【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)简单线性规划 理 北师大版

2015高考数学第一轮复习方法
数学知识之间都有着千丝万缕的联系，仅仅想凭着对章节的理解就能得到高分的时代已经远去了。

第一轮复习时要尝试把相关的知识进行总结，方便自己联系思考，既能明白知识之间的区别，又能为后面的专题复习做好准备。

一轮复习的重点永远是基础。

要通过对基础题的系统训练和规范训练，准确理解每一个概念，能从不同角度把握所学的每一个知识点、所有可能考查到的题型，熟练掌握各种典型问题的通性、通法。

第一轮复习一定要做到细且实，切不可因轻重不分而出现前紧后松，前松后紧的现象，也不可因赶进度而出现点到为止，草草了事的情况，只有真正实现低起点、小坡度、严要求，实施自主学习，才能真正达到夯实双基的目的。

运算能力是学习数学的前提。

因为高考并不要求你临场创新，事实上，那张考卷上的题目你都见过，只不过是换了数字，换了语句，所以能不能拿高分，运算能力占据半边天。

而运算能力并不是靠难题练出来的，而是大量简单题目的积累。

其次，强大地运算能力可以弥补解题技巧上的不足。

我们都知道，很多数学题目往往都有巧妙地解决方法，不过很难掌握。

可那些通用性的方法，每个人都能学会，缺点就是需要庞大的计算量。

再者，运算迅速可以节省时间，也不会让你因为粗心而丢分。

此外，复习数学也和其它科目一样，也不能忽视表达能力和阅读理解能力的运用。

再有，本阶段要避免特难题、怪题、偏题，而是抓住典型题，每
道题都要反复想，反复结合考点琢磨，最好是一题多解，一题多变，借助典型题掌握方法。

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精心整理，仅供学习参考。

第五节 椭 圆【考纲下载】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．1．椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆 ①在平面内；②与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数； ③常数大于|F 1F 2|. (2)焦点：两定点．(3)焦距：两焦点间的距离．1．在椭圆的定义中，若2a ＝|F 1F 2|或2a <|F 1F 2|，则动点的轨迹如何？提示：当2a ＝|F 1F 2|时动点的轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，动点的轨迹是不存在的． 2．椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示：离心率e ＝c a越接近1，a 与c 就越接近，从而b ＝a 2－c 2就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．1．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A 根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.2．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( )A.13B.12C.33D.22解析：选D 在椭圆x 216＋y 28＝1中，a 2＝16，b 2＝8，所以c 2＝a 2－b 2＝8，即c ＝22，因此，椭圆的离心率e ＝c a ＝224＝22.3．椭圆x 24＋y23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 解析：选B 在椭圆x 24＋y 23＝1中，a 2＝4，b 2＝3，所以c 2＝a 2－b 2＝4－3＝1，因此，其右焦点为(1,0)．该点到直线y ＝3x 的距离d ＝|3－0|3 2＋ －12＝32. 4．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为________．解析：椭圆2x 2＋3y 2＝m (m >0)可化为x 2m 2＋y 2m 3＝1，所以c 2＝m 2－m 3＝m 6，因此e 2＝c 2a 2＝m6m 2＝13，即e ＝33. 答案：33 5．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m ＝________.解析：椭圆x 2＋my 2＝1可化为x 2＋y 21m＝1，因为其焦点在y 轴上，∴a 2＝1m ，b 2＝1，依题意知1m ＝2，解得m ＝14. 答案：14[例1] (1)(2013²广东高考)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 (2)(2014²安康模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．[自主解答] (1)由右焦点为F (1,0)，可知c ＝1，因为离心率为12，即c a ＝12，故a ＝2，由a 2＝b 2＋c 2，知b 2＝a 2－c 2＝3，因此椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由△ABF 2的周长为4a ＝16，得a ＝4，又知离心率为22，即c a ＝22，c ＝22a ＝22，所以a 2＝16，b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1. [答案] (1)D (2)x 216＋y 28＝1【互动探究】在本例(2)中若将条件“焦点在x 轴上”去掉，结果如何？解：由例1(2)知：当焦点在x 轴上时，椭圆的方程为x 216＋y 28＝1；当焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 216＋x 28＝1.综上可知C 的方程为x 216＋y 28＝1或x 28＋y 216＝1.【方法规律】用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)或mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)；(3)找关系：根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组；(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0).1．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12解析：选C 根据椭圆定义，△ABC 的周长等于椭圆长轴长的2倍，即4 3.2．(2012²山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 解析：选D ∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b .∴椭圆的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ³255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20.∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.[例2] (1)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|1PF ＋2PF|的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．2 2(2)(2013²辽宁高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.[自主解答] (1)设P (x 0，y 0)，则1PF ＝(－1－x 0，－y 0)，2PF＝(1－x 0，－y 0)， ∴1PF ＋2PF ＝(－2x 0，－2y 0)，∴|1PF ＋2PF |＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|1PF ＋2PF|取最小值为2.(2)如图，设右焦点为F 1，|BF |＝x ，则cos ∠ABF ＝x 2＋102－6220x ＝45.解得x ＝8，故∠AFB ＝90°.由椭圆及直线关于原点对称可知|AF 1|＝8，且∠FAF 1＝90°，△FAF 1是直角三角形，|F 1F 2|＝10，故2a ＝8＋6＝14，2c ＝10，e ＝c a ＝57.答案：(1)C (2)57【方法规律】1．利用椭圆几何性质的注意点及技巧 (1)注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系．(2)利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．2．求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围．如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝c a ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c .又A (0，3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c －02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－335c －3c 2＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|²|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ²165c ²32＝235a 2＝403，解得a ＝10，c ＝5，则b 2＝75，即b ＝5 3.法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a . 由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，可知|BF 1|＝3a －t .再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°，可得t ＝85a .由S △AF 1B ＝12|AF 1|²|AB |²sin∠F 1AB ＝12a ²85a ²32＝235a 2＝403，解得a ＝10，则c ＝5，b ＝5 3.1．直线与椭圆的综合问题，是近年来高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度较高，多为中档题．2．高考对直线与椭圆的综合问题的考查主要有以下几个命题角度： (1)已知某条件，求直线的方程；(2)求三角形(或其他几何图形)的面积； (3)判断几何图形的形状； (4)弦长问题；(5)中点弦或弦的中点问题．[例3] (2013²浙江高考)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．[自主解答] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2，所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1，所以|AB |＝24－d 2＝2 4k 2＋3k 2＋1.又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.设△ABD 的面积为S ， ①当k ＝0时，则D (0,1)，A (－3，－1)，B (3，－1)，此时，|AB |＝23，|PD |＝2，所以S ＝12|AB |²|PD |＝12³23³2＝2 3.②当k ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4，消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k 4＋k2.所以|PD |＝8k 2＋14＋k 2.则S ＝12|AB |²|PD |＝84k 2＋34＋k2， 所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3³134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号． 而当k ＝0时，S ＝23<161313，故当k ＝±102时△ABD 面积取得最大值． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1.直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略(1)求直线方程．可依题条件，寻找确定该直线的两个条件，进而得到直线方程．(2)求面积．先确定图形的形状，再利用条件寻找确定面积的条件，进而得出面积的值． (3)判断图形的形状．可依据平行、垂直的条件判断边角关系，再依据距离公式得出边之间的关系．(4)弦长问题．利用根与系数的关系、弦长公式求解．(5)中点弦或弦的中点．一般利用点差法求解，注意判断直线与方程是否相交．(2013²重庆高考)如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A ′两点，|AA ′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P ′，过P ，P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP ′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意知点A (－c,2)在椭圆上，则 －c 2a2＋22b2＝1.从而e 2＋4b 2＝1.由e ＝22，得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1. (2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)． 又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则|QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8³⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4,4])．设P (x 1，y 1)，由题意知，点P 是椭圆上到点Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 20.由对称性知P ′(x 1，－y 1)，故|PP ′|＝|2y 1|，所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12³2 8³⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2116|x 0|＝2³ 4－x 20 x 20 ＝2³ － x 20－2 2＋4.当x 0＝±2时，△PP ′Q 的面积S 取到最大值2 2.此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q (±2，0)，半径|QP |＝8－x 20＝6，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6. ————————————[课堂归纳——通法领悟]—————————————1个规律——椭圆焦点位置与x 2，y 2系数之间的关系给出椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1时，椭圆的焦点在x 轴上⇔a >b >0；椭圆的焦点在y 轴上⇔0<a <b .1种思想——数形结合思想在椭圆几何性质中的运用求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．2种方法——求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程．3种技巧——与椭圆性质、方程相关的三种技巧(1)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(2)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0<e <1)．(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴.压轴大题巧突破(三)与椭圆有关的综合问题求解[典例] (2013²天津高考)(13分)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1) 求椭圆的方程； (2)设A, B 分别为椭圆的左、右顶点， 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC ²DB ＋AD ²CB＝8，求k 的值．