两角差的正余弦公式

两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)公式

①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C(α－β))

②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C(α＋β))

③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S(α－β))

④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S(α＋β))

⑤tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T(α－β))

⑥tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T(α＋β))

(2)公式变形

①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．

②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．

2．二倍角公式

(1)公式

①sin 2α＝2sin_αcos_α，

②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，

③tan 2α＝2tan α1－tan2α.

(2)公式变形

①cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2；

②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin)4(.

3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√)

(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√)

(3)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(×)

(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(×)

1 两角和与差的余弦公式教案

【教学三维目标】

1.知识目标： 理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。

2能力目标 ： 培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

3.情感目标： 通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。

【高考等级要求】 C级

【教学重点】 两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。

【教学难点】 两角和与差的余弦公式的推导过程，特别是一般性的推广。

【突破措施】 先由特殊情形引入再向一般性过渡，充分挖掘学生的思考和探究能力，以达到对公式的深入理解和灵活运用。

【教材分析】 这节内容是教材必修4的第三章《三角恒等变换》第一节，是高考的重点考点，历年高考必考内容，一般在填空或解答题第15题出现。教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数．“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性。

【学情分析】 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。他们经过半个多学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。

【学具准备】 小黑板 圆规

【学法设计】 独立思考，生生交流探究，小组合作

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两角和与差的正弦、余弦正切公式

两角和与差公式

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB

cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B) =tanAtanB-1tanBtanA tan(A-B) =tanAtanB1tanBtanA

cot(A+B) =cotAcotB1-cotAcotB cot(A-B) =cotAcotB1cotAcotB

倍角公式

tan2A =Atan12tanA2 Sin2A=2SinA•CosA

Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A

半角公式

sin(2A)=2cos1A cos(2A)=2cos1A tan(2A)=AAcos1cos1

tan(2A)=AAsincos1=AAcos1sin cot(2A)=AAcos1cos1

和差化积

sina+sinb=2sin2bacos2ba sina-sinb=2cos2basin2ba

cosa+cosb = 2cos2bacos2ba cosa-cosb = -2sin2basin2ba

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

全国名校高考数学复习优质学案汇编（文科，附详解）

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；

cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β；

tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan βα±β，α，β均不为kπ＋π2，k∈Z.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2α＝2sin αcos

α；

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

tan 2α＝2tan α1－tan2αα，2α均不为kπ＋π2，k∈Z.

3．三角公式的关系

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)存在实数α，β使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )

(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B的大小关系不确定．( )

(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )

(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )

(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )

答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√

(教材习题改编)化简cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为( )

A．32

B．12

C．－12 D．－32 全国名校高考数学复习优质学案汇编（文科，附详解）

解析：选B．法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝12.

法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.