下载文档原格式
标准二阶椭圆型偏微分方程：解析、性质与应用一、引言偏微分方程是数学物理领域中的一个重要研究对象，尤其是二阶椭圆型偏微分方程，具有非常丰富的理论和实际应用价值。
标准二阶椭圆型偏微分方程是二阶椭圆型偏微分方程的一种特殊形式，具有独特的性质和广泛的应用领域。
本文将对标准二阶椭圆型偏微分方程进行详细解析，包括其定义、性质、解析方法以及在实际问题中的应用。
二、标准二阶椭圆型偏微分方程的定义在数学中，标准二阶椭圆型偏微分方程的一般形式可以表示为：Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + Du_x + Eu_y + Fu = G。
其中，A, B, C, D, E, F, 和G 是关于x 和y 的函数，并且满足一定的条件以保证方程是椭圆的。
当这些系数函数满足一定条件时，我们称这样的方程为标准二阶椭圆型偏微分方程。
三、标准二阶椭圆型偏微分方程的性质1. 椭圆性：对于标准二阶椭圆型偏微分方程，其解的存在性和唯一性与其椭圆性密切相关。
椭圆性条件保证了方程在一定区域内具有解的存在性和唯一性。
2. 正则性：标准二阶椭圆型偏微分方程的解具有一定的正则性，即解的光滑程度与方程的系数函数和边界条件有关。
这一性质为数值求解提供了理论依据。
3. 最大原理和边界值问题：最大原理是研究二阶椭圆型偏微分方程解的重要工具，它给出了方程解在区域内部和边界上的性质。
边界值问题则是二阶椭圆型偏微分方程在实际应用中的一个重要方面。
四、解析方法对于标准二阶椭圆型偏微分方程的解析方法，主要有以下几种：1. 分离变量法：适用于具有特定对称性的方程，通过将多元函数的偏微分方程转化为一元函数的常微分方程来求解。
2. 有限差分法：将连续的问题离散化，构造差分格式来逼近微分方程的解。
这是一种常用的数值求解方法。
3. 有限元法：将连续的问题离散化为有限个单元，并在每个单元上构造近似解。
这是一种广泛应用于工程和科学计算的数值方法。
4. 变分法：通过寻找泛函的极值来求解偏微分方程，具有深刻的物理背景和广泛的应用领域。
椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程是数学中重要的一类偏微分方程，它在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。
本文将对椭圆型偏微分方程的定义、性质及求解方法进行探讨。
一、椭圆型偏微分方程的定义及性质椭圆型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的一类，其主要特点是其二阶导数的符号确定，即二阶导数的符号一致。
一个一般的椭圆型偏微分方程可以表示为：\[Lu = \sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)\frac{{\partial^2u}}{{\partialx_i\partial x_j}} + \sum_{i=1}^{n}b_i(x)\frac{{\partial u}}{{\partial x_i}} + c(x)u = f(x)\]其中，\(L\)是椭圆算子，\(\frac{{\partial^2u}}{{\partial x_i\partialx_j}}\)是二阶偏导数，\(a_{ij}(x)\)、\(b_i(x)\)、\(c(x)\)是给定函数，\(f(x)\)是已知的源项函数。
对于椭圆型偏微分方程，有以下一些性质：1. 解的正则性：解的导数有界，满足一定的光滑性条件。
2. 最大值原理：在定义域上的解在边界上取得其最大（或最小）值时，只能在边界上取得。
3. 边值问题的唯一性：给定边界条件，边值问题有唯一解。
二、椭圆型偏微分方程的求解方法椭圆型偏微分方程的求解可以使用多种方法，下面介绍其中的两种常见方法：有限差分法和变分法。
1. 有限差分法有限差分法是将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程，通过对离散方程的求解得到近似解。
该方法将解域进行网格划分，利用差分代替导数，将方程离散化。
通过求解离散方程组，得到近似解。
有限差分法简单易实现，但对于复杂的几何形状或边界条件的问题可能需要较高的计算资源。
2. 变分法变分法通过泛函的极值问题来求解椭圆型偏微分方程。
将方程转化为泛函的极值问题后，通过极值问题的变分推导和变分运算得到数学模型的解。
变分不等式及其应用摘要变分不等式是一类重要的非线性问题，它在工程、经济、控制理论等领域广泛应用。
变分不等式问题的数学理论最开始应用于解决均衡问题，在此模型中，函数来自对应势能的一阶变分，因此而得名．作为经典变分问题的推广和发展，变分不等式的形式也更多样化。
本文主要研究变分不等式的由来，变分不等式的导出以及一些变分不等式的应用．第一章为预备知识，主要介绍了凸泛函、上下半连续泛函、次连续、Ferchet微分和单调映像等的一些定义，为下文更好的引出变分不等式的概念、导出和应用提供了理论依据。
第二章具体的提出变分不等式的概念并给出一些变分不等式的常见例子。