[化整为零破难题](1)基础问题1：如何得到a 与c 的关系？ 利用椭圆的离心率．基础问题2：如何求过F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长？ 直线x ＝－c 与椭圆相交，两交点的纵坐标之差的绝对值就是线段的长． (2)基础问题1：如何求A ，B 两点的坐标？ A ，B 分别为左右顶点即为(－a,0)，(a,0)．基础问题2：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，如何寻找x 1＋x 2，x 1x 2呢？将直线方程与椭圆方程联立，消去y 得到关于x 的一元二次方程．利用根与系数关系即可得到．基础问题3：如何表示AC ²DB ＋AD ²CB？利用向量的坐标运算即可． [规范解答不失分](1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c ，过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有 －c 2a 2＋y2b2＝1， 解得y ＝±63b ，① 于是26b 3＝433，解得b ＝2，则b 2＝2. 2分又因为a 2－c 2＝b 2，从而a 2＝3，c 2＝1，所以所求椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. 4分(2)设点C x 1，y 1 ，D x 2，y 2 ，②由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1 ，x 23＋y22＝1，消去y 得 2＋3k 2x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.③6分根据根与系数的关系知x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k2. 8分因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC ²DB ＋AD ²CB=())())11222211,,x y x y x y x y ⋅-+⋅-④＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k2. 11分由已知得6＋2k 2＋122＋3k＝8，解得k ＝± 2. 13分易错点四 ④处公式记忆不准，向量坐标运算错误[全盘巩固]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△FAB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为 ( )A.3－12 B.5－12 C.1＋54 D.3＋14解析：选B 由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52，又因为e >0，故所求的椭圆的离心率为5－12.2．(2013²新课标全国卷Ⅱ)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A.36 B.13 C.12 D.33解析：选D 在Rt △PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，因为∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3.所以e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33.3．(2014²汕尾模拟)已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.4．(2014²榆林模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外 D ．以上三种情形都有可能解析：选A 因为椭圆的离心率e ＝12，所以c a ＝12，即a ＝2c ，b ＝a 2－c 2＝4c 2－c 2＝3c ，因此方程ax 2＋bx －c ＝0可化为2cx 2＋3cx －c ＝0又c ≠0，∴2x 2＋3x －1＝0，x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2，即点(x 1，x 2)在x 2＋y 2＝2内． 5．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )A.72B.32C. 3 D ．4 解析：选A 因为椭圆x 24＋y 2＝1的一个焦点F 1的坐标为F 1(－3，0)．过该点作垂直于x 轴的直线，其方程为x ＝－3，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝±12，即P ⎝⎛⎭⎪⎫－3，±12，所以|PF 1|＝12，又因|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，∴|PF 2|＝4－12＝72.6．(2014²嘉兴模拟)已知椭圆x 2＋my 2＝1的离心率e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43 解析：选C 在椭圆x 2＋my 2＝1中，当0<m <1时，a 2＝1m ，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1m－1，∴e 2＝c 2a 2＝1m －11m＝1－m ，又12<e <1，∴14<1－m <1，解得0<m <34，当m >1时，a 2＝1，b 2＝1m ，c 2＝1－1m ，e 2＝c 2a 2＝1－1m 1＝1－1m，又12<e <1，∴14<1－1m <1，解得m >43， 综上可知实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞. 7．(2013²福建高考)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：如图，△MF 1F 2中，∵∠MF 1F 2＝60°，∴∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°， 又|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，∴2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ，得e ＝c a＝23＋1＝3－1. 答案：3－18．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝10－|PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－|PF 2|，易知点M 在椭圆外，连接MF 2并延长交椭圆于P 点，此时|PM |－|PF 2|取最大值|MF 2|，故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝10＋ 6－3 2＋42＝15.答案：159．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点．若＝3，则k ＝________. 解析：根据已知c a ＝32，可得a 2＝43c 2，则b 2＝13c 2，故椭圆方程为3x 24c 2＋3y 2c2＝1，即3x 2＋12y 2－4c 2＝0.设直线的方程为x ＝my ＋c ，代入椭圆方程得(3m 2＋12)y 2＋6mcy －c 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则根据＝3，得(c －x 1，－y 1)＝3(x 2－c ，y 2)，由此得－y 1＝3y 2，根据韦达定理y 1＋y 2＝－2cm m 2＋4，y 1y 2＝－c 23 m 2＋4， 把－y 1＝3y 2代入得，y 2＝cmm 2＋4，－3y 22＝－c 23 m 2＋4，故9m 2＝m 2＋4， 故m 2＝12，从而k 2＝2，k ＝± 2.又k >0，故k ＝ 2. 答案： 210．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．将直线方程y ＝45(x －3)代入椭圆C 的方程，得x 225＋ x －3 225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴x 0＝x 1＋x 22＝32，y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65， 即线段AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.11．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. 解：(1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，且y 0≠0.由题意有x 20a 2＋y 20b2＝1.①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a，k BP ＝y 0x 0－a.由k AP ²k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，又0<e <1，所以椭圆的离心率e ＝22. (2)法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)． 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 2b2＝1，消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋4.由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.法二：依题意知，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k2，代入③，得(1＋k 2)4a 2 1＋k 22<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3.12．(2013²安徽高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，且过点P (2，3)．(1)求椭圆C 的方程； (2)设Q (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点．过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点A (0,22)，连接AE .过点A 作AE 的垂线交x 轴于点 D ．点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG .问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．解：(1)因为焦距为4，所以a 2－b 2＝4.又因为椭圆C 过点P (2，3)，所以2a 2＋3b2＝1，故a 2＝8，b 2＝4.从而椭圆C 的方程为x28＋y24＝1.(2)由题意，点E 坐标为(x 0,0)．设D (x D,0)，则AE ＝(x 0，－22)，AD＝(x D ，－22)．再由AD ⊥AE 知，AE ²AD ＝0，即x D x 0＋8＝0.由于x 0y 0≠0，故x D ＝－8x 0.因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以点G ⎝⎛⎭⎪⎫8x，0. 故直线QG 的斜率k QG ＝y 0x 0－8x 0＝x 0y 0x 20－8. 又因Q (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 20＋2y 20＝8.①从而k QG ＝－x 02y 0.故直线QG 的方程为y ＝－x 02y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －8x 0.②将②代入椭圆C 的方程，得(x 20＋2y 20)x 2－16x 0x ＋64－16y 20＝0.③再将①代入③，化简得x 2－2x 0x ＋x 20＝0，解得x ＝x 0，y ＝y 0， 即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点． [冲击名校]已知椭圆x 2m ＋1＋y 2＝1的两个焦点是F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． (1)设E 是直线y ＝x ＋2与椭圆的一个公共点，求|EF 1|＋|EF 2|取得最小值时椭圆的方程； (2)已知点N (0，－1)，斜率为k (k ≠0)的直线l 与条件(1)下的椭圆交于不同的两点A ，B ，点Q 满足AQ ＝QB ，且NQ ²AB＝0，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．解：(1)由题意，知m ＋1>1，即m >0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋1＋y 2＝1，得(m ＋2)x 2＋4(m ＋1)x ＋3(m ＋1)＝0.又由Δ＝16(m ＋1)2－12(m ＋2)(m ＋1)＝4(m ＋1)(m －2)≥0，解得m ≥2或m ≤－1(舍去)，∴m ≥2.此时|EF 1|＋|EF 2|＝2m ＋1≥2 3. 当且仅当m ＝2时，|EF 1|＋|EF 2|取得最小值23，此时椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t .由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝kx ＋t ，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，∴Δ＝(6kt )2－4(1＋3k 2)(3t 2－3)>0，即t 2<1＋3k 2.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x Q ，y Q )，则x 1＋x 2＝－6kt1＋3k2.由AQ ＝QB ，得Q 为线段AB 的中点，则x Q ＝x 1＋x 22＝－3kt 1＋3k 2，y Q ＝kx Q ＋t ＝t 1＋3k2.∵NQ ²AB＝0，∴直线l 的斜率k 与直线QN 的斜率k 乘积为－1，即k QN ²k ＝－1，∴t1＋3k ＋1－3kt 1＋3k2²k ＝－1，化简得1＋3k 2＝2t ，代入①式得t 2<2t ，解得0<t <2.又k ≠0，即3k 2>0，故2t ＝1＋3k 2>1，得t >12.综上，直线l 在y 轴上的截距t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. [高频滚动]已知圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P ，Q 两点．(1)求圆C 的方程； (2)若OP ²OQ＝－2，求实数k 的值；(3)过点(0,1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．解：(1)设圆心C (a ，a )，半径为r .因为圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，所以|AC |＝|BC |＝r ，易得a ＝0，r ＝2，所以圆C 的方程是x 2＋y 2＝4.(2)因为OP ²OQ ＝2³2³cos 〈OP ，OQ 〉＝－2，且OP 与OQ 的夹角为∠POQ (0°≤∠POQ ≤180°)，所以cos ∠POQ ＝－12，∠POQ ＝120°，所以圆心C 到直线l ：kx －y ＋1＝0的距离d ＝1，又d ＝1k 2＋1，所以k ＝0. (3)设圆心O 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，四边形PMQN 的面积为S .因为直线l ，l 1都经过点(0,1)，且l ⊥l 1，根据勾股定理，有d 21＋d 2＝1. 又易知|PQ |＝2³4－d 2，|MN |＝2³4－d 21，所以S ＝12²|PQ |²|MN |，即S ＝12³2³4－d 2³2³4－d 21＝216－4 d 21＋d 2 ＋d 21²d 2＝212＋d 21²d 2 ≤212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫d 21＋d 222＝2 12＋14＝7，当且仅当d 1＝d 时，等号成立，所以四边形PMQN 面积的最大值为7. .。

