数学必修4人教A教案 学案2.2.2向量减法运算及其几何意义

§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义教学目标：了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定.学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路：一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++BA BA CB . 解：=++=++ 二、 提出课题：向量的减法1． 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O ，作= a ， = bA BD CO abBaba -b则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1︒AB 表示a - b .强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.4． 探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b - a.２）若a ∥b ， 如何作出a - b ？ 三、 例题：例一、（P ９７ 例三）已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d . 解：在平面上取一点O ，作= a ， = b ， = c ， = d ， 作， DC ， 则= a -b ， DC = c -d例二、平行四边形ABCD 中，=a ，=b ，OABaBb-b bBa + (-b )a bD CABCbad cDOa -bABBB ’Oa -ba a bbOAO Ba -ba -bBA O-b用a、b表示向量、.解：由平行四边形法则得：AB- = a-b= a + b，DB= AD变式一：当a，b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？（|a| = |b|）变式二：当a，b满足什么条件时，|a+b| = |a-b|？（a，b互相垂直）变式三：a+b与a-b可能是相当向量吗？（不可能，∵练习：Ｐ98四、小结：向量减法的定义、作图法|五、作业：P103第4、５题六、板书设计（略）七、备用习题：1.在△ABC中，=a，=b，则等于A.a+b-a+(-b a-b b-a2.O为平行四边形ABCD平面上的点，设OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，则A.a+b+c+d=0B.a-b+c-d a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0３.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空：a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d=４、如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示），使a+b=AB，c-d=，并画出b-c和a+d.。

2.2. 2向量的减法运算及其几何意义学习目标、细解考纲1、 了解相反向量的概念；2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.4．通过向量的减法运算学习，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养；一、自主学习—————（素养催化剂）预习教材P85—P861.相反向量：（1）“相反向量”的定义：与a、的向量.记作（2）规定：零向量的相反向量仍是；(3) -(-a ) =,a + (-a ) = ；(4) 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ，b = -a ， a + b = 02. 向量的减法：向量a 加上的b 的向量，叫做a 与b 的差.即：a -b = a + (-b ) ,求两个向量差的运算叫做向量的减法.3.两个向量差的作法: 若向量a 和b 有相同的起点，则a -b 可以表示为从向量b 的指向向量a 的的向量.4.（1）三角形法则：作,,,b a BA b OB a OA-===则即把两个向量的起点放在一起，这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量。

(2) 平行四边形法则：如图2，作,,b OB a OA ==以OA,OB 为边作平行四边形OACB,连接BA ，,b a BA -=则从图中可以看出，一个向量减去另外一个向量，等于此向量加上另一个向量的 .二、探究应用,“三会培养”-------(素养生长剂)【例1】 已知向量a 、b 、c ,求作向量a -b +c .变式1：如图，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作向量并分别求模．(1)a ＋b ＋c ； (2)a －b ＋c .例2:化简：（-）-(-)=____________.变式2：已知一个点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 、的向量分别为a 、b 、c ，则向量=_______________.三、拓展延伸、智慧发展--------（素养强壮剂）例3、如图所示四边形ABCD 为平行四边形，设AB →＝a ，AD →＝b .(1)求当a 与b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |；(2)求当a 与b 满足什么条件时，四边形ABCD 为菱形，正方形．变式3：已知平面内四边形ABCD 和点O ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，若a ＋c ＝b ＋d ，试判断四边形ABCD 的形状．备选例题如图，在任意四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．求证：AB →＋DC →＝2EF →.四、本课总结、感悟思考--------（素养升华剂）AB CD AC BD OD。

2.2. 2向量的减法运算及其几何意义教学目标：.•了解相反向量的概念；•掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教学难点：减法运算时方向的确定.教学思路：•攵习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律：•例：在四边形中，CB + BA-^-AD=_____________________ . 解：CB^-BA^-AD = CA + AD = CD提出课题：向量的减法. 用“相反向量”定义向量的减法（1）“相反向量”的定义：与白长度相同、方向相反的向量•记作a.（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量.（a） = a,任一向量与它的相反向量的和是零向量•白+ （a） = 0. 如果日、〃互为相反向量，则日=b, b =日，a + b = 0（3）向量减法的定义：向量臼加上的方相反向量，叫做臼与b的差.. 即：已b = a + （6）求两个向量差的运算叫做向量的减法.• •用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：.若b x = a,则“叫做日与力的差，记作日b•求作差向量：已知向量臼、b,求作向量臼b注意：1 AB表示自b.强调：差向量“箭头”指向被减数2用“相反向量”定义法作差向量，a力二日+ （力）bA. a+b B •-a+ (-b)C. a~bD. b-a4.探究：1 ）如果从向量曰的终点指向向量力的终点作向量，那么所得向量是b a.2）若a//b f 如何作出白 b ?三、例题:解：由平行四边形法则得： AC= a + b, DB= AB-AD 二a b 变式一：当白，方满足什么条件时，时方与臼 方垂直？ （ | a\ = | b\ ）变式二：当日，"满足什么条件时，丨时引二|日 方|?（日，方互相垂直）变式三：臼+方与臼 方可能是相等向量吗？（不可能，'口 对角线方向不同）例3.如图，已知一点O 到平行四边形ABCD的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为:、匸2 试用向量d 、c 表示OD练习：1。

