高中数学中高档题综合练习

高考数学（文科）中档大题规范练（三角函数）（含答案）中档大题规范练大中型问题的标准实践——三角函数?sinx－cosx?sin2x1.已知函数f（x）=sinx(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．解(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈z)，故f(x)的定义域为{x∈r|x≠kπ，k∈z}．?sinx－cosx?sin2x因为f（x）=sinx＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－2cos2x＝sin2x－(1＋cos2x)π2x？－1，＝2英寸？4.2π所以F（x）的最小正周期T=π2(2)函数y＝sinx的单调递增区间为? 2kπ－π，2kπ＋π？（k）∈z）。

22??πππ由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈z)，242π3π得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈z)．88所以F（x）的单调递增区间是?kπ－π，kπ?和?kπ，kπ＋3π?(k∈z)．88????2.已知的三个内角a、B和C△ ABC形成一个等差序列，边缘相对角度B=3，函数f （x）=23sin2x+2sinxcosx-3在x=A时获得最大值。

（1）找到f（x）的值范围和周期；(2)求△abc的面积．解（1）因为a，B和C形成一个等差序列，2b=a+C，a+B+C=π，π2π所以b＝，即a＋c＝.33因为f（x）=23sin2x+2sinxcosx－3=3（2sin2x－1）+sin2x=sin2x－3cos2xπ2x？，=2分钟？3.2π所以t＝＝π.二π2x-？∈ [1,1]，因为罪？3.因此，F（x）的值范围为[-2,2]。

（2）因为f（x）在x=a，π时获得最大值2a－?＝1.所以sin?3??2ππ因为0333ππ故当2a－＝时，f(x)取到最大值，325π所以a＝π，所以c＝.1243c由正弦定理，知＝?c＝2.ππsinsin342＋6ππ??又因为sina＝sin?4＋6?＝，43＋31所以s△abc＝bcsina＝.243．已知函数f(x)＝3sin2x＋2cos2x＋a.(1)求函数f(x)的最小正周期以及单调递增区间；π(2)当x∈[0，]时，函数f(x)有最大值4，求实数a的值．4溶液f（x）=3sin2x+2cos2x+A＝cos2x＋3sin2x＋1＋aπ＝2sin（2x＋）＋a＋1。

