圆的切线和切线定理

(完整)圆切线证明的方法

切线证明法

切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径

切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

切线长定理:

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．

【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB,点C在圆上，∠CAB＝30º．求证:DC是⊙O的切线．

思路:要想证明DC是⊙O的切线，只要我们连接OC，证明∠OCD＝90º即可．

证明：连接OC，BC．

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90º．

∵∠CAB＝30º，∴BC＝21AB＝OB．

∵BD＝OB，∴BC＝21OD．∴∠OCD＝90º．

∴DC是⊙O的切线．

【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．

【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BC,连接OC,弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．

思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC＝90º即可． 图1 O A B C

D

O A B C

D

图2 2

3 4 1 (完整)圆切线证明的方法

证明：连接OD．

∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．

∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．

又∵OB＝OD，OC＝OC，

∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC．

∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90º．∴∠ODC＝90º．

圆的切线和切线定理

圆是几何中常见的形状之一，有很多有趣的性质和定理。其中一个重要的定理就是圆的切线定理，它描述了切线与圆的关系以及相应的性质。接下来，我们将详细介绍这个定理。

一、切线的定义

在介绍切线定理之前，先给出切线的定义。对于一个圆，如果从圆外的一点引一条直线，该直线与圆仅有一个交点，那么这个交点与圆的弧上的点之间的线段就是切线。切线与圆相切于一个点，与该点处的切点重合。

二、切线定理的规定

切线定理是关于切线和切线外一点与圆的关系的重要定理。根据切线定理，以下规定成立：

规定1：切线与半径的垂直性。切线与半径的相交点处的半径垂直于切线。

规定2：切线与切线之间的垂直性。如果两条切线分别与两个圆相切于同一点，那么这两条切线互相垂直。

规定3：切线长度的规律性。如果从圆的外一点引两条切线，那么这两条切线的长度相等。

三、切线定理的证明

以下是对切线定理的证明： 首先，证明规定1。设圆的半径为r，交点为A。连接A与圆心的线段，记为OA。根据垂直定理，如果OA与切线AD垂直，那么OA与圆上任意一点（如点B）处的切线BC也是垂直的。因此，切线与半径的垂直性得证。

接下来，证明规定2。设圆的两个切点分别为A和B，切线分别为AD和BC。连接OA和OB，并延长这两条线段相交于点C。根据垂直定理，如果AD与BC垂直，那么OA与OB也垂直。根据垂直线的性质，切线AD与切线BC的垂直性得证。

最后，证明规定3。设从点P引两条切线分别与圆交于点A和点B，切线长度分别为AD和BE。连接圆心O与点A、点B，并连接OA和OB。由于圆心到切点的距离相等，即OA = OB。通过几何推理，可以得出三角形OAD和三角形OBE是全等的，因此AD = BE。切线长度的规律性得证。

四、切线定理的应用

切线定理在几何问题中的应用十分广泛。它可以帮助我们解决一些与圆相关的问题，例如求解切线的长度、判断两条切线是否相互垂直等。

总结：

lAODBCAODBCOOQCDPOBA圆的切线、切线长定理与弦切角定理

一、圆的切线：

1．切线的判定：

2．切线的性质：

【运用举例】

例1．如图，已知⊙O所内接△ABC，过点B作直线BD，∠DBC＝∠A，试说明，BD与⊙O相切。

例2.如图，已知CB是⊙O的切线，C是切点，OB交⊙O于点D，∠B＝30，BD＝6㎝，求BC。

例3、如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB=65°，求∠P的度数．

例4、已知：如图AB是⊙O的直径，P是AB上的一点（与A、B不重合），QP⊥AB，垂足为P，直线QA交⊙O于点C点，过C点作⊙O的切线交直线QP于点D，求证：△CDQ是等腰三角形.当P点在AB的延长线上时，其他条件不变，这个结论还成立吗？试说明.

二、切线长定理

1、切线长：

我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长

2、切线长定理：

符号语言：∵PA、PB是O⊙的切线，A、B是切点，∴，PA=PB

【运用举例】

例1.在△ABC中，AB=5cm BC=7cm AC=8cm, ⊙O与BC、AC、 AB分别相切于 D、 E 、F，则 AF=_____, BD=_______ 、CF=________

例2、如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Q，交PA、PB为E、F点，已知12PAcm，求△PEF的周长.

例3、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．

求证：AC∥OP．

例4.如图，AB、CD分别与半圆O切于点A、D，BC切⊙O于点E，若AB＝4，CD＝9，求⊙O的半径。 OCBAP三、弦切角定理及其推论

1、弦切角：________________________________________________________________。

初中数学知识归纳圆的切线与切线定理的计算方法

圆是初中数学中非常重要的一个几何概念，而切线与切线定理也是与圆密切相关的概念和定理。在本文中，我们将对圆的切线和切线定理进行归纳并介绍计算方法。

一、圆的切线

圆的切线是指与圆只有一个公共点的直线。切线的特点是与圆相切于切点，并且切点在切线上。根据切线的定义，我们可以得出切线具有以下性质：

1. 切线与半径垂直

在圆的任意切点处，切线与通过该点的半径垂直相交。这是切线与圆的一个重要性质，在计算切线时会用到。

2. 切线的切点

切线与圆相切于切点，而切点位于切线上。这也是切线的定义之一，切点的坐标可以通过计算得出。

二、切线定理的计算方法

切线定理是描述切线与半径之间的关系的一组定理。我们将介绍几个常用的切线定理及其计算方法。

1. 切线长定理 切线长定理描述了切线和半径之间的关系。对于与圆相切的切线来说，切线上的两个切点到圆心的距离乘积等于这两个切点分别到圆心的距离的平方。具体计算方法如下：

假设切线与圆相切于点A和点B，圆的半径为r，圆的圆心为O。则有以下关系成立：

AO × BO = AC² = BC²

其中，AO和BO分别表示点A和点B到圆心O的距离，AC和BC分别表示点A和点B到圆心O的距离。

2. 外切线定理

外切线定理指出，如果一条直线同时与两个相交圆的外切，那么它们的切点与连接圆心的直线构成一个等边三角形。具体计算方法如下：

对于与两个圆相切的外切线来说，它的两个切点与两个圆心之间形成的三角形是等边三角形。设两个圆的半径分别为r₁和r₂，切点之间的距离为d，则有以下关系成立：

d = r₁ + r₂

其中，d表示切点之间的距离，r₁和r₂表示两个圆的半径。

三、圆的切线与切线定理的应用举例

为了更好地理解切线和切线定理的计算方法，我们举例说明。 例题1：已知一个圆的半径为3 cm，点A是这个圆上的一个切点，连接点A和圆心O的线段OA与圆相交于一点B。若AO = 4 cm，求AB的长度。