2.2.2 向量减法运算及其几何意义明目标、知重点 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算．1．我们把与向量a 长度相等且方向相反的向量称作是向量a 的相反向量，记作－a ，并且有a ＋(－a )＝0.2．向量减法的定义：若b ＋x ＝a ，则向量x 叫做a 与b 的差，记为a －b ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．3．向量减法的平行四边形法则：以向量A B →＝a ，A D →＝b 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线的向量B D →＝b －a ，D B →＝a －b .4．向量减法的三角形法则：在平面内任取一点O ，作O A →＝a ，O B →＝b ，则B A →＝a －b ，即a －b 表示从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．[情境导学] 上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢？本节课将解决这一问题． 探究点一 向量的减法思考1 a 的相反向量是什么？－a 的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？ 答 与向量a 长度相等且方向相反的向量称作是向量a 的相反向量，记作－a ，并且有a ＋(－a )＝0，－a 的相反向量是a 即－(－a )＝a . 规定：零向量的相反向量仍是零向量．思考2 我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？答 向量的减法也有类似法则，定义a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．思考3 向量a 加上向量b 的相反向量，叫做a 与b 的差向量，求两个向量的差的运算叫做向量的减法，对于向量a ，b, c ，若a ＋c ＝b ，则c 等于什么？答 a ＋c ＝b ⇔c ＝b －a .小结 (1)－AB →＝BA →；(2)－(－a )＝a ；(3)－0＝0；(4)a ＋(－a )＝0；(5)若a 与b 互为相反向量，则有：a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0. 探究点二 向量减法的法则思考1 由于a －b ＝a ＋(－b )．因此要作出a 与b 的差向量a －b ，可以转化为作a 与－b 的和向量．已知向量a ，b 如图所示，你能利用平行四边形法则作出差向量a －b 吗？答利用平行四边形法则．在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，作OC →＝－b ，以OA →，OC →为邻边作平行四边形OAEC ，则OE →＝a －b .思考2 向量减法的三角形法则是什么？答 当把两个向量a ，b 的始点移到同一点时，它们的差向量a －b 可以通过下面的作法得到： ①连接两个向量(a 与b )的终点；②差向量a －b 的方向是指向被减向量的终点．这种求差向量a －b 的方法叫向量减法的三角形法则．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”．思考3 请你利用向量减法的三角形法则作出上述向量a 与b 的差向量a －b ？若a ＋b ＝c ＋d ，则a －c ＝d －b 成立吗？ 答利用三角形法则．在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b . 等式成立．移项法则对向量等式适用． 例1如图所示，已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a －b ，c －d .解 如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d .则BA →＝a －b ，DC →＝c －d .反思与感悟 根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量． 跟踪训练1如图所示，在正五边形ABCDE 中，A B →＝m ，B C →＝n ，C D →＝p ，D E →＝q ，E A →＝r ，求作向量m －p ＋n －q －r .解 延长AC 到Q .使CQ ＝AC ， 则m －p ＋n －q －r＝(m ＋n )－(p ＋q ＋r )＝A C →－C A →＝A C →＋C Q →＝A Q →.例2 化简下列式子： (1)NQ →－PQ →－NM →－MP →； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．解 (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0. (2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝CB →－CB →＝0.反思与感悟 向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点． 跟踪训练2 化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)； (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)． 解 (1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)＝CA →－CD →＝DA →. (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →)＝AC →＋BA →－DC →＋DB → ＝BC →－DC →＋DB →＝BC →＋CD →＋DB →＝BC →＋CB →＝0. 探究点三 |a －b |与|a |、|b |之间的关系 思考1 若a 与b 共线，怎样作出a －b?答 ①当a 与b 同向且|a |≥|b |时，在给定的直线l 上作出差向量a －b ：OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ；②当a 与b 同向且|a |≤|b |时，在给定的直线l 上作出差向量a －b ：OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ；③若a 与b 反向，在给定的直线l 上作出差向量a －b ：OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .思考2 通过作图，探究|a －b |与|a |、|b |之间的大小关系？ 答 当a 与b 不共线时，有：||a |－|b ||<|a －b |<|a |＋|b |； 当a 与b 同向且|a |≥|b |时，有：|a －b |＝|a |－|b |； 当a 与b 同向且|a |≤|b |时，有：|a －b |＝|b |－|a |.例3 如图，▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a ，b 表示向量AC →，DB →吗？解 由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC →＝a ＋b ； 同样，由向量的减法，知 DB →＝AB →－AD →＝a －b .反思与感悟 (1)用已知向量表示其他向量时，关键是利用向量加法的三角形法则及向量减法的几何意义．(2)用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为：①观察待表示的向量位置；②寻找相应的平行四边形或三角形；③运用法则找关系，化简得结果． 跟踪训练3如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量OA →.