【中档大题】综合训练251．（12分）设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知77S =，1575S =， （1）求{}n a 的通项公式；（2）若n T 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求n T ．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则11(1)2n S na n n d =+-，77S =，1575S =，∴1172171510575a d a d +=⎧----------------------------------------⎨+=⎩（4分）即113175a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12a =-，1d =，所以2(1)3n a n n =-+-=------------------------------------------------------（6分）（2）由（1）知，12a =-，1d =∴111(1)2(1)22n S a n d n n =+-=-+-，（8分） 1112n n S S n n +-=+，∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，其首项为2-，公差为12，----------------（10分）∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21944n T n n =-．-----------------------------------------（12分）2．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（Ⅰ）证明//MN 平面PAB ； （Ⅱ）求四面体N BCM -的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取BC 中点E ，连结EN ，EM ， N 为PC 的中点，NE ∴是PBC ∆的中位线 //NE PB ∴，又//AD BC ，//BE AD ∴，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，122BE BC AM ∴===，∴四边形ABEM 是平行四边形，//EM AB ∴，∴平面//NEM 平面PAB ， MN ⊂平面NEM ，//MN ∴平面PAB ．解：（Ⅱ）取AC 中点F ，连结NF ， NF 是PAC ∆的中位线， //NF PA ∴，122NF PA ==，又PA ⊥面ABCD ，NF ∴⊥面ABCD ，如图，延长BC 至G ，使得CG AM =，连结GM ，//AM CG =，∴四边形AGCM 是平行四边形，3AC MG ∴==，又3ME =，2EC CG ==， MEG ∴∆的高5h =，11452522BCM S BC h ∆∴=⨯⨯=⨯=，∴四面体N BCM -的体积114525233N BCM BCM V S NF -∆=⨯⨯=⨯=．3．（12分）如图，已知直线l 与抛物线22(0)y px p =>交于A ，B 两点且OA OB ⊥． （1）若OD AB ⊥交AB 于点D ，点D 的坐标为(2,1)，求p 的值 （2）求AOB ∆面积的最小值【解析】（1）OD AB ⊥，1OD AB k k ∴=-． 又12OD k =，2AB k ∴=-，∴直线AB 的方程为25y x =-+． 设1(A x ，2)x ，2(B x ，2)y ， 由12120OA OB x x y y =+=．又121212121212(25)(25)510()25x x y y x x x x x x x x +=+-+-+=-++， 联立方程2225y pxy x ⎧=⎨=-+⎩，消y 可得24(202)250x p x -++=①∴12102p x x ++=，12254x x =． 121254x x y y p ∴+=-． ∴当54p =时，方程①成为2845500x x -+=显然此方程有解． 54p ∴=；（2）设:OA y kx =，代入22y px =得0x =，22p x k=， (A ∴22p k ，2)p k ，同理以1k-代k 得2(2B pk ，2)pk -． 222||pOA k=， 2||2OB pk =， AOB ∆面积222111||||4422||k S OA OB p P k +==， 当且仅当1k =±时，取等号． 所以AOB ∆面积的最小值为24p ．（二）选考题：共10分.请考生在第223题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O ，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ-=C 的参数方程是12()(12()x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩是参数）． （1）求直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于点M ，求以OM 为直径的圆的极坐标方程．【解析】（1）直线l 的极坐标方程为cos()34πρθ-=，整理得cos cos sin sin 344ππρθρθ+=，3y =，即0x y +-=． 曲线C 的参数方程是12()(12()x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩是参数）．转换为直角坐标方程为2216x y -=．（2）直线l 与曲线C 交于点M ，所以2216x y xy ⎧+-⎪⎨-=⎪⎩，解得6x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．即M ．所以OM 的中点坐标为，r ==整理得22145(()121236x y -+-=，转换为极坐标方程为22145(cos (sin 36ρθρθ+=． [选修4-5：不等式选讲]23．已知定义在R 上的函数2()|1||2|(1)f x x x x =++-+-的最小值为s ． （1）试求s 的值；（2）若a ，b ，c R +∈，且a b c s ++=，求证2223a b c ++．【解析】（1）由绝对值三角不等式可得：|1||2|3x x ++-，当且仅当(1)(2)0x x +-，即12x -时取等号；由于2(1)0x -，当且仅当1x =时取等号，故2()|1||2|(1)3f x x x x =++-+-，当且仅当1x =时取等号，故()3min f x =，即3s =；（2）证明：（方法一）由于3a b c ++=，由柯西不等式2222222(111)()()9a b c a b c ++++++=，即2223a b c ++，当且仅当1a b c ===取等号． （方法二）由三元均值不等式可得：2233a b ca b +++即22223()33a b c a b c ++++=，当且仅当1a b c ===取等号，故2223a b c ++．。

高三数学中档题训练1班级 姓名 1．集合A=｛1，3，a ｝，B=｛1，a 2｝，问是否存在这样的实数a ，使得B ⊆A ，且A∩B=｛1，a ｝？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由．2、在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。

（Ⅰ）求角A 的大小： （Ⅱ）若222sin 2sin 122B C+=，判断ABC ∆的形状。

3. 设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率23=e .已知点)23,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程.4.数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =. （1）求,n n a b ；（2）求证1211134n S S S +++<L .高三数学中档题训练2班级 姓名1.已知函数()116-+=x x f 的定义域为集合A ，函数()()m x x x g ++-=2lg 2的定义域为集合 B. ⑴当m=3时，求()B C A R I ；⑵若{}41<<-=x x B A I ，求实数m 的值.2、设向量(cos ,sin )m θθ=u r ，(22sin ,22cos )n θθ=+-r ，),23(ππθ--∈，若1m n •=u r r ，求：（1）)4sin(πθ+的值； （2）)127cos(πθ+的值．3.在几何体ABCDE 中，∠BAC=2π，DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ，F 是BC 的中点，AB=AC=BE=2，CD=1 （Ⅰ）求证：DC ∥平面ABE ； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面BCDE ；（Ⅲ）求证：平面AFD ⊥平面AFE ．4. 已知ΔOFQ 的面积为2 6 ,且OF FQ m ⋅=u u u r u u u r.(1)设 6 ＜m ＜4 6 ,求向量OF FQ u u u r u u u r与的夹角θ正切值的取值范围；(2)设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图),OF c =u u u r ,m=( 6 4-1)c 2,当OQ u u u r 取得最小值时，求此双曲线的方程.ABCDEF班级 姓名1. 已知向量a ＝（3sin α，cos α），b ＝(2sin α, 5sin α－4cos α)，α∈（3π2π2，）， 且a ⊥b ． （1）求tan α的值； （2）求cos(π23α+)的值．2、某隧道长2150m ，通过隧道的车速不能超过20m/s 。

