微分方程数值解第五章答案
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微分⽅程数值解第五章答案
第五章1,0,
0, (,0)1/2,0,0,
0.x u u
u x x t x x ?
>?1. 对初值问题
=2
试分别⽤左偏⼼格式、LW 格式计算其数值解u , k =1,2,3,4, 取/1/h τ=.k 解: 矩形⽹格剖分区域. 取空间步长h , 时间步长τ的矩形⽹格剖分区域, ⽤节点表⽰坐标点0,1,2,...;j =±±(,)j k (,)(,)j k x t jh k τ=,
0,1,2,3,4.k =0=+???
k
j
k j x u t u （1）左偏⼼格式：，在t 上⽤向前差商，x 上⽤向后
差商，得01
1
=?+
+h
u u u u k
j k j k j
k j τ
中国地质⼤学(北京)廉海荣编 1
，因为2/1/=h τ，整理得到k j k j k j
u u u 2
1
2111
+=?+ 把已知条件离散成，则可以根据下⼀层求上⼀层的值得
到，=1，2，3，4，下图中节点处值即为求出来的值：
>=<0,00,2/10
,1j j j =0
j u k k u k u
LW 格式： )2(2
)(21122111
k
j k j k j k j k j k j
k j
u u u r a u u ar u u
++=+++ 在
本题中,2/1/,1===h r a τ,整理得到：
中国地质⼤学(北京)廉海荣编 2k j k j k j k j
u u u u 1
11814383+?+?+=，同理可根据边值条件，根据下⼀层求上⼀层的值得到，k =1，2，3，4，下图中节点处值即为求出来的值：
>=<0
,00,2/10
,1j j j =0j u k u k u
0, 0,0x<, u(x,0)=(x), 0x<, u(0,t)=(t), 0. u u a t T t x t T ?ψ+=<≤<∞?
≤∞??≤≤??
中国地质⼤学(北京)廉海荣编3
2. 试对初边值问题其中建⽴以
下差分格式 0a >111102k k k k j j
j j u u u u a
h
τ
+++++=1
,
（a ）1111111()222k k k k k kj j
j j j j u u u u u u a h h
τ
++++?+++（b ）
0=. 试分析它们的稳定性。
解: ⾸先⽤矩形⽹格剖分区域. 取空间步长, 时间步长h τ的矩形⽹格剖分区域, ⽤节点(,表⽰坐标点0,1,2,...;j =)j k (,)(,)j k x t jh kτ=, 0,1,2,.T k τ??
=
"
(a) 对于初值问题的⽅程在处取值, 然后⽤向后差分代替时间偏
(,)j k
导，然后⽤中⼼差商代替空间偏导为，舍去误差项, 得到差分格式1
11
02h k k k k
j j
j j u u u u a τ
++=， 然后⽤k +1层代替k 层有差分格式
1
111
02h k k k k j j
j j u u u u a
τ
+++++1
= (5.1) 下⾯我们对这个差分格式的稳定性进⾏分析.格式等价于
()1111112k k k k
j j j u ar u u ++++?+?j u =
h
令代⼊上式，得 k k i j j u v e
σ=()1111
2
k i jh k i jh i h k i jh i h k i jh v e ar v e e v e e v e σσσσσ+++?+?σ=
进⼀步简化得传播因⼦为：()1
1
(,)1
1sin 12
i h i h G iar h
ar e e σσστσ?=
=
++?
显然11(,)1sin 1sin G iar h iar h στσσ===
++ 对于，任意的r 可知(,)G στ0a >恒⼩于1，VonNeumann 条件成⽴, 故差分格式⽆条件稳定。
(b) 对于初值问题的⽅程在(,处取值, 然后再⽤向前差分代替时间偏导，接着⽤中⼼差商代替空间偏导数, 舍去误差项定义差分格式)j k 111
02h
k k k k
j j
j j u u u u a
τ
+++=， (5.2)
1
2
然后(5.1)和(5.2)式两边均乘以，做和有
中国地质⼤学(北京)廉海荣编4
1111111022h 2h k k k k k kj j
j j j j u u u u u u a τ
++++?+
++
=. 下⾯对这个差分格式的稳定性进⾏分析,差分格式等价于
()()11111111144
k k k k k j j j j j u ar u u u ar u u ++++?+?+?=??k
j
h
令代⼊上式，得 k k i j j u v e
σ=()()11111
44
k i jh k i jh i h k i jh i h k i jh k i jh i h k i jh i h v e ar v e e v e e v e ar v e e v e e σσσσσσσσσ+++?+?=+?σ?继续化简有
1111sin 1sin 22k k
iar h v iar h v σσ++=?
