参数方程的概念、圆的参数方程

一曲线的参数方程第1课时参数方程的概念圆的参数方程学习目标：1.了解曲线的参数方程的概念与特点.2.理解圆的参数方程的形式和特点．(重点)3.运用圆的参数方程解决最大值、最小值问题．(难点、易错点)教材整理1参数方程的概念阅读教材P21～P23“圆的参数方程”以上部分，完成下列问题．一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．方程⎩⎨⎧x ＝1＋sin θy ＝sin 2θ(θ是参数)所表示曲线经过下列点中的( )A ．(1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32，－12 [解析] 将点的坐标代入方程：⎩⎨⎧x ＝1＋sin θy ＝sin 2θ，解θ的值．若有解，则该点在曲线上．[答案] C教材整理2 圆的参数方程阅读教材P 23～P 24“思考”及以上部分，完成下列问题．1．如图，设圆O 的半径为r ，点M 从初始位置M 0(t ＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，设M (x ，y )，点M 转过的角度是θ，则⎩⎨⎧x ＝r ·cos θy ＝r ·sin θ(θ为参数)，这就是圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程．2．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的普通方程与参数方程：圆的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)[解析] 圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 故圆心坐标为(2,0)． [答案] D【例1】 已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2ty ＝at 2(t 为参数，a ∈R )，点M (－3,4)在曲线C 上．(1)求常数a 的值；(2)判断点P (1,0)，Q (3，－1)是否在曲线C 上？[思路探究] (1)将点M 的横坐标和纵坐标分别代入参数方程中的x ，y ，消去参数t ，求a 即可；(2)要判断点是否在曲线上，只要将点的坐标代入曲线的普通方程检验即可，若点的坐标是方程的解，则点在曲线上，否则，点不在曲线上．[自主解答] (1)将M (－3,4)的坐标代入曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2，得⎩⎨⎧－3＝1＋2t ，4＝at 2，消去参数t ，得a ＝1. (2)由上述可得，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2，把点P 的坐标(1,0)代入方程组，解得t ＝0，因此P 在曲线C 上，把点Q 的坐标(3，－1)代入方程组，得到⎩⎨⎧3＝1＋2t ，－1＝t 2，这个方程组无解，因此点Q 不在曲线C 上．点与曲线的位置关系：满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上．(1)对于曲线C 的普通方程f (x ，y )＝0，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则点M (x 1，y 1)的坐标是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 1，y 1)＝0，若点N (x 2，y 2)不在曲线上，则点N (x 2，y 2)的坐标不是方程f (x ，y )＝0的解，即有f (x 2，y 2)≠0.(2)对于曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝f (t )y ＝g (t )(t 为参数)，若点M (x 1，y 1)在曲线上，则⎩⎨⎧x 1＝f (t )y 1＝g (t )对应的参数t 有解，否则参数t 不存在．1．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)．判断点A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值．[解] 把点A (2,0)的坐标代入⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，得cos θ＝1且sin θ＝0， 由于0≤θ<2π，解之得θ＝0，因此点A (2,0)在曲线C 上，对应参数θ＝0. 同理，把B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－32，sin θ＝12.又0≤θ<2π，∴θ＝56π，所以点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32在曲线C 上，对应θ＝56π.【例2】移动，顶点B 在x 轴的非负半轴上移动，求顶点C 在第一象限内的轨迹的参数方程．[思路探究] 先画出图形，选取角为参数，建立动点的坐标的三角函数即可． [自主解答] 如图，设C 点坐标为(x ，y )，∠ABO ＝θ，过点C 作x 轴的垂线段CM ，垂足为M .则∠CBM ＝23π－θ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－θ，y ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－θ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，y ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2为所求．求曲线的参数方程的方法步骤：(1)建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M 的坐标； (2)写出适合条件的点M 的集合； (3)用坐标表示集合，列出方程； (4)化简方程为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(此步骤可以省略，但一定要注意所求的方程中所表示的点是否都表示曲线上的点，要注意那些特殊的点)．2．若本例中的等边三角形变为等腰直角三角形，AC为斜边，腰为a，其余条件不变，如何求顶点C在第一象限内的轨迹的参数方程？[解]如图，设C点坐标为(x，y)，∠ABO＝θ，过点C作x轴的垂线段CM，垂足为M.则∠CBM ＝π2－θ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，y ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，即⎩⎨⎧x ＝a cos θ＋a sin θ，y ＝a cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2为所求．[探究问题]1．当物体绕定轴作匀速转动时，物体中各个点都作匀速圆周运动(如图)．那么，怎样刻画运动中点的位置呢？[提示] 如图，设圆O 的半径是r ，点M 从初始位置M 0(t ＝0时的位置)出发，按逆时针方向在圆O 上作匀速圆周运动，点M 绕点O 转动的角速度为ω.以圆心O 为原点，OM 0所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．