高中数学中高档题综合练习（七）1、函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k +1,k 为正整数，a 1=16，则n a =_______2、过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆：2224a x y +=的切线，切点为E ，直线FE 交双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为___________3、若A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，则4A ＋1B C+的最小值为 ． 4、已知函数()f x ＝3x ＋2(1)a x -＋3x ＋b 的图象与x 轴有三个不同交点，且交点的横坐标分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a 的取值范围是 ． 5、定义函数()f x ＝[[]]x x ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数， 如：[1.5]＝1，[ 1.3]-＝－2．当x ∈[0，)n (n ∈*N )时，设函数()f x 的值域为A ，记集合A 中的元素个数为n a ，则式子90n a n+的最小值为 ． 6、在数列{a n }中, a 1=1, a n+1=1－14a n , b n =22a n -1,其中n ∈N *. (1)求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式a n ； (2)若数列{c n }满足：b n =c 12+1－ c 222+1＋c 323+1－ c 424+1＋…＋(-1)n c n2n +1 (n ∈N *),求数列{c n }的通项公式；y第7题7、已知圆C 通过不同的三点P (m ,0)、Q (2,0)、R (0,1),且圆C 在点P 处的切线的斜率为1.(1)试求圆C 的方程；(2)若点A 、B 是圆C 上不同的两点，且满足→CP •→CA=→CP •→CB ，①试求直线AB 的斜率；②若原点O 在以AB 为直径的圆的内部，试求直线AB 在y 轴上的截距的范围。

