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全国教师教育网络联盟专科起点升本科高等数学复习资料目录第一章函数 (1)一、内容提要 (1)二、典型例题 (2)第二章极限与连续 (5)一、内容提要 (5)二、典型例题 (7)第三章导数与微分 (12)一、内容提要 (12)二、典型例题 (14)第四章导数的应用 (18)一、内容提要 (18)二、典型例题 (20)第五章不定积分 (25)一、内容提要 (25)二、典型例题 (26)第六章定积分及其应用 (30)一、内容提要 (30)二、典型例题 (31)第七章多元函数微积分 (34)一、内容提要 (34)二、典型例题 (37)第一章函数一、内容提要1、函数（1）定义：设有两个变量x与y。

当变量x在给定的某一变域中任意取定一值时，另一变量y就按某一确定的法则有一个确定值与x的这个值相对应，那末变量y称为变量x的函数，记作y=f(x)。

（2）定义中两要素：定义域与对应法则。

定义域：自变量x的取值范围。

对应法则：自变量x与因变量y的对应规则。

（3）注意两点：①两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同时，才能说它们是相同的函数。

②在不同区间上用不同数学表达式来表示的函数称为分段函数。

分段函数是一个函数而不是几个函数。

2、反函数（1）定义：设已知y是x的函数y=f(x)，如果将y当作自变量，x当函数，则由关系式y=f(x)所确定的函数x=ϕ(y)就叫做函数f(x)的反函数，由于通常总把自变量记作x，函数记作y，因此习惯上称y=ϕ(x)为函数f(x)的反函数，记作f -1(x)，而f(x)叫做直接函数。

（2）附注：反函数的定义域与直接函数的值域相同。

3隐函数定义:凡能够由方程F(x,y)=0确定的函数关系，称为隐函数。

4、函数的简单性质有界性，奇偶性，单调性与周期性。

5、复合函数（1）定义：设y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数u=ϕ(x)，而且当x在某一区间I 取值时相应的u值可使y有定义，则称y是x的一个定义于区间I上的复合函数，记作y=f[ϕ(x)]。

高等数学复习第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达）2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。

目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

高等数学（本科少学时类型）第一章函数与极限第一节函数O函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）O邻域（去心邻域）（★)第二节数列的极限O数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列X n，证明limXX n a【证明示例】N语言1•由X n a化简得n g ，N g2.即对0，N g 。

当彳n N时，始终有不等式X n a 成立，••• lim x aX第三节函数的极限O X X0时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数 f x，证明lim fX X0x A【证明示例】语言1•由f x A化简得0XXg ，g2.即对0，g当0XX。

时, 始终有不等式 f x A成立，• lim f x Ax XO X时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数f x，证明lim f X AX【证明示例】X语言1•由 f X A 化简得x gX g2.即对0，X g当X X时，始终有不等式 f x A 成立,• lim f x AX第四节无穷小与无穷大O无穷小与无穷大的本质（★）函数f x无穷小lim f x 0函数f x无穷大lim f xO无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设f x为有界函数，g x为无穷小，则lim f x g x 0（定理四）在自变量的某个变化过程中，若 f x 为无穷大，则f 1 X为无穷小；反之，若f X为无穷小，且f x 0，则f 1x为无穷大【题型示例】计算：lim f x g x （或x ）X X01 .••• f x < M •函数f x在x x0的任一去心邻域U x0,内是有界的；（••• f x < M，•函数f x在x D上有界；）2. lim g x0即函数g X是x X0时的无穷小；X X0(lim g x0即函数g X是X 时的无穷小；）3 .由定理可知lim f x g x 0X X0(lim f x g X0)X第五节极限运算法则O极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式p x、q x商式的极限运算m m 1p X 设：a°x a1x a mq x b°x n n1b nn m则有lim卫X a0n mX q X t b0n mf X0（特别地，当彳lim（不定型）时，通常分子X X0g x0分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值lim-x 3x 3x29【求解示例】解：1因为x 3，从而可得x 3，所以原式x 3X3 1 1 lim 2lim -limx 3x 9x 3x 3x 3x 3x 3 6x 3其中x 3为函数f X —的可去间断点x29倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：x3 °解：lim 2limx 3 X29 L X 3x 3x2 9limx3 2xO 连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★） （定理五）若函数 f x 是定义域上的连续函数， 那么,lim x x o f lim x x X 。

《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。

高等数学复习资料大全高等数学复习资料大全一、函数的极限1、函数极限的定义：当函数f(x)在x趋近于某一值时，函数值无限接近于某一确定的数值A，则称A为函数f(x)在x趋近于这一值时的极限。

2、函数极限的性质：（1）唯一性：若极限存在，则唯一。

（2）局部有界性：在极限附近的函数值有界。

（3）局部保号性：在极限附近，函数值的符号保持不变。

（4）归结原则：若在某一区间内，f(x)恒等于A，则A为f(x)在该区间内的极限。

3、极限的四则运算：设、存在，则、也存在，且、、、。

4、复合函数的极限：设、存在，且g(x)在u=a处连续，则、存在，且、。

5、无穷小与无穷大：（1）无穷小：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的极限为0，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷小。