第六节 模拟方法——概率的应用【考纲下载】1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义．1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的概率公式P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.1．几何概型有什么特点？提示：(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限个．(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．2．几何概型和古典概型有什么区别？提示：几何概型和古典概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，而几何概型的基本事件有无限个．1．(2014·某某模拟)在区间[20,80]内随机取一实数a ，则实数a 属于区间[50,75]的概率是( )A.14B.34C.512D.712解析：选C 显然，该问题属于几何概型，实数a 属于区间[50,75]的概率为75－5080－20＝2560＝512.2．已知地铁列车每10 min(含在车站停车时间)一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.110B.19 C.111D.18解析：选A 试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成所求事件的区域长度为1 min ，故P ＝110.3．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )解析：选A 选项A 的概率为38；选项B 的概率为28＝14；选项C 的概率为26＝13；选项D 的概率为13，故增加中奖机会的应为A 选项．4．点A 为周长等于3的圆周上一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．解析：劣弧AB 的长度为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，其中长度小于1的概率为132＝23. 答案：235．如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为________．解析：由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为300－96300＝0.68.由几何概型的概率计算公式，可得S 椭圆S 矩形＝0.68， 而S 矩形＝6×4＝24，则S 椭圆＝0.68×24＝16.32. 答案：16.32高频考点 考点一与长度有关的几何概型1．与长度有关的几何概型是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对与长度有关的几何概型的考查主要有以下几个命题角度： (1)与线段长度有关的几何概型； (2)与曲线长度有关的几何概型； (3)与时间有关的几何概型； (4)与不等式有关的几何概型．[例1] (1)(2013·某某高考)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1<0”发生的概率为________．(2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________． [自主解答] (1)由3a －1<0，得a <13，而0～1的长度为1，故所求概率为13.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为13.[答案] (1)13 (2)13【互动探究】本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？解：当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32， 得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为23.与长度有关的几何概型的常见类型及解题策略(1)与线段长度有关的几何概型．利用几何概型公式求解，直接利用两线段的长度之比即可．(2)与曲线长度有关的几何概型．利用几何概型公式，求曲线的长度之比即可． (3)与时间有关的几何概型．利用几何概型公式，求时间段之比即可．(4)与不等式有关的几何概型．利用几何概型公式，求两实数之间距离之比即可．1．(2013·某某高考)在区间[－2,4]上随机取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.解析：由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m ，当m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去． 当2<m <4时，由题意得m －－26＝56，解得m ＝3. 答案：32．已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －23－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________．解析：由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |2<x <3}，由几何概型知，在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈A ∩B 的概率为P ＝16.答案：16考点二与面积有关的几何概型[例2] (1)(2013·某某高考)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖X 围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4 B.π2－1 C ．2－π2 D.π4(2)(2013·某某高考)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.78[自主解答] (1)依题意知，有信号的区域面积为π4×2＝π2，矩形面积为2，故无信号的概率P ＝2－π22＝1－π4.(2)设第一串彩灯亮的时刻为x ，第二串彩灯亮的时刻为y ，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，要使两串彩灯亮的时刻相差不超过2秒，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，－2≤x －y ≤2.如图所示，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4所表示的图形面积为16，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4，－2≤x －y ≤2所表示的六边形OABCDE 的面积为16－4＝12，由几何概型的概率公式可得P ＝1216＝34.[答案] (1)A (2)C【方法规律】求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．1．(2014·某某模拟)已知一个三角形的三边长分别是5,5,6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是( )A ．2－π3B ．1－π6C ．2－π2D ．1－π12解析：选B 如图，当蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2时，蚂蚁要在图中的空白区域内，△ABC 为等腰三角形，假设AB ＝AC ＝5，易知AD ＝4，△ABC 的面积是12，由于三角形内角和等于π，图中的三个扇形的面积之和等于一个半径为2的圆的面积的一半，即三个扇形的面积之和等于2π，故空白区域的面积是12－2π，所求的概率为12－2π12＝1－π6.2．已知平面区域U ＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域U 内随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________．解析：依题意可在平面直角坐标系中作出集合U 与A 所表示的平面区域(如图)，由图可知S U ＝18，S A ＝4，则点P 落入区域A 的概率为P ＝S A S U ＝29.答案：29考点三与角度有关的几何概型[例3] 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．[自主解答] 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.【互动探究】若本例中“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，求BM <1的概率．解：依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12.【方法规律】与角度有关的几何概型当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．提醒：有时与长度或角度有关的几何概型，题干并不直接给出，而是将条件隐藏，与其他知识综合考查．1. 如图，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60°360°＝16. 答案：162．如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是________．解析：连接圆心O 与M 点，作弦MN 使∠MON ＝90°，这样的点有两个，分别记为N 1，N 2，仅当点N 在不包含点M 的半圆弧上取值时，满足MN >2R ，此时∠N 1ON 2＝180°，故所求的概率为180°360°＝12.答案：12————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1条规律——对几何概型概率公式中“测度”的认识几何概型的概率公式中的“测度”只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．2种方法——判断几何概型中的几何度量形式的方法 (1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系．(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域．前沿热点(十七)几何概型与定积分的交汇1．几何概型常常与构成该事件区域的长度、面积、体积或角度等有关，在高考中经常涉及面积区域的问题，而面积的解决又与定积分有关．因此，高考命题常常在此交汇．2．面积问题常常涉及一些与定积分有关的问题，应用时一定要注意几何图形的分割及所对应的函数式，注意定积分的上、下限等．[典例] (2012·某某高考) 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17[解题指导] 阴影部分是由y ＝x 与y ＝x 相交所得到的图形，其面积可用积分法求解． [解析] 阴影部分的面积为⎠⎛01(x －x)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 210＝23－12＝16， 利用几何概型概率公式，得P ＝S 阴影S 正方形＝161＝16.[答案] C[名师点评] 1.本题有以下创新点：(1)考查方式的创新：由常规方式转换为以定积分为载体考查几何概型的计算； (2)考查内容的创新：本题将几何概型与定积分求面积完 美结合起来，角度独特，形式新颖，又不失综合性． 2．解决本题的关键点解决本题的关键是利用定积分求出阴影部分的面积，再利用几何概型概率公式求解． 3．在解决以几何概型为背景的创新交汇问题时，应注意以下两点：(1)要准确判断一种概率模型是否是几何概型，为此必须了解几何概型的含义及特征； (2)运用几何概型的概率公式时，要注意验证事件是否具备等可能性．(2014·某某模拟)设集合A ＝{(x ，y)||x|＋|y|≤2}，B ＝{(x ，y)∈A|y≤x 2}，从集合A 中随机地取出一个元素P(x ，y)，则P∈B 的概率是________．解析：在直角坐标系中分别作出集合A ，B 所表示的区域，从集合A 中随机地取出一个元素P(x ，y)，则P∈B 的区域为图中阴影部分，由定积分知识可求得阴影部分的面积为⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎰2212102dx x =173，则从集合A 中随机地取出一个元素P(x ，y)， 则P∈B 的概率为1738＝1724.答案：1724[全盘巩固]1. 如图，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，则P(A)＝( )A.4πB.1πC ．2 D.2π解析：选D 豆子落在正方形EFGH 内是随机的，故可以认为豆子落在正方形EFGH 内任一点是等可能的，属于几何概型．因为圆的半径为1，所以正方形EFGH 的边长是2，则正方形EFGH 的面积是2，又圆的面积是π，所以P(A)＝2π.2. 如图，在矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.23解析：选C 不妨设矩形的长、宽分别为a 、b ，于是S 矩形＝ab ，S △ABE ＝12ab ，由几何概型的概率公式可知P ＝S △ABE S 矩形＝12.3．(2012·某某高考)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45解析：选C 设AC ＝x cm ， 则CB ＝(12－x)cm (0<x<12)， 所以矩形面积为x(12－x)cm 2， 由x(12－x)<32，解得x>8或x<4， 所以0<x<4或8<x<12. 故所求概率为4＋412＝23.4．在区间[－5,5]内随机地取出一个数a ，则恰好使1是关于x 的不等式2x 2＋ax －a 2<0的一个解的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7解析：选D 由已知得2＋a －a 2<0，解得a>2或a<－1.故当a∈[－5，－1)∪(2,5]时，1是关于x 的不等式2x 2＋ax －a 2<0的一个解．故所求概率为P ＝－1＋5＋5－25－－5＝710＝0.7.5．(2014·某某模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤1，0≤y≤1表示的平面区域为D ，在D 内任取一点P(x ，y)，若满足2x ＋y ≤b 的概率大于14，则实数b 的取值X 围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1，＋∞) D．(2，＋∞)解析：选C 区域D 表示以点O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0，1)为顶点的正方形，其面积S 1＝1.根据题意，b>0，设正方形OABC 位于直线2x ＋y ＝b 下方部分面积为S 2，因为直线2x ＋y ＝b 在x 轴，y 轴上的截距分别为b 2，b ，则当0<b≤1时，S 2＝12·b 22＝b 24≤14.故题设，P ＝S 2S 1＝S 2>14，则b>1.6．(2013·某某高考)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机地取一点P ，使△APB 的最大边是AB”发生的概率为12，则ADAB＝( )A.12B.14C.32D.74 解析：选D 依题可知，E ，F 是CD 上的四等分点，P 只能在线段EF 上且BF ＝AB.不妨设CD ＝AB ＝a ，BC ＝b ，则有b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 42＝a 2，即b 2＝716a 2，故b a ＝74.7．在区间[0,1]上随意选择两个实数x ，y ，则使x 2＋y 2≤1成立的概率为________． 解析：D 为直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝1围成的正方形区域，而d 为由x 2＋y 2≤1，即x 2＋y 2≤1(x≥0，y≥0)围成的单位圆在第一象限内部分(四分之一个圆)，故所求概率为S d S D ＝14π×121×1＝π4. 答案：π48．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率是________．解析：要使S △PBC >14S △ABC ，只需PB>14AB.故所求概率为P ＝34AB AB ＝34.答案：349．小X 通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小X 周末不在家看书的概率为________．解析：因为去看电影的概率P 1＝π×12－π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π×12＝34， 去打篮球的概率P 2＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫142π×12＝116，所以小X 周末不在家看书的概率为P ＝34＋116＝1316.答案：131610. 如图，在单位圆O 的某一直径上随机地取一点Q ，求过点Q 且与该直径垂直的弦长不超过1的概率．解：弦长不超过1，即|OQ|≥32，而Q 点在直径AB 上是随机的，事件A ＝{弦长超过1}． 由几何概型的概率公式得P(A)＝32×22＝32.所以弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－32. 11．城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示(单位：min)：组别 候车时间 人数 一[0,5)2(1)求这15(2)估计这60名乘客中候车时间少于10 min 的人数；(3)若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．解：(1)115×(2.5×2＋7.5×6＋12.5×4＋17.5×2＋22.5×1)＝115×157.5＝10.5，故这15名乘客的平均候车时间为10.5 min.(2)由几何概型的概率计算公式可得，候车时间少于10分钟的概率为2＋615＝815，所以候车时间少于10 min 的人数为60×815＝32.(3)将第三组乘客编号为a 1，a 2，a 3，a 4，第四组乘客编号为b 1，b 2.从6人中任选2人的所有可能情况为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，a 4)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(b 1，b 2)，共15种，其中2人恰好来自不同组包含8种可能情况，故所求概率为815.12．(2014·某某模拟)某幼儿园在“六·一儿童节”开展了一次亲子活动，此次活动由宝宝和父母之一(后面以家长代称)共同完成，幼儿园提供了两种游戏方案：方案一 宝宝和家长同时各抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别是1,2,3,4,5,6)，宝宝所得点数记为x ，家长所得点数记为y ；方案二 宝宝和家长同时按下自己手中一个计算器的按钮(此计算器只能产生区间[1,6]的随机实数)，宝宝的计算器产生的随机实数记为m ，家长的计算器产生的随机实数记为n.(1)在方案一中，若x ＋1＝2y ，则奖励宝宝一朵小红花，求抛掷一次后宝宝得到一朵小红花的概率；(2)在方案二中，若m>2n ，则奖励宝宝一本兴趣读物，求按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的概率．解析：(1)由题意，宝宝和家长所得点数x ，y 所有取值所得基本事件总数为36. 而满足x ＋1＝2y 的(x ，y)有：(1,1)，(3,2)，(5,3)共3组． 则抛掷一次后宝宝得小红花的概率P 1＝336＝112.(2)由题意，m ，n∈[1,6]，则(m ，n)所有取值组成一个边长为5的正方形，其面积为25.(m ，n)满足不等式m>2n ，所占区域面积为12×4×2＝4.则按下一次按钮后宝宝得兴趣读物一本的概率P 2＝425.[冲击名校]已知复数z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )在复平面上对应的点为M .(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机抽取一个数作为x ，从集合Q 中随机抽取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内的概率．解：(1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .因为组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型， 其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ， 所以所求事件的概率为P (A )＝212＝16.(2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤3，0≤y ≤4内，该平面区域的图形为图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0，其图形如图中的三角形OAD (阴影部分)． 又直线x ＋2y －3＝0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，则三角形OAD 的面积为S 1＝12×3×32＝94.故所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝316.[高频滚动]1．甲、乙两人喊拳，每人可以用手出0,5,10三个数字，每人则可喊0,5,10,15,20五个数字，当两人所出数字之和等于某人所喊数字时，喊该数字者获胜，若甲喊10，乙喊15时，则 ( )A ．甲胜的概率大B ．乙胜的概率大C ．甲、乙胜的概率一样大D ．不能确定谁获胜的概率大解析：选A 甲、乙两人喊拳，每人用手出0,5,10三个数字，有(0,0)，(0,5)，(0,10)，(5,0)，(5,5)，(5,10)，(10,0)，(10,5)，(10,10)，共9种情况．若甲喊10，则有(0,10)，(5,5)，(10,0)，共3种情况获胜，所以甲胜的概率为13；乙喊15时，有(5,10)，(10,5)，共2种情况获胜，所以乙胜的概率为29.所以甲胜的概率大．2．若集合A ＝{a |a ≤100，a ＝3k ，k ∈N *}，集合B ＝{b |b ≤100，b ＝2k ，k ∈N *}，在A ∪B 中随机地选取一个元素，则所选取的元素恰好在A ∩B 中的概率为________．解析：易知A ＝{3,6,9，…，99}，B ＝{2,4,6，…，100}，则A ∩B ＝{6,12,18，…，96}，其中有元素16个．A ∪B 中元素共有33＋50－16＝67(个)，故所求概率为1667.答案：1667。

