2与直线y=3所围成的封闭图形的面积S===4．故答案为：4．13．设x，y是正实数，且x+y=1，则的最小值是．【考点】基本不等式．【分析】该题是考查利用基本不等式求最值问题，但直接运用基本不等式无从下手，可考虑运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1”的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题．【解答】解：设x+2=s，y+1=t，则s+t=x+y+3=4，所以==．因为所以．故答案为．14．在△ABC中，||=3，||=5，M是BC的中点，=λ（λ∈R），若=+，则△ABC的面积为．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】在△ABC的顶点A作边BC的垂线BO，垂足为O，这样可表示出cosB=，cosC=，从而得到，而根据已知条件及中线向量的表示即可得到，所以便得出O是BC的中点，即M，O重合．所以在Rt△ABM中可以求出sinB，所以根据三角形的面积公式可求出△ABC的面积．【解答】解：如图所示，过A作边BC的垂线，垂足为O，则：cosB=，cosC=；∴；根据题意知λ≠0；∴；∴；∴；即O是边BC的中点，M与O重合；∴在Rt△ABM中，；∴；∴．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）+a（ω＞0）图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求a和ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．【考点】正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数．【分析】（Ⅰ）根据条件确定函数最值和周期，利用三角函数的公式进行化简即可求a和ω的值；（Ⅱ）根据三角函数的单调性即可求出函数的单调递减区间．【解答】解：（Ⅰ）==．当时，f（x）取得最大值2+1+a=3+a又f（x）最高点的纵坐标为2，∴3+a=2，即a=﹣1．又f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f（x）的最小正周期为T=π故，ω=1（Ⅱ）由（Ⅰ）得由．得．令k=0，得：．故函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间为16．已知盒中有4个红球，4个黄球，4个白球，且每种颜色的四个球均按A，B，C，D编号．现从中摸出4个球（除颜色与编号外球没有区别）．（Ⅰ）求恰好包含字母A，B，C，D的概率；（Ⅱ）设摸出的4个球中出现的颜色种数为X，求随机变量X的分布列和期望E（X）．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）记事件“恰好包含字母A，B，C，D”为E，利用古典概型的概率公式计算即可；（Ⅱ）由题意可得随机变量X的取值可能为：1，2，3，分别求其概率，可得分布列为，进而可得数学期望．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件“恰好包含字母A，B，C，D”为E，则P（E）==．…（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3．…∵P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，…∴随机变量X的分布列为：∴EX=1×=．…17．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：平面SAC⊥平面AMN；（Ⅲ）求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连结BD交AC于E，连结ME，由△DSB的中位线定理，得ME∥SB，由此能证明SB∥平面ACM．（Ⅱ）法一：由DC⊥SA，DC⊥DA，得DC⊥平面SAD，从而AM⊥DC，由等腰三角形性质得AM⊥SD，从而AM⊥平面SDC，进而SC⊥AM，由SC⊥AN，能证明平面SAC⊥平面AMN．法二：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能证明平面SAC⊥平面AMN．（Ⅲ）法一：取AD中点F，则MF∥SA．作FQ⊥AC于Q，连结MQ，由已知得∠FQM 为二面角D﹣AC﹣M的平面角，由此能求出二面角D﹣AC﹣M的余弦值．法二：分别求出平面ABCD的一个法向量和平面ACM的一个法向量，由此利用向量法能求出二面角D﹣AC﹣M的余弦值．【解答】（选修2一1第109页例4改编）（Ⅰ）证明：连结BD交AC于E，连结ME，∵ABCD是正方形，∴E是BD的中点．∵M是SD的中点，∴ME是△DSB的中位线．∴ME∥SB．…又ME⊂平面ACM，SB⊄平面ACM，∴SB∥平面ACM．…（Ⅱ）证法一：由条件有DC⊥SA，DC⊥DA，∴DC⊥平面SAD，且AM⊂平面SAD，∴AM⊥DC．又∵SA=AD，M是SD的中点，∴AM⊥SD．∴AM⊥平面SDC．SC⊂平面SDC，∴SC⊥AM．…由已知SC⊥AN，∴SC⊥平面AMN．又SC⊂平面SAC，∴平面SAC⊥平面AMN．…（Ⅱ）证法二：如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，由SA=AB，可设AB=AD=AS=1，则．∵，，∴，∴，即有SC⊥AM…又SC⊥AN且AN∩AM=A．∴SC⊥平面AMN．又SC⊂平面SAC，∴平面SAC⊥平面AMN．…（Ⅲ）解法一：取AD中点F，则MF∥SA．作FQ⊥AC于Q，连结MQ．∵SA⊥底面ABCD，∴MF⊥底面ABCD．∴FQ为MQ在平面ABCD内的射影．∵FQ⊥AC，∴MQ⊥AC．∴∠FQM为二面角D﹣AC﹣M的平面角．…设SA=AB=a，在Rt△MFQ中，，∴．∴二面角D﹣AC﹣M的余弦值为．…（Ⅲ）解法二：∵SA⊥底面ABCD，∴是平面ABCD的一个法向量，．设平面ACM的法向量为，，则即，∴令x=﹣1，则．…，由作图可知二面角D﹣AC﹣M为锐二面角∴二面角D﹣AC﹣M的余弦值为．…18．设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），且a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．+1，可得a n+1=（1+λ）a n，【分析】（1）由a n+1=λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），当n≥2时，a n=λS n﹣1利用等比数列的通项公式可得a3，再利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．+1，【解答】解：（1）∵a n+1=λS n+1（n∈N*，λ≠﹣1），∴当n≥2时，a n=λS n﹣1∴a n+1﹣a n=λa n，即a n+1=（1+λ）a n，又a1=1，a2=λa1+1=λ+1，∴数列{a n}为以1为首项，公比为λ+1的等比数列，∴a3=（λ+1）2，∵a1、2a2、a3+3为等差数列{b n}的前三项．∴4（λ+1）=1+（λ+1）2+3，整理得（λ﹣1）2=0，解得λ=1．∴a n=2n﹣1，b n=1+3（n﹣1）=3n﹣2．（2）a n b n=（3n﹣2）•2n﹣1，∴数列{a n b n}的前n项和T n=1+4×2+7×22+…+（3n﹣2）•2n﹣1，2T n=2+4×22+7×23+…+（3n﹣5）×2n﹣1+（3n﹣2）×2n，∴﹣T n=1+3×2+3×22+…+3×2n﹣1﹣（3n﹣2）×2n=﹣（3n﹣2）×2n=（5﹣3n）×2n﹣5，∴T n=（3n﹣5）×2n+5．19．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）椭圆C的右焦点为F，过F点的两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于P，Q两点，直线l2与直线x=4交于T点．（i）求证：线段PQ的中点在直线OT上；（ii）求的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据条件求出a，b，c即可求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设PQ的方程为：x=my+1代入椭圆方程，利用根与系数之间的关系求出OG和OT 的斜率，利用直线和椭圆相交的相交弦公式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆得，解得a=2，c=1，b=，故所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）（i）设直线PQ的方程为：x=my+1，代入椭圆方程得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，则判别式△=36m2+4×9（3m2+4）＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点G（x0，y0），则y1+y2=，y1y2=，则y0=（y1+y2）=，x0=my0+1=，即G（，），k OG==﹣，设直线FT的方程为：y=﹣m（x﹣1），得T点坐标为（4，﹣3m），∵k OT=﹣，∴k OG=k OT，即线段PQ的中点在直线OT上；（ii）当m=0时，PQ的中点为F，T（4，0），则|TF|=3，|PQ|=，，当m≠0时，|TF|==，|PQ|====12，则==（3+），设t=，则t＞1，则y=3+=3t+=3（t+）在（1，+∞）为增函数，则y＞3+1=4，则（3+），综上≥1，故求的取值范围是[1，+∞）．20．已知关于x函数g（x）=﹣alnx（a∈R），f（x）=x2+g（x）（Ⅰ）试求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，1）内有极值，试求a的取值范围；（Ⅲ）a＞0时，若f（x）有唯一的零点x0，试求[x0]．（注：[x]为取整函数，表示不超过x的最大整数，如[0.3]=0，[2.6]=2[﹣1.4]=﹣2；以下数据供参考：ln2=0.6931，ln3=1.099，ln5=1.609，ln7=1.946）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（I）g（x）=﹣alnx（x＞0），g′（x）==﹣，对a分类讨论：当a≥0时，当a＜0时，即可得出单调性；（II）f（x）=x2+g（x），其定义域为（0，+∞）．f′（x）=2x+g′（x）=，令h（x）=2x3﹣ax﹣2，x∈[0，+∞），h′（x）=6x2﹣a，当a＜0时，可得：函数h（x）在（0，1）内至少存在一个变号零点x0，且x0也是f′（x）的变号零点，此时f（x）在区间（0，1）内有极值．当a≥0时，由于函数f（x）单调，因此函数f（x）无极值．（III）a＞0时，由（II）可知：f（1）=3知x∈（0，1）时，f（x）＞0，因此x0＞1．又f′（x）在区间（1，+∞）上只有一个极小值点记为x1，由题意可知：x1即为x0．得到，即，消去a可得：，a＞0，令t1（x）=2lnx（x＞1），，分别研究单调性即可得出x0的取值范围．【解答】解：（I）g（x）=﹣alnx（x＞0），g′（x）==﹣，（i）当a≥0时，g′（x）＜0，∴（0，+∞）为函数g（x）的单调递减区间；（ii）当a＜0时，由g′（x）=0，解得x=﹣．当x∈时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减；当x∈时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增．（II）f（x）=x2+g（x），其定义域为（0，+∞）．f′（x）=2x+g′（x）=，令h（x）=2x3﹣ax﹣2，x∈[0，+∞），h′（x）=6x2﹣a，当a＜0时，h′（x）≥0恒成立，∴h（x）为（0，+∞）上的增函数，又h（0）=﹣2＜0，h（1）=﹣a＞0，∴函数h（x）在（0，1）内至少存在一个变号零点x0，且x0也是f′（x）的变号零点，此时f（x）在区间（0，1）内有极值．当a≥0时，h（x）=2（x3﹣1）﹣ax＜0，即x∈（0，1）时，f′（x）＜0恒成立，函数f（x）无极值．综上可得：f（x）在区间（0，1）内有极值的a的取值范围是（﹣∞，0）．（III）∵a＞0时，由（II）可知：f（1）=3知x∈（0，1）时，f（x）＞0，∴x0＞1．又f′（x）在区间（1，+∞）上只有一个极小值点记为x1，且x∈（1，x1）时，函数f（x）单调递减，x∈（x1，+∞）时，函数f（x）单调递增，由题意可知：x1即为x0．∴，∴，消去a可得：，a＞0，令t1（x）=2lnx（x＞1），，则在区间（1，+∞）上t1（x）单调递增，t2（x）单调递减．t1（2）=2ln2＜2×0.7==t2（2），t1（3）=2ln3＞2＞=t2（3）．∴2＜x0＜3，∴[x0]=2．2016年6月16日。