1
1sin 2(,)1
1sin 2
iar h G iar h σστσ?=+从⽽得到传播因⼦为.
显然111sin 1sin 22(,)1111sin 1sin 22iar h
iar h G iar h iar h σσστσσ??===
++= VonNeumann 条件成⽴, 故差分格式⽆条件稳定。
()0,0,0(,0)(),0(0,)(),0u
u a x t T x t x u x x x u t t t T ?ψ+=<≤<≤?
=<≤∞
=≤≤
∞3. 对变系数⽅程的边初值问题建⽴左偏⼼格式及LF 格式，并研究它们的稳定性。
中国地质⼤学(北京)廉海荣编5
中国地质⼤学(北京)廉海荣编6解：⾸先⽤矩形⽹格剖分区域. 取空间步长, 时间步长h τ的矩形⽹格剖分区域, ⽤节点表⽰坐标点(,0,1,2,...;j =(,)j k )(,)j k x t jh kτ=, 0,1,2,.T k τ??
=
"
下⾯建⽴左偏⼼格式, ⽅程在处取值, 关于时间和空间的⼀阶偏
导数均⽤向前差商代替, 舍去误差项可定义差分格式(,)j k 11
0k k k k
j j
j j j
u u u u a h
τ
++=
h
r τ
=
，以上等式可化为
令kj j k j j k j u a u a u 11r )r 1(?++?=
对于初边值问题可定义差分⽅程组为00
,0,1,2,,0,1,2,j j k k u j u k ?ψ?==?
==""令代⼊左偏⼼格式, 有 k k i j j u v e
σ=h
e 1(1r)r i jh k i jh k i jh ijh k j j e v a e v a e e v σσσ+?=?+
由此可得传播因⼦为. 显然(,)(1r)r ijh j j G a a στ?=?+2
222
(,)(1cos )(sin ) 1[2()2](1-cos )
j j j j j G a r a r h a r a r a r h στσσσ=?++=+?h
即时2()j j a r a r ≤2(,)1G στ≤.⼜因为00j C a C 1<≤≤，即稳定性条件为
.
11rC ≤下⾯建⽴LF 格式, ⾸先采⽤特征线法, 如图所⽰
A
D B CP
k
t t =1
+=k t t
为了求⽅程的解在P 点的函数值,利⽤特征线法可知()()u P u D =, 故只需求解函数在D 点的函数值, ADC 三点时间坐标相等, 故可以把此三点⽅程
的解看成空间的⼀元函数, 可以利⽤AC 两点函数值的线性插值来求 D 点的函数值, 记111:(,1)(,)(,(1)):(1,)(,)((1),):(,)(,)(,):(1,)(,)((1),)
j k j k j k j k P j k x t jh k A j k x t j h k B j k x t jh k C j k x t j h k ττττ+?++?=+??=??=+?=+
(,)(,)(,)C D D A
D k A k A D C A
x x x x u x t u x t u x t x x x x ??=
+??中国地质⼤学(北京)廉海荣编
7
对点线性插值有C A 、C k , 即 11111[(1)(1)]222j j k k k k j
j j j j j h a r h a r u u u a r u a r h
h
+1k
j u +?+?+=+
=?++?. 也可以⽤差商代替偏导数建⽴LF 格式. 关于时间的⼀阶偏导数⽤向前差商代替, 关于空间的⼀阶偏导数⽤中⼼差商代替,舍去误差项可定义中⼼差分格式111
02k k k k
j j
j j j
u u u u a h
τ
+++=, 此等价于
111()2
k k k k
j j j j j r u u a u u ++?=+?
11(2
k k
k j j j u u u r h
τ