高中数学中高档题综合练习（九）1在平面直角坐标系xoy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，右顶点为A ，P 是椭圆上一点，L 为左准线，PQ ⊥L 垂足为Q ，若四边形PQFA 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是 .2如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD=DC=1， AB=3，动点P 在△BCD 内运动（含边界），设(,)AP AB AD R αβαβ=+∈，则βα+的取值范围是 .3已知函数12)(,1)(332++-=++=a a x x g a xx x f 若存在， )1(,1,21>⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈a a a ξξ，使得9|)()(|21≤-ξξf f ，则a 的取值范围是 .4、已知一个数列的各项是1或2，首项为1，且在第k 个1和第1k +个1之间有12-k 个2，即1,2,1,2,2,1,2,2,2,2,1,2,2,⋅⋅⋅则该数列前2011项的和=2011S ．5．关于曲线C ：221x y --+=的下列说法：①关于原点对称；②关于直线0x y +=对称；③是封闭图形，面积大于π2；④不是封闭图形，与圆222x y +=无公共点；⑤与曲线D ：22||||=+y x 的四个交点恰为正方形的四个顶点，其中正确的序号是 ．6、如图，已知位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切与点)1,0(，且被x 轴分成的两段弧之长比为1:2，过点),0(t H 的直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)当1=t 时，求出直线l 的方程； (3)求直线OM 的斜率k 的取值范围.7、已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差d 不等于0，设k a a a ,3,1是公比q 的等比数列{}n b 的前三项. (1)若2,71==a k .（ⅰ）求数列{}n n b a 的前n 项和n T ；（ⅱ）将数列{}n a 中与{}n b 相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{}n c ，设其前n 项和为n S ，求),2(23211212*----∈≥⋅+-N n n S n n n n 的值；（2）若存在*∈>N m k m ,使得m k a a a a ,,,31成等比数列，求证：k 为奇数.8、设常数0a ≥，函数2()ln 2ln 1f x x x a x =-+-((0,))x ∈+∞.（Ⅰ）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与零的大小；（Ⅱ）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；（Ⅲ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．综合练习（九）答案1.1]2.4[1,]33.(]1,4 4、 5、①②④⑤6、解：（1）因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，所以圆心C 在直线1y =上，设圆C 与x 轴的交点分别为A 、B ，由圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为21:，得23ACB π∠=，所以2CA CB ==，圆心C 的坐标为(2,1)-，所以圆C 的方程为：22(2)(1)4x y ++-=．（2）当1t =时，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为1y mx =+，由221(2)(1)4y mx x y =+⎧⎨++-=⎩得01x y =⎧⎨=⎩或22241411x m m m y m -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，不妨令222441(,),(0,1)11m m M N m m --+++，因为以MN 为直径的圆恰好经过(0,0)O ， 所以2222244141(,)(0,1)0111m m m m OM ON m m m m --+-+⋅=⋅==+++ ，解得2m =，所以所求直线l方程为(21y x =+或(21y x =+．（3）设直线MO 的方程为y kx =，2，解之得34k ≤， 同理得，134k -≤，解之得43k ≤-或>0k ． 由（2）知，=0k 也满足题意．所以k 的取值范围是43(,][0,]34-∞- ．7、⑴ 因为7k =，所以137,,a a a 成等比数列，又{}n a 是公差0d ≠的等差数列，所以()()211126a d a a d +=+，整理得12a d =，又12a =，所以1d =，112b a ==，32111122a b a d q b a a +====， 所以()11111,2n n n n a a n d n b b q -=+-=+=⨯=， ①用错位相减法或其它方法可求得{}n n a b 的前n 项和为12n n T n +=⨯； ② 因为新的数列{}n c 的前21n n --项和为数列{}n a 的前21n -项的和减去数列{}n b 前n 项的和，所以121(21)(22)2(21)(21)(21)221n n n n n n n S ----+-=-=---. 所以211212321n n n n S -----+⋅=-．⑵ 由d k a a d a ))1(()2(1121-+=+，整理得)5(412-=k d a d ，因为0≠d ，所以4)5(1-=k a d ，所以3111232a a d k q a a +-===.因为存在m ＞k,m ∈N *使得13,,,k m a a a a 成等比数列，所以313123⎪⎭⎫⎝⎛-==k a q a a m ，又在正项等差数列{a n }中，4)5)(1()1(111--+=-+=k m a a d m a a m ，所以3111234)5)(1(⎪⎭⎫⎝⎛-=--+k a k m a a ，又因为01>a ，所以有[]324(1)(5)(3)m k k +--=-， 因为[]24(1)(5)m k +--是偶数，所以3(3)k -也是偶数，即3-k 为偶数，所以k 为奇数.8、解（Ⅰ）∵()(ln )(ln )2ln 1f x x x x a x =-+-，(0,)x ∈+∞ ∴112()1[ln (ln )]a f x x x x x x '=-⨯+⨯+， 2ln 21x ax x=-+，∴()()2ln 2g x xf x x x a '==-+，(0,)x ∈+∞∴22()1x g x x x-'=-=，令(g '，得2x =，列表如下：∴g 即()g x 的最小值为(2)22ln 22g a =-+． (2)2(1ln 2)2g a =-+， ∵ln 21<，∴1ln 20->，又0a ≥，∴(2)0g >． 证明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()g x 的最小值是正数，∴对一切(0,)x ∈+∞，恒有()()0g x xf x '=>， 从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞上是增函数． 证明（Ⅲ）由（Ⅱ）知：()f x 在(0)+，∞上是增函数， ∴当1x >时，()(1)f x f >，又2(1)1ln 12ln110f a =-+-=，∴()0f x >，即21l n 2l n 0x x a x --+>， ∴2ln 2ln 1x x a x >-+故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．。

