直线的倾斜角与斜率 (2)

直线的倾斜角与斜率、直线方程知识点1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角。

当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。

(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)。

2．直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝tan θ。

(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1。

3．直线方程的五种形式基础专练一 、走进教材1．直线l ：x sin30°＋y cos150°＋1＝0的斜率是( )A.33B.3 C ．－ 3 D ．－332． 已知点A (1,2)，B (3,1)，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．4x ＋2y －5＝0B ．4x －2y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y －5＝0走进教材答案1．A ； 2． B ；二、查漏补缺1．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或42．直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈R )的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°3．已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( ) A ．3x ＋4y －14＝0 B ．3x －4y ＋14＝0 C ．4x ＋3y －14＝0 D ．4x －3y ＋14＝04．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为__________。

5．过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程是________。

查漏补缺答案5．4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0直击考点考点一 直线的倾斜角与斜率……母题发散【典例1】 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________。

学科教师辅导讲义【课堂小练】一．选择题：1．下列命题正确的是（ ）（A ）若直线的斜率存在，则必有倾斜角α与它对应 （B ）若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应 （C ）直线的斜率为k ，则这条直线的倾斜角为arctan k （D ）直线的倾斜角为α，则这条直线的斜率为tanα 2．过点M (–2, a ), N (a , 4)的直线的斜率为–21，则a 等于（ ） （A ）–8 （B ）10 （C ）2 （D ）4 3．过点A (2, b )和点B (3, –2)的直线的倾斜角为43π，则b 的值是（ ） （A ）–1 （B ）1 （C ）–5 （D ）54．如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则（ ） （A ）k 1<k 2<k 3 （B ）k 3<k 1<k 2 （C ）k 3<k 2<k 1 （D ）k 1<k 3<k 25．已知点M (cosα, sinα), N (cosβ, sinβ)，若直线MN 的倾斜角为θ，0<α<π<β<2π, 则θ等于（ ）（A ）21(π+α+β) （B ）21(α+β) （C ）21(α+β–π) （D ）21(β–α) 6．若直线l 的斜率为k =–ab(ab >0)，则直线l 的倾斜角为（ ）（A ）arctan a b （B ）arctan(–a b ) （C ）π–arctan a b （D ）π+arctan ab【参考答案】1—6、ABABCC. 二．填空题：7．已知三点A (2, –3), B (4, 3), C (5,2m)在同一直线上，则m 的值为 . 8．已知y 轴上的点B 与点A (–3, 1)连线所成直线的倾斜角为120°，则点B 的坐标为 . 9．若α为直线的倾斜角，则sin(4π–α)的取值范围是 10．已知A (–2, 3), B (3, 2)，过点P (0, –2)的直线l 与线段AB 没有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 .【参考作案】7、 12. 8、（0，-2）. 9、2[1,].2- 10、54(,).23-三．解答题11．求经过两点A (2, –1)和B (a , –2)的直线l 的倾斜角。

§3。

1 直线的倾斜角、斜率、两条直线的平行、垂直位置关系注：直线的倾斜角、斜率在线性规划问题中已经讲完，本节课对此复习，本节课的新授内容是两直线的位置关系.A 。

直线的倾斜角 1.直线的倾斜角定义（ⅰ）直线l 与x 轴有交点时：直线l 向上的方向与x 轴正向所成的最小正角。

(ⅱ）直线l 与x 轴平行或重合时，规定：倾斜角为零角. 2.直线倾斜角的范围：[0,)π.3.直线倾斜角与直线的对应关系 是“一对多”关系.即[0,)π内的任何一个角，都对应无数条平行直线;反过来，坐标平面内的任意一条直线,都有唯一的倾斜角。

B 。

直线的斜率 1.直线的斜率定义2.斜率公式条件：直线经l 过两点：111(,)P x y 、222(,)Px y ，其中12x x ≠。

斜率公式：2121y y k x x -=-(或1212y yk x x -=-）. 3。

直线斜率函数图象斜率函数图象可用来解决一下两个范围问题: （1)由直线倾斜角范围求斜率范围. （2）由直线斜率范围求倾斜角范围. 4.直线斜率的求法： （1）定义法; （2）公式法； （3）直线方程法：①方程11()y y k x x -=-表明,直线斜率为因式1()x x -的系数. ②方程y kx b =+表明，直线斜率为x 项的系数。