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河北区2016-2017学年度高三年级总复习质量检测（二）数 学 （理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}1,2,3,4,5A =，{}|3x R B x ∈≥=，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1,2,3}B ．{3,4,5}C ．{1,2}D ．{4,5}2.若,x y 满足20,20,0,x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．12 D ．-123.在ABC ∆中，已知1,,3BC B ABC π==∆AC 的长为（ ）A ．3 B．4.执行如图所示的程序框图，如果输入5n =，则输出S 的值为（ ）A ．49 B ．89 C.511 D ．10115.已知条件:12p x +>，条件:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．1a ≥ C. 1a ≥- D ．3a ≤-6.已知点(2,3)A 在抛物线2:2C y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ）A ．-2B ．43-C.34- D ．12- 7.若O 为ABC ∆所在平面内任一点，且满足()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形 C.等腰直角三角形 D ．等边三角形 8.对任意的0x >，总有()lg 0f x a x x =--≤，则a 的取值范围是（ ） A ．()(,lg lg lge ]e -∞- B ．(,1]-∞ C.()1,lg lg lge e -⎡⎤⎣⎦ D ．()lg lg lge ,e -+∞⎡⎤⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9.i 是虚数单位，复数3223ii+=- ． 10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ．11.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ． 12.若()5a x +展开式中2x 的系数为10，则实数a = ．13.在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点，则AB = ．14.设函数()y f x =是定义在R 上以1为周期的函数，若()()2g x f x x =-在区间[2,3]上的值域为[-2,6]，则函数()g x 在[-2017,2017]上的值域为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且()2cos cos tan tan 11A C A C -=. （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若a c b +==ABC ∆的面积16.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲，乙二人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的. （Ⅰ）求袋中原有白球的个数：（Ⅱ）求取球次数X 的分布列和数学期望.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//,AB CD AB AD ⊥，222AB AD CD ===，E 是PB 上的一点.（Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （Ⅱ）如图（1），若13PE PB =，求证：//PD 平面EAC ；（Ⅲ）如图（2），若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --的余弦值为3PA 与平面EAC 所成角的正弦值.18.已知等差数列{}n a 满足：()*111,n n a a a n N +=>∈，11a +，21a +，31a +成等比数列，22log 1n n a b +=-.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .19.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率3e a b =+=.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，,,A B D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设MN 的斜率为m ，BP 的斜率为n ，试证明：2m n -为定值.20.已知函数()()2ln ,3f x x x g x x ax ==-+-.（Ⅰ）求函数()f x 在[](),20t t t +>上的最小值；（Ⅱ）对一切()()()0,,2x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）探讨函数()12lnx xF x e ex=-+是否存在零点？若存在，求出函数()F x 的零点，若不存在，请说明理由.试卷答案一、选择题1-5: CDBCB 6-8: CBA二、填空题9.i ； 10.16； 11.4； 12.1； 13.2； 14. [-4030,4044].三、解答题15.解：（Ⅰ）由()2cos cos tan tan 11A C A C -=， 得sin sin 2cos cos 11cos cos A C A C A C ⎛⎫-=⎪⎝⎭.∴()2sin sin cos cos 1A C A C -=. ∴()1cos 2A C +=-. ∴1cos 2B =. 又0B π<<， ∴3B π=.（Ⅱ）由2222cos b a c ac B =+-，得()223a c ac b +-=，又a c b +== ∴4ac =.∴11sin 422ABC S ac B ∆==⨯=16.解：（Ⅰ）设袋中原有n 个白球，由题意知()()24271112=767672n n n n C C --==⨯⨯， 所以()1=6n n -.解得3n = (2n =-，舍去). 即袋中原有3个白球.（Ⅱ）由题意，X 的可能取值为1,2,3,4,5.()317P X ==；()4322767P X ⨯===⨯； ()4336376535P X ⨯⨯===⨯⨯；()432334765435P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯；()43213157654335P X ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯.所以，取球次数X 的分布列为.所以()12345277353535E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.17.（Ⅰ）证明：∵PC ⊥底面ABCD ， ∴PC AC ⊥.∵222AB AD CD ===，//,AB CD AB AD ⊥, ∴AC BC ==∴222AC BC AB +=.∴90ACB ∠=︒，即BC AC ⊥. 又AC ⊂平面EAC ， ∴平面EAC ⊥平面PBC .（Ⅱ）证明：连BD 交AC 于点F ，连EF ， ∵//,2AB CD AB CD =，∴12DF CD FB AB ==. ∵13PE PB =，∴PE DFEB FB=. ∴//EF PD .又EF ⊂平面EAC ，PD ⊄平面EAC ， ∴//PD 平面EAC .（Ⅲ）解：以点C 为原点，建立如图的空间直角坐标系，则000,(1,1,0)(11,0)()C A B -，，,，， 设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ⎛⎫-⎪⎝⎭. ∴()()111,1,0,0,0,,,,222a CA CP a CE ⎛⎫===-⎪⎝⎭. 取()1,1,0m -，则0m CP m CA ⋅=⋅=， ∴m 为平面PAC 的法向量.设(),,n x y z =为平面PAC 的法向量，则0n CE n CA ⋅=⋅=. ∴0,0.x y x y az +=⎧⎨-+=⎩取x a =，则,2y a z =-=-, ∴(),,2n a a =--.∵2cos ,3m n m n m na ⋅<>===+， ∴2a =.∴()2,2,2n =--.设直线PA 与平面EAC 所成的角为θ，则2sin cos ,=3PA n PA n PAnθ⋅=<>=. ∴直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为3. 18.解：（Ⅰ）设d 为等差数列{}n a 的公差，11a =， 则231,12a d a d =+=+，∵11a +，21a +，31a +成等比数列， ∴()()22242d d +=+. ∵0d >， ∴2d =. ∴21n a n =-. ∵22log 1n n a b +=-， ∴2log n b n =-. ∴12n n b =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知212n n nn a b -⋅=， ∴23135212222n nn T -=++++，234111352122222n n n T +-=++++. ①-②得23111111212222222n nn n T +-⎛⎫=+⨯+++- ⎪⎝⎭， 2-111111111211132322211222222212n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+⨯-=+-=--，∴2332n nn T +=-.19.解：（Ⅰ）∵ce a==，∴,a b ==. 代入3a b +=解得2,1,a b c ===∴椭圆的方程为2214x y +=. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()2,0B ，因为P 不为椭圆顶点， 则直线BP 的方程为()2y n x =-，10,2n n ⎛⎫≠≠±⎪⎝⎭. 将①代入2214x y +=，解得222824,4141n n P n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 直线AD 的方程为112y x =+. ①与②联立解得424,2121n n M n n +⎛⎫⎪--⎝⎭.由()()2228240,1,,,,14104n n P n n D N x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭三点共线得222410141820041nn n x n ---+=---+， 解得42,021n N n -⎛⎫⎪+⎝⎭.