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第8讲 直线与圆锥曲线1.理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线考试要求被圆锥曲线所截的弦长公式.3.掌握直线与圆锥曲线相交的综合问题.01聚焦必备知识知识梳理1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与圆锥曲线的位置关系有______、______、______；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点.(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By ＋C＝0代入圆锥曲线C的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C______；Δ＝0时，直线l与曲线C______；Δ＜0时，直线l与曲线C______.②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的________平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的________平行或重合.2.圆锥曲线的弦长公式设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝____________________＝________________________________或|AB|＝___________________＝___________________________________，k为直线斜率且k≠0.与椭圆有关的结论常用结论1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦.( )(3)“直线l 与双曲线C 相切”的充要条件是“直线l 与双曲线C 只有一个公共点”.( )(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )夯基诊断√ √ × × 2.回源教材B A.相离 B.相交C.相切D.无法确定(3)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若∠AMB＝90°，则k＝________.答案：202突破核心命题考 点 一直线与圆锥曲线位置关系的判断(1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点.解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0. ③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x (或y )，得到关于y (或x )的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形.反思感悟C A.1个 B.至多1个C.2个 D.0个C 因为直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，答案：(1，2)考 点 二弦长问题求解弦长的4种方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解.(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x 1－x 2)2，(y 1－y 2)2，代入两点间的距离公式.(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.反思感悟考 点 三中点弦考向 1利用中点弦确定直线或曲线方程D A.(1，1)B.(－1，2)C.(1，3)D.(－1，－4)D 法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B 在双曲线上，由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图.用“点差法”解决有关中点弦问题的一般步骤反思感悟2对称问题所以直线l斜率k的取值范围是(－2，2). 反思感悟(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2，1)，求直线l的方程.故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.03限时规范训练(六十四)A级 基础落实练A A.相交B.相切C.相离D.不确定A 直线y＝kx－k可化为y＝k(x－1)，所以直线恒过点(1，0).( )A.(1，＋∞)B.(1，3)∪(3，＋∞)C.(3，＋∞)D.(0，3)∪(3，＋∞)B 由Δ＞0且m ≠3及m ＞0，得m ＞1且m ≠3.D B A.x－y－3＝0B.x＋y－2＝0C.2x＋3y－3＝0D.3x－y－10＝0。