第三章主要通过可微函数的极值问题、不可微函数的极值问题、Hilbert 空间的投影问题、分布参数系统控制问题等一些问题的探讨说明导出变分不等式一些方法。
第四章研究一类非线性拟变分不等式并应用于二阶半线性椭圆型边值问题。
关键词：变分不等式，极值问题，椭圆方程，边值问题VARIATIONAL INEQUALITYAND ITS APPLICATIONABSTRACTVariational inequalities are important nonlinear problems, it has been widely applied in the fields of engineering, economics, control theory. The mathematical theory of variational inequality problem is originally applied to solve equilibrium problem. In this model, the function comes from the first-order variation of the corresponding potential energy, so it is called variational inequality problem. As the generalization and development of classical variational problems, the form of variational inequalities should be diversification. In this paper, i study the origin, derivation, and applications of variational inequalities.The first chapter is is Preliminaries. In this chaper, i list the definitions of convex functional, upper and lower semi-continuous functional, consecutive, Ferchet differential, montonous map, and so on. They are used forunderstanding the concept, derivation, and applications of variational inequality.In the second chapter, i introduce the concept of variational inequalities and give some common examples of variational inequalities.In the third chapter, by consdering differentiable functions’ extremum problems, non-differentiable functions’ extremum problems, the projection in Hilbert space, control systems of distributed parameter and some other issues, i study the methods of variational inequalities’ derivation.In the fourth chapter, a class of nonlinear quasi-variational inequalitie is introduce, and it is applied to solve second order semi-linear elliptic boundary value problems.Key words:Variational inequalities, extremum problem, elliptic equation，boundary value problem前言 (1)第一章预备知识 (2)第二章变分不等式的概念和例子 (4)§2.1 变分不等式的概念 (4)§2.2变分不等式的例子 (5)第三章变分不等式的导出 (8)§3.1 可微函数的极值问题 (8)§3.2 不可微函数的极值问题 (10)§3.3 Hilbert空间上的投影问题 (11)§3.4 不动点问题 (12)§3.5 分布参数系统控制问题 (14)第四章变分不等式的应用 (17)结论 (19)参考文献............................... 错误!未定义书签。
有限差分法（Finite Difference Method, FDM）是一种常见的数值方法，用于求解偏微分方程。
然而，并非所有的方程都可以通过有限差分法来求解。
本文将讨论有限差分法不能求解的方程，并探讨其原因。
