微分方程数值解第一章答案

第一章 一阶微分方程

1.1学习目标：

1. 理解微分方程有关的基本概念, 如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等的定义和提法. 掌握处理微分方程的三种主要方法: 解析方法, 定性方法和数值方法.

2. 掌握变量分离法，用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程的猜测检验法, 常数变易法和积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解和掌握一阶线性方程的通解结构和性质.

3. 能够大致描述给定一阶微分方程的斜率场, 通过给定的斜率场描述方程解的定性性质;

理解和掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单的近似计算.

4. 理解和掌握一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解的存在性与唯一性并解决与之相关的问题, 了解解对初值的连续相依性和解对初值的连续性定理, 理解适定性的概念.

5. 理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线的概念, 能够画出给定自治方程的相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解的渐近行为.

6. 理解和掌握一阶单参数微分方程族的分歧概念, 掌握发生分歧的条件, 理解和掌握各种分歧类型和相应的分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族的分歧图解, 利用分歧图解分析解的渐近行为随参数变化的状况.

7. 掌握在给定的假设条件下, 建立与实际问题相应的常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型的各种分析.

1.2基本知识：

(一) 基本概念

1. 什么是微分方程:

联系着自变量、未知函数及它们的导数（或微分）间的关系式（一般是

指等式），称之为微分方程.

2. 常微分方程和偏微分方程:

(1) 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分方程,例如 )(22tfcydtdybdtyd, 0)(2ydtdytdtdy.

(2) 如果在微分方程中，自变量的个数为两个或两个以上，则称这种微分方程为偏微分方程. 例如 0222222zTyTxT, tTxT422.

微分方程的基础知识与练习

（一）微分方程基本概念：

首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。

（1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M（x,y）处的切线的斜率为2x，求这条曲线的方程。

解 设曲线方程为)(xyy.由导数的几何意义可知函数)(xyy满足

xdxdy2 （1）

同时还满足以下条件：

1x时，2y （2）

把（1）式两端积分，得

xdxy2 即 Cxy2 （3）

其中C是任意常数。

把条件（2）代入（3）式，得

1C，

由此解出C并代入（3）式，得到所求曲线方程：

12xy （4）

（2）列车在水平直线路上以20sm/的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0sm.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？

解 设列车开始制动后t秒时行驶了s米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(tss满足：

4.022dtsd （5）

此外，还满足条件：

0t时，20,0dtdsvs （6）

(5)式两端积分一次得：

14.0Ctdtdsv （7）

再积分一次得 2122.0CtCts （8）

其中21,CC都是任意常数。

把条件“0t时20v”和“0t时0s”分别代入（７）式和（８）式，得

0 ,2021CC

把21,CC的值代入（7）及（8）式得

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精品文档 第二章 微分方程

本章学习目的：

本章的主要目的在于：学习微分方程模型的建立、求解方法、分析结果及解决实际问题的全过程。

1．知道求解微分方程的解析法、数值解法以及图形表示解的方法；

2．理解求微分方程数值解的欧拉方法，了解龙格——库塔方法的思想；

3．熟练掌握使用MATLAB软件的函数求微分方程的解析解、数值解和图形解；

4．通过范例学习怎样建立微分方程模型和分析问题的思想。

§2.1 引例

在《大学物理》中，我们曾学习过简谐振动（如：弹簧振子、单摆）0222xdtxd，那就是一个典型的二阶常微分方程的模型。

这里我们讨论“倒葫芦形状容 器壁上的刻度问题”。 精品文档

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对于圆柱形状容器壁上的容积刻度，可以利用圆柱体体积公式：4/2HDV，其中容器的直径D为常数，体积V与相对于容器底部的任意高度H成正比，因此在容器壁上可以方便地标出容积刻度。

而对于几何形状不规则的容器，比如“倒葫芦形状”的容器壁上如何标出容积刻度呢？

如图所示，建立坐标系，由微元法分析可知：

dxxDdV2)(41，其中x表示高度，直径是高度的函数，记为D（x）。可得微分方程：0)0()(412VxDdxdV

如果该方程中的函数D(x)无解析表达式，只给出D(x)的部分测试数据，如何求解此微分方程呢？

h=0.2; d=[0.04,0.11,0.26,0.56,1.04,1.17]; x 精品文档

精品文档 x(1)=0;v(1)=0;

for k=1:5

x(k+1)=x(k)+h;

v(k+1)=v(k)+(h/2)*(pi/4)*(d(k)^2+d(k+1)^2);

end

x=x(1:6),v=v(1:6),

plot(x,v)

x =

Columns 1 through 5

0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000

常微分方程数值解

1 将下列方程化为一阶方程组

(1)

⎩⎨⎧

=′==+′−′′

;1)0(,1)0(034

yyyyy

(2)

⎩⎨⎧

=′==+′−′′

;0)1(,1)1(2232

yyInxxyyxyx

(3)

⎩⎨⎧

=′′−=′=′=′′′

;2)0(,1)0(,1)0(62

yyyyyy

2 用Euler法解初值问题证明：其截断误差

⎩⎨⎧

=+=′

0)0(ybaxy

()-y

nx2

21)(anhy

n=

这里是Euler法的近似解，而有y(x)=

nnynhx,=bxax+2

21为原初值问题的精确解

3 证明定理8.1.3

4用梯形法解初值问题证明：其近似解

⎩⎨⎧

==+′

1)0(0

yyy

Λ,2,1,0,)

22(=

+−=n

hhyn

n 并证明当

时，它收敛于原问题的精确解 0→hxey−=

5 利用Taylor展开的方法推导Adams外插四步2的计算公式和Adams内插三步法的

计算公式及相应的误差公式

6 证明隐式Euler法（向后Euler法）是一阶的

7 证明对于任何参数α，下列格式是二阶的：

⎪⎪

⎩⎪⎪

⎨⎧

−+−+=++==++=

+

))1(,)1((),(),()(

21

13121311

kyhxhfkkyhxhfkyxhfkkkyy

nnnnnnnn

αααα

8证明 由)],(),(2),(4[

61

111nnnnnnnnyxhfyxfyxfhyy+++=

+++ 确定的隐式单步法的阶为3