离散数学-复旦大学数学科学学院

复旦本科数学培养方案
复旦大学数学系本科培养方案
1. 培养目标
通过培养，学生应具备以下基本能力：
（1）具有坚实的数学基础知识和较强的数学思维能力；
（2）熟练掌握高等数学、数理统计、概率论、实变函数、复变函数等数学学科中的基本理论和基本方法；
（3）掌握一门外语，能阅读数学类英文文献；
（4）具有较强的计算机应用能力和数据处理能力。

2. 课程设置
数学系本科课程设置包括数学及相关基础科学课程、通识课程、艺术体育和实践课程。

其中核心课程如下：
（1）高等数学：微积分学、线性代数、常微分方程、多元统计数据分析等；
（2）数学专业类课程：实变函数、群论与线性代数、复变函数、广义函数与偏微分方程、常微分动力系统、微分几何等；
（3）选修课程：金融与数学、离散数学、数值分析、非线性优化、组合数学、拓扑学、非参数统计、时序分析、推荐系统等。

3. 实践教学
数学系注重实践教学，为学生提供实践课程和实践项目。

实践项目包括本科科研和创新性实践。

学生在实践中能够深入了解和应用所学知识，提高综合素质。

4. 考核评价
考核评价方式包括考试、作业、报告、实验和项目等多种形式。

评价方式旨在检验学生是否掌握了所学知识和能力，同时培养学生的思辨能力和实践能力。

5. 对口升学与就业
数学系本科学生毕业后可以选择深造或就业。

毕业生可以考研读研究
生，获得硕士或博士学位。

毕业生也可就业从事金融、信息技术、科研、教学等相关领域。

02324离散数学知识点
离散数学是研究离散对象和离散结构的数学分支，其知识点包括但不限于集合论、图论、逻辑学、组合数学等。

以下是其中一些重要的知识点：
1. 集合论：集合论是离散数学的基石，它研究集合、集合之间的关系和集合的性质。

2. 图论：图论是离散数学的重要组成部分，它研究图（由节点和边构成的结构）的性质和分类。

3. 逻辑学：逻辑学是离散数学的另一个重要组成部分，它研究推理的规则和形式。

在离散数学中，逻辑通常用于描述和证明一些结构或系统的性质。

4. 组合数学：组合数学是离散数学的一个分支，它研究计数、排列和组合问题。

5. 离散概率论：离散概率论是离散数学的另一个分支，它研究离散随机事件的数学模型。

6. 离散概率分布：离散概率分布是描述离散随机事件发生概率的数学模型。

7. 离散随机变量：离散随机变量是能够取到可数无穷多个值的随机变量。

8. 离散概率空间：离散概率空间是一个集合，它包含一个可数无穷多的元素，每个元素都有一个与之相关的概率值。

9. 离散随机过程：离散随机过程是离散随机事件在时间或空间上的序列。

这些知识点都是离散数学的重要组成部分，它们在计算机科学、数学、物理学等领域都有广泛的应用。

离散数学第五章习题答案题目1: 定义一个关系R在集合A上，如果对于所有的a, b, c属于A，满足以下条件：- 如果(a, b)属于R，则(b, a)属于R。

- 如果(a, b)属于R且(b, c)属于R，则(a, c)属于R。

证明R是传递的。

答案：根据题目给出的条件，R是对称的和传递的。

首先，对称性意味着如果(a, b)属于R，那么(b, a)也必须属于R。

其次，传递性意味着如果(a, b)和(b, c)都属于R，那么(a, c)也必须属于R。

