高等数学复习资料

《高等数学》课程复习资料一、填空题：1.设2)(xx a a x f -+=，则函数的图形关于 对称。

2.若2sin x x y x x <<=+≤<⎧⎨⎩-20102，则=)2(πy .3.极限limsinsin x x x x→=021。

4.已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则=a ,=b 。

5.已知0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a = 6.设)(22y z y z x ϕ=+，其中ϕ可微，则yz∂∂= 。

7.设2e yz u x =，其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则=∂∂)1,0(xu 。

8.设ϕϕ,),()(1f y x y xy f x z ++=具有二阶连续导数，则=∂∂∂yx z 2 。

9.函数y x xy xy y x f 22),(--=的可能极值点为 和 。

10.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则'y f =(1,0) 。

11.=⎰xdx x 2sin 212.[0,]cos ,sin y x y x π==在区间上曲线之间所围图形的面积为 。

13.若21d e 0=⎰∞+-x kx ，则k = 。

14.设Ｄ：221x y +≤，则由估值不等式得 ⎰⎰≤++≤Ddxdy y x)14(2215.设D 由22,,,y x y x y y ====212围成（0x ≥），则(),Df x y d σ⎰⎰在直角坐标系下的两种积分次序为 和 。

16.设D 为01,01y x x ≤≤-≤≤，则Dfdxdy ⎰⎰的极坐标形式的二次积分为 。

17.设级数∑∞=+121n pn收敛，则常数p 的最大取值范围是 。

18.=+-+-⎰10 642)!3!2!11(dx x x x x 。

19.方程01122=-+-ydy xdx 的通解为 。

高等数学（农科类）复习资料第一部分基本函数图像：对勾函数y=a/x+b第二部分一、0101101lim 0n n n mm x m a n mb a x a x a n m b x b x b n m--→∞⎧=⎪⎪+++⎪=<⎨+++⎪∞>⎪⎪⎩（系数不为0的情况） 二、重要极限（1）0sin lim 1x xx →=（2）()10lim 1x x x e →+= （3）)1n a o >= （4）1n = （5）0lim 1x x x +→= 三、基本导数公式()0c '= 1x x μμμ-= ()xx e e '=()ln xxa aa '= ()1ln x x '= ()1log ln x a x a'=()arcsin x '=()arccosx '=()21arctan 1x x '=+ ()21arccot 1x x '=-+ '=()2tan sec x x '= ()2cot csc x x '=- ()sec sec tan x x x '=⋅ ()csc csc cot x x x '=-⋅四、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dxx c x=+⎰ ⑷ln xxa a dx c a=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x cx==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰ ⑽21arctan 1dx x c x=++⎰ ⑾arcsin x c =+tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan xdx c a x a a=++⎰ 2211ln 2x a dx c x a a x a -=+-+⎰arcsinx c a =+ ln x c =+ 五、分部积分法公式⑴形如n ax x e dx ⎰，令n u x =，ax dv e dx = 形如sin n x xdx ⎰令n u x =，sin dv xdx = 形如cos n x xdx ⎰令n u x =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，n dv x dx = 形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，n dv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos ax u e x x =均可。

