数学建模竞赛成绩的评定

数学建模竞赛成绩的评定

摘要

本文主要采用统计学方法，结合EXCELMATLAB、等数学统计工具解决了数学建模中成绩的评定等一系列问题。

关于问题一，如何补缺缺失数据，我们将各个老师对数学建模队的评分视为随机事件，算出各分数发生的概率，最后用其数学期望代替缺失的分数，得出结果为：9号队缺失的分数是77；25号队缺失的分数是80；58号队缺失的分数是80。

关于问题二，考虑到各个老师的打分方式有异，根据加权平均分给出了101个队列的排名，结果详见表5.2.1。

关于问题三，利用统计学方法，通过比较每位老师评分的方差大小，得出各老师打分严格程度的差异，最后得出老师甲最严格，老师丙最宽松，其余三位老师的严格程度相差不大。

关于问题四，先将参加队的平均分数从大到小排序，然后其中有48个队参加复评。

关键词：成绩评定 成绩排名 数学期望 统计学 MATLAB 加权平均

一、问题重述

在某高校一次数学建模竞赛中，5位评阅老师分别独立地为101个参赛队打分，最终依据某种方式对各参赛队进行排序、确定所获的奖项。（见附表），请你运用数学建模方法解决下列问题：

（1）补齐表中缺失的数据。

（2）给出101个参赛队的排名顺序。

（3）建立模型对5位老师进行分类，评价5位老师中哪位老师打分比较严格，哪位老师打分比较宽松

（4）通常还会对一部分平均分在80分以上的参赛队进行复评，你认为应该对哪些队进行复评？

二、问题分析

此问题是关于五位老师对101个参加队进行评分的问题。根据问题要求首先我们采用数学的方法对该题进行分析，补全附表中缺失的三个分数。再根据已补全的数据排列出参赛队的排名。然后确定哪位老师打分比较严格，哪位打分比较松，并给出可以给予复评机会的参赛队的序号。

三、问题假设

1、假设所有老师的评分都是客观、公平公正的。

2、假设所提供的数据都是真实可靠的。

3、假设参赛队是否有复评机会对其所打的分有关和其他因素无关。

四、变量说明

E 老师甲对101个参赛队打分的数学期望

F 老师乙对101个参赛队打分的数学期望

G 老师丙对101个参赛队打分的数学期望

0 五位老师对101个参赛队打分的平均值向量

r 五位老师打分的权重向量

ix 参赛队ix的加权平均分

jDX 第j位老师对101个参赛队打分的方差

ixn 某位老师打的分数为ix的频数

五、模型的建立与求解

5.1 问题一

5.1.1 问题分析

该问题要求我们根据已有的数据，利用数学知识分析并补全缺失的数据。显然均值替换法，热卡填充法等都可以解决问题，但是综合分析一下，该问题属于统计类问题，所以我们最终选择应用统计学的方法，给出的评分最合理的替代应为这个老师给所有参赛队打分的数学期望。

5.1.2 模型的建立

根据数学统计的方法，我们将一位老师的评分视为自变量x，其发生的概率为()px。由于样本空间够大，所以其发生的频率可近似视为其发生的概率。即：

()(),1,2,,101;101ixiinpxfxiNN

而其数学期望为所有自变量的取值与其发生概率的乘积的和，即：

(),1,2,,101iiEXxpxi

由此算出的数学期望的值即为此老师所缺评的分数的替代。

5.1.3 模型的求解

按上述方法，代入数据后得出老师甲的评分分布表（表5.1.1）与其散点图（图1.1.1）：

02040608010012050556065707580859095100

图5.1.1老师甲对参赛队的评分分布图

分数 频数 频率 分数 频数1 频率

51 1 0.01 76 2 0.02

53 1 0.01 78 4 0.04

55 2 0.02 79 1 0.01

56 1 0.01 80 1 0.01

58 2 0.02 81 4 0.04

59 2 0.02 82 2 0.02

60 4 0.04 83 1 0.01

61 3 0.03 84 3 0.03

62 1 0.01 85 3 0.03

63 7 0.07 86 6 0.06

64 2 0.02 87 2 0.02

65 3 0.03 88 4 0.04

66 1 0.01 90 5 0.05

67 2 0.02 91 2 0.02

68 3 0.03 92 4 0.04

69 2 0.02 93 4 0.04

70 2 0.02 94 5 0.05

71 2 0.02 97 1 0.01

74 2 0.02 98 1 0.01

75 2 0.02

表5.1.1 老师甲对参赛队评分的统计表

再将表5.1.1中数据代入期望公式即可求出甲老师对101个参赛队打分的数学期望:

1EX=76.55≈77，同样的方法我们可依次求出第二位老师对参赛队打分的数学期望：2EX=79.83≈80，第三位老师对参赛队打分的数学期望：3EX=80.09≈80，由此我们即可确定9号参赛队缺失的分数是77，25号参赛队缺失的分数是80,58号参赛队缺失的分数是80。

