山东春季高考知识点讲解--函数的最值

山东春季高考模拟试题---- 根据历年春季高考考试大纲出题
山东春季高考知识点讲解--函数的最值
（一）主要知识：
1．函数最值的意义；
2．求函数最值的常用方法：（1）配方法：主要适用于可化为二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的范围；（2）判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=的函数()y f x =．在由0∆≥且()0a y ≠，求出y 的值后，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值；
（3）不等式法：利用基本不等式求最值时一定要注意应用的条件；（4）换元法：用换元法时一定要注意新变元的取值范围；（5）数形结合法：对于图形较容易画出的函数的最值问题可借助图象直观求出；（6）利用函数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值．
（二）主要方法：
1．函数的最值问题实质上是函数的值域问题，因此求函数值域的方法，也是求函数的值域的方法，只是答题的方式有所差异；
2．无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，不等式法及判别式法尤其如此．
（三）例题分析：
例1．求下列函数的最大值或最小值：
（1） 2432y x x =-+-；（2）12y x x =--；（3）22225
1x x y x x ++=++．
解：（1）2432y x x =-+-24(1)4x =---+，由2320x x +-≥得13x -≤≤， ∴当1x =时，函数取最小值2，当 1 3x or x =-=时函数取最大值4．
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（2）令112 (0,)2
x t t x -=≥≤，则212t x -=，∴2211(1)122t y t t -=-=-++， 当0t =，即12x =时取等号，∴函数取最大值12
，无最小值． （3）解法（一）用判别式法： 由22225
1x x y x x ++=++得2(2)(2)50,y x y x y x R -+-+-=∈，
①若2y =，则25=矛盾， ∴2y ≠，
②由2y ≠，这时，22(2)4(2)(5)0
y y y y ≠∆=----≥⎧⎨⎩，解得：26y <≤， 且当6y =时，12
x =-， ∴函数的最大值是6，无最小值． 解法（二）分离常数法： 由222251x x y x x ++=++2321x x =+++23213()24
x =+++ ∵2133()244
x ++≥，∴26y <≤ ，∴函数的最大值是6，无最小值． 例2．（1）函数x y a =在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a =2．
（2）对于满足40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，则x 的取值范围为(,1)(3,)-∞-+∞ ．
（3）已知函数()21x f x =-，2()1g x x =-，构造函数()F x ，定义如下：当|()|()f x g x ≥时，()|()|F x f x =，当|()|()f x g x <时，()()F x f x =-，那么()F x （ B ）
()A 有最小值0，无最大值 ()B 有最小值1-，无最大值
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()C 有最大值1，无最小值 ()D 无最小值，也无最大值
例3．已知113
a ≤≤，若2()21f x ax x =-+在[1,3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-，
（1）求()g a 的函数表达式； （2）判断函数()g a 的单调性，并求出()g a 的最小值．
答案参看教师用书93P ．
（四）巩固练习：
1．函数2(62) [0,3], y x x x =-∈的最大值为 16 ；
2．若,,3212x y R x y +∈+=，则xy 的最大值是 6 ；
3．若221,x y +=则34x y -的最小值是5-；
4．3()3f x ax x a b =-+-，在[2,1]--和 [1,2]上是单调递减函数，则a 的最大值为16
．。