③方程1x x =表明，直线斜率不存在。

④方程1y y =表明，直线斜率0k =.⑤当0B ≠时，由方程0Ax By C ++=得到直线斜率为A k B=-。

C 。

两条直线位置关系设1l 、2l 为两条不同直线,并且约定：直线1l 斜率存在时,记为1k ，不存在时，记为“1k 不存在”.同理,直线斜2l 率存在时，记为2k ，不存在时,记为“2k 存在”，则1。

直线1212//l l k k ⇔=或1k 、2k 都不存在.k ⎧=⎨⎩ 不存在，90α≠时. tan ,90,αα︒≠πO1π41-事实上，若12//l l ，则它们的位置关系有以下两种：①1l ，2l 与x 轴都相交但不垂直；②1l ,2l 都垂直于轴。

§2.2 直线及其方程 2.2.1 直线的倾斜角与斜率 第1课时 直线的倾斜角与斜率学习目标 1.理解直线的倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.2.体会用斜率和倾斜角刻画直线的倾斜程度，并掌握它们之间的关系．知识点一 直线的倾斜角定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x 轴相交，将x 轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．(1)倾斜角θ的取值范围是0°~180°．(2)直线与x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°；直线与x 轴垂直时，直线的倾斜角为90°. (3)每一条直线都有唯一的倾斜角．思考 当直线的倾斜角为锐角时，直线一定经过哪些象限？当直线的倾斜角为钝角时，直线一定经过哪些象限？答案 当直线的倾斜角为锐角时，直线一定经过一、三象限，当直线的倾斜角为钝角时，直线一定经过二、四象限． 知识点二 直线的斜率1．定义：一般地，如果直线l 的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k ＝tan θ为直线l 的斜率；当θ＝90°时，直线l 的斜率不存在． 2．两点的斜率公式若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线l 上两个不同的点，则当x 1≠x 2时，直线l 的斜率为k ＝y 2－y 1x 2－x 1，当x 1＝x 2时，直线l 的斜率不存在；当y 1＝y 2时，直线l 的斜率为0. 思考 每一条直线都有倾斜角和斜率吗？答案 每一条直线都有唯一确定的倾斜角，但并不是所有直线都有斜率，垂直于x 轴的直线，倾斜角为90°，斜率不存在，其它直线既有倾斜角，又有斜率．1．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(×)2．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大．(×)3．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率k＝tan α.(×)4．任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．(×)一、直线的倾斜角例1(1)已知直线l的倾斜角为θ－25°，则角θ的取值范围为()A．25°≤θ<155°B．－25°≤θ<155°C．0°≤θ<180°D．25°≤θ<205°答案 D解析因为直线l的倾斜角为θ－25°，所以0°≤θ－25°<180°，所以25°≤θ<205°.(2)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是()A．0°≤α<90°B．90°≤α<180°C．90°<α<180°D．0°<α<180°答案 C解析直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.反思感悟(1)解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围来解答．(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．跟踪训练1已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为．答案60°或120°解析有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.二、直线的斜率例2经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．解(1)存在．直线AB的斜率k AB＝5－34－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.(2)存在．直线CD的斜率k CD＝－1－32－(－2)＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在．因为x P＝x Q＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，所以倾斜角α＝90°.反思感悟(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．倾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k 03313－3－1－33跟踪训练2(1)若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为()A. 3 B．－ 3 C.33D．－33答案 A(2)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为．答案0三、直线的倾斜角、斜率的应用例3(1)如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，则m＝. 答案－6解析k AB＝m－1－2－2＝1－m4，k AC＝8－16－2＝74，∵A，B，C三点共线，∴k AB＝k AC，即1－m4＝74，∴m＝－6.(2)已知直线l的斜率为k，倾斜角为α，若45°<α<135°，则k的取值范围为()A．(－1,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．[－1,1]D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)答案 B解析∵k＝tan α，45°<α<135°，由正切函数图像知当45°<α<135°时，tan α∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，∴k的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．反思感悟(1)斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的．直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．(2)由k＝tan α可知直线的倾斜角与斜率，知一求一．由一个的范围，求另一个的范围时应画出正切函数的图像，注意倾斜角的范围．跟踪训练3已知直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角θ的取值范围是()A．0°≤θ≤45°B．0°<θ<180°C．0°≤θ≤45°或90°<θ<180°D．0°≤θ≤45°或135°≤θ<180°答案 C解析 k AB ＝m 2－11－2＝－m 2＋1≤1，由正切函数y ＝tan x 的图像知，当tan θ∈(－∞，1)时，0°≤θ≤45°或90°<θ<180°， 故选C.数形结合法求倾斜角或斜率范围典例 直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围． 解 如图所示．设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α， ∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)， ∴45°≤α≤120°.[素养提升] (1)已知两点求斜率，由斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求得；由倾斜角(范围)求斜率(范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决．(2)涉及直线与线段的交点问题常利用数形结合及公式求解，培养学生直观想象的数学核心素养．1．(多选)给出下列四个选项，其中正确的是( ) A ．若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180° B ．若k 是直线的斜率，则k ∈RC ．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D ．