5.2 问题二

5.2.1 问题分析

该问题要求我们根据已补全的数据对参赛队按分数的高低进行排序。可以将五位老师对各个参赛队的评分相加得总分，然后求其平均分再根据所得平均分的高低进行排序；也可以考虑到有些老师可能因为主观原因对参赛队打得分偏高或者偏低，因此可以选用对每个参赛队采取去除最高分和最低分之后再对其求平均分的方法，这样相对直接求平均分更具有公平性。但是考虑每位老师的评分标准、方式不同，所以我们选择先根据所有数据算出五个老师各个评分的权重，然后将参赛队的分数加权平均后排序，即得录取顺序。

5.2.2 模型建立

首先根据算出五个老师所打分的平均值向量012345[,,,,]wbbbbb，其计算公式为：

,1,2,,5;1,2,,101;101ijijxbjiNN

归一化后得五个老师打分的权重向量112345[,,,,]wccccc，其计算公式为：

,1,2,,5jjjbcjb

参赛队ix的加权平均分为：

1,5mijjjixcxmm

而后根据由此得到的分数排序。

5.2.3 模型求解

(1)在EXCEL中根据各位老师对每个参赛队的打分计算出每位老师评分的平均值向量0w

0[76.55446,79.86139,80.08911,79.26733,79,9802]w

(2)据此用MATLAB软件计算每个老师对参赛队评分的权重向量为

[0.1934,0.2018,0.2024,0.2003,0.2021]r

(3)将上述数据代入公式后得参赛队的排名为下表（表5.2.1）：

排名 得分 序号 排名 得分 序号

1 17.8352 39 52 15.8937 88

2 17.7467 19 53 15.8765 81

3 17.5952 51 54 15.8378 31

4 17.5629 47 55 15.8344 35

5 17.5305 5 56 15.8258 58

6 17.205 4 57 15.7804 30

7 17.1793 66 58 15.7404 78

8 17.1604 40 59 15.7343 56

9 17.1466 87 60 15.7216 73

10 17.0453 91 61 15.7011 24

11 17.0315 64 62 15.6997 42

12 17.0304 69 63 15.6364 37

13 16.9575 100 64 15.5856 3

14 16.8686 18 65 15.5805 48

15 16.8656 86 66 15.5495 34

16 16.8299 16 67 15.5141 99

17 16.8283 53 68 15.491 55

18 16.7967 82 69 15.4226 75

19 16.7955 22 70 15.3718 25

20 16.7939 77 71 15.3089 17

21 16.757 45 72 15.2978 2

22 16.7468 97 73 15.2589 46

23 16.7108 101 74 15.2211 89

24 16.5112 98 75 15.2201 74

25 16.5062 15 76 15.1593 94

26 16.4838 49 77 15.0604 27

27 16.4607 14 78 14.9049 54

28 16.4518 84 79 14.8985 28

29 16.4348 11 80 14.8868 96

30 16.3473 43 81 14.8706 60

31 16.3409 72 82 14.7997 7

32 16.3063 50 83 14.7987 93

33 16.3058 79 84 14.7809 65

34 16.2652 76 85 14.7525 62

35 16.2457 63 86 14.709 52

36 16.2274 67 87 14.703 20

37 16.1634 12 88 14.7001 92

38 16.1608 8 89 14.6833 26

39 16.1561 29 90 14.6083 23

40 16.1007 10 91 14.4615 68

41 16.0982 38 92 14.46 85

42 16.0877 95 93 14.4334 90

43 16.0419 9 94 14.4274 57

44 16.0384 32 95 14.4266 13

45 16.0319 71 96 14.3792 21

46 16.0186 1 97 14.3456 6

47 16.0111 70 98 14.2174 83

48 15.9922 33 99 13.9759 61

49 15.9623 80 100 13.8094 44

50 15.9508 36 101 13.2742 59

51 15.939 41

5.3 问题三

5.3.1 问题分析

该问题要求我们对五位老师给各个参赛队的所有评分进行分析比较，给出哪位老师的打分比较严格，哪位老师打分比较宽松。易知，对于不同的参赛队，打分严格的老师对优劣比较分明，于是打出的分数也会波动比较大；反之，打分宽松的老师则给予参赛队的分数波动较小。

而波动程度大小的比较可以通过分别统计高、低分段的人数来观察出，高、低分段人数都多的则打分严格，只有高分段或低分段人数多或者高、低分段人数都较少的则打分宽松。

但考虑到这样做的误差可能比较大。所以又采取计算其样本方差，通过其值比较大小来验证上面所得结论（方差越大，波动程度越大）。

5.3.2 模型的建立

（1）由于所有的评分都处于[50,100]之内，所以，我们可以取[50,60]为低分段，[90,100]为高分段。

（2）设X是一个随机变量，若2[()]EXEX存在，则称2[()]EXEX为X的方差，