高中数学知识点复习：集合与映射专题复习指导

映射法高一数学知识点归纳数学是一门抽象且能带来美妙感受的学科。

在高中阶段，学生们开始接触更加深入和细致的数学知识。

其中，映射法是一个重要的概念，它不仅在高一数学中频繁出现，还在后续的学习中扮演着重要的角色。

本文将就高一数学中与映射法相关的几个重要知识点进行归纳和探讨。

一、函数和映射函数是数学中的一个基本概念，它描述了两个集合之间的一种对应关系。

我们可以将函数理解为一种映射，将一个集合的元素映射到另一个集合中。

函数通常用一个数学表达式来表示，其中包括自变量和因变量。

高一数学中，我们学习了一元函数和二元函数的概念，并了解了函数的定义域、值域、图像等重要概念。

这些概念为后续的函数进一步学习打下了基础。

二、映射的基本性质映射是一个广义的函数，它可以将集合A中的元素映射到集合B中的一个或多个元素。

在高一数学中，我们学习了映射的一些基本性质。

首先是单射、满射和双射的概念。

其中，单射表示映射的每个自变量对应一个唯一的因变量，满射表示映射的每个因变量都有对应的自变量，而双射则同时满足单射和满射的条件。

通过研究映射的性质，我们可以更好地理解函数之间的关系和特征。

三、映射的运算映射的运算是高一数学中的重点内容之一。

我们学习了映射的复合运算、反函数和其它常见运算。

映射的复合运算可以将两个映射按照一定的规则合并成一个新的映射。

而反函数则是一个函数与其原函数互为映射的关系。

这些运算不仅帮助我们更好地理解映射的特性，还能够在解决实际问题中发挥重要作用，尤其在数学建模和函数逆向求解中。

四、关于映射的应用映射法在实际问题中具有广泛的应用。

在几何中，我们可以通过映射法来进行形状的变换和性质的推导。

在代数中，映射法可以帮助我们解决方程和不等式，并找到特定函数的性质。

在概率论中，我们可以使用映射法来计算事件的概率和条件概率。

这些应用不仅拓宽了我们对映射法的理解，还展示了数学在实际生活中的强大应用能力。

总之，映射法作为高一数学中的一个重要知识点，为我们提供了更好理解函数和解决实际问题的途径。

高中数学第一章-集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．考试要求： （1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．§01. 集合与简易逻辑 知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：二、知识回顾：（一）集合1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法.集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为；②空集是任何集合的子集，记为；③空集是任何非空集合的真子集；如果，同时，那么A = B.如果.[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=，则C s A= {0}）A A ⊆A ⊆φB A ⊆A B ⊆C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，+N③空集的补集是全集.④若集合A=集合B，则C B A=，C A B =C S（C A B）=D（注：C A B =）.3. ①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R二、四象限的点集.③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集.[注]：①对方程组解的集合应是点集.例：解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是. （例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B =）4. ①n个元素的子集有2n个. ②n个元素的真子集有2n－1个. ③n个元素的非空真子集有2n－2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题逆命题.②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题.例：①若应是真命题.，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.②.1或y = 2.,故是的既不是充分，又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围.3.例：若.4.集合运算：交、并、补.5.主要性质和运算律（1）包含关系：（2）等价关系：（3）集合的运算律：交换律：结合律:分配律:.∅∅∅}⎩⎨⎧=-=+1323yxyxφ∅⇔⇔325≠≠≠+baba或，则且1≠x3≠y1≠∴yx且3≠+yx21≠≠yx且255xxx或，⇒{|,}{|}{,}A B x x A x BA B x x A x BA x U x A⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U交：且并：或补：且C,,,,,;,;,.UA A A A U A UA B B C A C A B A A B B A B A A B B⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇CUA B A B A A B B A B U⊆⇔=⇔=⇔=C.;ABBAABBA==)()();()(CBACBACBACBA==)()()();()()(CABACBACABACBA==0-1律：等幂律：求补律：A∩C U A=φA∪C U A=U C U U=φ C Uφ=U反演律：C U(A∩B)= (C U A)∪(C U B) C U(A∪B)= (C U A)∩(C U B)6.有限集的元素个数定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.基本公式：(3) card( U A)= card(U)- card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根轴法（零点分段法）①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)…(x-x m)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间.（自右向左正负相间）则不等式的解可以根据各区间的符号确定.特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的讨论.>∆0=∆0<∆二次函数cbxaxy++=2（0>a）的图象,,,A A A U A A U A UΦ=ΦΦ===.,AAAAAA==(1)()()()()(2)()()()()()()()()card A B card A card B card A Bcard A B C card A card B card Ccard A B card B C card C Acard A B C=+-=++---+x)0)((002211><>++++--aaxaxaxa nnnn原命题若p 则q否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互一元二次方程()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ∅∅2.分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：,与型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)（1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之.（2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.（三）简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

