第一章线性空间一、教学目标与基本要求数学的特点之一是抽象.从实数、复数、实值函数、无穷级数、向量等数学对象中,可以抽象出它们的共同特点:同一集合中的元素彼此可以相加,可与数相乘,这些运算还遵从一些共同规律.本章讨论的线性空间,就是针对上述特点建立的一种一般性的数学概念.它包括了所有前面提到的实例,另有许多数学对象也可归属其中.数学中所谓空间,就是具有某些特性的集合.所谓线性空间,概言之就是这样一个集合:在其上定义了称为加法和数乘的两种运算,并可在该集合上实施(准确的定义见后详述).在此,既不强调集合元素的本来属性,又不规定这两种运算是如何实施的,只规定运算具有称为公理的某些性质.1 线性空间的定义及例定义1.1.1设V是一个非空集合,其元素用x、y、z等表示.V被称为一个线性空间,如果它满足以下被分为三组由10条公理构成的公理体系:1.1.1封闭公理公理1(加法封闭公理)在V中定义了加法运算:对于V中任意两个元素x和y,有唯一的V中的元素与之对应并被称为x与y的和,记为x＋y.公理2(数乘封闭公理)在V中定义了实数乘法(简称数乘)运算:对于V中任意元素x和任意实数a,有唯一的V中的元素与之对应并被称为a与x的积,记为a x.加法运算和数乘运算合称线性运算.1.1.2加法公理公理3 (交换律)对于任意x,y∈V,有x++.=xyy公理4(结合律) 对于任意x,y,z∈V,有+x+=+.+y))z(z(yx公理5 (零元素存在性)V中存在一个记为θ的零元素,对于任意x∈V,有+.x=xθ-的x的负元素,使公理6 (负元素存在性)对于任意x∈V,V中存在记为x+)-(.θx=x1.1.3数乘公理公理7(结合律)对于任意x∈V,任意实数a和b,有b(aba=.x)x()公理8 (加法分配律)对于任意x ,y ∈V 及任意实数a ,有y x y x a a a +=+)(.公理9(实数相加分配律)对于任意x ∈V ,任意实数a 和b ,有x x x b a b a +=+)(.公理10(单位元素存在性)对于任意 x ∈V ,有x x =1.以上定义的线性空间,有时被称为实线性空间,以强调数乘运算是实数相乘.数乘运算也可以是复数相乘,此时的线性空间被称为复线性空间.线性空间又被称为向量空间,其元素可被称为向量.实数和复数被统称为数.本书主要讨论实线性空间,但所得结果在复线性空间中也成立.从线性空间的公理体系容易推得以下结论:(1)零元素是唯一的.(2)任意元素的负元素是唯一的.将差y x -定义为)(y x -+.(3)如果θx =a ,则0=a 或θx =.(4)θx =0；θθ=a ；)()()(x x x -=-=-a a a(5)若a x =a y 且0≠a ,则x =y .(6)若a x =b x 且θx ≠,则a =b .(7)y x y x y x --=-+-=+-)()()(.(8)x x x 2=+,x x x x 3=++,一般地有:n 个x 相加等于n x .定义1.1.2设V 是一个线性空间,S 是V 的一个非空子集.如果S 对于V 中定义的加法和数乘也构成一个线性空间,则称S 为V 的子空间.推论:线性空间V 的非空子集S 成为V 的子空间的充分必要条件是:S 中加法和数乘两种运算满足封闭公理.定义1.1.3设S 是线性空间V 的一个非空子集.集合{x ＝∑=k i i a1x i ︱k x x ,, 1∈S ；k a a ,, 1∈R ；k 是任意正整数}被称为S 中元素的有限线性组合.由于这是V 的一个子空间,故又被称为S 生成的子空间,记为L (S )2 线性空间中的相关集和独立集定义1.2.1设S 是线性空间V 的一个子集合.如果S 中存在由不同元素构成的有限集}{1k x x ,, ,以及不全为零的一组数k a a ,,1,使 ∑=k i i a1x i θ=(1.2.1)则S 称是相关集(又称线性相关集).当k a a ,, 1不全为零时,(1.2.1)式被称为零元素θ的一种非平凡表示.若S 不是相关集,则被称为独立集(又称线性无关集).等价说法是:对于S 中任意选定的不同元素k x x ,, 1,等式∑=k i i a1x i θ=蕴涵了01===k a a ,则S 是独立集.定理1.2.1 设S =}{1k x x ,, 是线性空间V 中k 个元素构成的独立集,L (S )是S 生成的子空间.