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【最新】人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理1》公开课课件.ppt

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2023-2024学年人教版八年级数学下册课件17.1 勾股定理第1课时 勾股定理

2023-2024学年人教版八年级数学下册课件17.1 勾股定理第1课时 勾股定理
= 8， = 10， ⊥ 于点，则的长是
( D ) .
A.6
32
B.
5
18
C.
5
24
D.
5
图17.1-3
5.如图17.1-4，在Rt △ 中，∠ = 90∘ ，
∠ = 30∘ ，垂直平分斜边，交于点，是
垂足，连接.若 = 2，则的长是( C ) .
A.4
B.8
C.4 3
D.2 3
图17.1-4
6.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是
我国古代数学的骄傲.如图17.1-5所示的“赵爽弦图”是由
四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正
方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长
为，若 +
2
图17.1-5
= 21，小正方形的面积为5，则大正
2 41或6
9.已知直角三角形的两边长分别为8，10，则第三边长为_________.
10.如图17.1-7，已知△ 和△ 都是等腰直角
三角形，∠ = ∠ = 90∘ ，为边上一点，
求证：22 = 2 + 2 .
提示：证明△ ≌△ SAS ，得 = ．证
学习过程中，我们已经学会了运
用如图17.1-9所示的图形，验证
著名的勾股定理，这种根据图形
直观推论或验证数学规律和公式
图17.1-9
的方法，简称为“无字证明”．实际
上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规
律，它体现的数学思想是 ( C ) .
A.统计思想
B.分类思想
C.数形结合思想
轻松达标
1.在△ 中，∠，∠，∠的对应边分别是，，，若∠ = 90∘ ，

人教版数学八年级下册第十七章第一节第一课时《勾股定理》课件(22张)

人教版数学八年级下册第十七章第一节第一课时《勾股定理》课件(22张)

2500年前，古希腊著名数学家 毕达哥拉斯非常善于观察和思 考，经常能从平淡的生活现象 中发现数学问题.
灿若寒星
有一次他在朋友家做客时, 发现朋友家用砖铺成的地面
中隐藏着深刻的道理
观察：图中两个
小正方形与大正
方形的面积之间
有什么关系？
灿若寒星
如果直角三角形两直角边
分别为a,b,斜边为c
ab
c
思考：直角三角形三 边之间有什么关系？
D
C
解：连结AC，在Rt△ABC
中,∠B=90°,根据勾股定理,
AC2=AB2+BC2=12+22=5
2m ∴AC 5
＞2.2m
A 1m B
答：薄木板能从门框内通过。
灿若寒星
试一试
如图，一个2.5m长的梯子AB,斜靠在竖 直的墙AO上，AO的距离为2.4m,
如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m， A 那么梯子的底端B也外移0.4m吗？
0.4
C
2.4
2.5
┏
OB
D
？
灿若寒星
感受数学之美
图中，所有的四边形
都是正方形，所有的 A
三角形都是直角三角
形，正方形M,N的面 B 积的和是_____1.00
M
N
欣赏美丽的勾股树
100
灿若寒星
灿若寒星
一份自豪 身为中国人 一种思想 数形结合
一次探索
特殊到一般
一个定理
勾股定理
灿若寒星
灿若寒星
A
2、Rt△AOB中∠AOB=90°
若AB=2.5,AO=2.4,求BO
灿若寒星
O
B
②
①？
Rt△ABC中，已知AC=8，BC=6，能否求ຫໍສະໝຸດ 灿若寒A星 B的长？解决问题

人教版八年级数学下册课件：17.1-勾股定理(第1课时)(共40张PPT)

人教版八年级数学下册课件：17.1-勾股定理(第1课时)(共40张PPT)

1. 请你利用今天学习的面积法证明教材习 题17.1第13题.
2. 课下每个同学制作一张勾股定理的数学 小报，并自己上网查阅与勾股定理有关的 知识，证明方法和应用等，然后小组交流、 展示.
图1
图2
图3
证明1：
大正方形的面积可以表示为 也可以表示为
(a+b)2 ；
4 ab C2 2
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
∵ (a+b)2 = 4 ab C2 2
a2+2ab+b2 = 2ab +c2 ∴a2+b2=c2
毕达哥拉斯（Pythagoras）是古 希腊数学家，他是公元前五世纪的 人，比商高晚出生五百多年.希腊 另一位数学家欧几里德（Euclid， 是公元前三百年左右的人）在编著 《几何原本》时，认为这个定理是 毕达哥达斯最早发现的，所以他就 把这个定理称为“毕达哥拉斯定 理”，以后就流传开了.
b
∴a2+b2=c2
我国有记载的最早勾股定理的证明，是三国时，我国古代数学家赵爽在他所 著的《勾股方圆图注》中，用四个全等的直角三角形拼成一个中空的正方形 来证明的.每个直角三角形的面积叫朱实，中间的正方形面积叫黄实，大正 方形面积叫弦实，这个图也叫弦图.２００２年的国际数学家大会将此图作 为大会会徽．
B 图2-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
3．由上面的条件可知，这三
个正方形的边长分别是1、1
和2，那么刚才的面积关系可
以用一个等量关系式来描述
2