∴MN 的斜率为()()()22404212121424242212212121nn n n n m n n n n n n -++-===+-+----+. ∴211222n m n n +-=-=（定值）.20.解（Ⅰ）()()ln 10f x x x '=+>， 由()0f x <得10x e <<，由()0f x '>得1x e>， ∴函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.当10t e <≤时，12t e+>， ∴()min 11f x f e e⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 当1t e>时，()f x 在上[],2t t +单调递增，()()min ln f x f t t t ==， ∴()min11,0,1ln ,.t e e f x t t t e ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩（Ⅱ）原问题可化为32ln a x x x≤++， 设()()32ln 0h x x x x x=++>，则()()()231x x h x x +-'=， 当01x <<时，()0h x '<，()h x 在（0,1）上单调递减； 当1x >时，()0h x '>，()h x 在()1,+∞上单调递增： ∴()()min 14h x h ==. ∴a 的取值范围为(,4]-∞. （Ⅲ）令()0F x =，得12ln 0x x e ex -+=，即()2ln 0x x x x x e e=->，由（Ⅰ）知当且仅当1x e=时，()()ln 0f x x x x =>的最小值是11f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设()()20x x x x e e ϕ=->，则()1xxx eϕ-'=， 易知()x ϕ在（0,1）上单调递增，在(1)+∞，上单调递减， ∴当且仅当1x =时，()x ϕ取最大值，且()11eϕ=-， ∴对()0,x ∈+∞都有，2ln x x x x e e >-，即()12ln 0xF x x e ex=-+>恒成立. ∴函数()F x 无零点.。
天津市河北区2015-2016学年度高三年级总复习质量检测（一）数 学（文史类）第Ⅰ卷（选择题 共40分）3． 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：· 如果事件A ，B 互斥，那么P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ）· 如果事件A ，B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）⋅P （B ）· 球的表面积公式 S ＝24R π球的体积公式 V ＝343R π其中R 表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合={01234}U ，，，，，={123}A ，，，={24}B ，，则()U C A B =I（A ）{2} （B ）{24}， （C ）{04}， （D ）{4} （2）i 是虚数单位，复数34i12i+=- （A ）12i + （B ）12i - （C ）12i -+ （D ）12i --（3）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 （A ）2016 （B ）2 （C ）12（D ）1-（4）若1311321=()=log 2=log 32a b c ，，，则a b c ，，（A ） b c a >> （B ）c a b >>（C ） a b c >> （D ）a >（5）设x y ∈R ，，则“1x ≥且2y ≥”是“+3x y ≥”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22221(00)x y =a >b >a b，-的一条渐近线平行于直线l ：+2+5=0x y ，且双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（A ）22=1205x y - （B ）22=1520x y -（C ）2233=125100x y - （D ）2233=110025x y -（7）若函数()=sin +f x x x 的图象关于直线x =a 对称，则最小正实数a 的值为 （A ）π6（B ）π4（C ）π3 （D ）π2（8）已知函数2ln 0()410x x >f x =x +x +x ⎧⎪⎨⎪⎩，，，≤，若关于x 的方程2()()0f x bf x +c =-(b c ∈R ，)有8个不同的实数根，则b+c的取值范围是（A）(3)-，（B）(03]∞，（C）[03]，（D）(03)，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.______________．（10）如图，已知切线PA切圆于点A，割线PBC分别交圆于点B C，，点D在线段BC上，且24，，，则线段AB的长为=∠=∠==DC BD BAD PAB PA PB_______________．（第9题图） （第10题图） （11）已知正数x y ，满足=x+y xy ，那么x+y 的最小值为 ．（12）在区间[44]-，上随机地取一个实数x ，则事件“2230x x --≤”发生的概率是．（13）函数()e x f x =x 在点(1(1))f -，-处的切线方程为 ．（14）已知ΔABC 中，AB =AC ，=4BC ，90BAC =∠︒，3BE EC =u u u r u u u r，若P 是BC 边上的动点，则AP AE ⋅u u u r u u u r的取值范围是______________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得 分 评卷人 （15）（本小题满分13分）在锐角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若7a 3b =， 7sin +sin =23B A（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求πsin(2)6B +的值．得 分 评卷人 （16）（本小题满分13分）1桶甲产品需耗A 原料3千克，B 原料1千克，生产1桶乙产品需耗A 原料1千克，B 原料3千克．每生产一桶甲产品的 利润为400元，每生产一桶乙产品的利润为300元，公司在生产这两种产品的计划中， 每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．设公司计划每天生产x 桶甲产品和y 桶乙产品． （Ⅰ）用x ，y 列出满足条件的数学关系式，并在下面的坐标系中用阴影表示相应 的平面区域；（Ⅱ）该公司每天需生产甲产品和乙产品各多少桶时才使所得利润最大，最大利润是多少？（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，AB AD ⊥，22AB=AD=AP=CD=． （Ⅰ）若M 是棱PB 上一点，且2BM =PM ，求证：PD ∥平面MAC ；（Ⅱ） 若平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，求证：PA ⊥平面ABCD ； PC 与平面ABCD 所成角的正切值．（18）（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，且1028a =，8=92S ，数列{}n b 对任意*n ∈N ，总有1231=3+1n n b b b b b n ⋅⋅⋅L -成立． （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记2n n n na b c =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．（19）（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y +=a >b >ab的短轴长为2，离心率=2e ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l ：y =kx +m 与椭圆交于不同的两点A B ，，与圆2223x +y =相切 于点M ．（i ）证明：OA OB ⊥（O 为坐标原点）； （ii ）设AM λ=BM，求实数λ的取值范围．（20）（本小题满分14分）已知函数32()=f x ax x ax +-，其中a ∈R 且0a ≠． （Ⅰ）当1a=时，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）求函数()3()ln f x g x =x x a-的单调区间； （Ⅲ）若存在(1]a ∈∞，--，使函数()()()[1](>1)h x =f x f x x b b '+∈，-，-在1x=-处 取得最小值，试求b 的最大值．河北区2015－2016学年度高三年级总复习质量检测（一）数 学 答 案（文）（9）16+π； （10） （11）4； （12）12； （13）1=ey -； （14）[26]，．三、解答题：本大题共6小题，共80分． （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵sinsin a b =A B ，∴sin sin b A B =a． …………2分 又a =3b =+sin =B A∴sin =A …………4分 又02A π<<，∴π=3A ． …………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知， sin ==B A …………7分 又02B π<<，∴cos ==B …………9分 ∵sin2=2sin cos B B B 213cos2=12sin =14B B --， …………11分 ∴πππ1sin(2)=sin 2cos cos2sin =6667B B B ++- …………13分（16）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设每天生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，则x ，y 满足条件的数学关系式为3+12+31200x y x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，，≥，≥，≤≤ …… 3分 该二元一次不等式组表示的平面区域（可行域）如下…………7分 （Ⅱ）设利润总额为z 元，则目标函数为：400300z =x+y ． ………8分 如图，作直线l ：400300=0x+y ，即43=0x+y ．当直线4=+3300zy x -经过可行域上的点A 时，截距300z 最大，即z 最大．解方程组3+=12+3=12x y x y ⎧⎨⎩，，得33x y ⎧⎨⎩==，即(33)A ，，………11分代入目标函数得max =2100z ． ………12分答：该公司每天需生产甲产品3桶，乙产品3桶才使所得利润最大，最大利润为 2100元．…………13分 （17）（本小题满分13分） 证明：（Ⅰ）连结BD ，交AC 于点N ，连结MN ．∵AB ∥CD ，2AB CD =， ∴2BN AB DN CD==． ∵2BM PM =， ∴2BM BN PM DN==． ∴MN ∥PD ． ……2分又MN ⊂平面MAC ，PD ⊄平面MAC ， ∴PD ∥平面MAC ． …… 4分（Ⅱ）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB I 平面ABCD=AB ，AB AD ⊥，∴AD ⊥平面PAB ． ∴AD PA ⊥． …… 6分同理可证AB PA ⊥． …… 7分又AB AD A =I ，∴PA ⊥平面ABCD ． ……8分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，PA ⊥平面ABCD∴PC 与平面ABCD 所成的角为PCA ∠． ……10分 在Rt PAC ∆中，∵2225PA AC AD +CD =，， ∴25tan 5PA PCA AC ∠===……12分 ∴PC 与平面ABCD 25． ……13分 （18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，则10181=+9=2887=8+=922a a d S a d ⎧⎪⎨⨯⎪⎩．