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设 B 是公式 A 的闭包，则 Γ├ A 当且仅当 Γ├ B。 证明 设 Var(A) = {y1,…, yn}，则 B 为 ∀y1…∀yn A。 归纳证明：对于任意变元 y1,…, ym 和任意公式 C， Γ├ C 当且仅当 Γ├ ∀y1…∀ymC。 1. 当 m = 0 时， ∀y1…∀ymC 和 C 是相同的公式， 结论显然成立。 2. 2 设结论对于 m 成立 成立。 若 Γ├ C，则由UG规则得出 Γ├ ∀ym+1C ，再由 归纳假设得出， Γ├ ∀y1…∀ym∀ym+1C。 若 Γ├ ∀y1…∀ym∀ym+1C，则由例3.6得出， Γ├ ∀y2…∀ym∀ym+1C，再由归纳假设得出， Γ├ C。 令 m = n，即得到 Γ├ A 当且仅当 Γ├ B。
第三章 公理系统
§3.1 命题逻辑的公理系统 §3.2 谓词逻辑的公理系统 作业
§3.2 谓词逻辑的公理系统
一阶谓词逻辑公理系统所使用的符号如下： 1. 个体变元 x1 , x2 , … 2. 个体常元 a1 , a2 , … n n 3. 对于每个正整数 n，n 元函数符号 f1 , f 2 , L n n 4. 对于每个正整数 n，n 元谓词符号 P , P2 ,L 1 5. 6. 7. 8. 联结词符号 ¬，→ 量词符号 ∀ 括号 (，) 逗号
定义3.5 设 Γ 是语句集。如果公式序列 A1,…, An 中 的每个公式 Ai 满足以下条件之一： 1. Ai 是公理， 2. Ai ∈Γ， 3. 有 j, k < i 使得用 MP 规则由 Aj , Ak 可推出 Ai ， 4. 有 j < i 使得用 UG 规则由 Aj 可推出 Ai ； 则称 A1,…, An 为 An 的从 Γ 的一个推演。称 Γ 为推 演的前提集， An 为推演的结论。 如果存在 B 的从 Γ 的推演，则记为 Γ├ B。 将 {A1,…, An }├ B 简记为 A1,…, An├ B， 将 ∅├ B 简记为├ B。
Γ |− ( Dm ) z11,,L,,zynn ，即 Γ├ B。 y L
得出 ∀x P ( x1 )，但是 P ( x1 ) |= ∀x P ( x1 ) 。 /
1 1 1 1 1 1 1 1
如果允许前提集 Γ 有自由变元，则需限制概括规 则的使用范围：若 xi 不是在推演的第 k 步之前所出 现的 Γ 中公式的自由变元，则在第 k 步可由 A 推 出 ∀xi A。
定理3.9 若 A 是重言式，则├ A 。 4. 若 Ai 由 Aj 用 UG 规则推出，其中 j < i，Ai 为 ∀xk Aj 。由归纳假设知， Γ |= Aj 。任取满足 Γ 的解释 I，则 I |= Aj 。设 v 是 I 中任意赋值，任 取 d∈DI ，则 I(Aj)(v[xk /d]) = 1，因此 I(∀xk Aj)(v) = 1。所以 Γ |= Ai 。 而 An 即是 A，所以 Γ |= A 。 推论:若 ├ A，则 |= A 证明 设 A 是命题逻辑永真式 B 的替换实例，
一阶谓词逻辑的项定义如下： 1. 个体变元是项； 2. 个体常元是项； 3. 若 t1 ,…, tn 是项，则 f i n (t1 , L , t n )是项。 一阶谓词逻辑的公式定义如下： 1. 若 t1 ,…, tn 是项，则 Pi n (t1 ,L , t n )是公式； 2. 若 A 是公式，则 ¬A 是公式； 3. 若 A, B 是公式，则 (A → B) 是公式； 4. 若 A 是公式，则 ∀xi A 是公式。
1
有以下两个推理规则 1. 分离规则（MP规则） 从 A 和 A → B 推出 B。 2. 概括规则（UG规则） 从 A 推出 ∀xi A。 两条规则都是有穷的规则。 若 Γ |= A 且 Γ |= A → B ，则 Γ |= B 。 若 Γ 是语句集且 Γ |= A ，则 Γ |= ∀xi A 。 证明 任给满足 Γ 的解释 I 和 I 中赋值 v。任取 d∈ DI ，因为 Γ 是语句集，所以 I 和 v[xi/d] 满足 Γ ，因而 I(A)(v[xi /d]) = 1，因此 I(∀xiA)(v) = 1。 这表明 Γ |= ∀xi A 。
4. 若 Ai 由 Aj 用 UG 规则推出，其中 j < i，Ai 为 ∀xk Aj 。由归纳假设知， Γ├ A → Aj 。由 UG 规 则得出 Γ├ ∀xk (A → Aj) 。因为 A 是语句，所以 xk 不是 A 的自由变元， ∀xk (A → Aj) → (A → ∀xk Aj) 是公理五。再用 是公 五 再用 MP 规则得出 Γ├ A → ∀xk Aj ， 即 Γ ├ A → Ai 。 因此 Γ├ A → An ，即 Γ├ A → B 。 (⇐) Γ ∪{A}├ A 且 Γ ∪{A}├ A → B ， 所以 Γ ∪{A}├ B。
如果要证明 Γ├ A → B ，只有当 A 是语句时，才能 使用演绎定理将 A 移至左边去证明 Γ ∪ {A}├ B 。 这很不方便。 当 A 有自由变元时，可以用常元代入 A 中的自由 变元（用 Γ 中不出现的不同常元代入不同自由变 元）由 A → B 得到 A′ → B′，使得 A′ 成为语句，将 A B ，使得 A A′ 移至左边去证明 Γ ∪ {A′}├ B′ 。再由演绎定理得 出 Γ├ A′ → B′，下面的定理保证了这时 Γ├ A → B 也成立。
