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数理逻辑与集合论精要与题解第一部分内容精要
第1章命题逻辑的基本概念1
11命题1
12命题联结词及真值表1
13合式公式2
14重言式2
15命题形式化3第2章命题逻辑的等值和推理演算4
21等值定理4
22等值公式4
23命题公式与真值表的关系6
24联结词的完备集6
25对偶式6
26范式7
27推理形式8
28基本的推理公式8
29推理演算9
210归结推理法9第3章命题逻辑的公理化11
31公理系统的结构11
32命题逻辑的公理系统11
33公理系统的完备性和演绎定理12
34命题逻辑的另一公理系统——王浩算法12
35命题逻辑的自然演绎系统13
36非标准逻辑13第4章谓词逻辑的基本概念15
41谓词和个体词15
42函数和量词15
43合式公式16
44自然语句的形式化16
45有限域下公式的表示法17
46公式的普遍有效性和判定问题17第5章谓词逻辑的等值和推理演算18
51否定型等值式18
52量词分配等值式18
53范式18
54基本推理公式19
55推理演算20
56谓词逻辑的归结推理法21第6章谓词逻辑的公理化22
61谓词逻辑的公理系统22
62谓词逻辑的自然演绎系统23
63递归函数24第7章一阶形式理论及模型25 71一阶语言及一阶理论25
72结构、赋值及模型26...。
数理逻辑的一般介绍我们在中学时代就能进行一些证明了, 但并非所有的人都能回答到底什么是证明. 大概来说, 所谓的证明就是把认为某一断言是正确的理由明确地表述出来. 在这一过程中, 我们通常都需要把一些人们已接受的命题作为讨论的基础. 在此基础上, 如果我们能够把该断言推导出来, 该断言就是被认为是被证明了, 因而也就会被人们接受. 于是, 一个很自然的问题就是: 推导究竟为何物? 这个问题就属于逻辑的范畴.逻辑研究推理, 而数理逻辑则研究数学中所用的推理. 由于这种推理在计算机科学中有许多有广泛的应用, 数理逻辑也就成为计算机科学的重要基础之一.很明显, 我们不能够证明一切命题. 如上所述, 当我们证明某一断言(结论) 的时候需要一些其它的命题(前提)作为推理的基础. 我们还可以要求对这些前提进行证明. 如果一直这样要求下去, 或迟或早, 我们会遇这样的情况: 我们进行了“循环” 证明, 即把要证明的命题作为前提来使用, 或者我们无法再作任何证明, 因为没有更为明显的命题可以用来作为前提了.这样,我们就必须不用证明而接受某些命题,我们把这类命题称为“公理”; 其它由这些公理而证明的命题则被称为“定理”.所谓的命题, 直观上是关于某些概念之间的关系. 因而, 我们要求公理是那些根据概念可以明显地接受的命题. 由概念,公理和定理所组成的全体就是公理系统.以上对公理系统的描述要求我们知道公理系统的确切含义. 然而, 从推理的角度来说, 我们并不需要如此. 让我们来看下面的例子:(1).每个学生都是人,(2).王平是学生, (3).王平是人.我们可以由(1) 和(2)推导出(3), 也就是说,如果(1) 和(2)是正确的, 我们就可以断定(3)是正确的. 在这个推理过程中我们并不需要知道“王平”, “学生”, “人” 的含义如何, 把它们换成任何其它的名词, 这一推理都成立. 使(3) 成为(1) 和(2) 的逻辑推论是依据这样的事实: 如果(1)和(2)为真, 则(3)为真. 换句话说, 我们从命题的形式上就可以判断某一推理是否在逻辑上成立, 而无需考虑它的实际含义. 所以我们在研究逻辑的时候往往只需要进行形式的考察就行了, 不必考虑其含义.当我们对某一类研究对象指定了一个公理系统时, 这个公理系统所表示的含义就确定了. 但是在很多情况下, 我们会发现这个公理系统也适合于其它的一些对象. 于是当代数学建立了许多公理系统框架(如各种代数结构). 在这种公理系统框架中, 真正重要的并不是各种公理系统所表达的特定含义的不同, 而是它们的系统构造方面的区别. 这就告诉我们, 在对公理系统进行研究时, 仅对公理系统的形式进行考察是有实际意义的, 在某些情况下这种形式上的考察可以使我们的研究更具有一般性.基于如上认识以及其它的一些考虑(如从计算机科学的角度进行研究等), 我们将对公理系统的语法部分和语义部分进行分别研究. 公理系统的语义部分研究公理系统的含义, 它属于"模型论" 的研究范围, 我们将在今后作一些初步的介绍. 现在,我们对公理系统的语法部分进行粗略的描述.公理系统的语法部分称为形式系统. 它由语言, 公理和推理规则这样三个部分组成.任何推理必须在一定的语言环境中进行, 所以形式系统首先需要有它的语言. 自然语言(如英语, 中文等)具有很丰富的表达能力, 但通常会产生二义性. 例如"是" 在自然语言中可以表示“恒等” (如: 我们的英语老师是张卫国.), “属于” (如: 王小平是学生.), “包含” (如: 学生是人.) 等不同的含义. 同时, 我们还希望公理系统的语言结构能尽可能地反映它的语义并能有效地进行推理. 因而, 我们通常在形式系统中使用人工设计的形式语言.1设A 是一个任给的集合. 我们把A 称为字母表, 把A 中的元素称为符号. 我们把有穷的符号序列称为A的表达式. 一个以A 为其字母表的语言是A 的表达式集合的一个子集, 我们把这个子集中的元素称为公式. 因为我们希望这个语言能够表达我们所研究的对象, 我们要求公式能反映某些事实. 虽然理论上以A 为其字母表的语言可以是A 的表达式集合的任何子集, 我们将只讨论那些能将公式和其它表达式有效地区分开的语言. 我们将用L(F)表示公理系统F 的语言.形式系统的第二个部分是它的公理. 我们对公理的唯一要求是它们必须是该公理系统语言中的公式.最后, 为了进行推理我们需要推理规则. 每个推理规则确保某个公式(结论) 可由其它一些公式(前提) 推导出来.给定公理系统F, 我们可以把F 中的定理定义如下:1). F 的公理是F 的定理;2). 如果F 的某一推理规则的前提都是定理, 则该推理规则的结论也是定理;3). 只有1)和2)所述的是定理.这种定义方式和自然数的定义方式相类似, 称为广义递归定义. 它和通常的定义方式在形式上有所区别. 为了说明它的合理性, 我们对F的定理进行进一步的描述. 设S0 是F 的公理集. 根据1), S0 中的元素是定理. 设S1 是公式集, 它的元素都是F 的某一推理规则的结论, 而该推理规则的前提都是S0 中的元素. 根据2), S1 中元素是定理. 设S2 是公式集,它的元素都是F 的某一推理规则的结论, 而该推理规则的前提都是S0 或S1 中的元素. 根据2), S2 中元素是定理. 如此下去, 我们得到S2 ,S3 ,.... 最后, 设S N 是公式集, 它的元素都是F 的某一推理规则的结论, 而该推理规则的前提都是S0 或S1 ,...S N中的元素. 根据2), S N 中元素是定理并且我们得到了F中的所有定理. 我们将经常使用这种定义方式. 为了书写方便, 在今后的广义递归定义中我们将不再把类似3)的条款列出.如此定义的F 中定理为我们提供了一种证明方法. 当要证明F 中的定理都具有某一性质P 时, 我们可以采用下述步骤:1). 证明F 的公理都具有性质P;2). 证明如果F 的每个推理规则的所有前提具有性质P, 则它的结论具有性质P.这种证明方法称为施归纳于F的定理. 一般说来, 如果集合C 是由广义递归定义的, 我们可用类似的方法证明C中的元素都具有性质P. 这种证明方法称为施归纳于C中的元素. 2)中的前提称为归纳假设.现在我们就可以定义什么是证明了. 所谓F 中的一个证明是一个有穷的F 的公式序列, 该序列中的每一个公式要么是公理, 要么F 的某个推理规则以该序列中前面的公式所为前提而推导出的结论. 如果A 是证明P 的最后的公式, 则称P 是A 的证明.定理公式A 是F 的定理当且仅当A 在F 中有证明.证明首先根据定理的定义可以看出任何证明中的任何公式都是定理, 所以如果A 有证明, 则A 是定理. 我们施归纳于F 的定理来证明其逆亦真. 如果A 是公理, 则A 本身就是A 的证明. 如果A 是由F 的某一推理规则以B1 ,...,B n 为前提推导而得的结论, 由归纳假设, B1 ,...,B n 都有证明. 我们把这些证明按顺序列出来即可得到A 的一个证明. 证完今后, 我们将用 F .... 表示"....是F 的定理".