显然，点M 的位置由时刻t 惟一确定，因此可以取t 为参数．2．如果在时刻t ，点M 转过的角度是θ，坐标是M (x ，y )，那么θ＝ωt .设|OM |＝r ，如何用r 和θ表示x ，y 呢？[提示] 由三角函数定义，有 cos ωt ＝x r ，sin ωt ＝y r ， 即⎩⎨⎧x ＝r cos ωt ，y ＝r sin ωt .(t 为参数)考虑到θ＝ωt ，也可以取θ为参数，于是有 ⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ.(θ为参数) 【例3】 如图，已知点P 是圆x 2＋y 2＝16上的一个动点，定点A (12,0)，当点P 在圆上运动时，求线段P A 的中点M 的轨迹．[思路探究] 引入参数→化为参数方程→设动点M (x ，y )――→代入法求动点的参数方程→确定轨迹 [自主解答] 设动点M (x ，y )，∵圆x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，(θ为参数)，∴设点P (4cos θ，4sin θ)， 由线段的中点坐标公式，得 x ＝4cos θ＋122， 且y ＝4sin θ2，∴点M 的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋6，y ＝2sin θ，因此点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心，以2为半径的圆．1．引入参数，把圆的普通方程化为参数方程⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，，其实质就是三角换元，利用了三角恒等式sin 2 θ＋cos 2 θ＝1.2．圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θy ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)表示圆心为(x 0，y 0)，半径为r 的圆．3．已知点M(x，y)是圆x2＋y2＋2x＝0上的动点，若4x＋3y－a≤0恒成立，求实数a的取值范围．[解]由x2＋y2＋2x＝0，得(x＋1)2＋y2＝1，又点M在圆上，∴x＝－1＋cos θ，且y＝sin θ，因此4x＋3y＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由tan φ＝43确定)∴4x＋3y的最大值为1.若4x＋3y－a≤0恒成立，则a≥(4x＋3y)max，故实数a的取值范围是[1，＋∞)．1．下列方程：(1)⎩⎨⎧ x ＝m ，y ＝m .(m 为参数)(2)⎩⎨⎧ x ＝m ，y ＝n .(m ，n 为参数)(3)⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.(4)x ＋y ＝0中，参数方程的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由参数方程的概念知⎩⎨⎧x ＝my ＝m 是参数方程，故选A.[答案] A2．曲线⎩⎨⎧x ＝1＋t 2y ＝t －1与x 轴交点的直角坐标是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,0)D ．(±2,0)[解析] 设与x 轴交点的直角坐标为(x ，y )，令y ＝0得t ＝1，代入x ＝1＋t 2，得x ＝2，∴曲线与x 轴的交点的直角坐标为(2,0)． [答案] C3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t y ＝2(t 为参数)表示的曲线是( )A ．两条直线B ．一条射线C ．两条射线D ．双曲线[解析] 当t >0时⎩⎨⎧ x ≥2，y ＝2，是一条射线；当t <0时，⎩⎨⎧x ≤－2，y ＝2，也是一条射线，故选C.[答案] C4．已知⎩⎨⎧x ＝t ＋1y ＝t 2(t 为参数)，若y ＝1，则x ＝________. [解析] 当y ＝1时，t 2＝1，∴t ＝±1， 当t ＝1时，x ＝2；当t ＝－1时，x ＝0. ∴x 的值为2或0. [答案] 2或05．在平面直角坐标系xOy 中，动圆x 2＋y 2－8x cos θ－6y sin θ＋7cos 2θ＋8＝0(θ∈R )的圆心为P (x ，y )，求2x －y 的取值范围．[解] 由题设得⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数，θ∈R )．于是2x －y ＝8cos θ－3sin θ＝73sin(θ＋φ)， ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ由tan φ＝－83确定所以－73≤2x －y ≤73. 所以2x －y 的取值范围是[－73，73]．课时分层作业(五)(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．参数方程⎩⎨⎧x ＝t ＋1y ＝t 2＋2t (t 为参数)的曲线必过点( ) A ．(1,2)B ．(－2,1)C ．(2,3)D ．(0,1)[解析] 代入检验知曲线经过点(2,3)． [答案] C2．已知O 为原点，参数方程⎩⎨⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)上的任意一点为A ，则OA ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] OA ＝x 2＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选A. [答案] A3．直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋ty ＝b ＋t (t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与P (a ，b )之间的距离是( )A ．|t 1|B ．2|t 1| C.2|t 1|D.22|t 1|[解析] ∵P 1(a ＋t 1，b ＋t 1)，P (a ，b )，∴|P 1P |＝(a ＋t 1－a )2＋(b ＋t 1－b )2＝t 21＋t 21＝2|t 1|. [答案] C4．圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2的圆心坐标是( )A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0，－2)D ．(－2,0)[解析] ∵x ＝2cos θ，y －2＝2sin θ， ∴x 2＋(y －2)2＝4， ∴圆心坐标是(0,2)，故选A. [答案] A5．圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( )A.⎩⎨⎧x ＝5－cos θy ＝5＋2sin θ(0≤θ<2π) B.⎩⎨⎧ x ＝2＋5cos θy ＝－1＋5sin θ(0≤θ<2π) C.⎩⎨⎧ x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ(0≤θ<π) D.⎩⎨⎧x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π) [解析] 圆心在点C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ∈[0,2π))．