18.2 勾股定理的逆定理(2)

第十八章勾股定理18． 1 勾股定理（一）18． 1 勾股定理（二）18． 1 勾股定理（三）18． 1 勾股定理（四）18． 2 勾股定理的逆定理（一）18． 2 勾股定理的逆定理（二）18． 2 勾股定理的逆定理（三）第十八章勾股定理18． 1 勾股定理（一）一、教学设计目标1．认识勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培育在实质生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所获得的成就，激发学生的爱国热忱，促其勤劳学习。

二、要点、难点1．要点：勾股定理的内容及证明。

2．难点：勾股定理的证明。

三、例题的企图剖析例 1（增补）经过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；经过拼图，发散学生的思想，锻炼学生的着手实践能力；这个古老的出色的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族骄傲感，和爱国情怀。

例 2 使学生明确，图形经过割补拼接后，只需没有重叠，没有缝隙，面积不会改变。

进一步让学生确信勾股定理的正确性。

四、讲堂引入当前生界上很多科学家正在试图找寻其余星球的“人”，为此向宇宙发出了很多信号，如地球上人类的语言、音乐、各样图形等。

我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反应勾股定理的图形，假如宇宙人是“文明人”，那么他们必定会辨别这类语言的。

这个事实能够说明勾股定理的重要意义。

特别是在两千年前，是特别了不起的成就。

让学生画一个直角边为3cm 和 4cm 的直角△ ABC ，用刻度尺量出AB 的长。

以上这个事实是我国古代3000 多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连接得向来角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为 5 和 12 的直角△ ABC ，用刻度尺量AB 的长。

你能否发现 32+42 与 52 的关系， 52 +122 和 132 的关系，即 32+42=52， 52+12 2=13 2，那么就有勾 2+股 2=弦 2。

F为DC BC.
【证明】设正方形ABCD的边长为4a， A
D
则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
F
在Rt△ABE中，由勾股定理得
AE 2＝AB 2＋BE 2＝(4a)2＋(3a)2＝25a2. B
EC
在Rt△ADF中，由勾股定理得
AF 2＝AD2＋DF 2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2.
在Rt△ECF中，由勾股定理得
练习
1．已知：a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2 (m、n为正整数，m＞n). 试判定由a、b、c组成的三角形是不是直 角三角形．
不是
(二)解答题：
练习
2．五边形ABCDE的各边的长都是12， ∠A＝∠E＝90°，M为五边形内一 点，且MA＝13，MB＝5， 求ME、MC、MD的长．
ME＝ 193
A 4B
AD2＝132＝169，
∴ AC2＋CD2＝AD2.
∴∴∴SS△S△四△A边ACADB形CC＝AD＝B是C21D21直AAC＝角B·C·SB三△DCA＝角B＝C21形＋21×.S×△5A×3C×D1＝24＝＝3636.0，.
四 、新课
例4
求已中证知点：：，∠如E为E图FBA，C＝上正9一0方°点形. ，AB且CDEC中＝，14
例2 已知△ABC中，AC＝2 6 ，BC＝2 2 ， AB＝4 2 ， 求AB上的高CD的长.
【解】由于(2 6)2 (2 2 )2 24 8 32 (4 2 )2 ,
所以△ABC是以∠C为直角的三角形．于是
1 2
AB·CD＝
1 2
BC·AC，
CD 2 6 2 2 6 42
三 、引入
一般地说，在平面几何中，经常是利 用直线间的位置关系，角的数量关系而判 定直角的；而勾股定理的逆定理则是通过 边的计算判定直角的. 三角形的三边长a、 b、c有关系a2＋b2＝c2，则这个三角形是 直角三角形；如果a2＋b2 ≠c2，则这个三 角形不是直角三角形.

八数教学案一、课时学习目标1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

重点、难点1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

二、课前预习导学1．填空题。

⑴任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。

⑵“两直线平行，内错角相等。

”的逆定理是 。

⑶在△ABC 中，若a 2=b 2－c 2，则△ABC 是 三角形， 是直角； 若a 2＜b 2－c 2，则∠B 是 。

⑷若在△ABC 中，a=m 2－n 2，b=2mn ，c= m 2＋n 2，则△ABC 是 三角形。

2．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）A ．a=8，b=15，c=17B ．a=9，b=12，c=15C ．a=5，b=3，c=2D ．a ：b ：c=2：3：43．已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？⑴a=3，b=22，c=5； ⑵a=5，b=7，c=9；⑶a=2，b=3，c=7； ⑷a=5，b=62，c=1。

4．若三角形的三边是 ⑴1、3、2； ⑵51,41,31； ⑶32，42，52⑷9，40，41； ⑸（m ＋n ）2－1，2（m ＋n ），（m ＋n ）2＋1；则构成的是直角三角形的有（ ） A ．2个 B ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个 5．叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。

⑴如果a 3＞0，那么a 2＞0；⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形； ⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等； ⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。

三、课堂学习研讨例1（P75例2）在军事和航海上经常要确定方向和位置， 从而使用一些数学知识和数学方法。

分析：⑴了解方位角，及方位名词；⑵依题意画出图形；⑶依题意可得PR= ，PQ= ，QR= ；小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。

3
4
学海中学 何邦辉
问题: 判断由线段a、b、c组成的三 角形是不是直角三角形?
(1) a=8 b = 15 c =17 c =15
(2) a=13 b = 14
像8、15、17这样，能够成为直角三角形三 条边长的三个正整数，称为勾股数。
谈谈勾股数的特征：
（1）a、b、c三数都是正整数,且a <c ,b <c .
数海拾贝
• 从代数的角度看勾股数,就是考察方程 x + y = z 的正 整数解,古代中国人发现了”勾三股四弦五”,古希腊人找 到了这个方程的全部整数解. 17世纪,法国数学家费马提出猜想:当n≥３时，方程 n n n x + y = z 无正整数解，围绕着这个看似简单的费 马大定理，一批杰出的数学家，如欧拉，柯西，伽罗华， 还有维尔斯，他们前赴后继用了整整358年才最后完成这 项证明． 费马大定理被人比作数论中的“喜马拉雅山的顶峰”
（1）请你根据上述四组勾股数的规律，写出第 五组勾股数。 （2）试用数学等式描述上述勾股数组规律。 （3）请证明你所发现的规律。
１、下列数组中，不是勾股数的是（ D ） A、3k、4k、5k（k为正整数）B、5、12、13
C、7、24、25
D、8、12、13
2、已知下列命题： (1) 如果a、b、c是一组勾股数，那么 ka、 kb、kc（ k是正整数）仍是勾股数。 (2) 如果直角三角形的两边是3、4，那么斜 边必是5。 (3) 如果一个三角形的三边是12、25、21，那 么此三角形必是直角三角形。 (4) 2499、100、2501是一组勾股数组。
(2) 三数符合
a b c
2 2
2
今天,我们将沿着前人的足迹, 去寻找这些勾股数组的规律！