平面曲线参数方程浅谈_熊开明(常微分参考资料)
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Key words:curve; parametric equation; common equation
（上接第 56 页）
Valve Combination Digital Control of Machining Process Project and Its Implement
Chen Xiaoyi Li Jie Zhang Yuanhui (Department of Mechanical Engineering, Luzhou Vocational Technical college,
化曲线的参数方程为普通方程，关键在于如
何消去参数，怎样消去参数，确实比较困难，既没
有一般的方法，也不是所有的参数方程都能化成
普通方程。常常采用直接代入法，也可以使用代
入法或利用三角公式，稍复杂的要先化简，然后再
代入。
作者简介：熊开明（1954 ），男，副教授。主要研究方向：高等数学教学。
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平面曲线参数方程浅谈
{ 的。事实上将（2）改写为 = 1 =1
1+ 2 （4），作 +1 2
参数代换 = 1+ ，那么将 t 代入（2）就可化为（3）， 这就是参数选择的不同，使得参数方程形式上的
不一样。
二、参数方程与普通方程的互相转化
普通方程的名称是相当于参数方程而言的。
这里主要谈以下三点：
（1）化曲线的参数方程为普通方程.
一）和定积分换元法，令 = ，则 = ，从而
得到 =
，当 x 由 0 变到 a 时，由 /2变
到 0， =4
0
=4
0
/2
=4
0 2 =4
/2
2
/2
0
=4
·
1 2
·
2
=
。
当 a=b 时得到圆的面积公式 = 2。
②利用定积分求平面光滑曲线的弧长时，常
常使用参数方程来解答。
③利用参数可求轨迹方程，在直角坐标系中
Luzhou, Sichuan, 646005)
Abstract:The regulation valve body mass production discussed here needs the design and implement of combination digital control of machining process to fullfill the task with machining accuracy.
参数方程也就有多种不同的形式。
2
2
【例 3】 化椭圆的普通方程 2 + 2 =1为参数
方程。
解法一 从椭圆的普通方程特征出发，利用
三角函数公式，而迅速地把它化为参数方程
{= =
，
解法二 从椭圆的图形特征出发，在椭圆上
取点（0, b）, 以它为中心作直线束 y=tx+b (t 为参
数)，由于直线与椭圆最多只有两个交点，所以用
{ 参数方程为
= 1+ 2 = 1+ 2
1， 1，
< <+
（2）
另一方面，如果把直线上的动点 M（x, y）看作
1
{ 2 的定比分点，那么有
=
1+ 1+
2，
=
1+ 1+
2，
1（3）
这时把 看成是参数，方程（3）就是由两点
， 1
2
决定的直线的参数方程（除去点 2），方程（2）与
（3）表示着同一条直线（除去点 2），它们是等价
2010 年第 4 期
{ 【例 2】 = =2
。
先把第二式化为 = 2 2 1 ，再把第一式
代入化简，即得到它的普通方程为2 2
2=0，
，方程中附加了条件
，这是因
为1 的。
1，由原参数方程的第一式所得到
（2）化曲线的普通方程为参数方程。 把曲线的普通方程 F（x,y）=0 化为参数方程 = ， ＝ 一般分下列三个步骤进行。 ①根据普通方程 F（x,y）=0 或它所表示的图 形的特征选取适当的参数 t 。 ②找出 x, y 中的一个与参数 t 的关系，如 = [或 ＝ ]。 ③把这个关系式 = [或 ＝ ]代入方程 F（x,y）=0，然后解出 ＝ [或 = ]。于是普通 方程 F（x,y）=0 就化为参数方程。但要注意，由于 选取的参数不同，关系式 = 可以有不同的形 式，从而 ＝ 也就有所不同，因此一条曲线的
Key words:valve body; digital control of machining process; combination production technique
（1）时，对于每
一个 t
，由满足方程（1）所确定的点 M（x,
y）都在曲线上；反过来，曲线上的任意点 M（x,y）
的坐标都满足方程（1）。
曲线的参数方程（1）中有三个变数，其中两个
即 x 与 y 表示曲线上动点的坐标，而另一个变数
t 叫做参数，它起着联系 x 与 y 的作用，所谓参数
是相对于 x 与 y 而言的，因此，参数方程的一个特
＝ 当参数取定后，曲线上点的位置也就确定
了，因此，对于那些与曲线上的点的位置有关的一
类几何问题，常应用曲线的参数方程来解，往往思
路清楚，比较方便。
如① 求【例 3】中椭圆所围成图形的面积（图 1）
因为椭圆关于两坐标轴都对称，所以它的面
积为该椭圆在第一象限部分与两坐标轴所围图形
面积的 4 倍，利用椭圆的参数方程（见【例 3】解法
（3）参数方程与普通方程互化时的等价性.