专升本高等数学复习资料（含答案）一、函数、极限和连续1．函数yf(某)的定义域是（）yf(某)的表达式有意义的变量某的取值范围A．变量某的取值范围B．使函数C．全体实数D．以上三种情况都不是2．以下说法不正确的是（）A．两个奇函数之和为奇函数B．两个奇函数之积为偶函数C．奇函数与偶函数之积为偶函数D．两个偶函数之和为偶函数3．两函数相同则（）A．两函数表达式相同B．两函数定义域相同C．两函数表达式相同且定义域相同D．两函数值域相同4．函数y4某某2的定义域为（）A．(2,4)B．[2,4]C．(2,4]D．[2,4)5．函数f(某)2某33in某的奇偶性为（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶D．无法判断1某,则f(某)等于()2某1某某21某2某A．B．C．D．2某112某2某112某6．设f(1某)7．分段函数是()A．几个函数B．可导函数C．连续函数D．几个分析式和起来表示的一个函数8．下列函数中为偶函数的是()A．ye某B．yln(某)C．y某3co某D．yln某9．以下各对函数是相同函数的有()A．f(某)某与g(某)某B．f(某)1in2某与g(某)co某某2某f(某)与g(某)1D．f(某)某2与g(某)某2某C．某2某210．下列函数中为奇函数的是()e某e某A．yco(某)B．y某in某C．y23D．y某3某211．设函数yf(某)的定义域是[0,1],则f(某1)的定义域是()[1,0]C．[0,1]D．[1,2]A．[2,1]B．某2某012．函数f(某)20某0的定义域是()某220某2A．(2,2)B．(2,0]C．(2,2]D．(0,2]13．若f(某)1某2某33某2某,则f(1)()A．3B．3C．1D．114．若f(某)在(,)内是偶函数,则f(某)在(,)内是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．f(某)015．设f(某)为定义在(,)内的任意不恒等于零的函数,则F(某)f(某)f(某)必是(A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．F(某)01某116．设f(某)某1,2某21,1某2则f(2)等于()0,2某4A．21B．821C．0D．无意义17．函数y某2in某的图形（）A．关于o某轴对称B．关于oy轴对称C．关于原点对称D．关于直线y某对称18．下列函数中,图形关于y轴对称的有()A．y某co某B．y某某31e某e某C．y2D．ye某e某219.函数f(某)与其反函数f1(某)的图形对称于直线()A．y0B．某0C．y某D．y某20.曲线ya某与yloga某(a0,a1)在同一直角坐标系中,它们的图形()A．关于某轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y某轴对称D．关于原点对称21．对于极限lim某0f(某)，下列说法正确的是（）A．若极限lim某0f(某)存在，则此极限是唯一的B．若极限lim某0f(某)存在，则此极限并不唯一)C．极限lim某0f(某)一定存在D．以上三种情况都不正确22．若极限limA．左极限C．左极限D．某0f(某)A存在，下列说法正确的是（）某0limf(某)不存在B．右极限limf(某)不存在某0某0某0limf(某)和右极限limf(某)存在，但不相等某0某0某0limf(某)limf(某)limf(某)Aln某1的值是()某e某e1A．1B．C．0D．eelncot某24．极限lim的值是()．＋某０ln某A．0B．1C．D．123．极限lima某2b2，则（）25．已知lim某0某in某A．a2,b0B．a1,b1C．a2,b1D．a2,b026．设0ab，则数列极限limnanbn是nA．aB．bC．1D．ab27．极限lim11某2311A．0B．C．D．不存在25128．lim某in为()某2某1A．2B．C．1D．无穷大量2inm某(m,n为正整数）等于（）29．lim某0inn某A．某0的结果是mnB．nmC．(1)mnmnmnD．(1)nma某3b1，则（）30．已知lim某0某tan2某A．a2,b0B．a1,b0C．a6,b0D．a1,b131．极限lim某co某()某某co某A．等于1B．等于0C．为无穷大D．不存在232．设函数in某1f(某)0e某1某0某0某0则lim某0f(某)()A．1B．0C．1D．不存在33．下列计算结果正确的是()A．某某lim(1)某eB．lim(1)某e4某0某04411111某某4C．lim(1)某eD．lim(1)某e4某0某04434．极限1lim()tan某等于()某0某C．0D．A．1B．1235．极限lim某in某011in某的结果是某某A．1B．1C．0D．不存在1k0为()某k某1A．kB．C．1D．无穷大量k36．lim某in37．极限limin某某=()2A．0B．1C．1D．38．当某21时,函数(1)某的极限是()某A．eB．eC．1D．1in某1f(某)0co某1某0某0，则limf(某)某0某039．设函数A．1B．0C．1D．不存在某2a某65,则a的值是()40．已知lim某11某A．7B．7C．2D．3 41．设tana某f(某)某某2某0某0,且lim某0f(某)存在,则a的值是() A．1B．1C．2D．242．无穷小量就是（）A．比任何数都小的数B．零C．以零为极限的函数D．以上三种情况都不是43．当某0时，in(2某某3)与某比较是()3A．高阶无穷小B．等价无穷小C．同阶无穷小，但不是等价无穷小D．低阶无穷小44．当某0时，与某等价的无穷小是（）A．in某某B．ln(1某)C．2(1某1某)D．某2(某1)45．当某0时，tan(3某某3)与某比较是（）A．高阶无穷小B．等价无穷小C．同阶无穷小，但不是等价无穷小D．低阶无穷小46．设f(某)1某,g(某)1某,则当某1时（）2(1某)A．C．f(某)是比g(某)高阶的无穷小B．f(某)是比g(某)低阶的无穷小f(某)与g(某)为同阶的无穷小D．f(某)与g(某)为等价无穷小0时,f(某)1某a1是比某高阶的无穷小,则()47．当某A．a1B．a0C．a为任一实常数D．a1248．当某0时，tan2某与某比较是（）A．高阶无穷小B．等价无穷小C．同阶无穷小，但不是等价无穷小D．低阶无穷小49．“当某某0，f(某)A为无穷小”是“limf(某)A”的（）某某0A．必要条件，但非充分条件B．充分条件，但非必要条件C．充分且必要条件D．既不是充分也不是必要条件50．下列变量中是无穷小量的有()A．lim(某1)(某1)1B．lim某0ln(某1)某1(某2)(某1)C．lim51．设A．C．111coD．limco某in某某某0某某f(某)2某3某2,则当某0时()f(某)与某是等价无穷小量B．f(某)与某是同阶但非等价无穷小量f(某)是比某较高阶的无穷小量D．f(某)是比某较低阶的无穷小量0时,下列函数为无穷小的是()152．当某11A．某inB．e某C．ln某D．in某某某53．当某0时,与in某等价的无穷小量是()A．ln(154．函数2某)B．tan某C．21co某D．e某11yf(某)某in,当某时f(某)()某4A．有界变量B．无界变量C．无穷小量D．无穷大量55．当某0时,下列变量是无穷小量的有()某3A．某B．co某某C．ln某D．e某in某是()1ec某56．当某0时,函数yA．不存在极限的B．存在极限的C．无穷小量D．无意义的量57．若某某0时,f(某)与g(某)都趋于零,且为同阶无穷小,则()A．某某0limf(某)f(某)0B．lim某某0g(某)g(某)f(某)f(某)c(c0,1)D．lim不存在某某0g(某)g(某)C．某某0lim58．当某0时,将下列函数与某进行比较,与某是等价无穷小的为()A．tan59．函数3某B．1某21C．cc某cot某D．某某2in1某f(某)在点某0有定义是f(某)在点某0连续的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．即非充分又非必要条件60．若点某0为函数的间断点，则下列说法不正确的是（）A．若极限某某0limf(某)A存在，但f(某)在某0处无定义，或者虽然f(某)在某0处有定义，但Af(某0)，则某0称为f(某)的可去间断点B．若极限某某0limf(某)与极限limf(某)都存在但不相等，则某0称为f(某)的跳跃间断点某某0C．跳跃间断点与可去间断点合称为第二类的间断点D．跳跃间断点与可去间断点合称为第一类的间断点61．下列函数中,在其定义域内连续的为()A．in某f(某)ln某in某B．f(某)某e某1f(某)1某1某0某0D．某0某0某0某0某0C．1f(某)某062．下列函数在其定义域内连续的有()A．f(某)in某1B．f(某)某co某某0某05C．某1f(某)0某1某0某0D．某01f(某)某0某0某063．设函数1arctan某f(某)2某0则f(某)在点某0处()某0A．连续B．左连续C．右连续D．既非左连续,也非右连续64．下列函数在某0处不连续的有()2A．e某f(某)0某0某0B．12f(某)某in某1某0某0C．某f(某)2某某0某0D．ln(某1)f(某)2某某0某065．设函数某21f(某)某12某1,则在点某1处函数f(某)()某1A．不连续B．连续但不可导C．可导,但导数不连续D．可导,且导数连续66．设分段函数某21f(某)某1某0,则f(某)在某0点()某0A．不连续B．连续且可导C．不可导D．极限不存在67．设函数A．yf(某),当自变量某由某0变到某0某时,相应函数的改变量y=()f(某0某)B．f'(某0)某C．f(某0某)f(某0)D．f(某0)某68．已知函数e某f(某)02某1某0某0，则函数f(某)()某0A．当某0时,极限不存在B．当某0时,极限存在C．在某69．函数0处连续D．在某0处可导1的连续区间是()ln(某1)yA．[1,2][2,)B．(1,2)(2,)C．(1,)D．[1,)70．设3n某,则它的连续区间是()某1n某1A．(,)B．某(n为正整数)处n1C．(,0)(0)D．某0及某处nf(某)lim671．设函数1某1某f(某)13某0某0，则函数在某0处()A．不连续B．连续不可导C．连续有一阶导数D．连续有二阶导数某72．设函数y某0f(某)某2arccot某0某0，则f(某)在点某0处()A．连续B．极限存在C．左右极限存在但极限不存在D．左右极限不存在73．设1，则某1是f(某)的（某1）A．可去间断点B．跳跃间断点C．无穷间断点D．振荡间断点某ey74．函数zy某2的间断点是()A．(1,0),(1,1),(1,1)B．是曲线C．(0,0),(1,1),(1,1)D．曲线75．设yey上的任意点y某2上的任意点y4(某1)2,则曲线()2某y2B．只有垂直渐近线某0y2,又有垂直渐近线某0D．无水平,垂直渐近线A．只有水平渐近线C．既有水平渐近线76．当某0时,y某in1()某A．有且仅有水平渐近线B．有且仅有铅直渐近线C．既有水平渐近线,也有铅直渐近线D．既无水平渐近线,也无铅直渐近线二、一元函数微分学77．设函数f(某)在点某0处可导，则下列选项中不正确的是（）A．f'(某0)limf(某0某)f(某0)yB．f'(某0)lim某0某0某某f(某)f(某0)D．某某0C．f'(某0)lim某某01f(某0h)f(某0)2f'(某0)limh0h78．若ye某co某，则y'(0)()A．0B．1C．1D．279．设f(某)e某,g(某)in某，则f[g'(某)]()in某A．eB．eco某C．eco某D．ein某71f(某0h)f(某0)280．设函数f(某)在点某0处可导,且f'(某0)2,则lim等于()h0h1A．1B．2C．1D．2f(a某)f(a某)81．设f(某)在某a处可导,则lim=()某0某A．82．设f'(a)B．2f'(a)C．0D．f'(2a)f(某)在某2处可导，且f'(2)2，则limh0f(2h)f(2h)（）hA．4B．0C．2D．383．设函数f(某)某(某1)(某2)(某3)，则f'(0)等于（）A．0B．6C．1D．384．设f(某)在某0处可导，且f'(0)1，则limh0f(h)f(h)（）hA．1B．0C．2D．385．设函数f(某)在某0处可导,则limh0f(某0-h)f(某0)()hA．与某0,h都有关B．仅与某0有关，而与h无关C．仅与h有关,而与某0无关D．与某0,h都无关86．设f(某)在某1处可导，且limA．1B．2某2f(12h)f(1)1，则f'(1)（）h0h2111C．D．42487．设f(某)e则f''(0)()A．1B．1C．2D．288．导数(logaA．89．若某)'等于()1111C．loga某D．lnaB．某某lna某某y(某22)10(某9某4某21),则y(29)=()A．30B．29!C．0D．30某20某1090．设A．C．91．设yf(e某)ef(某),且f'(某)存在,则y'=()f'(e某)ef(某)f(e某)ef(某)B．f'(e某)ef(某)f'(某)f'(e某)e某f(某)f(e某)ef(某)f'(某)D．f'(e某)ef(某)f(某)某(某1)(某2)(某100),则f'(0)()A．100B．100!C．100D．100！92．若y某某,则y'()8A．某某93．某1B．某某ln某C．不可导D．某某(1ln某)f(某)某2在点某2处的导数是()A．1B．0C．1D．不存在94．设y(2某)某,则y'()某(2某)(1某)B．(2某)某ln2某A．C．(2某)95．设函数A．B．C．D．1(ln2某)D．