高中数学选修2-1数学苏教选修2-1 综合练习

高中苏教版选修（2-1）综合测试题选择题 1．已知{}M =直线，{}N =抛物线，则M N 的元素个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．1或2答案：A 2．“p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B 3．在正方体1111ABCD A BC D -中，下列各式中运算的结果为向量1AC 的有（ ）①1()AB BC CC ++； ②11111()AA A D DC ++； ③111()AB BB BC ++； ④11111()AA A B BC ++．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：D4．下列命题中是假命题的是（ ）A ．αβ∃∈R ，，使sin()sin sin αβαβ-=-B ．x ∀∈R ，E 6310x x ++>C ．x y ∀∈R ，，使2x y+D ．x y ∀∈R ，，有22x y xy +⎛⎫⎪⎝⎭≤ 答案：C5．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线方程为12y x=±，则该双曲线的离心率等于（ ）A ．5BC． D ．54答案：C6．已知正四体ABCD 的棱长为1，点E F ，分别是AD DC ，的中点，则EF BA 等于（ ）A ．14B．4 C ．14-D．4-答案：C7．设A B ，为两个集合，下列四个命题： ①A B x A ⇔∀∈Ú，有x B ∉； ②A B A B ⇔=∅Ú； ③A B AB ⇔谯；④A B x A ⇔∃∈Ú，使得x B ∉．其中真命题的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．①③④D ．④答案：D8．如果方程221x y p q +=-表示曲线，则表示与该双曲线共焦点的椭圆是（ ） A ．2212x y q p q +=+ B ．2212x y q p p +=-+ C ．2212x y p q q +=+D ．2212x y p q p +=-+答案：D9．如图1，在直三棱柱ABO111A B O -中，π2AOB ∠=，3AO =，4BO =，15OO =，M 是11A B 的中点，则BM 的坐标是（ ）A ．(325)-，，B ．3252⎛⎫- ⎪⎝⎭，， C ．3052⎛⎫⎪⎝⎭，，D ．(305)，， 答案：B10．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，双曲线22221(0)x y a b a b -=>>和抛物线22(0)y px p =>的离心率分别为123e e e ，，，则（ ）A ．123e e e >B ．123e e e =C ．123e e e <D ．123e e e ≥答案：C11．如图2，设直三棱柱111ABC A B C -中，1A B A C A A ==，90BAC ∠=，M Q ，分别是1CC BC ，的中点，P 点在11A B 上，且11:1:2A P PB =，则AM 与PQ 所成的角等于（ ）A ．30 B ．45C ．60D ．90答案：D12．设过点()P x y ，的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A B ，两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =且1OQ AB =，则P 点的轨迹方程是（ ）A ．22331(00)2x y x y +=>>， B ．22331(00)2x y x y -=>>，C ．22331(00)2x y x y -=>>， D ．22331(00)2x y x y +=>>，答案：D 二、填空题13．如图3，已知正方体1111ABCD A BC D -中，点E F ，分别是底面11AC 和侧面1CD 的中心，若1EF A D λ+=0，则λ= ．答案：12-14．设P 为椭圆2214x y +=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 ．答案：2241x y += 15．边长为2的正方形ABCD 的中心为O ，过O 作平面ABCD 的垂线，在其垂线上取点P ，使2OP =，连结PC ，取PC 的中点E ，则cos BE DE =， ． 答案：17-16．有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x y ，互为倒数”的逆命题； ②命题“存在两个等边三角形，它们不相似”的否定； ③命题“若1m ≤，则220x x m -+=有实根”的逆否命题； ④命题“若AB B =，则A B ⊆”的逆否命题．其中是真命题的有 ． 答案：①②③ 三、解答题17．已知a b ∈R ，，若20x ax b ++≤有非空解集，则240a b -≥．写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．解：逆命题：已知a b ∈R ，，若240a b -≥， 则20x ax b ++≤有非空解集．真命题．否命题：已知a b ∈R ，，若20x ax b ++≤没有非空解集，则240a b -<．真命题． 逆否命题：已知a b ∈R ，，若240a b -<，则20x ax b ++≤没有非空解集．真命题．18．在平行六面体1111ABCD A BC D -中，求证：1112AC AB AD AC ++=．证明：因平行六面体的六个面均为平行四边形，所以有以下三式：AC AB AD =+，1111AB AB AA AD AD AA =++=+，则11111()()()2()AC AB AD AB AD AB AA AD AA AB AD AA ++=+++++=++． 由于11AA CC =，AD BC =，所以1111AB AD AA AB BC CC AC CC AC ++=++=+=．故1112AC AB AD AC ++=．19．已知12F F ，是双曲线221916x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且1232PF PF =，求证：12PF PF ⊥．证明：由126PF PF -=，得221122236PF PF PF PF -+=．由1232PF PF =，得2212100PF PF +=．而291625c =+=，则212100F F =，即221212PF PF F F +=，故12PF PF ⊥．20．已知直线10x y +-=与椭圆2234x by +=相交于两个不同点，求实数b 的取值范围．解：由221034x y x by +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2(44)810b y y +-+=．因为直线与椭圆相交于两个不同点，所以440644(44)0b b +≠⎧⎨∆=-+>⎩，，解得3b <且1b ≠-．又方程2234x by +=表示椭圆．所以0b >，且1b ≠． 综上，实数b 的取值范围是{}|031b b b <<≠，且．21．如图4，已知ABC △是以B ∠为直角的直角三角形，SA ⊥平面ABC ，2SA BC ==，4AB =，N D ，分别是AB BC ，的中点，求A 到平面SND 的距离．解：如图所示，建立空间直角坐标系，则(022)(142)NS SD =-=--，，，，，．设平面SND 的法向量为(1)x y =，，n ． 0NS =n ，0SD =n ，220420y x y -+=⎧∴⎨-+-=⎩，，21x y =⎧∴⎨=⎩，．(211)∴=，，n ．(002)AS =，，，A ∴到平面SND 的距离为：AS d ===n n．22．如图5，F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点，(42)A ，为抛物线内一定点，P 为抛物线上一动点，PA PF+的最小值为8．（1）求该抛物线的方程；（2）若O 为坐标原点，问是否存在点M ，使过点M 的动直线与抛物线交于B C ，两点，且90BOC ∠=，证明你的结论． 解：（1）由抛物线性质，得min ()2A p PA PF x +=+，482p+=，解得8p =．故抛物线方程为216y x =； （2）假设存在满足条件的定点M ，当过点M 的直线斜率存在时，设直线方程为y kx b =+， 显然00k b ≠≠，，直线交抛物线于B C ，两点． 设()()B B C C B xyC x y ，，，90BOC ∠=，1BO CO k k ∴=-，0B C B C x x y y ∴+=．将直线方程代入抛物线方程， 得216160ky y b -+=．16B C b y y k ∴=，2222216B C B C y y b x x k ==，22160b bk k ∴+=，16b k ∴=-．∴动直线方程为16y kx k =-，即(16)y k x =-，它必过点(160)，． 当过点M 的直线斜率不存在时，直线16x =交抛物线于点(1616)(1616)B C -，，，，仍有90BOC ∠=． 故存在定点(160)M ，满足条件．高考资源网w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 高中苏教版选修（2-1）综合测试题 一、选择题 1．已知命题“p 或q ”为真，“非p ”为假，则必有（ ）A ．p 真，q 假B ．q真，p 假C ．p 真，q 真D ．p 真，q 可真可假答案：D2．抛物线22y x =-的焦点坐标是（ ）A ．102⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．(01)，C ．108⎛⎫- ⎪⎝⎭，D．104⎛⎫- ⎪⎝⎭， 答案：C3．四面体ABCD 中，设M 是CD 的中点，则1()2AB BD BC ++化简的结果是（ ）A ．AMB ．BMC ．CMD ．DM答案：A4．方程2x xy x +=的曲线是（ ）A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线答案：C5．若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m 等于（ ） A ．32BC ．83D ．23答案：A6．(83)(265)a b ==，，，，，m n ，若∥m n ，则a b +的值为（ ） A ．0 B ．52C ．212D ．8答案：C7．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ）A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案：A 8．设12x x ∈R ，，常数0a >，定义运算“*”为：12124x x x x *=，等号右边是通常的乘法运算，如果在平面直角坐标系中，动点P 的坐标()x y ，满足关系式：22y ya x*=*，则动点P 的轨迹方程为（ ）A ．212y ax =B ．2y ax = C ．22y ax =D ．24y ax = 答案：D9．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，点M 在对角线1AC 上，且112AM MC =，N 为1B B 的中点，则MN 为（ ） A．B．C． D．答案：A10．若函数()()f x g x ，的定义域和值域都是R ，则“()()f x g x <”成立的充要条件是（ ） A ．0x ∃∈R ，使得00()()f x g x <B ．存在无数多个实数x ，使得()()f x g x <C ．x ∀∈R ，都有1()()2f x g x +<D ．不存在实数x ，使得()()f x g x ≥ 答案：D11．若椭圆221x y m p +=与双曲线221(0)x y m n p m p n p -=>≠，，，有公共的焦点12F F ，，其交点为Q ，则12QF F △的面积是（ ）A ．m n +B ．2m n+C ．pD ．2p答案：C12．将正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角后，异面直线AB 与CD 所成的角的余弦值是（ ）A．B． C ．12-D ．12答案：D 二、填空题13．已知正方体111A B C D A B C D -中，P M ，为空间任意两点，若1111764PM PB BA AA AD =+++，则M 点一定 平面11BA D 内（填“在”或“不在”）．答案：在14．下面结论：①命题:p “设，a b 为向量，如果⊥a b ，则0a b =”的否命题为“如果a 不垂直于b ，则0≠a b ”；②命题22:0()p a b a b +<∈R ，；命题22:0()q a b a b +∈R ，，则“p q ∧”是真命题； ③“0ab <”是“方程22ax by c +=”表示双曲线的必要非充分条件； ④命题:()p x M p x ∀∈，的否定是：x ∃∈R ，()p x ⌝； ⑤命题:p “4的平方根是2”的否定是：“4的平方根不是2”．其中正确的序号是 ．答案：①③④15．如图1，已知l αβ--为直二面角，A B ，在l 上，AC BD ，分别在αβ，内，且AC 与l 的夹角为45，BD l ⊥，AC =，24AB BC ==，，则CD 的长为 ．16．在ABC △中，(20)(20)()B C A x y -，，，，，，给出ABC △满足的条件，就得到动点A 的轨迹方程．下面给出了一些条件及方程，请你用线把左边ABC △满足的条件及相应的右边A 点的轨迹方程连起来（错一条连线得0分）；答案：①——c ，②——a ，③——b三、解答题17．设a b c ，，为ABC △的三边，求证：方程2220x ax b ++=与2220x cx b +-=有共公根的充要条件是90A ∠=． 证明：充分性：90A ∠=，222a b c ∴=+，于是方程2220x ax b ++=，可化为22220x ax a c ++-=． 22()()0x ax a c a c ∴+++-=，即[()][()]0x a c x a c +++-=． 该方程有两根1()x a c =-+，2()x a c =--．同样另一方程2220x cx b +-=，也可化为2222()0x cx a c +--=， 即[()][()]0x c a x c a +++-=， 也有两根3()x a c =-+，4()x c a =--． 可以发现13x x =，∴方程①②有公共根．必要性：设x 是方程的公共根，则22222020x ax b x cx b ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，①．②由+①②，得()x a c =-+，或0x =（不合题意，舍去） 代入①并整理，得222a b c =+．90A ∴∠=．综上所述，结论成立．18．若一动点M 与定直线16:5l x =的距离和它到定点(50)A ，的距离的比是45． （1）求动点M 的轨迹方程；（2）设所求轨迹C 上有一点P 与两个定点(50)(50)A B -，，，的连线互相垂直，求PA PB的值．解：（1）设动点()M x y ，45=，整理，得221169x y -=；（2）依题意，得221008PB PA PB PA ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，，解得18PA PB =．19．如图2，在四棱锥M ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AM 的长为3，且AM 和AB AD ，的夹角都是60，N 是CM的中点．设AB ADAM ===，，a b c ，试以，，a b c 为基向量表示出向量BN 的长．解：12BN BC CN AD CM=+=+1()2AD AM AC =+- 1[()]2AD AM AD AB =+-+ 111222AB AD AM=-++ 111222=-++a b c．222111222BN BN ⎛⎫==-++ ⎪⎝⎭a b c 2221(222)4=++--+a b c a b a c b c117(4490223cos 60223cos 60)44=++--⨯⨯+⨯⨯=．故线段BN 的长为．20．已知三点12(52)(60)(60)P F F -，，，，，．（1）求以12F F ，为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（2）设点12P F F ，，关于直线y x =的对称点分别为12P F F '''，，，求以12F F ''，为焦点且过点P '的双曲线的标准方程．解：（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，其半焦距6c =．122a PF PF =+==a ∴=22245369b ac =-=-=．所以所求椭圆的标准方程为221459x y +=；（2）点12(52)(60)(60)P F F -，，，，，关于直线y x =的对称点分别为12(25)(06)(06)P F F '''-，，，，，．设所求双曲线的标准方程为221122111(00)y x a b a b -=>>，．由题意知，半焦距16c =，1122a P F P F ''''=-==．1a ∴=222111362016b c a =-=-=．所以所求双曲线的标准方程为2212016y x -=．21．如图3，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC =，D E ，分别为11BB AC ，的中点．（1）证明：ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线；（2）设1AA AC =D ，求二面角11A AD C --的大小．（1）证明：如图，建立直角坐标系O xyz -，其中原点O 为AC 的中点， 设1(00)(00)(02)A a B b B b c ，，，，，，，，．则1(00)(02)(00)(0)C a C a c E c D b c --，，，，，，，，，，，．(00)ED b =，，，1(002)BB c =，，． 10ED BB =， 1ED BB ∴⊥．又1(202)AC a c =-，，，10ED AC =， 1ED AC ∴⊥，所以ED 是异面直1BB 与1AC 的公垂线．（2）解：不妨设(100)A ，， 则1(010)(100)(102)B C A -，，，，，，，，，(110)BC =--，，，(110)AB =-，，，1(002)AA =，，， 0BC AB =，10BC AA =，即BC AB ⊥，1BC AA ⊥，又1ABAA A =，BC ∴⊥面1A AD ．又(001)(001)(100)E D C -，，，，，，，，， (101)(101)(010)EC AE ED =--=-=，，，，，，，，，0EC AE =，0EC ED =，即EC AE ⊥，EC ED ⊥，又AEED E =，EC ∴⊥面1C AD ．1cos 2EC BC EC BC EC BC==，，即得EC 和BC 的夹角为60． 所以二面角11A AD C --为60．22．有如下命题：已知椭圆22194x y +=，AA '是椭圆的长轴，11()P x y ，是椭圆上异于A A '，的任意一点，过P 作斜率为1149x y -的直线l ，过直线l 上的两点M M '，分别作x 轴的垂线，垂足分别为点A A '，，则（1）AM A M ''为定值4；（2）由A A M M ''，，，四点构成的四边形面积的最小值为12．请分析上述命题，并根据上述命题对于椭圆22221(0)x y a b a b +=>>构造出一个具有一般性结论的命题，使上述命题是一个特例．写出这一命题，并证明这一命题是真命题．解：这一命题是：已知22221(0)x y a b a b +=>>，AA '是椭圆的长轴，11()P x y ，是椭圆上异于A A '，的任意一点，过P 作斜率为2121b x a y -的直线l ，过直线l 上的两点M M '，分别作x 轴的垂线，垂足分别为A A '，，则 （1）AM A M ''为定值2b ；（2）由A A M M ''，，，四点构成的四边形面积的最小值为2ab ． 这一命题是真命题，证明如下：（1）不妨设(0)(0)A a A a '-，，，，则直线211121:()b x l y y x x a y -=--，即222222221111b x x a y y b x a y a b +=+=． 由M 与A ，M '与A '有相同的横坐标，得22221111ab b x ab b x M a M a ay ay ⎛⎫⎛⎫+-'- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，， M M AM A M y y '''∴=22221111ab b x ab b x ay ay +-=2222221221a b b x b b a y -==；（2）由图形分析知，不论四点的位置如何，四边形的面积1()2S AA AM A M '''=+．2AA a'=，且AM A M ''，都为正数，1()()2S AA AM A M a AM A M '''''∴=+=+2a ab=≥．即四边形的面积的最小值为2ab ．高考资源网w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 高中苏教版选修（2-1）综合测试题一、选择题1．设命题:05p x <<，命题:23q x -<，那么p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案：A2．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行．