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 答案 ABC2．下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是( ) A ．(4,2)与(－4,1) B ．(0,3)与(3,0) C ．(3，－1)与(2，－1) D ．(－2,2)与(－2,5) 答案 D解析 D 项，因为x 1＝x 2＝－2，所以直线垂直于x 轴，倾斜角为90°，斜率不存在． 3．若经过A (m ,3)，B (1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m 等于( ) A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 答案 A解析 由tan 45°＝2－31－m＝1，得m ＝2.4．已知直线l 过点A (3－3，6－3)，B (3＋23，3－3)，则直线l 的斜率为 ，倾斜角为 ． 答案 －33150° 解析 k AB ＝(3－3)－(6－3)(3＋23)－(3－3)＝－333＝－33，设倾斜角为θ，又0°≤θ＜180°，且tan θ＝－33. ∴θ＝150°.5．已知直线l 经过点A (1,2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围为 ．答案 [0,2]解析 如图所示，直线l 过点A 且不经过第四象限，则直线l 在l 2与l 1之间，∴2l k ≤k l ≤1l k ， 又2l k ＝0，1l k ＝2，∴0≤k l ≤2.1．知识清单： (1)直线的倾斜角．(2)直线的斜率以及两点的斜率公式． 2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：垂直于x 轴的直线斜率不存在，倾斜角存在且为90°.1．已知点A (3，1)，B (33，3)，则直线AB 的倾斜角是( ) A ．60° B ．30° C ．120° D ．150° 答案 B 解析 k AB ＝3－133－3＝33， ∴tan θ＝33且0°≤θ＜180°， ∴θ＝30°.2．已知经过点P (3，m )和点Q (m ，－2)的直线的斜率为2，则m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D.43答案 D解析 由m －(－2)3－m ＝2，得m ＝43.3.若图中直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2答案 D解析 由题图可知，k 1<0，k 2>0，k 3>0， 且l 2比l 3的倾斜角大．∴k 1<k 3<k 2.4．直线l 过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0°≤α≤90°B ．90°≤α<180°C ．90°≤α<180°或α＝0°D ．90°≤α≤135°答案 C5．(多选)已知直线l 的斜率的绝对值为3，则直线l 的倾斜角为( ) A ．60° B ．30° C ．120° D ．150° 答案 AC解析 由题意知|tan α|＝3，即tan α＝3或tan α＝－3， ∴直线l 的倾斜角为60°或120°. 故选AC.6．(多选)已知点A (2，－1)，若在坐标轴上存在一点P ，使直线P A 的倾斜角为45°，则点P 的坐标为( ) A ．(0,1) B ．(－1,0) C ．(3,0) D ．(0，－3) 答案 CD解析 若设点P 的坐标为P (x ,0)， 则k ＝0－(－1)x －2＝tan 45°＝1，∴x ＝3，即P (3,0)． 若设点P 的坐标为P (0，y )， 则k ＝y －(－1)0－2＝tan 45°＝1，∴y ＝－3，即P (0，－3)．故选CD.7．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是 ． 答案3解析 设直线PQ 的倾斜角为θ，则0°≤θ<180°，∵k PQ ＝－3，∴tan θ＝－3，则θ＝120°. 将直线绕点P 顺时针旋转60°， 所得直线的倾斜角为60°， ∴其斜率为tan 60°＝ 3.8．已知经过坐标平面内两点A (1,2)，B (－2,2m －1)的直线的倾斜角α满足45°<α<60°，则实数m 的取值范围为 ． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫3－332，0解析 k AB ＝(2m －1)－2－2－1＝3－2m 3＝1－23m ，又k AB ＝tan α且45°＜α＜60°， ∴1<tan α<3，即1<1－23m <3，解得3－332<m <0.9．已知直线l 经过两点A (－1，m )，B (m ,1)，问：当m 取何值时， (1)直线l 与x 轴平行？ (2)直线l 与y 轴平行？ (3)直线l 的斜率为13？(4)倾斜角为锐角？解 (1)当m ＝1时，l 与x 轴平行． (2)当m ＝－1时，l 与y 轴平行． (3)k l ＝1－m m ＋1＝13，解得m ＝12.(4)k l ＝1－mm ＋1>0，即(m －1)(m ＋1)<0，解得－1<m <1.10．若A (2,2)，B (a ,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，求证：1a ＋1b ＝12.证明 由于A ，B ，C 三点共线，所以此直线的斜率既可用A ，C 两点的坐标表示，也可用B ，C 两点的坐标表示，于是b －2－2＝b －a， 由此可得a ＋b ＝12ab ，两边同时除以ab ，得1a ＋1b ＝12.11．已知直线l 1过点A (－1，－1)和B (1,1)，直线l 2的倾斜角是直线l 1的倾斜角的2倍，则直线l 2的斜率是( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．不存在答案 D解析 1l k ＝1－(－1)1－(－1)＝1，∴l 1的倾斜角为45°， 故l 2的倾斜角为90°， 故l 2的斜率不存在，故选D.12．若某直线的斜率k ∈(－∞，3]，则该直线的倾斜角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π3 B.⎣⎡⎦⎤π3，π2 C.⎣⎡⎦⎤0，π3∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π3，π 答案 C解析 ∵直线的斜率k ∈(－∞，3]， ∴k ≤tan π3，又α∈[0，π)，∴该直线的倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3∪⎝⎛⎭⎫π2，π.故选C. 13．已知直线l 1的倾斜角为α(α≠0)，若直线l 2与l 1关于x 轴对称，则直线l 2的倾斜角为 ，两直线l 1与l 2的斜率之和为 ． 答案 π－α 0解析 如图，∵l 1与l 2关于x 轴对称，∴α＝β＝γ.又θ＋α＋β＝π，∴θ＋α＝π－β＝π－α.故l 2的倾斜角为π－α.所以1l k ＋2l k ＝tan α＋tan (π－α)＝tan α－tan α＝0.14．已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围为 ．答案 (－∞，－1]∪[3，＋∞)解析 ∵直线l 与线段AB 有公共点，∴直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PB ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k P A .∵k P A ＝－1－42－(－3)＝－1，k PB ＝－1－22－3＝3， ∴直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．15．若三点A (3,1)，B (－2，k )，C (8,1)能构成三角形，则实数k 的取值范围为 ． 答案 (－∞，1)∪(1，＋∞)解析 k AB ＝k －1－2－3＝1－k 5，k AC ＝1－18－3＝05＝0. 要使A ，B ，C 三点能构成三角形，需三点不共线，即k AB ≠k AC ，∴1－k 5≠0，∴k ≠1. 16．已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，求y ＋3x ＋2的最大值和最小值．解 因为y ＋3x ＋2＝y －(－3)x －(－2)， 故y ＋3x ＋2表示曲线y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)上的点P (x ，y )与点Q (－2，－3)连成直线的斜率k PQ . 画出y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)的图像，如图所示．所以k QA ≤k PQ ≤k QB .由已知得A (1,1)，B (－1,5)， 所以k QA ＝43，k QB ＝8.所以43≤k PQ ≤8，故y ＋3x ＋2的最大值为8，最小值为43.。