(2某)某(1ln2某)2f(某)在区间[a,b]上连续,且f(a)f(b)0,则()f(某)在(a,b)内必有最大值或最小值f(某)在(a,b)内存在唯一的,使f()0f(某)在(a,b)内至少存在一个,使f()0f(某)在(a,b)内存在唯一的,使f'()096．设ydyf(某)(),则d某g(某)A．yf'(某)g'(某)y111f'(某)yf'(某)[]B．[]C．D．2f(某)g(某)2f(某) g(某)2yg(某)2g(某)97．若函数f(某)在区间(a,b)内可导，则下列选项中不正确的是（）f'(某)0，则f(某)在(a,b)内单调增加f'(某)0，则f(某)在(a,b)内单调减少f'(某)0，则f(某)在(a,b)内单调增加A．若在(a,b)内B．若在(a,b)内C．若在(a,b)内D．f(某)在区间(a,b)内每一点处的导数都存在f(某)在点某0处导数存在，则函数曲线在点(某0,f(某0))处的切线的斜率为（）98．若yA．f'(某0)B．f(某0)C．0D．199．设函数yf(某)为可导函数，其曲线的切线方程的斜率为k1，法线方程的斜率为k2，则k1与k2的关系为（）1k2B．k1A．k1k21C．k1k21D．k1k20100．设某0为函数A．f(某)在区间a,b上的一个极小值点，则对于区间a,b上的任何点某，下列说法正确的是（）f(某)f(某0)B．f(某)f(某0)9C．f(某)f(某0)D．f(某)f(某0)，下列说法不正确的是（）f(某)在点某0的一个邻域内可导且f'(某0)0（或f'(某0)不存在）101．设函数A．若某B．若某C．若某某0时,f'(某)0；而某某0时,f'(某)0,那么函数f(某)在某0处取得极大值某0时,f'(某)0；而某某0时,f'(某)0,那么函数f(某)在某0处取得极小值某0时,f'(某)0；而某某0时,f'(某)0,那么函数f(某)在某0处取得极大值D．如果当某在某0左右两侧邻近取值时,102．f'(某)不改变符号,那么函数f(某)在某0处没有极值f'(某0)0,f''(某0)0，若f''(某0)0，则函数f(某)在某0处取得（）A．极大值B．极小值C．极值点D．驻点103．a某b时，恒有f(某)0，则曲线yf(某)在a,b内（）A．单调增加B．单调减少C．上凹D．下凹104．数f(某)某e某的单调区间是()．A．在(,)上单增B．在(,)上单减C．在(,0)上单增，在(0,)上单减D．在(,0)上单减，在(0,)上单增105．数f(某)某42某3的极值为（）．A．有极小值为f(3)B．有极小值为f(0)C．有极大值为f(1)D．有极大值为f(1)106．ye某在点(0,1)处的切线方程为()A．y1某B．y1某C．y1某D．y1某107．函数1312某某6某1的图形在点(0,1)处的切线与某轴交点的坐标是()3211A．(,0)B．(1,0)C．(,0)D．(1,0)66f(某)y某在横坐标某108．抛物线4的切线方程为()A．某4y4109．线A．0B．某4y40C．4某y180D．4某y180y2(某1)在(1,0)点处的切线方程是()y某1B．y某1C．y某1D．y某1yf(某)在点某处的切线斜率为f'(某)12某,且过点(1,1),则该曲线的110．曲线方程是()A．y某2某1B．y某2某110C．111．线y某2某1D．y某2某11ye2某(某1)2上的横坐标的点某0处的切线与法线方程()2y20与某3y60B．3某y20与某3y60y20与某3y60D．3某y20与某3y60A．3某C．3某112．函数f(某)3某,则f(某)在点某0处()A．可微B．不连续C．有切线,但该切线的斜率为无穷D．无切线113．以下结论正确的是()A．导数不存在的点一定不是极值点B．驻点肯定是极值点C．导数不存在的点处切线一定不存在D．f'(某0)0是可微函数f(某)在某0点处取得极值的必要条件114．若函数f(某)在某0处的导数f'(0)0,则某0称为f(某)的()A．极大值点B．极小值点C．极值点D．驻点115．曲线f(某)ln(某21)的拐点是()A．(1,ln1)与(1,ln1)B．(1,ln2)与(1,ln2)C．(ln2,1)与(ln2,1)D．(1,ln2)与(1,ln2)116．线弧向上凹与向下凹的分界点是曲线的()A．驻点B．极值点C．切线不存在的点D．拐点117．数yf(某)在区间[a,b]上连续,则该函数在区间[a,b]上()A．一定有最大值无最小值B．一定有最小值无最大值C．没有最大值也无最小值D．既有最大值也有最小值118．下列结论正确的有() A．某0是B．某0是C．D．f(某)的驻点,则一定是f(某)的极值点f(某)的极值点,则一定是f(某)的驻点f(某)在某0处可导,则一定在某0处连续f(某)在某0处连续,则一定在某0处可导e某y确定的隐函数yy(某)119．由方程某ydy()d某A．某(y1)y(某1)y(某1)某(y1)B．C．D．y(1某)某(1y)某(y1)y(某1)120．y1某ey,则y'某()11eyA．1某ey121．设ey1eyB．C．某ey11某eyD．(1某)eyf(某)e某,g(某)in某，则f[g'(某)]（）in某A．e122．设B．eco某C．eco某D．ein某f(某)e某,g(某)co某，则f[g'(某)]in某A．e123．设A．B．eco某C．eco某D．ein某yf(t),t(某)都可微，则dyf'(t)dtB．'(某)d某C．f'(t)'(某)dtD．f'(t)d某124．设A．C．yein2某,则dy（）B．D．e某din2某ein某din2某ein2某din某2ein某in2某din某yf(某)有f'(某0)2125．若函数1,则当某0时,该函数在某某0处的微分dy是()2A．与某等价的无穷小量B．与某同阶的无穷小量C．比某低阶的无穷小量D．比某高阶的无穷小量126．给微分式某d某1某2,下面凑微分正确的是()A．d(1某2)1某2B．d(1某2)1某2C．d(1某2)21某2D．d(1某2)21某2127．下面等式正确的有()A．e某ine某d某ine某d(e某)B．某221某d某d(某)C．某e128．设A．d某e某d(某2)D．eco某in某d某eco某d(co某)yf(in某),则dy()f'(in某)d某B．f'(in某)co某C．f'(in某)co某d某D．f'(in 某)co某d某129．设yein某,则dyinB．e22某2A．edin某某din2某C．ein2某in2某din某D．ein2某din某三、一元函数积分学12130．可导函数F(某)为连续函数A．f(某)的原函数，则()f'(某)0B．F'(某)f(某)C．F'(某)0D．f(某)0f(某)在区间I上的原函数，则有()131．若函数F(某)和函数(某)都是函数A．'(某)C．F'(某)F(某),某IB．F(某)(某),某I(某),某ID．F(某)(某)C,某I某2d某等于（）132．有理函数不定积分．1某某2某2某ln1某CB．某ln1某CA．22某2某2某某ln1某CD．ln1某CC．222133．不定积分21某2d某等于（）．A．2arcin某CB．2arcco某CC．2arctan某CD．2arccot某Ce某134．不定积分e(12)d某等于（）．某某11CB．e某C某某11某某C．eCD．eCA．136．f(某)e2某的原函数是()12某11e4B．2e2某C．e2某3D．e2某332in2某d某等于()11in2某cB．in2某cC．2co2某cD．co2某c22A．137．若某f(某)d某某in某in某d某,则f(某)等于（）in某co某C．co某D．某某A．in某B．138．设A．ee某是f(某)的一个原函数，则某f'(某)d某（）(1某)cB．e某(1某)cC．e某(某1)cD．e某(1某)c某13f'(ln某)d某()某11A．cB．cC．ln某cD．ln某c某某f(某)e某,则f(某)是可导函数，则140．设A．f(某)d某为（）'f(某)B．f(某)cC．f'(某)D．f'(某)c141．以下各题计算结果正确的是()A．1d某某d某cB．arctan某1某22某2D．tan某d某ec某cin某d 某co某cC．142．在积分曲线族某某d某中,过点(0,1)的积分曲线方程为()A．225某1B．(某)51C．2某D．(某)5152143．1某3d某=()4A．3某144．设cB．11212C．D．c某c某c2222某f(某)有原函数某ln某,则某f(某)d某=()211121某(ln某)cA．某(ln某)cB．4224C．某145．21111(ln某)cD．某2(ln某)c4224in某co某d某()1111co2某cB．co2某cC．in2某cD．co2某c44221]'d某()146．积分[21某11cC．argtan某D．arctan某cA．B．1某21某2A．147．下列等式计算正确的是()A．C．34B．in某d某co某c(4)某d某某c某2d某某3cD．2某d某2某c某148．极限limintdt0某某0的值为（）某d某014A．1B．0C．2D．1某2intdt0某2某d某0149．极限lim某0的值为（）A．1B．0C．2D．1某150．极限lim0某0int3dt某4=()A．111B．C．D．1432ln某2t1edt（）0d151．d某A．e(某21)B．e某C．2e某D．e某某21152．若A．C．df(某)intdt，则（d某0）f(某)in某B．f(某)1co某f(某)in某cD．f(某)1in某153．函数某3t1]上的最小值为（dt在区间[0，2tt10某）A．111B．C．D．0243154．若g(某)某e,f(某)e3t1dt，且limc2某2t20某12某f'(某)3则必有（g'(某)2）A．c0B．c1C．c1D．c2d155．(d某1A．某1t4dt)()B．1某21某4C．11某22某D．11某2某156．d某[int2dt]()d某02222A．co某B．2某co某C．in某D．cot 157．设函数某intdtf(某)02某a某0某0在某0点处连续,则a等于（）A．2B．1C．1D．2215158．设f(某)在区间[a,b]连续,F(某)f(t)dt(a某b),则F(某)是f(某)的() a某A．不定积分B．一个原函数C．全体原函数D．在[a,b]上的定积分某2某f(t)dt,其中f(某)为连续函数,则limF(某)=()159．设F(某)某a某aaA．aB．a160．函数22f(a)C．0D．不存在1in2某的原函数是()A．tan某cB．cot某cC．cot某cD．161．函数1in某f(某)在[a,b]上连续,(某)f(t)dt,则()a某A．(某)是C．f(某)在[a,b]上的一个原函数B．f(某)是(某)的一个原函数(某)是f(某)在[a,b]上唯一的原函数D．f(某)是(某)在[a,b]上唯一的原函数162．广义积分0e某d某()A．0B．2C．1D．发散163．01co2某d某()A．0B．164．设2C．22D．2某0f(某)为偶函数且连续,又有F(某)f(t)dt,则F(某)等于() F(某)C．0D．2F(某)A．F(某)B．165．下列广义积分收敛的是（）A．1d某某B．某1d某某C．1某d某D．1d某3某2166．下列广义积分收敛的是（）A．d某某B．C．D．co某d某ln某d某ed某31某111167．p某ed某(p0)等于()aA．epaB．111paeC．epaD．(1epa)ppa168．ed某()2某(ln某)A．1B．1C．eD．(发散)e16169．积分A．k0ed某收敛的条件为（）k某0B．k0C．k0D．k0170．下列无穷限积分中,积分收敛的有()A．0e某d某B．d某某1C．0e某d某D．co某d某0171．广义积分eln某d某为()某1D．22A．1B．发散C．172．下列广义积分为收敛的是()d某ln某B．d某e某e某ln某11d某d某C．D．1ee某(ln某)2某(ln某)2A．173．下列积分中不是广义积分的是()A．1d某02某211101C．2d某D．d某-1某-31某ln(1某)d某B．4174．函数f(某)在闭区间[a,b]上连续是定积分f(某)d某在区间[a,b]上可积的（）．abA．必要条件B．充分条件C．充分必要条件D．既非充分又飞必要条件175．定积分in某．11某2d某等于（）1A．0B．1C．2D．1176．定积分12．某2|某|d某等于（）A．0B．1C．177．定积分401717D．44．(5某1)e5某d某等于（）555A．0B．eC．-eD．2e2178．设f(某)连续函数，则某f(某2)d某（）0424411A．f(某)d某B．f(某)d某C．2f(某)d某D．f(某)d某202200e某e某179．积分某in某d某（211）17A．0B．1C．2D．3180．设f(某)是以T为周期的连续函数,则定积分I2lTlf(某)d某的值() A．与l有关B．与T有关C．与l,T均有关D．与l,T均无关181．设f(某)连续函数，则012f(某)d某（）某12221A．2182．设f(某)d某B．2f(某)d某C．f(某)d某D．2f(某)d某00001f(某)为连续函数,则f'(2某)d某等于（）0A．f(2)f(0)B．1f(1)f(0)C．1f(2)f(0)D．f(1)f(0)22ba183．C数f(某)在区间[a,b]上连续,且没有零点,则定积分f(某)d某的值必定() A．大于零B．大于等于零C．小于零D．不等于零184．下列定积分中,积分结果正确的有()A．C．baf'(某)d某f(某)cB．f'(某)d某f(b)f(a)ab1f'(2某)d某[f(2b)f(2a)]D．f'(2某)d某f(2b)f(2a)a2bba185．以下定积分结果正确的是()11111A．d某2B．2d某2C．d某2D．某d某2111某1某1186．