高三数学知识点：集合与映射专题复习指导天津市第四十二中学张鼎言一、集合与简易逻辑复习导引：这部分高考(Q吧)题一般以选择题与填空题出现。

多数题并不是以集合内容为载体，只是用了集合的表示方法和简单的交、并、补运算。

这部分题其内容的载体涉及到函数、三角函数、不等式、排列组合等知识。

复习这一部分特别请读者注意第1题，阐述了如何审题，第3、5题的思考方法。

简易逻辑部分应把目光集中到“充要条件”上。

1.设集合M={1,2,3,4,5,6},S1、S2、…Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Si={ai,bi},Sj={aj,bj},(i≠j,i、j∈{1，2，3，…k})都有min{-,-}≠min{-,-}(min{x,y}表示两个数x、y中的较小者)。

则k的最大值是( )A.10B. 11C. 12D. 13分析：审题是解题的源头，数学审题训练是对数学语言不断加深理解的过程。

以本题为例min{-,-}≠{-,-}如何解决?我们不妨把抽象问题具体化!如Si={1,2},Sj={2,3}那么min{-,2}为-，min{-,-}为-,Si 是Sj符合题目要求的两个集合。

若Sj={2，4}则与Si={2，4}按题目要求应是同一个集合。

题意弄清楚了，便有{1，2}，{2，4}，{1，3}，{2，6}，{1，2}，{3，6}，{2，3}，{4，6}按题目要求是4个集合。

M是6个元素构成的集合，含有2个元素组成的集合是C62=15个，去掉4个，满足条件的集合有11个，故选B。

注：把抽象问题具体化是理解数学语言，准确抓住题意的捷径。

2.设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是( )(A)CIS1∩(S2∪S3)=(B)S1(CIS2∩CIS3)(C)CIS1∩CIS2∩CIS3=(D)S1(C IS2∪CIS3)分析：这个问题涉及到集合的“交”、“并”、“补”运算。

高一数学映射与集合知识点数学是一门抽象而又重要的学科，而映射与集合作为数学中的基础概念之一，是我们学习数学的重要内容。

本文将以高一数学的角度来探讨映射与集合的知识点，并且分析它们在实际应用中的意义和价值。

一、映射的概念和特征映射是数学中的一种函数关系，它描述了一个集合中的每个元素都对应着另一个集合中的唯一元素。

映射通常用箭头表示，箭头的起始点表示输入，箭头的终点表示输出。

映射具有以下特征：1. 单射：如果一个映射中不同的输入元素对应不同的输出元素，则该映射是单射。

简而言之，单射意味着每个输入只对应一个输出。

2. 满射：如果一个映射中的每个输出元素都有对应的输入元素，则该映射是满射。

也就是说，满射保证了每个输出都被至少一个输入对应。

3. 双射：如果一个映射既是单射又是满射，则该映射是双射。

双射保证了每个输入都对应唯一的输出，并且每个输出都有对应的输入。

映射在实际应用中有着广泛的运用。

例如，地图是一种常见的映射形式，将实际空间上的点映射到纸面上，帮助我们理解和导航真实世界。

而在数学建模中，映射也被广泛应用于描述各种关系，帮助我们分析和解决问题。

二、集合的基本概念和操作集合是数学中另一个重要的概念，它是由一些确定的元素构成的整体，这些元素称为集合的成员。

集合有以下基本概念和操作：1. 元素：集合中的每个个体都被称为一个元素。

元素可以是数字、字母、符号等等，甚至可以是其他集合。

2. 子集：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，我们称这个集合为另一个集合的子集。

3. 并集：将两个或多个集合中所有的元素合并在一起，形成一个新的集合，该操作被称为并集。

4. 交集：将两个或多个集合中共有的元素提取出来，形成一个新的集合，该操作被称为交集。

5. 补集：给定一个全集，然后从全集中减去一个集合中的元素，得到的结果称为该集合关于全集的补集。

集合论在数学中有着广泛的应用，它帮助我们描述和分析各种数学概念和关系。

例如，在概率论中，集合的概念使我们能够描述和计算不同事件的发生概率。

高中数学知识总结高中数学集合知识总结集合语言是现代数学的基本语言,使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些相关内容.以下是小编搜集整合了高中数学集合知识，希望可以帮助大家更好的学习这些知识。