在普通方程与参数方程互化时，必须注意不
要把 x 与 y 的取值范围缩小或扩大，也就是说同
一条曲线的普通方程与参数方程必须等价，即两
方程的“解集”相等。满足普通方程 F（x,y）=0 的
任意一组解（x, y），总能由参数方程 = ，
＝
通过某一参数（t 在参数允许值
2010 年第 4 期
泸州职业技术学院学报
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平面曲线参数方程浅谈
熊开明
（泸州职业技术学院， 四川 泸州 ６４６００５）
摘要 关键词
在高职数学中，曲线的参数方程是数学知识中的重要内容之一，对于那些与曲线上的位置有 关的一类几何问题，常常应用曲线的参数方程来解决，而学生学习这部分内容时感到很困难， 主要是概念模糊，不知参数怎么引进，怎样互化。因此本文就从参数方程的概念与怎样选参 数，参数方程与普通方程的互相转化，参数方程应用简介等方面进行了研究。这对搞好教学 工作，提高教学质量是非常重要的。 曲线；参数方程；普通方程
（0,b）外，可取椭圆上其他任意定点，如（0，-b），或 （a，0）或（-a，0）等，即可设 y=tx-b，或 x=ty+a，或 x= ty-a 等都能达到化椭圆的标准方程为参数方程的 目的。这里指出，在相同的坐标系下，虽然曲线的
参数方程因参数选取不同而有多种不同的形式，
但是，消去参数后的普通方程是一样的。
征是既有表示坐标的变数，也有坐标以外的其他
变数，即参数。参数方程的另一个特征是坐标变
数 x 与 y 分别可以表示成参数的函数，至于这个
参数用什么字母表示是无关紧要的。
在建立曲线的参数方程时，参数的选择是非
常重要的，对于同一个问题，由于选择的参数不相
同，所得到的参数方程的形式也就不一样。
【例 1】 通过两点 1 1, 1 , 2 2, 2 的直线的
不易找到轨迹上动点的两个坐标之间的关系时，
就引进适当参数（可以多个），利用参数来解比较
2010 年第 4 期
泸州职业技术学院学报
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容易，这种求轨迹方程的方法叫参数法。利用参 数法在很多计算、证明、奥数等解题中应用十分广 泛，这里不一一例举。总之利用曲线的参数方程
或应用参数法来解题，只要我们熟练掌握代数运 算与三角运算，就能很好地解决这类问题，收到良 好效果。
Plane Curve Parametric Equations
Xiong Kaiming (Luzhou Vocational and Technical College, Luzhou, Sichuan, 646005)
Abstract:Parametric equations of curves are one of the important part in vocational mathematics. Problems about curve position are frequently solved in parametric equations. However，students find them quite difficult owing to their unclear idea about the parameter and inability to convert common equations to parametric equations. The paper discusses the concept of and the way to select parametric equations, the conversion between common equations and parametric equations and the application of parametric equations, which is of great significance for the improvement of teaching quality.