解得113a d ==，． ……2分∴32n a n =-． ……3分∵12313+1n n b b b b b =n ⋅⋅⋅L -， ① ∴1231=32(2n b b b b n n ⋅⋅L --≥）． ② ①②两式相除得3132n n b n +=- (2)n ≥． ……5分 ∵当1n =时，14b =适合上式，∴3132n n b n +=-()n *∈N ． ……6分 （Ⅱ）∵(31)221n n n nna b c ==n ⋅+， ……7分∴2311114710(31)2222n n T n =⨯+⨯+⨯+++L ． ……8分2311111147(32)(31)22222n n n T n n +=⨯+⨯++-++L ． ……9分两式相减得，2311333312()22222n n n n T ++=++++-L ……10分 1111[1()]3142231212n n n -+-+=+⨯-- ……11分173722n n ++=-． ……12分∴3772n nn T +=-． ……13分（19）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）∵22b =，∴1b =．…… 1分又c e a =，222a b c =+，∴ 22a =． ……3分∴ 椭圆C 的方程为 2212x y +=． …… 4分（Ⅱ）（i ）∵直线l ：y =kx +m 与圆2223x +y =相切，∴d ==222(1)3m k =+． ……5分 由2212y =kx +m x y ⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 并整理得，222(12)4220k x kmx m +++-=． 设11()A x y ，，22()B x y ，， 则12221224122212km x +x =+k m x x =+k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩--． …… 7分 ∵12121212()()OA OB =x x +y y =x x +kx +m kx +m ⋅u u u r u u u r．221212(1)()=+k x x +km x +x +m22222224(1)()1212m km=+k +km +m +k +k-- 2222223222(1)2201212m k +k k ===+k +k ----，∴OA OB ⊥． …… 9分（ii ）∵直线l ：y =kx+m 与椭圆交于不同的两点A B ，，∴222212121122x x +y =+y =，．∴AMλ==BM…… 11分由（Ⅱ）（i）知1212+=0x x y y，∴1212=x x y y-，222222121212==(1)(1)22x xx x y y--，即22122142=2+3xxx-．∴212+3==4xλ．…… 13分∵1x∴λ的取值范围是122λ≤≤．…… 14分（20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当1a=时，32()+f x x x x=-，∴2()3+21(1)(31)f x x x x x'=-=+-．…… 2分令()0f x'=，得1x=-或13x=．列表讨论'()f x和()f x的变化情况：∴当1x=-时，()f x取得极大值(1)1f=-，当13x=时，()f x取得极15()327f=-． (4)小值分（Ⅱ）∵2()33()ln lnf xg x=x=ax x a xx a a+---，∴()g x的定义域为(0)+∞，，22323()21a x axg x=axax ax+'+=--2132()()2(0)a x xa a aax+=≠-．……5分（1）当0a>时，由()0g x'>，解得1xa>，由()0g x'<，解得10xa<<，∴()g x在1(0)a，上单调递减，在1()a+∞，上单调递增；……7分（2）当0a<时，由()0g x'>，解得32xa<<-，由()0g x'<，解得32xa>-，∴()g x在3(0)2a-，上单调递增，在3()2a-+∞，上单调递减．…9分（Ⅲ）∵2()=3+2f x ax x a'-，∴32()=+(3+1)+(2)h x ax a x a x a--．由题意知，()(1)h x h≥-在区间[1]b-，上恒成立．即2(+1)[(21)(13)]0x ax a x a+++-≥．①……10分当1x=-时，不等式①成立；当1x b-<≤时，不等式①可化为2(21)(13)0ax a x a+++-≥．②……11分令2()(21)(13)F x=ax+a+x+a-∵1a≤-，(1)40F a-=->，∴2()(21)(13)0F b ab a b a=+++-≥，……12分即2+231+1b bb a-≤-．由题意，只需2max+231()=1b bb a-≤-．b……13分又1b>-，∴1b-<∴maxb=．……14分。
天津市河北区2015-2016学年度高三年级总复习质量检测（一）数 学（理工类）第Ⅰ卷（选择题 共40分）参考公式：· 如果事件A ，B 互斥，那么P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ）· 如果事件A ，B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）⋅P （B ）· 球的表面积公式 S ＝24R π球的体积公式 V ＝343R π其中R 表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合={01234}U ，，，，，={123}A ，，，={24}B ，，则()U C A B =（A ）{2}（B ）{24}， （C ）{04}，（D ）{4}（2）i 是虚数单位，复数34i12i+=-（A ）12i + （B ）12i -（C ）12i -+ （D ）12i --（3）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 （A ）2016 （B ）2（C ）12（D ）1-（4）已知实数x y ，满足条件226y x x +y x +y ⎧⎪⎨⎪⎩，≥，≥，≤ 则32z x+y =的取值范围是（A ）(10]∞-，（B ）[510]，（C ）[8+)∞， （D ）[810]，（5）设x y ∈R ，，则“1x ≥且2y ≥”是“+3x y ≥”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22221(00)x y =a >b >a b，-的一条渐近线平行于直线l ：+2+5=0x y ， 且双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（A ）22=1205x y - （B ）22=1520x y -（C ）2233=125100x y - （D ）2233=110025x y -（7）已知函数ln ()=exf x ，若12x x ≠且12()()f x f x =，则下列结论一定不成立的是 （A ）21()1x f x >（B ）21()1x f x <（C ）21()1x f x = （D ）2112()()x f x x f x <（8）已知函数2ln 0()410x x >f x =x +x+x ⎧⎪⎨⎪⎩，，，≤，若关于x 的方程2()()0f x bf x +c =-(b c ∈R ，)有8个不同的实数根，则b+c 的取值范围是（A ）(3)∞-， （B ）(03]，（C ）[03]， （D ）(03)，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.（9）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ______________． （10）如图，已知切线PA 切圆于点A ，割线PBC 分别交圆于点B C ，，点D 在线段BC上，且22104DC BD BAD PAB PA PB =∠=∠==，，，，则线段AB 的长为 _______________．（第9题图） （第10题图） （11）由曲线2y =x 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积是 ． （12）设常数a ∈R ，若25()ax x+的二项展开式中含7x 项的系数为15-，则a 的值为 ． （13）在锐角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若=7a =3b ， 7sin +sin =23B A cos B 的值为_____________．（14）在直角ΔABC 中，2CA=CB =，M N ，是斜边AB 上的两个动点，2MN = 则CM CN ⋅的取值范围是______________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得 分 评卷人（15）（本小题满分13分）已知函数2()sin cos 3f x x x x =-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当π[0]2x ∈，时，求()f x 的最大值和最小值．得 分 评卷人（16）（本小题满分13分）某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械 工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表：（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于 同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为X ，求 随机变量X 的分布列及数学期望．得 分 评卷人（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，AB AD ⊥，22AB=AD=AP=CD=， M 是棱PB 上一点．（Ⅰ）若2BM =PM ，求证：PD ∥平面MAC ；（Ⅱ）若平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，求证：PA ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若二面角B AC M --的余弦值为23，求PM PB的值．学院 机械工程学院海洋学院医学院 经济学院人数4646（18）（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，且1019a =，10=100S ，数列{}n b 对任意*n ∈N ，总有12312n n n b b b b b =a +⋅⋅⋅-成立．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记24(1)(21)n n n n b c =n +⋅-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．（19）（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y +=a >b >ab的短轴长为2，离心率=2e（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l ：y =kx+m 与椭圆交于不同的两点A B ，，与圆222+=3x y 相切于点M ．（i ）证明：OA OB ⊥（O 为坐标原点）； （ii ）设AM λ=BM，求实数λ的取值范围．