高等数学复习资料

《高等数学》课程复习资料一、填空题：1.设2)(xx a a x f -+=，则函数的图形关于 对称。

2.若2sin x x y x x <<=+≤<⎧⎨⎩-20102，则=)2(πy .3.极限limsinsin x x x x→=021。

4.已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则=a ,=b 。

5.已知0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a = 6.设)(22y z y z x ϕ=+，其中ϕ可微，则yz∂∂= 。

7.设2e yz u x =，其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则=∂∂)1,0(xu 。

8.设ϕϕ,),()(1f y x y xy f x z ++=具有二阶连续导数，则=∂∂∂yx z 2 。

9.函数y x xy xy y x f 22),(--=的可能极值点为 和 。

10.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则'y f =(1,0) 。

11.=⎰xdx x 2sin 212.[0,]cos ,sin y x y x π==在区间上曲线之间所围图形的面积为 。

13.若21d e 0=⎰∞+-x kx ，则k = 。

14.设Ｄ：221x y +≤，则由估值不等式得 ⎰⎰≤++≤Ddxdy y x)14(2215.设D 由22,,,y x y x y y ====212围成（0x ≥），则(),Df x y d σ⎰⎰在直角坐标系下的两种积分次序为 和 。

16.设D 为01,01y x x ≤≤-≤≤，则Dfdxdy ⎰⎰的极坐标形式的二次积分为 。

17.设级数∑∞=+121n pn收敛，则常数p 的最大取值范围是 。

18.=+-+-⎰10 642)!3!2!11(dx x x x x 。

19.方程01122=-+-ydy xdx 的通解为 。

第一部分、《基础知识》一、整式运算1. 整式加减法（合并同类项）2. 整式乘法与因式分解（1）法则：nb na mb ma b a n b a m b a n m +++=+++=++)()())(( 如：6)62()3()3)(2(22--=-+-=-+x x x x x x x （2）乘法公式：222222)())((b ab a b a b a b a b a +±=±-=-+ 如：25)5)(5(2-=-+x x x ，96)3(22+-=-x x x ，168)4(22++=+x x x （3）因式分解（实际上是整式乘法的逆运算） A.提取公因式法。

如：)2(22222x xe e x xe x x x -=- B.公式法。

如：)2)(2()2(),1)(1(122+-=--+=-x x x x x xC.十字相乘法，如：)3)(2(652--=+-x x x x 3. 整式除法 (1)整除：61)6)(1(16533)3)(3(3922-=+-+=+---=+-+=+-x x x x x x x x x x x x x （2）带余除法：11111111111222++-=+++-=++-=+x x x x x x x x x 1111223+--=++x x x x x二、分式运算：关键在于通分和约分1. 通分：①同分母分式相加；②异分母分式相加减；③整式与分式相加减； ①同分母分式相加:分母不变，分子相加减。

22221)31()1(13111-=--=--++=--+-+x xx x x x x x x ②异分母分式相加减222222222222)1(4)1(22)1()1(2)1(2212x x x x x x x x +=+-+++=+-++ ③整式与分式相加减232322221111)1(1x x x x x x x x x x x x x x +=+-+=+-++=+- 2. 约分（主要在分式乘除运算中使用） 三、解方程与解方程组 1.解方程举例:3,1,0)3)(1(,0322,0)2(,0442,2,0)2)(2(,0421********=-==-+=--===-=+-=-==+-=-x x x x x x x x x x x x x x x x2.解方程组举例 （1）代入消元法：⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-==-==-+=-+=-+⎩⎨⎧=+-=01,322,2,0)1)(2(021121)2(1)1(1221121222y x y x x x x x x x x x y x x y 方程组的解为：于是，）得：）代入（解：把（ 由此可得，抛物线12-=x y 与直线1=+y x 的交点为（-2，3）和（1，0）。

