由传递函数转换成状态空间模型

格式：doc
大小：217.07 KB
文档页数：9

由传递函数转换成状态空间模型——方法多!!!

SISO线性定常系统

高阶微分方程化为状态空间表达式

SISO mnubububyayayaymmmnnnn 1102211

)(2211110nnnnmmmasasasbsbsbsG 假设1mn

外部描述

←—实现问题：有了内部结构—→模拟系统

内部描述

SISO ducxybuAxx

实现问题解决有多种方法，方法不同时结果不同。

一、直接分解法

因为

1011111()()()()()()()()1mmmmnnnnYsZsZsYsUsZsUsZsbsbsbsbsasasaLL

)()()()()()(1111110sZasasassUsZbsbsbsbsYnnnnmmmm

对上式取拉氏反变换，则

zazazazuzbzbzbzbynnnnmmmm1)1(1)(1)1(1)(0

按下列规律选择状态变量，即设)1(21,,,nnzxzxzx，于是有 ,.

uxaxaxaxxxxxnnnn12113221

写成矩阵形式

uxxxxaaaxxxxnnnnnnnI100000121111121

式中，1nI为1n阶单位矩阵，把这种标准型中的A系数阵称之为友阵。只要系统状态方程的系数阵A和输入阵b具有上式的形式，c阵的形式可以任意，则称之为能控标准型。

则输出方程

121110xbxbxbxbymmnn

写成矩阵形式

nnmmxxxxbbbby121011][

分析cbA,,阵的构成与传递函数系数的关系。

在需要对实际系统进行数学模型转换时，不必进行计算就可以方便地写出状态空间模型的A、b、c矩阵的所有元素。

例：已知SISO系统的传递函数如下，试求系统的能控标准型状态空间模型。

42383)()(23sssssUsY

解：直接得到系统进行能控标准型的转换，即 ,.

uxxxuxxxaaaxxx100324100010100100010321321123321

321321012]083[][xxxxxxbbby

若选择状态变量Tnxxxx21满足下列条件（如何考虑？）

ubububyayayxubububyayayxububyayayxubyayxyxmmmnnnmmmnnnnnn)2(1)1(0)2(1)1(11)3(1)2(02)3(1)2(210212011

考虑式

mnubububyayayaymmmnnnn 1102211

设系统的输出nxy，依次对第一式求导，并带入第二式；对第二式求导，并带入第三式；依次类推，便得到

ubxaxxubxaxxubxaxxubxaxnnnnnnmnnmnn011122111121

写成矩阵形式

ubbbbxxxxaaaaxxxxmmnnnnnnnI011121121112100 ,.

nnxxxxy121]1000[

式中，1nI为1n阶单位矩阵。只要系统状态空间表达式的A阵和c阵具有上式的形式，b阵的形式可以任意，则称之为能观标准型

从形式上看，能控标准型和能观标准型的系数阵A是互为转置，能控标准型输入阵b和能观标准型输出阵c互为转置，这种互为转置的关系被称为对偶关系。将在第六章进一步讨论。

通过以上对传递函数阵的能控标准型或能观标准型转换的讨论，对单输入系统而言，应注意如下问题：

（1）传递函数转化成能控标准型的状态空间表达式，状态方程的结构只由传递函数阵的极点（特征）多项式确定，而与其零点多项式无关，零点多项式只影响输出方程的结构。

（2）从能观标准型的转换可以看出，系数阵A的元素仅决定于传递函数极点多项式系数，而其零点多项式则确定输入阵B的元素。

（3）只有当传递函数零点和极点多项式同阶时，即nm，状态空间表达式的输出方程中才出现Du项，否则D为零阵。

例：求前例的能观标准型的状态空间模型

解：直接得到能观标准型的状态空间模型，即

uxxxxxx083310201400321321 ,.

Txxxy321]100[

二、串联分解法

若SISO系统的传递函数极点互异，系统传递函数分子分母写成因式相乘形式

1212()()()()()()()()()()mnKszszszYsGsnmUSspspspLL

例：12123121232312123()()()()()()()()11KszszYsGsUSspspspszszKspspspzpzpKspspsp

图示！！

321213232112213321100000xxxkpzpzyuxxxpkpkpzpxxx

三、并联分解法（对角标准型/约旦标准型——特征值标准型）

（一）若SISO系统的传递函数极点互异，则可求得对角标准型的模型。

当系统的极点互异时，系统传递函数分子分母写成因式相乘形式

1212()()()()()()()()()()mnKszszszYsGsnmUSspspspLL

写成部分分式

niiinnpscpscpscpscsUsYsG12211)()()(

其中，ic，ni,,2,1为待定系数，其值为

))((limisipssGci ,.

选择状态变量为（画图示意状态变量的取法）

,)()(iipssUsX ni,,2,1

即

)()()(sUsXpssXiii

对上式拉氏反变换，得

uxpxiii

即

uxpxuxpxuxpxnnn222111

写成矩阵形式

uxxxpppxxxnnn111212121

式中，系数矩阵A为对角阵。对角线上的元素是传递函数G（s）的极点，即系统的特征值。b阵是元素全为1的n×1矩阵。

求对角标准型模型的输出方程中c的结构

)()(1sUpscsYniii

)()()(sXpssUii

niiisXcsY1)()(

对上式拉氏反变换，得 ,.

Tnniixxxcccxcy2121][

如果系统的状态方程的A阵是对角阵，表示系统的各个变量之间是解耦的。多变量的系统解耦是复杂系统实现精确控制的关键问题，关于如何实现解耦控制将在第五章讨论。

系统的状态结构图如图所示。

例：设系统的闭环传递函数如下，试求系统对角标准型的转换

611686)()()(23sssssUsYsG

解：将)(sG用部分分式展开

321)3)(2)(1(86)(321scscscsssssG

从而可得)(sG的极点3,2,1111为互异的，求待定系数ic

1)3)(2(86lim))((lim1111sssssGcss

4)3)(1(86lim))((lim2222sssssGcss

5)2)(1(86lim))((lim3333sssssGcss

得对角标准型的转换为

uxxxxxx111300020001321321

Txxxy321541

（二）对SISO系统式，当其有重特征值时，可以得到约当标准型的状态空,.

间模型。

此时模型的系数矩阵A中与重特征值对应的那些子块都是与这些特征值相对应的约当块，即

iiiiλλλJ11

设系统具有一个重特征值1，其重数为j，而其余为互异的特征值，记为nj,,1，则传递函数可以用部分分式展开成

)()()()()()()()(1111111112111nniijjjiijjpscpscpscpscpscpscpscsG

式中，待定系数jccc11211,,对应的是重极点的待定系数，其值为

]))(([lim)!1(11)1()1(11jiisipssGdsdic

其余互异根的待定系数),,2,1(njjici求法同前。

画图示意状态变量的取法：

例：设系统的闭环传递函数如下，试求系统对约当准型的状态空间模型

)1)(2()3()5(3)()()(2sssssUsYsG

解：从已知系统地传递函数)(sG可知，该系统为四阶，有一个重极点，重数为j=2，有两个互异的极点，即1,2,34321

按部分分式展开

12)3()3()(4312211scscscscsG