2.1.1 倾斜角与斜率课程标准学习目标1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.2.经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式1.能解释直线的倾斜角和斜率的概念,描述两者之间的相互转换关系.2.能说明倾斜角是刻画直线倾斜程度和确定直线的几何要素,并能根据斜率(倾斜角)的范围判断倾斜角(斜率)的范围.3.能推导得出直线斜率的计算公式,并能灵活运用公式计算直线的斜率知识点一 直线的倾斜角1.定义:当直线l 与x 轴相交时,我们以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 的方向之间所成的角α叫作直线l 的倾斜角.特别地,当 时,我们规定它的倾斜角为0°.2.倾斜角α的取值范围: .【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一条直线的倾斜角为90°,则这条直线与x 轴垂直. ( ) (2)某条直线的倾斜角可能为-60°,也可能为210°. ( ) (3)任何一条直线有且只有一个倾斜角和它对应.( )2.(1)当直线的倾斜角为锐角时,直线一定过哪两个象限? (2)当直线不过第一象限时,直线倾斜角的取值范围是什么?知识点二 直线的方向向量1.定义:直线P 1P 2上的向量P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 以及与它 的非零向量都是直线P 1P 2的 .2.若P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)是直线P 1P 2上的两点,则直线P 1P 2的一个方向向量P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .3.若直线的斜率为k ,则直线的一个方向向量为 . 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)零向量可以作为直线的方向向量. ( )(2)一条直线的方向向量与x 轴正方向所成的角与直线的倾斜角相等. ( ) (3)直线l 上有两点A (-1,3),B (5,-4),则直线AB 的一个方向向量为(-6,7). ( ) 知识点三 直线的斜率 1.直线斜率的定义一条直线的 叫作这条直线的斜率.直线的斜率常用小写字母k 表示,即 .(1)倾斜角是90°的直线没有斜率,但并不是该直线不存在,此时,直线垂直于x 轴. (2)倾斜角α与斜率k 的关系:当α=0°时, ;当0°<α<90°时, ;当α=90°时, ;当90°<α<180°时, . 2.斜率公式经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是 . 对于上面的斜率公式要注意下面四点:(1)k 与P 1,P 2的顺序无关,即y 1,y 2和x 1,x 2在公式中的前后顺序可以 ,但分子与分母不能交换;(2)当x 1=x 2时,公式右边无意义,直线与x 轴 ,倾斜角α= ,直线的斜率 ;(3)当y 1=y 2时,直线与x 轴 ,斜率k= ,直线的倾斜角α= ; (4)因为斜率k 可以由直线上两点的坐标求得,所以求直线的倾斜角时,可以先由直线上两点的坐标求斜率,再由斜率求倾斜角. 3.直线的方向向量与斜率的关系(1)经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线,其方向向量为P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1,y 2-y 1)=(x 2-x 1)1,y 2-y 1x 2-x 1,因此,当直线的斜率k 存在时,直线的一个方向向量为 ; (2)若直线的一个方向向量为(x ,y )(x ≠0),则直线的斜率k= . 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一条直线都有且只有一个斜率和它对应.( )(2)已知直线上的两个点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),可以确定直线的方向,求出直线的一个方向向量,进而可以求出它的斜率. ( )(3)直线的倾斜角是锐角时,直线的斜率为正;直线的倾斜角是钝角时,直线的斜率为负.()(4)直线的倾斜角越大,它的斜率也越大;反过来,直线的斜率越大,它的倾斜角也越大.()(5)所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率,倾斜角是90°的直线不存在斜率.