1、 四则运算法则与复合运算法则（换元法）；2、 初等函数的连续性（代入法）： 00lim ()()x x f x f x →=；3、 两个重要极限：1）0sin lim1x x x→=，【特征：0sin lim 1→=】2）1lim(1)x x e x →∞+=（或1lim(1)n n e n→∞+=，10lim(1)x x x e →+=）；【特征：1lim(1)e →∞+= 】4、 存在准则：1）夹逼准则，2）单调有界准则；5、 洛必达法则：未定式00或∞∞（其它类型未定式：000,,,1,0∞⋅∞∞−∞∞必须转化）； 6、 等价无穷小量替换：只适用于乘除，加减不适用.（当0x →时，21cos 2x x −∼, sin (tan ,arctan ,arcsin ,1,ln(1)),x x x x x e x x −+∼(1)1a x x α+−∼(α为常数)等等)7、 无穷小的性质：有界量与无穷小的乘积、有限个无穷小的和与乘积均为无穷小等 8、 泰勒公式(麦克劳林公式)； 9、 微分中值定理；10、 定积分或导数定义*: 1）*【定积分定义】、设()f x 在[,]a b 上可积，则1lim ()()nb a n i b a b af a i f x dx n n→∞=−−+⋅=∑∫； 2）【导数定义】设()f x 在点a 处可导，则0()()()()lim()lim ()x ah f x f a f a h f a f a f a x a h→→−+−′′==−或.1、 函数()f x 在点0x 处连续000lim ()()lim ()lim ()()x x x x x x f x f x f x f x f x +−→→→⇔=⇔==；2、 间断点：1）第一类间断点：可去，跳跃；2）第二类间断点：无穷，振荡等.3、 连续函数的运算性质：连续函数的加减乘除仍为连续函数；连续函数的复合函数仍为连续函数 4、 初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内处处连续 5、 闭区间上连续函数的性质：1）有界性；2）最大值最小值定理；3）零点定理【闭上连续两端异号零点在开内】；4）介值定理及其推论一、　极限及其求法：二、　函数的连续性《高等数学》(上)期末复习要点1、 定义： 1）0000000()()()()()limlimx x x f x f x f x x f x f x x x x →∆→−+∆−′==−∆； 2）0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→−+∆−′==−∆3）0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x−−−→∆→−+∆−′==−∆4）000()()()f x f x A f x A +−′′′==⇔= 2、 求导法则：【必须牢记18个基本导数公式】 1） 显函数()y f x =：I、四则运算法则： ()[()()],[()()],[],[()]()u x u x v x u x v x ku x v x ′′′′±⋅； II、复合函数的求导法则：设(),()y f u u g x ==都可导，则[()]y f g x =的导数为(){[()]}()()[()]()u g x d f g x f u g x f g x g x dx =′′′′=⋅=⋅，或dy dy du dx du dx=⋅ III、反函数的求导法则：1dy dx dxdy= IV、对数求导法则（特别适用于幂指函数）：()y f x =，ln ||ln |()|y f x == （化简），y y′⇒= 2） 参数方程：()()x x t y y t =⎧⎨=⎩，()dy dydxg t dtdt dx == ，22()()d y dg t dg t dxdt dtdx dx=== ， 其它阶同理可求.3） 隐函数：(,)0F x y =（方程两边对x 求导，注意y 为x 的函数）10x y dyF F dx′′⇒⋅+⋅= 3、 高阶导数：234(4)()234(),(),(),,()n n n d y d y d y d y f x f x f x f x dx dx dx dx′′′′′==== 等4、 微分()dy f x dx ′=5、 关系：可微与可导等价；可导必连续，反之未必.三、　导数与微分1、 曲线的切线与法线方程：00()y y k x x −=−，0()k f x ′=切，01/()k f x ′=−法；2、 微分中值定理：首先必须验证定理的条件是否满足，然后根据定理下结论！1）Rolle 定理：()0()f a b ξξ′=<<；2）Lagrange 中值定理：()()()()()f b f a f b a a b ξξ′−=−<<；估计函数值之差3）Cauchy 中值定理：()()()()()()()f b f a f a bg b g a g ξξξ′−=<<′−；4）Taylor 中值定理：()(1)100000()()()()()()!(1)!k n nkn k f x f f x x x x x x x k n ξξ++==−+−+∑在与之间 3、 洛必达法则：00()()limlim ()()f x f x org x g x ∞∞′′，其它型未定式必须转化 4、 泰勒公式：熟悉5个常见带Peano 型余项的Maclaurin 公式5、 函数的单调性【一阶导符号判定】、极值、最值及其函数图形的凹凸性【二阶导符号判定】、拐点和渐近线 6、 不等式的证明：1）单调性；2）中值定理；3）凹凸性；4）最值 7、 方程根的存在性及唯一性：1）零点定理；2）Rolle 定理；3）单调性；4）极值最值等等 8、 恒等式的证明：若在区间I 上()0f x ′≡，则在区间I 上()f x C ≡2π1、 基本性质：线性，对积分区间的可加性，保号性（特别课后Ex.7：用连续性与不恒等于去等号），定积分中值定理【()()()()baf x dx f b a a b ξξ=−<<∫】，定积分的奇偶对称性、周期性.2、()()f x dx F x C =+∫与Newton-Leibniz 公式：()()bba af x dx F x =∫，（()()F x f x ′=）3、 换元法：1）第一类（凑微分法）；2）第二类：三角代换，倒代换等4、 分部积分法:1）三指动，幂不动；2）幂动，反对不动；3）凑同类所求便再现.5、 积分上限函数的导数：()()x a d f t dt f x dx =∫， ()()[()]()g x a d f t dt f g x g x dx′=⋅∫， 其中()f x 连续，()g x 可导，a 为常数，积分中的表达式()f t 必须与x 无关6、 有理函数的积分【假分式用除法化为多项式加真分式，真分式因式分解化为部分分式】以及可化为有理函数的积分【①三角函数有理式的积分：万能代换tan()2xt = ()x ππ−<<；②简单根式：线性函数或分式函数的根式讨厌要换之，开方不同最小公倍数】7、 