解 方法一 ∵b ＋c ＝DA →＋OC →＝OC →＋CB →＝OB →， OA →＋a ＝OA →＋AB →＝OB →；∴b ＋c ＝OA →＋a ，即b ＋c －a ＝OA →.方法二 ∵c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OD →， OD →＝OA →＋AD →＝OA →－b ，∴c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA →.1．在平行四边形ABCD 中，AC →－AD →等于( ) A.AB → B.BA → C.CD → D.DB → 答案 A解析 AC →－AD →＝DC →＝AB →.2．在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( ) A.AB →－DC →＝0 B.AD →－BA →＝AC → C.AB →－AD →＝BD → D.AD →＋CB →＝0 答案 C解析 ∵AB →＝DC →，∴AB →－DC →＝0，A 正确； ∵AD →－BA →＝AD →＋AB →＝AC →，B 正确； ∵AB →－AD →＝AB →＋DA →＝DB →，C 错误；∵AD →＝BC →，∴AD →＝－CB →，∴AD →＋CB →＝0，D 正确． 3．在平行四边形ABCD 中，BC →－CD →＋BA →－AD →＝______. 答案 0解析 原式＝(BC →－AD →)＋(BA →－CD →)＝0＋0＝0.4．已知OA →＝a ，OB →＝b ，若|OA →|＝12，|OB →|＝5，且∠AOB ＝90°，则|a －b |＝________. 答案 13解析 ∵|OA →|＝12，|OB →|＝5，∠AOB ＝90°， ∴|OA →|2＋|OB →|2＝|AB →|2，∴|AB →|＝13.∵OA →＝a ，OB →＝b ，∴a －b ＝OA →－OB →＝BA →， ∴|a －b |＝|BA →|＝13. [呈重点、现规律]1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )． 2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以平行四边形ABCD 的两邻边AB 、AD 分别表示向量AB →＝a ，AD →＝b ，则两条对角线表示的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．一、基础过关1.如图，四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c 答案 A2．化简OP →－QP →＋PS →＋SP →的结果等于( ) A.QP → B.OQ → C.SP → D.SQ → 答案 B3．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE → 答案 B4．如图， D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0 答案 A解析 AD →＋BE →＋CF →＝12AB →＋12BC →＋12CA →＝12(AB →＋BC →＋CA →)＝0.5．在边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D.3答案 D解析 作菱形ABCD ， 则|AB →－BC →|＝|AB →－AD →| ＝|DB →|＝ 3. 6.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________. 答案 CA →7．已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示OD →.解 方法一 如图所示， O D →＝O A →＋A D →＝a ＋B C →＝a ＋(O C →－O B →)＝a ＋c －b .方法二 O D →＝O A →＋A B →＋B C →＋C D →＝O A →＋B C →＋(A B →＋C D →)＝O A →＋B C →＋0 ＝O A →＋(B O →＋O C →)＝a ＋(－b ＋c )＝a －b ＋c . 二、能力提升8．若|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →|的取值范围是( )A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13) 答案 C解析 ∵|BC →|＝|AC →－AB →|且 ||AC →|－|AB →||≤|AC →－AB →|≤|A C →|＋|AB →|. ∴3≤|AC →－AB →|≤13. ∴3≤|BC →|≤13.9．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，AC →＝c ，BC →＝b ，则|a ＋b ＋c |等于( ) A ．0 B ．3 C. 2 D ．22 答案 D解析 在正方形ABCD 中，AB →＋BC →＝AC →＝c ， ∴|a ＋b ＋c |＝|2c |， 又∵|c |＝2，∴|a ＋b ＋c |＝22，故选D.10．若a ≠0，b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 所在直线的夹角是________． 答案 30° 解析设OA →＝a ，OB →＝b ， 则a －b ＝BA →， ∵|a |＝|b |＝|a －b |， ∴|OA →|＝|OB →|＝|BA →|， ∴△OAB 是等边三角形， ∴∠BOA ＝60°.∵OC →＝a ＋b ，且在菱形OACB 中，对角线OC 平分∠BOA .∴a 与a ＋b 所在直线的夹角为30°.11．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)的结果是________． 答案 0解析 方法一 (AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD → ＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →) ＝AD →＋DA →＝0.方法二 (AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →) ＝CB →＋BC →＝0.12．已知|a |＝8，|b |＝6，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |.解 设AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，如下图所示：则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，所以|AC →|＝|DB →|. 又因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以四边形ABCD 为矩形，故AD ⊥AB .在Rt △DAB 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，由勾股定理得 |DB →|＝|AB →|2＋|AD →|2＝82＋62＝10.所以|a －b |＝10. 三、探究与拓展13.如图所示，O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.高中数学-打印版精校版证明 作直径BD ，连接DA 、DC ， 则OB →＝－OD →，DA ⊥AB ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB， CD ⊥BC .∴CH ∥DA ，AH ∥DC ，故四边形AHCD 是平行四边形． ∴AH →＝DC →，又DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →， ∴OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋DC → ＝OA →＋OB →＋OC →.。