一阶理论2今后, 我们将主要讨论一类特殊的公理系统. 这类公理系统称为一阶理论. 一阶理论是一种逻辑推理系统, 它具有很强的表达能力和推理能力, 并且在数学, 计算机科学及许多其它的科学领域中有广泛的应用. 事实上, 目前使用的大多数计算机语言和数学理论都是一阶理论.如前所述, 一阶理论的第一个部分是它的语言. 我们把一阶理论的语言称为一阶语言. 如同其它的形式语言一样, 一阶语言应包括一个符号表和一些能使我们把公式和其它表达式区分开的语法规则.首先, 我们定义一阶语言的符号表, 它由三类功能不同的符号组成. 它们是:a) 变元x,y,z,...;b) n元函数符号f,g,..., 及n元谓词符号p,q,...;c) 联结词符号和量词符号⌝,∨和∃.为了今后的方便, 我们假定一阶语言的变元是按一定顺序排列的, 并且我们把这种排列顺序称为字母顺序. 我们称0 元函数符号是常元符号. 注意: 一个任给的一阶理论并没有要求必须有函数符号: 一个一阶理论可能没有函数符号, 可能有有穷多个函数符号, 也可能有无穷多的函数符号. 我们要求任何一阶理论必须包括一个二元谓词符号, 并用"=" 来表示它. 和函数符号一样, 一个给定的一阶语言可能有有穷或无穷多个(甚至没有) 其它的谓词符号. 函数符号和除=外的谓词符号称为非逻辑符号, 而其它的符号称为逻辑符号.在定义公式之前, 我们必须先定义"项":(1.1) 定义在一阶语言中, 项是由下述广义递归方式定义的:a) 变元是项;b) 如果u1 ,...,u n 是项, f是n元函数符号, 则fu1 ...u n 是项.然后, 我们定义公式如下:(1.2) 定义在一阶语言中, 公式是由下述广义递归方式定义的:a) 如果u1 ,...,u n 是项, p是n元谓词符号, 则pu1 ...u n 是(原子) 公式,b) 如果u,v 是公式, x 是变元, 则⌝u, ∨uv 和∃xu是公式.如前所述, 相应于公式的定义, 我们有一种广义归纳的证明方法. 我们将把这种证明方法称为施归纳于长度. 有时我们还用施归纳于高度的证明方法, 而所谓的高度是公式中含有⌝,∨,和∃的数量.如果一个表达式b包括另一个表达式a, 则称第二个表达式a在第一个表达式b中出现, 即如果u,v,w 是表达式, 则v在uvw 中出现. 这里, 我们不仅要求a的符号都包括在b中, 而且要求这些符号的排列顺序和a一样并且中间不插有任何其它的符号. 我们把b包括a的次数称为a在b中出现的次数.接下来, 我们要讨论关于一阶语言的一些性质. 这种讨论不仅可以使我们加深对一阶语言的认识, 同时还能帮助我们理解其它的形式系统. 首先要考虑的是唯一可读性问题, 也就是说, 我们将要证明一阶语言中的任何公式不可能有不同的形式. 这一性质说明一阶语言在结构上是不会产生二义性的. 为了简化书写, 我们把公式和项统称为合式表达式. 于是, 根据定义可以知道所有的合式表达式都具有uv1 ...v n 的形式, 其中u 是n 元(函数或谓词) 符号, v1 ,...,v n 是合式表达式.我们说两个表达式u和v是可比较的, 如果存在一个表达式w (w 可以是空表达式) 使u=vw. 显然, 如果uv和u'v'是可比较的, 则u 和u'是可比较的; 如果uv和uv' 是可比较的, 则v 和v'是可比较的.3(1.3) 引理如果u1 ,...,u n ,u'1 ,...,u'n 是合式表达式(u1 和u'1 都不是空表达式), 而且u1 ...u n 和u'1 ...u'n 是可比较的,则对于一切i=1,...,n, u i =u'i .证明施归纳于u1 ...u n 的长度k.如果k=1, 则u1 ...u n 只有一个符号. 所以, n=1. 于是u1 ...u n =u1 且u'1 ...u'n =u'1 . 由于u1 和u'1 都是合式表达式, 它们只可能是变元或常元符号. 由于它们是可比较的, 所以u1 =u'1 .假定当k〈m时引理成立, 并设k=m.由于u1 是合式表达式, 我们可以把它写成vv1 ...v s , 其中v 是s 元符号, v1 ,...,v s 是合式表达式. 由上, u'1 和u1 是可比较的, v 也是u'1 的第一个符号. 于是, 由于u'1 是合式表达式, 它具有vv'1 ...v's 的形式. 由上所述的性质, v1 ...v s 和v'1 ...v's 是可比较的. 由于|v1 ...v s |<|u1 |≤|u1 ...u n |, 根据归纳假设, 对于一切j=1,...,s, v j =v'j , 所以, u1 =u'1 . 由此而得, u2 ...u n 和u'2 ...u'n 是可比较的, 且|u2 ...u n |<|u1 ...u n |, 所以, 由归纳假设, 对于一切i=2,...,n, u i =u'i .于是, 引理得证#(1.4) 唯一可读性定理每一个合式表达只能以唯一的方式写成uv1 ...v n 的形式, 其中, u 是n 元符号, v1 ,...,v n 是合式表达式.证明设w,w'是同一个合式表达式书写形式, 我们必须证明它们的结构是相同的. 首先, 它们必须都有相同的第一个符号,这样, u和n就唯一确定了, 从而, w=uv1...v n 且w'=uv'1...v'n, 其中v i ,v'j 是合式表达式(i,j=1,...,n). 我们还需证明对一切i=1,...,n, v i=v'i. 因为w 和w'是同一个表达式, 因而是可比较的. 于是, 根据引理(1.3), 对于一切i=1,...,n, v i=v'i #下面的定理说明如果一个合式表达式不可能由两个(或更多) 合式表达式的某些部分组成.(1.5) 引理合式表达式u中的任何符号w都是u中某一合式表达式的第一个符号.证明施归纳于u的长度k. 如果k=1, 则u是变元或常元符号. 于是任何在u中出现的符号就是u本身, 从而引理成立.假定当k<m时引理成立, 并设k=m.设u 是vv1 ...v n , 其中v是n元符号, v1 ,...,v n 是合式表达式. 如果w是v, 则它是u的第一个符号. 否则, 存在i=1,...,n, 使w 在v i 中出现. 由于|v i |<|u|, 根据归纳假设, w 是v i 中的某一合式表达式的第一个符号, 当然也是u中的某一合式表达式的第一个符号. 证完. #(1.6) 出现定理设u是n元符号, v1 ,...,v n 是合式表达式. 如果一个合式表达式v在uv1 ...v n 出现, 而且v不是整个uv1 ...v n , 则v在某一v i 出现.证明如果v的第一个符号就是定理中的u, 则v=uv'1 ...v'n , 其中v'1 ,...,v'n 是合式表达式, 且由定理条件, u和v是可比较的. 于是根据引理(1.3), 对于一切i=1,...,n, v i =v'i , 即v=uv1 ...v n . 矛盾.现假定v的第一个符号在某一v i 中出现. 根据引理(1.5), 该符号是某一合式表达式v'的第一个符号. 显然, v和v'是可比较的, 因而由引理(1.3), v=v', 即v在v i 中出现.4#为了方便起见, 我们今后将用大写字母A,B,...表示公式, 用f,g,...表示函数符号, 用p,q,...表示谓词符号, 用x,y,...表示变元, 用a,b,...表示常元符号.现在我们定义两类性质不同的变元, 即自由变元和约束变元.(1.7) 定义a) 如果x 在原子公式中出现, 则x是自由变元;b) 如果x是A 和B 中的自由变元, 且y 不是x, 则x 是⌝A, ∨AB和∃yA中的自由变元.a') x 是∃xA中的约束变元;b') 如果x是A 或B 中的约束变元, 则x 是⌝A, ∨AB和∃yA中的约束变元.注意: x可以在A 中既是自由变元又是约束变元.我们将用u[x/a]表示在表达式u 中将所有的自由变元x换成项a而得的表达式. 设A 是公式, 在很多情况下, A[x/a]关于a 所表示的含义与A 关于x所表示的含义是一样的, 但并非总是如此. 例如, 若A 是∃y=x2y, 而a 是y+1, 则A 是说x 是偶数, 但A[x/a]却不是说y+1是偶数. 这表明并非所有的代入都会保持原有的含义. 于是我们有下述定义:(1.8) 定义 a 被称为是在A 中可代入x的, 如果i) 如果A是原子公式，则a 是在A中可代入x 的；ii) 如果a 在B中可代入x 且对于a 中的任何变元y, ∃yB不含有自由变元x，则a 是在∃yB中可代入x 的；iii) 如果a 在A, B中可代入x, 则a 在⌝A和A∨B中是可代入x 的.