④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 其中真命题的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案：B3．下列命题中的真命题是（ ）A ．“2x >且3y >”是“5x y +>”的充要条件B ．“AB ≠∅”J “A B Ü”的充分条件C ．“240b ac -<”是“一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为R ”的充要条件 D ．一个三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形 答案：D4．在平面直角坐标系中，到两坐标轴的距离之差等于1的点的轨迹方程是（ ） A ．1x y -= B ．1x y -= C ．1x y -=±D ．1x y ±=5．椭圆2214x y m +=的焦距是2，则m 的值是（ ）A ．5B ．5或8C ．3或5D ．20答案：C6．已知椭圆22221x y a b +=与椭圆2212516x y +=有相同的长轴，椭圆22221x y a b +=的短轴长与椭圆221219y x +=的短轴长相等，则（ ）A ．225a =，216b = B ．29a =，225b =C ．225a =，29b =，或29a =，225b = D ．225a =，29b = 答案：D7．已知方程22152x y k k -=--表示的图形是双曲线，则k 的取值范围是（ ）A ．5k >B ．5k >或22k -<<C ．2k >，或2k <-D ．22k -<< 答案：B8．椭圆222134x y n +=和双曲线222116x y n -=有共同的焦点，则n =（ ）A ．5±B ．3±C ．25D ．9答案：B9．过抛物线28y x =的焦点F 作倾斜角为3π4的直线，交抛物线于A B ，两点，则AB =（ ） A ．8B．C．D ．1610．若椭圆221(05)5x y m m +=<<和双曲线221(0)3x y n n -=>有相同的焦点12F F ，，P 是两条曲线的一个交点，12PF PF ⊥，则12PF F △的面积是（ ）A ．1B ．12C ．4D ．4答案：A11．已知a b ，是异面直线：A B a ∈，，C D b ∈，，AC b ⊥，BD b ⊥，且21AB CD ==，，则a b ，所成的角为（ ）A ．30 B ．45C ．60D ．90答案：C12．如图1，已知P 是二面角AB αβ--棱上的一点，分别在αβ，内引射线P M P N ，，使45BPM BPN ∠=∠=，60MPN ∠=，那么二面角AB αβ--的大小为（ ）A ．60 B ．70C ．80D ．90答案：D 二、填空题13．已知平面α的一个法向量1214x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，a ，(121)=-，，b ，1322⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，c ，且，b c 在α内，则=a ．答案：91152264⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 14．在长方体1111ABCD A BC D -中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点1A 到截面11AB D 的距离为 ．答案：4315．设中心在坐标原点的椭圆与双曲线22221x y -=有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 ．答案：2212x y +=16．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm ，灯深40cm ，则光源到反射镜顶点的距离是 ． 答案：5.625cm 三、解答题17．已知:p 方程210x mx ++=有两个不相等的负根；:q 方程244(2)10x m x +-+=无实根，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解：p 真2400m m ⎧∆=->⇔⎨>⎩，，解得2m >，即:2p m >，q 真216(43)0m m ⇔∆=-+<，解得13m <<，即:13q m <<． 因p 或q 为真，所以p q ，至少有一个为真；又p 且q 为假，所以p 或q 是至少有一个为假． 因此p q ，必一真一假，即213m m m >⎧⎨⎩，≤或≥，或213m m ⎧⎨<<⎩≤，，解得3m ≥或12m <≤．18．如图2，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为12F F ，，斜率为k 的直线l 过左焦点1F 且与椭圆的交点为A B ，，与y 轴交点为D ，又B 为线段1DF 的中点，若k ，求椭圆离心率e的取值范围．解：设:()l y k x c =+，则(0)22c kc D kc B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，．B 在椭圆上，22222144c k c a b ∴+=，即222222144()c k c a a c +=-，即222241k e e e +=-．2222(4)(1)72e e k e --∴=≤，则有4221780e e -+≤，解得2112e <≤．e ∴的取值范围为12⎫⎪⎪⎣⎭．19．双曲线22221(10)x y a b a b -=>>，的焦距为2c ，直线l 过点(0)a ，和(0)b ，且点(10)，到直线l 的距离与点(10)-，到直线l 的距离之和45s c≥，求双曲线的离心率e 的取值范围． 解：直线l 的方程为1x y a b +=，即0bx ay ab +-=，由点到直线的距离公式，且1a >，得点(10)，到直线l的距离1d =同理可得点(10)-，到直线l的距离2d =122abs d d c ∴=+==，又45s c ≥，得245ab c c ≥，即22252a c a c-≥， 于是得22e ，即42425250e e -+≤，解得2554e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，又1e >，e ∴的范围是e ∈⎣． 20．如图3，棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，E F G ，，分别是11DD BD BB ，，的中点．（1）求证：EF CF ⊥；（2）求EF 与CG 所成角的余弦； （3）求CE 的长．解：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系D xyz -，则1111(000)00(010)0112222D E C F G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，， 1111111010012222222EF CF CG CE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，． （1）111110022222EF CF ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，EF CF ∴⊥，即EF CF ⊥；（2）111111022224EFCG ⎛⎫=⨯+⨯+-⨯=⎪⎝⎭， 1EF ⎛==， 212CG ==，cos EF CG EF CG EF CG∴=，1==；（3）202CE ==． CE ∴的长为．21．如图4，ABCD 是边长为a 的菱形，且60BAD ∠=，PAD △为正三角形，且面PAD ⊥面ABCD ． （1）求cos AB PD，的值；（2）若E 为AB 的中点，F 为PD 的中点，求EF；（3）求二面角P BC D --的大小．解：（1）以AD 中点O 为原点，射线OB 为非负x 轴， 射线OD 为非负y 轴，射线OP 为非负z 轴，建立空间直角坐标系，则000000002222a a A B a P a D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，30022a a AB a PD ⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，则1cos 4AB PDAB PD AB PD==，；（2）E F ，分别为AB PD ，的中点，0044a a E F ⎫⎛⎫∴-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，则4EF a ⎛== ；（3）面PAD ⊥面ABCD ，PO AD ⊥，PO ∴⊥面ABCD ， BO AD ⊥，AD BC ∥， BO BC ∴⊥，则PB BC ⊥．PBO ∴∠为二面角P C D --的平面角，又33000BO a BP ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，， 2cos cos 2PBO BO BP ∴∠==，，45PBO ∴∠=，即该二面角大小为45．高考资源网w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 高中苏教版选修（2-1）综合测试题 一、选择题1．下列各组命题中，满足“p 或q 为真”，且“非p 为真”的是（ ）A ．:0p =∅；:0q ∈∅B ．:p 在ABC △中，若cos 2cos 2A B =，则A B =；:sin q y x =在第一象限是增函数C ．:)p a b a b +∈R ≥，；:q 不等式x x >的解集为(0)-∞，D ．:p 圆22(1)(2)1x y -+-=的面积被直线1x =平分；:q 椭圆22143x y +=的一条准线方程是4x = 答案：C2．平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P ，若满足6PA PB +=，则PA的取值范围是（ ）A ．[14]， B ．[16]， C ．[26]， D ．[24]，答案：D3．设M 是ABC △的重心，记BC =a ，CA =b ，AB =c ，则AM =（ ）A ．2-b cB ．2-c bC ．3-b cD ．3-c b答案：D4．35m <<是方程222156x y m m m +=---表示双曲线的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案：A5．已知双曲线221x y -=，则过(01)P ，与它只有一个公共点的直线的条数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D6．如图1，在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB =，则1AB 与1C B 所成角的大小为（ ） A ．60B ．90C ．105D ．75答案：B7．下列全称命题为真命题的是（ ） A ．所有的素数是奇数 B ．x ∀∈R ，211x +≥C ．对任一个无理数x ，2x 也是无理数 D ．所有的平行向量均相等 答案：B8．已知曲线221x y a b +=和直线10ax by ++=（a b ，为非零实数），在同一坐标系中，它们的图象可能为（ ）答案：C9．已知12F F ，分别为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的左、右焦点，P 为双曲线上任一点，若221PF PF 的最小值为8a ，则此双曲线离心率e 的取值范围是（ ）A ．(1)+，∞ B ．(]03，C ．(]13，D ．(]12，答案：C10．如图2所示，正方体1111ABCD A BC D -中，棱长为1，O 是底面1111A B C D 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离是（ ）A ．12B．4 C．2 D．答案：B11．已知圆锥曲线2244mx y m +=的离心率e 为方程22520x x -+=的根，则满足条件的圆锥曲线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案：C12．如图3所示，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB =，1AF =，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点坐标为（ ）A ．(111)，，B．1⎫⎪⎪⎝⎭ C ．122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， D．144⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 答案：C 二、填空题13．已知点A B C ∈，，平面 α，点P α∉，则0A P A B =，且0AP A C =是0AP BC =的 条件． 答案：充分不必要14．已知两点551444M N ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，给出下列曲线方程： ①4210x y +-=；②223x y +=； ③2214x y +=；④2212x y -=．在曲线上存在点P 满足MP NP=的所有曲线方程是 （填序号）．答案：②③④ 15．已知M 为长方体1AC 的棱BC 的中点，点P 在长方体1AC 的面11CC D D 内，且11PM BB D D ∥，则点P 位置应落在 ．答案：点P 在面11DCC D 内DC 的中垂线上16．方程22141x y t t +=--表示的曲线为C ，给出下列四个命题：①曲线C 不可能是圆；②若曲线C 为椭圆，则14t <<； ③若曲线C 为双曲线，则1t <或4t >；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<．其中真命题的序号是 ． 答案：③④ 三、解答题17．用量词符号“∀”“∃”表示下列命题： （1）任一个奇数减去1，成为一个偶数； （2）没有一个实数x 使220x +=成立；（3）存在一个角α，满足1sin 2α<；（4）对任意有理数x ，都有2233x x --是有理数；（5）存在无理数，满足两个无理数的和是有理数． 解：（1）{}x ∀∈奇数，{}1x -∈偶数．（2）x ∀∈R ，220x +≠．（3）α∃∈R ，1sin 2α<．（4）x ∀∈Q ，2233x x --∈Q ．（5）{}x y ∃∈，无理数，x y +∈Q ．18．设过原点的直线l 与抛物线24(1)y x =-交于A B ，两点，且以AB 为直径的圆恰好过抛物线焦点F ． 求（1）直线l 的方程； （2）AB的长．解：（1）设:l y kx =，抛物线的焦点为(20)F ，， 2224(1)440y x k x x y kx ⎧=-⇒-+=⎨=⎩，．当0k =时，l 与x 轴重合，不合题意，所以0k ≠． 设1122()()A x y B x y ，，，，则1224x x k +=，1224x x k =． ①因为AF BF ⊥，所以1AF BF k k =-，所以1212122y yx x =---，，整理得21212122()40k x x x x x x +-++=， ②①代入②，得22244(1)240k k k ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，解得2k =±．所以直线l的方程为2y x =±；（2）由（1）的求解，易得128x x +=，128x x =，所以AB ===．所以弦AB的长为19．已知{}123，，e e e 为空间的一个基底，且12323OP =-+e e e ，1232OA =+-e e e ，12332OB =-++e e e ，123OC =+-e e e ．（1）判断P A B C ，，，四点是否共面； （2）能否以{}OAOBOC ，，作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量OP ．解：（1）假设四点共面，则存在实数x y z ，，使OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=， 即12312312312323(2)(32)()x y z -+=+-+-++++-e e e e e e e e e e e e ．比较对应的系数，得一关于x y z ，，的方程组322123x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=-⎨⎪-+-=⎩，，，解得17530x y z =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，，与1x y z ++=矛盾，故四点不共面；（2）若向量OAOBOC ，，共面，则存在实数m n ，使OA mOB nOC =+， 同（1）可证，这不可能，因此{}OAOB OC ，，可以作为空间的一个基底，令OA OB OC ===，，a b c ， 由1232+-=e e e a ，12332-++=e e e b ，123+-=e e e c 联立得到方程组，从中解得1233547=--⎧⎪=-⎨⎪=--⎩，，，e a b c e a c e a b c所以17530OP OA OB OC =--．20．如图4，已知双曲线的中心在原点，右顶点为(10)A ，，点P Q ，在双曲线的右支上，点(0)M m ，到直线AP 的距离为1． （1）若直线AP 的斜率为k，且k ∈⎣，求实数m 的取值范围；（2）当1m =时，APQ △的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程．解：（1）由条件得直线AP 的方程为(1)y k x =-， 即0kx y k --=．因为点M 到直线AP 的距离为1，1=，即1m -==因为k ∈⎣，所以123m -≤解得11m -≤≤或13m +≤．所以m的取值范围是231113⎡⎡⎤--+⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，；（2）设双曲线方程为2221(0)y x b b -=≠，由10)(10)M A ，，，， 得AM =．又因为M 是APQ △的内心，M 到AP 的距离是1，所以45MAP ∠=， 直线AM 是QAP ∠的角平分线，且M 到AQ PQ ，的距离均为1，因此1AP k =，1AQ k =-（不妨设P 在第一象限），则得直线PQ方程为2x =+AP 的方程为1y x =-．所以P 点坐标为(2，将P点坐标代入2221y x b -=，得2b = 所以双曲线方程为221x y =，即221)1x y -=．21．如图5是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为12m ，镜深2m ．（1）建立适当的坐标系，求抛物线的方程和焦点的位置；（2）若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求每根铁筋的长度． 解：（1）如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x 轴垂直于镜口直径．由已知，得A 点坐标是(26)，． 设抛物线方程为22(0)y px p =>， 则36229p p =⨯⇒=．∴所求抛物线的方程为218y x =，焦点坐标是902F ⎛⎫⎪⎝⎭，．（2）盛水的容器在焦点处，A F ∴，两点间的距离即为每根铁筋长．132AF ==或913222AF ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． 故每根铁筋的长度是6.5m ．22．如图6，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为等腰梯形，AB DC ∥，AC BD ⊥，AC 与BD 相交于点O ，且顶点P 在底面上的射影恰好为点O ，又2BO =，PO =PB PD ⊥． （1）求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值； （2）求二面角P AB C --的大小；（3）设点M 在棱PC 上，且PMMC λ=，问λ为何值时，PC ⊥平面BMD ．解：PO ⊥平面ABCD ，PO BD ∴⊥，又PB PD ⊥，2BO =，PO =以O 为原点，OA OB OP ，，分别为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为(000)(200)(020)(100)(010)(00O A B C D P --，，，，，，，，，，，，，，，． （1）(01PD =-，，(120)BC =--，，， 3PD ∴=5BC =，2PD BC =， 215cos PD BCPD BC PD BC ∴==，．故直线PD 与BC 所成的角的余弦值为15；（2）设平面PAB 的一个法向量为()x y z =，，n ， 由于(220)(20AB AP =-=-，，，， 由00AB AP⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩，． 取=n ，又易知平面ABCD 的一个法向量(001)=，，m ， 2cos 2∴==，m n m n m n ，又二面角P AB C --为锐角，∴所求二面角P AB C --的大小为45；（3）设00(0)Mx z ，，，由于P M C ，，三点共线，00z① PC ⊥平面BMD ，OM PC ∴⊥，00(10(0)0x z ∴-=，，，，000x ∴=．②由①②知023x =-，0z =，203M ⎛∴- ⎝⎭， 2PM MC λ∴==，故2λ=时，PC ⊥平面BMD ．。