向量的减法运算及其几何意义教案参赛选手编号：21一、教材分析和学情分析：“向量的减法运算及其几何意义”是高中数学教材人教 A版必修 4 第二章“平面向量”第二单元第二节的内容向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景本节课的学习是建立在学生已经掌握了平面向量的基本概念和相等向量、共线向量的特点，以及向量加法运算的基础上，进一步对于向量减法运算及其几何意义进行研究类比实数的减法运算，通过相反向量将向量减法运算转化为向量加法运算，体现了加法运算与减法运算的内部联系向量减法的学习是对数学中减法运算的丰富与升华，是对运算认识的又一次质的飞跃根据本节课的内容特点以及学生的实际情况。

本节课的学习在发展学生运算能力的同时还需要培养学生运用向量语言和方法表述及其解决实际问题的能力另外，向量减法运算及几何意义与向量加法运算及即将学习的向量数乘运算及其几何意义都有着密不可分的关系，因此本节课的内容起到了承前启后的重要作用并且本节课内容的教学还为培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合、类比、转化的数学思想方法提供了重要的素材二、重难点分析重点:让学生自己去感受向量减法的形成过程。

向量减法与向量加法的类比、和转化则为本节课的教学重点难点：向量减法方向的方向的确定及向量减法的实际应用。

突破点：从本节课知识出发，借助相反向量利用转化及类比思想培养学生良好的数学思维能力。

三、目标定位1、知识与能力（1）掌握相反向量的概念，通过类比数的运算理解向量减法的定义，并掌握做两个向量的差向量的方法（2）掌握向量减法的几何意义并体会向量加、减法的内在联系，从而渗透转化的数学思想方法2、过程与方法（3）通过学习，感知向量具有数形兼备的特征，同时也是研究图形的重要工具，从而深入体会数形结合的思想方法（4）通过学习使学生经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题的过程，提高学生分析实际问题的能力，增强数学应用意识3、情感态度与价值观（5）营造和谐的课堂氛围，通过独立思考及合作交流使学生获得学习数学的成功体验，培养良好的学习习惯及利用转化、类比、数形结合等方法形成严谨的思维方式四、教学设想小结升华，布置作业1、创设情境、引出课题—概念形成教学过程设计意图与反思（1）通过前面的学习，我们知道向量是既有大小又有方向的量，并掌握了相等向量和共线向量的概念，了解了向量可以进行加法运算，现在大家看这样一道复习题，（2）2．提出问题，创设情境正如教材的第二章扉页上所说，如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限同时通过向量加法的学习，我们已经初步感受到了将知识的复习融入一道题目之中，巧妙地安排设问，复习相关概念并巩固向量加法的两种法则，为后续的教学做好准备【设计意图】问题串的引入符合学生的认知规律，从加法到减法的过渡自然流畅通过总结点明本节课所用到的三种数学思想类比、转化及数形结合的思想。