故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)．[答案] D 二、填空题6．若点(－3，－33)在参数方程⎩⎨⎧x ＝6cos θy ＝6sin θ(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.[解析] 将点(－3，－33)的坐标代入参数方程 ⎩⎨⎧x ＝6cos θy ＝6sin θ(θ为参数)得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－12，sin θ＝－32，解得θ＝4π3＋2k π，k ∈Z . [答案] 4π3＋2k π，k ∈Z7．参数方程⎩⎨⎧ x ＝cos αy ＝1＋sin α(α为参数)表示的图形是________．[解析] ∵⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，且cos 2α＋sin 2α＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1，∴该参数方程表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆． [答案] 圆8．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2ty ＝at 2(其中t 为参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上，则实数a ＝________.[解析] ∵点M (5,4)在曲线C 上，∴⎩⎨⎧ 5＝1＋2t ，4＝at 2，解得：⎩⎨⎧t ＝2，a ＝1，∴a 的值为1. [答案] 1 三、解答题9．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2sin θy ＝2－cos θ(θ为参数，0≤θ<2π)，试判断点A (1,3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52是否在曲线C 上． [解] 将A (1,3)的坐标代入⎩⎨⎧x ＝1＋2sin θ，y ＝2－cos θ，得⎩⎨⎧ 1＝1＋2sin θ3＝2－cos θ，即⎩⎨⎧sin θ＝0，cos θ＝－1，由0≤θ<2π得θ＝π. 将B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52的坐标代入⎩⎨⎧x ＝1＋2sin θ，y ＝2－cos θ，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋2sin θ52＝2－cos θ，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－12，cos θ＝－12，这样的角θ不存在．所以点A 在曲线C 上，点B 不在曲线C 上．10．已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． [解] (1)由ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0， 即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0为所求， 即圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2， 令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，得圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)．(2)由(1)知，x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α) ＝4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，又－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，故x ＋y 的最大值为6，最小值为2.[能力提升练]1．P (x ，y )是曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25 [解析] 设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2 ＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(a －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝34，φ为锐角，∴最大值为36. [答案] A2．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．[解析] 将x 2＋y 2－x ＝0配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∴圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)． [答案] ⎩⎨⎧ x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数) 3．P (x ，y )是曲线⎩⎨⎧ x ＝2＋cos αy ＝sin α(α为参数)上任意一点，则P 到直线x －y ＋4＝0的距离的最小值是________．[解析] 由P 在曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α上可得P 的坐标为(2＋cos α，sin α)， 由点到直线的距离公式得d ＝|cos α－sin α＋6|2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋62，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1时， d 最小，d min ＝－2＋62＝－1＋3 2.[答案] －1＋3 24．已知圆系方程为x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0(a >0且为已知常数，φ为参数)，(1)求圆心的轨迹方程；(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值．[解] (1)由已知圆的标准方程为：(x －a cos φ)2＋(y －a sin φ)2＝a 2(a >0)．设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧ x ＝a cos φy ＝a sin φ(φ为参数)， 消参数得圆心的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.(2)证明 由方程⎩⎨⎧x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0，x 2＋y 2＝a 2，得公共弦的方程：2ax cos φ＋2ay sin φ＝a 2，即x cos φ＋y sin φ－a 2＝0，圆x 2＋y 2＝a 2的圆心到公共弦的距离d ＝a 2为定值，∴弦长l ＝2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝3a (定值)．。

