圆的切线的判定方法

(完整)圆切线证明的方法

切线证明法

切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径

切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

切线长定理:

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．

【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB,点C在圆上，∠CAB＝30º．求证:DC是⊙O的切线．

思路:要想证明DC是⊙O的切线，只要我们连接OC，证明∠OCD＝90º即可．

证明：连接OC，BC．

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90º．

∵∠CAB＝30º，∴BC＝21AB＝OB．

∵BD＝OB，∴BC＝21OD．∴∠OCD＝90º．

∴DC是⊙O的切线．

【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．

【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BC,连接OC,弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．

思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC＝90º即可． 图1 O A B C

D

O A B C

D

图2 2

3 4 1 (完整)圆切线证明的方法

证明：连接OD．

∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．

∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．

又∵OB＝OD，OC＝OC，

∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC．

∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90º．∴∠ODC＝90º．

《圆的切线的判定》教学案例与反思

在讲《圆的切线的判定》一节内容时：教学过程我设置了三大环节。【1】回顾复习。【2】情境引入。【3】授新。首先看一下各个环节：

1、回顾复习：直线和圆的位置关系有哪些？怎样判断直线和圆的位置关系？你认为在这些位置关系中，那种关系式最特殊的？

2、情景导入：生活中你看到哪些现象是直线和圆相切的位置关系的？（学生回答，教师补充）如：下雨天，转动雨伞，雨伞上的水滴会沿着什么方向飞出？车轮和笔直的公路等。

3、新授课：活动一：在练习本上画一个圆O,做一个半径OA,做一条直线L,使L经过点A且垂直于OA。这样的直线能画几条？这条直线和圆是什么位置关系？为什么？你得到了什么结论？活动二：分析定理。这个定理有什么用？要证明一条直线是圆的切线，需要几个条件？分别是什么？画图说明，总结两种思路。（1）连半径，证垂直。（2）做垂直，证半径。活动三：圆的切线的判定的应用。

总结→练习→布置作业

设计理念：基于学生的实际情况，根据学校的教研活动的主题： 整节课在设计时都是以此为出发点，让学生在动手、动脑中，发现问题，解决问题。在动手、动脑中观察、思考、验证、归纳、总结。

反思：一、合理设计课堂结构和问题。新课程理念及新基础教育理念都提倡“把课堂还给学生，让课堂充满生命活力”，让学生真正“动起来”，我认为“动”不应当是表面的、外在的，而应当使学生的思维处于活跃状态，积极思考问题，这种内在的、深层的动，才是数学课堂需要的动。动得有序，动而不乱。课堂教学要的不是热闹场面，而是对问题的深入研究和思考。因此，根据这节课的教学内容，我设计了三个活动：（一）、在动手画图的过程中，经历动脑思考、归纳、总结的过程。得到“经过半径外端且垂直于这条直径的直线是圆的切线”的结论。（二）、分析结论。应用好命题的前提是理解好命题。为了能让学生更好的理解命题我设置了三个问题，并且画图帮助学生理解分析。得到证明一条直线是圆的切线的两个思路“连半径，证垂直和做垂直，证半径”。（三）、应用命题。根据活动二的两个结论，我设计了两个不同类型的例题。因为有活动二做铺垫，所以例题解决的很顺利。

（苏科版）九年级上册数学《第2章 对称图形---圆》

专题 证明圆的切线的常用的方法

★★★方法指引：

证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线作法：1、有交点：连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接

起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称：“有交点，连半径，证垂直”.

2、无交点：作垂直、证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的

垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称：“无交点，作垂直，证半径”. 类型一：有公共点：连半径，证垂直

●●【典例一】（2022•雁塔区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使得EF＝EC．

求证：EF是⊙O的切线；

【分析】连接OF，根据垂直定义可得∠CDB＝90°，从而可得∠B+∠C＝90°，然后利用等腰三角形的性

质可得∠B＝∠OFB，∠C＝∠EFC，从而可得∠OFB+∠EFC＝90°，最后利用平角定义可得∠OFE＝90°，即可解答；

【解答】证明：连接OF，

∵CD⊥AB，

∴∠CDB＝90°，

∴∠B+∠C＝90°，

∵OB＝OF，EF＝EC，

∴∠B＝∠OFB，∠C＝∠EFC

，题型一 利用等角代换法证明垂直∴∠OFB+∠EFC＝90°，

∴∠OFE＝180°﹣（∠OFB+∠EFC）＝90°，

∵OF是⊙O的半径，

∴EF是⊙O的切线：

【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是

解题的关键．

【变式1-1】 （2022•澄城县三模）如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行

线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC＝∠D．

求证：BD是⊙O的切线；

【分析】证明∠ABD＝90°，根据切线的判定可得BD与⊙O相切；

【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

- 1 - 证明圆的切线的两种方法

方法一：利用圆的性质和向量的知识证明。首先，根据圆的性质可知，圆心到切点的线段与切线垂直。设圆心为O，切点为A，切线为l，则OA垂直于l。又因为向量OA与向量l的内积为0，即OA·l=0，所以向量OA与l互相垂直。又因为圆心到切点的线段与切线垂直，所以向量OA与切线方向相同。因此，切线的方向可以表示为向量l=λOA，其中λ为常数。再根据圆的性质可知，向量OA与圆的半径向量R的夹角为90度，即OA·R=0。因此，向量l=λOA与向量R的内积也为0，即l·R=0。这就证明了切线与圆的半径向量垂直。

方法二：利用微积分的知识证明。首先，设圆的方程为(x-a)+(y-b)=r，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。假设切线的斜率为k，则切线的方程为y=kx+c，其中c为常数。为了使切线与圆相切，需要满足两个条件：一是切线经过圆上的某个点，即(x-a)+(y-b)=r；二是切线与圆的半径向量垂直，即切线的斜率为-k=-(x-a)/(y-b)。将这两个条件代入切线方程y=kx+c中，得到(x-a)+(kx+c-b)=r，且k=-(x-a)/(y-b)。将k代入上式，整理得到(x-a)+(c-b)/(1+k)=r。由于切点坐标(x,y)满足(x-a)+(y-b)=r，因此有(x-a)+(c-b)/(1+k)=(x-a)+(y-b)，即(c-b)/(1+k)=(y-b)。将k带入上式，有c-b=±r/√(1+k)。因此，切线的方程可以表示为y=±r/√(1+k)x+(b-c)/√(1+k)，即y=±(r/√(1+k))x+(b-c)/√(1+k)。这就证明了切线的方程。