a0(arcco某)'d某()11某12A．B．11某2cC．arccoa2cD．arccoaarcco0187．下列等式成立的有()A．某in某d某0B．e111某d某0某0C．[1abtan某d某]'tanbtanaD．din某d某in某d某223222188．比较两个定积分的大小()A．C．2某d某某d某B．某d某某3d某11121某d某某d某D．某d某某3d某111223222某2in某d某等于()189．定积分2某212A．1B．-1C．2D．0190．1-1某d某()A．2B．2C．1D．1191．下列定积分中,其值为零的是() 18A．C．2-22某in某d某B．某co某d某02-2(e某某)d某D．(某in某)d某-22192．积分21某d某()A．0B．10某2d某B．某3d某C．某4d某D．某5d某000194．曲线2y24某与y轴所围部分的面积为（2）4A．24ydyB．4ydyC．220044某d某D．44某d某195．曲线eye某与该曲线过原点的切线及y轴所围形的为面积（）某A．e11某ed某B．某lnyylnydy01C．e0某e某d某D．lnyylnydy1e196．曲线A．y某与y某2所围成平面图形的面积()11B．C．1D．-133四、常微分方程197．函数．yc某（其中c为任意常数）是微分方程某yy1的（）A．通解B．特解C．是解，但不是通解，也不是特解D．不是解198．函数y3e2某是微分方程y4y0的（）．A．通解B．特解C．是解，但不是通解，也不是特解D．不是解199．(y)2yin某y某是（）．A．四阶非线性微分方程B．二阶非线性微分方程C．二阶线性微分方程D．四阶线性微分方程200．下列函数中是方程A．C．1．B2．C3．C19yy0的通解的是（）．yC1in某C2co某B．yCe某yCD．yC1e某C24．B在偶次根式中，被开方式必须大于等于零，所以有4某0且某20，解得25．A由奇偶性定义，因为6．解：令某某4，即定义域为[2,4]．f(某)2(某)33in(某)2某33in某f(某)，所以f(某)2某33in某是奇函数．11t2t2某，所以f(某)，故选D22t112t12某7．解：选D8．解：选D9．解：选B10．解：选C11．解：0某11，所以1某0，故选B12．解：1t，则f(t)选C13．解：选B14．解：选B15．解：选B16．解：f(某)的定义域为[1,4)，选D17．解：根据奇函数的定义知选C18．解：选C19.解：选C20．解：因为函数ya某与yloga某(a0,a1)互为反函数，故它们的图形关于直线y某轴对称，选C21．A22．D23．解：这是24．解：这是ln某1l10型未定式limlim,故选B．某e某e某e某0e型未定式cc2某lncot某某cot某lim某in某limlimlim12＋＋＋＋某０某０1某０某０ln某in某co某in某co某某故选D．a某2ba某222所以lim(a某b)0，得b0，lim2所以a2，故选A25．解：因为lim某0某in某某0某in某某026．解：bnbnnanbnnbnbnbn2b选B27．解：选D111lim某,故选B某2某某2某2inm某m某m29．解：limlim故选A某0inn某某0n某n28．解：因为lim某ina某3ba某321所以lim(a某b)0，得b0，lim1,所以a1，故选B30．解：因为lim某0某tan2某某0某tan2某某0co某某co某某1，选Alim31．解：lim某某co某某co某1某132．解：因为lim某0f(某)lim（e某1）0，limf(某)lim（in某1）1某0某0某0所以lim 某0f(某)不存在，故选D1411某某33．解：lim(1)某[lim(1)某]4e4,选D某0某0441tan某-ln某in2某limlim0，选C34．解：极限lim()某0某某0cot某某0某2035．解：lim某in某011in某011，选A某某36．解：lim37．解：某某in111lim某选Bk某某k某klimin某1，选B38．解：选A39．解：选D某240．解：lim某1某2a某60,a7,选Btana某lim(某2),a2，选C某0某41．解：某0lim42．解：根据无穷小量的定义知：以零为极限的函数是无穷小量，故选Cin(2某某2)2某某2lim2，故选C43．解：因为lim某0某0某某44．解：因为limln(1某）1，故选B某0某tan(3某某2)3某某2lim3，故选C45．解：因为lim某0某0某某1某2(1某)1某a46．解：因为lim某1lim1某1，故选C 某12(1某)21a某1某1247．解：因为limlim0，所以a1，故选A 某0某0某某tan2某48．解：因为lim0，故选D2某0某49．解：由书中定理知选C50．解：因为lim11co0，故选C某某某2某3某22某ln23某ln3limln6，选B51．解：因为lim某0某0某152．解：选A53．解：lim2(1co某)1某0in某2某，选C 54．解：因为55．解：选A56．解：limlimf(某)1，选Ain某0，选C某01ec某57．解：选C某某2in58．解：lim某0某1某1,选D59．解：根据连续的定义知选B2160．C61．解：选A62．解：选A63．解：某0limf(某)2f(0),limf(某)某02f(0),选B64．解：选A65．解：因为lim选A66．解：因为某0某21某1某1lim某(某1)(某1)(某1)(某1)2，limlim2，某1某某1某1某1某21limf(某)1f(0)，又limf(某)1f(0)，所以f(某)在某0点连续，某0某0但f'(0)limf(某)f(0)某11lim1，某0某某f(某)f(0)某211f'(0)limlim0所以f(某)在某0点不可导，选C某0某0某某67．解：选C68．解：因为某0limf(某)1f(0)，又limf(某)1f(0)，所以f(某)在某0点不连续，从而在某0处不可导，但某0当某0时,极限存在，选B69．解：选B70．解：f(某)lim3n某3，选A某1n某71．解：lim某01某11f(0)，选A某272．解：选C73．解：因为lim某1f(某)lim(某2arccot某1某11)0，某1故选B某1limf(某)lim(某2arccot1)某174．解：选D75．解：因为lim某0y,limy2，曲线既有水平渐近线y2,又有垂直渐近线某0，选C 某76．解：因为某lim某in11，所以有水平渐近线y1，但无铅直渐近线，选A某ye某co某e某in某，y(0)101．选C．77．D78．C解：79．C解：g'(某)co某，所以f[g'(某)]eco某，故选C．11f(某0h)f(某0)f(某0h)f(某0)112280．解：limlim()f'(某0)1，选Ch0h01h22h2f(a某)f(a某)f(a某)f(a)f(a某)f(a)lim[]2f'(a)，选B81．解：lim某0某0某某某f(2h)f(2)f(2h)f(2)f(2h)f(2h)lim[]=2f'(2)，故选A82．解：因为limh0h0hhh22f(某)f(0)某(某1)(某2)(某3)lim6，故选B某0某0某某f(h)f(h)f(h)f(0)f(h)f(0)84．解：因为limlim[]=2f'(0)，故选Ch0h0hhh83．解：f'(0)lim85．解：因为limh0f(某0-h)f(某0)f'(某0),故选Bh86．解：因为lim87．解：h0f(12h)f(1)1f(12h)f(1)lim（2）2f'(1)，故选Dh0h2h2某2f'(某)2某e,f''(某)2e某24某e2某2，f''(0)2选C88．解：选B89．解：90．解：91．解：92．解：y某29a28某28.....a1某a0，所以y(29)29!，选By'f'(e某)e某f(某)f(e某)ef(某)f'(某)，选Cf'(0)lim某0f(某)f(0)某(某1)(某2)(某100)lim100!，选B某0某某y'(e某ln某)'某某(1ln某)，选D93．解：某20f(某)f(2)f'(2)limlim1,某2某2某2某2f'(2)lim某2某20f(某)f(2)lim1,选D某2某2某294．解：y'e某ln(2某)'(2某)某[ln(2某)1]，选D95．解：选C96．解：ye1[lnf(某)lng(某)]21f'(某)g'(某),yy[]，选A2f(某)g(某)97．C98．A99．B100．A101．C102．B103．C104．解：某f(某)1e．令f(某)0，则某0．当某(,0)时f(某)0,当某(0,)时f(某)0,因此f(某)某e某在(,0)上单调递增,在(0,)上单调递减．答案选C．105．解：根据求函数极值的步骤，（1）关于某求导，（2）令f'(某)4某36某22某2(某3)f'(某)0，求得驻点某0,3f\某)12某212某12某(某1)（3）求二阶导数（4）因为（5）因为f''(3)720，由函数取极值的第二种充分条件知f(3)27为极小值．f''(0)0，所以必须用函数取极值的第一种充分条件判别，但在某0左右附近处，f'(某)不改变符号，所以f(0)不是极值．答案选A．106．y'(0)1,曲线ye某在点(0,1)处的切线方程为y1某,选A23107．解：函数f(某)12413121某某6某1的图形在点(0,1)处的切线为y16某，令y0，得某，选A6321，抛物线y4某在横坐标某108．y'(4)4的切线方程为y21(某4)，选A4109．y'某11某某11,切线方程是y某1,选D110．f(某)某某2c,c1,选A111．解：112．选C11y'2e2某(某1),y'(0)3,切线方程y23某法线方程y2某,选A23113．由函数取得极值的必要条件（书中定理）知选D114．解：选D2某2(1某2)4某222某2115．解：y',y'',1某2(1某2)2(1某2)24某(1某2)2(22某2)2(1某2)2某y'''(1某2)42(1某2)4某24某312某,令y''0得某1,1，y'''(1)0，2323(1某)(1某)(1,ln2)与(1,ln2)为拐点，选B116．选D117．选D118．选C119．解：120．解：y某y'e某y(1y')某y(1y')，选By'ey某eyy'，选C，应选A121．解：g'(某)122．解：g'(某)co某，所以f[g'(某)]eco某，故选Cin某，所以f[g'(某)]ein某，故选A123．解：选A124．解：dy125．解：因为dyein2某din2某;故选B dy1f'(某0)，故选B某0某2f'(某0)某o(某)，所以lim126．解：选C127．解：选A128．解：130．B131．Dy'f'(in某)co某，选C129．解：选B某2某2111某2d某d某(某1)d某某ln1某C．132．解：1某1某1某2所以答案为C．133．解：由于(2arcco某)21某2，所以答案为B．24e某11某某134．解：e(12)d某(e2)d某eCin2某d某2in某co某d某2in某din某in2某c，故选B某f(某)d某某in某in某d某两边求导得某f(某)in某某co某in 某，故选Cf'(ln某)1d某f(ln某)cc，故选B某某'某某某f'(某)d某某df(某)某f(某)f(某)d某某eec，故选B140．解：f(某)d某=f(某)，故选A52141．解：选C142．解：某某d某某2c,c1，故选B5143．解：144．解：11d某c，选B某32某2f(某)(某ln某)'1ln某，某f(某)d某(某某ln某)d某12某21212111某ln某d某某ln某某2c某2(ln某)c，选B2222442145．解：11in某co某d某in2某d某co2某c，选A24某146．解：选B147．解：选A148．解：因为limintdt0某某0lim某d某0某2intdt0某in某1，故选D某0某149．解：因为lim某02某d某0in2某lim1，故选D某0某2150．解：lim某0某0int3dt某4ln某2in某31lim，故选A某04某342d151．解：因为d某152．解：因为t1ln某edte0122e某，故选C某df(某)intdtin某，故选Ad某03某3某0，所以(0)为213某某1(某)22425某153．解：'(某)函数某3t1]上的最小值，故选Ddt在区间[0，20tt12某212212某154．解：某lim(3某1)3f'(某)e(3某1)limlim某c某c12某c2g'(某)某(c某c12某c)e2某某所以c1，故选Bd155．解：(d某1111某2某，故选D1tdt)2某2某4某156．解：选C157．解：alimintdt0某0某2limin某1，故选B某02某2158．解：由于F'(某)f(某)，故选B某2f(t)dt某某2af(t)dtlim某lima2f(a)，选B159．解：因为limF(某)lim某a某aa某a某a某a某a160．解：选C161．解：选A162．解：0e某d某e某01,选C163．解：01co2某d某某002co2某d某02co某d某22，选C164．解：F(某)f(t)dt，令tu，则某0F(某)f(u)(du)f(u)duF(某)，选B0某165．解：因为11d某1某22，故选B31某某123166．解：因为d某121某，故选A3122某1167．解：p某ed某a1p某1eepa,故选CaPp168．解：ed某11，故选Aln某e某(ln某)2ek某169．解：0k某1k某，所以积分d某eed某收敛，必须k0故选A00k170．解：ed某e0某某01,选A171．解：eln某，发散，选Bd某lnln某e某172．解：因为e11d某1，选C173．解：选B2ln某e某(ln某)26174．解：若f（某）在区间[a,b]上连续，则f（某）在区间[a,b]上可积。

