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二项式定理复习课讲解

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二项式定理复习公开课

二项式定理复习公开课

二项式定理学习任务：1.梳理二项式定理的相关知识点；2.归纳二项式定理的相关题型。

教学过程：一：知识梳理1.二项式定理二项式定理：(α+""=C%"+C""+……+/”+……C二项展开式的通项公式：小=Ca"""，它表示第八1项二项式系数:二项展开式中各项的系数CtG……C2.二项式系数的性质(I)C；=1,C：=1,CW；；,C：=C：F(O：m、neN)(2)二项式系数先增后减中间项最大.n, n-I-1 —当n为偶数时，第5项的二项式系数最大，最大值为党,当n+∖〃+3n为奇数时，第亍项和第亏项的二项式系数最大，最大值为M-I 〃+1C了或a⑶各二项式系数和：cθ÷c>c>……C=2"+q+c+……=α+w+α+.•…=2“T二：题型归纳1二项展开式问题例1：在二项式(后+W的展开式中，常数项是,系数为有理数的项的个数是,2两个多项式积的展开式问题例2 (l+2x2)(l+x)4的展开式中X3的系数为A.12B.16C.20D.243三项展开式问题(X——+1)5例3'X 展开式中的常数项为A.1B.llC.-19D.514二项式系数和与系数和(X2--}n例4(1)若二项式∙X的展开式的二项式系数之和为8,则该展开式每一项的系数之和为A.-lB.lC.27D.-27⑵若Qx)7=<70+ α1(1 + x) ÷ α2 (1 + x)2 + %(1 + X)7,则％+4+ 4 的值为A.lB.2C.129D.21885二项式系数与系数的最值问题例5二项式我的展开式中只有第11项的二项式系数最大,则展开式中X的指数为整数的项的个数为A.3B.5C.6D.7例6,若沃展开式中前三项的系数和为163,求：⑴展开式中所有X的有理项；(2)展开式中系数最大的项.课堂小结：二项式定理的相关题型主要有：1.利用展开式通项求各种项的相关问题；2.二项式系数和与系数和问题(赋值法)；3.二项式系数与系数最大问题。

第3节 二项式定理--2025湘教版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)

第3节 二项式定理--2025湘教版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)
为 6.
考向3三项展开式中的特定项(或系数)
例3(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( C )
A.10
B.20
C.30
D.60
解析 (方法一)(x2+x+y)5 的展开式的通项为 Tr+1=C5 (x2+x)5-ryrFra bibliotek令 r=2,则
T3=C52 (x2+x)3y2.
又(x2+x)3 的展开式的通项为 Tk+1=C3 (x2)3-kxk=C3 x6-k,令 6-k=5,则 k=1.所以
3
1
(2)(2024·福建福州模拟)若(3 + 2 ) 的展开式中存在常数项,则正整数n

可以是( C )
2
A.3
B.5
C.6
1
2
解析 (3 + 2) 的展开式的通项为

2n-4r=0,解得

r= ,又
2
D.7
2 -
Tr+1=C (3 )
1
n-r 2n-4r
=3
C x ,令
所以
C2 ×22
=
56
,得(n-2)(n-3)=56,解得
3
1
n=10 或 n=-5(舍去),
10-5


所以 Tr+1=C10
( 2 )10-r(2x-2)r=2rC10
2
10-5
.令
=0,解得 r=2,所以展开式中的常
2
数项为第三项,T3=180.
(2)由

2 C10

2 C10

x 的系数为(-1)225-2C52 =80.