2.2.2向量的减法运算及其几何意义教案一、教材分析和学情分析：“向量的减法运算及其几何意义”是高中数学教材人教 A版必修 4 第二章“平面向量”第二单元第二节的内容. 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景. 本节课的学习是建立在学生已经掌握了平面向量的基本概念和相等向量、共线向量的特点，以及向量加法运算的基础上，进一步对于向量减法运算及其几何意义进行研究. 类比实数的减法运算，通过相反向量将向量减法运算转化为向量加法运算，体现了加法运算与减法运算的内部联系. 向量减法的学习是对数学中减法运算的丰富与升华，是对运算认识的又一次质的飞跃.根据本节课的内容特点以及学生的实际情况。

本节课的学习在发展学生运算能力的同时还需要培养学生运用向量语言和方法表述及其解决实际问题的能力. 另外，向量减法运算及几何意义与向量加法运算及即将学习的向量数乘运算及其几何意义都有着密不可分的关系，因此本节课的内容起到了承前启后的重要作用. 并且本节课内容的教学还为培养学生逻辑推理能力和渗透数形结合、类比、转化的数学思想方法提供了重要的素材.二、重难点分析重点:让学生自己去感受向量减法的形成过程。

向量减法与向量加法的类比、和转化则为本节课的教学重点难点：向量减法方向的方向的确定及向量减法的实际应用。

.突破点：从本节课知识出发，借助相反向量利用转化及类比思想培养学生良好的数学思维能力。

三、目标定位1、知识与能力（1）掌握相反向量的概念，通过类比数的运算理解向量减法的定义，并掌握做两个向量的差向量的方法.（2）掌握向量减法的几何意义并体会向量加、减法的内在联系，从而渗透转化的数学思想方法.2、过程与方法（3）通过学习，感知向量具有数形兼备的特征，同时也是研究图形的重要工具，从而深入体会数形结合的思想方法.（4）通过学习使学生经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题的过程，提高学生分析实际问题的能力，增强数学应用意识.3、情感态度与价值观（5）营造和谐的课堂氛围，通过独立思考及合作交流使学生获得学习数学的成功体验，培养良好的学习习惯及利用转化、类比、数形结合等方法形成严谨的思维方式.四、教学设想教学过程结构图如图 1 所示.（2）2．提出问题，创设情境正如教材的第二章扉页上所说，如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限. 同时通过向量加法的学习，我们已经初步感受到了运算给予向量的力量，那请同学们思考向量除了加法还会有其他运算吗？1：（1）如何定义向量减法？用怎样的符号表示呢？如何理解向量的减法及其几何意义？（2）我们知道，在实数运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数. 类比相反数，我们在学习向量减法时，是否也有这样的相反的向量呢？（3）一架飞机由天津到香港，再由香港返回天津，飞机的两次位移分别是什么？（4）在物理学中我们学习过作用力与反作用力的概念，是如何定义的呢？（5）两个情境中涉及的两个量，具有怎样的关系呢？（6）结合以上特点，你能否在正六边形中，找到也具有这种特点的两个向量？（7）满足这样特点的两个向量，我们就把它称作相反向量. 用怎样的数学符号表示呢？学生对以上问题进行较完善的回答.将知识的复习融入一道题目之中，巧妙地安排设问，复习相关概念并巩固向量加法的两种法则，为后续的教学做好准备..【设计意图】问题串的引入符合学生的认知规律，从加法到减法的过渡自然流畅. 问题以类比减法运算的方式提出，为学生研究向量减法运算提供了思考方法，同时从生活及物理学情境引入新知可以激发学生的学习兴趣. 教学过程中，相反向量的定义由学生自己发现并总结，同时在正六边形的复习题中得以应用，形成呼应. 知识的形成并非2、合作探究，初步认识——作图及几何意义形成3、师生合作、共探新知——进一步应用向量减法4、感情升华--课堂小结、布置作业布置作业①巩固型作业：教材第 87 页练习第 1，2，3 题；②思维拓展型作业：思考：向量还会有其他运算吗？怎样运算呢？遵循什么运算律呢？【设计意图】本环节引导学生自主回忆本节课的收获，最后总结所用到的转化思想、类比思想和数形结合思想三种数学研究方法，培养学生的数学思维能力。