结合这两个性质，我们可以得出结论：对于任意的a, b, c属于A，如果(a, b)和(b, c)都属于R，那么(a, c)也属于R，从而证明了R的传递性。

题目2: 给定一个函数f: A → B，如果对于A中的每个元素a，都有唯一的b属于B使得f(a) = b，那么称f为单射（或一一映射）。

证明如果函数f是单射，那么它的逆函数f^-1也是单射。

答案：要证明f^-1是单射，我们需要证明对于B中的任意两个元素b1和b2，如果f^-1(b1) = f^-1(b2)，则b1 = b2。

假设f^-1(b1) = a且f^-1(b2) = a'，其中a, a'属于A。

由于f是单射，我们知道f(a) = b1且f(a') = b2。

根据f^-1的定义，我们有b1 = f(a) = f(a') = b2。

因此，如果f^-1(b1) = f^-1(b2)，则b1必须等于b2，这证明了f^-1是单射。

题目3: 证明一个函数f: A → B是满射（或到上映射）当且仅当对于B中的每个元素b，都存在A中的元素a使得f(a) = b。

答案：首先，我们证明如果f是满射，那么对于B中的每个元素b，都存在A 中的元素a使得f(a) = b。

假设f是满射，这意味着B中的每个元素都是A中某个元素的像。

因此，对于B中的任意元素b，我们可以找到一个a属于A，使得f(a) = b。

教学督导组2010－2011学年第一学期期末试卷检查情况通报根据教务处《关于做好2010-2011学年第一学期期末考试试卷检查工作的通知》的要求，教学督导组于4月1日至4月15日对全校21个院（系、部）上学期期末考试试卷进行了检查。

本次检查按各院（系、部）试卷装订数量10%的比例进行抽查，最低基数为3本，全校共抽查试卷123本。

各院系抽查试卷检查情况如下：2010－2011学年第一学期各院（系、部）期末试卷抽查情况一览表（说明：①A、B、C、D、F五个等级所对应的分数为5、4、3、2、1，总分为各等级的平均分。

②公共课试卷命题错误、答案错误，责任在院（系、部），从总分中扣分。

）从抽查结果看，全校总平均分为分，比上学期的分高出分，各等级所占抽查总数比重与上学期相比情况见下表：2009－2010学年第二学期与2010－2011学年第一学期试卷抽查结果各等级比重对比表从上表中可以看出，本学期与上学期相比，A级比重虽稍有下降，但B级比重增长较大，同时，C级、D级和F级的比重均有所减少，总体趋势表明试卷工作整体质量有所提高。

虽然试卷工作整体质量有所提高，但问题仍然较多，为了便于各院(系、部)教学管理人员和全体教师，对试卷命题、批改、成绩录入、考试与试卷相关材料的填写、整理装订等环节中存在的问题有比较全面的了解，我们将本次试卷检查中存在的问题，分类整理如下：一、封面1.封面填写的课程名称与试卷印制的课程名称不一致，如：中文系的2本试卷，封面上都是《现代汉语》，但试卷印制的课程名称，一门是《现代汉语（上）》，一门是《现代汉语（下）》，这是2门不同课程的试卷；《大学英语》有(一)、(二)、(三)、(四)四级，因此，必须在课程名称中标明是几级大学英语。

2.课程代码填写不正确，如政治学系《社会主义市场经济理论与实践》试卷，封面填写的课程代码为“(2010-2011-1)ZJ6”，正确的课程代码是“ZJ61010”。

