高中数学 第一章 三角函数 1_2-1_2.2 同角三角函数的基本关系练习 新人教A版必修4
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1.2.2 同角三角函数的基本关系
A 级 基础巩固
一、选择题 1．化简
1－sin 2160°的结果是( )
A ．cos 160°
B ．－cos 160°
C ．±cos 160°
D ．±|cos 160°|
解析：
1－sin 2160°＝
cos 2160°＝
|cos 160°|＝－cos 160°. 答案：B
2．已知α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，且sin α＝3
5，则tan α＝( )
A.34 B ．－34 C.43 D ．－4
3
解析：由sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π得cos α＝－
1－sin 2α＝－
45，所以tan α＝sin αcos α
＝－3
4
. 答案：B
3．若α∈[0，2π)，且有1－cos 2α＋ 1－sin 2α＝sin α－cos α，则角α的取值范
围为( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π2，π C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π，32π 解析：因为1－cos 2α＋1－sin 2α＝sin α－cos α所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α≥0，
cos α≤0，
又α∈[0，2π)所以α∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π2，π
答案：B
4．若sin θ＝m －3
m ＋5，cos θ＝4－2m
m ＋5，则m 的值为( )
A ．0
B ．8
C ．0或8
D ．3<m <9
解析：由sin 2θ＋cos 2θ＝1得
⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－2m m ＋52
＝1，解得m ＝0或8. 答案：C
5．若θ是△ABC 的一个内角，且sin θcos θ＝－1
8，则sin θ－cos θ的值为( )
A ．－32 B.32 C ．－52 D.5
2
解析：由题意知θ∈(0，π)， 所以sin θ－cos θ >0， sin θ－cos θ＝ （sin θ－cos θ）2＝
1－2sin θcos θ＝
5
2
. 答案：D
二、填空题
6．在△ABC 中，若cos(A ＋B )>0，sin C ＝1
3，则tan C 等于________．
解析：在△ABC 中，因为cos(A ＋B )>0， 所以0<A ＋B <π
2，又C ＝π－(A ＋B )，
所以角C 是钝角，所以cos C ＝－
1－sin 2C ＝－
223，
所以tan C ＝sin C
cos C ＝
1
3－2
23
＝－
24.
答案：－2
4
7．若4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，则tan α的值为________．
解析：因为4sin α－2cos α
5cos α＋3sin α
＝10，
所以4sin α－2cos α＝50cos α＋30sin α， 所以26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α. 所以tan α＝－2. 答案：－2
8．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝1
5
，则sin x －cos x ＝________．
解析：由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1
25，即2sin x cos x ＝
－24
25
，
所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x ·cos x ＝49
25
，
又因为－π2<x <0，所以sin x <0，cos x >0，sin x －cos x <0，所以sin x －cos x ＝－7
5.
答案：－7
5
三、解答题
9．已知tan α＝2
3，求下列各式的值；
(1)1
sin αcos α
； (2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α.
解：(1)1
sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan 2α＋1tan α＝13
6
.
(2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2 a ＝ sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α
sin 2α＋cos 2α＝
tan 2α－2tan α＋4tan 2α＋1＝49－43＋4
49＋1＝28
13
.
10．若3π
2
<α<2π，化简
1－cos α1＋cos α
＋ 1＋cos α1－cos α
.
解：因为3π
2<α<2π，所以sin α<0.
所以原式＝
（1－cos α）2
（1＋cos α）（1－cos α）
＋
（1＋cos α）2
（1－cos α）（1＋cos α）
＝
（1－cos α）2
sin 2α
＋
（1＋cos α）2
sin 2α
＝
|1－cos α||sin α|＋|1＋cos α|
|sin α|.
因为sin α<0，
所以原式＝－1－cos αsin α－1＋cos αsin α＝－2sin α
.
B 级 能力提升
1．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝( ) A.45 B.35 C.25 D.1
5 解析：因为方程
4x 2＋x －3＝0
的根为x ＝3
4
或x ＝－1，
又因为tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根且α为锐角， 所以tan α＝34，所以sin α＝34cos α，即cos α＝4
3sin α，
又sin 2α＋cos 2α＝1， 所以sin 2α＋16
9sin 2α＝1，
所以
sin 2α＝
9
25(α为锐角)， 所以sin α＝3
5.
答案：B 2．使
1－cos α
1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α的范围是__________．
解析：
1－cos α1＋cos α
＝
（1－cos α）2sin 2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1
sin α
，
所以sin α<0，故2k π－π<α<2k π，k ∈Z.
答案：{α|2k π－π<α<2k π，k ∈Z}
3．已知关于x 的方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦，求实数m 的值．
解：设直角三角形的一个锐角为β， 因为方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0中， Δ＝4(m ＋1)2－4×4m ＝4(m －1)2≥0， 所以当m ∈R 时，方程恒有两实根． 又因为sin β＋cos β＝
m ＋1
2
，
sin βcos β＝m
4
，
所以由以上两式及sin 2β＋cos 2β＝1， 得1＋2×
m 4＝⎝
⎛⎭
⎪⎫m ＋122
，解得m ＝± 3.
当m ＝3时，sin β＋cos β＝
3＋12
>0，sin β·cos β＝3
4
>0，满足题意，
当m ＝－3时，sin β＋cos β＝1－3
2<0，这与β是锐角矛盾，舍去．
综上，m ＝ 3.。