高中数学知识总结篇1一、集合间的关系1.子集：如果集合A中所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集。

2.真子集：如果集合AB，但存在元素a∈B,且a不属于A,则称集合A是集合B的真子集。

3.集合相等：集合A与集合B中元素相同那么就说集合A与集合B相等。

子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作：AB(或BA)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)，这时我们说集合是集合的子集，更多集合关系的知识点见集合间的基本关系二、集合的运算1.并集并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记作A∪B(或B∪A)，读作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A,或x∈B}2.交集交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作A∩B(或B∩A)，读作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B={x|x∈A,且x∈B}3.补集三、高中数学集合知识归纳：1.集合的有关概念。

1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。

4)常用数集：N，Z，Q，R，N*2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

映射法高一数学知识点总结在高一的数学学习中，映射法是一种重要的解题方法，它能够帮助我们在解决各种数学问题时更加清晰地思考。

在本文中，我将总结高一数学中的一些重要知识点，并结合映射法来进行讲解和应用。

一、映射与函数在数学中，映射是指一种从一个集合到另一个集合的对应关系。

而函数则是一种特殊的映射，它要求每个输入值都有唯一对应的输出值。

我们可以通过映射的图象、对应法则和定义域等方面来描述一个函数。

在解题中，我们可以通过映射的性质来简化计算，找到问题的关键所在。

二、集合与映射集合是数学中的基本概念，而映射则是将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素。

在解决集合和映射相关的问题时，我们可以运用映射法来分析和解答。

比如，在排列组合和概率等问题中，我们可以通过建立集合与映射的对应关系来快速求解。

三、函数的性质与应用函数是高中数学中的重点内容，它有很多重要的性质和应用。

其中，一次函数、二次函数和反比例函数是我们比较常见的函数类型。

在解决函数相关的问题时，我们可以利用映射法来推导函数的性质和应用，从而更好地理解和应用函数概念。

四、映射法在直角坐标系中的应用映射法在直角坐标系中有广泛的应用。

我们可以利用映射法来求解两点间的距离、两直线间的夹角以及两点间的中点等问题。

此外，映射法也可以帮助我们理解平移、旋转和翻折等几何变换，从而更好地解决相关的几何问题。

五、映射法在函数图象中的应用在研究函数的图象时，映射法可以帮助我们更好地分析和理解函数的性质。

通过建立函数的图象与输入输出的对应关系，我们可以求解函数的零点、最值和增减性等问题。

此外，映射法还可以帮助我们研究函数图象的对称性和周期性，进一步加深对函数的理解。

六、映射法在数列与数列极限中的应用数列是高中数学中的重要内容，而映射法可以帮助我们更好地研究数列的性质。

通过建立数列与输入输出的对应关系，我们可以求解数列的通项公式、前n项和以及极限等问题。

此外，映射法还可以帮助我们研究数列的收敛性和发散性，提高解题的效率和准确性。

高三数学集合、映射与函数、函数的解析式与定义域、函数的值域知识精讲（一）集合1. 集合的概念及集合中元素的三个特征：一组对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做集合的元素，集合的元素具有三个特征：（1）确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象或者是这个集合中的元素，或者不是它的元素，这是集合的最基本特征。

（2）互异性：集合中的任何两个元素都是能区分的（即互不相同的）相同的对象归入任何一个集合时，只能算作这个集合中的一个元素。

（3）无序性：在一个集合中通常不考虑它的元素之间的顺序，也就是说，由a 、b 两个元素组成的集合与由{}b a ，两个元素组成的集合是相同的。

元素与集合，集合与集合的关系：元素与集合的关系是从属关系，用符号“∈”与“∉”表示，集合与集合的关系是包含关系，用符号“⊆”、“⊂”或“/⊆”、“⊄”表示。

2. 集合的运算：（1）并集：{}A B x x A x B =∈∈|或性质：A A A A B B A A A A A B B A B ==∅=⊆⊆，，，，（2）交集：{}A B x x A x B =∈∈|，且性质：A B B A A A A A A B A A B B ==∅=∅⊆⊆，，，，（3）全集与补集：全集用字母I 表示，补集：{}A x x I x A =∈∉|且 性质：A I I I =∅==∅，，3. 几个重要结论：（1）A B A B A B A B ==，（2）A B A B A A B B ⊆⇔=⇔=A B A B A B ⊆⊆()或（3）由n 个元素组成的集合，其子集个数为2n ，即是C C C C n n n n n n 0122++++=…。