（20）（本小题满分14分）已知函数2()=(1)ln 1f x a x x -++，()()g x =f x x -，其中a ∈R ． （Ⅰ）当14a =-时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）当0a >时，求函数()g x 的单调区间； （Ⅲ）当[1)x ∈+∞，时，若=()y f x 图象上的点都在1x y x⎧⎨⎩≥，≤ 所表示的平面区域内， 求实数a 的取值范围．河北区2015－2016学年度高三年级总复习质量检测（一）数 学 答 案（理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）16+π； （10）； （11）43；（12）3-； （1314（14）3[2]2，．三、解答题：本大题共6小题，共80分．（15）（本小题满分13分）解：1()=sin2cos2)22f x x x …… 4分1=sin2cos2222x x --π=sin(2)32x --． …… 6分 （Ⅰ）T π=． …… 7分（Ⅱ）∵π02x ≤≤， ∴2333x ππ2π--≤≤． …… 8分∴πsin(2)123x -≤． …… 10分∴πsin(2)1322x -≤． …… 11分∴max min =1=2y y -…… 13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从20名学生中随机选出3名中任意两个均不属于同一学院的方法数为：161111111111146446644646C C C C C C C C C C C C +++， …… 2分∴111111111111464466446646320819C C C C C C C C C C C C P C +++==． …… 4分（Ⅱ）X 的所有取值为 0，1，2，3． …… 5分∵316320C 28(0)C 57P X ===； 12416320C C 8(1)C 19P X ===；21416320C C 8(2)C 95P X ===； 34320C 1(3)C 285P X ===，∴随机变量X 的分布列为：…… 11分∴28881301235719952855EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． …… 13分（17）（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）连结BD ，交AC 于点N ，连结MN ．∵AB ∥CD ，2AB CD =， ∴2BN AB==DN CD． 又2BM PM =， ∴2BM BNPM DN==． ∴MN ∥PD ． ……2分又MN ⊂平面MAC ，PD ⊄平面MAC ， ∴PD ∥平面MAC ． …… 4分（Ⅱ）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD=AB ，AB AD ⊥， ∴AD ⊥平面PAB ． ∴AD PA ⊥． …… 6分 同理可证AB PA ⊥． …… 7分又ABAD A =，∴PA ⊥平面ABCD ． ……8分（Ⅲ）解：以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由22AB=AD=AP=CD=，得(000)(020)(210)(200)(002)A B C D P ，，，，，，，，，，，，，，，由（Ⅱ）可知平面ABCD 的法向量为(001)=，，n ． ……9分 设PM=λPB(1)λ0≤≤，即PM =λPB ，又(022)PB =，，-， ∴(0222)AM =λλ，，-．设平面MAC 的法向量为()x y z =，，m ， ∵(210)AC =，，，(0222)AM =λλ，，- ∴202(22)0.x y λy λz +=⎧⎨+=⎩，-∴(1222)λλλ=-，-，-m ． ……11分 ∵二面角B AC M --的余弦值为23， ∴222cos 3910+5λλλ⋅===⋅，-m n m n m n．解得1=2λ，即12PM =PB ． ……13分 （18）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，则101101919109101002a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩．解得112a d ==，．∴21n a n =-． ……3分 ∴12312+1n n b b b b b =n ⋅⋅⋅-． ① 1231=21(2)n b b b b n n -⋅⋅-≥． ②①②两式相除得2121n n b n +=- (2)n ≥． ∵当1n =时，13b =适合上式，∴2121n n b n +=-()n *∈N ． ……6分 （Ⅱ）∵24(1)(21)n n n n b c =n +⋅-，∴411(1)(1)()(21)(21)2121nn n n c n n+n n+==----+． …… 8分当n 为偶数时，11111111(1)335572121n n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111111335572121n n =--++--+++-+1212121nn n =-+=-++； ……10分当n 为奇数时，11111111(1)335572121n n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111335572121n n =--++--+---+ 12212121n n n +=--=-++． ……12分 ∴2212221n nn n T n n n ⎧-⎪⎪+=⎨+⎪-⎪+⎩，为偶数，为奇数 ……13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵22b =，∴1b =．…… 1分又c e a =，222a b c =+， ∴ 22a =． ……3分∴ 椭圆C 的方程为 2212x y +=． …… 4分（Ⅱ）（i ）∵直线l ：y =kx +m 与圆2223x +y =相切，∴d ==222(1)3m k =+． ……5分由2212y =kx +m x y ⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 并整理得，222(12)4220k x kmx m +++-=． 设11()A x y ，，22()B x y ，，则12221224122212km x +x =+k m x x =+k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩--． …… 7分 ∵12121212()()OA OB =x x +y y =x x +kx +m kx +m ⋅． 221212(1)()=+k x x +km x +x +m22222224(1)()1212m km=+k +km +m +k +k-- 2222223222(1)2201212m k +k k ===+k +k ----，∴OA OB ⊥． …… 9分（ii ）∵直线l ：y =kx+m 与椭圆交于不同的两点A B ，， ∴222212121122x x +y =+y =，．∴AM λ==BM…… 11分 由（Ⅱ）（i ）知1212+=0x x y y ，∴1212=x x y y -，222222121212==(1)(1)22x x x x y y --，即22122142=2+3x x x -．∴212+3==4x λ． …… 13分∵1x∴λ的取值范围是122λ≤≤． …… 14分 （20）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当14a =-时，221113()=(1)ln +1ln 4424f x x x x x x -+=+++-- ()f x 的定义域为(0)+∞，， 111(1)(2)()=222x x f x x x x+-'++=--． …… 2分 列表讨论'()f x 和()f x 的变化情况：∴当2x =时，()f x 取得极大值3(2)ln 24f =+. …… 4分 （Ⅱ）当0a >时，22()=(1)ln 1(21)ln 1g x a x x x ax a x x a -++-=-++++． ()g x 的定义域为(0)+∞，， 212(1)()12(21)12g ()2(21)a x x ax a +x +a x =ax a ++=x x x '=----． …… 6分 令()=0g x '，得1x=或12x =a． （1）当102a <<，即112a >时， 由()0g x '<，解得112x a <<，由()0g x '>，解得01x <<或12x a>， ∴()g x 在1(1)2a，上单调递减，在(01)，，1()2a+∞，上单调递增； ……7分 （2）当12a =，即112a =时，在(0)+∞，上，()0g x '≥， ∴()g x 在(0)+∞，上单调递增； ……8分（3）当12a >，即1012a<<时， 由()0g x '<，解得112x a <<，由()0g x '>，解得102x a<<或1x >， ∴()g x 在1(1)2a，上单调递减， 在1(0)2a，，(1)+∞，上单调递增． ……9分 （Ⅲ）∵=()y f x 图象上的点都在1x y x ⎧⎨⎩≥，≤ 所表示的平面区域内， ∴当[1)x ∈+∞，时，()0f x x -≤恒成立，即当[1)x ∈+∞，时，2()(1)ln 10g x a x x x =-++-≤恒成立．只需max (())0g x ≤． ……10分（1）当0a >时，由（Ⅱ）知， ① 当102a <<时，()g x 在1(1)2a ，上单调递减，在1()2a +∞，上单调递增， ∴()g x 在[1)+∞，上无最大值，不满足条件；② 当12a ≥时，()g x 在(1)+∞，上单调递增， ∴()g x 在[1)+∞，上无最大值，不满足条件；……11分 （2）当=0a 时，1()x g x =x'--，在(1)+∞，上，()0g x '<， ∴()g x 在[1)+∞，上单调递减，()(1)0g x g =≤成立; ……12分 （3）当0a <时，12(1)()2()a x x a g x =x'--，在(1)+∞，上，()0g x '<， ∴()g x 在[1)+∞，上单调递减，()(1)0g x g =≤成立． ……13分 综上可知，实数a 的取值范围是0a ≤． ……14分。