第十节 变化率与导数、导数的计算【考纲下载】1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义．3．能根据导数定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f (ax ＋b )的复合函数)的导数．1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数： 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝li m Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0Δy Δx＝li m Δx →0 fx 0＋Δx －f x 0Δx.(2)导数的几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f x ＋Δx －f xΔx为f (x )的导函数．2．几种常见函数的导数3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)f xg x ′＝fx g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1．f ′(x )与f ′(x 0)有何区别与联系？提示：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是常数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值． 2．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P x 0，y 0)的切线，两种说法有区别吗？ 提示：(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．3．过圆上一点P 的切线与圆只有公共点P ，过函数y ＝f (x )图象上一点P 的切线与图象也只有公共点P 吗？提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点．1．下列求导运算正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(3x)′＝3xlog 3e D ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：选 B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝x ′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′＝1－1x2；(3x )＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x .2．若f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4解析：选B ∵f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，∴f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， 又f ′(1)＝2，∴4a ＋2b ＝2，∴f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2. 3．曲线y ＝2x －x 3在x ＝－1处的切线方程为( ) A ．x ＋y ＋2＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．x －y ＋2＝0 D ．x －y －2＝0解析：选A ∵f (x )＝2x －x 3，∴f ′(x )＝2－3x 2.∴f ′(－1)＝2－3＝－1. 又f (－1)＝－2＋1＝－1，∴切线方程为y ＋1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＋2＝0.4．曲线y ＝ax 2－ax ＋1(a ≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A.12 B ．－12 C.13 D ．－13解析：选B ∵y ＝ax 2－ax ＋1，∴y ′＝2ax －a ，∴y ′|x ＝0＝－a .又∵曲线y ＝ax 2－ax ＋1(a ≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，∴(－a )·(－2)＝－1，即a ＝－12.5．(教材习题改编)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.解析：由题意知f ′(5)＝－1，f (5)＝－5＋8＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：2[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ；(2)y ＝ln xx ； (3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x－2x＋e ；(5)y ＝x ＋x 2＋1.[自主解答] (1)∵y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x －x ＝x －12－x 12，∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝ln x ′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln xx2＝1－ln x x2. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝sin x ′cos x －sin x cos x ′cos 2x＝cos x cos x －sin x －sin x cos 2x ＝1cos 2x.(4)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x －2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x －2xln 2.(5)y ′＝ln 2x ＋3′x 2＋1－ln2x ＋3x 2＋1′x 2＋12＝2x ＋3′2x ＋3·x 2＋1－2x ln 2x ＋3x 2＋12＝2x 2＋1－2x 2x ＋3ln 2x ＋32x ＋3x 2＋12.【互动探究】若将本例(3)中“tan x ”改为“sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4”，应如何求解？解：∵y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝－sin x 2cos x 2＝－12sin x ，∴y ′＝－12cos x ．【方法规律】 导数的计算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．求下列函数的导数：(1)y ＝x ＋x 5＋sin x x 2；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝11－x ＋11＋x；(4)y ＝cos 2x sin x ＋cos x；(5)y ＝3－x ＋e 2x.解：(1)∵y ＝x 12＋x 5＋sin xx2＝x －32＋x 3＋sin x x2，y ′＝(x －32)′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′＝－32x －52＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2cos x .(2)∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6，∴y ′＝3x 2＋12x ＋11. (3)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－－x－x2＝2－x2.(4)∵y ＝cos 2xsin x ＋cos x ＝cos x －sin x ，∴y ′＝－sin x －cos x .(5)y ′＝12(3－x )－12(3－x )′＋e 2x (2x )′＝－12(3－x )－12＋2e 2x.[例2] (1)已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e(2)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215(3)(2013·江西高考)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x)＝x ＋e x，则f ′(1)＝________.[自主解答] (1)∵f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，∴f ′(x )＝[]2xf ′＋(ln x )′＝2f ′(1)＋1x，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，即f ′(1)＝－1. (2)因为f ′(x )＝x ′·[]x －a 1x －a 2x －a 8＋[]x －a 1x －a 2x －a 8′·x ＝(x－a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[]x －a 1x －a 2x －a 8′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.(3)令t ＝e x，故x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ＋t ，即f (x )＝ln x ＋x ，所以f ′(x )＝1x＋1，所以f ′(1)＝2.[答案] (1)B (2)C (3)2【方法规律】 导数运算的两个技巧(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．(2)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，预防犯运算错误．1．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的大小关系是( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D ．不确定 解析：选C 依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12.∴f (x )＝cos x ＋x ，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＋π3＝12＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－π3＝12－π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. 2．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 014(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选C f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝(sin x ＋cos x )′＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝sin x －cos x ， f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x .故f n (x )是以4为周期的周期函数，又2 014＝503×4＋2，∴f 2 014(x )＝f 2(x )＝－sin x ＋cos x .1．导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．2．高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度： (1)已知切点求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程； (3)已知曲线求切线倾斜角的取值范围．[例3] (1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________________．(2)(2013·广东高考)若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.(3)(2013·江西高考)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.(4)(2014·南京模拟)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．[自主解答] (1)y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x＝3ln x ＋4，k ＝y ′|x ＝1＝4，故切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)∵f (x )＝ax 2－ln x ，则f ′(x )＝2ax －1x ，∴f ′(1)＝2a －1＝0，得a ＝12.(3)求导得y ′＝αxα－1，切线的斜率k ＝α，由点斜式得切线方程为y －2＝α(x －1)．∵切线经过原点(0,0)，∴－2＝α×(－1)，α＝2.(4)∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4exe x＋12＝－4exe 2x ＋2e x＋1＝－4e x＋1ex ＋2.∵e x >0，∴e x＋1e x ≥2，∴y ′∈[－1,0)，∴tan α∈[－1,0)．又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.[答案] (1)y ＝4x －3 (2)12 (3)2 (4)⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略(1)已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(2)已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点(x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)求切线倾斜角的取值范围．先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决．1．已知直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝x 3＋ax ＋1相切于点(2,3)，则b 的值为( ) A ．－3 B ．9 C ．－15 D ．－7解析：选C 将点(2,3)分别代入曲线y ＝x 3＋ax ＋1和直线y ＝kx ＋b ，得a ＝－3,2k ＋b ＝3.又k ＝y ′|x ＝2＝(3x 2－3)|x ＝2＝9，∴b ＝3－2k ＝3－18＝－15.2．已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12C.[)－1，＋∞D.(]－∞，－1解析：选A 由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y ′＝2ax ＋3－1x＝1有正根，即2ax 2＋2x －1＝0有正根．当a ≥0时，显然满足题意；当a <0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a <0.综上，a ≥－12. 3．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________．解析：设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最小，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，得x 0＝1或x 0＝－12(舍)．∴P 点坐标为(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2的距离d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2. 答案： 2————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————个区别——“过某点”与“在某点”的区别曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．个注意点——导数运算及切线的理解应注意的问题(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． (2)利用导数公式求导数时，只要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错．(3)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共(4)曲线未必在其切线的同侧，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧.易误警示(三)导数几何意义应用的易误点[典例] 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[解题指导] 由于点(1,0)不在曲线y ＝x 3上，故点(1,0)不是切点，因此应设直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，通过直线与y ＝x 3相切求得切点坐标，然后再求a 的值．[解析] 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax2＋154x －9相切可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A.[答案] A[名师点评] 1.如果审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点，则易误选B.2．解决与导数的几何意义有关的问题时， 应重点注意以下几点： (1)首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；(2)基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证； (3)熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提．已知曲线f (x )＝2x 3－3x ，过点M (0,32)作曲线f (x )的切线，则切线的方程为________________．解析：设切点坐标为N (x 0,2x 30－3x 0)，由导数的几何意义知切线的斜率k 就是切点处的导数值，而f ′(x )＝6x 2－3，则切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝6x 20－3，所以切线方程为y ＝(6x 20－3)x ＋32.又点N 在切线上，所以有2x 30－3x 0＝(6x 20－3)x 0＋32，解得x 0＝－2.故切线方程为y ＝21x答案：y ＝21x ＋32[全盘巩固]1．函数y ＝x 2cos x 在x ＝1处的导数是( ) A ．0 B ．2cos 1－sin 1 C ．cos 1－sin 1 D ．1解析：选B ∵y ′＝(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ， ∴y ′|x ＝1＝2cos 1－sin 1.2．已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( ) A ．0 B ．－1 C.12D ．2解析：选C f ′(x )＝3x 2－2tx －4，f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，t ＝12.3．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8解析：选C 由题意得P (4,8)，Q (－2,2)．∵y ＝x 22，∴y ′＝x ，∴在P 处的切线方程：y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8.在Q 处的切线方程：y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.∴A (1，－4)．4．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1解析：选A y ′＝2x ＋a ，因为切线x －y ＋1＝0的斜率为1，所以2×0＋a ＝1，即a ＝1.又(0，b )在直线x －y ＋1＝0上，因此0－b ＋1＝0，即b ＝1.5．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为( )A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 2解析：选C ∵y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，∴1x ＝12，解得x ＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其代入直线y ＝12x ＋b 得b ＝ln 2－1.6．(2014·抚州模拟)已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，如果f ′(x )是二次函数，f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线的倾斜角α的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π解析：选 B 由题意知f ′(x )＝a (x －1)2＋3(a >0)，所以f ′(x )＝a (x －1)2＋3≥ 3，即tan α≥ 3，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2. 7．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为________．解析：由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12x －12|x ＝14＝g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝a14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．答案：148．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.答案：x －y －2＝09．(2014·延安模拟)若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解．又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0.故实数a 的取值范围是(－∞，0)． 答案：(－∞，0) 10．求下列函数的导数． (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝(x －2)2；(3)y ＝x －sin x 2 cos x2；(4)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cosx .解：(1)∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3，∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9.(2)∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4，∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′＝1－4×12x －12＝1－2x －12. (3)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x . (4)由已知f ′(x )＝[(ax ＋b ) sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x ＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x .∵f ′(x )＝x cos x ，∴必须有⎩⎪⎨⎪⎧a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＝0，－c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0⇒a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.11．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1， ∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16， 又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16， 整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2. ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 2＋1＝4，解得x 0＝±1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18.即y ＝4x －18或y ＝4x －14.12．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直．(1)求a ，b 之间的关系； (2)求ab 的最大值．解：(1)对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝ －2x ＋a ，设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两条切线互相垂直．∴(2x 0－2)·(－2x 0＋a )＝－1，即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0，①又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2，y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0.②由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.(2)由(1)知：b ＝52－a ，∴ab ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －542＋2516.∴当a ＝54时，(ab )max ＝2516.[冲击名校](2013·四川高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x ＜0，ln x ，x ＞0，其中a 是实数．设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函数图象上的两点，且x 1＜x 2.(1)指出函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2＜0，证明：x 2－x 1≥1； (3)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)．(2)证明：由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)，故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1.当x ＜0时，对函数f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2.因为x 1＜x 2＜0，所以(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1，所以2x 1＋2＜0,2x 2＋2＞0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]≥[－x 1＋x 2＋＝1.当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32且x 2＝－12时等号成立所以，函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，有x 2－x 1≥1.(3)当x 1＜x 2＜0或x 2＞x 1＞0时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1＜0＜x 2.当x 1＜0时，函数f (x )的图象在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 21＋2x 1＋a )＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 21＋a .当x 2＞0时，函数f (x )的图象在点(x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y＝1x 2·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧1x 2＝2x 1＋2， ①ln x 2－1＝－x 21＋a . ②由①及x 1＜0＜x 2知，0＜1x 2＜2.由①②得，a ＝ln x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－12－1＝－ln 1x 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－22－1.令t ＝1x 2，则0＜t ＜2，且a ＝14t 2－t －ln t .设h (t )＝14t 2－t －ln t (0＜t ＜2)，则h ′(t )＝12t －1－1t ＝t －2－32t＜0，所以h (t )(0＜t ＜2)为减函数．则h (t )＞h (2)＝－ln 2－1，所以a ＞－ln 2－1.而当t ∈(0,2)且t 趋近于0时，h (t )无限增大，所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．[高频滚动]1．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③解析：选A 由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点只进水不出水，3点到4点一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水．所以一定正确的是①.2．给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －1，y ＝x 12，y ＝(x －1)2，y ＝x 3中有3个是增函数；②若log m 3<log n 3<0，则0<n <m <1；③若函数f (x )是奇函数，则f (x －1)的图象关于点A (1,0)对称；④已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －2，x ≤2，log 3x －，x >2则方程f (x )＝12有2个实数根，其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 命题①中，在(0，＋∞)上只有y ＝x 12，y ＝x 3为增函数，故①不正确；②中不等式等价于0>log 3m >log 3n ，故0<n <m <1，②正确；③中函数y ＝f (x －1)的图象是把y ＝f (x )的图象向右平移一个单位得到的，由于函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点对称，故函数y ＝f (x －1)的图象关于点A (1,0)对称，③正确；④中当3x －2＝12时，x ＝2＋log 312<2，当log 3(x －1)＝12时，x ＝1＋3>2，故方程f (x )＝12有2个实数根，④正确.。