（4）空集∅是一个特殊的集合，是任何集合的子集，在解题中要注意对空集的讨论。

（5）进行集合运算时，要注意发挥数轴、韦恩图的作用，通过数形结合直观地解决问题。

（二）映射与函数1. 映射：一般地，设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f 对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作f A B ：→。

高一数学映射知识点数学是一门综合性科学，映射是其中的重要概念之一。

在高一数学学习中，映射是一个需要深入理解和掌握的知识点。

本文将从映射的定义、映射的性质以及映射的应用等方面进行详细介绍。

一、映射的定义映射是一种对应关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。

映射常常用符号“f”表示，表示一个元素或者一组元素通过某种规则对应到另一个集合中。

对于集合A和集合B，如果存在一个映射f，使得对于A中的任意元素a，都有唯一的对应元素b在集合B中，即f(a)=b，那么我们可以说A中的元素通过映射f对应到B中的元素。

二、映射的性质1. 单射：如果映射f中不同的元素在B中有不同的对应元素，即对于任意的a1和a2，如果f(a1)=f(a2)，则a1=a2。

这种映射被称为单射或一一映射。

单射保证了映射的唯一性。

2. 满射：如果映射f中的所有元素都有对应的元素存在于B中，即对于任意的b∈B，都存在a∈A，使得f(a)=b。

这种映射被称为满射。

满射保证了映射的完备性。

3. 双射：既是单射又是满射的映射被称为双射。

双射保证了映射的一一对应关系，即A中的每一个元素都有唯一对应的元素在B中，B中的每一个元素也都有唯一对应的元素在A中。

4. 逆映射：如果映射f是一个双射，那么它存在一个逆映射g，使得g(f(a))=a对于任意的a∈A成立，同时f(g(b))=b对于任意的b∈B也成立。

逆映射可以实现映射的互逆。

三、映射的应用映射在数学中的应用非常广泛，尤其在解决实际问题时起到了重要的作用。

以下是映射在几个常见领域的应用示例：1. 函数关系：函数是一种特殊的映射关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素上。

函数在数学中有着广泛的应用，例如描述物理规律、经济关系以及建立模型等。

2. 图论：映射在图论中有重要作用。

图是由一系列的顶点和边组成的数学模型，而映射则常常用于描述顶点之间的关系，例如在社交网络中描述用户之间的关注关系。

数学集合与映射知识点《数学集合与映射知识点》一提到数学中的集合与映射，可能很多人的第一反应是：“哎呀，这也太复杂太难懂啦！”但其实，当你真正深入去了解，会发现它们就像我们生活中的小秘密，藏在各种角落里，等待着我们去揭开。