2017年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+•柱体的体积公式Sh V=. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分． 1.已知集合{}24M x x =|>,{}3N x x =|1<<，则R NC M = （ ）A. {}1x x |-2≤<B.{}2x x |-2≤≤C. {}2x x |1<≤D.{}2x x |<2.设变量,x y 满足线性约束条件50,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则目标函数24z x y =+的最小值是（ ）A ．6-B ．2-C ．4D ．63.阅读右边程序框图，当输入x 的值为2时，运行相应程序，则输出x 的值为（ ）A ．5B ．11C ．23D ． 47 4.下列命题中真命题的个数是（ ） ①若q p ∧是假命题，则,p q 都是假命题； ②命题“01,23≤+-∈∀x x R x ”的否定是“32000,10x R x x ∃∈-+>”；③若,11:,1:<≤xq x p 则p ⌝是q 的充分不必要条件. A ．0B ．1C ．2D ．35. 已知数列{}n a 为等差数列，且满足1590a a +=.若(1)mx -展开式中2x 项的系数等于数列{}n a 的第三项，则m 的值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．106.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若sin 2sinB A =，4,3c C π==，则ABC ∆的面积为（ ）A ．83B ．163C ．1633D ．8337.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增，若对于任意x R ∈，()()22log 22f a f x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,2D ．[2,)+∞8．已知函数()1,0,,0,x e m x f x ax b x ⎧+-≥=⎨+<⎩ 其中1m <-，对于任意1x R ∈且10x ≠，均存在唯一实数2x ，使得()()21f x f x =，且12x x ≠，若()()f x f m =有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1B ． ()1,0-C ．()()2,11,0---D ． ()2,1--第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．i 为虚数单位，则复数243ii--的模为 . 10. 向如图所示的边长为2的正方形区域内任投一点，则该点落入阴影部分的概率为 . 11. 已知直线l 的参数方程为4x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为22sin()4πρθ=+ ，则圆上的点到直线l 的最大距离为 .12. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .13. 设抛物线22y px = （0p >）的焦点为F ，准线为l .过焦点的直线分别交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作l 的垂线，垂足C,D .若2AF BF =，且三角形CDF ，则p 的值为 .14.如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥,CD AB AD ⊥，222AB CD AD ===.在等腰直角三角形CDE 中，090C ∠=，点,N M 分别为线段,BC CE 上的动点，若52AM AN ⋅=，则MD DN ⋅的取值范围是 .三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13 （Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[]0π-，上的最值.16．（本小题满分13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每件一等品都能通过检测，每件二等品通过检测的概率为12．现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品． （Ⅰ）随机选取3件产品，设至少有一件通过检测为事件A ，求事件A 的概率； （Ⅱ）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列及数学期望EX .17．（本小题满分13分）如图，已知菱形ABCD 与直角梯正视图ACBDEPD EC形ABEF 所在的平面互相垂直，其中BE AF ∥ ，AB AF ⊥，122AB BE AF ===，3CBA π∠=，P 为DF 的中点.（Ⅰ）求证：PE ∥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角D EF A －－的余弦值；（Ⅲ）设G 为线段AD 上一点，AG AD λ=， 若直线FG 与平面ABEF 所成角的正弦值AG 的长.18．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且2031=+a a ，82=a ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n a n b =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意正整数n 不等式a nS n n n ⋅->++)1(21恒成立，求实数a 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆:E 22221x y a b+=的焦点在x 轴上，椭圆E 的左顶点为A ，斜率为(0)k k >的直线交椭圆E 于,A B 两点，点C 在椭圆E 上，AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D ．（Ⅰ）当点B 为椭圆的上顶点，ABD ∆的面积为2ab 时，求椭圆的离心率；（Ⅱ）当b AB AC ==时，求k 的取值范围．20．（本小题满分14分）设函数()2ln f x x a x =-，()g x =()2a x -.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()()()F x f x g x =-有两个零点12,x x .(1)求满足条件的最小正整数a 的值；(2)2017年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）数学理科参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分二、填空题:每小题5分，共30分.10.18；11.12.1；；14.512⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）………2分………4分由()42xk k Zππ≠+∈得()f x的定义域为(){}|24x x k k Zππ≠+∈………6分（k Z∈占1分）故()f x的最小正周期为2412Tππ==……7分（Ⅱ）0xπ-≤≤23266xπππ∴-≤-≤-……8分2,,()26326xx f xπππππ⎡⎤⎡⎤∴-∈--∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即，单调递减……9分0,()26266xx f xππππ⎡⎤⎡⎤∴-∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，-,即，单调递增……10分min()()6f x fπ∴=-=……11分而3(0)()2f fπ∴=-=-……12分max()(0)f x f∴==……13分（注：结果正确，但没写单调区间扣2分）16．（本小题满分13分）解：(Ⅰ)3343101239(A)1()2240C P C =-⋅=所以随机选取3件产品，至少有一件通过检测的概率为239240. ……5分 （Ⅱ）由题可知X 可能取值为0,1,2,3. ……6分30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===,12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. ……10分则随机变量X 的分布列为……11分1311901233010265EX =⨯+⨯+⨯+⨯= ……13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）取AD 的中点Q ，连接PQ BQ ，，则PQ ∥AF ∥BE ,且12PQ AF BE ＝＝，所以四边形BEPQ 为平行四边形 ……2分所以PE ∥BQ ，又BQ ⊂平面ABCD ，PE ⊄ 平面ABCD ， 则PE ∥平面ABCD . ……3分（Ⅱ）取AB 中点O ，连接CO ，则CO AB ⊥， 因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，交线为AB ，则CO ⊥平面ABEF……4分作OM ∥AF ，分别以,,OB OM OC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则((1,4,0),E(1,2,0)D F -- ……5分于是(1,4,3),(2,2,0)DF EF =-=- ，设平面DEF 的法向量(,,)m x yz = ，则{4022x y x +=-+令1x =，则1,y z == ……6分平面AEF 的法向量(0,0,1)n = ……7分所以3cos ,3131m n == ……8分又因为二面角D EF A －－. ……9分 （Ⅲ）(1,0,0),(1,0,3),(),A AD AG λ-=-=-则()G λ-- ，(,)FG λ=-- ，而平面ABEF 的法向量为(0,0,1)m =，设直线FG与平面ABEF 所成角为θ，于是sinθ==……11分于是λ=AG = . ……13分 18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，则⎩⎨⎧==+820)1(121q a q a ，……1分 ∴02522=+-q q …2分∵1q >，∴⎩⎨⎧==241q a ，∴数列{}n a 的通项公式为12+=n n a ．……5分（Ⅱ）解：12+=n n n b∴14322232221+++++=n n nS=n S 2121432212221+++-+++n n n n ∴2143222121212121++-+++=n n n nS ……7分 ∴1321221212121+-+++=n n n nS =1112212212121++++-=--n n n n n ……9分∴n n a 211)1(-<⋅-对任意正整数n 恒成立，设n n f 211)(-=，易知)(n f 单调递增． ……10分n 为奇数时，)(n f 的最小值为21，∴21<-a 得21->a ， ……11分n 为偶数时，)(n f 的最小值为43，∴43<a ， ……12分综上，4321<<-a ，即实数a 的取值范围是)43,21(-． ……13分19．（本小题满分14分） 解：直线AB 的方程为by x b a=+ 直线AC 的方程为()ay x a b =-+，令0x =，2a y b =- ……2分21()22ABDa Sb a ab b∆=⋅+⋅= ……3分 于是2224a b b +=，223,e c a b a === ……5分（Ⅱ）直线AB 的方程为()y k x a =+，联立()22213x y a y k x a ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()222324223230a k x a k x a k a +++-= 解得x a =-或322233a k a x a k -=-+， ……7分2263a AB a a k==+所以 ……8分263aAC a k k=+同理 ……9分 因为2AB AC =22266233a aa a kk k=++所以，整理得，223632k k a k -=-． ……11分因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以23a >，即236332k kk ->-，……13分整理得()()231202kk k +-<-2k <<．……14分20．（本小题满分14分）解：……1分当0a ≤时， ()'0f x >在()0,+∞上恒成立，所以函数()f x 单调递增区间为()0,+∞， 此时()f x 无单调减区间． ……2分 当0a >时，由()'0f x >，()'0f x <，得所以函数()f x……3分（Ⅱ）（1因为函数()F x 有两个零点，所以0a >，此时函数()f x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增， 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. ……4分所以()F x 的最小值244ln 02a a a a -+-<. ……5分 因为0a >，所以4ln 402aa +->. 令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数，且 ()()381220,34ln 1ln 10216h h =-<=-=->，所以存在()()002,3,0a h a ∈=.