【中档大题】综合训练191．（12分）已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 前n 项和n T ． 【解析】()I 设等差数列{}n a 的公差为d ，32a =，前3项和392S =． 122a d ∴+=，19332a d +=，解得11a =，12d =． 111(1)22n n a n +∴=+-=． 11()1II b a ==，4158b a ==，可得等比数列{}n b 的公比q 满足38q =，解得2q =．{}n b ∴前n 项和212121n nn T -==--．2．（12分）如图，直三棱柱111A B C ABC -中，AC BC ⊥，1AC BC ==，12CC =，点M 是11A B 的中点．（1）求证：1//B C 平面1AC M ；（2）求1AA 与平面1AC M 所成角的正弦值．【解析】（1）证明：直三棱柱111A B C ABC -中，AC BC ⊥，1AC BC ==，12CC =，点M 是11A B 的中点．以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则1(0B ，1，2)，(0C ，0，0)，(1A ，0，0)，1(0C ，0，2)，11(,22M ，2)，1(0B C =，1-，2)-，1(1AC =-，0，2)，11(,22AM =-，2)，设平面1AC M 的法向量(n x =，y ，)z ，则120112022n AC x z n AM x y z ⎧=-+=⎪⎨=-++=⎪⎩，取1z =，得(2n =，2-，1)， 10B C n =，1B C ⊂/平面1AC M ， 1//B C ∴平面1AC M ．（2）解：1(0AA =，0，2)，平面1AC M 的法向量(2n =，2-，1)， 设1AA 与平面1AC M 所成角为θ， 则1AA 与平面1AC M 所成角的正弦值为： 11||21sin 233||AA n AA n θ===⨯．3．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22，点2)在C 上．()I 求C 的方程；()II 直线l 不经过原点O ，且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值．【解析】（Ⅰ）由题意得22222421c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得28a =，24b =，∴椭圆C 的方程为22184x y +=；证明：（Ⅱ）设直线:(0,0)l y kx b k b =+≠≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，(M M x ，)M y ，把y kx b =+代入22184x y +=，得222(21)4280k x kbx b +++-=．故12222,22121M M M x x kb bx y kx b k k +-===+=++， 于是直线OM 的斜率12M OM M y k x k ==-，即12OM k k =-，∴直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是：2(x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是参数，m 是常数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且||2PQ =，求实数m 的值． 【解析】（1）因为直线l的参数方程是：(2x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是参数），所以直线l 的普通方程为0x y m --=． 因为曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=， 故26cos ρρθ=， 所以226x y x +=所以曲线C 的直角坐标方程是22(3)9x y -+= （2）设圆心到直线l 的距离为d ，则d ==又d ==，所以|3|4m -=， 即1m =-或7m =． [选修4-5：不等式选讲]23．已知()|||2|()f x x a x x x a =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）当(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【解析】（1）当1a =时，()|1||2|(1)f x x x x x =-+--，()0f x <，∴当1x <时，2()2(1)0f x x =--<，恒成立，1x ∴<；当1x 时，()(1)(|2|)0f x x x x =-+-恒成立，x ∴∈∅； 综上，不等式的解集为(,1)-∞；（2）当1a 时，()2()(1)0f x a x x =--<在(,1)x ∈-∞上恒成立； 当1a <时，(,1)x a ∈，()2()0f x x a =->，不满足题意， a ∴的取值范围为：[1，)+∞。

1. 已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq 0$）的图象的对称轴为$x=1$，且$f(0)=1$，$f(2)=9$，则下列选项中正确的是（）A. $a=1$，$b=0$，$c=1$B. $a=1$，$b=-2$，$c=1$C. $a=-1$，$b=2$，$c=1$D. $a=-1$，$b=-2$，$c=1$2. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_3=9$，$S_5=25$，则$a_1$的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，则下列选项中正确的是（）A. $f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减B. $f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增C. $f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递增D. $f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减4. 若$\log_2(3a-2)+\log_2(2a-1)=1$，则实数$a$的值为（）A. $\frac{3}{2}$B. $\frac{5}{2}$C. $\frac{7}{2}$D. $\frac{9}{2}$5. 若$a>0$，$b>0$，则下列选项中正确的是（）A. $\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}$B. $\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq \sqrt{a+b}$C. $\sqrt{a}-\sqrt{b}\geq \sqrt{a-b}$D. $\sqrt{a}-\sqrt{b}\leq \sqrt{a-b}$6. 已知函数$f(x)=\frac{1}{x-1}$，则下列选项中正确的是（）A. $f(x)$在$(-\infty,1)$上单调递增B. $f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递减C. $f(x)$在$(-\infty,1)$上单调递减D. $f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增7. 已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，若$a_1=2$，$a_4=16$，则$q$的值为（）A. $2$B. $4$C. $\frac{1}{2}$D. $\frac{1}{4}$8. 若$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha$的值为（）A. $\frac{1}{2}$B. $\frac{3}{4}$C. $\frac{5}{4}$D. $\frac{7}{4}$9. 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，则$f'(x)$的零点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 410. 若$a>0$，$b>0$，则下列选项中正确的是（）A. $\ln(a+b)\geq \ln a+\ln b$B. $\ln(a+b)\leq \ln a+\ln b$C. $\ln\frac{a}{b}\geq \ln a-\ln b$D. $\ln\frac{a}{b}\leq \ln a-\ln b$二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，若$a_1=3$，$a_4=15$，则$a_7$的值为______。