(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1.给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题．故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个．答案：12.a <0是方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根的______条件．解析：由Δ＝22－4a >0，得a <1时方程有根；a <0时，x 1x 2＝1a<0，方程有负根，又a ＝1时，方程根为x ＝－1.答案：充分不必要3.命题“若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1”的逆否命题是______．解析：命题的条件为“x 2≥1”，结论为“x ≥1或x ≤－1”，否定结果作条件，否定条件作结论，即为其逆否命题．答案：若－1<x <1，则x 2<14.下列命题：①G ＝ab (G ≠0)是a ，G ，b 成等比数列的充分不必要条件；②若角α，β满足cos αcos β＝1，则sin(α＋β)＝0；③若不等式|x －4|<a 的解集非空，则必有a >0；④函数y ＝sin x ＋sin|x |的值域是[－2，2]． 其中正确命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)．解析：当G ＝ab (G ≠0)时，有G 2＝ab ，所以a ，G ，b 成等比数列，但当a ，G ，b 成等比数列时，还可以有G ＝－ab ，所以G ＝ab (G ≠0)是a ，G ，b 成等比数列的充分不必要条件，故①正确；当cos αcos β＝1时，有cos α＝cos β＝－1或cos α＝cos β＝1，即α＝2k 1π＋π(k 1∈Z )，β＝2k 2π＋π(k 2∈Z )或α＝2k 3π(k 3∈Z )，β＝2k 4π(k 4∈Z )，这时α＋β＝2(k 1＋k 2)π＋2π(k 1，k 2∈Z )或α＋β＝2(k 3＋k 4)π(k 3，k 4∈Z )，必有sin(α＋β)＝0，故②正确；由于|x －4|的最小值等于0，所以当a ≤0时，不等式|x －4|<a 的解集是空集，如果不等式|x －4|<a 的解集非空，必有a >0，故③正确；函数y ＝sin x ＋sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，x ≥00，x <0，所以该函数的值域为[－2，2]，故④正确． 答案：①②③④5.给出命题：①∀x ∈(－∞，1)，使x 3<1；②∃x ∈Q ，使x 2＝2；③∀x ∈N ，有x 3>x 2；④∀x ∈R ，有x 2＋4>0.其中的真命题是________(填序号)．解析：方程x 2＝2的解只有无理数x ＝±2，所以不存在有理数x 使得方程x 2＝2成立，故②为假命题；比如存在x ＝0，使得03＝02，故③为假命题，①④显然正确．答案：①④6.若非空集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝C ，且B 不是A 的子集，则“x ∈C ”是“x ∈A ”的________条件．解析：x ∈A ⇒x ∈C ，但是x ∈C 不能推出x ∈A .答案：必要不充分7.“a ＝18”是“对任意的正数x ，2x ＋a x≥1”的________条件． 解析：a ＝182x ＋a x ＝2x ＋18x ≥22x ×18x ＝1，另一方面对任意正数x ，2x ＋a x≥1只要2x ＋a x ≥22x ×a x ＝22a ≥1⇒a ≥18. 答案：充分不必要8.已知命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对∀x ∈R 恒成立；命题q ：函数y ＝－(4－2a )x 是R 上的减函数．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：先简化命题p 、q ，构建关于a 的关系式．由x 2＋2ax ＋4>0对∀x ∈R 恒成立，得Δ＝(2a )2－4×4<0，解得－2<a <2.所以p ：－2<a <2.由y ＝－(4－2a )x 是R 上的减函数，得4－2a >1，解得a <32. 所以q ：a <32. 由“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假知，p 与q 中必有一真一假，即p 真q 假或p 假q 真．所以⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥32，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a <32，从而得32≤a <2或a ≤－2. 答案：[322)∪(－∞，－2] 9.已知函数f (x )、g (x )定义在R 上，h (x )＝f (x )·g (x )，则“f (x )、g (x )均为奇函数”是“h (x )为偶函数”的________条件．解析：由f (x )、g (x )均为奇函数可得h (x )＝f (x )·g (x )为偶函数，反之则不成立，如h (x )＝x 2是偶函数，而f (x )＝x 2x －1g (x )＝x －1都不是奇函数． 答案：充分不必要10.已知命题p ：不等式x (x －1)<0的解集是{x |0<x <1}，命题q ：“A ＝B ”是“cos A ＝cos B ”成立的必要不充分条件，则下列正确的是________．①p 真q 假；②p ∧q 为真；③p ∨q 为假；④p 假q 真．解析：对于命题p ，由x (x －1)<0，解得0<x <1，故解集是{x |0<x <1}，因此命题p 为真命题；对于命题q ，由A ＝B ，一定有cos A ＝cos B ，但当cos A ＝cos B 时，不一定有A ＝B ，所以“A ＝B ”是“cos A ＝cos B ”成立的充分不必要条件，因此命题q 为假命题．答案：①11.已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，那么实数m 的取值范围是____________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，即m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，即m <8.故实数m 的取值范围是3≤m <8.答案：3≤m <812.给出下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b ≤－1，则x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根”的逆否命题；④若sin α＋cos α>1，则α必定是锐角．其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上)．解析：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题为“两个三角形不相似，则周长不相等”，显然是假命题；③∵b ≤－1，∴Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ≥4>0，∴“若b ≤－1，则x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根”为真命题，∴其逆否命题也是真命题；④∵当α＝7π3时，sin α＋cos α>1成立，∴此命题是假命题． 答案：①③13.已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：由∀x ∈[0，1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0，得Δ＝42－4a ≥0，解得a ≤4，从而a 的取值范围为[e ，4]．答案：[e ，4]14.已知“关于x 的不等式x 2－ax ＋2x 2－x ＋1<3对于∀x ∈R 恒成立”的充要条件是“a ∈(a 1，a 2)”，则a 1＋a 2＝________．解析：∵x 2－x ＋1>0，∴原不等式化为x 2－ax ＋2<3x 2－3x ＋3，即2x 2＋(a －3)x ＋1>0.∵∀x ∈R 时，2x 2＋(a －3)x ＋1>0恒成立，∴Δ＝(a －3)2－8<0.∴3－22<a <3＋22，∴a 1＋a 2＝6.答案：6二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)将命题“ab ＝0，则a ，b 中至少有一个为0”改写为“若p 则q ”的形式，写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．解：原命题：若ab ＝0，则a ，b 中至少有一个为0.是真命题；逆命题：若a ，b 中至少有一个为0，则ab ＝0.是真命题；否命题：若ab ≠0，则a ，b 中都不为0.是真命题；逆否命题：若a ，b 中都不为0，则ab ≠0.是真命题．16.(本小题满分14分)写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)∃x ∈R ，使4x －3>x ；(3)∀x ∈R ，有x ＋1＝2x ；(4)集合A 是集合A ∩B 或集合A ∪B 的子集．解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．(2)命题的否定：∀x ∈R ，有4x －3≤x .因为当x ＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x ∈R ，有4x －3≤x ”是假命题．(3)命题的否定：∃x ∈R ，使x ＋1≠2x .因为当x ＝2时，x ＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x ∈R ，使x ＋1≠2x ”是真命题．(4)命题的否定：集合A 既不是集合A ∩B 的子集也不是集合A ∪B 的子集，是假命题．17.(本小题满分14分)已知两个命题r (x )：sin x ＋cos x >m ，s (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果对∀x∈R ，r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题．求实数m 的取值范围．解：∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2， ∴当r (x )是真命题时，m <－ 2.又∵对∀x ∈R ，s (x )为真命题，即x 2＋mx ＋1>0恒成立，有Δ＝m 2－4<0，∴－2<m <2.∴当r (x )为真，s (x )为假时，m <－2，同时m ≤－2或m ≥2，即m ≤－2；当r (x )为假，s (x )为真时，m ≥－2且－2<m <2，即－2≤m <2.综上，实数m 的取值范围是m ≤－2或－2≤m <2.18.(本小题满分16分)已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，求实数m 的取值范围． 解：由不等式|x －m |<1得m －1<x <m ＋1； 因为不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，所以⎩⎨⎧m －1≤13m ＋1≥12⇒－12≤m ≤43；经检验知，等号可以取得；所以－12≤m ≤4319.(本小题满分16分)已知x ，y ∈R ，求证|x ＋y |＝|x |＋|y |的成立的充要条件是xy ≥0. 证明：充分性：如果xy ＝0，那么x ＝0，y ≠0或x ≠0，y ＝0或x ＝0，y ＝0，于是|x ＋y |＝|x |＋|y |； 如果xy >0，即x >0，y >0或x <0，y <0，当x >0，y >0时，|x ＋y |＝x ＋y ＝|x |＋|y |，当x <0，y <0时，|x ＋y |＝－x －y ＝(－x )＋(－y )＝|x |＋|y |，总之，当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |.必要性：由|x ＋y |＝|x |＋|y |及x ，y ∈R 得(x ＋y )2＝(|x |＋|y |)2，即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋2|xy |＋y 2，得|xy |＝xy ，所以xy ≥0，故必要性成立；综上，原命题成立．20.(本小题满分16分)(1)设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件？(2)求使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件．解：(1)x ∈M 或x ∈P ⇒x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2，3)，因为x ∈M 或x ∈P ⇒/ x ∈(M ∩P )，但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件．(2)当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧4m <0，Δ＝4m 2＋16m <0，⇔－4<m <0.又当m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0，对x ∈R 恒成立．故使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件是－4<m ≤0.。

(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点O 为空间任意一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则向量OD →用a ，b ，c 可表示为________．解析：OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋(OC →－OB →) ＝a －b ＋c . 答案：a －b ＋c2.已知空间四边形ABCD 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝3MA ，N 为BC 中点，则MN →＝________.(用a ，b ，c 表示)解析：显然MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－34OA →.答案：－34a ＋12b ＋12c3.在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是________(填序号)． ①OM →＝3OA →－OB →－OC →；②OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →；③MA →＋MB →＋MC →＝0；④OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0.解析：①对，空间的四点M ，A ，B ，C 共面只需满足OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1即可．根据空间向量共面定理可知③也能使M 与A ，B ，C 共面．答案：①③4.已知向量a ＝(2，－3，0)，b ＝(k ，0，3)，若a ，b 成120°的角，则k ＝________．解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝2k 13×9＋k 2＝－12<0∴k <0，∴k ＝－39.答案：－395.已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′等于________．解析：只需将AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→，运用向量运算|AC ′→|＝|AC ′→|2即可． 答案：856.已知A (－1，－2，6)，B (1，2，－6)，O 为坐标原点，则向量OA →与OB →的夹角是________．解析：利用cos 〈OA →，OB →〉＝OA →·OB →|OA →||OB →|，计算结果为－1.答案：π7.设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是________三角形．解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形． 答案：锐角8.空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝60°，则cos 〈OA →，BC →〉＝________．解析：选择一组基向量OA →，OB →，OC →，再来处理OA →·BC →的值． 答案：09.已知A (1，1，1)，B (2，2，2)，C (3，2，4)，则△ABC 的面积为________．解析：应用向量的运算，计算出cos 〈AB →，AC →〉，再计算sin 〈AB →，AC →〉，从而得S ＝12|AB→||AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝62.答案：6210.下列命题：①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的法向量，a 与α共面，则n ·a ＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直； 其中正确的个数为________．解析：①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确答案：311.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM →，D 1N →〉的值为________．解析：设正方体棱长为2，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，如图，可知CM →＝(2，－2，1)，D 1N →＝(2，2，－1)，所以cos 〈CM →，D 1N →〉＝－19，故 sin 〈CM →，D 1N →〉＝459.答案：45912.已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，则直线AE 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值________．解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则AB →＝(0，1，0)，AD 1→＝(－1，0，1)，AE →＝(0，12，1)；设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AD 1→＝0，可解得一个n ＝(1，0，1)；设直线AE 与平面ABC 1D 1所成角为θ，则sin θ＝|AE →·n ||AE →||n |＝105.答案：10513.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1，A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，则A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值为________．解析：以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CC 1所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA ＝CB ＝a ，则A (a ，0，0)，B (0，a ，0)，A 1(a ，0，2)，D (0，0，1)∴E (a 2，a 2，1)，G (a 3，a 3，13)，∴GE →＝(a 6，a 6，23)，BD →＝(0，－a ，1)，∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ， ∴GE ⊥平面ABD ， ∴GE →·BD →＝0.解得a ＝2.∴GE →＝(13，13，23)，BA 1→＝(2，－2，2)．∵GE →⊥平面ABD ，∴GE →为平面ABD 的一个法向量，那么cos 〈GE →，BA 1→〉＝GE →·BA 1→|GE →||BA 1→|＝4363×23＝23，∴A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值为1－（23）2＝73. 答案：7314.在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0(A ，B ，C ，D∈R ，且A ，B ，C 不同时为零)，点P (x 0，y 0，z 0)到平面α的距离为：d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C2，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O 到侧面的距离等于________．解析：如图，以底面中心O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz ，则A (1，1，0)，B (－1，1，0)，P (0，0，2)，设平面PAB 的方程为Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0，将以上3个坐标代入计算得A ＝0，B ＝－D ，C ＝－12D ，所以－Dy －12Dz ＋D ＝0，即2y ＋z －2＝0，则d ＝|2×0＋0－2|22＋1＝255.答案：255二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知：E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面；(2)BD ∥平面EFGH .证明：(1)如图所示，连结EG ，∵E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴BG →＝12BC →＋BD →)，12BD →＝EH →； ∴EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →；∴由共面向量定理知：EG →，EF →，EH →共面； ∴E 、F 、G 、H 四点共面．(2)∵EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，∴EH ∥BD ； 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， ∴BD ∥平面EFGH .16.(本小题满分14分)已知空间向量AB →，AC →，AD →等满足|AC →|＝5，|AB →|＝8，AD →＝511DB →，且CD →·AB →＝0.(1)求|AB →－AC →|；(2)设∠BAC ＝θ，且已知cos(θ＋x )＝45，－π<x <－π4，求sin(θ＋x )．解：(1)由已知得AB →＝DB →－DA →＝DB →＋AD →＝1611DB →，所以DB →＝1116AB →，AD →＝511DB →＝516AB →，则|AD →|＝516|AB →|＝52，|DB →|＝112，因为CD →·AB →＝0，所以CD ⊥AB ，在Rt △BCD 中，BC 2＝BD 2＋CD 2，又CD 2＝AC 2－AD 2，所以BC 2＝BD 2＋AC 2－AD 2＝49，所以|AB →－AC →|＝|CB →|＝7.(2)在Rt △ADC 中，cos ∠BAC ＝12，所以θ＝π3；所以cos(θ＋x )＝cos(π3＋x )＝45，故sin(π3＋x )＝±35.而－π<x <－π4，∴－2π3<π3＋x <π12.如果0<π3＋x <π12，则sin(π3＋x )<sin π12<sin π6<12<35，故sin(π3＋x )＝35舍去，所以sin(π3＋x )＝－35.17.(本小题满分14分)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，AB ＝3，BC ＝1，PA ＝2，E 为PD 的中点．(1)求直线AC 与PB 所成角的余弦值；(2)在侧面P AB 内找一点N ，使NE ⊥面P AC ，并求出点N 到AB 和AP 的距离．解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A ，B ，C ，D ，P ，E 的坐标为A (0，0，0)、B (3，0，0)、C (3，1，0)、D (0，1，0)、P (0，0，2)、E (0，12，1)，从而AC →＝(3，1，0)，PB →＝(3，0，－2)，设AC →与PB →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·PB →|AC →||PB →|＝327＝3714，∴AC 与PB 所成角的余弦值为3714.(2)由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为(x ，0，z )，则NE →＝(－x ，12，1－z )，由NE ⊥面PAC ，可得⎩⎪⎨⎪⎧NE →·AP →＝0，NE →·AC →＝0，即⎩⎨⎧（－x ，12，1－z ）·（0，0，2）＝0，（－x ，12，1－z ）·（3，1，0）＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧z －1＝0，－3x ＋12＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝36，z ＝1.即N 点的坐标为(36，0，1)，从而N 点到AB 和AP 的距离分别为1，36.18.(本小题满分16分)已知一个多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1.(1)求BF 的长；(2)求点C 到平面AEC 1F 的距离．解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系．则D (0，0，0)，B (2，4，0)，C (0，4，0)，E (2，4，1)，A (2，0，0)，C 1(0，4，3)； 设F (0，0，z )，∵四边形AEC 1F 为平行四边形， ∴AF →＝EC 1→，得(－2，0，z )＝(－2，0，2)，∴z ＝2，∴F (0，0，2)，∴BF →＝(－2，－4，2)．于是|BF →|＝26，即BF 的长为2 6.(2)设n 1为平面AEC 1F 的法向量，显然n 1不垂直于平面ADF ，故可设n 1＝(x ，y ，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AE →＝0，n 1·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧0×x ＋4×y ＋1＝0，－2×x ＋0×y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋1＝0，－2x ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－14.∴n 1＝(1，－14，1)． 又CC 1→＝(0，0，3)，设CC 1→与n 1的夹角为α，则cos α＝CC 1→·n 1|CC 1→||n 1|＝33×1＋116＋1＝43333.∴C 到平面AEC 1F 的距离为d ＝|CC 1→|cos α＝3×43333＝43311.19.(本小题满分16分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝DC ＝12AB ，M 是PB 的中点．(1)证明：面P AD ⊥面PCD ；(2)求AC 与PB 所成角的余弦值；(3)求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值．解：以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，如图所示，建立空间直角坐标系，则各点坐标为A (0，0，0)，B (0，2，0)，C (1，1，0)，D (1，0，0)，P (0，0，1)，M (0，1，12)．(1)证明：因AP →＝(0，0，1)，DC →＝(0，1，0)， 故AP →·DC →＝0， 所以AP ⊥DC .由题设知AD ⊥DC ，且AP ∩AD ＝A ，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面PCD 上，故面P AD ⊥面PCD .(2)因为AC →＝(1，1，0)，PB →＝(0，2，－1)， 故|AC →|＝2，|PB →|＝5，AC →·PB →＝2，所以cos 〈AC →，PB →〉＝AC →·PB →|AC →||PB →|＝105.故所求AC 与PB 所成角的余弦值为105.(3)在MC 上取一点N (x ，y ，z )，则存在λ∈R ，使NC →＝λMC →，∵NC →＝(1－x ，1－y ，－z )，MC →＝(1，0，－12)，∴x ＝1－λ，y ＝1，z ＝12λ.要使AN ⊥MC ，只需AN →·MC →＝0，即x －12z ＝0，解得λ＝45.可知当λ＝45时，N 点坐标为(15，1，25)，∴AN →·MC →＝0，此时AN →＝(15，1，25)，BN →＝(15，－1，25)，有BN →·MC →＝0.由AN →·MC →＝0，BN →·MC →＝0得AN ⊥MC ，BN ⊥MC ，所以∠ANB 为面AMC 与面BMC 所成二面角的平面角．∵|AN →|＝305，|BN →|＝305，AN →·BN →＝－45，∴cos 〈AN →，BN →〉＝AN →·BN →|AN →||BN →|＝－23，故所求的二面角的余弦值为－23.20.(本小题满分16分)已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ＝2，A 1在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知BA 1⊥AC 1.(1)求证：AC 1⊥平面A 1BC ；(2)求点C 1到平面A 1AB 的距离； (3)求二面角A －A 1B －C 的余弦值．解：如图所示，取AB 的中点E ，则DE ∥BC ， 因为BC ⊥AC ， 所以DE ⊥AC ，又A 1D ⊥平面ABC ，以DE ，DC ，DA 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则A (0，－1，0)，C (0，1，0)，B (2，1，0)，A 1(0，0，t )，C 1(0，2，t )．(1)证明：∵AC 1→＝(0，3，t )，BA 1→＝(－2，－1，t )，CB →＝(2，0，0)，由AC 1→·CB →＝0，知AC 1⊥CB ，又BA 1⊥AC 1，CB ∩BA 1＝B ，所以AC 1⊥平面A 1BC .(2)由AC 1→·BA 1→＝－3＋t 2＝0，得t ＝ 3. 设平面A 1AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 又AA 1→＝(0，1，3)，AB →＝(2，2，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AA 1→＝y ＋3z ＝0，n ·AB →＝2x ＋2y ＝0，设z ＝1，则n ＝(3，－3，1)，所以点C 1到平面A 1AB 的距离d ＝|AC 1→·n ||n |＝2217.(3)设平面A 1BC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， CA 1→＝(0，－1，3)，CB →＝(2，0，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA 1→＝－y ＋3z ＝0m ·CB →＝2x ＝0，设z ＝1，则m ＝(0，3，1)．cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－77，根据法向量的方向，可知二面角A －A 1B －C 的平面角的余弦值为77.。