则L (S )中任何k ＋1个元素构成的集合是相关的.3 基 维数与坐标定义1.3.1 设S 是线性空间V 中的一个有限集.若S 是独立集且V 由S 生成,则称S 是V 的一组有限基.若V 有一组有限基或V 只含零元素,则称V 为有限维空间；否则称为无限维空间.定理1.3.1 设V 是有限维线性空间,则V 的任何一组有限基与别的有限基所含元素个数相同.定义1.3.2 若线性空间V 有一组由n 个元素组成的基,则称整数n 为V 的维数,记为dim V n =.若}{θ=V ,则规定dim V 0=.R n 的维数是n (这是称R n 为n 维向量空间的缘由),}{1n e e ,, 是其一组基,被称为R n 的常用基.定理1.3.2设V 是n 维线性空间,则(a )V 中任何独立集必是V 的某组基的子集；(b )V 中任何由n 个元素组成的独立集必是V 的一组基.定义1.3.3在n 维线性空间V 中,给定确定了元素顺序的一组基}{1n e e ,, ,则对任意x ∈V ,有x ini i c e ∑==1. (称x 可表为这组基的线性组合,或称x 可被这组基线性表示)其中系数n c c ,, 2是由元素x 及这组基唯一确定的.这组系数就被称为x 在基}{1n e e ,, 下的坐标,记为)(1n c c ,,.4 内积 欧氏空间 范数定义1.4.1 设V 是实线性空间.如果对于V 中任意元素x 和y ,对应着唯一的实数,记为(x ,y ),满足以下4条公理:公理1(对称性) )()(x y y x ,,=,公理2(加性) )()()(z y y x z y x ,,,+=+,任意z ∈V ,公理3(齐性) )()(y x y x ,,c c =,任意c ∈R ,公理4(正定性) )(x x ,≥0,当且仅当x =θ时,0)(=x x ,,则称)(y x ,是x ,y 的内积.并称V 是一个欧几里德(Euclid )空间,简称欧氏空间.定义1.4.2在欧氏空间中,非负实数)(x x ,被称为元素x 的范数,记为||||x .为了在欧氏空间中引入两向量间夹角的概念,需要下面的定理.定理1.4.1(柯西—许瓦兹(Cauchy —Schwarz )不等式) 在欧氏空间中,有|)(|y x ,≤||||x ||||y .这里x ,y 是该空间中任意元素.当且仅当x 与y 相关时,上式取等号.定义1.4.3在欧氏空间中,任意两非零元素x 和y 之间的夹角ϕ(0≤ϕ≤π)按下式定义|||| |||| )(cos y x y x ,=ϕ. 注意:正是柯西—许瓦兹不等式保证了这个定义的准确性.关于范数,本书将作较深入的讨论.定理1.4.2在欧氏空间中,范数具有以下性质:(1) ||||x ≥0,当且仅当θx =,0||||=x (正定性)；(2) ||||||c c =x ||||x (正齐性)；(3) ||||y x +≤||||x +||||y (三角不等式).这里, x ,y 是该空间任意元素,c 是任意实数.5 欧氏空间中的正交性定义1.5.1 设是V 一个欧氏空间.对于任意x ,y ∈V ,如果0),(=y x ,则称x 与y 正交.又:设S 是V 的一个子集,若对于任意相异的x ,y ∈S 有0),(=y x ,则称是S 一个正交集.若一个正交集中任何元素的范数均为1,则称它是一个标准正交集.显然,零元素与V 中任何元素正交；零元素是唯一的与自己正交的元素.下面的定理表明了正交和独立之间的关系.定理1.5.1 在欧氏空间V 中,一个不含零元素的正交集是独立集.若dim V =n ，则任何一个包含n 个非零元素的正交集是V 的一组基.定理1.5.2设V 是有限维欧氏空间, dim V =n ，}{1n S e e ,, =是V 的一组正交基.对于任意x ∈V ,若x 关于基S 的坐标是)(1n c c ,, ,则)()(j j j j c e e e x ,,=,n j ,, 1=.若进一步假设S 是一组标准正交基,则j c =)(j e x ,,n j ,,1=. 定理1.5.3设V 是一个维欧氏空间,}{1n e e ,, 是V 的一组标准正交基.