高中数学中高档题综合练习（十）1如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1，l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 ．2已知数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，n n T S ,分别是它们的前n 项和，并 且317++=n n T S n n ，则1612108221752b b b b a a a a ++++++= ． 3、已知函数)(x f 的值域为[][]0,4(2,2)x ∈-，函数()1,[2,2]g x ax x =-∈-，1[2,2]x ∀∈-，总0[2,2]x ∃∈-，使得01()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ．4、当n 为正整数时，函数()N n 表示n 的最大奇因数,如(3)3,(10)5,N N ==⋅⋅⋅,设(1)(2)(3)(4)...(21)(2)n n n S N N N N N N =+++++-+,则n S = ．5、已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l ：2x =． ⑴ 求椭圆的标准方程；⑵ 设O 为坐标原点，F 是椭圆的右焦点，点M 是直线l 上的动点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ,求证:线段ON 的长为定值．6、已知各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，且5.0q 0<<. （1）在数列{}n a 中是否存在三项，使其成等差数列？说明理由； (2)若11a =，且对任意正整数k ，12()k k k a a a ++-+仍是该数列中的某一项.(i)求公比q ； (ii)若1log 1)n n a b +=-，12n n S b b b =+++ ，12n n T S S S =+++ ,试用2011S 表示2011T .7、已知k R ∈,函数()(01,01)x x f x m k n m n =+⋅<≠<≠.(1) 如果实数,m n 满足1,1m mn >=,函数()f x 是否具有奇偶性？如果有，求出相应的k 值；如果没有，说明为什么?(2) 如果10,m n >>>判断函数()f x 的单调性；(3) 如果2m =，12n =，且0k ≠，求函数()y f x =的对称轴或对称中心.综合练习（十）答案1、3 2 1 4 3、55,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭4、423n +5、⑴∵椭圆C 的短轴长为2，椭圆C 的一条准线为l ：2x =，∴不妨设椭圆C 的方程为2221x y a+=．（2分）∴2212a c c c +==，即1c =．∴椭圆C 的方程为2212x y +=．⑵ F （1，0），右准线为l ：2x =， 设00(,)N x y ，则直线FN 的斜率为001FN y k x =-，直线ON 的斜率为00ON yk x =，∵FN ⊥OM ，∴直线OM 的斜率为001OM x k y -=-，∴直线OM 的方程为：001x y x y -=-，点M 的坐标为002(1)(2,)x M y --． ∴直线MN 的斜率为00002(1)2MN x y y k x -+=-．∵MN ⊥ON ，∴1MN ON k k ⋅=-， ∴0000002(1)12x y y yx x -+⋅=--，∴200002(1)(2)0y x x x +-+-=，即22002x y +=．∴ON = 6、⑴由条件知：11-=n n q a a ，102q <<，01>a ， 所以数列{}n a 是递减数列，若有k a ，m a ，n a ()k m n <<成等差数列，则中项不可能是k a （最大），也不可能是n a （最小），若k n k m n k m q q a a a --+=⇔+=122，（*）由221m k q q -<≤, 11>+-k h q ，知(* )式不成立，故k a ，m a ，n a 不可能成等差数列.⑵(i) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=--=----++45)21()1(21121121q q a q q q a a a a k k k k k ， 由)1,41(45)21(2∈++-q 知，121k k k k k a a a a a ++---<<<，且>>>--++++3221k k k k k a a a a a … ，所以121+++=--k k k k a a a a ，即0122=-+q q ，所以12-=q ，(ii) n b n 1=， n S n 131211++++= ， )131211()31211()211(1n T n +++++++++++= n n n n n n )1(3221--++-+-+=)1433221()131211(nn n n -++++-++++= )]11()411()311()211[(nnS n -++-+-+--=)]13121()1[(n n nS n +++---=)]131211([nn nS n ++++--= n n S n nS +-=(1)n n S n=+-， 所以2011201120122011T S =-.7、解：（1）如果()f x 为偶函数，则()(),f x f x -=x x x x m k n m k n --+⋅=+⋅恒成立，即：,x x xx n k mm k n +⋅=+⋅()()0xx x x n m k m n -+-= ()(1)0x x n m k --=由0x x n m -=不恒成立，得 1.k =如果()f x 为奇函数，则()(),f x f x -=-x x x xm k n m k n --+⋅=--⋅恒成立，即：,x x xx n k mm k n +⋅=--⋅()()x x xxn m k m n +++=()(1)x x n m k ++=由0x x n m +≠恒成立，得 1.k =-（2）10,m n >>> 1mn>，∴ 当0k ≤时,显然()x xf x m k n =+⋅在R 上为增函数；当0k >时，()ln ln [()ln ln )]0x x x xm f x m m kn n m k n n n'=+=+=，由0,xn >得()ln ln 0,xm m k n n +=得ln ()log ,ln x m m n k k n n m =-=-得log (log )m m nx k n =-.∴当(,log (log )]m m nx k n ∈-∞-时,()0f x '<,()f x 为减函数; 当[log (log ),)m m nx k n ∈-+∞时,()0f x '>,()f x 为增函数.(3) 当12,2m n ==时，()2x xf x k -=+⋅如果0,k <22log ()log ()()222()222222k k xx x x x x x x f x k k ------=+⋅=--⋅=-⋅=-，则2(l o g())(),f k x f x --=-∴函数()y f x =有对称中心21(log (),0).2k -如果0,k >22log log ()2222222,k k x x x x x xf x k ---=+⋅=+⋅=+则2(log )(),f k x f x -= ∴函数()y f x =有对称轴21log 2x k =.。