常用逻辑用语一、选择题1．命题“如果x≥a 2+b 2,那么x≥2ab”的逆否命题是( ) A ．如果x<a 2+b 2,那么x<2ab B ．如果x≥2ab,那么x≥a 2+b 2 C ．如果x<2ab,那么x<a 2+b 2 D ．如果x≥a 2+b 2,那么x<2ab 2．三角形全等是三角形面积相等的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 3．下列四个命题中，真命题是( ) A ．2是偶数且是无理数 B ．8≥10 C ．有些梯形内接于圆 D ．∀x ∈R,x 2-x+1≠0 4．命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是( ) A ．所有奇数的立方不是奇数 B ．不存在一个奇数，它的立方是偶数 C ．存在一个奇数，它的立方是偶数 D ．不存在一个奇数，它的立方是奇数 二、填空题5．命题“若a=-1,则a 2=-1”的逆否命题是______________________． 6．b=0是函数f(x)=ax 2+bx+c 为偶函数的______________________．7．全称命题“∀a ∈Z,a 有一个正因数”的否定是________________________． 8．特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是______________________． 9．设p ：|5x -1|>4；2210231x x x x ++³-+，则非p 是非q 的______ ___条件．三、解答题10．求证：a+2b=0是直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0互相垂直的充要条件．11．已知集合A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|x 2-mx+2=0}，若A 是B 的必要不充分条件，求实数m 范围．12．给定两个命题,P ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；Q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根；如果P 与Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．常用逻辑用语答案1-4 CACC5．如果a 2≠1,那么a≠-1 6．充分必要条件 7．∃a 0∈Z,a 0没有正因数 8．每个三角形的三条中线不相等 9．即不充分也不必要10．充分性：当b=0时，则a=0，此时两直线分别垂直坐标轴，显然垂直；当b≠0时，两直线的斜率分别是k 1=-a 2,k 2=-1b ,由a+2b=0,k 1⋅k 2=(-a 2-1b)=-1,两直线互相垂直．必要性：如果两直线互相垂直且斜率存在，则k 1⋅k 2=(-a 2)(-1b)=-1,∴a+2b=0；如果两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b=0,且a=0，∴a+2b=0． 11、A={1，2}，A 是B 的必要不充分条件，即B ⊂≠A ．所以B=Φ、B={1}或{2}，当B=φ时，△=m 2-8<0，∴22m 22<<-． 当B={1}或{2}时，⎩⎨⎧=+-=+-=∆02m 2402m 10或，m 无解．综上所述22m 22<<-．12．解：P 真：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立⇔a=0或⎩⎨⎧a>0∆<0⇔0≤a<4; q 真：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根⇔1-4a≥0⇔a≤14；如果P 正确，且Q 不正确，有0≤a<4,且a>14,∴14<a<4；如果Q 正确，且P 不正确，有a<0或a≥4,且a≤14,∴a<0．所以a ∈(-∞,0)∪(14,4)．常用逻辑用语答案1-4 CACC5．如果a 2≠1,那么a≠-1 6．充分必要条件 7．∃a 0∈Z,a 0没有正因数 8．每个三角形的三条中线不相等 9．即不充分也不必要10．充分性：当b=0时，则a=0，此时两直线分别垂直坐标轴，显然垂直；当b≠0时，两直线的斜率分别是k 1=-a 2,k 2=-1b ,由a+2b=0,k 1⋅k 2=(-a 2-1b)=-1,两直线互相垂直．必要性：如果两直线互相垂直且斜率存在，则k 1⋅k 2=(-a 2)(-1b)=-1,∴a+2b=0；如果两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b=0,且a=0，∴a+2b=0． 11、A={1，2}，A 是B 的必要不充分条件，即B ⊂≠A ．所以B=Φ、B={1}或{2}，当B=φ时，△=m 2-8<0，∴22m 22<<-． 当B={1}或{2}时，⎩⎨⎧=+-=+-=∆02m 2402m 10或，m 无解．综上所述22m 22<<-．12．解：P 真：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立⇔a=0或⎩⎨⎧a>0∆<0⇔0≤a<4;q 真：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根⇔1-4a≥0⇔a≤14；如果P 正确，且Q 不正确，有0≤a<4,且a>14,∴14<a<4；如果Q 正确，且P 不正确，有a<0或a≥4,且a≤14,∴a<0．所以a ∈(-∞,0)∪(14,4)．圆锥曲线练习题一．选择题1.若椭圆经过原点，且焦点分别为12(1,0),(3,0)F F ，则其离心率为（ ） A.34 B.23 C.12 D.142.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ）A.10B.8C.6D.43.若双曲线x 24＋y2k1的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是（ ）A.(),0-∞B.()3,0-C.()12,0-D.()60,12-- 4.与y 轴相切且和半圆x 2+y 2=4(0≤x ≤2)内切的动圆圆心的轨迹方程是（ ） A.()()24101y x x =--<≤ B.()()24101y x x =-<≤C.()()24101y x x =+<≤ D.()()22101yx x =--<≤5.过点M(-2,0)的直线L 与椭圆2222x y +=交于12,P P 两点，设线段12P P 的中点为P ，若直线l 的斜率为11(0)k k ≠，直线OP 的斜率为2k ，则12k k 等于（ ）A.2-B.2C.12D.－126.如果方程x 2-p ＋y2q ＝1表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（ ）A.2212xyq pq+=+ B.2212xyq pp+=-+ C.2212xyp qq+=+ D.2212xyp qp+=-+二．填空题7.椭圆x 212＋y 23＝1的焦点分别是12F ,F ，点P 在椭圆上，如果线段1P F 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的 倍．8.椭圆x 245＋y 220＝1的焦点分别是12F ,F ，过原点O 做直线与椭圆交于A ，B 两点，若∆ABF 2的面积是20，则直线AB 的方程是 ．9.与双曲线2244x y -=有共同的渐近线，并且经过点（2的双曲线方程是10.已知直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支相交于不同的两点，则k 的取值范围是 ．三．解答题11.抛物线y=－12x 2与过点M(0,-1)的直线L 相交于A ，B 两点，O 为原点，若OA 和OB 的斜率之和为１，求直线L 的方程．12.已知中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线:32l y x =-截得的弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程．13．21,F F 是椭圆x 29＋y27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2=45︒，求∆12AF F 的面积．圆锥曲线练习题答案一．选择题：CBCADD 二．填空题：7. 7倍 8.y=±43x 9. y 24x 216＝1 10.－153<k<－1三．解答题11. 解：斜率不存在不合题意，设直线1y kx =-代入抛物线得2220x kx +-=2480k =+> 有k ∈R 设点1122(,),(,)A x y B x y 则y 1x 1＋y 2x 2＝1,由根与系数关系，解得直线方程1y x =-．12. 解：设所求的椭圆为x 2a 2＋y2b2＝1，则222c a b =-=50椭圆与直线联立有()222222(9)1240a b x b x b a +-+-=，由已知x 1+x 22＝12，根与系数关系带入得223a b =解得a 2=75,b 2=25．所以所求椭圆方程为y 225＋x 275＝1．13．解：1212216,6F F AF AF AF AF =+==-222022112112112cos 4548AF AF F F AF F F AF AF =+-⋅=-+2211117(6)48,,2A F A F A F A F -=-+=1772222S =⨯⨯=．圆锥曲线练习题答案一．选择题：CBCADD 二．填空题：7. 7倍 8.y=±43x 9. y 24x 216＝1 10.－153<k<－1三．解答题13. 解：斜率不存在不合题意，设直线1y kx =-代入抛物线得2220x kx +-=2480k =+> 有k ∈R 设点1122(,),(,)A x y B x y 则y 1x 1＋y 2x 2＝1,由根与系数关系，解得直线方程1y x =-．14. 解：设所求的椭圆为x 2a 2＋y 2b2＝1，则222c a b =-=50椭圆与直线联立有()222222(9)1240a b x b x b a +-+-=，由已知x 1+x 22＝12，根与系数关系带入得223a b =解得a 2=75,b 2=25．所以所求椭圆方程为y 225＋x 275＝1．13．解：1212216,6F F AF AF AF AF =+==-222022112112112cos 4548AF AF F F AF F F AF AF =+-⋅=-+2211117(6)48,,2A F A F A F A F -=-+=1772222S =⨯⨯=．空间向量练习题一．选择题1．直棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a →,CB →=b →,CC 1→=c →,则A 1B →=( )A ．a →+b →-c →B ．a →-b →+c →C ．-a →+b →+c →D ．-a →+b →-c →2．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任意一点O ，下列条件中能确定点M 与A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →=OA →+OB →+OC → C ．OM →=2OA →-OB →-OC →C ．OM →=OA →+12OB →+13→D ．OM →=13OA →+13OB →+13OC →3．若向量m →同时垂直向量a →和b →,向量n →=λa →+μb →(λ,μ∈R, λ,μ≠0)，则（ ）A ．m →∥n →B ．m →⊥n → C.m →与n →不平行也不垂直 D ．以上均有可能 4．以下四个命题中，正确的是( )A ．若OP →=12OA →+13OB →,则P ，A ，B 三点共线B ．若{a →,b →,c →}为空间一个基底，则{a →+b →,b →+c →,c →+a →}构成空间的另一个基底 C ．|(a →⋅b →)c →|=|a →|⋅|b →|⋅|c →|D ．∆ABC 为直角三角形的充要条件是AB →⋅AC →＝05．已知a →=(λ+1,0,2λ),b →=(6,2μ-1,2),a →∥b →,则λ和μ的值分别为( ) A ．15,12B ．5,2C ．-15,-12D ．-5,-2二．填空题6．若a →=(2,-3,1),b →=(2,0,3),c →=(0,2,2),则a →⋅(b →+c →)=________.7．已知G 是∆ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →+OB →+OC →＝λOG →，则λ的值为_______. 8．已知|a →|=1,|b →|=2,<a →,b →>=60︒,则|a →-25(a →+2b →)|=________.三．解答题9．若向量(a →+3b →)⊥(7a →-5b →)，(a →-4b →)⊥(7a →-2b →)，求a →与b →的夹角．10．设123423223325=-+=+-=-+-=++，，，a i j k a i j k a i j k a i j k ，试求实数λμν，，，使4123a a a a λμν=++成立．11．正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为a ，求1AC 与侧面11ABB A 所成的角． 12．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，问AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为π4．空间向量练习题答案一．选择题 DDBBA二．填空题 6．3 7．3 8．65三．解答题9．由已知向量垂直列方程，解得a →2=b →2=2a →⋅b →,∴cos<a →,b →>=12,∴a →与b →夹角为60︒．10．由4123a a a a λμν=++成立，可建立方程组，解得213v λμ=-==-，，．11．以A 为原点，分别以CA →，AB →，AA 1→为x,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,a,0),A 1(0,0,2a),C 1(-32a,12a,2a),由于n →=(-1,0,0)是面11ABB A 的法向量，计算得cos<AC 1→,n →>=12,∴<AC 1→,n →>=60︒．故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30︒．12．设A E x =，以D 为原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，可求得平面1D EC 的法向量为n →=(2-x ,1,2)．依题意πcos 422=⇒=．2x =-∴2x =+．2AE =-∴空间向量练习题答案一．选择题 DDBBA二．填空题 6．3 7．3 8．65三．解答题9．由已知向量垂直列方程，解得a →2=b →2=2a →⋅b →,∴cos<a →,b →>=12,∴a →与b →夹角为60︒．10．由4123a a a a λμν=++成立，可建立方程组，解得213v λμ=-==-，，．11．以A 为原点，分别以CA →，AB →，AA 1→为x,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,a,0),A 1(0,0,2a),C 1(-32a,12a,2a),由于n →=(-1,0,0)是面11ABB A 的法向量，计算得cos<AC 1→,n →>=12,∴<AC 1→,n →>=60︒．故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30︒．12．设A E x =，以D 为原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，可求得平面1D EC 的法向量为n →=(2-x,1,2)．依题意πcos 422=⇒=2x =-∴2x =+．2AE =-∴。