今后, 当使用A[x/a] 时, 我们总是假定a是在A 中可代入x的. 类似地, 我们将用u[x1/ a1 ,...,x n/ a n ]表示在表达式u 中将所有的自由变元x1 ,...,x n 分别换成项a1 ,...,a n 而得的表达式, 同时还假定它们都是可代入的.在我们的一阶语言定义中项和公式的写法对于证明和理论分析比较方便, 但和通常的阅读方式不一致. 为了克服这一弱点, 我们引进一些定义符号:(A∨B) 定义为∨AB; (A→B) 定义为(⌝A∨B); (A&B) 定义为⌝(A→⌝B);(A↔B) 定义为((A→B)&(B→A)); ∀xA 定义为⌝∃x⌝A.注意: 定义符号只是为了方便而引进的记号, 它们不是语言中的符号. 当我们计算公式的长度时, 必须把它们换成原来的符号. 同样, 当用施归纳于长度或高度进行证明时也不能把它们作为符号来处理. 今后, 我们将在展示公式时用定义符号, 而在证明时用定义(1.1) 和(1.2).我们称:⌝A 为 A 的否定; A∨B 为 A 和B 的析取(A 或者B); A&B 为 A 和B 的合取(A并且B);A→B 为 A 蕴含B; A↔B 为A等价于B; ∃xA 为关于x的存在量词(存在x 使得A);∀xA 为关于x的全称量词(对一切x 使得A).作业:1) 施归纳于长度证明如果u是公式(项), x 是变元, a是项, 则u[x/a]是公式(项).2) 证明如果uv和vv'是合式表达式, 则v和v'中必有一个是空表达式.一阶理论的逻辑公理和规则形式系统的公理和规则可以分为两类: 逻辑公理和逻辑规则, 非逻辑公理和非逻辑规则. 逻辑公理和逻辑规则指的是那些所有形式系统都有的公理, 而非逻辑公理和非逻辑规则仅在5某些特定的形式系统中才有. 但是, 当形式系统足够丰富时,我们并不需要非逻辑规则. 假定在一个形式系统F 中有一条非逻辑规则使我们可以由B1 ,...,B n 推导出A, 只要F 有足够多的逻辑规则, 我们只需要在F 中加进一条公理B1 →...→B n →A (这里, B1 →...→B n →A表示B1 →(...→(B n →A)...).)就不再需要那条非逻辑规则了. 因此, 我们今后假定我们的形式系统中没有非逻辑规则. 今后我们将把逻辑规则简称为规则. 由于我们仅对形式系统进行一般讨论, 我们的兴趣主要是那些逻辑公理和规则.下面是逻辑公理:1) 命题公理: ⌝A∨A;2) 代入公理: A[x/a]→∃xA;3) 恒等公理: x=x;4) 等式公理: x1 =y1 →...→x n =y n →fx1 ...x n =fy1 ...y n ;或x1 =y1 →...→x n =y n →px1 ...x n →py1 ...y n .注意: 以上并不是仅有四条公理, 而是四类公理. 如命题公理并非一条公理, 而是对于任何公式A 我们有一条命题公理. 所以, 以上的公理实际上是公理模式.以下是规则:1) 扩展规则: 如果A, 则B∨A;2) 收缩规则: 如果A∨A, 则A;3) 结合规则: 如果A∨(B∨C), 则(A∨B)∨C;4) 切割规则: 如果A∨B且⌝A∨C, 则B∨C;5) ∃-引入规则: 如果A→B且x 不是B 中的自由变元, 则∃xA→B.如同上面的公理, 这些规则也不是五条规则, 而是五个规则模式.现在, 我们定义一阶理论如下:(1.9) 定义一个一阶理论T (简称理论T)是具有如下特征的形式系统:1) T 的语言L(T)是一阶语言;2) T 的公理是以上列出的四组公理和一些其它的非逻辑公理;3) T 的规则是以上列出的五组规则.由于一阶理论的逻辑符号, 逻辑公理和规则已经确定, 一阶理论之间的区别在于它们的非逻辑符号和非逻辑公理. 因此, 当我们希望讨论某一具体的一阶理论时只需要把它的非逻辑符号和非逻辑公理指明就行了.例.1) 数论NN 的非逻辑符号为: 常元0, 一元函数符号S, 二元函数符号+和*, 和二元谓词符号<. N 的非逻辑公理为:N1 Sx≠0; N2 Sx=Sy→x=y; N3 x+0=x; N4 x+Sy=S(x+y); N5 x*0=0;N6 x*Sy=(x*y)+x; N7 ⌝(x<0); N8 x<Sy↔x<y∨x=y; N9 x<y∨x=y∨y<x.2) 群GG 只有一个非逻辑符号, 即二元函数符号*. G 的非逻辑公理为:G1 (x*y)*z=x*(y*z); G2 ∃x(∀y(x*y=y)&∀y∃z(z*y=x)).根据我们在第一节所述, 一阶理论T 的定理可以定义为:1) 每一条命题公理, 代入公理, 恒等公理, 等式公理和非逻辑公理是定理;2) 如果A 是定理, 则A∨B是定理;3) 如果A∨A是定理, 则A 是定理;64) 如果A∨(B∨C) 是定理, 则(A∨B)∨C 是定理;5) 如果A∨B和⌝A∨C是定理, 则B∨C是定理;6) 如果A→B是定理且x 不是B 中的自由变元, 则∃xA→B是定理.与此对应, 我们可以用如下广义归纳法证明一阶理论T 中的定理都具有某一性质P:1) 每一条命题公理, 代入公理, 恒等公理, 等式公理和非逻辑公理具有性质P;2) 如果A 具有性质P, 则A∨B具有性质P;3) 如果A∨A具有性质P, 则A 具有性质P;4) 如果A∨(B∨C) 具有性质P, 则(A∨B)∨C 具有性质P;5) 如果A∨B和⌝A∨C具有性质P, 则B∨C具有性质P;6) 如果A→B具有性质P且x 不是B 中的自由变元, 则∃xA→B具有性质P.下面我们证明一阶理论的逻辑公理是相互独立的.(1.10) 定理一阶理论的逻辑公理和规则是互相独立的.证明当我们希望证明某一命题A 是独立于某个命题集Γ和规则集Δ时, 我们需要找到一个性质P 使A 不具有性质P, 而Γ中的每一命题具有性质P 且Δ中的每一规则保持性质P (即如果该规则的前提具有性质P, 则其结论具有性质P); 当我们希望证明某一规则R 是独立于Γ和Δ时, 我们需要找到一个性质P 使R 不保持性质P, 而Γ中的每一命题具有性质P 且Δ中的每一规则保持性质P. 这样就可以断言: 在由Γ为其公理集, Δ为其规则集的形式系统中, 每一定理都具有性质P. 由于A不具有性质P (或R 不保持性质P), 所以, A (或R)是不可能由Γ和Δ来证明的. 这样, A(或R)就独立于Γ和Δ了. 我们将根据这个思想来证明本定理.1) 对于命题公理. 定义f 如下:f(A)=T 若 A 是原子公式; f(⌝A)=F; f(A∨B)=f(B); f(∃xA)=T.可以证明: f(⌝⌝(x=x)∨⌝(x=x))=F, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=T.2) 对于代入公理. 定义f 如下:f(A)=1 若A 是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, f(⌝A)=0 若f(A)=1;f(A∨B)=max{f(A),f(B)}; f(∃xA)=0.可以证明: f((x=x)→∃x(x=x))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.3) 对于恒等公理. 定义f 如下:f(A)=0 若A是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, f(⌝A)=0 若f(A)=1; f(A∨B)=max{f(A)},f(B); f(∃xA)=f(A).可以证明: f((x=x))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.4) 对于等式公理. 首先在L(T)中加进常元e1 ,e2 和e3 而得L'. 然后定义f 如下:f(e i =e j )=1 iff i≤j; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, f(⌝A)=0 若f(A)=1; f(A∨B)=max{f(A),f(B)}; f(∃xA)=T iff 存在i 使f(A[x/e i ])=T .可以证明: f((x=y→x=z→x=x→y=z))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A[x/e i ])=1, 其中, x是A 中的自由变元.5) 对于扩展规则. 