反常积分：无穷限的反常积分或瑕积分，广义Newton－Leibniz 公式，特别注意瑕点在积分区间内部的瑕积分四、　导数的应用sin n xdx 】五、积分：不定积分，定积分，反常积分【必须牢记24个基本积分公式以及I n =∫1、 平面图形的面积：1） 直角坐标,x y ：a、 曲边梯形1{(,)|,0()}D x y a x b y f x =≤≤≤≤：()baA f x dx =∫；b、 上、下型{(,)|,()()}D x y a x b g x y f x =≤≤≤≤：[()()]baA f x g x dx =−∫；c、 左、右型{(,)|,()()}D x y c y d g y x f y =≤≤≤≤：[()()]dcA f y g y dy =−∫；d、 设曲边梯形1D 的曲边由参数方程：(),()x x t y y t ==给出，则()()()b aA f x dx y t x t dt βα′==⋅∫∫【先代公式后换元】2） 极坐标,ρθ（极坐标变换cos ,sin x y ρθρθ==）： 设曲边扇形{(,)|,0()}D ρθαθβρρθ=≤≤≤≤，则21()2A d βαρθθ=∫ 2、 体积：CaseA、旋转体的体积：1） X－型或上下型{(,)|,0()}D x y a x b y f x =≤≤≤≤：I、绕x 轴 2()bx aV f x dx π=∫；II、绕y 轴 2()(0)by aV xf x dx a π=≥∫2） Y－型或左右型{(,)|,0()}D x y c y d x g y =≤≤≤≤： I、绕y 轴 2()dy cV g y dy π=∫；II、绕x 轴 2()(0)dx cV yg y dy c π=≥∫CaseB、平行截面面积为已知的立体{(,,)|,(,)}x x y z a x b y z D Ω=≤≤∈，若()x AreaD A x =，则()baV A x dx =∫3、 弧长：由不同方程，代不同公式 1)():()()x x t C t y y t αβ=⎧≤≤⎨=⎩，()s βααβ=<∫；2）:(),C y f x a x b =≤≤，()as a b =<∫；3）:(),C ρρθαθβ=≤≤，()s βαθαβ=<∫六、　定积分的应用【有公式代就代公式，否则用元素法】　（一） 一阶微分方程：(,,)0F x y y ′=，(,)y f x y ′=或(.)(,)0M x y dx N x y dy +=1、 可分离变量：()()f x dx g y dy =，积分之可得通解2、 齐次：()dy ydx xϕ=，令y u x =，可将原方程化为关于,x u 的可分离变量3、 线性：()()dyP x y Q x dx+=，通解为()()[()]P x dx P x dx y e Q x e dx C −∫∫=+∫；或利用常数变易法或利用积分因之法：()()P x dxx e µ∫=4、 伯努利：()()(0,1)n dyP x y Q x y n dx+=≠，令1n z y −=，可将原方程化为关于,x z 的线性． （二） 可降阶的高阶微分方程： I 、()()n yf x =【右端只含x 】：连续积分之；II 、(,)y f x y ′′′=【不显含y 】：令,y p ′=则dpy dx′′=，可将原方程化为关于,x p 的一阶． III 、(,)y f y y ′′′=【不显含x 】：令y p ′=，则dpy p dy′′=，可将原方程化为关于,y p 的一阶 （三） 概念与理论1、 概念：阶，解（特解，通解），初始条件，初值问题，积分曲线2、 线性微分方程的解的结构：1）齐次：()()0y P x y Q x y ′′′++=，通解：1122()()y C y x C y x =+，其中12(),()y x y x 为该方程线性无关的两个解． 2）非齐次：()()()y P x y Q x y f x ′′′++= 通解：()*()y Y x y x =+，其中()Y x 为对应的齐次方程的通解，*()y x 为原方程的一个特解． 3）设12*(),*()y x y x 分别为1()()()y P x y Q x y f x ′′′++= 与2()()()y P x y Q x y f x ′′′++=的特解，则12**()*()y y x y x =+为12()()()()y P x y Q x y f x f x ′′′++=＋的特解．七、　微分方程附录I——基本求导公式：1221(1)()0(2)();(3)();(4)(ln ||);1(5)()ln ;(6)(log );(01)ln (7)(sin )cos ;(8)(cos )sin ;(9)(tan )sec ;(10)(cot )csc ;(11)(sec )sec tan ;(12)x x x x a C C x x e e x xa a a x a a x ax x x x x x x x x x x αααα−′′′′====′′==>≠′′′′==−==−′=，为常数；，为常数常数且(csc )csc cot ;(13)(arcsin )(14)(arccos )(17)(sh )ch ;(18)(ch )sh .x x x x x x x x x ′′=−=′=′′==附录II——基本积分公式：122(1)1(2)1;(3)ln ||;1(4);(5)01;ln (6)sin cos ;(7)cos sin ;(8)sec tan ;(9)csc cot ;(10)sec tan sec x x x xkdx kx C k x x dx C dx x C x a e dx e C a dx C a a a xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C αααα+=+=+≠−=++=+=+>≠=−+=+=+=−+=+∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫，为常数；，常数，常数且;(11)csccot csc;(12)tan ln |cos |;(13)cot ln |sin |;(14)sec ln |sec tan |;(15)csc ln |csc cot |;(16);(18)x xdx x C xdx x C xdx x C xdx x x C xdx x x C C =−+=−+=+=++=−+∫∫∫∫∫2200;(20)(21)ln(;(22)ln ||;(23)sh ch ;(24)ch sh .1331,2422sin cos n n n C x C x C xdx x C xdx x C n n n nI xdx xdx πππ=+=++=+=+−−⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎞−===⎜⎟⎝⎠∫∫∫∫∫ 1342,253n n n n n n ⎧⎪⎪⎨−−⎪⋅⋅⋅⋅⎪−⎩ 为正偶数；为大于1的正奇数.。