先来说说集合吧。

集合就像是一个装东西的大口袋，把一些具有相同特征或者满足特定条件的东西统统装进去。

比如说，咱们班所有同学就可以组成一个集合，叫“XX 班同学集合”；咱们学校里所有的老师也能组成一个集合，叫“XX 学校老师集合”。

我记得有一次，我们数学老师在课堂上讲集合的概念，他为了让我们更清楚地理解，举了个特别有趣的例子。

老师说：“同学们，假设咱们要举办一个水果派对，现在我们来确定参加派对的水果。

苹果可以来，香蕉可以来，橙子可以来，但是西瓜太大了，不好搬过来，所以西瓜不来。

那么能来参加派对的水果就组成了一个集合。

”当时大家都被逗笑了，不过也一下子就明白了集合是怎么回事。

集合里的元素呢，就像是口袋里的一个个宝贝。

每个元素都有自己的特点，而且不会重复。

比如说，在“奇数集合”里，1 是奇数，3 是奇数，5 也是奇数，但不会有两个 1 或者两个 3 。

这就好比我们每个人在班级里都是独一无二的存在，谁也不能替代谁。

再讲讲映射。

映射啊，就像是一个神奇的魔法桥梁，把两个集合连接起来。

比如说，我们有一个集合是“学生的学号”，另一个集合是“学生的名字”。

通过一个特定的规则，比如按照学号的顺序对应学生的名字，这就是一个映射。

我自己在学习映射的时候，也有过一次很有趣的经历。

有一天，我在家里整理书架，突然发现书架上的书可以和它们所在的层数形成一个映射关系。

第一层放的是小说，第二层放的是传记，第三层放的是科普读物。

每一本书都有它固定的位置，就像每个元素在集合里都有它对应的“伙伴”一样。

而且啊，集合和映射在生活中的应用可多了去了。

比如说，我们去超市买东西，不同种类的商品就可以看作是不同的集合，而商品的价格标签就是一种映射，把商品和它的价格对应起来。

数学奥赛辅导 第六讲 集合与映射知识、方法、技能这一讲主要介绍有限集的阶，有限集上的映射及其性质，这些在与计数有关的数学竞赛问题中应用极广，是参赛者必不可少的知识Ⅰ.有限集元素的数目 1．有限集的阶有限集A 的元素数目叫做这个集合的阶，记作|A|[或n(A)]. 2．集族的阶若M 为由一些给定的集合构成的集合，则称集合M 为集族.设A 为有限集，由A 的若干个子集构成的集合称为集合A 的一个子集族，求满足一定条件的集族的阶是一类常见的问题.显然，若|A|=n ，则由A 的所有子集构成的子集族的阶为2n . Ⅱ.映射，映射法定义1 设X 和Y 是两个集合（二者可以相同）.如果对于每个X x ∈，都有惟一确定的Y y ∈与之对应，则称这个对应关系为X 到Y 的映射.记为.Y y X x Y X ∈→∈→或这时,Y x f y ∈=)(称为X x ∈的象,而x 称为y 的原象,特别当X 和Y 都是数集时，映射f 称为函数.定义2 设f 为从X 到Y 的一个映射.(1)如果对于任何x 1、.),()(,,21212为单射则称都有f x f x f x x X x ≠≠∈ （2）如果对于任何Y y ∈，都有X x ∈，使得f (x )=y ，则称f 为满射; （3）如果映射f 既为单射又为满射，则称f 为双射；（4）如果f 为满射且对任何Y y ∈，恰有X 中的m 个元素x 1、x 2、…x m ，使得.)(,,,2,1,)(倍数映射的倍数为为则称m f m i y x f i ==定理1 设X 和Y 都是有限集，f 为从X 到Y 的一个映射, （1）如果f 为单射，则|X|≤|Y| （2）如果f 为满射，则|X|≥|Y| （3）如果f 为双射，则|X|=|Y|（4）如果f 为倍数为m 的倍数映射，则|X|=m|Y|. 这个定理的结果是显然的.定理2 设有限集f a a a A n },,,,{21 =是A 到A 上的映射，),()(1x f x f =),,)](([)(1*+∈∈=N r A x x f f x f r r 则f 是一一映射（即双射）的充要条件是：对任意).11,()(,)(1,,-≤≤∈≠=≤≤∈∈**i i i s i i m i i i m s N s a a f a a f n m N m A a i 而使得存在证明：必要性.若f 是双射，则i i a a f ==)(1（此时m i =1）,或者.)(11i i i a a a f ≠=在后一种情形下，不可能有.)()(1112i i i a a f a f ==否则，a i 1在A 中有两个原象a i 和a i 1，与f 是双射不合，而只可能有2222)(,,)(),2()(12i i i i i i i i i a a f a a a a f m a a f =≠===如果或者此时，则依同样的道理，不可能有或者此时而只可能有),3()(,,)()(33212====i i i i i i i m a a f a a a f a f213,,)(3i i i i i a a a a a f ≠=.如此等等.因为A 是有限集，所以经过有限次（设经过m 次）后，有i s i i m a ai f a a f i ≠=)(,)(而).11,(-≤≤∈*i m s N s这表明当f 是双射时，对任一A a i ∈都存在着映射圈:i im i i i a a a a a i →→→→-121在这个映射圈中，诸元素互异，且),1(1i i i a m n m 只有一个元素=≤≤充分性.