…6分当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <，所以满足条件的最小正整数3a =. ……7分又当3a =时，()()()332ln30,F 10F =->=，所以3a =时，()f x 有两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3. ……8分（2）证明 ：不妨设120x x <<，于是()()22111222-2ln -2ln ,x a x a x x a x a x --=-- 即()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，()2211221122112222ln ln ln ln x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+--．所以221122112222ln ln ＋－－＋－－x x x x a x x x x =. ……10分0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x '<，当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()F'0x >，2a 即可，即证明22112211221222ln ln ＋－－＋－－x x x x x x x x x x +>， ……11分即证()()22221212121122ln ln 22x x x x x x x x x x -++-<+--，也就是证11221222ln－＋x x x x x x <. ……12分 设()1201x t t x =<<．因为0t >，所以()0m t '≥， ……13分文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编辑.欢迎下载支持.11word 版本可编辑.欢迎下载支持. 当且仅当1t =时，()0m t '=， 所以()m t 在()0,+∞上是增函数． 又()10m =，所以当()()0,1,m 0m t ∈<总成立,所以原题得证． ……14分。
河北区2016－2017学年度高三年级总复习质量检测（二）数 学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至8页．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3． 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：· 如果事件A ，B 互斥，那么P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )· 如果事件A ，B 相互独立，那么P (AB )＝P (A )P (B )· 球的表面积公式 S ＝24R π球的体积公式 V ＝343Rπ其中R 表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集U ＝R ，集合A ＝{1，2，3，4，5}， B ＝{x ∈R | x ≥3}，则图中阴影部分所表示的集合为（A ）{1，2，3} （B ）{3，4，5}（C ）{1，2} （D ）{4，5}（2）若x 、y 满足 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且 z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为（A ）2（B ）－2（C ）12（D ）－12（3）在△ABC 中，已知BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积为3，则AC 的长为（A ）3 （B ）13（C ）21 （D ）57（4）执行如图所示的程序框图．如果输入 n ＝5，则输出的S 值为 （A ）49（B ）89（C ）511（D ）1011（5）已知条件 p ：|x ＋1|＞2，条件 q ：x ＞a ，且 ¬p 是 ¬q 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是 （A ）a ≤1（B ）a ≥1（C ）a ≥－1 （D ）a ≤－3（6）已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的 斜率为 （A ）－2（B ）－43（C ）－34（D ）－12（7）若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足 (OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0， 则△ABC 的形状为（A ）直角三角形（B ）等腰三角形（C ）等腰直角三角形（D ）等边三角形（8）对任意的x ＞0，总有 ()|lg |f x a x x =--≤0，则a 的取值范围是 （A ）(－∞，lge －lg(lge)] （B ）(－∞，1]（C ）[1，lge －lg(lge)] （D ）[lge －lg(lge)，＋∞)河北区2016－2017学年度高三年级总复习质量检测（二）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2017年天津市河北区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）1．（5分）设集合A＝{x|y＝lg（x﹣3）}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则A∪B等于（）A．∅B．R C．{x|x＞1}D．{x|x＞0}2．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝x2+y2的最大值为（）A．9B．36C．81D．413．（5分）已知非零向量，满足4||＝3||，cos＜，＞＝．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4B．﹣4C．D．﹣4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．98B．99C．100D．1015．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π6．（5分）已知F1，F2是双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为（）A．2B．C．D．7．（5分）函数f（x）＝（x﹣）cos x（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数g（x）＝a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）＝2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[1，+2]B．[1，e2﹣2]C．[+2，e2﹣2]D．[e2﹣2，+∞）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）已知z1＝1+i，z2＝1﹣i，（i是虚数单位），则+＝．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，c＝2，且C＝，则△ABC的面积为．11．（5分）（x﹣2y）5的展开式中的x2y3系数是．12．（5分）已知函数f（x）＝sin x﹣cos x，把函数f（x）的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的对称轴方程为．13．（5分）在平面直角坐标系下，曲线C1：（t为参数），曲线C2：（θ为参数），若曲线C1，C2有公共点，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足条件f（x+）＝﹣f（x），且函数y＝f（x﹣）为奇函数，给出以下四个命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；③函数f（x）为R上的偶函数；④函数f（x）为R上的单调函数；其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分）15．（13分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+），（A＞0，ω＞0）的最小正周期为T＝6π，且f（2π）＝2．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）若g（x）＝f（x）+2，求g（x）的单调区间及最大值．16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，直线AF⊥平面ABCD，EF∥AB，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝1，点P在棱DF上．（1）求证：AD⊥BF；（2）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；（3）若，求二面角D﹣AP﹣C的余弦值．18．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线x＝的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为椭圆上的一点（点P不在y轴上），过点O作OP的垂线交直线y ＝于点Q，求的值．19．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝8，S4＝40．数列{b n}的前n项和为T n，且T n﹣2b n+3＝0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝，求数列{c n}的前n项和P n．20．（14分）设函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若直线y＝3x﹣1是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在[1，e2]上的最大值为1﹣ae（e为自然对数的底数），求实数a的值．2017年天津市河北区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）1．（5分）设集合A＝{x|y＝lg（x﹣3）}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则A∪B等于（）A．∅B．R C．{x|x＞1}D．{x|x＞0}【解答】解：集合A＝{x|y＝lg（x﹣3）}＝{x|x﹣3＞0}＝{x|x＞3}，B＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y＞0}，则A∪B＝{x|x＞0}．故选：D．2．（5分）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝x2+y2的最大值为（）A．9B．36C．81D．41【解答】解：作出约束条件，所对应的可行域，而z＝x2+y2表示可行域内的点P到原点距离的平方，由：，解得P（4，5）数形结合可得最大值为：42+52＝41，故选：D．3．（5分）已知非零向量，满足4||＝3||，cos＜，＞＝．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4B．﹣4C．D．﹣【解答】解：∵4||＝3||，cos＜，＞＝，⊥（t+），∴•（t+）＝t•+2＝t||•||•+||2＝（）||2＝0，解得：t＝﹣4，故选：B．4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．98B．99C．100D．101【解答】解：i＝1，s＝lg＞﹣2，i＝2，s＝lg＞﹣2，i＝3，s＝lg＞﹣2，…，i＝99，s＝lg≤﹣2，输出i＝99，故选：B．5．