苏教版高中数学选修2-1测试题全套及答案章末综合测评(一)常用逻辑用语(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．命题“1＜3＜4”使用的逻辑联结词是________.【解析】“1＜3＜4”的含义为“3＞1且3＜4”，所以使用了逻辑联结词“且”．【答案】且2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则它的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．【解析】原命题正确，所以逆否命题正确；逆命题“若y＝f(x)的图象不过第四象限，则它是幂函数”是假命题．故否命题也是假命题．【答案】13．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的________条件．【解析】取a＝3，b＝－2，知“a＋b>0”D“ab>0”，取a＝－3，b＝－2知“ab>0”D“a＋b>0”，故“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．【答案】既不充分也不必要4．设命题p：∀x∈R，x2＋2x＋a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．【解析】据题意知，Δ＝4－4a≤0，解得a≥1.【答案】[1，＋∞)5．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定．．是________．【解析】∀改为∃，否定结论，即∃x∈R，|x|＋x2<0.【答案】∃x∈R，|x|＋x2<06．设命题p和命题q，“p或q”的否定是真命题，则必有________．①p真q真；②p假q假；③p真q假；④p假q真．【解析】因为“p或q”的否定是真命题，所以“p或q”是假命题，则p假q假．【答案】②7．给出以下命题： ①∀x ∈R ，有x 4>x 2；②∃α∈R ，使得sin 3α＝3sin α； ③∃a ∈R ，对∀x ∈R ，使得x 2＋2x ＋a <0. 其中真命题为________(填序号)．【解析】 ①错，如x ＝0时不成立；②对，如α＝0时sin 0＝0；③错，因为y ＝x 2＋2x ＋a 开口向上．【答案】 ②8． “0＜a ＜b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14b”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)．【解析】 当0＜a ＜b 时，根据指数函数y ＝αx (0＜α＜1)是减函数，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14b ；反之，当⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14b 时，可得a ＜b .所以“0＜a ＜b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫14b”的充分不必要条件．【答案】 充分不必要条件9．已知命题“若x ＞m ，则x 2－3x ＋2＞0”的逆否命题是真命题，则实数m 的取值范围是________．【解析】 因为命题“若x ＞m ，则x 2－3x ＋2＞0”的逆否命题是真命题，所以原命题是真命题，解不等式x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞2，所以m ≥2，实数m 的取值范围是[2，＋∞)．【答案】 [2，＋∞)10．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①且q ；②p 或q ；③且(非q )；④(非p )或q 中，其中真命题是________．【解析】 p 为真q 为假，根据“或”、“且”、“非”命题的真假判断知②③为真命题．【答案】 ②③11．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0.若非p 是非q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________.【解析】 p ：a －4<x <a ＋4，q ：2<x <3，由条件非p 是非q 的充分条件知q 是p 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6.【答案】 [－1,6]12．已知命题p ：∃x ∈R ，x －2＞lg x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0，下列说法正确的是________． ①p 是真命题；②q 是真命题；③命题p 或q 是假命题；④命题且q 是真命题；⑤命题且(非q )是真命题；⑥命题p 或(非q )是假命题．【解析】 对于命题p ：∃x ∈R ，x －2＞lg x ，例如当x ＝10时成立，故命题p 是真命题；对于命题q ：∀x ∈R ，x 2＞0，当x ＝0时命题不成立，故命题q 是假命题．所以命题且(非q )是真命题，即①⑤正确．【答案】 ①⑤13．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的________条件．【解析】 将直线l 的方程化为一般式得kx －y ＋1＝0，所以圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心到该直线的距离d ＝1k 2＋1.又弦长为21－1k 2＋1＝2|k |k 2＋1，所以S △OAB ＝12·1k 2＋1·2|k |k 2＋1＝|k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1.因此可知“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件． 【答案】 充分不必要14．下列叙述中错误的是________．①命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为假命题； ②“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件；③若“p 或q ”为假命题，则“(非p )且(非q )”也为假命题； ④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0，则非p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＝0.【解析】 对于①，命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”是假命题，因此该命题的逆否命题也是假命题；对于②，由x >2可得x 2－3x ＋2＝(x －1)·(x －2)>0，反过来，由x 2－3x ＋2>0不能得知x >2，因此“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件；对于③，若“p 或q ”为假命题，则p，q均为假命题，所以“(非p)且(非q)”是真命题；对于④，命题p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0，则非p：∃x0∈R，x20＋x0＋1＝0.综上所述，应填③.【答案】③二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)命题：若一个三角形的一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形．试写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．【解】逆命题：若△ABC为直角三角形，则△ABC的一个内角为直角，是真命题．否命题：若△ABC没有一个内角为直角，则△ABC不是直角三角形，是真命题．逆否命题：若△ABC 不是直角三角形，则△ABC没有一个内角为直角，是真命题．16．(本小题满分14分)判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假．(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3)∀x∈{x|x＞0}，x＋1x≥2；(4)∃x∈Z，log2x＞2.【解】(1)本题隐含了全称量词“所有的”，可表述为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在性命题，且为真命题．(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，且为真命题．(4)命题中含有存在量词“∃”，是存在性命题，且为真命题．17．(本小题满分14分)分别写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p：所有的平行四边形的对角线相等，q：所有的平行四边形的对角线互相平分；(2)p：方程x2－16＝0的两根的符号不同，q：方程x2－16＝0的两根的绝对值相等．【解】(1)p或q：所有的平行四边形的对角线相等或互相平分．且q ：所有的平行四边形的对角线相等且互相平分． 非p ：有些平行四边形的对角线不相等．因为p 假q 真，所以“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为真． (2)p 或q ：方程x 2－16＝0的两根符号不同或绝对值相等． 且q ：方程x 2－16＝0的两根符号不同且绝对值相等． 非p ：方程x 2－16＝0的两根符号相同．因为p 真q 真，所以“p 或q ”、“p 且q ”均为真，“非p ”为假．18．(本小题满分16分)已知命题p ：|4－x |≤6，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0(a ＞0)，若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．【解】 非p ：|4－x |＞6，解得x ＞10或x ＜－2，记A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}， q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0，解得x ≥1＋a 或x ≤1－a ，记B ＝{x |x ≥1＋a 或x ≤1－a }．而非p ⇒q ，∴AB ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≥－2，1＋a ≤10，a ＞0，∴0＜a ≤3.19．(本小题满分16分)已知条件p ：函数f (x )＝(2a －5)x 在R 上是减函数；条件q ：在x ∈(1,2)时，不等式x 2－ax ＋2<0恒成立，若p 或q 是真命题，求实数a 的取值范围．【解】 若p 真，则0<2a －5<1，故52<a <3. 若q 真，由x 2－ax ＋2<0，得ax >x 2＋2.∵1<x <2，∴a >x 2＋2x ＝x ＋2x 在x ∈(1,2)上恒成立． 又当x ∈(1,2)时，x ＋2x ∈[22，3)，∴a ≥3.∵p 或q 是真命题，故p 真或q 真，∴有52<a <3或a ≥3. 综上，a的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a >52.20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx . (1)若“存在实数x 0，使得f (x 0)≤0”是假命题，求实数m 的取值范围；(2)是否存在实数m ，使得：对任意实数x ，f (x )与g (x )至少有一个为正数？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】 (1)因为“存在实数x 0，使得f (x 0)≤0”是假命题，所以“对于任意实数x ，使得f (x )>0”是真命题，即对于任意实数x ，f (x )>0恒成立．①当m ＝0时，不成立；②当m >0时，Δ＝4(4－m )2－8m <0， ∴2<m <8.(2)当m ≤0时，依题意显然不符合；当m >0时，则只要f (x )>0在(－∞，0)上恒成立，⎩⎨⎧4－m 2m>0，f (0)≥0⇒0<m <4.或⎩⎨⎧4－m2m≤0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 2m >0⇒4≤m <8.综上可知，0<m <8.章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上) 1．抛物线y ＝－18x 2的准线方程是________．【解析】 把抛物线方程化为标准形式得x 2＝－8y ，所以抛物线的准线方程为y ＝2. 【答案】 y ＝22．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．【解析】 焦点在x 轴上，则标准方程中a 2>a ＋6，解得a >3或a <－2.又a 2>0，a ＋6>0，所以a >3或－6<a <－2.【答案】 a >3或－6<a <－23．双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r 等于________． 【解析】 双曲线x 26－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，得r ＝ 3.【答案】34．若F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与椭圆x 225＋y 29＝1的共同的左、右焦点，点P 是两曲线的一个交点，且△PF 1F 2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是________.5．【解析】 不妨设PF 1＞PF 2，则PF 1＝F 1F 2＝8，由双曲线及椭圆的定义，可知⎩⎪⎨⎪⎧ PF 1－PF 2＝2a ，PF 1＋PF 2＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧8－PF 2＝2a ，8＋PF 2＝10，得2a ＝6，a ＝3. 又a 2＋b 2＝16，所以b 2＝7，故双曲线的渐近线方程为y ＝±73x . 【答案】 y ＝±73x5．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．【解析】 易知抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2与x 轴的交点为Q (－2,0)，于是，可设过点Q (－2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)(由题可知k 是存在的)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x ＋2)⇒k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，易知符合题意；当k ≠0时，其判别式为Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64≥0，可解得－1≤k ≤1，且k ≠0，综上可知，－1≤k ≤1.【答案】 [－1,1]6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为______________．【解析】 由双曲线的渐近线y ＝b a x 过点(2，3)，可得3＝ba ×2.① 由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得a 2＋b 2＝7.②由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1. 【答案】 x 24－y 23＝17．设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．【解析】 由题意知，|F 1F 2|＝26－2＝4，设P 点坐标为(x ，y )．由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，x 23－y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±322，y ＝±22.则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y |＝12×4×22＝ 2. 【答案】28．已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．【解析】 由抛物线的定义知，AF ＝2c ，∴b 2a ＝2c . ∴c 2－a 2＝2ac ， ∴e 2－2e －1＝0. 又∵e >1， ∴e ＝2＋1. 【答案】2＋19．直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是________．【解析】 如图，分别过点A ，B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为点M ，N ，由抛物线的定义知，AM ＋BN ＝AF ＋BF ＝AB ＝8.又四边形AMNB 为直角梯形，故AB 中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度4，而抛物线的准线方程为x ＝－p 2，所以4＝2＋p2，即p ＝4，所以抛物线的方程是y 2＝8x .【答案】 y 2＝8x10．已知抛物线y ＝2px 2(p >0)的焦点为F ，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14在抛物线上，过点P 作PQ 垂直抛物线的准线，垂足为点Q ，若抛物线的准线与对称轴相交于点M ，则四边形PQMF 的面积为________．【解析】 由点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14在抛物线上，得p ＝18，故抛物线的标准方程为x 2＝4y ，点F (0,1)，准线为y ＝－1，∴FM ＝2，PQ ＝1＋14＝54，MQ ＝1，则直角梯形PQMF 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋2×1＝138.【答案】 13811．已知椭圆方程x 24＋y 23＝1，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为________．【解析】 因为双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，所以c ＝2，a ＝1，所以双曲线的离心率为2.【答案】 212．已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP→＝22PB →，则点P 的轨迹C 的方程为________．【解析】 设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，AP →＝22PB →，又AP →＝(x －x 0，y )，PB →＝(－x ，y 0－y )，所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )，得x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y ，因为|AB |＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，化简得x 22＋y 2＝1.∴点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1. 【答案】 x 22＋y 2＝113．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若AF ＝3，则BF ＝________. 【解析】 由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)．又∵|AF |＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x ，得y 2＝8，由图知，y ＝22， ∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2.知点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，∴BF ＝12－(－1)＝32. 【答案】 3214．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为________．【解析】 因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b 2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y ＝±25b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，a 2＝20，所以椭圆方程为x 220＋y 25＝1.【答案】 x 220＋y 25＝1二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，一条渐近线方程为y ＝x ，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求MF 1→·MF 2→.【解】 (1)∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝x ， ∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．把(4，－10)代入双曲线方程得42－(－10)2＝λ， ∴λ＝6，∴所求双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)由(1)知双曲线方程为x 2－y 2＝6，∴双曲线的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∵点M 在双曲线上，∴32－m 2＝6，∴m 2＝3. ∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m ) ＝(－3)2－(23)2＋m 2＝－3＋3＝0.16．(本小题满分14分)已知一条曲线C 在y 轴右侧，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)设直线l 交曲线C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为D (2，－1)，求直线l 的一般式方程.【解】 (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足： (x －1)2＋y 2－x ＝1(x ＞0)，化简得y 2＝4x (x ＞0)． 即曲线C 的方程为y 2＝4x (x ＞0)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，易知l 的斜率k 存在，故(y 1＋y 2)y 1－y 2x 1－x 2＝4，即－2k ＝4，所以k ＝－2，故l 的一般式方程为2x ＋y －3＝0.17．(本小题满分14分)如图1，抛物线关于x 轴对称，它的顶点是坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．图1(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当直线P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率． 【解】 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)． ∵点P (1,2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ，则k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 1－1(x 2≠1)．∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， ∴k P A ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)，∴y 1＋y 2＝－4.②－①，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．18．(本小题满分16分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程．【解】 依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)， ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在抛物线上，∴6＝2p ×32，解得2p ＝4， ∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，则a 2＋b 2＝1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在双曲线上，∴94a 2－6b2＝1， 解方程组⎩⎨⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8(舍去).∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.19．(本小题满分16分)如图2所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA→＋OB →＝(－4，－12)．图2(1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从点A 到点B 运动时，求△ABP 面积的最大值． 【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.因为OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)＝(－4，－12)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.所以直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)设点P (x 0，y 0)，依题意，抛物线过点P 的切线与直线l 平行时，△ABP 的面积最大． 设切线方程是y ＝2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t ，x 2＝－2y ，得x 2＋4x ＋2t ＝0，∴Δ＝42－4×2t ＝0，∴t ＝2.此时，点P 到直线l 的距离为两平行线间的距离，d ＝|2＋2|5＝455.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋22·(－4)2－4×(－4)＝410.∴△ABP 面积的最大值为12×410×455＝8 2.20．(本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 相交于两点A ，B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|P A →－PB →|＜253时，求实数t 的取值范围．【解】 (1)由题意知，e ＝c a ＝22，所以e 2＝c2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又因为b ＝21＋1＝1，所以a 2＝2，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知，直线AB 的斜率存在．设AB ：y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)＞0，k 2＜12， x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2.∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)，y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4k t (1＋2k 2). ∵点P 在椭圆上，∴(8k 2)2t 2(1＋2k 2)2＋2(－4k )2t 2(1＋2k 2)2＝2， ∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)． ∵|P A →－PB→|＜253，∴1＋k 2|x 1－x 2|＜253，∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＜209， ∴(1＋k 2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤64k 4(1＋2k 2)2－4·8k 2－21＋2k 2＜209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)＞0，∴k 2＞14，∴14＜k 2＜12.∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k2， ∴－2＜t ＜－263或263＜t ＜2，∴实数t 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫263，2.章末综合测评(三) 空间向量与立体几何(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上) 1．已知空间直角坐标系中有点A (－2,1,3)，B (3,1,0)，则|AB →|＝________. 【解析】 ∵AB →＝(5,0，－3)， ∴|AB →|＝52＋02＋(－3)2＝34. 【答案】342．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________. 【解析】 由题意得2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.【答案】 16 －323．下列有关空间向量的四个命题中，错误命题为________．①空间中有无数多组不共面的向量可作为向量的基底；②向量与平面平行，则向量所在的直线与平面平行；③平面α的法向量垂直于α内的每个向量；④空间中的任一非零向量都可惟一地表示成空间中不共面向量的线性组合的形式．【解析】 若向量与平面平行，则向量所在的直线与平面平行或在平面内，故②错误． 【答案】 ②4．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝________. 【解析】 由已知得，89＝a·b|a||b|＝2－λ＋45＋λ2·9，∴85＋λ2＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝255.【答案】 －2或2555．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,0，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，2，C (－1,0，2)，则角A的大小为________．【解析】 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，AC →＝(－1,0,0)，则cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝321×1＝32，故角A的大小为30°.【答案】 30°6．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列各命题中，真命题是________． ①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量；③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量； ④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量．【解析】 ①∵四边形ADC 1B 1为平行四边形，O 为对角线交点，∴OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量，∴①真；②∵OB →－OC →＝CB →，OA 1→－OD 1→＝D 1A 1→，CB →＝D 1A 1→， ∴OB →－OC →＝OA 1→－OD 1→， ∴②假；③如图，设正方形ABCD 的中心为O 1，正方形A 1B 1C 1D 1的中心为O 2，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OO 1→，OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→＝4OO 2→，∵OO 1→与OO 2→是相反向量，∴③真； ④OA 1→－OA →＝AA 1→，OC →－OC 1→＝C 1C →， ∵AA 1→与C 1C →是相反向量，∴④真． 【答案】 ①③④7．