定理3.11 设 b1,…, bn 是在语句集 Γ 中不出现的不 同常元， y1,…, yn 是在公式 A 中不出现的不同变元， 用 y1,…, yn 分别代替 A 中的 b1,…, bn 得到 B。 若 Γ├ A ，则 Γ ├ B。 证明 设 C1,…, Cm 是 A 的从 Γ 的一个推演， z1,…, zn 是在 C1,…, Cm 中不出现的不同变元，且 { z1,…, zn }∩{y1,…, yn} =∅。用 z1,…, zn 分别代替 C1,…, Cm 中出现的 b1,…, bn 得到 D1,…, Dm 。 我们证明： D1,…, Dm 是Dm的从 Γ的一个推演。
有以下五个公理模式，其中 A, B, C 可为任意公式， i 可为任意正整数。 公理模式一 公理模式三 公理模式四 A → (B → A) (¬A → ¬B) → (B → A) 公理模式二 (A →(B → C )) →((A → B) →(A→ C ))
∀xi A → Atxi ，其中项 t 对于 A 中的 xi 可代入
例3.6 若 Γ├ ∀xi A 且项 t 对于公式 A 中的 xi 可代
i 入，则 Γ├ Atx。
证明 1. Γ├ ∀xi A 2. Γ├ ∀xi A → Atxi 3. Γ├ Atxi
xi t
已知 公理四 MP 规则
若取 t 为 xi ，则 A 即为 A。所以，若 Γ├ ∀xi A， 则 Γ├ A 。
如果 A1,…, An 是 B 的从 ∅ 的推演，则称 A1,…, An 为 B 的证明。如果├ B ，则称 B 为定理。 这里限定前提都是语句，是因为若允许前提中有自 由变元，就会推出错误的结论。例如，
令 Γ = {P ( x1 )} ，使用 UG 规则可由 P ( x1 )
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定理3.8（可靠性定理）若 Γ├ A，则 Γ |=A。 证明 设 A1,…, An 是 A 的从 Γ 的推演。 归纳证明： Γ |= Ai ，i = 1, 2,…, n。 1. 若 Ai 是公理，则 Ai 是永真式，所以 Γ |= Ai 。 2. 若 Ai∈Γ ，则 Γ |= Ai 。 3. 若 Ai 由 Aj , Ak 用 MP 规则推出，其中 j, k < i， Ak 为 Aj → Ai 。由归纳假设知， Γ |= Aj 且 Γ |= Aj → Ai 。若解释 I 满足 Γ，则对于 I 中每 个赋值 v，I(Aj)(v) = I(Aj → Ai )(v) = 1，因而 I(Ai)(v) = 1。所以 Γ |= Ai 。
在上面的证明中引进新变元 z1,…, zn 是必要的。 虽然 y1,…, yn 在 A (即 Cm )中不出现，但是 y1,…, yn 在 C1,…, Cm-1 中可能出现。如果直接用 y1,…, yn 分别代替 C1,…, Cm 中出现的 b1,…, bn 得到 D1,…, Dm 时， 则虽然 Ci 是公理， Di 却可能不是公理。 例如，设 Ci 是公理五
公理模式五 ∀xi (A → B) → (A → ∀xiB) ，其中变元 xi 不是 A 的自由变元。
公理一、二、三都是重言式，因而是永真式。 公理四和公理五都是永真式。 公理五是永真式证明如下： ∀xi (A → B) → (A → ∀xiB) ，其中变元 xi 不是 A 的 自由变元。 任给解释 I 和 I 中赋值 v，若 I(∀xi (A → B))(v) = I(A)(v) = 1， 则对于每个 d∈ DI ， I(A → B)(v[xi /d]) = 1 。因为 xi 不是 A 的自由变元，所以 I(A)(v[xi /d]) = 1。因而， I(B)(v[xi /d]) = 1 。所以， I(∀xiB)(v) = 1 。
∀y1 ( P1 (b1 ) → P1 ( y1 )) → ( P1 (b1 ) → ∀y1 P1 ( y1 )) 1 1 1 1
则 Di 是
∀y1 ( P1 ( y1 ) → P1 ( y1 )) → ( P1 ( y1 ) → ∀y1 P1 ( y1 )) 1 1 1 1
这不是永真式，因而不是公理。
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定理3.10（演绎定理） 若 A 是语句，则 Γ ∪{A}├ B 当且仅当 Γ├ A → B。 证明 (⇒) 设 A1,…, An 是 B 的从 Γ ∪{A}的推演。 归纳证明： Γ├ A → Ai ，i = 1 ,…, n。 1. 若 Ai 是公理或者 Ai∈Γ ，则 Γ├ Ai ，由 例3.2 知， Γ ├ A → Ai 。 2. 若 Ai 是 A ，由 例3.1 知，Γ├ A → Ai 。 3. 若 Ai 由 Aj , Ak 用 MP 规则推出，其中 j, k < i， Ak 为 Aj → Ai 。由归纳假设知， Γ├ A → Aj 且 Γ├ A → (Aj → Ai)，由 例3.3 得出 Γ├ A → Ai 。