全国教师教育网络联盟专科起点升本科高等数学复习资料目录第一章函数 (1)一、内容提要 (1)二、典型例题 (2)第二章极限与连续 (5)一、内容提要 (5)二、典型例题 (7)第三章导数与微分 (12)一、内容提要 (12)二、典型例题 (14)第四章导数的应用 (18)一、内容提要 (18)二、典型例题 (20)第五章不定积分 (25)一、内容提要 (25)二、典型例题 (26)第六章定积分及其应用 (30)一、内容提要 (30)二、典型例题 (31)第七章多元函数微积分 (34)一、内容提要 (34)二、典型例题 (37)第一章函数一、内容提要1、函数（1）定义：设有两个变量x与y。

当变量x在给定的某一变域中任意取定一值时，另一变量y就按某一确定的法则有一个确定值与x的这个值相对应，那末变量y称为变量x的函数，记作y=f(x)。

（2）定义中两要素：定义域与对应法则。

定义域：自变量x的取值范围。

对应法则：自变量x与因变量y的对应规则。

（3）注意两点：①两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同时，才能说它们是相同的函数。

②在不同区间上用不同数学表达式来表示的函数称为分段函数。

分段函数是一个函数而不是几个函数。

2、反函数（1）定义：设已知y是x的函数y=f(x)，如果将y当作自变量，x当函数，则由关系式y=f(x)所确定的函数x=ϕ(y)就叫做函数f(x)的反函数，由于通常总把自变量记作x，函数记作y，因此习惯上称y=ϕ(x)为函数f(x)的反函数，记作f -1(x)，而f(x)叫做直接函数。