在直角坐标系下曲线的参数方程，它是曲线
方程的另一种表现形式。对于曲线及其方程有两
个基本问题，即由曲线求其参数方程与由参数方
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Valve Combination Digital Control of Machining Process Project and Its Implement
Chen Xiaoyi Li Jie Zhang Yuanhui (Department of Mechanical Engineering, Luzhou Vocational Technical college,
化曲线的参数方程为普通方程，关键在于如
何消去参数，怎样消去参数，确实比较困难，既没
有一般的方法，也不是所有的参数方程都能化成
普通方程。常常采用直接代入法，也可以使用代
入法或利用三角公式，稍复杂的要先化简，然后再
代入。
作者简介：熊开明（1954 ），男，副教授。主要研究方向：高等数学教学。
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平面曲线参数方程浅谈
{ 的。事实上将（2）改写为 = 1 =1
1+ 2 （4），作 +1 2
参数代换 = 1+ ，那么将 t 代入（2）就可化为（3）， 这就是参数选择的不同，使得参数方程形式上的
不一样。
二、参数方程与普通方程的互相转化
普通方程的名称是相当于参数方程而言的。
这里主要谈以下三点：
（1）化曲线的参数方程为普通方程.
一）和定积分换元法，令 = ，则 = ，从而
得到 =
，当 x 由 0 变到 a 时，由 /2变
到 0， =4
0
=4
0
/2
=4
0 2 =4
/2
2
/2
0
=4
·
1 2
·
2
=
。
当 a=b 时得到圆的面积公式 = 2。
②利用定积分求平面光滑曲线的弧长时，常
常使用参数方程来解答。
③利用参数可求轨迹方程，在直角坐标系中
Luzhou, Sichuan, 646005)
Abstract:The regulation valve body mass production discussed here needs the design and implement of combination digital control of machining process to fullfill the task with machining accuracy.
参数方程也就有多种不同的形式。
2
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【例 3】 化椭圆的普通方程 2 + 2 =1为参数
方程。
解法一 从椭圆的普通方程特征出发，利用
三角函数公式，而迅速地把它化为参数方程
{= =
，
解法二 从椭圆的图形特征出发，在椭圆上
取点（0, b）, 以它为中心作直线束 y=tx+b (t 为参
数)，由于直线与椭圆最多只有两个交点，所以用
{ 参数方程为
= 1+ 2 = 1+ 2
1， 1，
< <+
（2）
另一方面，如果把直线上的动点 M（x, y）看作
1
{ 2 的定比分点，那么有
=
1+ 1+
2，
=
1+ 1+
2，
1（3）
这时把 看成是参数，方程（3）就是由两点
， 1
2
决定的直线的参数方程（除去点 2），方程（2）与
（3）表示着同一条直线（除去点 2），它们是等价
2010 年第 4 期
{ 【例 2】 = =2
。
先把第二式化为 = 2 2 1 ，再把第一式
代入化简，即得到它的普通方程为2 2
2=0，
，方程中附加了条件
，这是因
为1 的。
1，由原参数方程的第一式所得到
（2）化曲线的普通方程为参数方程。 把曲线的普通方程 F（x,y）=0 化为参数方程 = ， ＝ 一般分下列三个步骤进行。 ①根据普通方程 F（x,y）=0 或它所表示的图 形的特征选取适当的参数 t 。 ②找出 x, y 中的一个与参数 t 的关系，如 = [或 ＝ ]。 ③把这个关系式 = [或 ＝ ]代入方程 F（x,y）=0，然后解出 ＝ [或 = ]。于是普通 方程 F（x,y）=0 就化为参数方程。但要注意，由于 选取的参数不同，关系式 = 可以有不同的形 式，从而 ＝ 也就有所不同，因此一条曲线的
Key words:valve body; digital control of machining process; combination production technique
（1）时，对于每
一个 t
，由满足方程（1）所确定的点 M（x,
y）都在曲线上；反过来，曲线上的任意点 M（x,y）
的坐标都满足方程（1）。
曲线的参数方程（1）中有三个变数，其中两个
即 x 与 y 表示曲线上动点的坐标，而另一个变数
t 叫做参数，它起着联系 x 与 y 的作用，所谓参数
是相对于 x 与 y 而言的，因此，参数方程的一个特
＝ 当参数取定后，曲线上点的位置也就确定
了，因此，对于那些与曲线上的点的位置有关的一
类几何问题，常应用曲线的参数方程来解，往往思
路清楚，比较方便。
如① 求【例 3】中椭圆所围成图形的面积（图 1）
因为椭圆关于两坐标轴都对称，所以它的面
积为该椭圆在第一象限部分与两坐标轴所围图形
面积的 4 倍，利用椭圆的参数方程（见【例 3】解法
（3）参数方程与普通方程互化时的等价性.