第一节 函数及其表示【考纲下载】1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析式法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．1．函数与映射的概念2.函数的构成要素函数由定义域、对应关系、值域三个要素构成，对函数y ＝f (x )，x ∈A ，其中， (1)定义域：自变量x 的取值的集合A . (2)值域：函数值的集合{f (x )|x ∈A }． 3．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图像法． 4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．1．函数概念中的“集合A 、B ”与映射概念中的“集合A 、B ”有什么区别？提示：函数概念中的A 、B 是两个非空数集，而映射中的集合A 、B 是两个非空的集合即可．2．函数是一种特殊的映射，映射一定是函数吗？ 提示：不一定．3．已知函数f (x )与g (x )．(1)若它们的定义域和值域分别相同，则f (x )＝g (x )成立吗？(2)若它们的定义域和对应关系分别相同，则f (x )＝g (x )成立吗？ 提示：(1)不成立；(2)成立．1．下列各图形中是函数图象的是( )解析：选D 由函数的定义可知选项D 正确． 2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x ＋1²x －1，g (x )＝x 2－1解析：选A 对于A ，g (x )＝x 2＝|x |，且定义域相同，所以A 项表示同一函数；对于B 、C 、D ，函数定义域都不相同．3．(2013²江西高考)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1]解析：选B 要使函数y ＝x ln(1－x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，即0≤x <1.4．(2014²青岛模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f的值为________． 解析：由题易知，f (2)＝4，1f＝14，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1516.答案：15165．(教材习题改编)A ＝{x |x 是锐角}，B ＝(0,1)，从A 到B 的映射是“求余弦”，与A 中元素60°相对应的B 中的元素是________；与B 中元素32相对应的A 中的元素是________． 解析：当x ＝60°时，y ＝cos 60°＝12；当x ∈(0°，90°)，cos x ＝32时，x ＝30°.答案：1230°[例1] A. 12x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭ B. 12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭C. 112x x x ⎧⎫≠-≠⎨⎬⎩⎭且D. 112x x x ⎧⎫>-≠⎨⎬⎩⎭且 (2)已知函数f (x 2－1)的定义域为[0,3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．[自主解答] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥0，2x 2－x －1≠0，解得x >－12且x ≠1.(2)因为函数f (x 2－1)的定义域为[0,3]，所以－1≤x 2－1≤8，故函数y ＝f (x )的定义域为[－1,8]．[答案] (1)D (2)[－1,8] 【互动探究】本例(2)改为：f (x )的定义域为[0,3]，求y ＝f (x 2－1)的定义域．解：因为f (x )的定义域为[0,3]，所以0≤x 2－1≤3，即1≤x 2≤4，解得1≤x ≤2或－2≤x ≤－1，故函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－2，－1]∪[1,2]．【方法规律】1．简单函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．2．抽象函数的定义域(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．1．(2014²咸阳模拟)如果函数f (x )＝ln(－2x ＋a )的定义域为(－∞，1)，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选D ∵－2x ＋a >0，∴x <a 2，∴a2＝1，∴a ＝2.2．已知f (x )的定义域是[0,4]，则f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域是________．解析：由f (x )的定义域为[0,4]，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤4，0≤x －1≤4，解得1≤x ≤3，即函数f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[1,3]．答案：[1,3][例2] (1)已知f (2x ＋1)＝4x 2＋2x ＋1，求f (x )的解析式；(2)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，求f (x )的解析式．[自主解答] (1)令t ＝2x ＋1，则x ＝12(t －1)，所以，f (t )＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤12t －2＋2³12(t －1)＋1＝(t －1)2＋(t －1)＋1＝t 2－t ＋1.即f (x )＝x 2－x ＋1.(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1，即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，所以a ＝b ＝12.因此f (x )＝12x 2＋12x .(3)由2f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，得2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝3x .由⎩⎪⎨⎪⎧2f x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f x ＝3x ，得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．【方法规律】求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．求下列两个函数的解析式： (1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)定义在(－1,1)内，且函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)． 解：(1)法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)．代入原式，有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1，∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)，即f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，① 以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．②由①②消去f (－x )，得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．1．分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对分段函数的考查主要有以下几个命题角度： (1)已知分段函数解析式，求函数值(或最值)； (2)已知分段函数解析式与方程，求参数的值； (3)已知分段函数解析式，求解不等式； (4)已知分段函数解析式，判断函数的奇偶性； (5)新定义运算，分段函数与方程的交汇问题．[例3] (1)(2012²江西高考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg 101B ．2C ．1D ．0(2)(2014²上饶模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞) D．[0，＋∞)(3)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．[自主解答] (1)f (10)＝lg 10＝1，f (f (10))＝f (1)＝12＋1＝2. (2)当x ≤1时，21－x≤2，解得x ≥0，又因为x ≤1，所以0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，又因为x >1，所以x >1.故x 的取值范围是[0，＋∞)．(3)①当1－a ＜1，即a ＞0时，1＋a ＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－32(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )， 得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，解得a ＝－34，符合题意．综上所述，a ＝－34.[答案] (1)B (2)D (3)－34分段函数问题的常见类型及解题策略(1)求函数值．弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．(2)求函数最值．分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．(3)解不等式．根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．(4)求参数．“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程． (5)奇偶性．利用奇函数(偶函数)的定义判断．1．(2014²南平模拟)定义a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ³b ，a ³b ≥0，ab，a ³b <0.设函数f (x )＝ln x x ，则f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A ．4ln 2 B ．－4ln 2 C ．2 D ．0解析：选D 由题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x ≥1，ln xx，0<x <1，所以f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2ln 2＋2ln 12＝0.2．(2014²永州模拟)设Q 为有理数集，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，－1，x ∈∁R Q ，g (x )＝e x－1e x ＋1，则函数h (x )＝f (x )²g (x )( )A ．是奇函数但不是偶函数B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是偶函数也不是奇函数解析：选A 当x ∈Q 时，－x ∈Q ，∴f (－x )＝f (x )＝1；当x ∈∁R Q 时，－x ∈∁R Q ，∴f (－x )＝f (x )＝－1.综上，对∀x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，故函数f (x )为偶函数．∵g (－x )＝e －x－1e －x ＋1＝1－e x 1＋e x ＝－e x－11＋e x ＝－g (x )，∴函数g (x )为奇函数，∴h (－x )＝f (－x )²g (－x )＝f (x )²(－g (x ))＝－f (x )g (x )＝－h (x )， ∴函数h (x )＝f (x )²g (x )是奇函数．又因为h (1)＝f (1)²g (1)＝e －1e ＋1，h (－1)＝f (－1)²g (－1)＝1³e －1－1e －1＋1＝1－e1＋e ，∴h (－1)≠h (1)，∴函数h (x )不是偶函数．综上可知，h (x )是奇函数但不是偶函数．3．(2014²日照模拟)已知函数f (x )＝2x－12x ，且g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≥0，f －x ，x <0，则函数g (x )的最小值是________．解析：因为g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－12x，x ≥0，2－x－12－x，x <0，所以函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，故函数g (x )的最小值为g (0)＝20－120＝0.答案：0———————————[课堂归纳——通法领悟]———————————个准则——函数表达式有意义的准则函数表达式有意义的准则一般有：(1)分式中的分母不为0；(2)偶次根式的被开方数非负；(3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.种方法——函数解析式的求法求函数解析式常用的方法有：(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．具体内容见例2[方法规律]．个注意点——求函数定义域应注意的问题(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x 的集合． (2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．数学思想(一)分类讨论在分段函数中的应用由于分段函数在不同定义区间上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解，然后整合，这恰好是分类讨论的一种体现．[典例] (2014²西城模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x，x ，若f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则方程f (x )＝x 的解集为________．[解题指导] 本题可由条件f (－2)＝f (0)及f (－1)＝－3求出f (x )的解析式，但在解方程f (x )＝x 时应分x ≤0和x >0两种情况讨论．[解析] 当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c ，因为f (－2)＝f (0)，f (－1)＝－3，则⎩⎪⎨⎪⎧－2－2b ＋c ＝c ，－2－b ＋c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝－2，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －x ，x当x ≤0时，由f (x )＝x ，得x 2＋2x －2＝x ，解得x ＝－2或x ＝1(1>0，舍去)． 当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2.所以方程f (x )＝x 的解集为{－2,2}． [答案] {－2,2}[题后悟道] 解决分段函数问题的关键是“对号入座”，即根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应法则，代入相应的函数解析式，转化为一般的函数在指定区间上的问题，解完之后应注意检验自变量取值范围的应用．总之，解决分段函数的策略就是“分段函数，分段解决”，亦即应用分类讨论思想解决．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝ ( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1 解析：选D 因为f (－1)＝－－＝1，所以f (a )＝1，当a ≥0时，a ＝1，所以a＝1；当a <0时，－a ＝1，所以a ＝－1.故a ＝±1.[全盘巩固] 1．函数y ＝xx －－lg 1x的定义域为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x <0}D ．{x |0<x ≤1} 解析：选B 要使函数y ＝xx －－lg 1x有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x x －，x >0，解得x ≥1.2．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式是 ( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7解析：选B 因为g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1，所以g (x )＝2x －1. 3．下列各组函数表示相同函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝1，g (x )＝x 2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )＝|t | D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1解析：选C g (t )＝|t |＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≥0，－t ，t <0.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45C ．2D ．9 解析：选C f (0)＝20＋1＝2，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ，所以4＋2a ＝4a ，即a ＝2.5．(2014²南昌模拟)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋11x ＝f (x )≠－f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足题意．6．(2014²安康模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2－x ，x ≤0，f x －－f x －，x >0，则f (3)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－3解析：选D f (3)＝f (2)－f (1)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)＝－log 28＝－3.7．函数y ＝f (x )的定义域为[－2,4]，则函数g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤4，－2≤－x ≤4，解得－2≤x ≤2.答案：[－2,2]8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为________．解析：∵π是无理数，∴g (π)＝0，∴f (g (π))＝f (0)＝0. 答案：09．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－|x ＋1|，x ≤0，x 2－1，x >0，则不等式f (x )<0的解集为________．解析：画出此分段函数的图象，可知当函数图象处在x 轴下方时f (x )<0，此时x 的取值范围是{x |x <1且x ≠－1}．答案：{x |x <1且x ≠－1}10．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.求f (x )的解析式． 解：设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， ∴2ax ＋a ＋b ＝2x .∴a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.11．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式．解：(1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3，因此f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2. (2)当x >0时，g (x )＝x －1，故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.当x >1或x <－1时，f (x )>0，故g (f (x ))＝f (x )－1＝x 2－2； 当－1<x <1时，f (x )<0，故g (f (x ))＝2－f (x )＝3－x 2.所以g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ＋x <c ，2－xc2＋c ≤x满足f (c 2)＝98，其中0＜c ＜1.(1)求常数c 的值；(2)解不等式f (x )>28＋1. 解：(1)∵0<c <1，∴0<c 2<c ，由f (c 2)＝98，得c 3＋1＝98，解得c ＝12.(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，2－4x＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x <1.由f (x )>28＋1，知 当0<x <12时，有12x ＋1>28＋1，解得24<x <12；当12≤x <1时，有2－4x＋1>28＋1，解得12≤x <58. 所以f (x )>28＋1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x 24<x <58. [冲击名校]1．设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(ⅰ)T ＝{f (x )|x ∈S }；(ⅱ)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1<x 2时，恒有f (x 1)<f (x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是( )A ．A ＝N *，B ＝NB ．A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}C ．A ＝{x |0<x <1}，B ＝RD ．A ＝Z ，B ＝Q解析：选D 对选项A ，取f (x )＝x －1，x ∈N *，所以A ＝N *，B ＝N 是“保序同构”的，应排除A ；对选项B ，取f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－8，x ＝－1，x ＋1，－1<x ≤0，x 2＋1，0<x ≤3，所以A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x ＝－8或0<x ≤10}是“保序同构”的，应排除B ；对选项C ，取f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π2(0<x <1)，所以A ＝{x |0<x <1}，B ＝R 是“保序同构”的，应排除C.2．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4.对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．(1)若x ＝716，则f 1(x )＝________，f 2(x )＝________；(2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，则x 的取值范围为________． 解析：(1)∵x ＝716时，4x ＝74，∴f 1(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝1. ∵g (x )＝74－⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝34，∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝[3]＝3.(2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1，∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4，∴716≤x <12. 答案：(1)1 3 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫716，12。