在空间直角坐标系O ­xyz 中，已知A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，若直线AB 交平面xOz 于点C ，则点C 的坐标为________．【解析】 设点C 的坐标为(x,0，z )，则AC →＝(x －1,2，z －3)，AB →＝(1,3，－4)，因为AC →与AB →共线，所以x －11＝23＝z －3－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，z ＝13，所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，13.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，138．二面角α­l ­β等于120°，A ，B 是棱l 上两点，AC ，BD 分别在半平面α，β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长等于________．【解析】 设BD →＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，由已知条件，|a |＝1，|b |＝1，|c |＝1，〈a ，b 〉＝90°，〈b ，c 〉＝90°，〈a ，c 〉＝120°.|CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝|－c ＋b ＋a |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b －2a·c －2b·c ＝4， 则|CD →|＝2. 【答案】 29．已知点A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取最小值时，点Q 的坐标为________.【解析】 由题意可知OQ →＝λOP →，故可设Q (λ，λ，2λ)，则QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23，∴当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值，此时点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，8310．在空间中，已知平面α过点A (3,0,0)和B (0,4,0)及z 轴上一点C (0,0，a )(a >0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________.【解析】 平面xOy 的法向量为n ＝(0,0,1)，AB →＝(－3，4,0)，AC →＝(－3,0，a )，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，则3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，则u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 4，1，故cos 〈n ，u 〉＝1a 29＋a 216＋1＝22.又∵a >0，∴a ＝125. 【答案】 12511．空间四边形ABCD 中，连结AC ，BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →的化简结果是________．则AB →＋12【解析】 如图，延长DE 交BC 于F ，易知F 是BC 中点，BC →－32DE →－AD →＝AB →－AD →＋BF →－32·23DF →＝DB →＋BF →－DF →＝DB →＋BF →＋FD →＝DF →＋FD →＝0.【答案】 012．已知动点P 是棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上一点，记D 1PD 1B ＝λ.当∠APC 为钝角时，则λ的取值范围为________．【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系D ­xyz ，则有A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，所以D 1B →＝(1,1，－1)，由题意，可设D 1P →＝λD 1B →＝(λ，λ，－λ)，连结D 1A ，D 1C ，则D 1A →＝(1,0，－1)，D 1C →＝(0,1，－1)，所以P A →＝PD 1→＋D 1A →＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，PC →＝PD 1→＋D 1C →＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)，显然∠APC 不是平角，当∠APC 为钝角时，cos ∠APC ＝cosP A →，PC→＝P A →·PC →|P A →|·|PC →|<0. 由此得出λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，113．在△ABC 中，若∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，AB ＝8，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB 上一点，则PM 的最小值为________．【解析】 建立如图所示的坐标系，则C (0,0,0)，A (4,0,0)，B (0,43，0)，P (0,0,4)，设M (x ，y,0)，则AM →＝(x －4，y,0)，AB →＝(－4,43，0)，易知AB →＝λAM →，即(－4,43，0)＝λ(x －4，y,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ(x －4)＝－4，λy ＝43，得3x ＋y －43＝0，所以y ＝43－3x ，PM →＝(x ，y ，－4)＝(x,43－3x ，－4)，|PM →|2＝x 2＋(43－3x )2＋16＝4(x －3)2＋28，∵0≤x ≤4，∴当x ＝3时，|PM →|min ＝27. 【答案】 2714．如图1所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCO ­A ′B ′C ′D ′，A ′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为________．图1【解析】 由题图易知A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A ′(a,0，a )． ∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2. ∴EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－a 22＝a 24＋a 24＝22a .【答案】 22a二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)如图2，平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．图2【解】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→， ∴|AC 1→|＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→).∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°， ∴〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝60°， ∴|AC 1→| ＝1＋4＋9＋2(1×3×cos 60°＋2×3×cos 60°)＝23.16．(本小题满分14分)如图3，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面GBD .图3【证明】 设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c . 则a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0.而A 1O →＝A 1A →＋AO →＝A 1A →＋12(AB →＋AD →)＝c ＋12(a ＋b )， BD →＝AD →－AB →＝b －a ，OG →＝OC →＋CG →＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→＝12(a ＋b )－12c ， ∴A 1O →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a )＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a ) ＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2) ＝12(|b |2－|a |2)＝0. ∴A 1O →⊥BD →， ∴A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O →⊥OG →. ∴A 1O ⊥OG .又OG ∩BD ＝O 且A 1O ⊄平面BDG ， ∴A 1O ⊥平面GBD .17．(本小题满分14分)如图4，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在平面互相垂直，CE ⊥AC ，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.图4(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE .【证明】 (1)设AC 与BD 交于点G . ∵EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1， ∴四边形AGEF 为平行四边形，∴AF ∥EG . ∵EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ， ∴AF ∥平面BDE .(2)连结FG ，∵正方形ABCD 和四边形ACEF 所在平面互相垂直，且CE ⊥AC ，∴CE ⊥平面ABCD .如图，以C 为原点，CD ，CB ，CE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则C (0,0,0)，A (2，2，0)，B (0，2，0)， D (2，0,0)，E (0,0,1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1，∴CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1，BE →＝(0，－2，1)，DE →＝(－2，0,1)，∴CF →·BE →＝0－1＋1＝0，CF →·DE →＝－1＋0＋1＝0， ∴CF →⊥BE →，CF →⊥DE →， ∴CF ⊥BE ，CF ⊥DE . 又∵BE ∩DE ＝E ， ∴CF ⊥平面BDE .18．(本小题满分16分)在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝1，∠BCA ＝90°，现将△ABC 沿着与平面ABC 垂直的方向平移到△A 1B 1C 1的位置，已知AA 1＝2，分别取A 1B 1，A 1A 的中点P ，Q .(1)求BQ →的模；(2)求cos 〈BQ →，CB 1→〉，cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值，并比较〈BQ →，CB 1→〉与〈BA 1→，CB 1→〉的大小；(3)求证：AB 1⊥C 1P .【解】 (1)以C 为原点，建立空间直角坐标系，如图，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0,1,0)，C 1(0,0,2)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2，Q (1,0,1)，B 1(0，1,2)，A 1(1,0,2)， ∴BQ →＝(1，－1,1)，CB 1→＝(0,1,2)，BA 1→＝(1，－1，2)，AB 1→＝(－1,1,2)，C 1P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，∴|BQ →|＝12＋(－1)2＋12＝ 3.(2)∵BQ →·CB 1→＝0－1＋2＝1，|BQ →|＝3， |CB 1→|＝02＋12＋25＝5，∴cos 〈BQ →，CB 1→〉＝BQ →·CB 1→|BQ →|·|CB 1→|＝13×5＝1515.又∵BA 1→·CB 1→＝0－1＋4＝3，|BA 1→|＝1＋1＋4＝6，|CB 1|＝0＋1＋4＝5，∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→|·|CB 1→|＝330＝3010.∵0<1515<3010<1，∴〈BQ →，CB 1→〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，〈BA 1→，CB 1→〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，又∵y ＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减， ∴〈BQ →，CB 1→〉>〈BA 1→，CB 1→〉．(3)证明：∵AB 1→·C 1P →＝(－1,1，－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0＝0，∴AB 1→⊥C 1P →，即AB 1⊥C 1P .19．(本小题满分16分)如图5，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，AC ＝22，P A ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC .图5(1)证明：PC ⊥平面BED ；(2)设二面角A ­PB ­C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小. 【解】 如图，设AC ∩BD ＝O ，以O 为坐标原点，OC ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，则A (－2，0,0)，C (2，0,0)，P (－2，0,2)．设BD ＝2a ，则B (0，－a,0)，D (0，a,0)． (1)证明：PC →＝(22，0，－2)，BD →＝(0,2a,0)． 由PE ＝2EC ，得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，23，则BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，a ，23.所以PC →·BE →＝(22，0，－2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23，a ，23＝0，PC →·BD →＝(22，0，－2)·(0,2a,0)＝0， 即PC →⊥BE →，PC →⊥BD →.又因为BE ∩BD ＝B ，所以PC ⊥平面BED . (2)设平面P AB 的法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)． 易得AP →＝(0,0,2)，AB →＝(2，－a,0)．由⎩⎨⎧n ·AP →＝0，n ·AB →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2z 1＝0，2x 1－ay 1＝0.取x 1＝1，可得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2a ，0.设平面PBC 的法向量m ＝(x 2，y 2，z 2)． 易得BC →＝(2，a,0)，CP →＝(－22，0,2)． 由⎩⎨⎧m ·BC →＝0，m ·CP →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋ay 2＝0，－22x 2＋2z 2＝0.取x 2＝1，可得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－2a ，2.因为二面角A ­PB ­C 为90°，所以m ·n ＝0，即1×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ×2a ＋2×0＝0，解得a ＝ 2.所以PD →＝(2，2，－2)，平面PBC 的一个法向量为m ＝(1，－1，2)，所以PD 与平面PBC 所成角的正弦值为|PD →·m ||PD →||m |＝12，所以PD 与平面PBC 所成角的大小为π6.20．(本小题满分16分)如图6，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 的中点．图6(1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．(3)若二面角A ­B 1E ­A 1的大小为30°，求AB 的长．【解】 (1)证明：以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0，1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0，B 1(a,0,1)，故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0.∵AD 1→·B 1E →＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0. ∴B 1E ⊥AD 1.(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0)．又设平面B 1AE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎨⎧n ·AB 1→＝0，n ·AE →＝0，得⎩⎨⎧ax ＋z ＝0，ax2＋y ＝0.取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－a 2，－a .要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，即a 2－az 0＝0，解得z 0＝12. 又∵DP ⊄平面B 1AE ，∴存在一点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12.(3)连结A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D . ∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C .又由(1)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1. ∴AD 1⊥平面DCB 1A 1.∴AD 1→是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时AD 1→＝(0,1,1)．设AD 1→与平面B 1AE 的法向量n 所成的角为θ，则cos θ＝n ·AD 1→|n ||AD 1→|＝－a2－a 21＋a 24＋a2.∵二面角A ­B 1E ­A 1的大小为30°. ∴|cos θ|＝cos 30°，即3a 221＋5a 24＝32，解得a ＝2， 即AB 的长为2.模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上) 1．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线，则p ＋q ＝________. 【解析】 易得AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(p －1，－2，q ＋4)．∵AB →∥AC →，∴p －11＝－2－1＝q ＋43，∴p ＝3，q ＝2，p ＋q ＝5.【答案】 52．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若非p 是非q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.【解析】 先列出命题非p 和非q ：|4x －3|>1和x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)>0，分别解得非p ：x >1或x <12；非q ：x >a ＋1或x <a .若非p ⇐非q ，则a ≤12且a ＋1≥1，即0≤a ≤12.【答案】 0≤a ≤123．已知双曲线x 264－y 236＝1上一点P 到它的右焦点的距离为8，那么点P 到它的右准线的距离是________．【解析】 设到右准线的距离为d ，则8d ＝54，所以d ＝325. 【答案】 3254．设a ∈R ，则a ＞1是1a ＜1的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)【解析】 由1a ＜1，得1－a a ＜0，即a ＜0或a ＞1，所以a ＞1是1a ＜1的充分不必要条件． 【答案】 充分不必要5．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________.【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)， 双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|(3)2＋(－1)2＝32或d 2＝|3×1＋0|(3)2＋12＝32.【答案】 326．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ＝________.【解析】 由题意得c ＝t a ＋μb ＝t (2，－1,3)＋μ(－1,4，－2)＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，即(7,5，λ)＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.【答案】 6577．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是________(填序号)．①OM →＝OA →＋OB →＋OC →；②OM →＝2OA →－OB →－OC →；③OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →；④OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →；⑤ OM →＝5OA →－3OB →－OC →.【解析】 对空间任一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若满足向量关系式OM →＝xOA →＋yOB→＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，则四点M ，A ，B ，C 共面．所以④⑤满足题意．【答案】 ④⑤8．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是________．【解析】 因为方程x 24＋y 2k ＝1表示双曲线，所以k <0，所以a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，因为e ∈(1,2)，所以4－k4∈(1,4)，解得k ∈(－12,0)．【答案】 (－12,0)9．如图1所示，正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB ′→，CM →〉＝________.图1【解析】 设正方体的棱长为1，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD ′所在直线为z 轴建系．易得B ′(1,1,1)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，A (1,0,0)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0，DB ′→＝(1,1,1)，得cos 〈DB ′→，CM →〉＝1515，所以sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015. 【答案】2101510．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程是________．【解析】 如图所示，设直线MP 与直线NP 分别与动圆C 切于点E ，F ，则PE ＝PF ，ME ＝MB ，NF ＝NB .从而PM －PN ＝ME －NF ＝MB －NB ＝4－2＝2<MN ，又由题意知点P 不能在x 轴上，所以点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支并除去与x 轴的交点．设对应的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a ＝1，c ＝3，b 2＝8.故P 点的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >1)．【答案】 x 2－y 28＝1(x >1)11．在四面体O ­ABC 中，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，若OG →＝13OA →＋x 4OB →＋x 4OC →，则使G 与M ，N 共线的x 的值为________．【解析】 若G ，M ，N 共线，则存在实数λ使MG →＝λMN →， 即OG →－OM →＝λ(ON →－OM →)，∴OG →＝(1－λ)OM →＋λON →＝(1－λ)·23OA →＋λ·12(OB →＋OC →)＝2(1－λ)3OA →＋λ2OB →＋λ2OC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2(1－λ)3＝13，x 4＝λ2，∴x ＝1.【答案】 112．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点________．【解析】 抛物线y 2＝8x ，p ＝4，其准线方程为x ＝－2，焦点为F (2,0)，设动圆圆心为P ，由已知点P 到准线x ＋2＝0的距离为其半径r ，且点P 在抛物线上，∴点P 到焦点F 的距离也为r ，∴动圆必过定点F (2,0)． 【答案】 (2,0)13．如果椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是________．【解析】 设弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程，得9x 21＋36y 21＝9×36,9x 22＋36y 22＝9×36，两式相减，得9(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋36(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，由中点坐标公式x 1＋x 22＝4，y 1＋y 22＝2，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以所求直线方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.【答案】 x ＋2y －8＝014．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若FQ ＝2，则直线的斜率等于________．【解析】 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x＋k 2＝0，由根与系数的关系，x A ＋x B ＝－2k 2－4k 2，于是x Q ＝x A ＋x B 2＝2k 2－1，把x Q 带入y ＝k (x ＋1)，得到y Q ＝2k ，根据FQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝2，解得k ＝±1. 【答案】 ±1二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知p ：－2≤x ≤10；q ：x 2－2x ＋1≤m 2(m ＞0)．若非p 是非q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解】 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，得1－m ≤x ≤1＋m ，∴非q ：A ＝{x |x ＜1－m 或x ＞1＋m }，非p ：B ＝{x |x ＜－2或x ＞10}， ∵非p 是非q 的必要不充分条件，且m ＞0，∴A ⊆B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，①1－m ≤－2，②1＋m ≥10，③，即m ≥9，注意到当m ＝9时，③中等号成立，而②中等号不成立，∴m 的取值范围是m ≥9.16．(本小题满分14分)在四棱锥V ­ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD .(1)证明：AB ⊥平面VAD ；(2)求二面角A ­VD ­B 的平面角的余弦值．【解】 取AD 的中点O 作为坐标原点，由题意知，VO ⊥底面ABCD ，则可建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (1,0,0)，D (－1，0,0)，B (1,2,0)，V (0,0，3)． (1)证明：易得AB →＝(0,2,0)，VA →＝(1,0，－3)． ∵AB →·VA →＝(0,2,0)·(1,0，－3)＝0， ∴AB →⊥VA →，即AB ⊥VA .又AB ⊥AD ，AD ∩VA ＝A ，∴AB ⊥平面VAD .(2)易得DV →＝(1,0，3)．设E 为DV 的中点，连结EA ，EB ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，32，∴EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－32，EB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，－32.∵EB →·DV →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，－32·(1,0，3)＝0，∴EB →⊥DV →，即EB ⊥DV .同理得EA ⊥DV ，∴∠AEB 为所求二面角的平面角， ∴cos 〈EA →，EB →〉＝EA →·EB →|EA →||EB →|＝217.故所求二面角的平面角的余弦值为217.17．(本小题满分14分)椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l 经过点F 1与椭圆交于A ，B 两点．(1)求△ABF 2的周长；(2)若l 的倾斜角为π4，求△ABF 2的面积.【解】 (1)由椭圆的定义，得AF 1＋AF 2＝2a ，BF 1＋BF 2＝2a ，又AF 1＋BF 1＝AB ， 所以，△ABF 2的周长＝AB ＋AF 2＋BF 2＝4a . 又因为a 2＝4，所以a ＝2，故△ABF 2的周长为8.(2)由条件，得F 1(－1,0)，因为AB 的倾斜角为π4，所以AB 的斜率为1， 故直线AB 的方程为y ＝x ＋1.由⎩⎨⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 23＝1，消去x ，得7y 2－6y －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，解得y 1＝3＋627，y 2＝3－627， 所以S △ABF 2＝12F 1F 2·|y 1－y 2|＝12×2×1227＝1227.18．(本小题满分16分)在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 为BB 1的中点．图2(1)证明：AC ⊥D 1E ；(2)求DE 与平面AD 1E 所成角的正弦值．【解】 (1)证明：连结BD ，∵ABCD ­A 1B 1C 1D 1是长方体， ∴D 1D ⊥平面ABCD, 又AC ⊂平面ABCD ，∴D 1D ⊥AC ， 在长方形ABCD 中，AB ＝BC ，∴BD ⊥AC ，又BD ∩D 1D ＝D ， ∴AC ⊥平面BB 1D 1D, 而D 1E ⊂平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥D 1E . (2)如图，建立空间直角坐标系D ­xyz ，则A (1,0,0)，D 1(0,0,2)，E (1,1,1)，B (1,1,0)，AE →＝(0,1,1)，AD 1→＝(－1,0,2)，DE →＝(1,1,1)．。

