两角及差正余弦公式的证明

一　雹　两角和与差的正　余弦公式的一些推导方法　摘要：两角和与差的正弦、余弦和正　切公式是三角变换的基本依据，对公式　的探究，将进一步提高学生的推理能力、　运算能力和创新能力．下面用两点间距　离、向量、三角函数线、面积等方法对两　角和与差的正、余弦公式进行了推导，在　教学中可以适当地加以运用，拓宽学生　的思维．　关键词：两点间距离向量三角函　数线、面积　一、两点间距离法　２００２年版高中《数学第一册（下）》　教科书中，第３４　页推导两角和　的余弦公式的　方法如下：　如图，在直　角坐标系ｘＯｙ内　作单位圆Ｏ，并　ｙ　．．　。　作出角　，卢与　，使角　的始边为　，　交００于点Ｐ】，终边交００于点Ｐ２，角卢　始边为ｏＰ２，终边交（ＤＯ于点Ｐ３，角　的　始边为０尸１，终边交００于点尸４，这时点　Ｒ、Ｐ２、Ｐ３、Ｐ４的坐标分别是　Ｐ１（１，０），　Ｐ２（ＣＯＳｏｚ，ｓｉｎ（￣），　Ｐ３（ＣＯＳ（　），ｓｉｎ（　）），　（ＣＯＳ（　），ｓｉｎ（　））．　由Ｐ１Ｐ３＝　及两点间距离公式，得　［ｃｏｓ（　）一１］Ｚ＋ｓｉＮ　（　）　＝［ｃｏｓ（　）－ｃ０ｓｅ］２＋Ｉｓｉｎ（　）－ｓｉｎａ］２　展开并整理，得２－２ｃｏｓ（　＋口）＝２—　２（ｃｏ　ｃｏ　一ｓｉｎ￣ｓｉ　）　所以ＣＯＳ（￣　）一ｃｏ　ｃｏ　一ｓｉｎ（￣ｓｉ幛　还可以如　下作图：　如图，在　直角坐标系　ｘＯｙ内作单位　圆０，并作出角　ｄ和两个—口，　使角　的始边　ｙ●　一　．ｃ　一　为　，交０Ｄ于点Ｐ１，终边交０Ｄ于点　Ｐ２，一个角　始边为ＯＰ２，终边交０Ｄ于　一河北省秦皇岛开发区燕山大学附属中学杨华　点Ｐ３，另角　的始边为０／＇ｉ，终边交（ＤＯ　于点Ｐ４，这时点Ｐｌ、Ｐ２、Ｐ３、Ｐ４的坐标分别　是　只（１，０），　Ｐ２（ＣＯＳａ，ｓｉｎａ），　（ＣＯＳ（　），ｓｉｎ（　）），　尸４（ＣＯＳ（　），ｓｉｎ（　））．　由ＰｌＰ２＝腿及两点间距离公式，得　［ｃｏｓ　一１　＋ｓ１ｎ　＝［ｃｏＳ（　—　）－ｃｏｇ—　）　＋［ｓｉｎ（　）一ｓｉｎ（　）］　，　展开并整理，得２－２ｃｏｓａ＝２—　２［ｃｏｓ（　）ｃｏｓ＃一ｓｉｎ（ａ－＃）ｓｉｒｖ９］　所以ＣＯＳｏ￣＝ＣＯＳ（ａ－＃）ｃｏｓ８一ｓｉｎ（￣－＃）　Ｓ１ｎＢ，　令Ａ　，曰－－＃，贝０　ＣＯＳ（Ａ＋曰）一　ｃＯＳＡ　ＣＯＳＢ－ＳｉｎＡ　ｓｉｎＢ．　从而得到两角和的余弦公式．　