一、有限差分法求解的方程类型有限差分法主要用于求解偏微分方程，尤其是常见的热传导方程、扩散方程和波动方程等。
这些方程通常可以通过有限差分法离散化空间和时间，从而转化为代数方程组，再通过迭代等方法求解。
二、有限差分法不能求解的方程类型然而，并非所有的偏微分方程都适合用有限差分法求解。
以下是一些有限差分法不能求解的方程类型：1. 非线性偏微分方程：有限差分法主要适用于线性偏微分方程，对于非线性偏微分方程，由于其复杂的性质和解的多样性，有限差分法往往难以适用。
2. 高阶偏微分方程：有限差分法通常只适用于一阶和二阶偏微分方程，对于高阶偏微分方程，需要进行更复杂的离散化处理，难以直接通过有限差分法求解。
3. 变系数偏微分方程：对于系数随空间或时间变化的偏微分方程，有限差分法往往难以准确描述其变化规律，因此难以求解。
4. 非线性边值问题：对于带有非线性边值条件的偏微分方程，有限差分法的稳定性和收敛性难以保证，因此难以求解。
三、原因分析有限差分法不能求解某些偏微分方程的原因主要包括以下几点：1. 离散化处理困难：一些复杂的方程很难通过简单的差分离散化处理转化为代数方程组，从而难以应用有限差分法求解。
2. 解的多样性：对于非线性偏微分方程和非线性边值条件，解的多样性导致有限差分法往往无法准确描述其解的特性。
3. 稳定性和收敛性难以保证：对于一些特殊的偏微分方程，由于有限差分法的稳定性和收敛性难以保证，因此难以求解。
四、解决方法针对有限差分法不能求解的方程，可以考虑以下解决方法：1. 使用其他数值方法：对于非线性偏微分方程和高阶偏微分方程，可以考虑使用有限元法、有限体积法等其他数值方法进行求解。
2. 手工推导精确解：对于一些特殊的偏微分方程，可以尝试手工推导其解析解，从而获得准确的解。
常微分方程边值问题的解法常微分方程是描述自然科学、工程技术和经济管理等领域中各种变化规律的一个基础理论。
而边值问题是求解一些微分方程的重要问题之一，涉及到数学、物理、化学等多个领域。
在本文中，我们将讨论常微分方程边值问题的解法。
1. 边值问题的定义在微分方程解的过程中，边值问题（Boundary Value Problem, BVP）是指在区间 $[a,b]$ 上求解微分方程的解，同时已知$y(a)=\alpha$，$y(b)=\beta$ 的问题。
边值问题是对初值问题（Initial Value Problem, IVP）的一种自然延伸，在一定范围内对变量的取值进行限制，使得解的可行域更为明确。
举例来说，对于经典的二阶线性微分方程$$ y''+p(x)y'+q(x)y=f(x), \quad a<x<b $$ 如果边界条件是$y(a)=\alpha$，$y(b)=\beta$，则这个微分方程就是一个边值问题。
2. 常用解法对于一般的常微分方程边值问题，没有通用的方法可以求出其解析解，必须采用一些数值计算的方法进行求解。
常用的边值问题的解法大致有以下几种：（1）求解特殊解的方法这种方法常用于求解具有周期性边界条件的问题。
如果问题中的边界条件满足：$y(a)=y(b)=0$，则可以将问题转化为一个周期问题，即 $y(a+k)=y(b+k)$，其中 $k=b-a$。
这时，边值问题就变成了求解这个方程的周期解，例如，可以使用Fourier 级数来求解。
（2）变分法变分法是一种基于求解最小值的方法，可以用来求解一类线性边值问题。
其基本思路是将原问题转化为求一个积分的最小值。
对于一般的边值问题 $y''+f(x)y=g(x)$，可以构造一个变分问题：$$ \delta\int_a^b \left(y'^2-f(x)y^2-2gy\right) \mathrm{d}x=0 $$ 这个问题的解可以通过对变分问题的欧拉方程求解而得到。
目录1引言2椭圆型方程非齐次第一边值问题的变分形式2.1建立第一边值条件等价极小位能原理2.2建立第一边值条件等价的虚功原理3椭圆型方程非齐次第二边值问题的变分形式3.1建立第二边值条件的极小位能原理3.2建立第二边值条件的虚功原理4椭圆型方程非齐次第三边值问题的变分形式4.1建立第三边值条件的极小位能原理4.2建立第三边值条件的虚功原理椭圆型方程非齐次边值问题的变分形式1引言很多实际问题的微分方程是通过泛函的变分得到的, 在变分过程中增加了未知函数导数的阶数. 反之某些变分方程的定解问题可通过构造相应的泛函, 使求泛函的极小值与求解微分方程的定解问题等价也就是说, 变分法最终寻求的是极值函数, 它们使得泛函取得极大或极小值. 变分原理在物理学中, 尤其是力学中有着广泛运用, 如著名的虚功原理、极小位能原理、余能原理和哈密顿原理等, 几乎所有的自然定律都能用变分原理的形式予以表达. 在当代变分已成为有限元法的理论基础,是求解边值问题的强力工具.2椭圆型方程第一边值问题的变分形式椭圆型方程第一边值问题：G u G y x f u v k =∈=+∇∇-Γ)2.1(,),(,)(σ, 其中Γ是边界, G 是平面区域).