2.2.2向量减法运算及其几何意义一．知识导学1．我们把与向量a 长度相等且方向相反的向量称作是向量a 的相反向量，记作____，并且有a ＋(－a )＝__.2.向量减法的定义若b ＋x ＝a ，则向量x 叫做a 与b 的，记为_____，求两个向量差的运算，叫做 .3．向量减法的平行四边形法则以向量AB →＝a ，AD →＝b 为邻边作，则对角线的向量BD →＝b －a ，DB →＝a －b . 4．向量减法的三角形法则在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 表示从向量的终点指向向量的终点的向量.二．探究与发现【探究点一】向量的减法对照实数的减法，类比向量的减法，完成下表：根据相反向量的含义，完成下列结论：(1)－AB →＝___；(2)－(－a )＝__；(3)－0＝__；(4)a ＋(－a )＝__；(5)若a 与b 互为相反向量，则有：a ＝____，b ＝____，a ＋b ＝__.【探究点二】向量减法的三角形法则(1)由于a －b ＝a ＋(－b )．因此要作出a 与b 的差向量a －b ，可以转化为作a 与－b 的和向量．已知向量a ，b 如图所示，请你利用平行四边形法则作出差向量a －b .(2)当把两个向量a ，b 的始点移到同一点时，它们的差向量a －b 可以通过下面的作法得到：①连接两个向量(a 与b )的终点；②差向量a －b 的方向是指向被减向量的终点．这种求差向量a －b 的方法叫向量减法的三角形法则．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”．请你利用向量减法的三角形法则作出上述向量a 与b 的差向量a －b .【探究点三】|a －b |与|a |、|b |之间的关系对比项实数的减法向量的减法对比内容(1)相反数绝对值相等，符号相反的两个数，互为相反数(1)相反向量的两个向量，互为相反向量(2)零的相反数是零(2) (3)互为相反数的和是零(3) (4)实数的减法：减去一个数等于加上这个数的相反数(4)向量的减法：减去一个向量相当于(1)若a 与b 共线，怎样作出a －b?(2)通过上面的作图，探究|a －b |与|a |，|b |之间的大小关系：当a 与b 不共线时，有：_____________________；当a 与b 同向且|a |≥｜b |时，有：_______________；当a 与b 同向且|a |≤｜b |时，有：_______________.【典型例题】例1 如图所示，已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a －b ，c －d .跟踪训练 1 如图所示，在正五边形ABCDE 中，AB →＝m ，BC →＝n ，CD →＝p ，DE →＝q ，EA →＝r ，求作向量m－p ＋n －q －r .例2 化简下列式子：(1)NQ →－PQ →－NM →－MP →；(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．跟踪训练 2 化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)；(2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)．例3 若AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .(1)当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 垂直？(2)当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |?(3)当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 平分a 与b 所夹的角？(4)a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？跟踪训练 3 如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试求：(1)|a ＋b ＋c |；(2)|a －b ＋c |.三．巩固训练1．在平行四边形ABCD 中，AC →－AD →等于( ) A.AB → B.BA → C.CD→D.DB →2．在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( ) A.AB →－DC →＝0 B.AD →－BA →＝AC→C.AB →－AD →＝BD →D.AD →＋CB →＝03．在平行四边形ABCD 中，BC →－CD →＋BA →－AD →＝______4．已知OA →＝a ，OB →＝b ，若|OA →|＝12，|OB →|＝5，且∠AOB ＝90°，则|a －b |＝________.。

2.2.2 向量减法运算及其几何意义
1.知识与技能
(1)了解相反向量的概念.
(2)掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义.
2.过程与方法
通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想.
3.情感、态度与价值观
通过本节学习,使学生利用类比的方法探究向量减法的运算法则,培养学生的探索精神与创新
意识.
重点:向量减法的概念和向量减法的作图法.
难点:减法运算时方向的确定.
重难点突破:向量的减法运算是加法运算的逆运算.在进行减法运算时,有时可转化为加法运算.向量的减法满足三角形法则:连接两个向量的终点,箭头指向被减向量,所得的向量即为差向量.要
注意在用三角形法则时两向量必须是同一个起点.
非零向量a,b的差向量的三角不等式:(1)当a,b不共线时,如图①,作=a ,=b,则a-b =.
(2)当a,b共线且同向时,若|a|>|b|,则a-b与a,b同向(如图②),
于是|a-b|=|a|-|b|;
若|a|<|b|,则a-b与a,b反向(如图③),
于是|a-b|=|b|-|a|.
(3)当a,b共线且反向时,a-b与a同向,与b反向.于是|a-b|=|a|+|b|(如图④).
可见,对任意两个向量,总有下列向量不等式成立:
||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
说明:若a,b至少有一个零向量时,向量不等式的等号成立.
1。