第八节函数与方程【考纲下载】1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．1．函数的零点与方程的实数解(1)函数的零点：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)利用函数性质判定函数零点：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．2．二分法每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)>0.3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？提示：不一定，可能有多个．1．(教材习题改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )A B C D解析：选C 由图象可知，选项C 所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解．2．(教材习题改编)用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0所在的区间为( )A ．(2,4)B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(2.5,3)解析：选C ∵f (2)·f (4)<0，f (2)·f (3)<0，∴f (3)·f (4)>0， ∴零点x 0所在的区间为(2,3)．3．函数f (x )＝log 2x ＋x －4的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B ．(1,2)C ．(2,3) D ．(3,4) 解析：选C 因为f (2)＝log 22＋2－4＝－1<0，f (3)＝log 23－1>0，所以f (2)·f (3)<0，故零点所在的一个区间为(2,3)．4．函数f (x )＝e x＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选B 函数f (x )＝e x＋3x 零点的个数，即为函数y ＝e x与y ＝－3x 图象交点的个数．在同一坐标系下画出y ＝e x与y ＝－3x 的图象如图．故函数f (x )＝e x＋3x 只有一个零点．5．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－m 有两个零点，则m 的取值X 围是________．解析：在同一直角坐标系内，画出y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |和y 2＝m 的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0<m <1.答案：(0,1)考点一确定函数零点所在区间[例1] (1)(2014·某某模拟)函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(1,2)与(2,3)(2)(2013·某某高考)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )·(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内[自主解答] (1)f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)．当1<x <2时，ln(x －1)<0，2x >0，所以f (x )>0，故函数f (x )在(1,2)上没有零点．f (2)＝1－ln 1＝1，f (3)＝23－ln 2＝2－3ln 23＝2－ln 83， ∵8＝22≈2.828>e，∴8>e 2，即ln 8>2，即f (3)<0，又f (4)＝12－ln 3<0，∴f (x )在(2,3)内存在一个零点．(2)易知f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )，f (c )＝(c －a )(c －b )．又a <b <c ，则f (a )>0，f (b )<0，f (c )>0，又该函数是二次函数，且开口向上，可知两根分别在(a ，b )和(b ，c )内．[答案] (1)B (2)A【方法规律】判断函数零点所在区间的方法判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．1．方程log 3x ＋x ＝3的根所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)解析：选C 法一：方程log 3x ＋x ＝3的根即是函数f (x )＝log 3x ＋x －3的零点，由于f (2)＝log 32＋2－3＝log 32－1<0，f (3)＝log 33＋3－3＝1>0且函数f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数．∴函数f (x )的零点即方程log 3x ＋x ＝3的根所在区间为(2,3)．法二：方程log 3x ＋x ＝3的根所在区间即是函数y 1＝log 3x 与y 2＝3－x 交点横坐标所在区间，两函数图象如图所示．由图知方程log 3x ＋x ＝3的根所在区间为(2,3)．2．在下列区间中，函数f (x )＝e －x－4x －3的零点所在的区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14解析：选B 易知函数f (x )在R 上是单调减函数．对于A ，注意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝e 34－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－3＝e 34>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝e 12－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－3＝e 12－1>0，因此函数f (x )＝e －x－4x －3的零点不在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－12上；对于B ，注意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝e 14－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14－3＝e 14－2<414－2<0，因此在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－14上函数f (x )＝e －x－4x －3一定存在零点；对于C ，注意到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<0，f (0)＝－2<0，因此函数f (x )＝e －x－4x －3的零点不在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0上；对于D ，注意到f (0)＝－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e －14－4×14－3＝e －14－4<0，因此函数f (x )＝e －x－4x －3的零点不在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上．考点二判断函数零点的个数[例2] (1)(2014·某某模拟)函数f (x )＝x 2－2x在x ∈R 上的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[自主解答] (1)注意到f (－1)×f (0)＝12×(－1)<0，因此函数f (x )在(－1,0)上必有零点．又f (2)＝f (4)＝0，因此函数f (x )的零点个数是3.(2)由f (f (x ))＋1＝0可得f (f (x ))＝－1.又由f (－2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1， 可得f (x )＝－2或f (x )＝12.若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝2，综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1有4个零点． [答案] (1)D (2)A 【互动探究】若将本例(1)中的函数改为“f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x”，该如何选择？解析：选B 因为y ＝x 12在x ∈[0，＋∞)上单调递增，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在x ∈R 上单调递减，所以f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在x ∈[0，＋∞)上单调递增．又f (0)＝－1<0，f (1)＝12>0，所以f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在定义域内有唯一零点，故应选B.【方法规律】判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1．(2013·某某高考)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B 易知函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数⇔方程|log 0.5x |＝12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的根的个数⇔函数y 1＝|log 0.5x |与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点．2．已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn(x －1)－ln x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 依题意得，当x －1>0，即x >1时，f (x )＝1－ln x ，令f (x )＝0得x ＝e>1；当x －1＝0，即x ＝1时，f (x )＝0－ln 1＝0；当x －1<0，即x <1时，f (x )＝－1－ln x ，令f (x )＝0得x ＝1e<1.因此，函数f (x )的零点个数为3.高频考点考点三函数零点的应用1．高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，求函数零点问题，难度较易；利用零点的存在性求相关参数的值，难度较大．2．高考对函数零点的考查主要有以下几个命题角度： (1)已知函数的零点或方程的根所在的区间，求参数； (2)已知函数的零点或方程的根的个数，求参数； (3)利用函数的零点比较大小．[例3] (1)(2013·某某高考)设函数f (x )＝e x＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则 ( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0(2)(2011·某某高考)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.(3)(2011·高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x ≥2，x －13，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值X 围是________．[自主解答] (1)∵f (x )在R 上为增函数，且f (0)＝e 0－2<0，f (1)＝e －1>0， 又f (a )＝0，∴0<a <1.∵g (x )＝ln x ＋x 2－3，∴g (x )在(0，＋∞)上为增函数， 又g (1)＝ln 1－2＝－2<0，g (2)＝ln 2＋1>0，且g (b )＝0，∴1<b <2，即a <b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧fb >f a ＝0，ga <gb ＝0.(2)∵2<a <3<b <4，∴f (x )＝log a x ＋x －b 在(0，＋∞)上为增函数． 当x ＝2时，f (2)＝log a 2＋2－b <0；当x ＝3时，f (3)＝log a 3＋3－b >0，∴f (x )的零点x 0在区间(2,3)内，∴n ＝2. (3)在同一坐标系中作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －13，x <2及y ＝k 的图象，如图．可知，当0<k <1时，y ＝k 与y ＝f (x )的图象有两个交点，即方程f (x )＝k 有两个不同的实根．[答案] (1)A (2)2 (3)(0,1)函数零点应用问题的常见类型及解题策略(1)已知函数零点求参数．根据函数零点或方程的根所在的区间求解参数应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值X 围．(2)已知函数零点的个数求参数．常利用数形结合法．(3)借助函数零点比较大小．要比较f (a )与f (b )的大小，通常先比较f (a )、f (b )与0的大小．1．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值X 围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：选C 由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解得0<a <3.2．若函数f (x )＝x ln x －a 有两个零点，则实数a 的取值X 围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1eB.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eC.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1eD.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，0解析：选D 令g (x )＝x ln x ，h (x )＝a ，则问题可转化成函数g (x )与h (x )的图象有两个交点．由g ′(x )＝ln x ＋1，令g ′(x )<0，即ln x <－1，可解得0<x <1e；令g ′(x )>0，即lnx >－1，可解得x >1e ，所以，当0<x <1e 时，函数g (x )单调递减；当x >1e时，函数g (x )单调递增，由此可知，当x ＝1e 时，g (x )min ＝－1e .作出函数g (x )和h (x )的简图，据图可得－1e<a <0.3．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论： ①f (0)f (1)>0；②f (0)f (1)<0；③f (0)f (3)>0；④f (0)·f (3)<0. 其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．①④C ．②③ D ．②④解析：选C 由题设知f (x )＝0有3个不同零点．设g (x )＝x 3－6x 2＋9x ，∴g (x )＝x (x 2－6x ＋9)＝x (x －3)2，令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝3，g ′(x )＝3x 2－12x ＋9， 令g ′(x )>0，得x <1或x >3；令g ′(x )<0，得1<x <3，所以g (x )在(－∞，1)，(3，＋∞)上是单调递增的；在(1,3)上是单调递减的．g (1)＝4，作出g (x )的图象，如图所示．∴f (x )＝g (x )－abc ，f (x )有3个零点，需将g (x )的图象向下平移至如图所示位置．由图象观察可知，f (0)f (1)<0且f (0)f (3)>0.————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个口诀——用二分法求函数零点的方法用二分法求零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．2个防X ——函数零点的两个易错点(1)函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的实根．(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．3种方法——判断函数零点个数的方法 (1)直接求零点； (2)零点的存在性定理；(3)利用图象交点的个数(内容见例2的[方法规律])． 3个结论——有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．