()()(),(),(,0),(,0min ),(),(21y u k y x u k x u k C g G L f G C G c y x k k G∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇∇Γ∈∈≥∈>∈=σσ 定义：{}),(,)(),()(221b a I I L f I L f f I H =∈'∈= 在解决第一边值问题的变分形式的过程中, 我们先运用格林第一公式和极小位能原理建立等价的变分形式, 再运用虚功原理建立等价的变分形式.为此我们需要考虑如下结果: 极小位能原理, 虚功原理, 格林第一公式.格林第一公式：G 是xy 平面上的一有界区域，其边界Γ为分段的光滑曲线，n 为曲线Γ的单位外法向量，nu ∂∂是u 沿n 的方向导数，则有: .)()(vds n u dxdy y v y u x v x u xdy vd u GG ⎰⎰⎰Γ∂∂-∂∂∂∂+∂∂∂∂=∆-,),(),,(G y x y x f u ∈=∆- （2.1.3）,0=Γu （2.1.4） 定义：).,(),(21)(u f u u a u J -= 其中∆是Laplace 算符.2222yx ∂∂+∂∂ 极小位能原理: 设)(2*G C u ∈是边值问题(2.1.3)，（2.1.4）的解，则*u 使)(u J 达到极小.,反之，若)()(102*G H G C u ∈使)(u J 达到极小，则*u 是边值问题（2.1.3），（2.1.4）的解. 虚功原理: 设)(2G C u ∈，则u 满足（2.1.3），（2.1.4）的充要条件是：1E H u ∈且对于任意1E H v ∈满足变分方程，0),(),(=-v f v u a .2.1建立第一边值条件等价的极小位能原理（1）极小位能原理： 设)(20G C u ∈为一特定函数，g u =Γ令0u u v -=，则得到（2.1），（2.2）的等价问题： .0)()(00⎪⎩⎪⎨⎧=-∂∂∂∂+==+∇∇-Γv u y u k y f F v v k σσ 构造v 的二次泛函,外内W W J +=∧ dxdy v v v k W G)((212⎰⎰+∇-∇=σ）内 dxdy Fv W G ⎰⎰=-外).,(),)((21)2)((212v F v v v k dxdy Fv v v v k J G -+∇-∇=-+∇-∇=⎰⎰∧σσ 在2C 中，dxdy Fv v F G⎰⎰=),(.21)(21),(),)((212⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+∇∇-=-+∇-∇=∧GG G Fvdxdy dxdy v vdxdy v k v F v v v k J σ .)()()()(22222222⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-=∇∇-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰G G G G Gdxdy kv y v kv x v dxdy v y v y k v x v x k dxdy v y v k v y v y k v x v k v x v x k vdxdy y v k y x v k x vdxdyv k运用格林第一公式 .)()()(22dxdy y v x v k kvds n v dxdy y kv y v x kv x v dxdy v y v y k v x v x k GG G ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂∂∂+∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-=Γ .)(),(y uvdxd dxdyy y v y u x v x u k v u a GG ⎰⎰⎰⎰+∂∂∂∂+∂∂∂∂=σ令 则).,(),(21)(v F u v a v J -=∧ 下面回到原问题.)()()()(21)()()()(21)()(21),(),(2100200220000202020dxdy x u k x dxdy fu dxdy uu dxdy u dxdy y u y u x u x u k dxdy y u k x u k dxdy u u u y u k y x u k x f dxdy u u dxdy y u y u k x u x u k v F v v a J G G G G G G G GG ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂---+∂∂∂∂+∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂∂∂+∂∂∂∂+--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=-=∧σσσσ依据极小位能原理：)(**x v v =是下列变分问题的解, )(min )(*v J v J v =∧.变分问题表述为：求1*E H u ∈使).