（2）附注：反函数的定义域与直接函数的值域相同。

3隐函数定义:凡能够由方程F(x,y)=0确定的函数关系，称为隐函数。

4、函数的简单性质有界性，奇偶性，单调性与周期性。

5、复合函数（1）定义：设y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数u=ϕ(x)，而且当x在某一区间I 取值时相应的u值可使y有定义，则称y是x的一个定义于区间I上的复合函数，记作y=f[ϕ(x)]。

高等数学复习第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达）2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。

大一高等数学复习资料（二）引言概述：大一高等数学是大学数学课程中的基础课程，为了帮助大家更好地复习该门课程，本文提供了一份大一高等数学复习资料（二）。

通过该资料的学习，可以帮助大家复习和巩固高等数学的重要概念和知识点，为接下来的学习打下坚实的基础。

正文：1. 微分学复习：a. 重要概念回顾：导数和微分的定义、基本导数公式；b. 导数的应用：求函数的极值与最值、函数图像的描绘；c. 高阶导数与泰勒展开式：求函数的高阶导数、利用泰勒公式研究函数的性质。

2. 积分学复习：a. 定积分与不定积分：定义及性质、基本积分公式；b. 积分方法与技巧：换元法、分部积分法、三类换元法；c. 积分应用：求函数的面积、曲线长度、曲线包围的面积。

3. 微分方程复习：a. 常微分方程与解法：一阶线性微分方程、可分离变量的微分方程；b. 高阶线性微分方程：二阶齐次线性微分方程、二阶非齐次线性微分方程；c. 变量分离和常系数齐次线性微分方程。

4. 空间解析几何复习：a. 点、线、面的方程与性质；b. 点到直线和点到平面的距离计算；c. 平面与直线的位置关系、两平面的位置关系。

5. 矩阵与行列式复习：a. 矩阵的基本概念：矩阵的定义、矩阵的运算；b. 行列式的定义与性质：二阶、三阶行列式的计算；c. 逆矩阵与矩阵的秩：逆矩阵的判定、矩阵秩的计算。

总结：通过学习本文提供的大一高等数学复习资料（二），我们可以更好地复习和巩固高等数学的重要概念和知识点，为接下来的学习打下坚实的基础。

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高等数学复习提纲第一章 函数与极限 复习重点： 1、求极限1）四则运算法则 注意：四则运算法则适用的函数个数是有限个；四则运算法则的条件是充分条件有理分式函数求极限公式：2）两个重要极限))01(()11(lim )1(lim )sin (1sin lim1100+=+=+=∞→→→e xx x x x x xx x3）两个准则准则一：准则二：单调有界数列必有极限单调递增有上界的数列其极限为最小的上界（上确界） 单调递减有下界的数列其极限为最大的下界（下确界） 4）无穷小量a.无穷小量的定义，注意其是变量，谈及无穷小量时一定要注明自变量的变化趋势。

唯一的例外是0永远是无穷小量；b.掌握何为高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小；c.利用无穷小量求极限无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量等价无穷小量替代求极限 注意：下面给出关系式是在0→x 时才成立 等价无穷小量替代求极限只在积、商时成立，加减时不行2、连续性和间断点 1）连续定义)()(lim ,0lim 00x f x f y x x x ==∆→→∆n n n n m m m m x b x b x b x b a x a x a x a ++++++++----∞→11101110lim ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>∞<==++++++++=----∞→nm n m m n b a xb x x b x x b x x b x a x x a x x a x x a n nn n n n n n n m n m n m n m x 0lim 0011101110 az y N n z x y n n n n n n n ==∈∀≤≤∞→∞→lim lim )(2 )1(若ax x n n n =∞→lim ,}{且有极限则n x x x x a x a x x x e x x x x x x nx x~11~)1ln(ln ~1~tan ~1~arcsin 21~cos 1~sin 2-++--- 要求会用定义讨论分段函数分段点的连续性2）间断点间断点的疑似点：使函数没有意义的点和分段函数分段点要求：判断函数的间断点，若是第一类的要写出是跳跃还是可去，第二类只需写出是第二类间断点即可。