高三数学中档练习题推荐高三是学生们最为紧张和重要的一年，而数学作为一门重要的学科，占据着整个高考的很大比重。

为了帮助高三学生们更好地备考数学，我精心挑选了一些中档练习题，希望能给同学们提供有针对性的练习，提高数学解题能力。

1. 函数（1）已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(3)的值。

（2）已知函数g(x) = 2^x，求g(0)的值。

2. 三角函数（1）已知直角三角形中的一条锐角的正弦值为1/2，求该角的大小。

（2）已知sin(a) = 3/5，cos(b) = 4/5，且a和b为锐角，求sin(a+b)的值。

3. 数列与数列求和（1）已知等差数列的首项为3，公差为4，求该数列的第5项。

（2）已知等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的前6项的和。

4. 三角函数与解析几何（1）已知平面直角坐标系中有一条直线L，其斜率为-2，经过点(3, 4)，求直线L的方程。

（2）已知平面直角坐标系中有一个圆心在原点，半径为3的圆，求该圆上的一点P(x, y)，使得点P与直线y = 2x之间的距离最短。

5. 概率与统计（1）甲、乙、丙三个人依次从一副扑克牌中抽取一张纸牌，不放回，求出甲乙丙三个人抽到的纸牌分别为黑桃、红心、梅花的概率。

（2）某班级60名同学中，有20人擅长数学，30人擅长英语，并且既擅长数学又擅长英语的有10人。

从该班级中任意选出一名学生，求他既不擅长数学也不擅长英语的概率。

这些练习题涵盖了高三数学中的各个知识点，通过解答这些题目，可以加深对数学知识的理解和掌握，提高解题能力和应试水平。

希望同学们在备考中能够认真对待每一道题目，多思考、多总结，相信付出努力一定会有收获。

祝愿大家高考顺利！。

高中数学中高档题综合练习（五）1、已知在平面直角坐标系xOy 中，O (0,0), A (1,-2), B (1,1), C (2.-1)，动点M (x ,y ) 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧-2≤−→OM ·−→OA ≤21≤−→OM ·−→OB ≤2，则−→OM ·−→OC 的最大值为 . 2、已知三角形△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c 。

若角C ＝π 3，且a =2b ，则角B = .3、若1||x a x -+≥12对一切x ＞0恒成立，则a 的取值范围是 ． 4、已知集合(){}22,|2009x y x y Ω=+≤，若点),(y x P 、点),(y x P '''满足x x '≤且y y '≥，则称点P 优于P '. 如果集合Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，则所有这样的点Q 构成的集合为 .5、若实数x 、y 满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是 .6、水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间(单位：月)，以年初为起 点，根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t 的近似函数关系式为v (t )= ⎩⎪⎨⎪⎧1 240 (-t 2+15t -51)e t +50 (0＜t ≤9)4(t -9)(3t -41)+50 (0＜t ≤12)。

(1)若该水库的蓄水量小于 50的时期称为枯水期，以i -1＜t ≤i 表示第i 月份(i =1，2，…12)，问一年内 那几个月份是枯水期？ (2)求一年内该水库的最大蓄水量(取e 3=20计算)。

7、已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，且经过点P(1，32)。

(1)求椭圆C的方程；(2)设F是椭圆C的右焦点，M为椭圆上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M。

问点M满足什么条件时，圆M与y轴有两个交点? (3)设圆M与y轴交于D、E两点，求点D、E距离的最大值。