高中数学第一章三角函数1_2_2同角三角函数的基本关系课时作业新人教版
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【创新设计】（浙江专用）2016-2017高中数学 第一章 三角函数 1.2.2
同角三角函数的基本关系课时作业 新人教版必修4
1.若sin α＝4
5，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )
A.－43
B.34
C.±34
D.±43
解析 α为第二象限角，sin α＝45，cos α＝－35，tan α＝－4
3.
答案 A 2.已知sin α＝55
，则sin 4α－cos 4
α的值为( ) A.－1
5
B.－35
C.15
D.35
解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2
α－1＝2×15－1＝－35.
答案 B
3.已知sin θ＋cos θ
sin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )
A.34
B.±310
C.310
D.－3
10
解析 由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)， ∴(sin θ＋cos θ)2
＝4(sin θ－cos θ)2
， 解得sin θcos θ＝3
10.
答案 C
4.化简：sin 2
α＋sin 2
β－sin 2
αsin 2
β＋cos 2
αcos 2
β＝______. 解析 原式＝sin 2
α＋sin 2
β(1－sin 2
α)＋cos 2
αcos 2
β ＝sin 2
α＋sin 2
βcos 2
α＋cos 2
αcos 2
β ＝sin 2
α＋cos 2
α(sin 2
β＋cos 2
β) ＝sin 2
α＋cos 2
α＝1. 答案 1 5.若化简1－cos α1＋cos α后的结果为cos α－1
sin α，则角α的范围为______.
解析 ∵
1－cos α
1＋cos α
＝
（1－cos α）2
1－cos 2
α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1
sin α
， ∴sin α<0.∴－π＋2k π<α<2k π，k ∈Z .
答案 (－π＋2k π，2k π)，k ∈Z 6.已知tan α＝－2，求下列各式的值： (1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α； (2)14sin 2α＋25
cos 2
α. 解 法一 由tan α＝－2，得sin α＝－2cos α. (1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝－8cos α－2cos α5cos α－6cos α＝10. (2)14sin 2α＋25cos 2
α＝14sin 2α＋25cos 2
αsin 2α＋cos 2
α ＝cos 2α＋25cos 2α
4cos 2α＋cos 2
α＝7
25
. 法二 ∵tan α＝－2，∴cos α≠0.
(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝4tan α－25＋3tan α＝4·（－2）－25＋3·（－2）＝10. (2)14sin 2α＋25cos 2
α＝14sin 2α＋25cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋25tan 2
α＋1＝725. 7.已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝
3－1
2
，求tan θ的值. 解 将sin θ＋cos θ＝
3－1
2的两边分别平方， 得1＋2sin θcos θ＝1－
32
， 即sin θcos θ＝－
34
. 所以sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2
θ＝－3
4， 解得tan θ＝－3或tan θ＝－
3
3
. ∵θ∈(0，π)，0<sin θ＋cos θ＝
3－1
2
<1， ∴θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，且|sin θ|>|cos θ|， ∴|tan θ|>1，
即θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
，3π4，∴tan θ<－1.
∴tan θ＝－ 3.
8.求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2（cos α－sin α）
1＋sin α＋cos α.
证明 法一
左边＝cos α（1＋cos α）－sin α（1＋sin α）（1＋sin α）（1＋cos α）
＝cos 2
α－sin 2
α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α
＝（cos α－sin α）（cos α＋sin α＋1）12（cos α＋sin α）2
＋sin α＋cos α＋12 ＝2（cos α－sin α）（cos α＋sin α＋1）（sin α＋cos α＋1）2
＝2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α＝右边. ∴原式成立.
法二 ∵cos α1＋sin α＝1－sin αcos α＝cos α＋1－sin α
1＋sin α＋cos α，
sin α1＋cos α＝1－cos αsin α＝sin α＋1－cos α1＋cos α＋sin α，
∴cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2（cos α－sin α）1＋cos α＋sin α. ∴原等式成立.
能 力 提 升
9.已知tan θ＝2，则sin 2
θ＋sin θcos θ－2cos 2
θ等于( ) A.－43
B.54
C.－34
D.45
解析 sin 2
θ＋sin θcos θ－2cos 2
θ
＝sin 2
θ＋sin θcos θ－2cos 2
θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2
θ＋tan θ－2tan 2
θ＋1， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝4
5.
答案 D
10.已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1
tan α
的值为( ) A.－4
B.4
C.－8
D.8
解析 tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1
sin αcos α.
∵sin αcos α＝1－（sin α－cos α）2
2＝－1
8，
∴tan α＋1
tan α＝－8.
答案 C
11.在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则角A ＝________. 解析 由题意知cos A >0，即A 为锐角.
将2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2
A ＝3cos A . ∴2cos 2
A ＋3cos A －2＝0，
解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，∴A ＝π
3.
答案
π3
12.如果sin α＋cos α＝1
5
，那么α所在的象限是________.
解析 由(sin α＋cos α)2
＝1＋2sin αcos α，得sin αcos α＝－1225<0，
即sin α，cos α异号，因此α在第二或第四象限. 答案 第二或第四象限 13.已知sin α＋cos α＝
22，求1sin 2α＋1
cos 2α的值. 解 由sin α＋cos α＝
2
2
平方可得 sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2
α＝1＋2sin αcos α＝12.
∴sin αcos α＝－1
4
，
∴1sin 2α＋1cos 2α＝sin 2
α＋cos 2
αsin 2αcos 2
α
＝16. 探 究 创 新
14.已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ， θ∈(0，2π)，求：
(1)sin θ1－
1tan θ＋cos θ1－tan θ的值；(2)m 的值；
(3)方程的两根及θ的值.
解 因为已知方程有两根，
所以2m m θθθθ⎧⎪
⎪
⎪
⎨⎪
⎪∆≥⎪⎩
sin +cos ①sin cos =,②0.③
(1)sin θ1－
1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2
θsin θ－cos θ＋cos 2
θcos θ－sin θ
＝sin 2
θ－cos 2
θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (2)对①式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32，
所以sin θcos θ＝
34
. 由②，得m 2＝3
4
，
即m ＝
32.由③，得m ≤2＋34，所以m ＝32
. (3)因为m ＝
32，所以原方程为2x 2
－(3＋1)x ＋32
＝0. 解得x 1＝32，x 2＝1
2
，所以sin cos 11cos sin .22
θθθθ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨
⎪⎪==⎪⎪⎩⎩或 又因为θ∈(0，2π)，所以θ＝π3或θ＝π
6
.。