《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。

高等数学复习资料大全高等数学复习资料大全一、函数的极限1、函数极限的定义：当函数f(x)在x趋近于某一值时，函数值无限接近于某一确定的数值A，则称A为函数f(x)在x趋近于这一值时的极限。

2、函数极限的性质：（1）唯一性：若极限存在，则唯一。

（2）局部有界性：在极限附近的函数值有界。

（3）局部保号性：在极限附近，函数值的符号保持不变。

（4）归结原则：若在某一区间内，f(x)恒等于A，则A为f(x)在该区间内的极限。

3、极限的四则运算：设、存在，则、也存在，且、、、。

4、复合函数的极限：设、存在，且g(x)在u=a处连续，则、存在，且、。

5、无穷小与无穷大：（1）无穷小：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的极限为0，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷小。

（2）无穷大：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷大。

6、两个重要极限：（1）sin x / x = 1 （x趋近于0）；（2）(1+k)^ x / kx = e^k （k为常数且k趋近于0）。

二、导数与微分1、导数的定义：设y=f(x)，若增量 / 趋于0时，之间的比值也趋于0，则称f(x)在处可导，称此比值为f(x)在处的导数。

2、导数的几何意义：函数在某一点处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。

3、微分的定义：设y=f(x)，若函数的增量可以表示为，其中A不依赖于，则称在处可微分，为f(x)在处的微分。

4、导数与微分的关系：若函数在某一点处可导，则在该点处必可微分；反之，若函数在某一点处可微分，则在该点处不一定可导。

5、导数的计算方法：（1）四则运算导数公式；（2）复合函数的导数；（3）隐函数求导法；（4）对数求导法；（5）高阶导数。

三、不定积分1、不定积分的定义：设f(x)是一个函数，是一个常数，则对f(x)进行积分所得的结果称为f(x)的不定积分，记为或。

2、不定积分的性质：（1）线性性质：和都存在，且；（2）恒等性质：都存在，且。

高等数学基础复习资料一.选择题1.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( )A. (0，5)B. (1,5]C. (1，5)D. (1，+∞) 2.函数f(x)=21xx -的定义域是（ ）A.（-∞，+∞）B.（0，1）C.（-1，0）D.（-1，1）3.函数45)(2+-=x x x f 的定义域为 （ ）A. (]1,∞-B. [)+∞,4C. (][)+∞⋃∞-,41,D. ()()+∞⋃∞-,41, 4.下列函数中为奇函数的是（ ）A.y=cos 3xB.y=x 2+sinxC.y=ln(x 2+x 4) D.y=1e 1e x x +-5.函数f(x)=1+xsin2x 是（ ）A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.非奇非偶函数 6.=+∞→xx x)21(lim （ ） A. e -2 B. e -1 C. e 2 D.e 7.=→2xtan3xlimx （ ） A.∞B.23C.0D.18.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00sin )(x ax xx x f 在x=0处连续，则常数a=（ ）A.0B.1C.2D.39.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=0011)(x k x x x x x f ， ， 在0=x 点处连续，则k 等于 A.0； B.1； C. 21； D. 2；10.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0024)(x k x x x x f ，　，在点0=x 处连续，则k 等于 ( )A. 0B. 41 C. 21 D. 211.设y=sin 2x ，则y ′=（ ） A.sin2xB.2sinxC.cos2xD.cos 2x12.y=e x (sinx-cosx)，则='y ( ) A.e x (-sinx+cosx)B.2e x sinxC.2e x cosxD.e x sinx13.设y=2x +e 2,则y ′=（ ）Ａ.x2x-1 B.2x ln2+e 2 C.2x ln2 D.2x 14.