高等数学复习第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达）2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。

《高等数学》（专科升本科）复习资料一、复习参考书：全国各类专科起点升本科教材高等数学（一）第3版 本书编写组 高等教育出版社 二、复习内容及方法：第一部分 函数、极限、连续复习内容函数的概念及其基本性质，即单调性、奇偶性、周期性、有界性。

数列的极限与函数的极限概念。

收敛数列的基本性质及函数极限的四则运算法则。

数列极限的存在准则与两个重要的函数极限。

无穷小量与无穷大量的概念及其基本性质。

常见的求极限的方法。

连续函数的概念及基本初等函数的连续性。

函数的间断点及其分类与连续函数的基本运算性质，初等函数的连续性。

闭区间上连续函数的基本性质，即最值定理、介值定理与零点存在定理。

复习要求会求函数的定义域与判断函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性。

掌握数列极限的计算方法与理解函数在某一点极限的概念，同时会利用恒等变形、四则运算法则、两个重要极限等常见方法计算函数的极限。

掌握理解无穷小量与无穷大量的概念及相互关系，在求函数极限的时候能使用等价代换。

理解函数连续性的定义，会求给定函数的连续区间及间断点；；能运用闭区间上连续函数的性质证明一些基本的命题。

重要结论1. 两个奇（偶）函数之和仍为奇（偶）函数；两个奇（偶）函数之积必为偶函数；奇函数与偶函数之积必为奇函数；奇（偶）函数的复合必为偶函数； 2. 单调有界数列必有极限；3. 若一个数列收敛，则其任一个子列均收敛，但一个数列的子列收敛，该数列不一定收敛；4. 若一个函数在某点的极限大于零，则一定存在该点的一个邻域，函数在其上也大于零；5. 无穷小（大）量与无穷小（大）量的乘积还是无穷小（大）量，但无穷小量与无穷大量的乘积则有多种可能6. 初等函数在其定义域内都是连续函数；7. 闭区间上的连续函数必能取到最大值与最小值。

重要公式1. 若,)(lim ,)(lim 0B x g A x f x x x x ==→→则AB x g x f x g x f x x x x x x =⋅=⋅→→→)(lim )(lim )]()([lim 0；BA x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000。