2023-2024学年人教版八年级数学下册17.1勾股定理 勾股定理的应用(1) 课件

2023-2024学年人教版八年级数学下册17.1勾股定理 勾股定理的应用(1) 课件

知识点❷ 勾股定理之风吹荷花模型
典例2 (教材P29习题T10·改编)如图，有一个水池，水面是一
个边长为16尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水
面2尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到
达池边的水面，则水池里水的深度是多少尺？
解：设水池里水的深度是x尺，
由题意，得x2＋


∵BO＝0.7 m，BC＝0.8 m，
∴CO＝1.5 m．
在Rt△DOC中，DO＝ － ＝ . －. ＝2(m)．
∴AD＝AO－DO＝2.4－2＝0.4(m)．
答：梯子的顶端沿墙下滑了0某社区要在如图所示AB所在的
直线上建一图书室，本社区有两所学校，分别在点C和点D处，
∴AB＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ≈43.4．
答：两孔中心的距离约为43.4 mm．
3．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从
C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB
是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．
解：由题意知CB＋AC＝8，∠CBA＝90°，
△ABC恰好为直角三角形(∠ABC＝90°)．通过测量，得到AC
＝130 m，BC＝120 m，则A，B之间的距离是多少？
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
得AB2＝AC2－BC2＝1302－1202＝2 500．
∴AB＝50 m．
答：A，B之间的距离是50 m．
3．小刚欲从点A出发划船横渡一条河，由于水流的影响，
课堂检测
1．(教材P25例1·改编)如图所示的是一个长为2
m，宽为1.5 m的长方形门框，光头强有一些薄
木板要通过门框搬进屋内．在不能破坏门框，

人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》课件 (共13张PPT)

人教版八年级数学下册《17.1勾股定理》课件 (共13张PPT)

这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁更努力。
很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！
人生，是一本太仓促的书，越认真越深刻；
越是优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
一个土豪，每次出门都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院，但又不想雇人喂狗浪费银两。
3.(1)已知直角三角形的两直角边的长分别为3和4，则第三边
的长为___5____；
(2)已知直角三角形的两边的长分别为3和4，则第三边的长为
__________.
4.求图17－1－1中直角三角形中未知的长度：b＝____1_2___， c＝____3_0____.
知识清单
知识点1 勾股定理 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜__边__的_平__方_. 勾股定理表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b ，斜边为c，那么a_2_＋__b_2_＝__c_2____. 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达 哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数 学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理， 后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两 直角边的平方和等于斜边的平方.
生活，只有将尘世况味种种尝遍，才能熬出头。
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.
人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的路一一走遍，才能到尽头；
如图17－1－7，一棵大树被台风刮断，若树在离地面9 m处折断，树顶端落在离树底部12 m处，则大树折断之前的高度为

【最新】人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理 (第1课时)》公开课课件.ppt

【最新】人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理 (第1课时)》公开课课件.ppt
人教版八年级（下册）
第十八章勾股定理
zxxkw
学科网
18.1勾股定理（第1课时）
学.科.网
zxxkw
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，
较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经 》作法时给出的.图1-2是在北京召开的2002年国际数
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的 证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此， 又有“百牛定理”之称。
相传在2500年前，毕达哥拉斯有 一次在朋友家做客时，发现朋友家用 砖铺成的地面中反映了直角三角形三 边的某种数量关系，我们一起来观察 图中的地面，看看能发现什么。
学.科.网
毕达哥拉斯 (公元前572----前492年), 古希腊著名的哲学家、 数学家、天文学家。
正方形C中含有 18 个小 方格，即C的面积是 18 个单位面积；
A的面积+ B的面积= C的面积
C A
B
图1—2
（2）观察图1—2：
正方形A中含有 4 个小 方格，即A的面积是 4 个单位面积；

人教版数学八年级下册17.1勾股定理课件(36张PPT) (1)