参数方程的概念及圆的参数方程
参数方程是用一个或多个参数来表示一个几何图形的方程。

通过参数
方程，可以对曲线、曲面以及其他复杂的图形进行描述和分析。

圆的参数方程是用参数t来表示圆上的点的方程。

对于一个圆心为
(x0,y0)，半径为r的圆，参数方程可以表示为：
x = x0 + r * cos(t)
y = y0 + r * sin(t)
其中t的范围是[0,2π)，也可以是其他范围。

这个参数方程描述了
t对应的点在圆上的位置。

在圆的参数方程中，参数t表示从圆心到圆上点的位置，可以是弧度、角度或其他度量方式。

通过不同的参数取值，可以得到圆上的所有点。

圆的参数方程可以用来计算圆的弧长，并且可以通过调整参数的范围
来改变绘制圆的起点和终点位置。

此外，参数方程还可以用来描述其他不
同形状的圆，比如椭圆或抛物线。

除了圆的参数方程，还有许多其他图形的参数方程，比如直线、椭圆、抛物线等。

每个图形的参数方程具有不同的形式和性质，但它们都共同使
用参数来表示图形的位置和形状。

总结来说，参数方程是一种用参数表示几何图形的方程。

圆的参数方
程是一种常见的参数方程形式，可以用参数t描述圆上的点的位置。

参数
方程具有描述复杂图形、计算几何属性和进行进一步分析的优势，广泛应
用于各个学科领域。

xyP0P rθx1O(,)P x y 111(,)P x yy圆的参数方程1．圆的参数方程的推导设圆O 的圆心在原点，半径是r ，圆O 与x 轴的正半轴的交点 是0P ，设点在圆O 上从0P 开始按逆时针方向运动到达点P ，0P OP θ∠=，则点P 的位置与旋转角θ有密切的关系：当θ确定时，点P 在圆上的位置也随着确定； 当θ变化时，点P 在圆上的位置也随着变化． 这说明，点P 的坐标随着θ的变化而变化． 设点P 的坐标是(,)x y ，你能否将x 、y 分别 表示成以θ为自变量的函数？ 根据三角函数的定义，c o ss i nx r y r θθ=⎧⎨=⎩， ① 显然，对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点(,)P x y 都在圆O 上。

我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为r 的圆的参数 方程，θ是参数．圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的 参数方程是怎样的？ 圆1O 可以看成由圆O 按向量(,)v a b =平移得到的（如图），由11O P OP = 可以得到圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程是cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）②2．参数方程的概念在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩ ③ 并且对于t 的每一个允许值，方程组③所确定的点(,)M x y 都 在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． 说明：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数， 也可以是没有明显意义的变数．3．参数方程和普通方程的互化相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标 x 、y 关系的方程，叫做曲线的普通方程．将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。