点评：此方法是将终边与单位圆的交　点坐标用三角函数值表示，通过两点间距　离公式找到等量关系，推出公式．特别是　方法二最后利用了整体代换的数学思想，　更能提高学生的思维能力和创新能力．　二、向量法　参见２００７年版高中课标Ａ版《数　学》必修４教科书中，第１２５页推导两　角差的余弦公式的方法，利用　ｒ・　＝ｌｉ　Ｉ・Ｉ　ｏ－－－＃ｌｃｏ，ｓＳ＝ｃｏｓｅ—ｃｏｓ　ｃ０与Ｂ＋ｓ１ｎ　ｓ１ｎＢ且　＝　一　＋２Ｊ｝叮ｒ，ｋ∈　，得到ＣＯＳ　（　）＝ｃｏｓ￣ｃｏｓ＃＋ｓｉｎ￣ｓｉ　．这种方法体　现了向量作为解题工具解决问题的优　势，简化了运算．　三、三角函　数线法　可用三角　函数线来证明，　先从简单的情　况出发，如图，　设角　、　为锐　角，且　＜　，　／　厂　ｆ　／－ｘＯＰ２＝ａ＋卢，ＯＭ２就是角ｄ＋　的余弦　线．　过点尸２作蹦上ＤＰ１，垂足为Ａ．过点　Ａ作ＡＢＩｘ轴，垂足为Ｂ，　Ⅳ上　２，垂足　２０１３・１２　为Ⅳ．　０Ａ＝ｃｏｓ＃，ＡＰ２＝ｓｉｎ８，并且厶４Ｐ２Ⅳ＝　ＰＩＯｘ　．　于是ＣＯＳ（　）Ｄ恤＝ＯＢ—Ｂ　＝ＯＢ—’ＰＩＮ　＝ＯＡＣＯＳｏｔ——ＡＰｚｓｉｎａ　ｃＯ　；ｃ０ｓ　—ｓｉｑＳｓｉｎ（￣　肘２Ｐ２就是角　＋口的正弦线．于是ｓｉｎ　ｌ０邮１Ｍ２Ｐ２一Ｍ　＋ＮＰ２＝ＢＰＬ＋ＮＰ２　ＯＡ　ｓｉ—　ｎｏｔ＋ＡＰ２ｃｏｓａ＝∞与ｆ３ｓｉｎｃｅ＋ｓｉｒｙ３　ＣＯＳｏ（．　对于Ｃ　与　的推导还可以如下　作出角　．　如图，　作出角　的　正弦线和余　弦线，过点　Ｐ２作　上　０Ｐ１，垂足为　Ａ．过点尬　，‘　ｆ　ｆ　．　帕终边　作ＭｚＮ上ＤＰ１，垂足为Ｎ，　上　，交　的延长线于Ｍ．　表示ＣＯＳ（ａ　），　表示　ｓｉｎ（　］Ｂ），并且　＝　Ｐ１Ｏｘ＝　．　于是ＣＯＳ（　）＝ＯＡ＝ＯＮ＋ＮＡ＝　ＯＮ＋　＝ＯＭｚｃｏｓＩ３＋Ｐ２Ｍｚｓｉｎ８＝ｃ０　ｃｏ　＋ｓｉｎａｓｉ　，　ｓｉｎ（　—　）一Ｐ１Ｐ２＝ＭＰｚ一鹏＝ＭＰｚ一　２Ⅳ一＾　ｃｏ　一０＾　ｓ１ｎＢ　ｓｉｎａｃｏｓ＃一　ｃｏｓ￣ｓｉｎ８．　点评：此方法的关键是将　、口或　±　的三角函数值用线段来表示，构造直角　三角形，从而得到公式．但此方法是在　、　卢、ａ士卢都是锐角，且卢＜　的情况下得到　的，要推广到任意角还需要进行比较烦琐　的运算．　四、面积法　如图所示，　作出角　、』３的正　弦线、余弦线．　由Ｓ△　。Ｐ　２　。　．　＝ＳＡ０幔　＋Ｓ梯形８脯　—ＳＡ㈨　得　（下转第４５页）