定义f 如下:f(A)=1 若 A 是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, 否则, f(A)=0; f(A∨B)=1 如果f(A)=f(⌝B), 否则f(A∨B)=0; f(∃xA)=f(A).可以证明: f((x=x∨(⌝(x=x)∨x=x)))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.6) 对于收缩规则. 定义f 如下:7f(A)=T 若 A 是原子公式; f(⌝A)=f(∃xA)=F; f(A∨B)=T.可以证明: f(⌝⌝(x=x))=F, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=T.7) 对于结合规则. 定义f 如下:f(A)=0 若 A 是原子公式; f(⌝A)=1-f(A); f(A∨B)=f(A)*f(B)*(1-f(A)-f(B)); f(∃xA)=f(A).可以证明: f(⌝(⌝(x=x)∨⌝(x=x)))>0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=0.8) 对于切割规则. 定义f 如下:f(A)=1 若 A 是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0或A是原子公式, 否则f(⌝A)=0; f(A∨B)=max{f(A),f(B)}; f(∃xA)=f(A).可以证明: f(⌝⌝(x=x)))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.9) 对于E-引入规则. 定义f 如下:f(A)=1 若A是原子公式; f(⌝A)=1 如果f(A)=0, f(⌝A)=0 若f(A)=1; f(A∨B)=max{f(A),f(B)}; f(∃xA)=T.可以证明: f(∃y⌝(x=x)→⌝(x=x))=0, 而且对于任何可由其它的逻辑公理和规则证明的命题A, f(A)=1.结构和模型现在我们讨论一阶理论的语义部分. 为此我们先引进一些集论的记号: 集合或类是把一些我们想要研究的对象汇集在一起, 从而我们可以把它看作是一个整体. 如果A 和B 是集合, 一个由A 到B 的映射 F (记作F: A→B)是一个A 和B 之间的对应, 在这个对应中A 中的每一个元素a 都对应着一个唯一的B中元素 b (称为F在a 上的值, 记作F(b) ). 我们把n个A 中元素按一定顺序排列而得的序列称为A 的一个n 元组, 并用(a1,...,a n )表示由A 中元素a1,...,a n 按此顺序排列的n 元组. 把由A 的所有n 元组成的集合记为A n, 然后把由A n 到B的映射称为由A 到B 的n元函数. 我们把A n 的子集称为A 上的n 元谓词. 如果P是A 上的n 元谓词, 则P(a1 ,...,a n )表示(a1 ,...,a n )∈P.真值函数根据我们对公式和项的定义, 我们可以先用函数符号和谓词符号以及变元构造一些简单的公式, 然后用联结词得到比较复杂的公式, 如"A 并且B" 等等. 我们用符号"&" 表示"并且", 即若A 和B 是公式, "A&B" 表示"A 和B同时成立".于是一个很自然的问题是怎样知道A&B 的真假? 这里, A&B 的一个很重要的特征是: 只需要知道A 和B 的真假就能确定A&B 的真假, 而不必知道A 和B 的具体含义. 为了表示这一特征, 我们引进真值. 真值是两个不同的字母T 和F, 而且当公式A 为真时, 我们用T 表示其真值; 当公式A 为假时, 我们用F 表示其真值. 于是, A&B 的真值就由A 和B 的真值确定了.有了真值的概念, 我们就可以定义真值函数了. 所谓的真值函数是由真值集T,F 到真值集T,F 的函数. 由此, 我们可以把以上的讨论叙述为: 存在二元真值函数H& 使得: 若a 和b 分别是A 和B 的真值, 则H& (a,b) 是A&B 的真值. 我们定义H& 为:H& (T,T)=T, H& (T,F)=H& (F,T)=H& (F,F)=F.我们用"∨" 表示"或者", 并定义H∨如下:8H∨(F,F)=F, H∨(T,F)=H∨(F,T)=H∨(T,T)=T.于是当a 和b 分别是A 和B 的真值时, H∨(a,b)就是A∨B的真值.我们用"→" 表示"如果...则...", 并定义H→如下:H→(T,F)=F, H→(F,F)=H→(F,T)=H→(T,T)=T.于是当a 和b 分别是A 和B 的真值时, H→(a,b)就是A→B的真值.我们用"↔" 表示"当且仅当", 并定义H↔如下:H↔(F,T)=H↔(T,F)=F, H↔(F,F)=H↔(T,T)=T.于是当a 和b 分别是A 和B 的真值时, H↔(a,b)就是A↔B的真值.我们用"⌝" 表示"非", 并定义H⌝如下:H⌝(F)=T, H⌝(T)=F.于是当a 是A 的真值时, H⌝(a)就是⌝A的真值.容易证明, &,→, 和↔可由⌝和∨定义. 事实上所有的真值函数都可以由⌝和∨定义.作业1. 证明: 任何真值函数f(a1 ,...,a n )都可以由H⌝和H∨定义.2. 设H d , H s 是真值函数, 其定义为:H d (a,b)=T 当且仅当a=b=F; H s (a,b)=F 当且仅当a=b=T.证明: 任何真值函数f(a1 ,...,a n )都可以由H d (或H s )定义.结构现在我们讨论一阶语言的语义部分(称为它的结构). 所谓一个语言的语义, 当然是表示该语言中所指称的对象范围和每一个词和句子所表达的含义. 一阶语言的语义也是如此. 如前定义, 一阶语言中的符号有函数符号和谓词符号, 这些都应在它的语义中有具体的含义. 把这些组合起来, 我们就可以得到如下定义:(1.11) 定义称三元组M=〈|M|,F,P〉是一个结构，如果:1) |M|是一个非空集合，它称为是L 的论域, |M| 中的元素称为是M 的个体;2) F是|M|上的函数集合;3) P是|M|上的谓词集合.定义设L是一阶语言，M是一个结构。
数理逻辑总结数理逻辑总结一、概念数理逻辑（mathematical logic）是一门根据数学的思维模式和方法在表述语言和推理思维上进行分析和作用的逻辑学课程。
它是一门用来研究和分析与计算机科学有关的严谨思维和验证的逻辑学科。
数理逻辑从宏观意义上讲，是指用符号抽象的方法来描述，定义，表示和理解各种基础数学系统的知识，以及这些系统中定理的证明等。
二、历史数理逻辑（mathematical logic）由古典逻辑演化而来，它最早由古希腊的哲学家亚里士多德（Aristotle）创立，但是由于他的古典逻辑只涉及到了辩论中的质问和概括推理，并未涉及到像数学中的严谨性，所以不能科学地处理逻辑问题。
直到二十世纪中期，数理逻辑才发展到其现在的状态。
首先，德国数学家彼得拉多斯（Petr Lusitr）提出了系统性的作为符号逻辑学的主要著作被称为《符号逻辑学》。
随后，德国数学家卡尔·贝尔（Carl Brel）提出了一种新的逻辑秩序，用以把命题逻辑系统中的各个命题放置于命题结构之中，称为贝尔结构，他也提出了用来支持贝尔结构的证明系统。
在二十世纪五十年代，英国数学家霍华德·劳夫（Howard Lawford）引入了前言逻辑系统，并从多种角度改进了古典逻辑，使其变成一种非常完善的数学系统。
三、特点数理逻辑有它独特的特点，其一是抽象性。
数理逻辑采用抽象方法，把问题表达为一系列标准的符号，然后用逻辑证明的方法求解。
抽象的好处是可以把问题简化，可以有效地发现和解决复杂的问题。
其次，数理逻辑有其严谨性。
数理逻辑用符号语言来描述和表达问题，采用公理-定理的方法证明结果，使得结果更加准确可靠。
最后，它有其实用性。
数理逻辑可以被看作是一种被证明准确可靠的结构性思维规范，它可以用于描述，定义，表示，理解多种数学系统，以及证明系统中的定理，实际上也被广泛应用于计算机科学领域，极大地推动了计算机技术的发展。
四、应用数理逻辑在计算机科学中有着重要的应用。
数学中的数理逻辑与计算机科学数理逻辑是从哲学逻辑中发展而来的一门学科，是数学的一种分支。
在数学中，逻辑常被用来定义和证明定理、创造和检验算法等。
而计算机科学则是应用数学和逻辑推理来解决计算问题的学科。