高考数学复习知识点讲解教案第60讲 二项式定理

高考数学复习知识点讲解教案第60讲 二项式定理
2
[解析] 设，则由题意得，解得 .
3.［教材改编］ 已知 的展开式中各二项式系数的和为128，则展开式中 的系数是______.
672
[解析] 由题意得，则 ，则展开式的通项为，令，可得 ，所以展开式中的系数为 .
题组二 常错题
◆ 索引：对二项展开式的特点把握不准;不理解常数项、有理项等需满选B.
[总结反思]求几个多项式和的展开式中的特定项（系数），先分别求出每一个多项式的展开式中的特定项,再合并即可.
变式题 已知 ，则 的值为_____.
[解析] 令，可得，令 ，可得①，令 ，则②，所以① ②可得，所以 ，即 .
角度2 几个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题
C
A.4 B. C. D.60
[解析] ，其展开式的通项为，令，可得，其中 的展开式的通项为，令，得 ，所以，故的系数为 .故选C.
（2） [2023·湖南郴州模拟] 若的展开式中 的系数为3，则 _ ___.
[解析] ，其展开式的通项为,,,, ,令，则,或, ，所以，即，因为，所以 .
和
[解析] 由题意知, 的展开式的通项为,,1,2, ,8,令,得 或8,所以,,故有理项是和 .
探究点二 二项式系数与各项的系数问题
角度1 二项式系数
例2（1） 已知 的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中 的系数为( )
B
A. B.84 C. D.560
[解析] 因为的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以 ，则的展开式的通项为，令 ，则展开式中的系数为 .故选B.
变式题（1） 已知 ，则 ( )
D
A.30 B. C.17 D.
[解析] 根据二项式定理得，所以 ，，则 ，所以 .故选D.

2025届高中数学一轮复习课件《二项式定理》ppt

2025届高中数学一轮复习课件《二项式定理》ppt
3．二项式系数 二项展开式中各项的系数___C_nk__(k∈{0，1，…，n})叫做二项式系数．
高考一轮总复习•数学
第6页
二 二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
高考一轮总复习•数学
第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
高考一轮总复习•数学
第19页
对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
高考一轮总复习•数学
第17页
要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取 有理项的求法．

第十章 §10.2 二项式定理-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件

第十章 §10.2 二项式定理-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件

(x＋y)8 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck8x8－kyk，k＝0,1，…，7,8. 令 k＝6，得 T6＋1＝C68x2y6； 令 k＝5，得 T5＋1＝C58x3y5， 所以1－yx(x＋y)8 的展开式中 x2y6 的系数为 C68－C58＝－28.
(2)若(x2＋a)x＋1x8 的展开式中 x8 的系数为 9，则 a 的值为__1___.
自主诊断
2.(选择性必修第三册P31T4改编) 1x－
x10
的展开式中x2的系数等于
√A.45
B.20
C.－30
D.－90
k
因为展开式的通项为Tk＋1＝(1)k C1k0x 2
·x－(10－k)＝(
1)k
C1k0
x
10
3 2
k
Hale Waihona Puke ，令－10＋32k＝2，得 k＝8，
所以展开式中 x2 的系数为(－1)8×C810＝45.
则CC4n2n＝134，
nn－1 故nn－11n×－22n－3＝134，
1×2×3×4
得n2－5n－50＝0，解得n＝10(负值舍去)，故A正确；
则Tk＋1＝
(1)k
C1k0
x
20
5k 2
，
令 20－52k＝0，解得 k＝8， 则展开式中的常数项为(－1)8C810＝45，故 B 正确；
令 20－52k＝5，解得 k＝6，
第十章
§10.2 二项式定理
课标要求
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理 解决与二项展开式有关的简单问题.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分

《二项式定理》复习课件(理)

《二项式定理》复习课件(理)
《二项式定理》复习课件 (理)
这个课件将帮助你复习《二项式定理》的基本概念、推导及证明过程、各种 形式、应用等。让我们开始吧！
基本概念
1 什么是二项式定理？
学习二项式定理最重要的第一步是了解其基本概念。
2 二项式展开
学会使用二项式定理将二项式展开成多项式。
公式推导及证明过程
了解二项式定理推导和证明的过程有助于理解其原理和逻辑。
三种形式
普通形式
通过公式进行计算，适用于简单的情况。
杨辉三角形式
利用杨辉三角形式的二项式定理，可以更好地组织和计算。
多项式形式
将二项式定理推广至多项式，扩展其应用范围。
组合数的定义及性质
1 什么是组合数？
了解组合数的定义是学习和应用二项式定理的基础。
2 组合数的性质
掌握组合数的一些常见性质，有助于在计算中快速应用。
杨辉三角的使用及性质
1 什么是杨辉三角？
学会使用杨辉性质
了解杨辉三角的性质有助于解决一些与二项式定理相关的问题。
二项式定理在计算中的应用
学习如何在计算中应用二项式定理，以快速求解复杂的表达式。
线性二项式
什么是线性二项式？
了解线性二项式的特点和求解方法，为更复杂的 问题打下基础。
解线性二项式的方程
学会求解线性二项式的方程，解决实际问题。
二项式定理拓展：多项式定理
了解如何将二项式定理推广到多项式，扩大其应用范围。