()探究点一直线的倾斜角问题例1 (1)如图2-1-1(1)和(2),直线l1和l2的倾斜角分别是()图2-1-1A.140°,104°B.150°,104°C.150°,106°D.130°,106°(2)若过点P(1,1+a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角α为钝角,求实数a的取值范围.(3)已知直线l的倾斜角α=45°,且P1(2,y1),P2(x2,5),P3(3,1)是直线l上的三点,求x2,y1的值.变式(1)一条直线l与x轴相交,其向上的方向与x轴的负方向所成的角为α,则l的倾斜角为()A.αB.180°-αC.90°+αD.90°+α或90°-α(2)直线l1⊥l2,若直线l1的倾斜角为α,直线l2的倾斜角为β(β>α),则下列说法正确的是()A .β-α=90°B .α+β=90°C .α+β=180°D .β-α为锐角[素养小结]求直线的倾斜角的方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.注意:①当直线与x 轴平行或重合时,倾斜角为0°;②当直线与x 轴垂直时,倾斜角为90°. 拓展 已知两点A (-3,4),B (3,2),过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点,则直线l 的斜率k 的取值范围是 ,直线l 的倾斜角α的取值范围是 . 探究点二 求直线的斜率问题例2 (1)直线l 过点A (1,2),且不过第四象限,则直线l 的斜率的取值范围是 ( ) A .[0,2] B .[0,1] C .[0,12]D .[-12,0](2)过坐标平面内两点A (a ,b ),B (ma ,mb )(m ≠1,a ≠0)的直线l 的斜率为 .(3)已知直线l 1的方向向量为n=(2,1),直线l 2的倾斜角是直线l 1的倾斜角的2倍,求直线l 2的斜率.变式 (1)过点A (m 2-n 2,m 2+n 2)和点B (2mn-2n 2,2mn )(m ≠n )的直线的斜率是 . (2)已知A (a ,2),B (5,1),C (-4,2a )三点在同一条直线上,则a 的值是 . [素养小结](1)由倾斜角的大小(或取值范围)求斜率的值(或取值范围),利用公式k=tan α(α≠90°). (2)由两点坐标求斜率,利用公式k=y 2-y1x 2-x 1(x 1≠x 2).拓展 若点P (x ,y )在以A (2,4),B (3,2)为端点的线段上,求yx的最大值和最小值.探究点三 直线的方向向量的应用例3 (1)已知经过两点A (2,3),B (4,5)的直线的一个方向向量为(1,k ),则k 的值为 .(2)已知直线l的一个方向向量为(2,4),则直线l的斜率为.(3)若三点A(2,1),B(-2,m),C(6,8)都在直线l上,则实数m的值为.1.已知直线l的斜率的绝对值等于√3,则直线l的倾斜角为()A.60°B.30°C.60°或120°D.30°或150°2.过两点A(1,√3),B(4,2√3)的直线的倾斜角为()A.30°B.60°C.120°D.150°3.已知直线l的倾斜角为α-15°,则下列结论中正确的是()A.0°≤α<180°B.15°<α<180°C.15°≤α<180°D.15°≤α<195°4.若经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的一个方向向量为(-3,-3),则m等于()A.2B.1C.-1D.-25.过两点A(1,-1),B(-4,2)的直线的斜率为.参考答案【课前预习】知识点一1.向上直线l与x轴平行或重合2.0°≤α<180°诊断分析1.(1)√(2)×(3)√[解析] (2)直线倾斜角的取值范围是[0°,180°),所以某条直线的倾斜角不可能为-60°,也不可能为210°.2.解:(1)当直线的倾斜角为锐角时,直线一定过第一、三象限.(2)当直线不过第一象限时,直线的倾斜角一定不是锐角,其取值范围是α=0°或90°≤α<180°.知识点二1.平行方向向量2.(x2-x1,y2-y1)3.(1,k)诊断分析(1)×(2)×(3)√[解析] (1)零向量的方向是任意的,不可以作为直线的方向向量.(2)当直线方向向量的方向向下时,方向向量与x轴正方向所成的角与直线的倾斜角互补.(3)根据直线的方向向量的定义知,直线AB的一个方向向量为(-6,7).知识点三1.倾斜角α的正切值k=tan α(2)k=0k>0k不存在k<02.k=y2-y1x2-x1(1)同时交换(2)垂直90°不存在(3)平行或重合00°3.(1)(1,k)(2)yx诊断分析(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√[解析] (1)任何一条直线都有倾斜角,但不一定都有斜率,如与x轴垂直的直线的倾斜角为90°,但它没有斜率.(2)由直线上两点可以确定直线的方向,求出直线的一个方向向量P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1,y 2-y 1).