在本篇文章中，我们将讨论数学中的数理逻辑与计算机科学之间的密切关系。
一、数理逻辑与计算机科学的交叉关系计算机科学中重要的等价关系与命题逻辑对于计算机科学来说，数理逻辑有许多可供借鉴的研究方法和结果。
比如在计算机科学中，很常见的一个概念是等价关系，即两个对象之间满足特定条件的关系。
等价关系是计算机科学中很常见的一种关系，用于判断两个对象是否相等。
数理逻辑中，等价关系也被广泛研究。
在数学中，用等价关系来表示一个集合中元素之间的关系，如整数之间的相等、不等等。
另外，命题逻辑是数理逻辑的一个重要分支，它用于研究命题和推论的有关规则。
命题逻辑与计算机科学中的逻辑推理相似，因此它也可用于计算机科学中的算法设计、分析和验证等。
二、数学中的证明方法与计算机科学算法设计的相似之处公理化方法的应用公理化方法是数学中证明定理的一种方法。
公理是一组被认为是真理的前提条件，而公理化方法则是从这些前提条件去推导其他结论。
在计算机科学中，我们总是从一个初始状态开始，通过一系列操作，使其变为最终状态。
根据公理化方法，计算机科学中的问题求解也是从一个初始状态开始，通过一系列步骤的处理，得到最终的结果。
使用归纳法归纳法是数学中证明论断的一种方法，它通过观察一个数学对象的性质，并假设某些结论是正确的，从而证明另一些结论也是正确的。
在计算机科学中，通过归纳法也可以在假设一些条件成立的情况下，从一个初始状态推导出一个最终状态。
基于这种思路，计算机科学中已经发展出了许多著名的算法，如快速排序、动态规划等。
三、数理逻辑的理论和计算机科学的实践之间的联系模型论的应用模型论是数理逻辑的一个分支，它研究命题推论和符号逻辑。
在计算机科学中，模型论用于描述数据结构和算法，以便更好地分析它们的性能。
中山大学信息科学与技术学院计算机科学系《数理逻辑》课程教学大纲课程名称：数理逻辑类别：专业必修课授课对象：本科生总学时：54学时适用专业：计算机科学与技术/信息安全开课学期：第二学期编写人员：周晓聪、蔡国扬审核人员：苏开乐编写日期：2006年2月一、教学目的计算机科学与技术以及信息安全专业的本科学生应具有较强的逻辑推理和问题求解能力，并应有较好的数学素养，特别地，计算机科学与技术专业的本科学生还应对形式系统有初步的了解。
《数理逻辑》课程主要讲授有关命题逻辑和一阶谓词逻辑的内容，学生通过学习本课程应该达到以下目标：1. 应熟练掌握有关命题逻辑和一阶谓词逻辑的基本知识，包括：命题逻辑公式联结词的含义；命题逻辑公式的真值、等值演算、范式及自然推理系统；谓词与量词的含义；一阶公式的真值、等值演算、前束范式及自然推理系统。
2. 应理解数学证明的形式定义，并能掌握和运用一些数学证明技巧，包括综合法、分析法、反证法、数学归纳法，进一步应基本理解归纳定义与归纳证明原理。
3. 应了解公理化方法的基本思想，基本理解命题演算形式系统的定义与构造，并能进行一些形式推理证明，进一步应初步了解形式系统的元理论，包括形式系统的和谐性、可靠性、完备性与可判定性。
总之，本课程的教学应使得学生熟练掌握有关命题逻辑和一阶谓词逻辑的基本知识，理解并能初步运用形式化的逻辑推理和数学证明，初步了解公理化方法和形式化方法，并训练学生的数学思维方式，提高其数学解题能力。
二、教材选择1、教学内容概述根据上述教学目的，本课程的教学内容至少应该包括三部分：命题逻辑、命题演算与一阶谓词逻辑。
命题逻辑和一阶谓词逻辑是本课程的基本内容，分别讲授命题逻辑公式和一阶逻辑公式的基本概念、等值演算以及半形式化的推理理论。
命题演算是本课程的深化内容，在学生理解半形式化推理理论的基础上，介绍命题逻辑的形式化演算系统，使学生对公理化方法和形式化方法有初步的了解。
鉴于谓词逻辑的形式演算系统比较复杂，低年级本科生不容易掌握，因此本课程不讲授有关谓词演算部分的内容。
数理逻辑初步秦庆尧（临沂沂水县教育局教研室）一.引言：逻辑学是研究人类正确思维的规律和形式的科学. “逻辑”一词是拉丁文logic的音译，logic一词导源于希腊文logos，有“思维”及“表达思考的言词”之意. 逻辑学分类：1.形式逻辑：形式逻辑是由古希腊大哲学家亚里士多德（Aristotle,公元前384—322年）创立的. 主要是对思维的形式和规律进行研究的类似于语法的一门工具性学科，思维的形式包括概念，判断和推理之间的结构和联系，其中概念是思维的基本单位，通过概念对事物是否具有某种属性或关系进行肯定或否定的回答，这就是判断；由一个或几个判断推出另一个判断的思维形式叫做推理. 形式逻辑的主要内容还包括关于正确思维的三个基本规律和演绎推理的基本形式：三段论. 这三个定律是：（1）同一律：A就是A，而不是非A. 在思维和推理的过程中，一个概念必须保证它的外延的确定性和内涵的同一性，用同一个概念去表达两个不同的对象，或用两个不同的概念去表达同一个对象，都是违犯同一律的，违反同一律的逻辑错误叫做偷换概念. 古希腊诡辩学派就是通过这样的办法与人辩论的.（2）矛盾律：A不能既是B，又是非B. 第二个说法是：命题p不能既真又假. 第三个说法是：命题p与非p不能同真（但可以同假）. 这里的非p与下文的“非p”意义不同，例如，命题p：质数是奇数；非p：质数是偶数. 这两个命题就违反了矛盾律，他们不可能都是真命题，事实上，他们都是假命题.（3）排中律：A或者是B，或者是非B，二者必居其一. 第二个说法是：命题p 非真即假.，二者必居其一.在十七世纪末，德国哲学家、数学家莱布尼兹又增入了一条：（4）充足理由律：所以有A，是因为有B.三段论是演绎推理的形式，由大前提、小前提和结论组成.亚里士多德在形式逻辑的基础上又提出了用演绎推理来建立各门学科体系的思想. 欧几里德在此基础上创立了公理化方法：尽可能少的选取原始概念和一组不加证明的原始命题即公理，以此为出发点，应用演绎推理，推出各门学科的全部内容. 他的《几何原本》、阿波罗尼斯的《圆锥曲线》、牛顿的《自然哲学的数学原理》、拉普拉斯的《天体力学》、拉格朗日的《分析力学》、拉瓦锡的《化学纲要》等科学名著都是按照公理化方法写成的，所以说，没有形式逻辑，就没有现代数学和现代自然科学.2.辩证逻辑：辩证逻辑是由19世纪德国哲学家黑格尔创立的. 主要是三个定律：量变与质变规律；对立统一规律；否定之否定规律. 辩证逻辑也叫辩证法，马克思与恩格斯运用黑格尔的辩证法和费尔巴哈的唯物主义创立了辩证唯物主义，影响是巨大的.3.数理逻辑：也叫符号逻辑，它既是一个数学的分支，也是一个逻辑的分支. 它是用数学的方法研究形式逻辑的学科，所谓数学方法，是指使用符号、公式、公理化方法和一般的数学知识. 主要内容是命题逻辑和谓词逻辑. 现在，数理逻辑又有了四个主要分支：证明论，公理集合论，递归论和模型论. 中学数学中的逻辑内容主要是命题逻辑和谓词逻辑的一点初步知识. 符号逻辑的创立者主要有：莱布尼兹，布尔，摩尔根，皮尔斯，弗雷格，罗素，皮亚诺，哥德尔等人，这些人主要是数学家或哲学家. 学习数理逻辑的意义：它是数学的基础和学习数学的工具；对培养学生的逻辑思维能力有重要意义；数理逻辑是计算机理论的基础，它是计算机专业和人工智能专业的基础课.二. 命题、开句与量词：1.命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述语句叫命题.在形式逻辑中，我们把反映事物具有或不具有某种属性或关系的思维形式叫判断，表达判断的陈述语句叫命题.判断一个句子是否为命题，应该分两步：首先判定它是否为陈述语句，其次看看它能不能判定真假.下列语句不是命题：（1）感叹句. 例如，祝你健康！（2）疑问句. 例如，难道平行四边形的对角线不是互相平分吗？（3）祈使句. 例如，你快离开这里！注意：下列陈述句不是命题：纽约离我们沂水很遥远.；方程2x2＋3x＋1=0可能有实根. 这种语句在模糊逻辑中才是命题. 模糊逻辑是1965年由美国的数学家扎德（Lolri Zadeh 1921年—）创立的，到现在还很不成熟.“教师是人类灵魂的工程师”，这个语句不是命题，这只是一个比喻，无所谓真假. “人为万物之灵”也不是命题，这只是一个形容，也是无所谓真假的. “张三是东西”也不是命题，因为“东西”的含义不明确，无法对其做出判断. “火星上曾经有水”，这是一个命题，虽然现在还不知道它的真假，但它的真假是客观存在的，随着科学技术的发展，总有一天会知道它的真假的. “我正在说假话”，这不是一个命题，这是一个悖论，所谓悖论，就是由真推出假，又由假推出真的陈述语句，凡是悖论都不是命题.