《二项式定理》复习课件(理)

∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝37＝2187.
【点评】 求关于展开式中系数和问题，往往根据 展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数，如：1,0， －1，….
变式题 [2009·陕西卷] 若(1－2x)2009＝a0＋a1x＋…
＋a2009x2009(x∈R)，则a21＋a222＋…＋a222000099的值为(
► 探究点4 二项式定理的应用 例 4 [2009·江西卷] 若 C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn 能被 7
整除，则 x，n 的值可能为( ) A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4 C．x＝5，n＝4 D．x＝6，n＝5
【思路】逆用二项式定理，结合选项进行分析解决．
【解答】 C C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn＝(1＋x)n－1，这 个结果要是被 7 整除，最简单的可能就是 x＝5，此时(1＋ x)n＝6n＝(7－1)n，只要 n 再是偶数即可，结合选项可知正 确选项为 C.
性质直接由公式 Ckn＝Cnn－k 得到．
(2)增减性 ∵Ckn＝n－kk＋1Ckn－1，
n＋1 ∴当 k＜ 2 时，二项式系数逐渐增大，由对称性知
后半部分是逐渐减小的．
(3)最大值
当 n 为偶数时，中间一项(第 n2＋1 n
项)的二项式系数最
大，最大值为 Cn2 . 当 n 为奇数时，中间两项(第
要点探究
► 探究点1 通项公式的应用 例 1 [2009·四川卷] 2x－21x6 的展开式的常数项是
________．
【思路】令展开式的通项中x的幂指数等于0确定待定 系数r.
【答案】 -20
【解析】 Tr＋1＝(－1)rCr6(2x)6－r21xr＝(－1)rC6r26－2r·x6 －2r，令 6－2r＝0，得 r＝3，故展开式的常数项为(－1)3C36

2023版高考数学一轮总复习10-2二项式定理课件


解析 (1)n=6时,(1+2x)6的展开式中有7项,中间一项的二项式系数最大,此
项为C36 (2x)3=160x3.又Tr+1=C6r (2x)r=2rC6r xr,设第k+1项的系数最大,则
CC66kk
2k 2k
Ck 1 6
Ck 1 6
2k 2k
1, 1 ,
解得
11 3
≤k≤
14 3
,∴k=4,即第5项系数最大,第5项为
C64
(2x)4
=240x4.
所以二项式系数最大的项是第4项,为160x3,系数最大的项是第5项,为240x
4.
(2)令x=0,得a0=1,记f(x)=(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n≥6,n为偶数), 则f(1)=3n=a0+a1+a2+…+an, f(-1)=(-1)n=a0-a1+a2-a3+…-an-1+an,
所以a0+a2+a4+…+an= f (1) f (1) = 3n (1)n = 3n 1 ,
2
2
2
所以a2+a4+…+an=
3n
2
1
-1=
3n
2
1
.
专题十 计数原理
10.2 二项式定理
1.二项式定理
考点 二项式定理
1)公式(a+b)n=
C0n
an+
C1n
an-1b1+…+
Ckn
an-kbk+…+
C
n n