参数方程和普通方程可以互化．如：将圆的参数方程②的参数θ消去，就得到圆的普通方程222()()x a y b r -+-=．（三）例题分析：例1．把下列参数方程化为普通方程：（1）23cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数） （2）222121x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ （t 为参数）解：（1）2cos (1)33sin (2)2x y θθ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，，，由22(1)(2)+得22(2)(3)194x y --+=，这就是所求的普通方程． （2）由原方程组得y t x =，把yt x=代入221x t =+得y xθP221()x y x=+，化简得：2220x y x +-=（0x ≠）， 这就是所求的普通方程．说明：将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围 与x 、y 的取值范围之间的制约关系，保持等价性． 例2．如图，已知点P 是圆2216x y +=上的一个动点，定点A (12,0)，当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？解：设点M (,)x y ，∵圆2216x y +=的参 数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，∴设点P (4cos ,4sin )θθ，由线段中点坐标公式得4cos 1224sin 2x y θθ+⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点M 轨迹的参数方程为2cos 62sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆． 【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？ 又解：设(,)M x y ，00(,)P x y ，∵点M 是线段PA 的中点，∴001222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴002122x x y y =-⎧⎨=⎩，∵点00(,)P x y 在圆上，∴220016x y +=，∴22(212)(2)16x y -+=， 即点M 的轨迹方程为22(6)4x y -+=，∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆． 例3．已知实数x 、y满足2220x y x ++-=， （1）求22x y +的最大值；（2）求x y +的最小值．解：原方程配方得：22(1)(4x y ++=，它表示以(-为圆心，2为半径的圆，用参数方程可表示为12cos 2sin x y θθ=-+⎧⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数，02θπ≤<）， （1）22x y+22(12cos )2sin )cos )8θθθθ=-++=-+8sin()86πθ=-+，∴当62ππθ-=，即23πθ=时，22max ()16x y +=． （2）2(sin cos )1)14x y πθθθ+=++=+，∴当342ππθ+=，即54πθ=时，m a x ()21x y +=．说明：本题也可数形结合解．五．小结：1．圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）；2．圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）；3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性．补充：已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数），(,)P x y 是曲线C 上任意一点，yt x=，求t 的取值范围．。

第二讲参数方程1、参数方程的概念(1) 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标X、y都是某个变数t的函数，即并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M (x,y)都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系心y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。

参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。

(2) 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。

(3) 参数方程与普通方程的互化r x = rcos3\ y = r sin 3tt ： 参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵 坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之 间的关系。

2、参数方程的应用往往是在x 与y 直接关系很难或不可 能体现时，通过参数建立间接的(兀—疔+0 —疔"〈 x = a + rcosO rsin 0I 、O联系。

x = a + rcosO < •y = b + rsin0尬皿衣涼朮的《)泰救方程尬皿柔庭涼止的谢的泰救方程2泰數方程鸟普通方程的槪念M泰數方程鸟普通方程的虽祀5.皿(1)統述问廳(2)痂眾位“，鬼用思考1：圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程是什么呢？如果点P的坐标为U y),圆半径为厂, =0,根据三角函数定义点P的横坐标X、纵坐标y都是血勺函数,即(■ x = r cos 6 —--'0；①y — r sin 3并且对于0的每一个允许值,由方程组①所确定的点P(x,y),都在圆O上我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为4思考2:圆心为O](a")、半径为厂的圆的标准方程 为(X - 0)2 +(y-b)2 =厂2,那么参数方程是什么呢? 圆心为O](d,b)、半径为厂的圆可以 看作由圆心为原点O 、半径为厂的圆 平移得到，设圆q 上任意一点P(x, y) 是圆O 上的点A 平移得到的， 由平移公式，有 x = + ay = y i+b x { = ［的圆的参数方程, &是参数. -5所以 x = a +rcos0.5.-y = b + r sin5-- P(x,y)• v(a,b U 5rcos0 y{ = rsmO例1、已知圆方程x?+y2 +2x-6y+9=0,将它化为参数方程。