判断一个语句是不是陈述语句很简单，但是判断一个陈述句的真假有时是很困难的，它与人的思想感情，语言环境，判断标准，认识程度等等有密切联系. “这盘菜太咸”这是一个命题，虽然这个语句的真假似乎不能唯一判定，因为它因人而异，但是我们可以认为这个语句的真假取决于说话人的主观判断，即认为此语句是“我认为这盘菜太咸”的简写. “1＋1=10”这也是一个命题，在二进制中它是一个真命题，在十进制中它是一个假命题，但并不是说它的真值不唯一，既真又假，而是说它的真假与语言环境有关. “水是生命之源”，这是一个命题，判断它的真假，需要生物学的知识. “太阳系有九大行星”，这个命题在2006年8月24日之前是真命题，在2006年8月24日之后就是一个假命题，因为在2006年8月24日晚上9点20分，国际天文学联合会在捷克首都布拉格宣布，太阳系有八颗行星，冥王星不具有行星的资格. 这个命题的真假是受人们对天文学的认识程度决定的.2.开句：含有变量的陈述语句叫做开语句，简称开句. 例如，“x－1=6”，“x>3”，“x是无理数”，都是开句. 开句也叫命题函数，在谓词逻辑中，开句就是谓词.开句不是命题，但却是符号逻辑研究的主要对象，是符号逻辑的基本概念. 另外，在数学的好多地方，都用开句作为基本的数学语言. 例如，在集合的表示方法中，有一个描述法｛x︱p（x）｝，其中，p（x）就是开句. 开句一般用p（x），q（x），r（x），…等符号表示，给变量x赋值，就得到命题，用p（a），p（b），…等表示. 这也是开句叫命题函数的原因. 用开句制造命题的这种方法叫做赋值法.例1 设x∈N，p（x）表示：“x是奇数”. 则p（2）是假命题，p（3）是真命题.例2 设x∈R，p（x）表示：“x>3”. 则p（5）是真命题，p（2）是假命题.使开句p（x）成为命题的所有x的集合叫p（x）的定义域，p（x）的值域是一个命题集. 需要注意的是，这里的定义域同函数的定义域是不同的两个概念，这里的定义域类似于集合中的全集，随问题情景的不同而不同. 例如例1中的p（x），它的定义域可以是整数集，也可以是有理数集，实数集，甚至是复数集.3.量词：在命题逻辑中，命题是命题演算的基本单位，不再对简单命题进行分解，这也是简单命题也叫做原子命题的原因，在谓词逻辑中，为了要研究命题的内部结构及命题之间的内在联系，需要对简单命题作进一步的分解，一个命题一般由个体词（主词）、谓词和量词构成，个体词在命题中是被判断的对象，谓词表示个体词具有的性质或关系，谓词是表示个体词内涵的词句，例如，“2是无理数”，“2”是个体词，“…是无理数”是谓词，可以表示为“x是无理数”，因而也叫一元谓词，一般的用p（x）表示，“5>3”，5，3是个体词，“…>…”是谓词，可以表示为“x>y”，因而也叫二元谓词，一般地用p（x，y）表示，一般地，n 元谓词用p（x1，x2，…，x n）表示，一元谓词是表示个体词性质的语句，二元谓词是表示这两个个体词之间的关系的语句，n元谓词是表示这n个个体词之间的关系的语句.量词：表示个体词数量范围的词叫量词. 个体词的数量范围就是个体词的外延，量词是表示个体词外延的词句，量词有两种：全称量词和存在量词.19世纪末，美国的哲学家、数学家和逻辑学家皮尔斯（Peirce，1839—1914年）和德国的数学家、逻辑学家、耶拿大学数学教授弗雷格（Frege，1848—1925年）分别独立的在数理逻辑中引入量词这个重要的概念. 全称量词用“∀”表示，意思是“任意”、“任意一个”、“所有的”.任意一词的英文是Arbitrarg，将它的第一个字母A倒过来用，表示全称量词；存在量词用“∃”表示，意思是“存在”、“存在一个”、“某些”、“至少有一个”. 存在一词的英文是Existential，将它的第一个字母E反过来用，表示存在量词.开句不是命题，但却是制造命题的主要材料，用开句制造命题，有三个办法，一个就是上述的赋值法，第二个就是量词法，在开句的前面加上量词就构成命题：“∀x，p（x）”，是命题，“∃x，p（x）”，也是命题. 第三个办法是用逻辑联结词→和↔联结两个开句构成命题.例3 ∀x∈R，x>3；∃x∈R，x>3. 都是命题.用全称量词构成的命题叫全称命题，用存在量词构成的命题叫特称命题. 由于全称量词表示个体词的全部外延，往往可以省略不写，例如：“所有质数都是奇数”，可以简写为“质数是奇数”，“∀x∈R，x>5⇒x>3 ”可以简写为“x>5⇒x>3”. 但一般的，全称命题“∀x，p（x）”的量词不能省略，省略后就只剩下开句了. 除全称命题和特称命题外，还有一种命题叫做单称命题，它的个体词的外延不是一类事物，而是单独的个体. 例如，“2是偶数”. 这就是一个单称命题. 特别要注意的是，由于全称命题的量词往往可以省略不写，从而将全称命题误当单称命题. 例如，“实数的绝对值是正数”，它是全称命题“所有的实数的绝对值都是正数”的简写，而不是一个单称命题. “直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方”，也是一个全称命题. 这方面的例子实在是太多了.4.命题的分类：命题分简单命题和复合命题两种. 简单命题和复合命题不是绝对对立的，复合命题经过化简可以成为简单命题，化简的过程就是命题演算的过程. 简单命题又分性质命题和关系命题.性质命题：判断某一对象具有或不具有某种性质的命题. 关系命题：判断两个对象之间具有或不具有某种关系的命题. 常见的关系有：=，<，>，≈，≡，≠，≢，≣，⊥，∥，≌，∽等.复合命题有五种：（1）非命题，记为⌝p，读作“非p”，也叫p的否定式.（2）联言命题，记作p∧q，读作“p且q”，也叫p，q的合取式.（3）选言命题，记作p∨q，读作“p或q”，也叫p，q的析取式.（4）假言命题，记作p→q，读作“若p，则q”，也叫p，q的蕴涵式，称p蕴含q.（5）等值式命题，记作p↔q，读作“p当且仅当q”.理解这五种命题，可以与集合的补集、交集、并集、集合的包含和集合的相等进行类比，他们的定义在形式上是一致的.三. 逻辑联结词及复合命题真值表：1.逻辑联结词：一些命题或开句可用逻辑联结词把它们联结起来构成一个新的命题或开句. 常用的联结词有五种：非（⌝），且（∧），或（∨），若…，则…（→），当且仅当（↔）.非、且、或这三个联结词是最基本的，用它们可以联结命题，也可以联结开句，联结命题得到的语句是命题，连接开句得到的语句仍是开句. 用“若…，则…（→）”，“当且仅当（↔）”可以联结命题，也可以联结开句，无论联结命题还是联结开句，得到的语句都是命题.2.复合命题真值表：由上表可以看到，无论p是怎样的命题，“p∧⌝p”总是假命题，这个规律叫矛盾律，“p∨⌝p”总是真命题，这个规律叫排中律. 这两个规律是非命题特有的，写一个命题的非命题时，必须注意要同时满足矛盾律和排中律.（3）假言命题真值表：当p→q p则q”为真命题时，我们说由p可以推出q，此时，p→q用p⇒q表示，并且称P是q的充分条件，q是p的必要条件.注意：（1）“⇒”不是逻辑联结词符，千万不能将⇒与→混为一谈.（2）在自然语言中，“若p，则q”中的p，q往往有某种内在的联系，但在数理逻辑中，p，q可以没有任何联系，例如，若太阳绕地球转动，则雪是黑的.（3）在一般数学命题中，p→q往往表示p，q都为真的一种推理关系，但在数理逻辑中，p，q 的真值是任意的.这个真值表是弗雷格给出的，这个表的后两行不好理解，可以通过举例的办法理解它.例1 “若木头是金属，则木头可以锻造”. 这个命题的条件和结论都是假的，但这个蕴涵却是真的.例2 我们约定“如果天气好，就去野游”，这是一个假言命题：（天气好）→（去野游）.如果我们约定“天气好就去野游”时，那么若天气不好时，去野游或不去野游都不违反这个约定，所以，（天气不好）→（去野游）和（天气不好）→（不去野游）都是真命题. 又，如果要去野游，无论天气好与不好，也不违反这个约定. 只有当天气好，而不去野游时，才违反了这个约定. 所以，（天气好）→（不去野游）是假命题.例3 判断下列命题的真假：（1）x>5→x>3 ；（2）x>3→x>5.解：（1）这个命题是全称命题：∀x∈R，x>5→x>3. “x>5”和“x>3”都是开命题时，只需举一个正例.因为“∃x∈(3，5)，x>3→x>5”是假的，所以原命题是一个假命题.注意：下列两个命题是真命题：∃x∈R，x>3→x>5；∀x∈（－∞，3） (5，＋∞)，x>3→x>5.例4 证明：Ф⊆A.其中，Ф是空集，A是任意集合.