（2）无穷大：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷大。

6、两个重要极限：（1）sin x / x = 1 （x趋近于0）；（2）(1+k)^ x / kx = e^k （k为常数且k趋近于0）。

二、导数与微分1、导数的定义：设y=f(x)，若增量 / 趋于0时，之间的比值也趋于0，则称f(x)在处可导，称此比值为f(x)在处的导数。

2、导数的几何意义：函数在某一点处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。

3、微分的定义：设y=f(x)，若函数的增量可以表示为，其中A不依赖于，则称在处可微分，为f(x)在处的微分。

4、导数与微分的关系：若函数在某一点处可导，则在该点处必可微分；反之，若函数在某一点处可微分，则在该点处不一定可导。

5、导数的计算方法：（1）四则运算导数公式；（2）复合函数的导数；（3）隐函数求导法；（4）对数求导法；（5）高阶导数。

三、不定积分1、不定积分的定义：设f(x)是一个函数，是一个常数，则对f(x)进行积分所得的结果称为f(x)的不定积分，记为或。

2、不定积分的性质：（1）线性性质：和都存在，且；（2）恒等性质：都存在，且。

高等数学(向量代数—>无穷级数)知识点向量与空间几何向量：向量表示((a^b));向量运算(向量积)；向量的方向和投影空间方程：曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)；直线方程(参数方程和投影方程)平面方程：点法式(法向量)、一般式、截距式；平面夹角和距离直线方程：一般式、对称式(方向向量)、参数式；直线夹角；平面交线(法向量积)切平面和切线：切线与法平面；切平面与法线多元函数微分学多元函数极限：趋近方式，等阶代换偏微分和全微分：高阶微分(连续则可等)；复合函数求导(Jacobi行列式)；多元函数极值：偏导数判定；拉格朗日乘数法(条件极值)重积分二重积分：直角坐标和极坐标；对称性；换元法三重积分：直角坐标、柱坐标和球坐标；对称性重积分的应用：曲面面积；质心；转动惯量；引力曲线与曲面积分曲线积分：弧长积分；坐标曲线积分(参数方程)；格林公式面积积分：对面积积分；坐标面积积分；高斯公式无穷级数级数收敛：通项极限正项级数：调和级数；比较法和比较极限法；根值法；极限法；绝对收敛和条件收敛幂级数：收敛半径和收敛域；和函数；麦克劳林级数(二次展开)Fourier级数：傅里叶系数(高次三角函数积分)；奇偶延拓；正弦和余弦级数；一般周期的傅里叶级数矢量分析与场论(空间场基础)方向导数与梯度方向导数：向量参数式；偏导数；方向余弦梯度(grad)：方向导数的最值；梯度方向；物理意义(热导方向与电场方向)格林公式：曲线积分—>二重积分；曲线方向与曲面方向全微分原函数：场的还原；折线积分通量与散度高斯公式：闭合曲面—>三重积分；曲面外侧定向；曲面补齐；向量表达(通量)散度(div)：通量的体积元微分；物理意义(有源场(电场)) 环流量与旋度斯托克斯公式：闭合曲线—>曲面积分；向量积定向；行列式表达；向量表达；物理意义(环通量)旋度(rot)：行列式斯托克斯公式；物理意义(有旋场(磁场))向量代数定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示向量 有大小、有方向. 记作a 或AB a (,,)x y z x y z a i a j a k a a a =++=,,x x y y z z a prj a a prj a a prj a ===模向量a 的模记作aa 222x y z a a a =++和差c a b =+c a b =－=+c a b {},,=±±±x x y y z z a b a b a b单位向量0a ≠，则a ae a=a e 222(,,)=++x y z x y z a a a a a a方向余弦设a 与,,x y z 轴的夹角分别为αβγ，，，则方向余弦分别为cos αβγ，cos ，coscos y x z a a a aaaαβγ===，cos ，coscos a e αβγ=(，cos ，cos ) 222cos 1αβγ+=+cos cos 点乘（数量积） θcos b a b a =⋅，θ为向量a 与b 的夹角 z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a叉乘（向量积）b ac ⨯=θsin b a c =θ为向量a 与b 的夹角向量c 与a ，b 都垂直 zyxz y xb b b a a a k j ib a =⨯ 定理与公式垂直 0a b a b ⊥⇔⋅= 0x x y y z z a b a b a b a b ⊥⇔++=平行 //0a b a b ⇔⨯=//y zx x y za a a ab b b b ⇔== 交角余弦两向量夹角余弦ba ba ⋅=θcos222222cos x x y y z zx y z x y za b a b a b a a a b b b θ++=++⋅++投影向量a 在非零向量b 上的投影cos()b a bprj a a a b b∧⋅==222x x y y z zb x y za b a b a b prj a b b b ++=++空间曲面∑：0),,(=z y x F法向量000000000((,,),(,,),(,,))x y z n F x y z F x y z F x y z = 切平“面”方程：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x x x F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=法“线“方程：),,(),,(),,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- ),(y x f z = 0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =--或0000((,),(,),1)x y n f x y f x y =-切平“面”方程：0)())(,())(,(0000000=---+-z z y y y x f x x y x f y x法“线“方程：1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x 重积分 积分类型计算方法典型例题二重积分()σd ,⎰⎰=Dy x f I平面薄片的质量质量=面密度⨯面积（1） 利用直角坐标系X —型⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφY —型⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕP141—例1、例3（2）利用极坐标系 使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段 )； (2) 被积函数用极坐标变量表示较简单(含22()x y α+,α为实数)21()()(cos ,sin )(cos ,sin )Df d d d f d βϕθαϕθρθρθρρθθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰02θπ≤≤0θπ≤≤2πθπ≤≤P147—例5（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D 关于y 轴对称时，（关于x 轴对称时，有类似结论）P141—例2应用该性质更方便所有类型的积分：○1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；○2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；○3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

《高等数学复习》教程第一讲 函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法 （1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor 级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim0)(6sin limx x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限）4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题 4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。