图1
9
9 18
8
B 图1
C A
图2
A，B，C 面积关
系
44
SA+SB=SC
B 图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
直角三 角形三 边关系
两直角边的平方和 等于斜边的平方
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
探究二：在一般 的直角三角形中， SA+SB=SC 还成立吗？
A
B C
A
B C
用了“补”的方法
用了“割”的方法
如图，小方格的边长为1.
(1)你能求出正方形C的面积吗？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
A
SA+SB=SC
a
Bb c
C
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
SA+SB=SC
a
bc
a2+b2=c2
猜想两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
我们也来观察右图的地面， 你能发现A、B、C面积之间 有什么数量关系吗？
AB C
SA+SB=SC
每块砖都是等腰直角三角形哦
二、探究新知
探究一：你能发现图1中正方形A、B、C的面积之间有 什么数量关系吗？
C A
B 图1
（图中每个小方格是1个单位面积）
（1）观察图1-1
正方形A中含有 9 个
C
小方格，即A的面积是
A
9 个单位面积。
正方形B的面积是
B
C
9 个单位面积。
图1-1
A
正方形C的面积是

人教版八年级数学 下册课件：17.1 勾股定理(第1课时)(共16张PPT)


弦
勾a
c
b
股
求下列直角三角形中未知边的长:
比
5
一
比8
17
看
x
16
x 12
看
x
谁
20
算
得
快 方法小结: 可用勾股定理建立方程.
！
例2、如图:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸 ,求两孔中心A、B之间的距离
40
A
90 C
160
பைடு நூலகம்
B 40
设直角三角形中的两条直角边
长分别为a 和 b ，斜边为c。
A B
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，
就把这一证法称为“总统”证法。 D
bc Aa
C
c a
bD
青朱出入图
⑤
④
b
c
③
a
①②
无字证明
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边
为c，那么 a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
也角友
数
来三家 观角 作 相
学
察形 客 传
家
下三 ， 两 面边 发 千
毕
的的 现 五
达
图某 朋 百 案种 友 年
哥
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拉
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你系 铺 次
的
能， 成 毕 发同 的 达
故
现学 地 哥
事
什们 面 拉 么， 反 斯
？我 映 去
们直朋
数学家毕达哥拉斯的发现：

17-1第1课时 勾股定理(共42张ppt)2022-2023学年八年级下学期数学人教版

C C. 49 D. 148
5.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三 角形的面积.
解：设另一条直角边长是x cm. 由勾股定理得152+ x2 =172， 即x2=172-152=289–225=64， ∴ x=±8（负值舍去）， ∴另一直角边长为8 cm，
直角三角形的面积是
(cm2).
a
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： a2 + b2 = c2.
a
b
c
证明：
S梯形
1 (a 2
b)(a
b),
S梯形
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2,
c a
∴a2 + b2 = c2.
AC2＋ 1
4
BC2.
∴阴影部分的面积为
1 2
AB2＝ 9 .
2
8.（创新题）如图17-10-12，在△ABD中，∠D=90°，C是BD上一点，已知BC=9，AB=17，AC=10，求 AD的长．
解：∵∠D=90°,
∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2.
∴172-(9+CD)2=102-CD2.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
当BC为斜边时，如图，BC 42 32 5.
B B
4
3
C 图 A
4
A
3
图
C
归纳 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或 直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜

人教版数学八年级下册：17.1 勾股定理 课件(共35张PPT)


探究 如图，以Rt△ 的三边为边向外作正方形，
其面积分别为 S1 、S2、S3，请同学们想一想
S1 、S2、S3 之间有何关系呢？
S2 + S3 =a2+b2
S1=c2
B
S1c a S2
b
A S3 C
∵a2+b2=c2
S2 + S3 = S1
探究S1、S2、S3之间的关系
S2