证：Ф⊆A⇔若x∈Ф，则x∈A. 因为x∈Ф是假的，所以无论x∈A是真还是假，“若x∈Ф，则x∈A”都是真的. 所以Ф⊆A是真命题.例5 命题“若2＞3，则1＝1”是真命题，即2＞3⇒1＝1，所以，2＞3是1＝1的充分条件；命题“若2＜3，则1＝1”是真命题，即2＜3⇒1＝1，所以，2＜3也是1＝1的充分条件.注意：很多人不理解这一点. 事实上，1＝1的成立不需要任何条件，因此，任何条件都可以作为1＝1的充分条件，只是这些条件有些对1＝1来说不必要而已.当p↔q与q等价，或者说p是q的充要条件，此时，p↔q表示为p⇔q，由真值表看出，只有当p，q同真，或同假时，p，q 才是等价的.注意：“⇔”不是逻辑联结词符，千万不能将⇔与↔混为一谈.注：这五个复合命题的真值表除第五个外，其他四个都是公理.例6 证明原命题和它的逆否命题等价.p→q⇔⌝q→⌝p.注：当p，q都是真命题时，⌝q，⌝p都是假命题，而蕴涵式⌝q→⌝p却是真命题，这从另一个方面加强了我们对假言命题的真值表的认识.例7 命题“3＞5↔2＞3”是真命题，所以有3＞5⇔2＞3，亦即3＞5是2＞3的充要条件.四. 命题的否定：写命题的否定时，必须注意：命题和它的否定要同时满足矛盾律和排中律.1.单称命题的否定：只要否定结论就行了.例1 已知p：2是质数，非p：2不是质数.2.含有一个量词的命题的否定（德·摩尔根法则）：全称命题“∀x，p（x）”的否定是特称命题“∃x，⌝p（x）”，特称命题“∃x，p（x）”的否定是全称命题“∀x，⌝p（x）”.例2 已知命题p：实数的绝对值是正数. 写出⌝p.解：p是全称命题：所有的实数的绝对值都是正数. 所以⌝p为：存在一个实数，它的绝对值不是正数.注：也可以将⌝p写为：实数的绝对值不都是正数. 但不能将⌝p写为：实数的绝对值不是正数. 后一个写法是误把命题p当成了单称命题.例3 已知命题p：质数是奇数. 写出⌝p.解：这个命题是：所有的质数都是奇数. ⌝p：有些质数不是奇数.（即：质数不都是奇数）.注意：有些人将命题p当成了单称命题，而将⌝p写成了：质数不是奇数. 这显然是错误的.3.联言命题与选言命题的否定（德·摩尔根法则）：⌝（p∧q）⇔⌝p∨⌝q；⌝（p∨q）⇔⌝p∧⌝q.4.假言命题的否定：（1）蕴涵等值式：p→q⇔⌝p∨q.否定为：（2）法则：⌝（p→q）⇔p∧⌝q.例4 已知命题p：若m≢0或n≢0，则m+n≢0. 写出⌝p.解：这是一个全称命题：∀m，n∈R，若m≢0或n≢0，则m+n≢0. ⌝p是：∃m，n∈R，使得m≢0或n≢0，且m+n>0.例5 已知命题p：若x+y<1，则x2＋y2<1. 写出⌝p.解：先将命题写成带有量词的形式：∀x ，y ∈R ，若x+y <1，则x 2＋y 2<1. ⌝p 是： ∃ x ，y ∈R ，使得x+y<1，且x 2＋y 2≣1.例6 已知命题p ：x >3→x >5. 写出⌝p .解：命题p 是：∀ x ∈R ，x >3→x >5. ⌝p 是：∃ x ∈R ，使得x >3且x ≢5. 即：∃ x ∈R ，使得3<x ≢5. 这正好说明，在3<x ≢5时，原命题是假的. 例7 已知极限的定义：lim ∞→n a n =a ⇔∀ε>0，∃N ，∀n >N ，a a n -<ε.写出数列｛n a ｝的极限不是a 的定义.解：lim ∞→n a n ≠a ⇔∃ε>0，∀ N ，∃ n >N ，a a n -≣ε.例8 已知数列的柯西收敛准则：｛n a ｝收敛⇔∀ε>0，∃N ，∀m ，n >N ，n m a a -<ε.写出这个收敛准则的否定形式.解：｛n a ｝发散⇔∃ε>0，∀ N ，∃ m ，n >N ，n m a a -≣ε.这两个例子说明了学习数理逻辑对进一步学习大学数学的必要性，如果不学习它，将很难理解这两个定义的否定形式，凡是学过数学分析的人都有这种体会. 例9 已知命题：2是奇数. 写出它的否定.解：设开句p （x ）：x2是奇数的否定是：2不是奇数. 由于2不是奇数⇔2是偶数或2是非整数，而2是非整数是一个真命题，所以，2不是奇数也是一个真命题.注意：2是奇数的否定不能写成2是偶数. 这两个命题仅满足矛盾律，而不满足排中律. 两个命题都是假命题.例10 已知i 是虚数单位，命题：i >0. 写出它的否定.解：i >0的否定是：i 不大于0.i >0都是假命题.i 不大于0⇔ i 等于零或i 小于零或i ≠0（i 是虚数），因为i ≠0（i 是虚数）是真命题，所以i 不大于0也是真命题.例11 已知命题：2 ＞0. 写出它的否定.解：2 ＞0的否定是：2≢0（也可以写为2不大于零）.由这三个例子可以看到，写某些命题的否定时，先搞清得出这个命题的开句的定义域，是很重要的. 只有搞清了这个问题，写出的非命题才不违反矛盾律和排中律.5.等值式命题的否定：将“当且仅当”改为“不等价于”就行了.注意：命题的否定也叫非命题，它与四种命题的关系中的否命题是两个不同的概念，千万不能将它们混为一谈. 任何一个命题都有非命题，但是并非所有的命题都有逆命题、否命题和逆否命题，“四种命题”是专门针对“若p则q”型命题而说的；命题“若p则q”的非命题是“p且非q”，而否命题是“若非p则非q”. 好多命题都可以写成“若p则q”的形式，但并非所有的命题都能写成“若p则q”的形式. 例如命题：某些三角形没有外接圆. 这个命题就不能写成“若p则q”的形式. 不能写成“若p则q”的形式的命题实在是太多了.五. 数理逻辑（命题演算和谓词演算）等值式：1.双否律：（1）A⇔⌝⌝A；2.等幂律：（2）A⇔A∨A；（3）A⇔ A ∧A；3.交换律：（4）A∨B⇔B∨A；（5）A∧B⇔B∧A；4.结合律：（6）（A∨B）∨C⇔A∨（B∨C）；（7）（A∧B）∧C⇔A∧（B∧C）；5.分配律：（8）A∨（B∧C）⇔（A∨B）∧（A∨C）；（9）A∧（B∨C）⇔（A∧B）∨（A∧C）；6.德·摩尔根律：（10）⌝（A∨B）⇔⌝A∧⌝B；（11）⌝（A∧B）⇔⌝A∨⌝B；7.吸收律：（12）A∨（A∧B）⇔A；（13）A∧（A∨B）⇔A；8.零幂：（14）A∨1⇔1；（15）A∧0⇔0；9.同一律：（16）A∨0⇔A；（17）A∧1⇔A；10.排中律：（18）A∨⌝A⇔1；11.矛盾律：（19）A∧⌝A⇔0；12.蕴涵等值式：（20）A→B⇔⌝A∨B；13.等价等值式：（21）A↔B⇔（A→B）∧（B→A）；14.假言易位：（22）A→B⇔⌝B→⌝A；15.等价否定等值式：（23）A↔B⇔⌝A↔⌝B；16.归谬论：（24）（A→B）∧（A→⌝B）⇔⌝A；17.量词否定等值式（德·摩尔根法则）：（25）⌝（∀xp（x））⇔∃x⌝p（x）；（26）⌝（∃x p（x））⇔∀x⌝p（x）；18.量词分配等值式：（27）∀x（A（x）∧B（x））⇔∀x A（x）∧∀x B（x）;（28）∃x（A（x）∨B（x））⇔∃x A（x）∨∃x B（x）.注意：（27）为∀对∧的分配，（28）为∃对∨的分配，但不存在∀对∨、∃对∧的分配，这一点必须清楚. 但是，在证明论上，关于量词分配的推理定律有：∀x A（x）∨∀x B（x）⇒∀x（A（x）∨B（x））；∃x（A（x）∧B（x））⇒∃x A（x）∧∃x B（x）.推论：（29）⌝∀x（A（x）∧B（x））⇔∃x（⌝A（x）∨⌝B（x））（30）⌝∃x（A（x）∨B（x））⇔∀x（⌝A（x）∧⌝B（x））例1 已知命题p：正方形的对角线相等；q：正方形的对角线互相平分. 写出p∧q. 解：p∧q：正方形的对角线相等且正方形的对角线互相平分. 由于命题p和q都是全称命题，所以，根据等值式（27），p∧q可以简写为：正方形的对角线相等且互相平分.例2 已知命题p：不等式（x－2）（x－3）>0的解集为x<2；q：不等式（x－2）（x－3）>0的解集为x>3. 写出p∨q.解：p∨q：不等式（x－2）（x－3）>0的解集为x<2或不等式（x－2）（x－3）>0的解集为x>3.注意：由于命题p，q都是单称命题，而不是特称命题，所以，p∨q不能写为：不等式（x－2）（x－3）>0的解集为x<2或x>3. 事实上，这个命题是一个简单命题，命题中的或联结两个开句x<2和x>3构成一个新的开句x<2或x>3，这个开句作为这个命题的谓词是一个整体，与复合命题p∨q中的或意义不同. 例3 已知命题p：有些实数是整数；q：有些实数是分数. 写出p∨q.解：p∨q：有些实数是整数或有些实数是分数. 由于这两个命题都是特称命题，所以可以将p∨q写为：有些实数是整数或分数.