参数方程参数方程的概念与圆的参数方程参数方程概念：圆的参数方程：圆是一个平面上距离中心点相等的一组点的集合，通常用半径来定义。

圆的参数方程是一种描述圆上各点位置的方程。

通常，圆的参数方程是根据圆心的坐标和半径的大小来确定的。

以坐标系的原点为圆心，半径为r的圆的参数方程可表示为：x = r * cosθy = r * sinθ其中，θ是参数，表示从x轴正半轴逆时针旋转的角度。

圆的参数方程的主要优点是，以参数形式给出圆上各点的坐标，可以方便地对圆进行求导和积分操作，从而进行更复杂的几何分析。

圆的参数方程可用于描述其他几何图形，如椭圆、双曲线等，通过调整参数可以得到不同形状的图形。

例如，调整θ的取值范围可以得到一个圆弧，调整半径r的大小可以得到不同大小的圆。

参数方程的应用：参数方程广泛应用于物理学、计算机图形学、计算机辅助设计等领域。

在物理学中，参数方程经常用于描述物体的运动轨迹，如自由落体、圆周运动等。

在计算机图形学中，参数方程可以用于绘制各种曲线、曲面和图形，如贝塞尔曲线、球面、立方体等。

在计算机辅助设计中，参数方程可以用于描述复杂曲线或曲面的形状，方便进行设计和分析。

总结：参数方程是描述一个曲线、曲面或空间中其中一点在不同参数取值下的坐标的方程。

圆的参数方程是根据圆心的坐标和半径的大小来确定的。

参数方程的优点是可以方便地进行几何分析和操作。

参数方程在物理学、计算机图形学、计算机辅助设计等领域有广泛的应用。

参数方程是一种重要的数学工具，对于深入理解和研究曲线、曲面等几何对象非常有帮助。

圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化圆是平面几何学中最基本的几何形状之一、在直角坐标系下，圆可以使用普通方程或者参数方程来表示。

参数方程是一种使用参数来表示平面上每个点的方程形式，它与普通方程之间存在一种互化关系，可以通过互相转换来描述同一个圆。

下面我们将详细介绍圆的参数方程以及参数方程与普通方程的互化关系。

一、圆的参数方程1.确定圆心和半径设圆心为(a,b)，半径为r。

2.使用参数表示圆上每个点设参数t为圆上任意一点与圆心的连线之间的夹角，以及圆心到该点的线段的长度与半径r的比值。

3.圆的参数方程x = a + r * cos(t)y = b + r * sin(t)这个参数方程描述了圆上每个点的坐标。

参数方程和普通方程是用不同的数学表达形式来描述同一个几何对象的方式。

通过互相转换，我们可以在这两种方程之间进行转换。

1.从参数方程转换为普通方程在参数方程中，我们可以通过消去参数t来得到普通方程。

具体步骤如下：- 在参数方程中，将 x 和 y 分别表示为 x = a + r * cos(t) 和 y = b + r * sin(t)。

-将上述两个方程平方，并对它们求和，得到(x-a)^2+(y-b)^2=r^2-整理上述方程，可以得到普通方程形式(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，它描述了圆的方程。

2.从普通方程转换为参数方程在普通方程中，我们可以通过引入参数t来得到参数方程。

具体步骤如下：-在普通方程中，将(x-a)^2+(y-b)^2=r^2表示为(x-a)^2+(y-b)^2-r^2=0。

-使用参数t来表示(x-a)^2+(y-b)^2-r^2=0的参数方程。

- 令 x = a + r * cos(t) 和 y = b + r * sin(t)，则 (x - a)^2 + (y - b)^2 - r^2 = 0 成立。

- 这样我们就得到了参数方程 x = a + r * cos(t) 和 y = b + r * sin(t)，描述了圆的方程。

圆的参数方程一、圆的参数方程1、圆的参数方程的定义：说明：注意：即为给出了某个具体的点，我们把这个点和其他所有已知点集合起来组成一个新的一个未知点的坐标系，那么，此点的坐标就是用这个未知点与圆心的距离（两个条件缺一不可），我们把这个距离称之为点到圆的参数。