S3

1 2


a 2
2

1 2


b 2
2
1 a2 1 b2
8
8
S1

1 2


c 2
2

1
8
c2
由勾股定理得 a2+b2=c2
∴S2+S3=S1
S2
c
SS3 2
A
S1
S1
动手操作：例2如图，Rt△ABC中
，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别 以AB、BC、AC为直径作三个半圆 ，那么阴影部分的面积为__24_ .
A
E
D
B
F
C
A
A =625
225
400
81
B =144
225
2、如图所示的图形中，所 有的四边形都是正方形，所 有的三角形都是直角三角形 ，其中最大的正方形的边长 是8厘米，则正方形A，B， C，D的面积之和是 __6_4_____平方厘米
利用勾股定理解决平面几何问题3——折叠中的计算问题
能算好算直接算，不能算不好算，设未知数，列方程(勾股定理、全等、相似等）
利用勾股定理解决平面几何问题1— —最短路径问题
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看左边的图案，这个图案是
c b
a
公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注 解《周髀算经》时给出的，人们 称它为“赵爽弦图”．赵爽根据 此图指出：四个全等的直角三角 形（红色）可以如图围成一个大
正方形，中间的部分是一个小正
方形 （黄色）．
证法一：
用赵爽弦图证明勾股定理
zxxkw
b
a
a2 b2 =
c b
a
c2
相传2500年前，毕达哥拉斯有 一次在朋友家里做客时，发现朋友 家用砖铺成的地面中反映了直角三 角形三边的某种数量关系．
我们也来观察右 图中的地面，看看有 什么发现？
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC
直角三角形三边有什么关系？ 两直边的平方和等于斜边的平方
相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了
勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 定理。
学以致用
1．在Rt△ABC中, ∠C=90°,
• 已知: a=5, b=12, 求c; • 已知: b=6,•c=10 , 求a; • 已知: a=7, c=25, 求b;
ac
b
总结:已知直角三角形的任意两 边,通过勾股定理可以求出第三边.
B 图2-1
C A
B 图2-2
图2-2
A、B、 C面积 关系 直角三 角形三 边关系
44
SA+SB=SC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
8
（图中每个小方格代表一个单位面积）
做一做
2．观察右边两个图 并填写下表：
A的面积 B的面积 C的面积
图1-2 16
9
25
图1-3
4
9
13
你是怎样得到 表中的结果的？与 同伴交流交流．
b
证
明a
二
c
c b
a
a
c
b
(a+b)2 =
c2 4 1 ab 2
a2 + b2 + 2ab = c2+2ab
c
a 可得: a2 + b2 = c2
b
想一想: 大正方形的面积该怎样表示?
a2 b2
对比两个图形,你能直接观察验证出勾股定理吗？
a2
a2 c2
b2
a2 + b2 = c2
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021
Bb c
C
a2+b2=c2
命题1：
如果直角三角形的两直角边长 分别是a、b，斜边长是c，那么 a2+b2=c2。
弦
c
股
b
┏
勾a
a2+b2=c2
是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢？这就需
要我们对一个一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对
这个命题的证明方法已有几百种之多．下面我们就来看一看
我国汉代数学家赵爽是怎样证明这个命题的．
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜
边为c，那么 a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
结论变形
c2=a2 + b2
b
读一读
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年
前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三 角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即 “勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的数学 著作《周髀算经》中。在这本书中的另一处，还记载了勾 股定理的一般形式。
美国总统的证明
• 加菲尔德 （James A.
Garfield； 1831 1881）
• 1881 年成为美国第 20 任总统
• 1876 年提出有关证明
证法二：
伽菲尔德证法:
a bc
c a
b
S梯 形 12(ab)(ab)
SS梯形 1 2ab 1 2ab 1 2c2
∴ a2 + b2 = c2
2.在等腰Rt△ABC中, a=b=1,则c=√＿2＿＿ 3.在Rt△ABC中, ∠A=30°，AB=2，则BC= 1＿＿＿
AC=＿√＿3＿ 4.在一个直角三角形中, 两边长分别为3、4, 则第三边的长为_5__或_√___7_
B
bc
A
Ca
第2题图
B
A
C
第3题图
2 蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了
多少厘米？（小方格的边长为1厘米）
A
G
B
E
C
F
D
学以致用
(1) 求下列图中字母所表示的正方形的面积
A=625
225
400
81
B =144
225
（2）如图，分别以Rt △ABC三边为边
向外作三个正方形，其面积分别用S1、
S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间
有的关系式为
．
S1 S2S3
C
S3
练习：（如图）
1.在Rt△ABC中, a=5,c=13,则下列计算正确的是
（B）
B
( A)b c2 a2 132 52 169 25 144
ac
(B )bc2a2123 5214 142
C
b
(C )bc2a2123 5214 142
A (D )b2c2a2123 5214 1 42
第1题图
C A
B
图1-2
C A
B
图1-3
议一议
3．三个正方形A，B，C
zxxkw
面积之间有什么关系？
A
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正 方形面积之和等于斜边 上的正方形的面积．
C
B
图1-2
C A
B
图1-3
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
A a
Sa+Sb=Sc
让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系
C
图1
A
图2
B C
图2-1
A
B 图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
A的面 B的面 C的面 积(单位 积(单位 积(单位
长度) 长度) 长度)
9
9
4
4
C A
zxxkw
S正方形c
B C
图2-1
A
413318 2
B
（单位面积）
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
分“割”成若干个直角边为整数B 图2-1
C A
B 图2-2
1 62 2
1 8（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C“补” 成边长为6的正方形面积的一 半
A的面 B的面 C的面
积(单位 积(单位 积(单位
长度) 长度) 长度)
C
图2-1
9
9 18
A
zxxkw
A
S2
B
S1
（3）变式：你还能求出S1、S2、S3之间
的关系式吗？
S3
S2
S1
勾股定理的其它证明方法
C 想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？
b (1)
a
c
c
(4)
证
明
(2)
(a-b)2 (3)
一
(2) c
c
(3)
(a-b)2
=
C2－4×
1 2
ab
a2+b2－2ab = c2－2ab
(4)
可得：a2 + b2 = c2