例4 已知命题p：正方形的对角线互相平分且垂直. 写出非p.解：利用推论（29），非p是：有些正方形的对角线不互相平分或不垂直.六. 推理理论：从逻辑学上讲，数学内容是这样呈现的：概念构成了判断和命题，判断和命题构成了推理，推理构成了证明. 整个数学大厦就是这样建立起来的. 用两个或几个判断（命题）获得一个新的判断（命题）的逻辑方法叫推理，推理有两种：一种是合情推理，主要包括归纳和类比，一种是逻辑推理. 归纳推理的逻辑方法是由特殊到一般，类比推理的逻辑方法是由特殊到特殊，由合情推理得到的结论不一定正确，它是发现新知识的主要方法. 逻辑推理也叫演绎推理，它是由一般到特殊的推理，由演绎推理得到的结论是正确的. 演绎推理具有三段论法的形式（公理）：大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.下面简单的介绍一下推理理论.由假言命题真值表我们得到：“若p则q”是真命题有下列三种情况：（1）p和q都是真命题；（2）p是假命题，q是真命题；（3）p和q都是假命题.这三种情况下，我们都说由p可以推出q. 因此，由“若p则q”为真，我们并不能得出p和q的真假来，但是，我们通过假言命题真值表可以得到：1.推理定律1：由条件“若p则q”为真命题，并且p为真命题，我们可以推出q 为真命题的结论. 即：（p→q）∧p⇒q.这是推理的基本法则，被称为分离法则，这是三段论推理的一种形式.2.推理定律2：由条件“若p则q”为真命题，并且q为假命题，我们可以推出p 为假命题的结论. 即：（p→q）∧⌝q⇒⌝p.这也是三段论推理的一种形式.由于这两个推理定律的大前提都是一个假言命题，所以这两个推理定律都叫假言推理.由选言命题真值表我们得到：3.推理定律3：由条件“p∨q”为真命题，并且p为假命题，我们可以推出q为真命题的结论. 即：（p∨q）∧⌝p⇒q.这也是三段论推理的一种形式. 由于大前提是一个析取式命题，所以叫做析取三段论.主要的推理定律还有：4.p⇒p∨q.5. p∧q⇒p.6.假言三段论：（p→q）∧（q→r）⇒p→r.7.等价三段论：（p↔q）∧（q↔r）⇒p↔r.例1 判断下列推理是否正确：（1）如果天气凉快，张三就不去游泳，今天天气凉快，所以今天张三没去游泳. （2）如果我上街，我一定去书店，今天我没上街，所以今天我没去书店.（3）如果我上街，我一定去书店，今天我去了书店，所以今天我上了街.解：（1）由分离法则可知，这个推理是正确的.（2）设p：我上街；q：我去书店. 这个推理的形式结构为：（p→q）∧⌝p⇒⌝q. 我们由假言命题真值表可知，由条件“若p则q”为真，且p为假，是无法推出q的真假来的. 所以这个看似正确的推理，事实上是不正确的.（3）这个推理的形式结构为：（p→q）∧q⇒p. 由假言命题真值表可知，由条件“若p则q”为真，且q为真，是无法推出p的真假来的，这个看似正确的推理，其实也是不正确的.数学课程标准将“常用逻辑用语”和“推理与证明”分别放到选修1—1和1—2（文科）或选修2—1和2—2（理科）中去，是不合理的，因为这两个内容都是属于数理逻辑的.参考文献：1.夏春盛. 浅谈命题之否定. 数学通报，2002年第6期.2.龚雷. 关于命题的学习与思考；徐彦明. 试析关于命题的困惑；秦庆尧. 简易逻辑教学中存在的问题. 中学数学教学参考，2002年第9期.3.罗增儒、李三平. 复合命题的构造. 中学数学教学参考，2003年第9期.4.[日]小平邦彦著，《数学》（Ⅰ）（日本高中数学教材）. 高绪珏等译，吉林人民出版社. 1977年.5.耿素云等著，《离散数学》. 清华大学出版社，1999年2月.6.中等职业学校教材《数学》第一册. 人民教育出版社.7.普通高中教材《数学》选修2—1. 人民教育出版社.8.[美]M·克莱因著，《数学：确定性的丧失》. 湖南科学技术出版社，2004年2月.9.刘显训. “p⇒q”与“若p则q”的关系. 数学通讯，2005年第15期.10.寿望斗著，逻辑与数学教学. 科学出版社，1979年.11.[美] 《统一的现代数学》第二册第一分册（美国中学数学教材），王申怀译，人民教育出版社，1978年.12.左孝凌等著，《离散数学》. 上海科技文献出版社，1982年9月.（本文写作时间大约在2005年10月—2006年1月）11。
数理逻辑教程数理逻辑是一门复杂而又有趣的学科，它既是哲学又是数学，属于学术思想和数学分析的独特组合。
近几十年来，数理逻辑得到了广泛的应用，它不仅用于哲学论文的写作，而且用于计算机编程，特别是程序设计。
本文将为您介绍数理逻辑的基本概念，以及其如何帮助您更好地理解和使用它。
一、数理逻辑的定义数理逻辑（Mathematical Logic）是一门研究逻辑的学科，它结合了哲学中的逻辑思维和数学中的形式化系统。
它的目的是将哲学中的概念与数学中的精确性结合起来，以更好地理解和使用逻辑推理。
数理逻辑的基本概念是逻辑推理，它是通过分析一系列前提，以推出一系列结论的方法。
二、数理逻辑的历史数理逻辑的发展可以追溯到古希腊时期。
当时，古希腊哲学家们，如柏拉图和亚里士多德，通过推理和论证来解释世界上发生的事情。
在中世纪，哲学家和数学家们继续研究逻辑，他们发现逻辑推理可以用来证明或否定一个命题的真实性。
到19世纪，英国数学家约翰·华生等人开始将逻辑与数学结合起来，形成了现代数理逻辑学。
三、数理逻辑的基本概念数理逻辑是一门复杂的学科，它涉及到许多基本概念，如定理、公理、演绎法、归纳法等。
其中，定理是一种用逻辑推理证明的命题，是一个被推论出来的结论；公理是构成定理的基本命题，也就是前提；演绎法是一种从公理中推断出结论的方法，也就是由具体到抽象的过程；而归纳法则是由一般性的结论推断出具体的命题的方法，也就是由抽象到具体的过程。
四、数理逻辑的应用数理逻辑的应用非常广泛，既可以用于哲学论文的写作，也可以用于程序设计。
例如，在程序设计中，数理逻辑可以用来帮助程序员更好地理解和使用程序控制和程序语言。
此外，数理逻辑还可以用于语言学、认知科学、计算机科学等领域，可以帮助我们更好地理解和使用这些学科。
五、数理逻辑的学习学习数理逻辑也许是一个挑战，因为它涉及到许多复杂的概念。
但要学习数理逻辑，首先要熟悉它的基本概念，如定理、公理、演绎法、归纳法等。
数理逻辑大纲数理逻辑-大纲数理逻辑一、表明(一)课程性质《数理逻辑》就是数学与应用领域数学专业的方向课外。
数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑，就是数学的一个分支，它就是使用数学的方法去研究推理小说的形式结构和推理小说规律的数学学科，数理逻辑研究的中心问题就是推理小说。
所谓数学方法就是指数学使用的通常方法，包含采用符号和公式，尚无的数学成果和方法，特别就是采用形式的公理方法。
用数学的方法研究逻辑的系统思想通常追溯到莱布尼茨，他指出经典的传统逻辑必须改建和发展，并使之更为准确和易于编程语言。
总的来说，数理逻辑就是精确化、数学化的形式逻辑，它就是现代计算机技术的基础。
(二)教学目的本课程的教学应当使学生熟练掌握有关命题逻辑、一阶谓词逻辑的基本知识，认知并能够初步运用公理化的逻辑推理和数学证明，训练学生的逻辑思维方式，提升其数学解题能力。
(三)教学内容及学时数本课程主要讲授命题逻辑的基本概念，命题逻辑的等值和推理小说编程语言，谓词逻辑的基本概念，谓词逻辑的等值和推理小说理论等内容，总计30学时。
序号1234内容命题逻辑的基本概念命题逻辑的等值和推理小说编程语言谓词逻辑的基本概念谓词逻辑的等值和推理小说理论合计学时数（30）课堂学时数676625课堂教学学时数03025(四)教学方式数理逻辑是一门理论性课程，主要采用讲授法、研究探索法授课，讲授数理逻辑的内容时建议采用多媒体教学。
(五)考核建议1.考核的方式及成绩评定本课程的考核方式通常使用笔试，成绩测评100Elo，其中平时成绩占到50%，期末考试成绩占到50%，其中平时变成按数学系课堂“五个环节”评分细则展开测评。
2.考题设计(1)考题设计原则：考题要全面，符合大纲要求，同时要做到体现重点，题量适度，难度适中，题量和难度的梯度按照教学的三个不同层次，并能够反映出数理逻辑的思想方法、解决基本问题能力的知识点来安排，不过分强调综合。
(2)考题难度比例：基础知识（或基本概念）约35%、根据学生实际水平确认中等难度知识点约50%，稍存有难度知识点15%范围以内。