2.2.2 向量減法運算及其幾何意義一、教學分析向量減法運算是加法的逆運算.學生在理解相反向量的基礎上結合向量的加法運算掌握向量的減法運算.因此,類比數的減法(減去一個數等於加上這個數的相反數),首先引進相反向量的概念,然後引入向量的減法(減去一個向量,等於加上這個向量的相反向量),通過向量減法的三角形法則和平行四邊形法則,結合一定數量的例題,深刻理解向量的減法運算.通過闡述向量的減法運算,可以轉化為向量加法運算,滲透化歸的數學思想,使學生理解事物之間的相互轉化、相互聯繫的辨證思想,同時由於向量的運算能反映出一些物理規律,從而加強了數學學科與物理學科之間的聯繫,提高學生的應用意識.二、教學目標：1、知識與技能：瞭解相反向量的概念；掌握向量的減法，會作兩個向量的減向量，並理解其幾何意義。

2、過程與方法：通過將向量運算與熟悉的數的運算進行類比，使學生掌握向量減法運算及其幾何意義，並會用它們進行向量計算，滲透類比的數學方法。

3、情感態度與價值觀：通過闡述向量的減法運算可以轉化成向量的加法運算，使學生理解事物之間可以相互轉化的辯證思想。

三、重點難點教學重點:向量的減法運算及其幾何意義.教學難點:對向量減法定義的理解.四、學法指導減法運算是加法運算的逆運算，學生在理解相反向量的基礎上結合向量的加法運算掌握向量的減法運算；並利用三角形做出減向量。