数学思想(四)利用数形结合解决方程根的问题在解决与方程的根或函数零点有关的问题时，如果按照传统方法很难奏效时，常通过数形结合将问题转化为函数图象的交点的坐标问题来解决．[典例] (2012·某某高考)对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值X 围是________．[解题指导] 方程f (x )＝m 恰有三个互不相等的实数根，即函数f (x )的图象与直线y ＝m 恰有三个不同的交点，可借助图形确定x 1，x 2，x 3的X 围，进而求出x 1x 2x 3的X 围．[解析]由定义可知，f (x )＝(2x －1)*(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －12－2x －1x －1，x ≤0，x －12－2x －1x －1，x >0，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0.作出函数f (x )的图象，如图所示，关于x 的方程f (x )＝m 恰有三个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，即函数f (x )的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点，则0<m <14.不妨设从左到右交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3.当x >0时，－x 2＋x ＝m ，即x 2－x ＋m ＝0，∴x 2＋x 3＝1，∴0<x 2x 3<⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322，即0<x 2x 3<14；当x <0时，由⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ＝14，x <0，得x ＝1－34，∴1－34<x 1<0，即0<－x 1<3－14.∴0<－x 1x 2x 3<3－116，故1－316<x 1x 2x 3<0. [答案] ⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0[题后悟道] 1.解决本题的关键有以下三点：(1)根据新定义正确求出函数f (x )的解析式，并准确画出其图象； (2)利用一元二次方程根与系数的关系及基本不等式确定x 2x 3的X 围； (3)正确确定x 1的取值X 围．2．函数y ＝f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有实根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点．在解决函数与方程的问题时，要注意这三者之间的关系，在解题中充分利用这个关系与实际问题的转化．若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则方程f (x )－g (x )＝0在区间[－5,5]上的解的个数为( )A ．5B ．7C ．8D ．10 解析：选C 依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象，结合图象得，当x ∈[－5,5]时，它们的图象的公共点共有8个，即方程f (x )－g (x )＝0在区间[－5,5]上的解的个数为8.[全盘巩固]1．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的一个零点所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B 由题意知，函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的定义域为(－1,0)∪(0，＋∞)，结合四个选项可知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)<0，f (2)>0，所以函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的一个零点所在的区间是(1,2)．2．若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13的解，则x 0属于区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13解析：选C 构造函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x 13，则函数f (x )的图象是连续不断的一条曲线，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫1313>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212－⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，故函数的零点所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，即方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13的解x 0属于区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12. 3．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12解析：选C 依题意，结合函数f (x )的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f －1f 0<0，f 1f 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋2m ＋1]2m ＋1<0，[m －2＋m ＋2m ＋1][4m －2＋2m ＋2m ＋1]<0，解得14<m <12.4．(2014·某某模拟)设函数f 1(x )＝log 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，f 2(x )＝log 12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点分别为x 1，x 2，则( )A ．0<x 1x 2<1B ．x 1x 2＝1C ．1<x 1x 2<2D ．x 1x 2≥2解析：选A 依题意知x 1>x 2>0，且log 2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＝0，log 12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＝0，则log 2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1＝log 12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＝－log 2x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，所以log 2x 1＋log 2x 2＝log 2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2<0＝log 21，所以0<x 1x 2<1.5．已知函数f (x )＝a x＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a ，b 满足2a＝3,3b＝2，则n 的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2解析：选A a ＝log 23>1，b ＝log 32<1，令f (x )＝0，得a x＝－x ＋b .在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝a x和y ＝－x ＋b 的图象，由图可知，两函数的图象在区间(－1,0)内有交点，所以函数f (x )在区间(－1,0)内有零点，所以n ＝－1.6．(2014·某某模拟)偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝－x ＋1，则关于x 的方程f (x )＝lg(x ＋1)在x ∈[0,9]上解的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C 依题意得f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与y ＝lg(x ＋1)的图象(如图所示)，观察图象可知，这两个函数的图像在区间[0,9]上的公共点共有9个，因此，当x ∈[0,9]时，方程f (x )＝lg(x ＋1)的解的个数是9.7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为________．解析：法一：令f (x )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋2x －3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，ln x ＝2，解得x ＝－3或x ＝e 2，所以函数f (x )有两个零点．法二：画出函数f (x )的图象(图略)可得，图象与x 轴有两个交点，则函数f (x )有两个零点．答案：28．已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值X 围是________．解析：函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则方程e x－2x ＋a ＝0，即a ＝2x －e x有解．令函数g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，所以g (x )在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以g (x )的最大值为g (ln 2)＝2ln 2－2.因为a 的取值X 围就是函数g (x )的值域，所以a ∈(－∞，2ln 2－2]．答案：(－∞，2ln 2－2]9．(2014·某某模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝________.解析：∵f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0， 且函数f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上为增函数，∴x 0∈[2,3]，即a ＝2，b ＝3. ∴a ＋b ＝5. 答案：510．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，某某数a 的取值X 围． 解：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3，令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. ∴函数f (x )的零点为3或－1.(2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根，∴b 2－4a (b －1)>0恒成立， 即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立，所以有(－4a )2－4×(4a )<0⇒a 2－a <0，解得0<a <1，因此实数a 的取值X 围是(0,1)．11．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有实数根，求m 的取值X 围；(2)确定m 的取值X 围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．解：(1)法一：∵g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因此，只需m ≥2e，g (x )＝m 就有实数根．法二：作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象如图：可知若使g (x )＝m 有实数根，则只需m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x(x >0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，∴f (x )的图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值X 围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．12．是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴有且只有一个交点．若存在，求出a 的X 围；若不存在，说明理由．解：∵Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫a －892＋89>0，∴若存在实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，所以a ≤－15或a ≥1.检验：①当f (－1)＝0时，a ＝1.所以f (x )＝x2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠1. ②当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞)．[冲击名校]1．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1fx ＋1，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析：选D 当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]．因为函数f (x )＋1＝1fx ＋1，所以f (x )＝1f x ＋1－1＝1x ＋1－1＝－xx ＋1.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－xx ＋1，x ∈－1，0]，x ，x ∈0，1].函数g (x )＝f (x )－mx －m 在区间(－1,1]内有两个零点等价于方程f (x )＝m (x ＋1)在区间(－1,1]内有两个根，令y ＝m (x ＋1)，在同一坐标系中画出函数y ＝f (x )和y ＝m (x ＋1)的部分图象(图略)，可知当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ≤0，ln x ，x >0，则下列关于函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数的判断正确的是( )A ．当k >0时，有3个零点；当k <0时，有2个零点B ．当k >0时，有4个零点；当k <0时，有1个零点C ．无论k 为何值，均有2个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点解析：选B 当k >0时，f (f (x ))＝－1，结合图(1)分析，则f (x )＝t 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 或f (x )＝t 2∈(0,1)．对于f (x )＝t 1，存在两个零点x 1，x 2；对于f (x )＝t 2，存在两个零点x 3，x 4.此时共计存在4个零点．当k <0时，f (f (x ))＝－1，结合图(2)分析，则f (x )＝t ∈(0,1)，此时仅有1个零点x 0.[高频滚动] 1．若函数f (x )＝a2x －4，g (x )＝log a |x |(a >0，a ≠1)，且f (2)·g (－2)<0，则函数f (x )、g (x )在同一坐标系内的大致图象是( )A B C D解析：选B f (2)·g (－2)＝a 0log a 2<0，得0<a <1，所以f (x )＝a 2x －4在R 上为减函数，g (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．2．已知函数 y ＝f (x )的定义域是R ，若对于任意的正数a ，函数g (x )＝f (x ＋a )－f (x )是其定义域上的增函数，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )A B C D解析：选A 设x 1<x 2，由g (x )为其定义域上的增函数，得f (x 1＋a )－f (x 1)<f (x 2＋a )－f (x 2)，即f (x 1＋a )－f (x 2＋a )<f (x 1)－f (x 2)，所以f x 1＋a －f x 2＋a x 1＋a －x 2＋a >f x 1－f x 2x 1－x 2，即曲线y ＝f (x )的割线的斜率单调递增．结合函数图象可知，选项A 正确．。