但是当x 1=x 2时,k=y 2-y 1x 2-x 1无意义,它的斜率不存在.(4)设直线的倾斜角为α,斜率为k.当α=60°时,k=√3; 当α=150°时,k=-√33.则直线的倾斜角越大,斜率不一定越大;直线的斜率越大,它的倾斜角也不一定越大. 【课中探究】探究点一例1 (1)D [解析] 题图(1)中,直线l 1的倾斜角为∠xAB ,易得∠xAB=180°-50°=130°.题图(2)中,设直线l 2的倾斜角为α,则α=90°+∠OCD=90°+(180°-164°)=106°.故选D . (2)解:由题意知直线PQ 的斜率k=tan α=a -12<0,所以a<1,故实数a 的取值范围是a<1.(3)解:∵α=45°,∴直线l 的斜率k=tan 45°=1,又P 1,P 2,P 3都在直线l 上,∴k P 1P 3=k P 2P 3=k ,即1-y 13-2=1-53-x 2=1,解得x 2=7,y 1=0.变式 (1)B (2)A [解析] (1)由图(图略)可知,当α为锐角时,l 的倾斜角为180°-α;当α为钝角时,l 的倾斜角为180°-α;当α为90°时,l 的倾斜角为90°.故选B . (2)由题意,作出图形如图,则β=90°+α,所以β-α=90°.故选A .拓展 k ≤-1或k ≥1 45°≤α≤135° [解析] 如图所示,由题意可知k PA =4-0-3-1=-1,k PB =2-03-1=1.要使直线l 与线段AB 有公共点,则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤-1或k ≥1.由题意可知,直线l 的倾斜角α大于等于直线PB 的倾斜角,小于等于直线PA 的倾斜角,又PB 的倾斜角是45°,PA 的倾斜角是135°,所以α的取值范围是45°≤α≤135°.探究点二例2 (1)A (2)ba [解析] (1)如图所示,当直线l 在l 1位置时,直线l 的斜率k=tan 0°=0;当直线l 在l 2位置时,直线l 的斜率k=2-01-0=2.故直线l 的斜率的取值范围是[0,2].(2)直线l 的斜率k=mb -bma -a =(m -1)b(m -1)a =ba .(3)解:设直线l 1的倾斜角为α(0°≤α<90°).由直线l 1的方向向量为n=(2,1),得直线l 1的斜率k 1=tan α=12,因此直线l 2的斜率k 2=tan 2α=2tanα1-tan 2α=43.变式 (1)1 (2)2或72 [解析] (1)因为m ≠n ,所以直线的斜率存在,由直线的斜率公式得k=m 2+n 2-2mn(m 2-n 2)-(2mn -2n 2)=(m -n )2(m -n )2=1.(2)由题意知该直线斜率存在,因为A ,B ,C 三点共线,所以k AB =k BC ,所以1-25-a =2a -1-4-5,解得a=2或a=72. 拓展 解:如图所示,连接OA ,OB ,OP.由于yx的几何意义是直线OP 的斜率,且k OA =2,k OB =23,所以可得yx的最大值为2,最小值为23.探究点三例3 (1)1 (2)2 (3)-6 [解析] (1)依题意得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与方向向量(1,k )共线,可得2k-2=0,因此k=1.(2)因为直线l 的一个方向向量为(2,4),所以直线l 的斜率k=42=2.(3)依题意得AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,m-1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,7),由这两个向量都是直线l 的方向向量得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此4(m-1)-(-4)×7=0,∴m=-6. 【课堂评价】1.C [解析] ∵直线l 的斜率的绝对值等于√3,∴直线l 的斜率等于±√3,设直线l 的倾斜角为θ,0°≤θ<180°,则tan θ=√3或tan θ=-√3,∴θ=60°或θ=120°.故选C .2.A [解析] 设直线AB 的倾斜角为α,则tan α=2√3-√34-1=√33,又0°≤α<180°,所以α=30°.3.D [解析] 设直线l 的倾斜角为β,则β的取值范围是0°≤β<180°.由题意知β=α-15°,则0°≤α-15°<180°,解得15°≤α<195°.4.A [解析] 由题意知,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-m ,-1),由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与方向向量共线,得1-m -3=-1-3,解得m=2. 5.-35[解析] 直线的斜率k=-1-21-(-4)=-35.。