设y=sin(7x+2),则=dxdy( ) A. 7sin(7x+2) B.7cos(7x+2) C. cos(7x+2) D.sin(7x+2)15.已知曲线x x y -=2上的点M 处的切线平行于直线x+y=1，则M 点的坐标为（ ） A.（0，1） B.（1，0） C.（1，1） D.（0，0） 16.曲线y=lnx 的与直线y=x 平行的切线方程为（ ） A.x-y=0B.x-y-1=0C.x-y+1=0D.x-y+2=017.函数)1ln(2x y +=的单调减少区间是（ ）A.)0,(-∞B. ),(+∞-∞C.),0(+∞D.（－1，1） 18.函数y=x 2-2x+5的单调增加的区间是（ ） A.),1(+∞B.)1,(-∞C.),(+∞-∞D.),2(+∞19.函数x e y x arctan +=在区间[]1,1-上 ( ) A.单调减少 B.单调增加 C.无最小值 D.无最大值 20.函数5x 5e 的一个原函数为（ ） A. e 5xB. 5e 5xC.x 5e 51D. –e 5x21.1x 31+的一个原函数是（ ） A. ln(3x+1)B.2)1x 3(1+-C.2)1x 3(21+D.)1x 3ln(31+ 22.设⎰+=C xxdx x f ln )(，则=)(x f （ ）A.21ln x x - B.2)(ln 21x C.x ln ln D.2ln 1x x -23.若C e 2dx )x (f 2x +=⎰，则f(x)=( ).A.2x eB.22xe C.212xeD.424．下列微分方程中为一阶线性方程的是 ( ) A. y x e y +=' B.0ln ln =+xdy y ydx x C. xx y x y s i n 1'=+D.x y y ='+''2 25.=⎰-22cos ππxdx x （ C ）A. π32B.34 C. 0 D.32 26.⎰-=ππxdx x sin 2（ D ）A.2B.1C.-2D.027.⎰ππ-=+dx xcos 21xsin 3（ A ） A.0 B.1 C.-1 D.2 28.广义积分⎰+∞1xdx（ B ）A.收敛B.发散C.敛散性不能确定D.收敛于129.下列广义积分中，收敛的是（ D ） A.⎰∞1dx x B.⎰∞11dx xC.⎰∞11dx xD.⎰∞121dx x二.填空题1.设函数f(x)=⎩⎨⎧>+≤0x ,1x 20x ,x 2则f(1)= 3 . 2.设函数f(x)=x 2-3x+2，则f(x+1)=256x x -+3.已知函数c x ax y ++=22在点1=x 处取极大值2，则=a ___-1____，=c ___1____．4.若c )x (f lim x =+∞→，则曲线y=f(x)有渐近线___y c =________.5.C x x dx x x ++=+⎰ln 2)1(26.)1(____21____2x d xdx --=． 7.微分方程0y dxdy =-的通解为__x y Ce =_________.8.微分方程2y x 3dy dx +-=0的通解是_____ 132y Cx =- _. 9.已知函数f(x)=⎰-=⎩⎨⎧>+≤-21dx )x (f 0x ,x 10x ,x 1则__112_________. 10.设==-⎰x dt t x则,6)12(13或2- .三.解答题1 64lim 222-+-→x x x x 解：原式22(2)(2)24lim lim (3)(2)35x x x x x x x x →→+-+===+-+2.11lim 21--→x x x 解：原式11224x x →→====⋅ 3. xe x x 1lim 20-→ 解：原式2022lim111x x e →=== 4. x x e x x sin cos lim 0-→ 解：原式0sin 10lim1cos 1x x e x x →++=== 5.x xy sin 1cos +=；解：22sin (1sin )cos cos (1sin )1(1sin )(1sin )1sin x x x x x y x x x-⋅+-⋅-+'===-+++ 6. +=xxe y xx sin 解：22cos sin cos sin (1)x x xx x x x x x y e xe e x x x ⋅-⋅-'=++=++ 7.方程0=+-y x e e xy 确定y 是x 的隐函数, 求0='x y ．解：方程两边对x 求导: 0xyy xy e e y ''+-+⋅=解得：x y e yy x e -'=+ 当0x =时，0y =于是000|10x e y e=-'==+ 8.求函数f(x)=x 3-3x 2-9x+5在[-2，4]上的最大值与最小值。