离散数学离散数学是数学的一个分支，它研究离散结构和离散对象。

与连续数学不同，离散数学的对象是不连续的，例如整数、图、组合和逻辑等。

离散数学在计算机科学、信息理论、密码学等领域有着广泛的应用。

本文将对离散数学的基本概念和应用领域进行简要介绍。

基本概念集合论集合论是离散数学的基础，它研究集合的性质和运算。

集合是由一些确定的、不同的元素所构成的整体。

集合论中的基本概念包括集合、元素、子集、并集、交集、差集和补集等。

数理逻辑数理逻辑是研究命题、谓词、推理和证明的形式化方法。

它主要包括命题逻辑和谓词逻辑。

命题逻辑研究命题之间的逻辑关系，而谓词逻辑则进一步研究谓词和个体之间的关系。

代数结构代数结构是离散数学的一个重要组成部分，它研究集合上的元素之间的运算关系。

常见的代数结构有群、环、域等。

图论图论研究图的性质和应用。

图是由顶点和边组成的，它可以表示各种网络结构。

图论中的基本概念包括路径、回路、连通性等。

组合数学组合数学研究有限或可数无限集合的组合性质。

它主要包括排列、组合、二项式系数、生成函数等内容。

应用领域计算机科学离散数学在计算机科学领域有着广泛的应用，如数据结构、算法分析、计算机网络等。

例如，图论可以用于解决网络路由问题，组合数学可以用于计算排列组合等。

信息理论离散数学在信息理论中也有重要应用，如编码理论、信息熵等。

编码理论是研究如何将信息有效地传输和存储的理论，信息熵则是衡量信息量的一种方法。

密码学离散数学在密码学中也有着重要的应用，如公钥密码体制、数字签名等。

公钥密码体制是一种非对称加密技术，它使用一对密钥进行加密和解密操作。

数字签名则是一种验证消息完整性和发送者身份的技术。

总结：离散数学是一门研究离散结构和离散对象的数学分支，它在计算机科学、信息理论和密码学等领域有着广泛的应用。

通过学习离散数学，我们可以更好地理解和应用这些领域的知识和技术。

数学与应用数学专业课程设置与简介来源: 理学院时间: 2005年8月2日14:27 点击: 5603数学系数学与应用数学专业（S）四年制教学中共开设相关专业课程26门, 其中专业基础课3门, 包括: 数学分析、高等代数、解析几何；专业课12门, 包括: 常微分方程、中学数学解题研究、中学数学教材分析、数学教育概论、计算方法、初等数论、离散数学、近世代数、实变函数论、复变函数论、概率论、数理统计；专业选修课11门, 包括: 专业英语、泛函分析、点集拓扑、数学实验、数学模型、数学分析选讲、高等代数选讲、线性规划、数学史、数学竞赛教程。

各门课程简介如下:一、数学分析内容简介: 数学分析是数学专业的一门重要的专业基础课程, 是高等数学理论的基础, 也是所有本科专业学生的必修课程, 这门课程的学好与否, 直接影响到后续课程如复变函数、实变函数以与拓扑学等课程的学习。

该课程首先详细介绍了极限理论, 用极限理论作为工具, 讨论了函数, 特别是连续函数的导数与徽分；不定积分与定积分；级数理论；多元函数微分学以与多元函数积分学等理论。

通过这门课的学习, 应该使学生掌握函数的微积分理论的基本理论和基本方法, 能应用这些理论和方法解决分析中提出的理论和实际问题, 为后续课程的学习打下良好的基础。

该课程重点是极限理论和微积分理论, 难点是实数连续性定理与级数理论。

先修课要求:中学数学教材与参考书: 《数学分析讲义》刘玉琏傅沛仁编高等教育出版社二、高等代数内容简介: 高等代数是数学教育专业的一门重要基础课。

高等代数是高等师范院校数学专业一门重要基础课,是中学代数的继续和提高,通过这一课程的教学,可以使学生初步掌握基本的系统的代数知识和抽象的严格的代数方法,以加深对中学数学的理解,并为进一步学习打下基础.本课程的主要内容是多项式理论, 线性代数理论两部分。

多项式理论主要讨论一元多项式和因式分解理论。

线性代数部分包括矩阵、线性空间、线性变换、欧氏空间和二次型等内容。

数学专业的数学与计算机专业的数学的比较（一）计算机科学与技术这一门科学深深的吸引着我们这些同学们，上应用数学系已经有近三年了，自己也做了一些思考，原先不管是国内还是国外都喜欢把计算机系分为计算机软件理论、计算机系统、计算机技术与应用。

后来又合到一起，变成了现在的计算机科学与技术。

我一直认为计算机科学与技术这门专业，在本科阶段是不可能切分成计算机科学和计算机技术的，因为计算机科学需要相当多的实践，而实践需要技术。

每一个人（包括非计算机专业），掌握简单的计算机技术都很容易（包括原先Major们自以为得意的程序设计）。

但计算机专业的优势是：我们掌握许多其他专业并不“深究”的东西，例如，算法，体系结构，等等。

非计算机专业的人可以很容易地做一个芯片，写一段程序，但他们做不出计算机专业能够做出来的大型系统。

今天我想专门谈一谈计算机科学，并将重点放在计算理论上。

一、计算机理论的一个核心问题——从数学谈起：1、高等数学VS数学分析记得当年大一入学，每周四课时高等数学，天天作业不断（那时是七天工作制）。

颇有些同学惊呼走错了门：咱们这到底念的是什么系？不错，你没走错门，这就是计算机科学与技术系。

我国计算机科学系里的传统是培养做学术研究，尤其是理论研究的人（方向不见得有多大的问题，但是做得不是那么尽如人意）。

而计算机的理论研究，说到底了，如网络安全学，图形图像学，视频音频处理，哪个方向都与数学有着很大的关系，虽然也许是正统数学家眼里非主流的数学。

这里我还想阐明我的一个观点：我们都知道，数学是从实际生活当中抽象出来的理论，人们之所以要将实际抽象成理论，目的就在于想用抽象出来的理论去更好的指导实践。

有些数学研究工作者喜欢用一些现存的理论知识去推导若干条推论，殊不知其一：问题考虑不全很可能是个错误的推论，其二：他的推论在现实生活中找不到原型，不能指导实践。

严格的说，我并不是一个理想主义者，政治课上学的理论联系实际一直是指导我学习科学文化知识的航标（至少我认为搞计算机科学与技术的应当本着这个方向）。