二项式定理 复习课件


5.二项展开式的各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 一般地，若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)的展开式中 (1)各项系数之和为 f(1). (2)奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－1.
2 (3)偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－1.
2
3.求形如（a+b+c)n的展开式中特定项的四步骤
第一步
把三项的和a+b+c看作(a+b)与c两项的和
第二步
根据二项式定理求出[(a+b)+c]n的展开式的通项
第三步
对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由 (a+b)n-r的展开式中哪些项和cr相乘得到的
第四步
把相乘后的项相加减即可得到特定项
4.赋值法的应用 二项式定理给出的是一个恒等式，对于形如(ax＋b)n 中，可将 x 设定为 一些特殊的值．在使用赋值法时，令 x 等于多少，应视具体情况而定，一般 取“1，－1 或 0”．如： (1)形如(ax＋b)n(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需 令 x＝1 即可． (2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需 令 x＝y＝1 即可.
通项公式 二项式系数 二项展开式每一项中的 C0n，C1n，…，Cnn.叫做二项式系数 项的系数 一项中所有的数字因数称为这一项的系数.
2.二项式系数的性质
性质
性质描述
对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 Cmn ＝Cnn－m
增减性
n＋1 二项式 当 k＜ 2 时，二项式系数是递增的.
3．常用结论 (1)Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n. (重要) (2)Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝2n－1. (3)Cn1＋2Cn2＋3C3n＋…＋nCnn＝n2n－1. (4)(Cn0)2＋(C1n)2＋(C2n)2＋…＋(Cnn)2＝C2nn.

二项式定理课件高三数学一轮复习


角度2 两个二项式之积、三项展开式问题
典例2（1） 在
x2
− 3x +
A.−30
[解析] −

+


−

⋅

⋅ −
−

⋅
C )
C.−25



的展开式的通项+

令 = ， =
=
1−
1 5
的展开式中，常数项为(
x
B.30

−
4
x
=

−
= −
知识拓展
若二项展开式的通项为Tr+1 = g r ⋅ xh r (r = 0,1,2, ⋯ , n)，g r ≠ 0，则有以下常见结论：
（1） h r = 0 ⇔ Tr+1 是常数项.
（2）h r 是非负整数 ⇔ Tr+1 是整式项.
（3）h r 是负整数 ⇔ Tr+1 是分式项.
（4）h r 是整数 ⇔ Tr+1 是有理项.
令 = −，则 = − + − + ⋯ − .
又 + + ⋯ +