2、圆的参数方程的求法：步骤： p：设圆心位于原点O上，x轴从O向左引垂线与圆相交，从左向右引垂线与圆相交，使得这些垂线相交于一点C，连接C、 O和C，这样，我们就可以得到圆的方程。

n：如果将a=n， b=0，那么，即为给出了点M的坐标为p，我们可以得到这一点到原点的距离，也就是说，当x=y=0时，这一点到原点的距离等于半径r=1。

3、实例：求圆上的点到原点的距离。

4、圆的参数方程的应用： 1）、计算参数：设A为参数。

2。

计算单位圆上任一点P的坐标P= (x-1)/2，代入圆的参数方程即得。

3、应用：解决有关圆中的动点问题。

4、圆周角的计算公式：说明：在同圆或等圆中，它的两条切线的夹角的正弦值相等；它的两条切线的夹角的余弦值相等。

5、圆周角定理：说明：两个圆周角所对的弧的度数之和等于180度。

6、扇形的概念：说明：当角的顶点与边的端点重合时，它的大小叫做角的弧度，简称为弧度，记作∠A=∠B。

圆的角平分线：说明：它过圆心且垂直于切线。

弧与圆的位置关系：说明：设直线x、 y、z依次经过点A、 B、 C，其中A， B， C三点共线，则ACx=3xy。

7、圆的参数方程：对于非等距性的椭圆，当长半轴长度远大于短半轴长度时，其参数方程为： 8、椭圆的参数方程的几种特殊情况：注意： a、椭圆无参数方程。

b、参数方程两参数取同号，第三参数取异号。

c、参数方程两参数取反号，第三参数取正号。

9、比较两个椭圆的方程的异同：特别要注意：（ 1）、是否含有参数-1。

（ 2）、参数在前还是参数在后。

（ 3）、参数的符号。

10、确定参数方程的根的方法：确定参数方程的根的一般步骤是： a、分别寻找椭圆上三个点与长轴交点的横坐标（关键）。

参数方程的概念圆的参数方程参数方程是一种用参数表示自变量和因变量关系的方程。

在参数方程中，自变量和因变量都用参数表示，而不直接用变量表示。

通过改变参数的取值，可以获得方程所代表的曲线或图形上的每个点的坐标。

圆的参数方程可以通过使用正弦和余弦函数来表示。

在平面直角坐标系中，圆的参数方程为：x = r * cos(t)y = r * sin(t)其中，x和y分别代表圆上任一点的坐标，r代表圆的半径，t是参数。

当我们改变参数t的取值范围时，可以得到圆的不同部分，从而形成完整的圆。

通常，t的取值范围是0到2π，即一个完整的圆周。

例如，当t=0时，x=r，y=0，即圆上的点位于圆的最右侧的点。

当t=π/2时，x=0，y=r，即圆上的点位于圆的最上方的点。

当t=π时，x=-r，y=0，即圆上的点位于圆的最左侧的点。

当t=3π/2时，x=0，y=-r，即圆上的点位于圆的最下方的点。

从这些例子可以看出，改变参数t的取值范围可以得到圆的不同部分。

使用参数方程表示圆的好处是可以更灵活地描述和绘制圆。

参数方程不仅可以表示平凡的圆形，还可以表示椭圆、抛物线、双曲线等多种曲线。

通过调整参数的取值范围和改变参数方程中的函数，可以绘制出各种几何图形。

此外，参数方程可以方便地处理极坐标下的曲线。

在极坐标系中，圆的参数方程可以表示为：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，θ代表极坐标的角度，r代表极坐标的半径。

通过改变参数θ的取值范围，可以得到极坐标系中的圆的不同部分。

总之，参数方程是一种灵活和方便的方式来描述和绘制曲线。

圆的参数方程是其中的一个重要应用，通过改变参数的取值范围和调整函数，可以得到圆的不同部分。

参数方程还可以应用于其他几何图形的描述和绘制中。