如果对任意i i s i i m i i i i a a f a a f n m N m A a ≠=≤≤∈∈*)(,)(,1,,而使存在)1,(1-*≤≤∈i m s N s ，这说明从A 中任一元素a i 出发，都可以得到一个包含m i 个互异元素的映射圈，显然f 是双射.定理3 在命题1的条件下，若对i i m i i i a a f N m A a =∈∈*)(,,使存在，则对任意.)(,i i tm a a f N t i =∈*有这是明显的事实，证明从略.赛题精讲例1：设集合,30001|{},,14,20001|{≤≤=∈+=≤≤=y y B Z k k x x x A 集合||},,13B A Z k k y ⋂∈-=求.【解】形如4k +1的数的数可分三类：)(912,512,112Z l l l l ∈+++，其中只有形如12l +5的数是形如3k -1的数..167||},1997,,17,5{,1660),(20005121=⋂=⋂≤≤∈≤+≤B A B A l Z l l 所以所以得令例2：有1987个集合，每个集合有45个元素，任意两个集合的并集有89个元素，问此1987个集合的并集有多少个元素.【解】显然，可以由题设找到这样的1987个集合，它们都含有一个公共元素a ，而且每两个集合不含a 以外的公共元素.但是，是否仅这一种可能性呢？由任意两个集合的并集有89个元素可知，1987个集合中的任意两个集合有且仅有一个公共元素，则容易证明这1987个集合中必有一个集合中的元素a 出现在A 以外的45个集合中，设为A 1，A 2，…，A 45，其余的设为A 46，A 47，…，A 1996.设B 为A 46，…，A 1996中的任一个集合，且B a ∉，由题设B 和A ，A 1，A 2，…，A 45都有一个公共元素，且此46个元素各不相同，故B 中有46个元素，与题设矛盾，所以这1987个集合中均含有a .故所求结果为1987×44+1=87429.即这1987个集合的并集有87429个元素. 例3：集合n B B B A ,,,},9,2,1,0{21 =为A 的非空子集族，并且当,2||≤⋂≠j i B B j i 时 求n 的最大值.【解】首先考虑至多含三个元素的A 的非空子集族，它们共有175310210110=++C C C 个，这说明.175max ≥n下证，.175max ≤n 事实上，设D 为满足题设的子集族，若,,4||,B b B D B ∈≥∈设且 则B 与B-{b}不能同时含于D ，以B-{b}代B ，则D 中元素数目不变.仿此对D 中所有元素数目多于4的集合B 作相应替代后，集族D 中的每个集合都是元素数目不多于3的非空集合，故.175max ≤n .所以，.175max =n在许多问题中，计数对象的特征不明显或混乱复杂难以直接计数，这时可以通过适当的映射将问题划归为容易计数的对象，然后再解决，从而取得化难为易的效果.例4：设},,,2,1{n S =A 为至少含有两项的公差为正的等差数列，其项都在S 中且当将S 的其他元素置于A 中之后，均不能构成与A 有相同公差的等差数列.求这种A 的个数（只有两项的数列也视为等差数列） 【解】当k n 2=为偶数时，满足题中要求的每个数列A 中必有连续两项，使其前一项在集{1,2,…,k}和{k +1,k +2,…,2k }中各任取一数，并以二数之差作为公差可以作出一个满足要求的数列A.容易看出，这个对应是双射.故知A 的个数为.422n k = 当n =2k +1为奇数时，情况完全类似.惟一的不同在于这时第二个集合},2,1{n k k ++ 有k +1个元素.故A 的个数为.4/)1()1(2-=+n k k例5：设a n 为下述自然数N 的个数：N 的各位数字之和为n 且每位数字都只能取1、3或4.求证对每个自然数n ，a 2n 都是完全平方数.【证明】记各位数字之和为n 且每位数字都是1或2的所有自然数的集合为S n ，并记,3,2,1,||2121--+=≥===n n n n n f f f n f f f S 时有且当则这意味着{f n }恰为菲波那契数列.作对应'1M M S n →∍如下：先将M 的数字中自左至右的第一个2与它后邻的数字相加，其和作为一位数字；然后再把余下数字中第一个2与它后邻的数字相加，所得的和作为下一位数字；依此类推，直到无数再相加为止.所得的新自然数M′除最后一位数可能为2之外，其余各位数字均为1、3或4.若记所有M ′的集合为T n ，则容易看出，上述对应是由S n 到T n 的双射，从而有n n n f S T ==||||，且显然有,4,3,2=+=-n a a f n n n ①对于任一数字和为2n ，各位数字均为1或2的自然数M ，必存在正整数k ，使得下列两条之一成立：（1）M 的前k 位数字之和为n ;（2）M 的前k 位数字之和为n -1，第k +1位数字为2.