④“ x > 2 ”是“ 1 4．由直线 x = 12 D ． 15B ． 2 ln 2高中数学选修2-1、2-2 综合试题班级-------------姓名-----------得分-----------一、 选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)1．复数 z 的虚部记作 Im （z ），若 z= 5 1 + 2i，则 Im （ z ）=（ ）A ．2B ． 2iC ．－2D ．－2i2．考察以下列命题：①命题“ lg x = 0, 则x=1 ”的否命题为“若 lg x ≠ 0, 则x ≠ 1 ”②若“ p ∧ q ”为假命题，则 p 、q 均为假命题③命题 p ： ∃x ∈ R ，使得 s in x > 1 ；则 ⌝p ： ∀x ∈ R ，均有 sin x ≤ 11< ”的充分不必要条件x 2则真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．43.在平行六面体 ABCD - A B C D 中， M 为 A C 与 B D 的交点。

1 1 111 111若 AB = a ， AD = b ， AA = c 则与 BM 相等的向量是（）11 1 1 1A ． - a + b + cB ． a + b + c2 2 2 2A1DD1 C1 MB1 C1 1 1 1C ． - a - b + cD ． a - b + c2 2 2 2A B1 , x = 2, 曲线 y = - 及轴所围图形的面积为 （ ）2 xA ．- 2ln 2 C ． 1 ln 2 45．已知抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 上有一点 M （4，y ），它到焦点 F 的距离为 5，则 ∆OFM 的面积（O 为原点）为（）A ．1B ．2C ． 2D ． 2 26．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：…①②③7．在正三棱柱ABC-A B C中，若AB=2B B，则AB与C B所成角的大小为（）②实数a,b,有(a+b)2=a2+2ab+b2;类比向量a,b,有(a+b)2=a+2a⋅b+b按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．6n+2B．6n-2C．8n+2D．8n-2111111A．60°B．75°C．105°D．90°8．给出下面四个类比结论（）①实数a,b,若ab=0则a=0或b=0；类比向量a,b,若a⋅b=0，则a=0或b=022③向量a，有a2=a2；类比复数z，有z2=z2④实数a,b有a2+b2=0，则a=b=0；类比复数z，z有z2+z2=0，则212z=z=012其中类比结论正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．39．已知抛物线＝2px（p>1）的焦点F恰为双曲线（a>0,b>0）的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为()A．2B．2C．2+1D．2+210．设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（）A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2CC．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C二、填空题（每小题5分，共20分。

(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上)1.椭圆x 220＋y 2k＝1的焦距为6，则k 的值为________．解析：由已知2c ＝6，∴c ＝3，而c 2＝9，∴20－k ＝9或k －20＝9，∴k ＝11或k ＝29. 答案：11或292.双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________.解析：由题意知，m <0，双曲线mx 2＋y 2＝1化为标准形式y 2－x 2－1m＝1，故a 2＝1，b 2＝－1m ，所以a ＝1，b ＝－1m ，则由2－1m ＝2×2，解得m ＝－14.答案：－143.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为________．解析：不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)，则有⎩⎨⎧2b 2a ＝2a 2c c ＝1，即⎩⎨⎧2b 2a ＝2， ①b2c＝1， ②①÷②得e ＝22.答案：224.与x 2－4y 2＝1有相同的渐近线，且过M (4，3)的双曲线方程为________．解析：设方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)，将M (4，3)代入方程得λ＝4，所以方程为x 24－y2＝1.答案：x 24－y 2＝15.已知双曲线3x 2－y 2＝9，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于________．解析：即求离心率，双曲线化为标准方程x 23－y 29＝1，可知a ＝3，c ＝a 2＋b 2＝3＋9＝23，e ＝c a ＝2332.答案：26.若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．解析：椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2，0)，而抛物线y 2＝2px 的焦点为(p 2，0)，则p2＝2，故p ＝4.答案：47.设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标是________．解析：由题意得F (1，0)，设A (y 204，y 0)，则OA →＝(y 204，y 0)，AF →＝(1－y 204，－y 0)，由OA →·AF→＝－4，解得y 0＝±2，此时点A 的横坐标为y 204＝1，故点A 的坐标为(1，±2)．答案：(1，±2)8.设P 是椭圆x 225＋y 2161上的任意一点，又点Q 的坐标为(0，－4)，则PQ 的最大值为________．解析：设P 的坐标(x ，y )，则PQ 2＝x 2＋(y ＋4)2＝25(1－y 216)＋(y ＋4)2＝－916(y －649)2＋6259(－4≤y ≤4)，当y ＝4时，PQ 2最大，此时PQ 最大，且PQ 的最大值为25×（1－4216）＋（4＋4）2＝8.答案：89.以双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是________．解析：由题意知圆心坐标应为(5，0)．又因为点(5，0)到渐近线y ＝±43x 的距离为4，所以圆的方程为x 2＋y 2－10x ＋9＝0.答案：x 2＋y 2－10x ＋9＝010.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为3，则这个椭圆方程为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝3c a ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝23c ＝3，椭圆方程为x 212＋y 291或y 212＋x 29＝1.答案：x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝111.已知两点M (－2，0)，N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为________．解析：设P (x ，y )，M (－2，0)，N (2，0)，则MN →＝(4，0)，|MN →|＝4，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )；由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，得4（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0， 化简整理得y 2＝－8x . 答案：y 2＝－8x12.设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )，则Q (－x ，y )，又设A (a ，0)，B (0，b )，则a >0，b >0.于是BP →＝(x ，y －b )，PA →＝(a －x ，－y )，由BP →＝2PA →可得a ＝32x ，b ＝3y ，所以x >0，y >0.又AB →＝(－a ，b )＝(－32x ，3y )，由OQ →·AB →＝1可得322＋3y 2＝1(x >0，y >0)．答案：32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)13.椭圆x 24＋y 29＝1与曲线x 29－k ＋y 24－k＝1(0<k <4)的关系是________．(填正确的序号)①有相等的焦距，相同的焦点； ②有相等的焦距，不同的焦点； ③有不等的焦距，相同的焦点； ④有不等的焦距，不同的焦点．解析：椭圆x 24＋y 29＝1的焦点在y 轴上，曲线x 29－k ＋y24－k＝1(0<k <4)是椭圆，焦点在x 轴上，排除①，③；又c 2＝9－4＝(9－k )－(4－k )＝5，所以有相同的焦距．答案：②14.已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0且a ≠b )的两个焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O 为坐标原点．下面四个命题：①△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x ＝a 上； ②△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x ＝b 上； ③△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线OP 上； ④△PF 1F 2的内切圆必通过点(a ，0)．其中真命题有________(写出所有真命题的代号)．解析：设△PF 1F 2的内切圆分别与PF 1，PF 2切于点A 、B ，与F 1F 2切于点M ，则P A ＝PB ，F 1A ＝F 1M ，F 2B ＝F 2M ，又点P 在双曲线右支上，所以PF 1－PF 2＝2a ，故F 1M －F 2M ＝2a ，而F 1M ＋F 2M ＝2c ，设M 点坐标为(x ，0)，则由F 1M －F 2M ＝2a 可得(x ＋c )－(c －x )＝2a 解得x ＝a ，显然内切圆的圆心与点M 的连线垂直于x 轴，故①④正确．答案：①④二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)如图，一个抛物线形拱桥，当水面离拱顶4 m 时，水面宽8 m. (1)试建立坐标系，求抛物线的标准方程； (2)若水面上升1 m ，求水面宽度．解：(1)如图建立坐标系，设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)．由已知条件可知，点B 的坐标是(4，－4)，代入方程，得42＝－2p ×(－4)，即p ＝2. 所以，所求抛物线标准方程是x 2＝－4y .(2)若水面上升1 m ，则y ＝－3，代入x 2＝－4y ，得x 2＝－4×(－3)＝12，x ＝±23，所以这时水面宽为4 3 m.16.(本小题满分14分)已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程；(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．解：(1)把椭圆方程化为标准形式为x 29＋y 24＝1，焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)．故设双曲线的标准方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝59a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3b 2＝2，故所求双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)由(1)知双曲线的右准线方程为x ＝355，即为抛物线的准线方程．故设抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)，则有p 2＝355，故p ＝655.所以抛物线的标准方程为y 2＝－1255x .17.(本小题满分14分)已知双曲线x 29－y 227＝1与点M (5，3)，F 为右焦点，试在双曲线上求一点P ，使PM ＋12PF 最小，并求出这个最小值．解：双曲线的右焦点F (6，0)，离心率e ＝2，右准线为l ：x ＝32.作MN ⊥l 于N ，交双曲线右支于P ，连结FP ，则PF ＝ePN ＝2PN ⇒PN ＝12PF .此时PM ＋12PF ＝PM ＋PN ＝MN ＝5－32＝72为最小值． 在x 29－y 227＝1中，令y ＝3，x 2＝12⇒x ＝±23； 又∵x >0，∴取x ＝2 3.即当所求P 点的坐标为(23，3)时，PM ＋12PF 取最小值72.18.(本小题满分16分)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点N (－2，1)在椭圆上，线段NF 2与y 轴的交点M 满足NM →＋F 2M →＝0；(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆C 上一点，且∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．解：(1)由已知，点N (－2，1)在椭圆上，∴有2a 2＋1b 2＝1，①又∵NM →＋F 2M →＝0，M 在y 轴上，∴M 为NF 2的中点，∴－2＋c ＝0，c ＝ 2.∴有a 2－b 2＝2，②由①②，解得b 2＝2(b 2＝－1舍去)，∴a 2＝4，故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设PF 1＝m ，PF 2＝P ，则S △F 1PF 2＝12mn sin π3＝34mn .由椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝2a ，即m ＋n ＝4.①又由余弦定理得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos π3＝F 1F 22，即m 2＋n 2－mn ＝(22)2.②由①2－②，得mn ＝83，∴S △F 1PF 2＝233.19.(本小题满分16分)已知点A (0，－2)，B (0，4)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝y 2－8. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若(1)中所求轨迹方程与直线y ＝x ＋2交于C ，D 两点，求证OC ⊥OD (其中O 为原点)．解：(1)由题意得PA →·PB →＝(－x ，－2－y )·(－x ，4－y )＝y 2－8，化简得x 2＝2y .故动点P 的轨迹方程为x 2＝2y .(2)证明：设C ，D 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．将y ＝x ＋2代入x 2＝2y 得x 2＝2(x ＋2)，即x 2－2x －4＝0，则Δ＝4＋16＝20>0，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4.因为y 1＝x 1＋2，y 2＝x 2＋2，所以y 1y 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝4.所以k OC ·k OD ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y2x 1x 2＝－1.所以OC ⊥OD .20.(本小题满分16分)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线方程；(2)过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标；(3)以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当K (m ，0)是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，∴p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x .(2)∵点A 的坐标是(4，4)，由题意得B (0，4)，M (0，2)，又∵F (1，0)，∴k F A ＝43；MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34，则F A 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y －2＝－34x .解方程组⎩⎨⎧y ＝43（x －1）y －2＝－34x ，得⎩⎨⎧x ＝85y ＝45，∴点N 的坐标为(85，45．(3)由题意得，圆M 的圆心是点(0，2)，半径为2.当m ＝4时，直线AK 的方程为x ＝4，此时，直线AK 与圆M 相离，当m ≠4时，直线AK 的方程为y ＝44－mx －m )，即为4x －(4－m )y －4m ＝0，圆心M (0，2)到直线AK 的距离d ＝|2m ＋8|16＋（m －4）2，令d >2，解得m >1.∴当m >1时，直线AK 与圆M 相离； 当m ＝1时，直线AK 与圆M 相切；当m <1时，直线AK 与圆M 相交．。