− + + ⋯ +

= + + + ⋯ + − + − + ⋯ + − = ，
∴ +

⋅ = ，∴ + = ，∴ = −或 = .故答案为−或1.
D.−1

= − ，可知 ， ，
都小于0，则 − + − + − = + + + + + .
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2
)
n
C
0 n
Cn1
2 Cn2 (
2)2
Cn3( 2)3 Cnn ( 2)n
bn
C奇n0
Cn2
(
2
偶
)2Cn4
(
偶
2
)4
所以 bn 为奇数 故选(A)
思考 能用特殊值法吗?
例题点评
熟记二项式定理,是解答与二 项式定理有关问题的前提条件,对 比较复杂的二项式,有时先化简再 展开更便于计算.
ห้องสมุดไป่ตู้
题型二利用通项求符合要求的项或项的系数
和第四项的系数 .
分析：第 k+1 项的二项式系数 ---cnk
第 k+1 项的系数--具体数值的积。
解：因为T4 T31 (1)3 c130 (
x)7 ( 2 )3, x
所以第四项的二项式系数是c130 120.
第四项的系数是- c130 8 960.
例题点评
求二项展开式的某一项,或者求满 足某种条件的项,或者求某种性质的3项, 如含有x项的系数,有理项,常数项等, 通常要用到二项式的通项求解.
x )2 (
1 )2 x
C43 (3
x )( 1 )3 x
C44 (
1 )4 x
81x2
108 x
54
12 x
1 x2
题型一 利用 a b n的二项展开式解题
例1
求
3
x
1 4 x 的展开式
解法2
3
x
1 x
4
3x 14
x2
1 x2
[C40 (3x)4
化 简 后 再
C41(3x)3C42(3x)2 C43(3x)C44 ]
解法2 运用等比数列求和公式得
原式 (x 1)[1 (x 1)5] (x 1) (x 1)6
1 (x 1)
x
在(x 1)6的展开式中,含有 x3 项的系数为
C63 20 所以 x2 的系数为-20
例7．求 x (1 x)4 x2(1 2x)8 x3(1 3x)12 展开式中
x 4的系数。
1 x2
(81x4
108x3
54x2
12 x
1)
展 开
81x2 108x 54 12 1 x x2
例题2 若 n N ,( 2 1)n 2an bn,
(an ,bn Z ) ,则 bn 的值(A )
A 一定为奇数 B 与n的奇偶性相反
C 一定为偶数 D 与n的奇偶性相同
解:
2an bn (1
例3 求 x 3 x 9展开式中的有理项
解:
Tr1
C9r
(
x
1 2
)9r
(
x
1 3
)r
(1)r
C9r
x
27r 6
令 27 r Z即4 3 r Z(r 0,1 9)
6
6
r 3或r 9
r 3
27 r 4 6
T4 (1)3C93x4 84x4
原r式 9的有27理6项r 为 3:T4T10 (841)x9C4 9T91x03
x3
x3
例4(04全国卷) (x
1 )8 x
的展开式中 x5的
系数为__________
解: 设第 r 1项为所求
Tr 1
C8r
x8r
(
x
1 2
)r
(1)r
C8r
x8r
x
r 2
(1)r
C8r
x8
3 2
r
由8 3r 5可得r 2
2
x5 的系数为 (1)2C82 28
例5.求( x 2 )10的展开式中第四项的二 项式系数 x
6
(2x 1)5 的通项是
C5s (2x)5s (1)s C5s (1)s 25s x5s
( x 1)6(2x 1)5 的通项是
C C (1) 2 x s r 56
s
5s
16r2 s 2
由题意知 16r2 s
2
6
r 2s 4 (r 0 6, s 0 5)
r 0 r 2 解得 s 2 s 1
所以 x6 的系数为:
r 4 s 0
C52C60 (1)2 23 C51C62 (1)24 C50C64 (1)0 25
640
例题点评
对于较为复杂的二项式与二项式乘积
利用两个通项之积比较方便运算
题型五 三项式转化为二项式
例9 求( x 1 1 )8展开式中的常数项 x
解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式
解:可逐项求得 x 4 的系数
(1 x)4 的展开式通项为 C4r (x)r 当r 3时
系数为-4
(1 2x)8的展开式通项为C8s (2x)s 当s 2 时
系数为 4C82 112
(1 3x)12的展开式通项为 C1t2 (3x)t 当 t 1时 系数为3C112 36
所以 x(1 x)4 x2 (1 2x)8 x3 (1 3x)12 展开式中的 系数为 4 112 36 144
例题点评
求复杂的代数式的展开式 中某项(某项的系数),可以逐项 分析求解,常常对所给代数式进 行化简,可以减小计算量
题型四 求乘积二项式展开式中特定的项(特
定项的系数)
例题 8:求( x 1)6(2x 1)5 的展开式中x6 项
的系数.
解(
x 1)6 的通项是 C6r (
x )6r
C xr
6r 2
( x 1 1 )8 [( x 1 ) 1]8
x
x
C80(
x
1 x
)8
C81
(
x
1 x
)7
C87
(
x
1 x
)
C88
再利用二项式定理逐项分析常数项得
C80C84 C82C63 C84C42 C86C21 C88
注意(1)二项式系数与系数的区别.
(2)Tr1 Cnranrbr 表示第 r 1项.
题型三 求多项式的展开式中特定的项(系数)
例6 (x 1) (x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 (x 1)5
的展开式中,x2 的系数等于___________
解:仔细观察所给已知条件可直接求得 x2的系 数是 C20(1)C31 (1)2C42 (1)3C53 20
复习旧知
二项式定理
a b n Cn0an Cn1an-1b Cn2an-2b2
Cnn-1abn-1 Cnnbn
二项式展开的通项
Tr 1
C
r n
a
n-r
b
r
第
r 1 项
性质复习
性质1:在二项展开式中，与首末两端等距离 的任意两项的二项式系数相等.
性质2:如果二项式的幂指数是偶数，中间一 项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数 是奇数，中间两项的二项式系数最大；
性质3：C
0 n
Cn1
Cn2
Cnk
C
n n
2n
性质4:(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式 系数的和等于偶数项的二项式系数和.
题型一 利用 a b n的二项展开式解题
例1
求
3
x
1 4 x 的展开式
解法1
3
x
1 x
4
C40
3
x 4C41 3
31 x
x
式直 定接 理用 展二 开项
C42 (3