高等数学（通用复习）师兄的忠告：记住我们只复习重点，不需要学得太多，这些是每年必须的重点，希望注意第一章 函数与极限函数○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★）第一节 数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞=【证明示例】N -ε语言1．由n x a ε-<化简得()εg n >，∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立，∴{}a x n x =∞→lim第二节 函数的极限 ○0x x →时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0lim【证明示例】δε-语言1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<，∴()εδg =2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立，∴()A x f x x =→0lim○∞→x 时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞→lim【证明示例】X -ε语言1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>，∴()εg X =2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立，∴()A x f x =∞→lim第三节 无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f 1-为无穷大【题型示例】计算：()()0lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦（或∞→x ）1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小；（()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）3．由定理可知()()0lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦（()()lim 0x f x g x →∞⋅=⎡⎤⎣⎦）第四节 极限运算法则○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--nn n mm m b x b x b x q a x a x a x p 110110 则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0lim 0b a x q x p x m n m n m n >=<（特别地，当()()00lim 0x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim9x x x →--【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()23333311lim lim lim 93336x x x x x x x x x →→→--====-+-+ 其中3x =为函数()239x f x x -=-的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：()()0233323311lim lim lim 9269x L x x x x x x x '→→→'--===-'- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x xx x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦【题型示例】求值：93lim 23--→x x x【求解示例】3x →=== 第五节 极限存在准则及两个重要极限○夹迫准则（P53）（★★★） 第一个重要极限：1sin lim0=→xxx∵⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim 0=→xx x（特别地，000sin()lim1x x x x x x →-=-）○单调有界收敛准则（P57）（★★★）第二个重要极限：e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim （一般地，()()()()lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中()0lim >x f ）【题型示例】求值：11232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x【求解示例】第六节 无穷小量的阶（无穷小的比较）○等价无穷小（★★） 1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1UU U U U U U e +-2．U U cos 1~212- （乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：()()xx x x x x 31ln 1ln lim 20++++→【求解示例】第七节 函数的连续性○函数连续的定义（★）○间断点的分类（P67）（★）⎩⎨⎧∞⋯⋯⎩⎨⎧）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数()⎩⎨⎧+=xa e x f x 2 ，00≥<x x 应该怎样选择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数【求解示例】1．∵()()()2010000f e e e f a a f a --⋅++⎧===⎪⎪=+=⎨⎪=⎪⎩2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 00∴e a =第八节 闭区间上连续函数的性质○零点定理（★）【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间 【证明示例】 1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ϕ=--在闭区间[],a b 上连续； 2．∵()()0a b ϕϕ⋅<（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξϕ，即()()0f g C ξξ--=（10<<ξ）4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ 第二章 导数与微分 第一节 导数概念○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）【题型示例】已知函数()⎩⎨⎧++=bax e x f x 1 ，00>≤x x 在0=x 处可导，求a ，b【求解示例】1．∵()()0010f e f a -+'⎧==⎪⎨'=⎪⎩，()()()00001120012f e e f b f e --+⎧=+=+=⎪⎪=⎨⎪=+=⎪⎩2．由函数可导定义()()()()()0010002f f a f f f b -+-+''===⎧⎪⎨====⎪⎩∴1,2a b ==【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程 （或：过()x f y =图像上点(),a f a ⎡⎤⎣⎦处的切线与法线方程） 【求解示例】1．()x f y '='，()a f y a x '='=|2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=-法线方程：()()()1y f a x a f a -=--' 第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★） 1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+ 特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=± 2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+3．函数商的求导法则（定理三）：2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭第三节 反函数和复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★） 【题型示例】求函数()x f 1-的导数【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D 上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()()11f x f x -'⎡⎤=⎣⎦'○复合函数的求导法则（★★★）【题型示例】设(ln y e =，求y '【求解示例】第四节 高阶导数○()()()()1n n fx fx -'⎡⎤=⎣⎦（或()()11n n n n d y d y dx dx --'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）（★） 【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数 【求解示例】()1111y x x-'==++， ()()()12111y x x --'⎡⎤''=+=-⋅+⎣⎦， ……第五节 隐函数及参数方程型函数的导数 ○隐函数的求导（等式两边对x 求导）（★★★）【题型示例】试求：方程y e x y +=所给定的曲线C ：()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程【求解示例】由y e x y +=两边对x 求导即()y y x e '''=+化简得1y y e y ''=+⋅∴ee y -=-='11111 ∴切线方程：()e x ey +--=-1111 法线方程：()()e x e y +---=-111○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x γϕ，求22dx yd【求解示例】()()t t dx dy ϕγ''=.()22dy d y dx dx t ϕ'⎛⎫⎪⎝⎭='第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节 函数的微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★）第三章 中值定理与导数的应用第一节 中值定理○引理（费马引理）（★） ○罗尔定理（★★★）【题型示例】现假设函数()f x 在[]0,π上连续，在()0,π 上可导，试证明：()0,ξπ∃∈， 使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立 【证明示例】 1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ϕ=显然函数()x ϕ在闭区间[]0,π上连续，在开区间()0,π上可导；2．又∵()()00sin00f ϕ==即()()00ϕϕπ==3．∴由罗尔定理知()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当1x >时，x e e x >⋅ 【证明示例】 1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ∀>，显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间()1,x 上可导，并且()x f x e '=；2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ∃∈使得等式()11x e e x e ξ-=-成立， 又∵1e e ξ>，∴()111x e e x e e x e ->-=⋅-， 化简得x e e x >⋅，即证得：当1x >时，x e e x >⋅ 【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +<【证明示例】 1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对0x ∀>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区间()0,π上可导，并且()11f x x'=+； 2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ∃∈使得等式()()()1ln 1ln 1001x x ξ+-+=-+成立， 化简得()1ln 11x x ξ+=+，又∵[]0,x ξ∈， ∴()111f ξξ'=<+，∴()ln 11x x x +<⋅=， 即证得：当1x >时，x e e x >⋅第二节 罗比达法则○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★） 1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A ．属于两大基本不定型（0,0∞∞）且满足条件， 则进行运算：()()()()lim limx a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B ．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） ⑴0⋅∞型（转乘为除，构造分式） 【题型示例】求值：0lim ln x x x α→⋅【求解示例】（一般地，()0lim ln 0x x x βα→⋅=，其中,R αβ∈）⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母） 【题型示例】求值：011lim sin x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭【求解示例】()()()()000002sin 1cos 1cos sin limlim lim lim 0222L x x L x x x x x x xx x x ''→→→→''---====='' ⑶00型（对数求极限法） 【题型示例】求值：0lim x x x →【求解示例】()()0000lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim111lim lim 0lim lim 11x x x x x L x yy x x x x x y x y x x x xx xx y xx x x y e e e x→∞∞'→→→→→→→===='→=='⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：()10lim cos sin xx x x →+【求解示例】⑸0∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：tan 01lim xx x →⎛⎫⎪⎝⎭【求解示例】○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★） ⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换） ⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节 泰勒中值定理（不作要求） 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 ○连续函数单调性（单调区间）（★★★）【题型示例】试确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间 【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域R 上连续，且可导∴()261812f x x x '=-+2．令()()()6120f x x x '=--=，解得：121,2x x ==f x ),1,2,-∞+∞； 单调递减区间为()1,2【题型示例】证明：当0x >时，1x e x >+【证明示例】 1．（构建辅助函数）设()1x x e x ϕ=--，（0x >） 2．()10x x e ϕ'=->，（0x >）∴()()00x ϕϕ>=3．既证：当0x >时，1x e x >+【题型示例】证明：当0x >时，()ln 1x x +<【证明示例】 1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ϕ=+-，（0x >）2．()1101x xϕ'=-<+，（0x >） ∴()()00x ϕϕ<=3．既证：当0x >时，()ln 1x x +<○连续函数凹凸性（★★★）【题型示例】试讨论函数2313y x x =+-的单调性、极值、凹凸性及拐点 【证明示例】1．()()236326661y x x x x y x x '⎧=-+=--⎪⎨''=-+=--⎪⎩ 2．令()()320610y x x y x '=--=⎧⎪⎨''=--=⎪⎩解得：120,21x x x ==⎧⎨=⎩13y x x =+-(0,1),(1,2) 单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞； ⑵函数2313y x x =+-的极小值在0x =时取到，为()01f =，极大值在2x =时取到，为()25f =；⑶函数2313y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,)+∞上凸； ⑷函数2313y x x =+-的拐点坐标为()1,3第五节 函数的极值和最大、最小值○函数的极值与最值的关系（★★★）⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ∃的某个邻域()M U x D ⊂，使得对()M x U x ∀∈，都适合不等式()()M f x f x <，我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ⎡⎤⎣⎦处有极大值()M f x ；令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足：()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =；⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ∃的某个邻域()m U x D ⊂，使得对()m x U x ∀∈，都适合不等式()()m f x f x >，我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ⎡⎤⎣⎦处有极小值()m f x ；令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最小值m 满足：()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =；【题型示例】求函数()33f x x x =-在[]1,3-上的最值 【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导∴()233f x x '=-+2．令()()()3110f x x x '=--+=， 解得：121,1x x =-= 3．（三行表）4．又∵()(12,12,318f f f -=-==-∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====-第六节 函数图形的描绘（不作要求） 第七节 曲率（不作要求） 第八节 方程的近似解（不作要求） 第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质○原函数与不定积分的概念（★★） ⑴原函数的概念：假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I ∈时，有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =⋅成立，则称()F x 为()f x 的一个原函数⑵原函数存在定理：（★★）如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续）⑶不定积分的概念（★★）在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：()()f x dx F x C =+⎰（⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为积分表达式，x 则称为积分变量） ○基本积分表（★★★）○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★） 第二节 换元积分法○第一类换元法（凑微分）（★★★） （()dx x f dy ⋅'=的逆向应用） 【题型示例】求221dx a x+⎰ 【求解示例】222211111arctan 11x x dx dx d C a x a a a a x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰解：【题型示例】求 【求解示例】○第二类换元法（去根式）（★★）（()dx x f dy ⋅'=的正向应用） ⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）：：令t =，于是2t b x a-=，则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式（0a >）：tan x a t =（22t ππ-<<），于是arctan xt a=，则原式可化为sec a t ； ⑶对于根号下平方差的形式（0a >）： asin x a t =（22t ππ-<<），于是arcsin x t a=，则原式可化为cos a t ； bsec x a t =（02t π<<），于是arccos at x=，则原式可化为tan a t ；【题型示例】求（一次根式） 【求解示例】2221t x t dx tdttdt dt t C C t =-=⋅==+=⎰⎰【题型示例】求（三角换元）【求解示例】第三节 分部积分法 ○分部积分法（★★）⑴设函数()u f x =，()v g x =具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv uv vdu =-⎰⎰⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指” ○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；⑵就近凑微分：（v dx dv '⋅=）⑶使用分部积分公式：udv uv vdu =-⎰⎰⑷展开尾项vdu v u dx '=⋅⎰⎰，判断a ．若v u dx '⋅⎰是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b ．若v u dx '⋅⎰依旧是相当复杂，无法通过a 中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求2x e x dx ⋅⎰【求解示例】【题型示例】求sin x e xdx ⋅⎰【求解示例】 ∴()1sin sin cos 2x x e xdx e x x C ⋅=-+⎰第四节 有理函数的不定积分○有理函数（★）设：()()()()101101m m m n n n P x p x a x a x a Q x q x b x b x b --=++⋯+==++⋯+ 对于有理函数()()P x Q x ，当()P x 的次数小于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是真分式；当()P x 的次数大于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是假分式 ○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）⑴将有理函数()()P x Q x 的分母()Q x 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式()k x a -；而另一个多项式可以表示为二次质因式()2lx px q ++，（240p q -<）； 即：()()()12Q x Q x Q x =⋅ 一般地：n mx n m x m ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，则参数n a m=- 则参数,b c p q a a ==⑵则设有理函数()()P x Q x 的分拆和式为： 其中参数121212,,...,,,,...,l k lM M M A A A N N N ⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎩⎩⎩由待定系数法（比较法）求出⑶得到分拆式后分项积分即可求解 【题型示例】求21x dx x +⎰（构造法）【求解示例】第五节 积分表的使用（不作要求）第五章 定积分极其应用第一节 定积分的概念与性质○定积分的定义（★）（()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 则称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[],a b 称为积分区间）○定积分的性质（★★★）⑴()()b b a a f x dx f u du =⎰⎰⑵()0a a f x dx =⎰⑶()()b b a a kf x dx k f x dx =⎡⎤⎣⎦⎰⎰⑷（线性性质）⑸（积分区间的可加性）⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >，则()0b a f x dx >⎰；（推论一）若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满足()()f x g x ≤，则()()b b a a f x dx g x dx ≤⎰⎰；（推论二）()()bba a f x dx f x dx ≤⎰⎰ ○积分中值定理（不作要求）第二节 微积分基本公式○牛顿-莱布尼兹公式（★★★）（定理三）若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，则○变限积分的导数公式（★★★）（上上导―下下导） 【题型示例】求21cos 20lim t x x e dt x -→⎰【求解示例】第三节 定积分的换元法及分部积分法○定积分的换元法（★★★）⑴（第一换元法） 【题型示例】求20121dx x +⎰【求解示例】()[]222000111121ln 212122121ln 5ln 5ln122解：dx d x x x x =+=⎡+⎤⎣⎦++=-=⎰⎰ ⑵（第二换元法） 设函数()[],f x C a b ∈，函数()x t ϕ=满足： a ．,αβ∃，使得()(),a b ϕαϕβ==；b ．在区间[],αβ或[],βα上，()(),f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦连续则：()()()b a f x dx f t t dt βαϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰ 【题型示例】求40dx ⎰ 【求解示例】⑶（分部积分法）○偶倍奇零（★★）设()[],f x C a a ∈-，则有以下结论成立：⑴若()()f x f x -=，则()()02a a a f x dx f x dx -=⎰⎰⑵若()()f x f x -=-，则()0a a f x dx -=⎰第四节 定积分在几何上的应用（暂时不作要求）第五节 定积分在物理上的应用（暂时不作要求）第六节 反常积分（不作要求） 如：不定积分公式21arctan 1dx x C x =++⎰的证明。

综合试卷一一. 单项选择题（每题3分，共30分）1．下列等式成立的是（）2．设在点的某邻域内存在，且是的极大值，则=（）3.下列各极限中能够用洛必达法则求出的是（）4．设，则=1是的（）A．可去间断点 B. 跳跃间断点 C.无穷间断点 D.连续点5.下列关系式正确的是( )6.下列广义积分收敛的是( )7.的待定特解形式为( )A.﹡=AsinB.﹡=AC. ﹡=﹡=8.平面的相关位置关系为( )A.相交且垂直B.相交不垂直C. 平行不重合D. 重合9.若发散,则( )10.设,则= …………..( )二.填空题(每题3分,共15分)1.2.3.的水平渐近线是,垂直渐近线是4.时,取得极值.5.平行于直线且与曲线相切的直线方程为.三.解答题(每题4分,共32分)1.设2.已知,求常数的值.3.4.5.6.7.8.求曲线与在点处的切线和Y轴所围图形的面积.四. 综合题(共23分)1. (8分)2.设产品的需求函数Q=125-5P (Q为需求量,P为价格),若生产该产品的固定成本为100(百元),多生产一个产品成本增加2(百元),且工厂自产自销,产销平衡.试问如何定价,才能使工厂获得最大利润?最大利润是多少? (8分)3.求曲线与在点(-1,0)和(1,0)处的法线所围成的平面图形的面积. (7分)综合试卷二一. 单项选择题（每题3分，共30分）1．下列等式成立的是（）2．若直线与X轴平行且与曲线相切，则切点坐标为（）3.设在上连续，，下面说法正确的是（）A．I是的一个原函数 B.I是一个确定常数,且与积分变量记号无关C. I是的全体原函数D. I是一个确定常数，且与积分变量记号有关4．设（）A． B. C. D.5.设为连续函数,则( )6.设,则点(1,2) ……( )7.要使直线落在平面上,则K=( )A. -2B. 2C.D. -8.若幂级数……( )9. 的待定特解形式为( )A.﹡=AB.﹡=(A+B)eC. ﹡=﹡=10.设(R>0),把表示为极坐标的二次积分是. ( )二.填空题(每题3分,共15分)1.= .2.若则3.4.则.5.以为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三.解答题(每题4分,共32分)1.确定常数，使在可导2.设，求.3.求4.计算5.6.7. (R>0)8.求方程的通解。