高中数学选修2-1综合试卷数学选修2-1一、选择题1.椭圆的焦点坐标为（XXX.）。

2.若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于（B）。

3.在正方体中，异面直线与所成角的大小为（45°），则顶点A的轨迹方程是（x+y+z=0）。

4.已知中，点O为正方体的中心，异面直线所成角为60°，则顶点A的轨迹方程是（x+y+z=0）。

5.已知在抛物线上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（8）。

6.命题“的否定是（）。

7.给出如下四个命题：1.若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；2.命题“若，则”的否命题为“若，则”；3.“，”的否定是“，”；4.在中，“”是“”的充要条件。

其中正确的命题的个数是（B）。

8.椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为（0）。

9.若A点坐标为（-3,0），是椭圆的最大值为（4），的左焦点，点P是该椭圆上的动点，则（AP+PF=6）。

10.若点O和点F分别为椭圆的最大值为3的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则（OP²=OF²+FP²）。

11.直线l：过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（y=±(x²/2)）。

12.四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，且∠BAC=∠BCD=45°，平面ABCD且平面PCD所成角的正弦值为（1/3），则PB与平面的法向量为（-2,1,2）。

二、填空题13.抛物线的准线方程为（y=p）。

14.若方程的曲线是椭圆，则k的取值范围是（0<k<1）。

15.“”是“直线和直线平行”的充要条件。

16.给出下列命题：直线l的方向向量为（1,2,3），直线l的方向向量1，2，3，直线m的方向向量2,1,1，平面的法向量1,2，-1，则向量1,2，-1与平面垂直；平面经过三点(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，u=2,3，-1是平面的法向量，则真命题的是（命题1和命题3）。

圆锥曲线与方程综合练习一、选择题：1.已知A(－1,0)，B(1,0)，点C(x,y)满足：22(1)142x y x -+=-，则=+BC AC （ ） A ．6 B ．4 C ．2 D ．不能确定2. 抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为 （1，2），设抛物线的焦点为F ，则|FA|+|FB|等于（ ） A ．7 B ．53 C ．6 D ．53.双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，过焦点F 2且垂直于x轴的弦为AB ，若︒=∠901B AF ，则双曲线的离心率为 （ ）A ．)22(21- B ．12- C ．12+ D ．)22(21+4.若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和双曲线221(,0)x y m n m n-=>有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的交点，则21PF PF ⋅的值是（ ） A ．n b -B ． m a -C ． n b -D ． 2a m -5.已知F 是抛物线241x y ＝的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹 方程是（ ）A ．122－＝y xB ．16122－＝y x C ．212－＝y x D ．222－＝y x6. 给出下列结论,其中正确的是 （ ）A ．渐近线方程为()0,0>>±=b a x aby 的双曲线的标准方程一定是12222=-b y a xB ．抛物线221x y -=的准线方程是21=xC ．等轴双曲线的离心率是2D ．椭圆()0,012222>>=+n m ny m x 的焦点坐标是()(),,0,222221n mF n m F ---7.已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则p 为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、48.一个椭圆中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，P （2，3）是椭圆上一点，且1122||||||PF F F PF 、、成等差数列，则椭圆方程为 （ ）22222222.1.1.1.186********x y x y x y x y A B C D +=+=+=+=9.双曲线2214x y k+=的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是（ ） .(,0).(12,0).(3,0).(60,12)A B C D -∞----10. 方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）B A BC D二、填空题：11. 12,F F 是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则12||||PF PF 的最大值是 ．12.已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．13.在△ABC 中，AB=BC ，7cos 18B =-．若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e= ．14.已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点．设FA FB>，则FA与FB的比值等于 ．三、解答题：15．(1)已知双曲线的渐近线方程为12y x =±，焦距为10，求双曲线的标准方程。

模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中的横线上)1．若空间三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)共线，则p ＋q ＝________.【解析】 易得AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(p －1，－2，q ＋4)．∵AB →∥AC →，∴p －11＝－2－1＝q ＋43，∴p ＝3，q ＝2，p ＋q ＝5. 【答案】 52．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若非p 是非q的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：09390093】【解析】 先列出命题非p 和非q ：|4x －3|>1和x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)>0，分别解得非p ：x >1或x <12；非q ：x >a ＋1或x <a .若非p ⇐非q ，则a ≤12且a ＋1≥1，即0≤a ≤12. 【答案】 0≤a ≤123．已知双曲线x 264－y 236＝1上一点P 到它的右焦点的距离为8，那么点P 到它的右准线的距离是________．【解析】 设到右准线的距离为d ，则8d ＝54，所以d ＝325.【答案】 3254．设a ∈R ，则a ＞1是1a ＜1的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)【解析】 由1a ＜1，得1－a a ＜0，即a ＜0或a ＞1，所以a ＞1是1a ＜1的充分不必要条件．【答案】 充分不必要5．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是________. 【导学号：09390094】【解析】 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)， 双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|(3)2＋(－1)2＝32或d 2＝|3×1＋0|(3)2＋12＝32. 【答案】 326．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ＝________.【解析】 由题意得c ＝t a ＋μb ＝t (2，－1,3)＋μ(－1,4，－2)＝(2t －μ，－t＋4μ，3t －2μ)，即(7,5，λ)＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)， ∴⎩⎨⎧ 7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝337，μ＝177，λ＝657.【答案】 657 7．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是________(填序号)．①OM →＝OA →＋OB →＋OC →；②OM →＝2OA →－OB →－OC →；③OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →；④OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →；⑤ OM →＝5OA →－3OB →－OC →.【解析】 对空间任一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若满足向量关系式OM→＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，则四点M ，A ，B ，C 共面．所以④⑤满足题意．【答案】 ④⑤8．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是________．【解析】 因为方程x 24＋y 2k ＝1表示双曲线，所以k <0，所以a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，因为e ∈(1,2)，所以4－k 4∈(1,4)，解得k ∈(－12,0)． 【答案】 (－12,0)9．如图1所示，正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，M 是AB 的中点，则sin〈DB ′→，CM →〉＝________.图1【解析】 设正方体的棱长为1，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD ′所在直线为z 轴建系．易得B ′(1,1,1)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，A (1,0,0)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0，DB ′→＝(1,1,1)，得cos 〈DB ′→，CM →〉＝1515，所以sin 〈DB ′→，CM →〉＝21015.【答案】 2101510．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程是________．【解析】 如图所示，设直线MP 与直线NP 分别与动圆C 切于点E ，F ，则PE ＝PF ，ME ＝MB ，NF ＝NB .从而PM －PN ＝ME －NF ＝MB －NB ＝4－2＝2<MN ，又由题意知点P 不能在x 轴上，所以点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支并除去与x 轴的交点．设对应的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a ＝1，c ＝3，b 2＝8.故P 点的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >1)． 【答案】 x 2－y 28＝1(x >1)11．在四面体O -ABC 中，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，若OG →＝13OA →＋x 4OB →＋x 4OC →，则使G 与M ，N 共线的x 的值为________．【解析】 若G ，M ，N 共线，则存在实数λ使MG →＝λMN →，即OG →－OM →＝λ(ON →－OM →)，∴OG →＝(1－λ)OM →＋λON →＝(1－λ)·23OA →＋λ·12(OB →＋OC →)＝2(1－λ)3OA →＋λ2OB →＋λ2OC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(1－λ)3＝13，x 4＝λ2，∴x ＝1.【答案】 112．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点________．【解析】 抛物线y 2＝8x ，p ＝4，其准线方程为x ＝－2，焦点为F (2,0)，设动圆圆心为P ，由已知点P 到准线x ＋2＝0的距离为其半径r ，且点P 在抛物线上，∴点P 到焦点F 的距离也为r ，∴动圆必过定点F (2,0)．【答案】 (2,0)13．如果椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是________．【解析】 设弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程，得9x 21＋36y 21＝9×36,9x 22＋36y 22＝9×36 ，两式相减，得9(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋36(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，由中点坐标公式x 1＋x 22＝4，y 1＋y 22＝2，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以所求直线方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.【答案】 x ＋2y －8＝014．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若FQ ＝2，则直线的斜率等于________．【解析】 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，由根与系数的关系，x A ＋x B ＝－2k 2－4k 2，于是x Q ＝x A ＋x B 2＝2k 2－1，把x Q 带入y ＝k (x ＋1)，得到y Q ＝2k ，根据FQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝2，解得k ＝±1.【答案】 ±1 二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知p ：－2≤x ≤10；q ：x 2－2x ＋1≤m 2(m ＞0)．若非p 是非q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解】 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，得1－m ≤x ≤1＋m ，∴非q ：A ＝{x |x ＜1－m 或x ＞1＋m }，非p ：B ＝{x |x ＜－2或x ＞10}，∵非p 是非q 的必要不充分条件，且m ＞0，∴A ⊆B ，∴⎩⎨⎧ m ＞0，①1－m ≤－2，②1＋m ≥10，③，即m ≥9，注意到当m ＝9时，③中等号成立，而②中等号不成立，∴m 的取值范围是m ≥9.16．(本小题满分14分)在四棱锥V -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD .(1)证明：AB ⊥平面VAD ；(2)求二面角A -VD -B 的平面角的余弦值．【解】 取AD 的中点O 作为坐标原点，由题意知，VO ⊥底面ABCD ，则可建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (1,0,0)，D (－1，0,0)，B (1,2,0)，V (0,0，3)．(1)证明：易得AB →＝(0,2,0)，VA →＝(1,0，－3)．∵AB →·VA →＝(0,2,0)·(1,0，－3)＝0，∴AB →⊥VA →，即AB ⊥VA .又AB ⊥AD ，AD ∩VA ＝A ，∴AB ⊥平面VAD .(2)易得DV →＝(1,0，3)．设E 为DV 的中点，连结EA ，EB ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，32，∴EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－32，EB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，－32. ∵EB →·DV →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，－32·(1,0，3)＝0， ∴EB →⊥DV →，即EB ⊥DV .同理得EA ⊥DV ，∴∠AEB 为所求二面角的平面角，∴cos 〈EA →，EB →〉＝EA →·EB →|EA →||EB →|＝217. 故所求二面角的平面角的余弦值为217.17．(本小题满分14分)椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l 经过点F 1与椭圆交于A ，B 两点．(1)求△ABF 2的周长；(2)若l 的倾斜角为π4，求△ABF 2的面积. 【导学号：09390095】【解】 (1)由椭圆的定义，得AF 1＋AF 2＝2a ，BF 1＋BF 2＝2a ，又AF 1＋BF 1＝AB ，所以，△ABF 2的周长＝AB ＋AF 2＋BF 2＝4a .又因为a 2＝4，所以a ＝2，故△ABF 2的周长为8.(2)由条件，得F 1(－1,0)，因为AB 的倾斜角为π4，所以AB 的斜率为1，故直线AB 的方程为y ＝x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，x 24＋y 23＝1，消去x ，得7y 2－6y －9＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，解得y 1＝3＋627，y 2＝3－627， 所以S △ABF 2＝12F 1F 2·|y 1－y 2|＝12×2×1227＝1227.18．(本小题满分16分)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 为BB 1的中点．图2(1)证明：AC ⊥D 1E ；(2)求DE 与平面AD 1E 所成角的正弦值．【解】 (1)证明：连结BD ，∵ABCD -A 1B 1C 1D 1是长方体，∴D 1D ⊥平面ABCD, 又AC ⊂平面ABCD ，∴D 1D ⊥AC ，在长方形ABCD 中，AB ＝BC ，∴BD ⊥AC ，又BD ∩D 1D ＝D ，∴AC ⊥平面BB 1D 1D, 而D 1E ⊂平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥D 1E .(2)如图，建立空间直角坐标系D -xyz ，则A (1,0,0)，D 1(0,0,2)，E (1,1,1)，B (1,1,0)，AE →＝(0,1,1)，AD 1→＝(－1,0,2)，DE→＝(1,1,1)．设平面AD 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n ·AD 1→＝0，n ·AE →＝0，∴⎩⎨⎧－x ＋2z ＝0，y ＋z ＝0，令z ＝1， 则n ＝(2，－1,1)，cos 〈n ，DE →〉＝n ·DE →|n ||DE →|＝2－1＋13×6＝23， 所以DE 与平面AD 1E 所成角的正弦值为23.19．(本小题满分16分)如图3，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M ，N 分别是CC 1，BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且A 1P ＝λA 1B 1.图3(1)证明：无论λ取何值，总有AM ⊥PN ；(2)当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值．(3)是否存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30°？若存在，试确定点P 的位置；若不存在，请说明理由．【解】 以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.∵A 1P →＝λA 1B 1→＝λ(1,0,0)＝(λ，0,0)，∴P (λ，0,1)，∴PN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λ，12，－1，NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12. (1)证明：∵AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，∴AM →·PN →＝0＋12－12＝0， ∴AM →⊥PN →，∴无论λ取何值，总有AM ⊥PN .(2)∵m ＝()0，0，1是平面ABC 的一个法向量，∴sin θ＝|cos 〈m ·PN →〉|＝|0＋0－1|⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λ2＋14＋1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋54，又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴当λ＝12时，sin θ取得最大值，即θ取得最大值，此时sin θ＝45，cos θ＝15，∴tan θ＝2.(3)假设存在点P 满足题意，设n ＝(x ，y ，z )是平面PMN 的法向量，由⎩⎨⎧ n ·NM →＝0，n ·PN →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －12x ＋12y ＋12z ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λx ＋12y －z ＝0，令x ＝3，得y ＝1＋2λ，z ＝2－2λ，∴n ＝(3,1＋2λ，2－2λ)，由(2)知平面ABC 的一个法向量为m ＝(0,0,1)，∴|cos 〈m ，n 〉|＝|2－2λ|9＋(1＋2λ)2＋(2－2λ)2＝32，化简得4λ2＋10λ＋13＝0(*)， ∵Δ＝100－4×4×13＝－108<0，∴方程(*)无解，∴不存在点P 使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30°.20．(本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点A (2，1)．直线y ＝22x ＋m 交椭圆C 于B ，D (不与点A 重合)两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)△ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【解】 (1)∵e ＝22＝c a ，2a 2＋1b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝2，c ＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝22x ＋m ，x 24＋y 22＝1⇒x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，∴Δ＝8－2m 2＞0⇒－2＜m ＜2，x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝m 2－2.∵BD ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222 |x 1－x 2|＝628－2m 2， 设d 为点A 到直线BD ：y ＝22x ＋m 的距离，∴d ＝|2m |6，∴S △ABD ＝12BD ·d ＝22(4－m 2)m 2≤ 2.当且仅当m ＝±2∈(－2,2)时，等号成立，∴当m ＝±2时，△ABD 的面积最大，最大值为 2.。