在普通方程与参数方程互化时，必须注意不
要把 x 与 y 的取值范围缩小或扩大，也就是说同
一条曲线的普通方程与参数方程必须等价，即两
方程的“解集”相等。满足普通方程 F（x,y）=0 的
任意一组解（x, y），总能由参数方程 = ，
＝
通过某一参数（t 在参数允许值
2010 年第 4 期
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平面曲线参数方程浅谈
熊开明
（泸州职业技术学院， 四川 泸州 ６４６００５）
摘要 关键词
在高职数学中，曲线的参数方程是数学知识中的重要内容之一，对于那些与曲线上的位置有 关的一类几何问题，常常应用曲线的参数方程来解决，而学生学习这部分内容时感到很困难， 主要是概念模糊，不知参数怎么引进，怎样互化。因此本文就从参数方程的概念与怎样选参 数，参数方程与普通方程的互相转化，参数方程应用简介等方面进行了研究。这对搞好教学 工作，提高教学质量是非常重要的。 曲线；参数方程；普通方程
（0,b）外，可取椭圆上其他任意定点，如（0，-b），或 （a，0）或（-a，0）等，即可设 y=tx-b，或 x=ty+a，或 x= ty-a 等都能达到化椭圆的标准方程为参数方程的 目的。这里指出，在相同的坐标系下，虽然曲线的
参数方程因参数选取不同而有多种不同的形式，
但是，消去参数后的普通方程是一样的。
征是既有表示坐标的变数，也有坐标以外的其他
变数，即参数。参数方程的另一个特征是坐标变
数 x 与 y 分别可以表示成参数的函数，至于这个
参数用什么字母表示是无关紧要的。
在建立曲线的参数方程时，参数的选择是非
常重要的，对于同一个问题，由于选择的参数不相
同，所得到的参数方程的形式也就不一样。
【例 1】 通过两点 1 1, 1 , 2 2, 2 的直线的
不易找到轨迹上动点的两个坐标之间的关系时，
就引进适当参数（可以多个），利用参数来解比较
2010 年第 4 期
泸州职业技术学院学报
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容易，这种求轨迹方程的方法叫参数法。利用参 数法在很多计算、证明、奥数等解题中应用十分广 泛，这里不一一例举。总之利用曲线的参数方程
或应用参数法来解题，只要我们熟练掌握代数运 算与三角运算，就能很好地解决这类问题，收到良 好效果。
Plane Curve Parametric Equations
Xiong Kaiming (Luzhou Vocational and Technical College, Luzhou, Sichuan, 646005)
Abstract:Parametric equations of curves are one of the important part in vocational mathematics. Problems about curve position are frequently solved in parametric equations. However，students find them quite difficult owing to their unclear idea about the parameter and inability to convert common equations to parametric equations. The paper discusses the concept of and the way to select parametric equations, the conversion between common equations and parametric equations and the application of parametric equations, which is of great significance for the improvement of teaching quality.
在直角坐标系下曲线的参数方程，它是曲线
方程的另一种表现形式。对于曲线及其方程有两
个基本问题，即由曲线求其参数方程与由参数方