则立即可得 ,3,2,2122=+=-n f f f n n n ② 由①和②得到,2122222--+==+n n n n n f f f a a),(122222----=-n n n n f a f a ③因为.0,2,4,2,12242432=-====f a f a a a 所以于是由③递推即得,,3,2,1,22 ==n f a n n即n a 2为完全平方数.应用映射还可以证明某些与计数相关的不等式和等式.这时可以通过分别计数来证明等或不等，也可以不计数而直接通过适当的映射来解决问题.例6：将正整数n 写成若干个1和若干个2之和，和项顺序不同认为是不同的写法，所有写法种数记为a (n ).将n 写成若干个大于1的正整数之和，和项顺序不同认为是不同的写法，所有写法的种数记为)(n β.求证对每个n ，都有).2()(+=n n βα【证法1】将每项都是1或2，各项之和为n 的所有数列的集合记为A n ，每项都是大于1的正整数，各项之和为n 的所有数列的集合记为B n ，则问题就是证明|,|||2+=n n B A 显然，只需在两集之间建立一个双射就行了.i k ik i i n m a m i i i a a a A a a a a 其余的其中设,1,2,),,,(212121≤<<≤≤====∈= 均为1且令.21n a a a m =+++1211i a a a b +++= ，,22112122121121+++++++++++=+++=+++=--m i i k ik i i k i i i a a a b a a a b a a a b k k k k),,,,,(121+=k k b b b b b①则定义.2+∈n B b2+∈→∍n n B b a A②则f 为双射.事实上，若a a A a a n '≠∈'且,,，则或者数列a 和a ′中的2的个数不同，或者2的个数相同但位置不全相同.无论哪种情形,由①和②知f a f b a f b 即不同与,)()('='=为单射，另一方面，对任何2+∈n B b 利用①式又可确定,n A a ∈使得,,)(为满射即f b a f =从而f 为由A n 到B n +2的双射.【证法2】使用证一中的记号.n n B A 和对于任意的令,),,,,(2121+-∈=n m m A a a a a a,,2;,1,).,,,(11121A a a A a a a a a a m n m m ∈'=∈'=='+-时当时当显然 容易看出，映射 n n n A A a af A ⋃∈'→∍++12是双射，故有).()1()2(n n n ααα++=+注意到2)2(,1)1(==αα，便知,)(n f n =α这里|f n |为菲波那契数列.对于任意的令2121),,,,(+-∈=n k k B b b b b b⎩⎨⎧>-=='--2)1,,,,(2),,,(121121k k k k k b b b b b b b b b b 当当则当,,,2;,2,21容易验证时当时时+∈'>∈'='=n k n k B b b B b b b 映射n n n B B b b B ⋃∈'→∍++12为双射，故有),()1()2(n n n βββ++=+==+n f n )2(β所以a (n )【证法3】显然有),4(2)2(),3(1)1(βαβα===即命题于n =1,2时成立.设命题于,.2,)1(1k n k n k k n =+=≥+≤既然命题于时命题成立须证当时成立令与之间的双射与与故存在时都成立.,,11312+++++f k k k k n f f B A B A k⎩⎨⎧>∈=+2),()()(1k k k k b a f A a a f a f 当当则f 为由.321的双射到+++⋃⋃n n k k B B A A对于任意的令和任意,),,,(),,,,(32212121+++-⋃∈'=∈=k k l k m m B B b b b b A a a a a a⎩⎨⎧==∈='+-,1,,2,),,,(1121m k m k m a A a A a a a a 当当 ⎩⎨⎧∈'∈+∈'∈=++++.,)1,,,)2,,,(34212421k k l k k l B b B b b b B b B b b b b 当当 43212:.:+++++∈→'∍⋃⋃∈'→∍k k k k k k B b b B B h A A a a A g 则映射都是双射，从而复合映射42:++∈→∍k k B b a A g f h为双射，故有)4()2(+=+k k βα，于是由数学归纳法知命题对所有自然数n 都成立.映射法还可以与其他方法结合起来使用，而且大多数竞赛题是这种类型.例如映射法可与抽屉原理、构造法、反证法等各种方法结合起来.例7：设oxyz 是空间直角坐标系，S 是空间中的一个有限点集，S x ，S y ，S z 分别是S 中所有点的坐标平面oyz ，ozx ，oxy 上的正投影所成的集合.求证.