三角函数两角和差公式证明过程

一、两角和的余弦公式cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B的证明。

1. 利用单位圆证明（几何法）

- 在单位圆x^2+y^2 = 1上，设角A、B的终边分别与单位圆交于点P_1(cos

A,sin A)和P_2(cos B,sin B)。

- 则→OP_1=(cos A,sin A)，→OP_2=(cos B,sin B)。

- 角A + B的终边与单位圆交于点P。

- 根据向量的数量积定义，→OP_1·→OP_2=|→OP_1||→OP_2|cos(A - B)，因为|→OP_1|=|→OP_2| = 1，所以→OP_1·→OP_2=cos(A - B)。

- 又因为→OP_1·→OP_2=cos Acos B+sin Asin B，所以cos(A - B)=cos Acos

B+sin Asin B。

- 令B=-B，则cos(A + B)=cos Acos(-B)+sin Asin(-B)。

- 由于cos(-B)=cos B，sin(-B)=-sin B，所以cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin

B。

2. 利用复数证明（代数法）

- 设z_1=cos A + isin A，z_2=cos B + isin B。

- 根据复数乘法法则z_1z_2=(cos A + isin A)(cos B + isin B)

- 展开得z_1z_2=cos Acos B-sin Asin B+i(sin Acos B+cos Asin B)。

- 另一方面，根据复数的三角形式乘法z_1z_2=cos(A + B)+isin(A + B)。

- 比较实部可得cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B。 二、两角和的正弦公式sin(A + B)=sin Acos B+cos Asin B的证明。

两角和与差的三角函数的证明

1.两角和的证明：

首先，我们来证明两角和的正弦和余弦公式。设角A和角B的边长分别为a和b，且A和B为锐角。我们可以建立一个直角三角形ABC，其中BC为斜边，边长为c。根据三角形的定义，我们有BC^2 = AB^2 + AC^2、根据三角函数的定义，我们有sin A = AB / c，sin B = AC / c。将这两个式子代入前面的等式，我们可以得到AB^2 + AC^2 = BC^2，即a^2 +

b^2 = c^2、这就是著名的勾股定理。

进一步，我们可以利用勾股定理证明两角和的正弦公式。再次考虑三角形ABC，设角C为角A与角B的和。根据余弦定理，我们可以得到c^2

= a^2 + b^2 - 2abcos C。在直角三角形中，角C的余弦值等于角A的余弦值乘以角B的余弦值减去角A的正弦值乘以角B的正弦值，即cos C =

cos A cos B - sin A sin B。将这个式子代入前面的等式，我们可以得到c^2 = a^2 + b^2 - 2ab(cos A cos B - sin A sin B)。进一步化简，我们可以得到c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos A cos B + 2absin A sin B。再次应用勾股定理，我们可以得到c^2 = (a cos B + b sin A)^2 + (b

cos A - a sin B)^2、根据三角函数的定义，我们有sin C = (a cos B

+ b sin A) / c，cos C = (b cos A - a sin B) / c。将这两个式子代入前面的等式，我们可以得到sin C^2 + cos C^2 = 1、因此，得证了两角和的正弦公式：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B。

同时，我们也可以通过更复杂的推导，得到两角和的余弦公式、正切公式、余切公式、正割公式和余割公式。这些公式的推导过程非常繁琐，涉及到三角函数的性质、三角恒等式、三角函数关系式等内容。由于篇幅限制，无法在此一一展开。但是，可以通过数学推导和转换，最终将这些公式归结为两个角度和的正弦公式。这也是数学中的一种非常常用的方法，即通过一个重要的定理或公式推导出其他的结论。

两角和与差的余弦公式的五种推导方式之对照

第一种推导方式：

我们知道余弦函数的定义为：

cosθ = adj/hyp

其中，adj表示邻边的长度，hyp表示斜边的长度。

现在考虑两个角度的和，即θ1+θ2、根据余弦函数的定义，我们可以得到：

cos(θ1 + θ2) = adj1/hyp1

现在我们将θ1和θ2分别表示为它们的余弦函数：

cosθ1 = adj1/hyp1

cosθ2 = adj2/hyp2

将这两个式子相加，得到：

cosθ1 + cosθ2 = (adj1 + adj2) / (hyp1 + hyp2)

这就是两角和的余弦公式。

第二种推导方式：

我们知道余弦函数的定义为：

cosθ = adj/hyp

我们还知道余弦函数的复合角公式，即：

cos(θ1 + θ2) = cosθ1⋅cosθ2 - sinθ1⋅sinθ2 现在我们将θ1和θ2表示为它们的余弦函数和正弦函数：

cosθ1 = adj1/hyp1

cosθ2 = adj2/hyp2

sinθ1 = opp1/hyp1

sinθ2 = opp2/hyp2

将这些式子代入复合角公式中，得到：

cos(θ1 + θ2) = (adj1/hyp1)⋅(adj2/hyp2) -

(opp1/hyp1)⋅(opp2/hyp2)

= (adj1⋅adj2 - opp1⋅opp2) / (hyp1⋅hyp2)

这就是第二种推导方式。

第三种推导方式：

我们知道余弦函数的定义为：

cosθ = adj/hyp

我们还知道正弦函数的平方与余弦函数的平方之和等于1，即：

sin²θ + cos²θ = 1

现在我们考虑θ1和θ2的和，即(θ1+θ2)。我们可以得到：

cos(θ1 + θ2) = adj1+2/hyp1+2

现在我们将θ1+2表示为(θ1+θ2)的余弦函数和正弦函数：

cos(θ1 + θ2) = adj1+2/hyp1+2 = (adj1⋅cosθ2 - opp1⋅sinθ2) / (hyp1⋅cosθ2 + hyp2⋅sinθ2)