对于任意x ,y ∈V ,若设x ,y 在这组基下的坐标分别是)(1n a a ,, ,)(1n b b ,, ,则有)()()(1i n i i e y e x y x ,,,∑==∑==ni i i b a 1 (1.5.1)∑∑====n i ni i i a 11222|)(|||||e x x ,. (1.5.2) 定理1.5.4 设}{21 ,,x x 是欧氏空间V 中的一个有限或无限序列,)(1k L x x ,, 表示由该序列前k 个元素生成的子空间.那么,V 中存在序列}{21 ,,y y ,对于可能取到正整数k ,具有以下性质:(1) 元素k y 与)(11-y y k L ,， 中任意元素正交；(2) )()(11k k L L x x y y ,，,， =；(3)除去数量因子,序列}{21 ,,y y 是唯一的(即若另有序列}{21 ,,y y ''满足性质(1)和(2),则有实数k c 使k y 'k k c y =, ,,21=k ). 1y =1x ,∑=+++-=r i i i i i r r r 1111)()(y y y y x x y ,,,11-=k r ,, . 这里给出的由一组独立集}{1k x x ,， 来构造由非零元素组成的正交集}{1k y y ,， 的过程,称为施密特(Schmidt )正交化过程.而且,}{1k y y ,， 生成的子空间与}{1k x x ,， 生成的子空间完全相同.而当}{1k x x ,， 是有限维欧氏空间的一组基时,}{1k y y ,， 就是一组正交基.而且,每一个i y 除以它的范数,就得到一组标准正交基.定理1.5.5任何有限维欧氏空间均存在标准正交基.它可由任何一组基经施密特正交化过程然后单位化而得到.6 同 构定义1.6.1设V ,W 是两个非空集合.若给定一个法则T ,使V 中任何元素x 都有W 中唯一确定的元素y 与之对应,则称T 是V 至W 的一个映射,记为T :V →W . y 被称为x 在T 下的像,记为)(x T y =.x 被称为y 在T 下的原像.称V 为T 的定义域.称V 中全体元素在T 下的像集合为T 的值域,记为T (V ).据此定义知,V 中元素x 在T 下的像是唯一的,但W 中元素y 在T 下未必有原像,若有也未必唯一.定义1.6.2设T 是V 至W 的映射.若T (V )=W ,则称为满射.据此定义知,T 为满射的充分必要条件是:对任意y ∈W ,存在x ∈V ,使y =T (x ).但这样的x 未必唯一.定义1.6.3设T 是V 至W 的映射.若V 中相异的元素在映射T 下的像也相异,即若有21x x ≠,则必有)()(21x T x T ≠,则称T 为单射.据此定义知,若)()(21x T x T =蕴涵21x x =,则T 为单射.定义1.6.4若V 至W 的映射T 既是满射又是单射,则称T 为双射,又称为1-1映射. 下面给出两个线性空间同构的定义.定义1.6.5设V ,V '均是线性空间.如果存在一个V 至V '的1-1映射T ,对任意x ,y ∈V 及任意实数c ,满足性质:(1))()()(y x y x T T T +=+,(2))()(x x T c c T =.则V 和V '是同构的.这样的映射T 被称为V 至V '的同构映射.通常把满足上述性质(1)和(2)的任何映射称为线性映射.所谓同构映射,就是一个线性1-1映射.定理1.6.1任何n 维线性空间与nR 是同构的.定义1.6.6设V ,V '均是欧氏空间,如果存在V 至V '的线性1-1映射T , 对任意x ,y ∈V ,满足性质 )())()((y x y x ,,=T T , (1.6.1)则称V 和V '是同构的.这样的映射T 被称为V 至V '的同构映射.由(1.6.1)式可以推得:对任何x ∈V ,有||||||)(||x x =T .故具有(1.6.1)式性质的映射又称为保范映射.因此,欧氏空间间的同构映射,必是一个保范的线性1-1映射.由于内积可用坐标表达(见定理1.5.3),故任何n 维欧氏空间与nR 是同构的.二、 教学内容及学时分配：第一节线性空间的定义2课时第二节线性空间中的相关集和独立集 2课时第三节基 维数与坐标 2课时第四节内积 欧氏空间 范数 2课时第五节欧氏空间中的正交性2课时三、教学内容的重点及难点：1．线性空间的概念2．判定相关集和独立集；3．判定线性空间的基及维数；4．了解内积. 欧氏空间. 范数. 及欧氏空间中的正交性。