||||||||2z y x S S S S ⋅⋅≤（1992年IMO 试题5）【证明】对每点令,),(x S j i ∈∑∈=∈=ixS j i ijij TS S j i x j i x T ),(}},,(|),,{(显然有由柯西不等式有2),(2),(),(2||||||1||ij S j i x ijS j i S j i T S TS xxx∑∑∑∈∈∈⋅=⋅⋅≤①考虑集合},,|),{(),(2121),(ij ij ij ij ij S j i T t t t t T T T T V x∈=⨯⨯=∑∈其中显然，|V|=2),(||ij S j i T x∑∈定义映射f 如下z y S S i x j x j i x j i x V ⨯∈'→'∍)),(),,((),,(),,,(，不难看出f 为单射，因此有||||||z y S S V ⋅≤由①、②即得||||||||2z y x S S S S ⋅⋅≤.例8：设集合},10,,2,1{ =A A 到A 的映射f 满足下列两个条件： ①对任意;)(,30x x f A x =∈②对每个.)(,,291,a a f A a k Z k k ≠∈≤≤∈+使得至少存在一个求这样的映射的总数. (1992年日本奥林匹克预选赛题) 【解】注意到10=5+3+2，30=5×3×2.这提示我们将A 划分成三个不相交的子集},{},,{},,,,{2132154321c c b b b a a a a a A ⋃⋃=.因为f 满足条件①和②，所以f 是A 到A 上的双射，并且由定理2的证明过程得知A 中存在映射圈，因此，定义映射,)(,)(;)(,)(,)(,)(,)(:32211554433221b b f b b f a a f a a f a a f a a f a a f f ======= .)(,)(;)(122113c c f c c f b b f ===因为30是5、3、2的最小公倍数，故由定理2和定理3知f 是满足题目条件①和②惟一的一类映射.因此，f 的总数目相当于从10个元素中选取5个，再从剩下的5个中选取3个，最后剩下的两个也选上，它们分别作圆排列的数目，它等于.120960)!1)(!2)(!4(2235510=⋅⋅⋅C C C例9：设集合A={1，2，3，4，5，6}，映射A A f →:,其三次复合映射f ·f ·f 是恒等映射，这样的f 有多少个？ （1996年日本数学奥林匹克预选赛题）【解】因为集合A 上的三次复合映射是恒等映射，所以定理2和定理3推知符合条件的映射f 有三类：（1）f 是恒等映射；（2）A 中存在一个三元映射圈),,(互异c b a a c b a →→→，而其他三个元素是不动点； （3）A 中存在两个三元映射圈).,,,,,(互异和c b a c b a a c b a a c b a ''''→'→'→'→→→类型（1）的f 只有1个.对于类型（2），先从6个元素中选出3个元素20,,36=C c b a 的方法有种，又a 、b 、c 作圆排列有（3—1）！=2种，故这样的f 有20×2=40个.对于类型（3），首先6个元素平分成两组有10236=÷C 种分法，每组分别作圆排列又有（3—1）！（3—1）！=4种方式，所以这样的f 有10×4=40个. 综上所述，所求的f 有 1+40+40=81个.例10：把正三角形ABC 的各边n 等分，过各分点在△ABC 内作各边的平行线，得到的图形叫做正三角形ABC 的n 格点阵. （1）求其中所有边长为||1BC n的菱形个数； （2）求其中所有平行四边形的个数. （1988年国家集训队选拔考试题） 【解】延长AB 至.||1||||,,BC nC C B B C AC B ='='''使得至作出正三角形C B A ''的n+1格点阵（图I —3—1—1）.边2+''n C B 上有个点，依次编码为0，1，2，…，n+1. 在△ABC 中边长为n1|BC|的菱形可以按边不平 行于BC 、AC 与AB 分为三类.容易看出，这三类 中菱形个数相同.边不平行BC 且边长为n1|BC|的 所有菱形集合记作S.由正整数1，2，…，n 组成 的所有有序的数对（i ,j ）,i <j 所构成的集合记作T.很明显，,||2n C T =设菱形EFGH ∈S ，延长它的两条邻边HG 与GF ，分别交.),(,1,T j i n j i j i C B ∈≤<≤''则与于点令（i ,j ）是菱形EFGH 在S 到T 的映射ϕ下的像，这样便建立了S 到T 的映射ϕ.容易验证，映射ϕ是双射.因此，,||||2n C T S ==所以所求的边长为n1|BC|的菱长个数为32n C . 其次，将平行四边形按边不平行于BC 、AC 与AB 分为三类，这三类的平行四边形个数应相同，边不平行BC 的所有平行四边形集合记作V.非负整数0,1,2,…,n+1构成的所有有序四元数组（i ,j ,k ,l ）,10+≤<<<≤n l k j i 构成的集合记作W.很明显，42||+=n C W .设α是V 中平行的四边形，延长它的四条边分别交l k j i C B ,,,于点''，其中10+≤<<<≤n l k j i ，则ϕαββ的映射到在是令W V W l k j i .),,,(∈=下的像.这样便定义了V 到W 的一个映射ϕ.容易验证，ϕ是双射.因此，.||||42+==n C W V 从而所求平行四边形的个数为423+n C .。