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：＝，R＝2．它的表面积是：×4π•22+＝17π．故选：A．6．（5分）已知F1，F2是双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为（）A．2B．C．D．【解答】解：∵MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，∴设MF1＝m，则MF2＝3m，由双曲线的定义得3m﹣m＝2a，即m＝a，在直角三角形MF2F1中，9m2﹣m2＝4c2，即2m2＝c2，即2a2＝c2，则e＝，故选：D．7．（5分）函数f（x）＝（x﹣）cos x（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）＝（﹣x+）cos（﹣x）＝﹣（x﹣）cos x＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，∴函数f（x）的图象关于原点对称，故排除A，B，当x＝π时，f（π）＝（π﹣）cosπ＝﹣π＜0，故排除C，故选：D．8．（5分）已知函数g（x）＝a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）＝2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[1，+2]B．[1，e2﹣2]C．[+2，e2﹣2]D．[e2﹣2，+∞）【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2＝﹣2lnx⇔﹣a＝2lnx﹣x2在上有解．设f（x）＝2lnx﹣x2，求导得：f′（x）＝﹣2x＝，∵≤x≤e，∴f′（x）＝0在x＝1有唯一的极值点，∵f（）＝﹣2﹣，f（e）＝2﹣e2，f（x）＝f（1）＝﹣1，且知f（e）＜f极大值（），故方程﹣a＝2lnx﹣x2在上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）已知z1＝1+i，z2＝1﹣i，（i是虚数单位），则+＝0．【解答】解：z1＝1+i，z2＝1﹣i，则+＝+＝+＝+＝0．故答案为：0．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，c＝2，且C＝，则△ABC的面积为．【解答】解：由正弦定理，又c＞b，且B∈（0，π），所以，所以，所以．故答案为：．11．（5分）（x﹣2y）5的展开式中的x2y3系数是﹣20．【解答】解：（x﹣2y）5的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r••x5﹣r•y r，令r＝3，可得x2y3系数是﹣20，故答案为：﹣20．12．（5分）已知函数f（x）＝sin x﹣cos x，把函数f（x）的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的对称轴方程为x＝2kπ+，k∈Z．【解答】解：把函数f（x）＝sin x﹣cos x＝sin（x﹣）的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，得y＝sin（x﹣）的图象，再向右平移个单位，得到函数g（x）＝sin[（x﹣）﹣]＝sin（x﹣）的图象，令x﹣＝kπ+，求得x＝2kπ+，k∈Z，∴函数g（x）的对称轴方程为x＝2kπ+，k∈Z．故答案为：x＝2kπ+，k∈Z．13．（5分）在平面直角坐标系下，曲线C1：（t为参数），曲线C2：（θ为参数），若曲线C1，C2有公共点，则实数a的取值范围是1﹣≤a≤1+．【解答】解：曲线C1：（t为参数），普通方程为x+2y﹣2a＝0，曲线C2：（θ为参数），普通方程为x2+（y﹣1）2＝4，∵曲线C1，C2有公共点，∴≤2，∴1﹣≤a≤1+，故答案为1﹣≤a≤1+．14．（5分）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足条件f（x+）＝﹣f（x），且函数y＝f（x﹣）为奇函数，给出以下四个命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；③函数f（x）为R上的偶函数；④函数f（x）为R上的单调函数；其中真命题的序号为①②③（写出所有真命题的序号）【解答】解：对于①，∵f（x+）＝﹣f（x），∴f（x+3）＝﹣f（x+），∴f（x）＝f（x+3），∴f（x）是周期为3的函数，故①正确；对于②，∵函数y＝f（x﹣）为奇函数，∴y＝f（x﹣）的图象关于点（0，0）对称，∵y＝f（x﹣）的函数图象是由y＝f（x）的图象向右平移个单位得到的，∴y＝f（x）的函数图象关于点（﹣，0）对称，故②正确；对于③，∵f（x+）＝﹣f（x），∴f（x﹣+）＝﹣f（x﹣），即f（x﹣）＝﹣f（x﹣），又f（x）的周期为3，∴f（x﹣）＝f（x﹣+3）＝f（x+），∴f（x﹣）＝﹣f（x+），又y＝f（x﹣）是奇函数，∴f（x﹣）＝﹣f（﹣x﹣），∴f（x+）＝f（﹣x﹣），令x+＝t，则f（t）＝f（﹣t），∴f（t）是偶函数，即f（x）是偶函数，故③正确；对于④，由③知f（x）是偶函数，∴f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上的单调性相反，∴f（x）在R上不单调，故④错误；故答案为①②③．三、解答题（本大题共6小题，共70分）15．（13分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+），（A＞0，ω＞0）的最小正周期为T＝6π，且f（2π）＝2．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）若g（x）＝f（x）+2，求g（x）的单调区间及最大值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝A sin（ωx+），∵最小正周期为T＝6π，即，可得：ω＝．∴f（x）＝A sin（x+），又∵f（2π）＝2，A＞0、∴2＝A sin（×2π+），故得A＝4．∴f（x）的表达式为：f（x）＝4sin（x+）．（Ⅱ）∵g（x）＝f（x）+2，∴g（x）＝4sin（x+）+2由﹣x+≤，k∈Z可得：6kπ﹣2π≤x≤π+6kπ∴g（x）的单调增区间为[6kπ﹣2π，π+6kπ]，k∈Z由x+≤，k∈Z可得：6kπ+π≤x≤4π+6kπ∴g（x）的单调减区间为[π+6kπ，4π+6kπ]，k∈Z．∵sin（x+）的最大值为1．∴g（x）＝4+2＝6，故得g（x）的最大值为6．16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】（Ⅰ）解：设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A，则，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为．（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k＝0，1，2，3）所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望．17．（13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，直线AF⊥平面ABCD，EF∥AB，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝1，点P在棱DF上．（1）求证：AD⊥BF；（2）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；（3）若，求二面角D﹣AP﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）∵AF⊥平面ABCD，∴AF⊥AD，又AD⊥AB，AB∩AF＝A，AD⊥平面ABEF，又BF⊂平面ABEF，∴AD⊥BF．（2）解：∵直线AF⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴AF⊥AB，由（1）得AD⊥AF，AD⊥AB，∴以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），E（，0，1），P（0，1，），C（1，2，0），∴＝（﹣），＝（﹣1，﹣1，），设异面直线BE与CP所成角为θ，则cosθ＝＝，∴异面直线BE与CP所成角的余弦值为．（3）解：∵AB⊥平面ADF，∴平面ADF的一个法向量．由知P为FD的三等分点，且此时．在平面APC中，，．∴平面APC的一个法向量．…（10分）∴，又∵二面角D﹣AP﹣C的大小为锐角，∴该二面角的余弦值为．…（12分）18．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线x＝的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为椭圆上的一点（点P不在y轴上），过点O作OP的垂线交直线y ＝于点Q，求的值．【解答】解：（1）∵椭圆（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线x＝的距离为1，∴，且a2＝b2+c2，解得a＝，b＝c＝1．∴椭圆的标准方程为．（2）设P（x 1，y1），Q（），由题意知OP的斜率存在，当OP的斜率为0时，|OP|＝，|OQ|＝，∴+＝1，当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为y＝kx，由，得（2k2+1）x2＝2，解得，∴，∴|OP|2＝＝，∵OP⊥OQ，∴直线OQ的方程为y＝﹣，由，得，∴|OQ|2＝，∴＝＝1．综上，＝1．19．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝8，S4＝40．数列{b n}的前n项和为T n，且T n﹣2b n+3＝0，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝，求数列{c n}的前n项和P n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由题意，得，解得，∴a n＝4n，∵T n﹣2b n+3＝0，∴当n＝1时，b1＝3，当n≥2时，T n﹣1﹣2b n﹣1+3＝0，两式相减，得b n＝2b n，（n≥2）﹣1则数列{b n}为等比数列，∴；（Ⅱ）．当n为偶数时，P n＝（a1+a3+…+a n﹣1）+（b2+b4+…+b n）＝．当n为奇数时，n＝1时，P1＝c1＝a1＝4，+c n＝2（n﹣1）+1+（n﹣1）2﹣2+4n＝2n+n2+2n﹣1，（法一）n﹣1为偶数，P n＝P n﹣1（法二）P n＝（a1+a3+…+a n﹣2+a n）+（b2+b4+…+b n﹣1）＝．∴．20．（14分）设函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若直线y＝3x﹣1是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；（Ⅱ）若函数f（x）在[1，e2]上的最大值为1﹣ae（e为自然对数的底数），求实数a的值．【解答】解：（1）由f（x）＝lnx﹣ax，得f′（x）＝﹣a＝3，∴x＝，则f（）＝ln﹣，∴ln﹣＝﹣1，得ln＝0，即a＝﹣2；（2）f′（x）＝﹣a，当a≤时，f′（x）≥0在[1，e2]上恒成立，故f（x）在[1，e2]上为增函数，故f（x）的最大值为f（e2）＝2﹣ae2＝1﹣ae，得a＝（舍）；当＜a＜1时，若x∈[1，]，f′（x）＞0，x∈[，e2]，f′（x）＜0，故f（x）在[1，e2]上先增后减，故f（x）max＝f（）＝﹣lna﹣1由﹣lna﹣1＝1﹣ae，解得a＝；当a≥1时，故当x∈[1，e2]时，f′（x）≤0，f（x）是[1，e2]上的减函数，故f（x）max＝f（1）＝﹣a＝1﹣ae，得a＝（舍）；综上，a＝．。