五、教學設想（一）導入新課思路1.(問題導入)上節課,我們定義了向量的加法概念,並給出了求作和向量的兩種方法.由向量的加法運算自然聯想到向量的減法運算:減去一個數等於加上這個數的相反數.向量的減法是否也有類似的法則呢?引導學生進一步探究,由此展開新課.思路2.(直接導入)數的減法運算是加法運算的逆運算.本節課,我們繼續學習向量加法的逆運算——減法.引導學生去探究、發現.（二）推進新課、新知探究、提出問題①向量是否有減法？②向量進行減法運算,必須先引進一個什麼樣的新概念？③如何理解向量的減法？④向量的加法運算有平行四邊形法則和三角形法則,那麼,向量的減法是否也有類似的法則？活動:數的減法運算是數的加法運算的逆運算,數的減法定義即減去一個數等於加上這個數的相反數,因此定義數的減法運算,必須先引進一個相反數的概念.類似地,向量的減法運算也可定義為向量加法運算的逆運算.可類比數的減法運算,我們定義向量的減法運算,也應引進一個新的概念,這個概念又該如何定義?引導學生思考,相反向量有哪些性質?由於方向反轉兩次仍回到原來的方向,因此a和-a互為相反向量.於是-(-a)=a.我們規定,零向量的相反向量仍是零向量.任一向量與其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互為相反的向量,那麼a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四邊形法則圖1如圖1,設向量AB=b,AC=a,則AD=-b,由向量減法的定義,知AE=a+(-b)=a-b.又b+BC=a,所以BC=a-b.由此,我們得到a-b的作圖方法.圖2(2)三角形法則如圖2,已知a、b,在平面內任取一點O,作OA=a,OB=b,則=a-b,即a-b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量,這是向量減法的幾何意義.討論結果:①向量也有減法運算.②定義向量減法運算之前,應先引進相反向量.與數x的相反數是-x類似,我們規定,與a長度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,記作-a.③向量減法的定義.我們定義a-b=a+(-b),即減去一個向量相當於加上這個向量的相反向量.規定:零向量的相反向量是零向量.④向量的減法運算也有平行四邊形法則和三角形法則,這也正是向量的運算的幾何意義所在,是數形結合思想的重要體現.提出問題①上圖中,如果從a的終點到b的終點作向量,那麼所得向量是什麼?②改變上圖中向量a、b的方向使a∥b,怎樣作出a-b呢?討論結果:①AB=b-a.②略.（三）應用示例如圖3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.圖3活動:教師讓學生親自動手操作,引導學生注意規範操作,為以後解題打下良好基礎;點撥學生根據向量減法的三角形法則,需要選點平移作出兩個同起點的向量.作法:如圖3(2),在平面內任取一點O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d.則BA=a-b,DC=c-d.變式訓練(2006上海高考) 在ABCD中,下列結論中錯誤的是( )A.AB=DCB.AD+AB=ACC.AB-AD=BDD.AD+BC=0分析:A顯然正確,由平行四邊形法則可知B正確,C中,AB-AD=BD錯誤,D中,AD+BC=AD+DA=0正確.答案:C例2 如圖4,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB嗎?圖4活動:本例是用兩個向量表示幾何圖形中的其他向量,這是用向量證明幾何問題的基礎.要多注意這方面的訓練,特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關係.解:由向量加法的平行四邊形法則,我們知道AC=a+b,同樣,由向量的減法,知DB=AB-AD=a-b.變式訓練1.(2005高考模擬) 已知一點O到ABCD的3個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c,則向量等於( )A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c圖5解析:如圖5,點O到平行四邊形的三個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c,結合圖形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B2.若AC=a+b,DB=a-b.①當a、b滿足什麼條件時,a+b與a-b垂直？②當a、b滿足什麼條件時,|a+b|=|a-b|？③當a、b滿足什麼條件時,a+b平分a與b所夾的角？④a+b與a-b可能是相等向量嗎？圖6解析:如圖6,用向量構建平行四邊形,其中向量AC、DB恰為平行四邊形的對角線.由平行四邊形法則,得AC=a+b,DB=AB-AD=a-b.由此問題就可轉換為:①當邊AB、AD滿足什麼條件時,對角線互相垂直？(|a|=|b|)②當邊AB、AD滿足什麼條件時,對角線相等？(a、b互相垂直)③當邊AB、AD滿足什麼條件時,對角線平分內角？(a、b相等)④a+b與a-b可能是相等向量嗎？(不可能,因為對角線方向不同)點評:靈活的構想,獨特巧妙,數形結合思想得到充分體現.由此我們可以想到在解決向量問題時,可以利用向量的幾何意義構造幾何圖形,轉化為平面幾何問題,這就是數形結合解題的威力與魅力,教師引導學生注意領悟.例3 判斷題:(1)若非零向量a與b的方向相同或相反,則a+b的方向必與a、b之一的方向相同.(2)△ABC中,必有+BC+CA=0.(3)若++=0,則A、B、C三點是一個三角形的三頂點.(4)|a+b|≥|a-b|.活動:根據向量的加、減法及其幾何意義.解:(1)a與b方向相同,則a+b的方向與a和b方向都相同;若a與b方向相反,則有可能a與b互為相反向量,此時a+b=0的方向不確定,說與a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法則AB+BC=AC,AC與CA是互為相反向量,所以有上述結論.(3)因為當A、B、C三點共線時也有AB+BC+AC=0,而此時構不成三角形.(4)當a與b不共線時,|a+b|與|a-b|分別表示以a和b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長,其大小不定.當a、b為非零向量共線時,同向則有|a+b|>|a-b|,異向則有|a+b|<|a-b|;當a、b中有零向量時,|a+b|=|a-b|.綜上所述,只有(2)正確.例4 若|AB|=8,|AC|=5,則|BC|的取值範圍是( )A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)當AB、AC同向時,|BC|=8-5=3;(2)當AB、AC反向時,|BC|=8+5=13;(3)當AB、AC不共線時,3<|BC|<13.綜上,可知3≤|BC|≤13.答案:C點評:此題可直接應用重要性質||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.變式訓練已知a、b、c是三個非零向量,且兩兩不共線,順次將它們的終點和始點相連接而成一三角形的充要條件為a+b+c=0.證明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且a b,b c,c a,(1)必要性:作=a,BC=b,則由假設CA=c,另一方面a+b=+=.由於與是一對相反向量,∴有AC+CA=0,故有a+b+c=0.(2)充分性:作=a,=b,則=a+b,又由條件a+b+c=0,∴AC+c=0.等式兩邊同加CA,得CA+AC+c=CA+0.∴c=CA,故順次將向量a、b、c的終點和始點相連接成一三角形.（四）課堂小結1.先由學生回顧本節學習的數學知識:相反向量,向量減法的定義,向量減法的幾何意義,向量差的作圖.2.教師與學生一起總結本節學習的數學方法,類比,數形結合,幾何作圖,分類討論. （五）作業。