(min )(1*v J v J E H v ∈= (1E H 是所有满足非齐次边值（2.2）的函数类构成)(1I H 的子空间)2.2建立第一边值条件等价的虚功原理对任意的1E H v ∈, 有0),(),(=-v f v u a .证明: 以v 乘（2.1)的两端并在G 上积分，得 []).,(),(()()()()(2222v f v u a dxdy Fv dxdy uv dxdy y v y u x v x u k dxdy Fv dxdy kv y v kv x v dxdy v y v y k v x v x k dxdy Fv vdxdy y v k y x v k x dxdyFv v v v k GG G GG G GG G-=-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-=-+∇∇-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰σσ 原问题的变分问题变为：求u ，12E H C u ∈，满足变分方程0),(),(=-v F v u a ，对任意的1E H v ∈.3椭圆型方程的第二边值问题在求椭圆型方程第二边值问题的变分形式时, 我们考虑如下模型poisson 方程. 我们先运用格林第一公式和极小位能原理建立poisson 方程第二边值问题的变分形式 再运用虚功原理建立等价的变分形式.就方程poisson :.),(),,(G y x y x f v ∈=∆- (3.1.1)G 是xy 平面上的一有界区域，其边界Γ为分段的光滑曲线，n 为曲线Γ的单位外法向量.在Γ上u 满足第二边值条件δ=∂∂nu (3.1.2) 3.1建立第二边值条件的极小位能原理 取一特定函数)(20u C u ∈，δ=∂∂nu 0，令0u u v -=，则.0=∂∂n v 先运用极小位能原理和虚功原理导出等价的变分问题，则得到（3.1.1），（3.1.2）的等价问题 ,0F u f v =∆+=∆- (3.1.2).0=∂∂nv (3.1.3) 构造二次泛函:,外内W W J +=∧其中, ,dxdy Fv W G ⎰=外.)(21v d x d y v W G ⎰⎰∆-=内 .)(2121)()(2121)()(21),(),(21),(),(21)(21)(,00000020022222常数常数所以外内+∆-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-=+∆---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=-=-∆-=+∆-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓxdy ud u ds n u xdy d y u y u x u x u u J xdy ud u xdy fud ds auu ds au xdy d y u y u x u x u dxdy y v x v xdy Fvd ds av dxdy y v x v v F v v v F v v dxdy Fv dxdy v v W W v J uu u u u G uG G G其中，.)()(0000xdy ud u ds n u xdy d y u y u x u x u u J uu ⎰⎰⎰⎰⎰∆-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂=Γ又由格林第一公式知道.)(0000ds n u xdy d y u y u x u x u xdy ud u u u ⎰⎰⎰⎰⎰Γ∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂=∆- (3.1.6) 原问题的变分问题的变分形式为：求)(1*u H u E ∈，使得)(min )(*u J u J n u δ=∂∂= .21)(00⎰⎰⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂=uG fudxdy dxdy y u y u x u x u u J 3.2建立第二边值条件的虚功原理对任意的1E H v ∈,有0),(),(=-v f v u a以v 乘（1.1)的两端并在G 上积分，得[],0)(=-∆-⎰⎰dxdy fv v u G（3.2.1）利用公式（1.2.3）及关于v u ,的边值条件（)()得.)()()(dxdy y v y u x v x u vds n u dxdy y v y u x v x u vdxdy u GG G ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-∂∂∂∂+∂∂∂∂=∆-Γ定义双线性形式:dxdy yv y u x v x u v u a G ⎰⎰∂∂∂∂+∂∂∂∂=)(),( 则（3.2.1）写成 0),(),(=-v f v u a . 