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高二数学上学期直线的斜率与倾斜角例题（二）
［例1］已知直线的倾斜角为90°+α，求此直线的斜率k.
选题意图：考查直线的倾斜角与斜率之间的关系.
解：(1)当α=0°时，k不存在.
(2)当α≠90°时，k=tan(90°+α)=－cotα.
说明：应注意直线的倾斜角是90°时，直线的斜率不存在.
［例2］已知直线l1的倾斜角α1=15°，直线l1与l2的交点为A，把直线l2绕着点A按逆时针方向旋转到和直线l1重合时所转的最小正角为60°，求直线l2的斜率k2.
选题意图：考查斜率的定义.
解：设直线l2的倾斜角为α2,则由题意知：
180°－α2+15°=60°,α2=135°,
∴k2=tanα2=tan（180°－45°）=－tan45°=－1.
说明：列出α2所满足的方程是求α2的关键.
［例3］在同一坐标平面内，画出方程2x－3y+6=0的直线.
选题意图：考查直线的方程与方程的直线的概念及在坐标平面
内作直线的方法.
解：在方程2x－3y+6=0中分别取x=0,y=0,得y=2和x=－3,
∴直线经过(0，2)和(－3，0)两点，
在坐标平面内画出经过(0，2)和(－3，0)两点的直线即为所作
直线，如图.
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