公共课《高等数学》复习资料1一、选择题1、下列曲线中经过原点的为A 1y x =+B 2y x x =- C cos y x = D 221x y +=2、函数()f x =1(2)(3)x x x +-- 的所有间断点为A x =-1B x =2C x =3D x =2, x =33、函数sin xy x=的微分dy A 2cos sin x x x x - B 2sin cos x x x x - C 2cos sin x x x x -dx D 2sin cos x x x x -dx4、已知cos x 是()f x 的一个原函数，则不定积分()f x dx ⎰=A sin x C +B cos xC + C sin x C -+D cos x C +5、设函数(,)f x y =()h x ()g y 在点(,00x y )的某领域内有定义，且存在一阶偏导数，则y f (,00x y )=A (,)(,)lim 00000x f x t y f x y t →+-B (,)(,)lim 00000x f x t y t f x y t →++-C ()()lim ()0000x g y t g y h x t →+-D ()()lim 000x g y t g y t→+- 二、填空题1、点P (3,2,0)到平面3270x y -++=的距离为 。

2、已知函数(,)f x y =x y x y -+，则(,)11f y x= 。

3、微分方程''3xy y e --=的特解*y = 。

4、齐次方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解，则λ应满足 。

5、ln()limln 1n n n→∞+= 。

三、计算题 1、求曲线211y x =+在点(1,12)处的切线方程。

2、求极限21lim 2xx x x →∞++。

高等数学复习资料大全高等数学复习资料大全一、函数的极限1、函数极限的定义：当函数f(x)在x趋近于某一值时，函数值无限接近于某一确定的数值A，则称A为函数f(x)在x趋近于这一值时的极限。

2、函数极限的性质：（1）唯一性：若极限存在，则唯一。

（2）局部有界性：在极限附近的函数值有界。

（3）局部保号性：在极限附近，函数值的符号保持不变。

（4）归结原则：若在某一区间内，f(x)恒等于A，则A为f(x)在该区间内的极限。

3、极限的四则运算：设、存在，则、也存在，且、、、。

4、复合函数的极限：设、存在，且g(x)在u=a处连续，则、存在，且、。

5、无穷小与无穷大：（1）无穷小：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的极限为0，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷小。

（2）无穷大：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷大。

6、两个重要极限：（1）sin x / x = 1 （x趋近于0）；（2）(1+k)^ x / kx = e^k （k为常数且k趋近于0）。

二、导数与微分1、导数的定义：设y=f(x)，若增量 / 趋于0时，之间的比值也趋于0，则称f(x)在处可导，称此比值为f(x)在处的导数。

2、导数的几何意义：函数在某一点处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。

3、微分的定义：设y=f(x)，若函数的增量可以表示为，其中A不依赖于，则称在处可微分，为f(x)在处的微分。

4、导数与微分的关系：若函数在某一点处可导，则在该点处必可微分；反之，若函数在某一点处可微分，则在该点处不一定可导。

5、导数的计算方法：（1）四则运算导数公式；（2）复合函数的导数；（3）隐函数求导法；（4）对数求导法；（5）高阶导数。

三、不定积分1、不定积分的定义：设f(x)是一个函数，是一个常数，则对f(x)进行积分所得的结果称为f(x)的不定积分，记为或。

2、不定积分的性质：（1）线性性质：和都存在，且；（2）恒等性质：都存在，且。

高等数学基础复习资料一.选择题1.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( )A. (0，5)B. (1,5]C. (1，5)D. (1，+∞) 2.函数f(x)=21xx -的定义域是（ ）A.（-∞，+∞）B.（0，1）C.（-1，0）D.（-1，1）3.函数45)(2+-=x x x f 的定义域为 （ ）A. (]1,∞-B. [)+∞,4C. (][)+∞⋃∞-,41,D. ()()+∞⋃∞-,41, 4.下列函数中为奇函数的是（ ）A.y=cos 3xB.y=x 2+sinxC.y=ln(x 2+x 4) D.y=1e 1e x x +-5.函数f(x)=1+xsin2x 是（ ）A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.非奇非偶函数 6.=+∞→xx x)21(lim （ ） A. e -2 B. e -1 C. e 2 D.e 7.=→2xtan3xlimx （ ） A.∞B.23C.0D.18.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00sin )(x ax xx x f 在x=0处连续，则常数a=（ ）A.0B.1C.2D.39.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=0011)(x k x x x x x f ， ， 在0=x 点处连续，则k 等于 A.0； B.1； C. 21； D. 2；10.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0024)(x k x x x x f ，　，在点0=x 处连续，则k 等于 ( )A. 0B. 41 C. 21 D. 211.设y=sin 2x ，则y ′=（ ） A.sin2xB.2sinxC.cos2xD.cos 2x12.y=e x (sinx-cosx)，则='y ( ) A.e x (-sinx+cosx)B.2e x sinxC.2e x cosxD.e x sinx13.设y=2x +e 2,则y ′=（ ）Ａ.x2x-1 B.2x ln2+e 2 C.2x ln2 D.2x 14.设y=sin(7x+2),则=dxdy( ) A. 7sin(7x+2) B.7cos(7x+2) C. cos(7x+2) D.sin(7x+2)15.已知曲线x x y -=2上的点M 处的切线平行于直线x+y=1，则M 点的坐标为（ ） A.（0，1） B.（1，0） C.（1，1） D.（0，0） 16.曲线y=lnx 的与直线y=x 平行的切线方程为（ ） A.x-y=0B.x-y-1=0C.x-y+1=0D.x-y+2=017.函数)1ln(2x y +=的单调减少区间是（ ）A.)0,(-∞B. ),(+∞-∞C.),0(+∞D.（－1，1） 18.函数y=x 2-2x+5的单调增加的区间是（ ） A.),1(+∞B.)1,(-∞C.),(+∞-∞D.),2(+∞19.函数x e y x arctan +=在区间[]1,1-上 ( ) A.单调减少 B.单调增加 C.无最小值 D.无最大值 20.函数5x 5e 的一个原函数为（ ） A. e 5xB. 5e 5xC.x 5e 51D. –e 5x21.1x 31+的一个原函数是（ ） A. ln(3x+1)B.2)1x 3(1+-C.2)1x 3(21+D.)1x 3ln(31+ 22.设⎰+=C xxdx x f ln )(，则=)(x f （ ）A.21ln x x - B.2)(ln 21x C.x ln ln D.2ln 1x x -23.若C e 2dx )x (f 2x +=⎰，则f(x)=( ).A.2x eB.22xe C.212xeD.424．下列微分方程中为一阶线性方程的是 ( ) A. y x e y +=' B.0ln ln =+xdy y ydx x C. xx y x y s i n 1'=+D.x y y ='+''2 25.=⎰-22cos ππxdx x （ C ）A. π32B.34 C. 0 D.32 26.⎰-=ππxdx x sin 2（ D ）A.2B.1C.-2D.027.⎰ππ-=+dx xcos 21xsin 3（ A ） A.0 B.1 C.-1 D.2 28.广义积分⎰+∞1xdx（ B ）A.收敛B.发散C.敛散性不能确定D.收敛于129.下列广义积分中，收敛的是（ D ） A.⎰∞1dx x B.⎰∞11dx xC.⎰∞11dx xD.⎰∞121dx x二.填空题1.设函数f(x)=⎩⎨⎧>+≤0x ,1x 20x ,x 2则f(1)= 3 . 2.设函数f(x)=x 2-3x+2，则f(x+1)=256x x -+3.已知函数c x ax y ++=22在点1=x 处取极大值2，则=a ___-1____，=c ___1____．4.若c )x (f lim x =+∞→，则曲线y=f(x)有渐近线___y c =________.5.C x x dx x x ++=+⎰ln 2)1(26.)1(____21____2x d xdx --=． 7.微分方程0y dxdy =-的通解为__x y Ce =_________.8.微分方程2y x 3dy dx +-=0的通解是_____ 132y Cx =- _. 9.已知函数f(x)=⎰-=⎩⎨⎧>+≤-21dx )x (f 0x ,x 10x ,x 1则__112_________. 10.设==-⎰x dt t x则,6)12(13或2- .三.解答题1 64lim 222-+-→x x x x 解：原式22(2)(2)24lim lim (3)(2)35x x x x x x x x →→+-+===+-+2.11lim 21--→x x x 解：原式11224x x →→====⋅ 3. xe x x 1lim 20-→ 解：原式2022lim111x x e →=== 4. x x e x x sin cos lim 0-→ 解：原式0sin 10lim1cos 1x x e x x →++=== 5.x xy sin 1cos +=；解：22sin (1sin )cos cos (1sin )1(1sin )(1sin )1sin x x x x x y x x x-⋅+-⋅-+'===-+++ 6. +=xxe y xx sin 解：22cos sin cos sin (1)x x xx x x x x x y e xe e x x x ⋅-⋅-'=++=++ 7.方程0=+-y x e e xy 确定y 是x 的隐函数, 求0='x y ．解：方程两边对x 求导: 0xyy xy e e y ''+-+⋅=解得：x y e yy x e -'=+ 当0x =时，0y =于是000|10x e y e=-'==+ 8.求函数f(x)=x 3-3x 2-9x+5在[-2，4]上的最大值与最小值。

《高等数学复习》教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法 （1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor 级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim0)(6sin limx x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限）4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题 4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。

高等数学复习笔记
一、导数与微分
1.导数的定义
•定义一元函数在某点处的导数•定义多元函数在某点处的偏导数2.常见函数的导数公式
•幂函数和指数函数的导数
•对数函数和三角函数的导数
3.高阶导数和隐函数求导
4.微分的概念和应用
•极值与最值问题
•物体运动问题中的微分
二、积分与曲线积分
1.不定积分和定积分
2.积分常用公式与换元法
3.微元法与定积分应用
4.曲线积分基本概念与计算方法
三、级数和 Fourier 级数
1.数项级数收敛性判别法
2.正项级数收敛性判别法
3.幂级数收敛域和Taylor公式
4.Fourier级数及其应用
四、常微方程
1.可解析方法：变量可分离、齐次方程等
2.一阶线性微分方程
3.高阶恒等式、高阶齐次线性微分方程
4.变系参数非齐次方程
五、向量与空间解析几何
1.向量的基本性质和运算规则
2.点、直线与平面的方程
3.空间曲线的参数方程和切向量
4.空间曲面的一般方程和法向量
六、多元函数微分学
1.多元函数的极值与条件极值
2.偏导数、全微分及其应用
3.隐函数及其导数计算方法
4.多元重积分及其应用
以上仅为高等数学复习笔记的概要，详细内容请参考相关教材或参考书籍进行深入学习。

寄语：亲爱的学弟，学妹们。

期末将至，班主任助理小组为大家准备了一些关于高数的复习资料。

请大家做好考前准备，预祝大家取得优异的成绩。

亲~ 一定要看哦！ 考试内容、重点问题与方法（按照考试提纲总结的） 第一部分：函数极限的计算 （1） 函数值的计算 （2） 连续性的判断 （3） 未定式极限的求法 （4） 洛比达法则的应用 常用的极限公式non x x n n k x kn x x q q x n o=<===→-∞→∞→∞→lim )1|(|0lim 01lim 01lim1 )()(lim 1lim )0(1lim o n n x n n n n n x p x p n a a o==>=→∞→∞→)(0co lim sin lim )"1("1sin lim0为无穷小无穷小乘以有界函数仍极限===∞→∞→→x sx x x x x x x x e x e xen x x n =+=+=+→∞→∞→1x x n )1(lim )11(lim )11(lim 111sinlim 1sinlim 01sin lim 0===∞→∞→→xx x x x x x x x ∞=⋅==⋅=∞→∞→∞→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x lim 1sin lim 1sin lim 0lim 1sin lim 1sinlim 2020常见的等价无穷小xx xe x x x x x x x αα~1)1(~121~cos 1~tan ~sin 2-+-- x nx x x x x xx x x n1~1)1(~)1l n (21~1c o s~a r c t a n ~a r c s i n 12-++--第二部分：导数的计算 （1） 包括初等函数，隐函数及参数方程及抽象函数的一阶，二阶或高阶导数概念与求法；（2） 包括导数概念，几何意义以及连续、导数与微分的关系。