设12),(E H v G C u ∈∈，则由(3.1.6)得到，,)(),(),(dxdy v f u v f v u a G⎰⎰-∆-=-则原问题的变分问题的变分形式还可以表述为：求u ，12)(E H G C u ∈，对任意.0),(),(,1=-∈v f v u a H v E4椭圆型方程的第三边值问题：在求椭圆型方程第三边值问题的变分形式时, 我们考虑如下模型poisson 方程. 我们先运用格林第一公式和极小位能原理建立poisson 方程第三边值问题的变分形式 再运用虚功原理建立等价的变分形式.就.),(),,(G y x y x f u poisson ∈=∇-方程 （4.1.1）G 是xy 平面上的一有界区域，其边界Γ为分段的光滑曲线，n 为曲线Γ的单位外法向量，nu ∂∂是u 沿n 的方向导数.在Γ上u 满足第三边值条件βα=+∂∂Γu n u 0≥α （4.1.2）4.1建立第三边值条件等价的极小位能原理取一特定函数)(20u C u ∈，βα=+∂∂Γ00u n u ，令0u u v -=，则,0=+∂∂Γv nv α 则得到（3.3,1），（3,3,2）的等价问题,0F u f v =∆+=∆- （4.1.3）.0=+∂∂Γv nv α （4.1.4） 常数常数所以+∆--∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-=+∆---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=-=-∆-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓxdy ud u ds n u xdy d y u y u x u x u u J xdy ud u xdy fud ds auu ds au xdy d y u y u x u x u dxdy y v x v xdy Fvd ds av dxdy y v x v v F v v v F v v v J uu uu u G uG 00000020022222)()(2121)()(2121)()(21),(),(21),(),(21)(,β其中， xdy ud u ds n u xdy d y u y u x u x u u J uu ⎰⎰⎰⎰⎰∆--∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂=Γ0000)()(β 又由格林第一公式知道.)(0000ds n u xdy d y u y u x u x u xdy ud u u u ⎰⎰⎰⎰⎰Γ∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂=∆-原问题的变分问题的变分形式为：求)(1*u H u E ∈，使得)(min )(*u J u J u n u βαγ=+∂∂=.2121)(200⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓ--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂=uds fudxdy dxdy u dxdy y u y u x u x u u J u G βα 4.2建立第三边值条件等价的虚功原理依据虚功原理，对任意的1E H v ∈,有， 0),(),(=-v f v u a证明：以v 乘（4.1.1)的两端并在G 上积分，得[]0)(=-∆-⎰⎰dxdy fv v u G（4.2.1）利用公式（1.2.3）及关于v u ,的边值条件（4.1.2）得 ..)()()(ds uv dxdy y v y u x v x u vds n u dxdy y v y u x v x u vdxdy u G G G ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓ+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-∂∂∂∂+∂∂∂∂=∆-α (4.1.3) 定义双线性形式:,)()(),(vds u n u dxdy y v y u x v x u v u a G α+∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=⎰⎰⎰Γ则（4.2.1）写成，0),(),(=-v f v u a 设12),(E H v G C u ∈∈，则由(4.1.3)得到 vds u nu dxdy v f u v f v u a G )()(),(),(α+∂∂+-∆-=-⎰⎰⎰Γ. 边值问题的另一变分形式是：求U u ∈，对任意的U v ∈, 使).,(),(v f v u a =结束语经过两个多月的努力，论文终于完成在整个设计过程中，出现过很多的难题，但都在老师和同学的帮助下顺利解决了，在不断的学习过程中我体会到：写论文是一个不断学习的过程，从最初刚写论文时对变分问题的模糊认识到最后能够对该问题有深刻的认识，我体会到实践对于学习的重要性，以前只是明白理论，没有经过实践考察，对知识的理解不够明确，通过这次的做，真正做到理论实践相结合。
