第九章 单纯形优化设计

记：Z0=CBB-1b
(1-1) (1-2) (1-3)
(1-4)
2 最优解判别定理
定理：设B是线性规划(1-1)’～(1-2)’的基
b’=B-1b=(b’1 ,b’2 ,…..b’m )T ≥0 X(0)是与B对应的基可行解，即
X(0) ＝（ b’1 ,b’2 ,…0 ..b’m,0,…..0) T 如果X所有的检验数 j ≤0,则X 是最优解。

X
1

X
2


X
3
X 4


X
5


(1,2,0,0)T
( 45 ,0, 14 ,0)T 13 13
(34 ,0,0, 7 )T
5
5
(0, 45 , 7 ,0)T 16 16
(0, 68 ,0, 7 )T 29 29

X
6

(0,0, 68 , 45)T 31 31
注：基向量的下标视约束方程而异，不一定是1,2,…,m
例 2 求初始基可行解
max z = 3x1-2x2+5x3+9x4-x5
x1
s.t.

x2 x3
x4 x5 8 6x4 - 3 x5 12 x4 2x5 4
Hale Waihona Puke x1, , x5 0解：
系数矩阵A
b
1 0… 0… 0 a1,m+1… a1,m+t… a1n
b1
0 1… 0… 0 ┇
a2,m+1… a2,m+t… a2n ┇
b2 ┇
0 0… 1… 0 al,m+1… al,m+t… aln

摘要PID参数整定是自动控制领域研究的重要内容，PID参数的最优性决定了控制的稳定性和快速性，也可保证系统的可靠性。

传统的PID参数多采用试验加试凑的方式由人工进行优化，往往费时并且难以满足控制的实时要求。

为了解决PID参数的优化问题，采用单纯形法对PID参数寻优，以获得满意的控制效果。

本文介绍了单纯形法的基本原理，并针对单纯形法在PID参数寻优中存在的问题进行了分析，并对其进行了实验仿真。

结果表明，用单纯形法整定PID参数，可以提高优化性能，对控制系统具有较好的控制精度、动态性能。

关键词：PID控制器单纯形法PID整定一、综述1.1选题背景PID调节器是最早发展起来的控制策略之一，因为它所涉及的设计算法和控制结构都是简单的，并且十分适用于工程应用背景，此外PID控制方案并不要求精确的受控对象的数学模型，且采用PID 控制的控制效果一般是比较令人满意的，所以在工业实际应用中，PID调节器是应用最为广泛的一种控制策略，也是历史最久、生命力最强的基本控制方式。

调查结果表明在当今使用的控制方式中，PID型占84.5%，优化PID型占6.8%，现代控制型占有1.5%，手动控制型6.6%，人工智能(AI)型占0. 6%。

如果把PID型和优化PID型二者加起来则占90%以上，这说明PID控制方式占绝大多数，如果把手动控制型再与上述两种加在一起，则占97. 5%，这说明古典控制占绝大多数。

就连科学技术高度发达的日本，PID控制的使用率也高达84.%。

这是由于理论分析及实际运行经验已经证明了PID调节器对于相当多的工业过程能够起到较为满足的控制效果。

它结构简单、适用面广、鲁棒性强、参数易于调整、在实际中容易被理解和实现、在长期应用中已积累了丰富的经验。

特别在工业过程中，由于控制对象的精确数学模型难以建立，系统的参数又经常发生变化，运用现代控制理论分析综合要耗费很大的代价进行模型辨识，但往往不能达到预期的效果，所以不论常规调节仪表还是数字智能仪表都广泛采用这种调节方式。

例 ：用 单 纯 形 方 法 求 解m i nf ( x) ( x1 1)2 5( x12 x2 )2 ,
(1)取 初 始 点x(0) (2,0)T , 0.5 (2)取 初 始 点x(0) (2,0)T , 1
计 算 到3个 初 始 点 全 部 被 替 代止为。
(V r : 反射点， : 反射系数 ，一般取 1 )
如 果 f (V r ) f (V l )，则 转 step 4.
如 果 f (V r ) f (V s )，则 转 step 5.
V h : V r , 转7.
step4.( 延伸步 )V e V (V V h ) V (V r V ) (V e : 延 伸 点， : 延 伸 系 数，一 般 取 2 )
e3
( 3 , 1 ,1)T 22
1 ( 0,0,1)T 2
( 3 , 1 , 3 )T 。 222
则 S [V 0 , V 1 , V 2 , V 3 ]构成一个单纯形。
6.单纯形调优法的几何解释
V0
V2
V
Vr
V1
Ve
x*
给定单纯形S [V 0 , V 1 , , V n ]。 设 f (V h ) max{ f (V 0 ), f (V 1 ),, f (V n )}, f (V s ) m ax f (V i ) 。
如 果 f (V e ) f (V r ))，V h : V e;否 则 ，V h : V r . 转 step 7（判断 步） .
step 5.(收缩步)
计算V h argmin{f (V h ), f (V r )},.
V c V (V h V )(V c : 收 缩 步 ，收 缩 系 数 ， 一 般 为1 ).

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constraints or to stay on a high yield portion of a steep slope, but a reduction in size can be made after these problems are encountered. sIndividual optimization of quantitative factors.Then the optimization results are compared and the optimal qualitative factors are determined.
auxiliary response 副反应
4-11（倒2）screening ['skrinɪŋ] n. 筛选；[化]筛分
6-5 precision [prɪ'sɪʒn] n. 精度，[数] 精密度
92页
6'-3 experimental conditions 实验条件 6'-4 sequence ['sikwəns] n. [数][计] 序列 6'-6 slopes [slop] n. 倾斜，斜坡；[数] 斜率；slope的复数形式
第三段 第二段 Define the quantity to be To simplify the optimization it is usually preferable to choose only the
optimized and propose a practical solution.
most important factors.
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基本可行解
在线性规划问题中，满足非负约束条件的基本解，称基本可行解，简