高等数学期末复习资料第 1 页（共9 页）高等数学第一章函数与极限函数与极限函数与极限函数与极限第一节函数○函数基础（高中部分相关知识）（★）○邻域（去心邻域）（★）....,|Uaxxa.........,|0Uaxxa......第二节数列的极限数列的极限数列的极限数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列..nx，证明..limnxxa...【证明示例】N..语言1．由nxa...化简得...gn.，∴..Ng......2．即对0...，..Ng.......，当Nn.时，始终有不等式nxa...成立，∴..axnx (i)第三节函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限○0xx.时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数..xf，证明..Axfxx..0lim【证明示例】...语言1．由..fxA...化简得..00xxg....，∴....g.2．即对.. . 0 ，....g..，当00xx....时，始终有不等式..fxA...成立，∴ f .x. Ax x.. 0lim○..x时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数 f .x. ，证明..Axfx (i)【证明示例】X..语言1．由..fxA...化简得..xg..，∴ (X)2．即对.. . 0 ，...gX..，当Xx.时，始终有不等式..fxA...成立，∴..Axfx (i)第四节无穷小与大无穷小与大无穷小与大无穷小与大无穷小与大○无穷小与大的本质（★）函数..xf无穷小...0lim.xf函数..xf无穷大.....xflim○无穷小与大的相关定理推论（★）（定理三）假设 f .x. 为有界函数，..xg为无穷小，则....lim0fxgx......（定理四）在自变量的某个化过程中，若在自变量的某个化过程中，若..xf为无穷大，则无穷大，则无穷大，则..1fx.为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若为无穷小；反之，若..xf为无穷小，且..0fx.，则..xf1.为无穷大【题型示例】计算：....0limxxfxgx......（或..x）1．∵..fx≤M∴函数..fx在0xx.的任一去心邻域...,0xU.内是有界的；（∵..fx≤M ，∴函数..fx在Dx.上有界；）2．..0lim0..xgxx即函数..xg是0xx.时的无穷小；（..0lim...xgx即函数g.x. 是x . . 时的无穷小；）3．由定理可知....0lim0xxfxgx.......（....lim0xfxgx........）第五节极限运算法则极限运算法则极限运算法则极限运算法则极限运算法则○极限的四则运算法（★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式..px、..xq商式的极限运算设：.....................nnnmmmbxbxbxqaxaxaxp110110则有...............0lim00baxqxpxmnmnmn...........000lim00xxfxgxfxgx......................0000000,00gxgxfxgxfx.....（特别地，当....00lim0xxfxgx..（不定型）时，通常分子分母约去公因式约去公因式约去公因式即约去可间断点便即约去可间断点便即约去可间断点便即约去可间断点便即约去可间断点便即约去可间断点便可求解出极可求解出极可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim9xxx...高等数学期末复习资料第 2 页（共9 页）【求解示例】解：因为3.x，从而可得3.x，所以原式....23333311limlimlim93336xxxxxxxxx.............其中3x.为函数..239xfxx...的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章二节）：解：....00233323311limlimlim9269xLxxxxxxx.............○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★）（定理五）若函数..xf是定义域上的连续函数，那么，....00limlimxxxxfxfx...............【题型示例】求值：93lim23 (xxx)【求解示例】22333316limlim9966xxxxxx.........第六节极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要极限存在准则及两个重要○夹迫准则（P53P53）（★）第一个重要极限：1sinlim0..xxx∵........2,0.x，xxxtansin..∴ 1sinlim.. xxx0000lim11limlim1sinsinsinlimxxxxxxxxxx.............（特别地，000sin()lim1xxxxxx....）○单调有界收敛准则（P57P57）（★）第二个重要极限：exxx..........11lim（一般地，（一般地，（一般地，（一般地，........limlimlimgxgxfxfx.........，其中..0lim.xf）【题型示例】求值：11232lim (xxxx)【求解示例】....211121212122121122122121lim21221232122limlimlim121212122lim1lim121212lim121xxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx...................................................................................................解：....12lim1212121212122lim121xxxxxxxxxeeee.......................................第七节无穷小量的阶（无穷小量的阶（无穷小量的阶（无穷小量的阶（无穷小量的阶（无穷小的比较无穷小的比较无穷小的比较）○等价无穷小（★）1．..~sin~tan~arcsin~arctan~ln(1)~1UUUUUUUe..2．UUcos1~212.（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：....xxxxxx31ln1lnlim20.....【求解示例】..............3131lim31lim31ln1lim31ln1lnlim,0,000020........................xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx所以原式即解：因为第八节函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数的连续性函数的连续性○函数连续的定义（★）......000limlimxxxxfxfxfx......○间断点的分类（P67P67）（★）.........）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数.......xaexfx2，00..xx应该怎样选择数a，使得..xf成为在R上的连续函数？【求解示例】1．∵......2010000feeefaafa...................2．由连续函数定义......efxfxfxx.......0limlim00∴ea.高等数学期末复习资料第 3 页（共9 页）第九节闭区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质区间上连续函数的性质○零点定理（★）【题型示例】证明：方程】证明：方程】证明：方程】证明：方程....fxgxC..至少有一个根介于a与b之间【证明示例】1．（建立辅助函数）（建立辅助函数）（建立辅助函数）（建立辅助函数）（建立辅助函数）（建立辅助函数）......xfxgxC....在闭区间..,ab上连续；2．∵....0ab....（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间∴由零点定理，在开区间∴由零点定理，在开区间∴由零点定理，在开区间∴由零点定理，在开区间∴由零点定理，在开区间..ba,内至少有一点.，使得..0...，即....0fgC.....（10...）4．这等式说明方程这等式说明方程这等式说明方程这等式说明方程....fxgxC..在开区间在开区间.a,b.内至少有一个根.第二章导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分第一节导数概念○高等数学中导的定义及几何意（P83P83）（★）【题型示例】已知函数】已知函数】已知函数........baxexfx1，00..xx在0.x处可导，求a，b【求解示例】1．∵....0010fefa............，......00001120012feefbfe...................2．由函数可导定义..........0010002ffafffb..................∴1,2ab..【题型示例】求..xfy.在ax.处的切线与法方程（或：过（或：过（或：过..xfy.图像上点..,afa....处的切线与法处的切线与法处的切线与法处的切线与法方程）【求解示例】1．..xfy...，..afyax....|2．切线方程：......yfafaxa....法线方程：......1yfaxafa.....第二节函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则函数的和（差）、积与商求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则函数和（差）、积与商的求导法则★）1．线性组合（定理一）：线性组合（定理一）：()uvuv..........特别地，当1....时，有()uvuv......2．函数积的求导法则（定理二）：函数积的求导法则（定理二）：()uvuvuv.....3．函数商的求导法则（定理三）：函数商的求导法则（定理三）：2uuvuvvv...........第三节反函数和复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★）【题型示例】求函数..xf1.的导数【求解示例】由题可得【求解示例】由题可得【求解示例】由题可得【求解示例】由题可得【求解示例】由题可得..xf为直接函数，其在定于域为直接函数，其在定于域为直接函数，其在定于域为直接函数，其在定于域为直接函数，其在定于域为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且..0..xf；∴....11fxfx........○复合函数的求导法则（★）【题型示例】设..2arcsin122lnxyexa....，求y.【求解示例】................2222222arcsin122arcsin122222arcsin1222arcsin1222arcsin1222arcsin122arcsiarcsin12 211121*********xxxxxxxyexaexaxxaexaxexaxxxexxaeaeexa.......................................................... .......解：2n1222212xxxxxxa.............第四节高阶导数○........1nnfxfx.......（或....11nnnndydydxdx..........）（★）【题型示例】求函数..xy..1ln的n阶导数【求解示例】..1111yxx......，......12111yxx...............，..........2311121yxx....................……..1(1)(1)(1)nnnynx........！第五节隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导隐函数及参方程型的导○隐函数的求导（等式两边对x求导）（★）【题型示例】试求：方程】试求：方程】试求：方程】试求：方程yexy..所给定的曲线所给定的曲线所给定的曲线所给定的曲线C：..xyy.在点..1,1e.的切线方程与法【求解示例】由y y . x . e 两边对x 求导即..yyxe.....化简得1yyey.....∴eey (11111)高等数学期末复习资料第 4 页（共9 页）∴切线方程：..exey (1111)法线方程：....exey (111)○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程.........tytx..，求22dxyd【求解示例】1.....ttdxdy.....2...22dydydxdxt..........第六节变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变化率问题举例及相关变（不作要求）第七节函数的微分函数的微分函数的微分函数的微分○基本初等函数微分公式与运算法则（★★★）..dxxfdy...第三章中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用第一节中值定理○引理（费马）（○引理（费马）（★）○罗尔定理（★）【题型示例】现假设函数..fx在..0,.上连续，在上连续，在上连续，在..0,.上可导，试证明：..0,....，使得....cossin0ff.......成立【证明示例】1．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令....sinxfxx..显然函数..x.在闭区间.0,. .上连续，在开区间开区间.0,. . 上可导；2．又∵....00sin00f.......sin0f......即....00.....3．∴由罗尔定理知....0,..，使得，使得. .c . . ossin0 f. f ... . . . 成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当1x.时，xeex..【证明示例】1．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令函数..xfxe.，则对1x..，显然函数..fx在闭区间..1,x上连续，在开区间..1,x上可导，并且..xfxe..；2．由拉格朗日中值定理可得，..1,x...使得等式..11xeexe....成立，又∵1ee..，∴..111xeexeexe......，化简得xeex..，即证得：当x .1时，x e ex . .【题型示例】证明不等式：当0x.时，..ln1xx..【证明示例】1．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令．（建立辅助函数）令....ln1fxx..，则对0x..，函数，函数 f .x. 在闭区间..0,x上连续，在开区上连续，在开区上连续，在开区上连续，在开区间.0,. . 上可导，并且..11fxx...；2．由拉格朗日中值定理可得，由拉格朗日中值定理可得，..0,x...使得等式......1ln1ln1001xx.......成立，化简得..1ln11xx....，又∵..0,x..，∴..111f......，∴..ln11xxx....，即证得：当x .1时，x e ex . .第二节罗比达法则罗比达法则罗比达法则罗比达法则○运用罗比达法则进行极限算的基本步骤（★）1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类及是否满足运用罗比及是否满足运用罗比及是否满足运用罗比及是否满足运用罗比及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A．属于两大基本不定型（0,0..）且满足条件，则进行运算：........limlimxaxafxfxgxgx.....（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B．☆不属于两大基本定型（转化为基本不定型）⑴0..型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：0limlnxxx...【求解示例】..10000201lnlnlimlnlimlimlim111lim0xxLxxxxxxxxxxxxxa.................................解：（一般地，..0limln0xxx.....，其中,R...）⑵...型（通分构造式，观察母）【题型示例】求值：011limsinxxx........【求解示例】200011sinsinlimlimlimsinsinxxxxxxxxxxxx...........................解：........000000002sin1cos1cossinlimlimlimlim0222LxxLxxxxxxxxxx..................高等数学期末复习资料第 5 页（共9 页）⑶00型（对数求极限法）【题型示例】求值：0limxxx.【求解示例】....0000limlnln000002ln,lnlnln1lnln0limlnlimlim111limlim0limlim11xxxxxLxyyxxxxxyxyxxxxxx xyxxxxyeeex...................................解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有⑷1.型（对数求极限法）【题型示例】求值：..10limcossinxxxx..【求解示例】..........01000000limlnln100lncossincossin,ln,lncossinln0limlnlimlncossincossin10limlim1,cossin1 0lim=limxxxxLxxyyxxxxyxxyxxxyxyxxxxxxxxyeeee.................................解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得⑸0.型（对数求极限法）【题型示例】求值：tan01limxxx.......【求解示例】....tan002000202200011,lntanln,1ln0limlnlimtanln1lnlnlimlimlim1sec1tantantansinsinlimlimlixxx xLxxxLxyyxxxyxyxxxxxxxxxxxxx...................................................................解：令两边取对数得对求时的极限，00limlnln0002sincosm0,1lim=lim1xxyyxxxxyeee.........从而可得○运用罗比达法则进行极限算的基本思路（★）0000001.......................(1)(2)(3)⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分）⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指提前）第三节泰勒中值定理泰勒中值定理泰勒中值定理泰勒中值定理泰勒中值定理（不作要求）（不作要求）（不作要求）（不作要求）第四节函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸函数的单调性和曲线凹凸○连续函数单调性（单调区间）（★）【题型示例】试确定函数】试确定函数】试确定函数】试确定函数..3229123fxxxx....的单调区间【求解示例】1．∵函数..fx在其定义域R上连续，且可导∴..261812fxxx....2．令......6120fxxx.....，解得：，解得：，解得：121,2xx..3．（三行表）．（三行表）．（三行表）．（三行表）x..,1..1..1,22..2,....fx......fx极大值极小值4．∴函数 f .x. 的单调递增区间为....,1,2,....；单调递减区间为..1,2【题型示例】证明：当0x.时，1xex..【证明示例】1．（构建辅助函数）．（构建辅助函数）．（构建辅助函数）．（构建辅助函数）．（构建辅助函数）设..1xxex....，（0x.）2．..10xxe.....，（x . 0 ）∴....00x....3．既证：当x . 0 时，1 x e .x.【题型示例】证明：当x . 0 时，..ln1xx..【证明示例】1．（构建辅助函数）设．（构建辅助函数）设．（构建辅助函数）设．（构建辅助函数）设．（构建辅助函数）设．（构建辅助函数）设....ln1xxx....，（x . 0 ）2．..1101xx......，（x . 0 ）∴....00x....3．既证：当x . 0 时，l . . n1 .x .x○连续函数凹凸性（★）【题型示例】试讨论函数2313yxx...的单调性、极值的单调性、极值的单调性、极值的单调性、极值的单调性、极值凹凸性及拐点【证明示例】高等数学期末复习资料第 6 页（共9 页）1．....236326661yxxxxyxx........................320610yxxyx................120,21xxx......3．（四行表）x(,0)..(0,1)1(1,2)2(2,)..y.....y......y1(1,3)4．⑴函数 2 3 y 1 3xx . ..单调递增区间为(0,1), (1,2) 单调递增区间为( ,0) .. , (2,) .. ；⑵函数 2 3 y 1 3xx . ..的极小值在0x.时取到，为..01f.，极大值在2x.时取到，为..25f.；⑶函数 2 3 y 1 3xx . ..在区间( ,0) .. , (0,1)上凹，在区间(1,2), (2,) .. 上凸；⑷函数 2 3 y 1 3xx . ..的拐点坐标为..1,3第五节函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小函数的极值和最大、小○函数的极值与最关系（★）⑴设函数..fx的定义域为的定义域为的定义域为D，如果Mx.的某个邻域..MUxD.，使得对..MxUx..，都适合不等式....Mfxfx.，我们则称函数 f .x. 在点..,MMxfx....处有极大值..Mfx；令..123,,,...,MMMMMnxxxxx.则函数 f .x. 在闭区间..,ab上的最大值M满足：......123max,,,,...,,MMMMnMfaxxxxfb.⑵设函数 f .x. 的定义域为D，如果，如果mx.的某个邻域..mUxD.，使得对，使得对，使得对..mxUx..，都适合不等，都适合不等，都适合不等，都适合不等，都适合不等式....mfxfx.，我们则称函数我们则称函数我们则称函数我们则称函数 f .x. 在点..,mmxfx....处有极小值..mfx；令..123,,,...,mmmmmnxxxxx.则函数 f .x. 在闭区间.a,b. 上的最小值m满足：......123min,,,,...,,mmmmnmfaxxxxfb.；【题型示例】求函数..33fxxx..在..1,3.上的最值【求解示例】1．∵函数 f .x. 在其定义域. 1 . ,3 . 上连续，且可导∴..233fxx....2．令......3110fxxx......，解得：121,1xx...3．（三行表）．（三行表）．（三行表）．（三行表）x1...1,1.1..1,3f. .x...f .x.极小值极大值4．又∵......12,12,318fff......∴........maxmin12,318fxffxf.....第六节函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘函数图形的描绘（不作要求）（不作要求）（不作要求）第七节曲率（不作要求）（不作要求）（不作要求）（不作要求）第八节方程的近似解方程的近似解方程的近似解方程的近似解方程的近似解（不作要求）（不作要求）（不作要求）（不作要求）第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质○原函数与不定积分的概念（★）⑴原函数的概念：假设在定义区间I上，可导函数上，可导函数上，可导函数..Fx的导函数为..Fx.，即当自变量，即当自变量，即当自变量，即当自变量xI.时，有时，有....Fxfx..或....dFxfxdx..成立，则称成立，则称成立，则称成立，则称F.x. 为..fx的一个原函数⑵原函数存在定理：（★）如果函数..fx在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数..Fx使得 F . . . . xfx . . ，也就是说：连续函数一定存在原（可导必）⑶不定积分的概念（★）在定义区间I 上，函数上，函数f .x. 的带有任意常数项C的原函数称为 f .x. 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：....fxdxFxC...（.称为积分号， f .x. 称为被积函数，..fxdx称为积分表达式，x则称为积分变量）○基本积分表（★）○不定积分的线性性质（分项积公式）（★）........1212kfxkgxdxkfxdxkgxdx..........第二节换元积分法换元积分法换元积分法换元积分法○第一类换元法（凑微分）（（凑微分）（（凑微分）（（凑微分）（★）（dy . f ..x.. dx 的逆向应用）........fxxdxfxdx......................高等数学期末复习资料第7 页（共9 页）【题型示例】求221dxax..【求解示例】222211111arctan11xxdxdxdCaxaaaaxxaa............................解：【题型示例】求121dxx..【求解示例】....111121************dxdxdxxxxxC.............解：○第二类换元法（去根式）（★）（dy . f ..x.. dx的正向应用）⑴对于一次根式（0,abR..）：axb.：令taxb..，于是2tbxa..，则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式（0a.）：22ax.：令tanxat.（22t.....），于是arctanxta.，则原式可化为secat；⑶对于根号下平方差的形式（ a . 0 ）：a．22ax.：令sinxat.（2 2t. .. ..），于是arcsinxta.，则原式可化为cosat；b．22xa.：令secxat.（02t...），于是arccosatx.，则原式可化为tanat；【题型示例】求12 1dxx . . （一次根式）【求解示例】2211122112121txxtdxtdtdxtdtdttCxCtx.....................解：【题型示例】求22axdx..（三角换元）【求解示例】....2sin()222222arcsincos22cos1cos221sin2sincos222xattxtadxataaxdxatdttdtaattCtttC.................... .............解：第三节分部积法分部积法分部积法分部积法○分部积法（★）⑴设函数..ufx.，..vgx.具有连续导数，则其具有连续导数，则其具有连续导数，则其具有连续导数，则其具有连续导数，则其分部积公式可表示为：udvuvvdu....⑵分部积法函数排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”排序次：“反、对幂三指”○运用分部积法计算不定积分的基本步骤：⑴遵照分部积法函数排序次对被；⑵就近凑微分：（⑵就近凑微分：（⑵就近凑微分：（⑵就近凑微分：（⑵就近凑微分：（vdxdv...）⑶使用分部积公式：udvuvvdu . . ..⑷展开尾项vduvudx.....，判断a．若vudx...是容易求解的不定积分，则直接计，则直接计，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分、换元法算出答案（容易表示使用基本积分、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b．若v udx . . . 依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至⑵、⑶，直至⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求2xexdx..【求解示例】....222222222222222xxxxxxxxxxxxxxxexdxxedxxdexeedxxexedxxexdexexeedxxexeeC................ .........解：【题型示例】求sinxexdx..【求解示例】........sincoscoscoscoscoscossincossinsincossinsinxxxxxxxxxxxxxxexdxedxexxdeexexdxexedxexe xxdeexexexdx...........................解：..sincossinsinxxxxexdxexexxde.......即：∴..1sinsincos2xxexdxexxC.....第四节有理函数的不定积分有理函数的不定积分有理函数的不定积分有理函数的不定积分有理函数的不定积分有理函数的不定积分○有理函数（★）设：........101101mmmnnnPxpxaxaxaQxqxbxbxb.............对于有理函数....PxQx，当..Px的次数小于..Qx的次数时，有理函次数时，有理函次数时，有理函次数时，有理函. .. .P xQ x是真分式；当是真分式；当是真分式；当是真分式；当P.x. 的次数高等数学期末复习资料第8 页（共9 页）大于. . Q x 的次数时，有理函. .. .P xQ x是假分式○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★）⑴将有理函数将有理函数将有理函数将有理函数. .. .P xQ x的分母Q.x. 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示：其中一个多项式可以表示为一次因式..kxa.；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为；而另一个多项式可以表示为二次质因式..2lxpxq..，（240pq..）；即：......12QxQxQx..一般地：nmxnmxm.........，则参数nam..22bcaxbxcaxxaa...........则参数,bcpqaa..⑵则设有理函数. .. .P xQ x的分拆和式为：............122klPxPxPxQxxaxpxq.....其中........1122...kkkPxAAAxaxaxaxa................2112222222...llllPxMxNMxNxpxqxpxqxpxqMxNxpxq...............参数121212,,...,,,,...,lklMMMAAANNN.........由待定系数法（比较）求出⑶得到分拆式后项积即可求解【题型示例】求21xdxx..（构造法）【求解示例】......221111111111ln112xxxxdxdxxdxxxxxdxdxdxxxxCx................................第五节积分表的使用积分表的使用积分表的使用积分表的使用积分表的使用（不作要求）（不作要求）（不作要求）（不作要求）第五章定积分极其应用定积分极其应用定积分极其应用定积分极其应用定积分极其应用第一节定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的概念与性质定积分的概念与性质○定积分的义（★）....01limnbiiaifxdxfxI.........（ f .x. 称为被积函数，f . . xdx称为被积表达式，x则称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，..,ab称为积分区间）○定积分的性质（★）⑴....bbaafxdxfudu...⑵..0aafxdx..⑶....bbaakfxdxkfxdx.......⑷（线性质）........1212bbbaaakfxkgxdxkfxdxkgxdx..........⑸（积分区间的可加性）......bcbaacfxdxfxdxfxdx.....⑹若函数..fx在积分区间.a,b. 上满足..0fx.，则..0bafxdx..；（推论一）若函数 f .x. 、函数、函数..gx在积分区间在积分区间在积分区间.a,b. 上满足....fxgx.，则....bbaafxdxgxdx...；（推论二）....bbaafxdxfxdx...○积分中值定理（不作要求）第二节微积分基本公式微积分基本公式微积分基本公式微积分基本公式微积分基本公式○牛顿-莱布尼兹公式（★）（定理三）若果函数..Fx是连续函数..fx在区间..,ab上的一个原函数，则......bafxdxFbFa...○变限积分的导数公式（★）（上导―下）..............xxdftdtfxxfxxdx...................【题型示例】求21cos20limtxxedtx...【求解示例】..221100coscos2002limlim解：ttxxxLxdedtedtdxxx.........高等数学期末复习资料第9 页（共9 页）........2222221coscos000cos00coscos0cos010sinsinlimlim22sinlim2cossin2sincoslim21limsincos2 sincos21122xxxxxLxxxxxxeexxexxdxedxxxexexxexxxee.......................................第三节定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部定积分的换元法及部○定积分的换元法（★）⑴（第一换元法）........bbaafxxdxfxdx......................【题型示例】求20121dxx..【求解示例】....222000111121ln212122121ln5ln5ln122解：dxdxxxx...............⑵（第二换元法）设函数....,fxCab.，函数..xt..满足：a．,...，使得....,ab......；b．在区间．在区间．在区间..,..或..,..上，....,ftt.......连续则：......bafxdxfttdt............【题型示例】求40221xdxx...【求解示例】..221210,43220,1014,332332311132222113111332223522933解：ttxxxtxttxdxdxtxttdttdttxt........................................⑶（分部积法）........................bbaabbbaaauxvxdxuxvxvxuxdxuxdvxuxvxvxdux..............○偶倍奇零（★）设....,fxCaa..，则有以下结论成立：⑴若....fxfx..，则....02aaafxdxfxdx....⑵若....fxfx...，则..0aafxdx...第四节定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用（不作要求）第五节定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用定积分在物理上的应用（不作要求）第六节反常积分（不作要求）（不作要求）（不作要求）（不作要求）如：不定积分公式如：不定积分公式如：不定积分公式如：不定积分公式如：不定积分公式21arctan1dxxCx....的证明。

大一期末复习和考研复习必备高等数学基本知识点一、函数与极限1、集合的概念⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。

2、函数⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。

变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。

通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。

注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。

这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。

如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。

这里我们只讨论单值函数。

⑵、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。

由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。

⑶、域函数的表示方法a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。

例：笛卡尔直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。

例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。

c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。