第六节 抛 物 线【考纲下载】 1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(X 围、对称性、顶点、离心率等)． 2．了解圆锥曲线的简单应用．了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．3．理解数形结合思想．1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0) x 2＝2py(p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0 x ＝0 焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p 2x ＝p2y ＝－p 2y ＝p 2X 围 x ≥0， y ∈R x ≤0， y ∈R y ≥0， x ∈R y ≤0， x ∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中P (x 0，y 0))|PF |＝x 0＋p 2|PF |＝ －x 0＋p2|PF |＝y 0＋p 2|PF |＝ －y 0＋p21．当定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？提示：当定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是过定点F 且与直线l 垂直的直线．2．抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点M (x 0，y 0)到焦点F 的距离与点M 的横坐标x 0有何关系？若抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，结果如何？提示：由抛物线定义得|MF |＝x 0＋p2；若抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，则|MF |＝y 0＋p2.1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝4x解析：选C 由抛物线准线方程为x ＝－2知p ＝4，且开口向右，故抛物线方程为y 2＝8x .2．抛物线y 2＝4x 的焦点F 到准线l 的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B 因为抛物线y 2＝4x ，所以2p ＝4，而焦点F 到准线l 的距离为p ＝2.3．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0B ．(1,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析：选C 将抛物线y ＝2x 2化成标准方程为x 2＝12y ，所以2p ＝12，p 2＝18，而抛物线x2＝12y 的焦点在y 轴的非负半轴上，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18. 4．抛物线的焦点为椭圆x 29＋y 24＝1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为________________．解析：由c 2＝9－4＝5，得F (－5，0)，则抛物线方程为y 2＝－45x .答案：y 2＝－45x5．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 4，1，∴2p ×p 4＝1，解得p ＝ 2.∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫24，1， 因此B 到该抛物线的准线的距离为24＋22＝324. 答案：324考点一抛物线的定义及应用[例1] 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值． [自主解答](1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1.由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连接AF 交曲线于点P ，则所求的最小值为|AF |，即为 5.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |. 则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4. 【互动探究】若将本例(2)中的B 点坐标改为(3,4)，求|PB |＋|PF |的最小值．解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．∵|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离．∴|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5. 【方法规律】抛物线定义中的“转化”法利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．1．(2014·某某模拟)已知动圆过定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，且与直线x ＝－p2相切，其中p >0，则动圆圆心的轨迹E 的方程为____________．解析：依题意得，圆心到定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离与到直线x ＝－p2的距离相等，再依抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹E 为抛物线，其方程为y 2＝2px .答案：y 2＝2px2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3，则|BF |＝________.解析：因为抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)．显然，当AB 垂直于x 轴时，|AF |≠3，所以AB 的斜率k 存在，设AB 的方程为y ＝k (x －1)，与抛物线y 2＝4x 联立，消去y 得k 2x 2－2k 2x －4x ＋k 2＝0，即k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2.又|AF |＝3＝x 1＋p2＝x 1＋1，所以x 1＝2，代入k 2x 2－2k 2x －4x ＋k 2＝0，得k 2＝8，所以x 1＋x 2＝52，x 2＝12，故|BF |＝x 2＋1＝12＋1＝32.答案：32考点二 抛物线的标准方程及性质[例2] (1)(2013·某某高考)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ． 1 D. 3 (2)(2013·某某高考)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.[自主解答] (1)由抛物线y 2＝4x ，有2p ＝4，p ＝2.其焦点坐标为(1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x .不妨取其中一条3x －y ＝0.由点到直线的距离公式有d ＝|3×1－0|3＋1＝32. (2)在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝33p ，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，－p 2.又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6.答案：(1)B (2)6【方法规律】1．求抛物线的标准方程的方法及流程(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．(2)流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． 2．确定及应用抛物线性质的关键与技巧(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．(2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．1．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．22B ．2 3C ．4D ．2 5解析：选B 依题意，设抛物线方程是y 2＝2px (p >0)，则有2＋p2＝3，得p ＝2，故抛物线方程是y 2＝4x ，点M 的坐标是(2，±22)，|OM |＝22＋8＝2 3.2．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：选D 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于ca ＝a 2＋b 2a 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，所以b a ＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以p22＝2，则p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .高频考点 考点三直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系，是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度较大，多为中、高档题．2．直线与抛物线的位置关系有以下几个命题角度： (1)已知抛物线方程及其他条件，求直线方程； (2)证明直线过定点；(3)求线段长度或线段之积(和)的最值； (4)求定值．[例3] (2012·某某高考)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．[自主解答] (1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2.故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明：由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.设M (0，y 1)，令MP ·MQ ＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP ＝(x 0，y 0－y 1)，MQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1，由MP ·MQ ＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．直线与抛物线的位置关系的常见类型及解题策略(1)求直线方程．先寻找确定直线的两个条件，若缺少一个可设出此量，利用题设条件寻找关于该量的方程，解方程即可．(2)证明直线过定点．可依题设条件寻找该直线的方程，可依据方程中的参数及其他条件确定该直线过那个定点．(3)求线段长度和线段之积(和)的最值．可依据直线与抛物线相交，依据弦长公式，求出弦长或弦长关于某个量的函数，然后利用基本不等式或利用函数的知识，求函数的最值；也可利用抛物线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离．(4)求定值．可借助于已知条件，将直线与抛物线联立，寻找待定式子的表达式，化简即可得到．(2014·某某模拟)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C两点．当直线l 的斜率是12时，AC ＝4AB .(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值X 围．解：(1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，消去x ，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，y 1＋y 2＝8＋p2，y 1y 2＝4，由已知AC ＝4AB ，∴y 2＝4y 1，由韦达定理及p >0可得y 1＝1，y 2＝4，p ＝2，∴抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)由题意知直线l 的斜率存在，且不为0，设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k x ＋4，得x 2－4kx －16k ＝0， 由Δ>0得k <－4或k >0，∴x 0＝x B ＋x C 2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k ，BC 中垂线方程为y－2k 2－4k ＝－1k(x －2k )，∴b ＝2(k ＋1)2，∴b >2.故b 的取值X 围为(2，＋∞)．———————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 4个结论——直线与抛物线相交的四个结论已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有以下结论：(1)|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2psin 2α(α为AB 所在直线的倾斜角)；(2)x 1x 2＝p 24；(3)y 1y 2＝－p 2；(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p . 3个注意点——抛物线问题的三个注意点(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程．(2)注意应用抛物线定义中距离相等的转化来解决问题． (3)直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点．前沿热点(十五)与抛物线有关的交汇问题1．抛物线是一种重要的圆锥曲线，在高考中，经常以抛物线为载体与直线、圆综合考查，主要考查抛物线的方程及几何性质，直线与抛物线的综合应用，点到直线的距离等．2．直线与抛物线的综合问题，经常是将直线方程与抛物线方程联立，消去x (或y )，利用方程的根与系数的关系求解，但一定要注意直线与抛物线相交的条件．[典例] (2013·某某高考)过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明：FM ·FN <2p 2；(2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程．[解题指导] (1)直线l 1的方程与抛物线方程联立，得出根与系数的关系，再由向量的坐标形式得出FM ·FN 的表达式，再证明不等式；(2)先求出点M 到直线l 的距离的表达式，再求最值，结合已知条件即可求p ，从而得出抛物线方程．[解] (1)证明：由题意，抛物线E 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋p2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实数根．从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 21＋p . 所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫pk 1，pk 21＋p 2，FM ＝(pk 1，pk 21)．同理可得点N 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫pk 2，pk 22＋p 2，FN ＝(pk 2，pk 22)．于是FM ·FN ＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)．由题设，k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2，所以0<k 1k 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1＋k 222＝1.故FM ·FN <p 2(1＋12)＝2p 2.(2)由抛物线的定义得|FA |＝y 1＋p 2，|FB |＝y 2＋p2，所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 21＋2p ，从而圆M 的半径r 1＝pk 21＋p . 故圆M 的方程为(x －pk 1)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －pk 21－p 22＝(pk 21＋p )2，化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 21＋1)y －34p 2＝0.同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p 2＝0.于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 21)y ＝0. 又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0. 因为p >0，所以点M 到直线l 的距离d ＝|2pk 21＋pk 1＋p |5＝p |2k 21＋k 1＋1|5＝p ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1＋142＋785.故当k 1＝－14时，d 取最小值7p 85.由题设，7p 85＝755，解得p ＝8.故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y .[名师点评] 解答本题的关键有以下两点： (1)充分利用k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2时，k 1·k 2<⎝⎛⎭⎪⎫k 1＋k 222；(2)注意2k 21＋k 1＋1>0，即d ＝|2k 21＋k 1＋1|5＝2k 21＋k 1＋15.(2013·某某高考)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．解：(1)依题意d ＝|0－c －2|2＝c ＋22＝322，解得c ＝1，∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，由x 2＝4y ，即y ＝14x 2，得y ′＝12x .∴抛物线C 在点A 处的切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x ＋y 1－12x 21.∵y 1＝14x 21，∴y ＝x 12x －y 1.∵点P (x 0，y 0)在直线PA 上，∴y 0＝x 12x 0－y 1.①同理，y 0＝x 22x 0－y 2.② 综合①②得，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标都满足方程y 0＝x2x 0－y ，∵经过A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点的直线是唯一的， ∴直线AB 的方程为y 0＝x2x 0－y ，即x 0x －2y －2y 0＝0.(3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0，∴y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，∵x 0－y 0－2＝0，∴|AF |·|BF |＝y 20－2y 0＋x 20＋1＝y 20－2y 0＋(y 0＋2)2＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋122＋92，∴当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值为92.[全盘巩固]1．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，则实数a ＝( ) A.52B.32 C ．－12D ．－32解析：选D 把抛物线方程化为x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a y ，则p ＝12－a ，故抛物线的准线方程是y＝p 2＝12－a 2，则12－a2＝1，解得a ＝－32. 2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74B ．2 C.94D ．4 解析：选C 直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y2＝x 的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，所以弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94.3．(2013·某某高考)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3解析：选C FA ：y ＝－12x ＋1，与x 2＝4y 联立，得x M ＝5－1，FA ：y ＝－12x ＋1，与y ＝－1联立，得N (4，－1)，由三角形相似知|FM ||MN |＝x M 4－x M ＝15.4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA ＋FB ＋FC ＝0，则|FA |＋|FB |＋|FC |＝( )A ．9B ．6C ．4D ．3解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又F (1,0)，由FA ＋FB ＋FC ＝0知， (x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝3，|FA |＋|FB |＋|FC |＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6. 5．已知点M (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点，过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．抛物线B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．直线解析：选A 由点P 在BM 的垂直平分线上，故|PB |＝|PM |.又PB ⊥l ，因而点P 到直线l 的距离等于点P 到点M 的距离，所以点P 的轨迹是抛物线．6．(2013·新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．22C ．23D ．4解析：选C 设P (x 0，y 0)，根据抛物线定义得|PF |＝x 0＋2，所以x 0＝32，代入抛物线方程求得y 2＝24，解得|y |＝26，所以△POF 的面积等于12·|OF |·|y |＝12×2×26＝2 3.7．(2013·高考)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________．解析：∵抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，∴p2＝1，解得p ＝2，∴准线方程为x ＝－1.答案：2 x ＝－18．(2014·某某模拟)已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点________．解析：因为动圆的圆心在抛物线y 2＝4x 上，且x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)．答案：(1,0)9．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________． 解析：法一：如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝43.法二：对y ＝－x 2，有y ′＝－2x .如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是d ＝43.答案：4310．已知以向量v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12为方向向量的直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上．(1)求抛物线C 的方程；(2)设A ，B 是抛物线C 上两个动点，过A 作平行于x 轴的直线m ，直线OB 与直线m 交于点N ，若OA ·OB ＋p 2＝0(O 为原点，A ，B 异于原点)，试求点N 的轨迹方程．解：(1)由题意可得直线l 的方程为y ＝12x ＋54，①过原点垂直于l 的直线方程为y ＝－2x .②解①②得x ＝－12.∵抛物线的顶点关于直线l 的对称点在该抛物线的准线上，∴－p 2＝－12×2，p ＝2.∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)，由题意知y 0＝y 1.由OA ·OB ＋p 2＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＋4＝0，又y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，解得y 1y 2＝－8，③直线ON ：y ＝y 2x 2x ，即y 0＝4y 2x 0.④由③④及y 0＝y 1得点N 的轨迹方程为x ＝－2(y ≠0)．11．已知定点A (1,0)和直线x ＝－1上的两个动点E ，F ，且AE ⊥AF ，动点P 满足EP∥OA ，FO ∥OP (其中O 为坐标原点)．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点B (0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 相交于两个不同的点M ，N ，若AM ·AN <0，求直线l 的斜率的取值X 围．解：(1)设P (x ，y )，E (－1，y E )，F (－1，y F )，∵AE ·AF ＝(－2，y E )·(－2，y F )＝y E ·y F ＋4＝0，∴y E ·y F ＝－4，①又EP ＝(x ＋1，y －y E )，FO ＝(1，－y F )，且EP ∥OA ，FO ∥OP ，∴y －y E ＝0且x (－y F )－y ＝0，∴y E ＝y ，y F ＝－y x， 代入①得y 2＝4x (x ≠0)，∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≠0)． (2)设l ：y －2＝kx (易知k 存在，且k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y ＋8＝0，Δ＝42－32k >0，即k <12.令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝8k，AM ·AN ＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＝y 21·y 2216－y 21＋y 224＋1＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 242－y 1＋y 224＋32y 1y 2＋1 ＝12k＋1<0，∴－12<k <0，故实数k 的取值X 围为(－12,0)．12．(2014·某某模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解：(1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离．点Q 在线段FP 的垂直平分线上，∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝2x (x >0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝x 0－12＋y 20，则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1， 因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．[冲击名校]已知直线y ＝－2上有一个动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于x 轴，动点P 在l 1上，且满足OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2是曲线C 的一条切线，当点(0,2)到直线l 2的距离最短时，求直线l 2的方程． 解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，则点Q 的坐标为(x ，－2)．∵OP ⊥OQ ，∴当x ＝0时，P ，O ，Q 三点共线，不符合题意，故x ≠0.当x ≠0时，得k OP ·k OQ ＝－1，即y x ·－2x＝－1，化简得x 2＝2y ，∴曲线C 的方程为x 2＝2y (x ≠0)．(2)∵直线l 2与曲线C 相切，∴直线l 2的斜率存在．设直线l 2的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝2y ，得x 2－2kx －2b ＝0.∵直线l 2与曲线C 相切，∴Δ＝4k 2＋8b ＝0，即b ＝－k 22.点(0,2)到直线l 2的距离d ＝|－2＋b |k 2＋1＝12·k 2＋4k 2＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1＋3k 2＋1≥12×2k 2＋1·3k 2＋1＝ 3.当且仅当k 2＋1＝3k 2＋1，即k ＝±2时，等号成立．此时b ＝－1. ∴直线l 2的方程为2x －y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0.[高频滚动]已知直线x ＋ky －3＝0所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：mx ＋ny ＝1，试证：当点P (m ，n )在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值X 围．解：(1)直线x ＋ky －3＝0经过定点F (3,0)，即点F (3,0)是椭圆C 的一个焦点．设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，因为椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8，所以a ＋3＝8，即a ＝5.所以b 2＝52－32＝16.所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)因为点P (m ，n )在椭圆C 上，所以m225＋n 216＝1，即n 2＝16－16m 225(0≤m 2≤25)．所以原点到直线l ：mx ＋ny ＝1的距离d ＝1m 2＋n 2＝1925m 2＋16<1.所以直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1恒相交．L 2＝4(r 2－d 2)＝4⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－1925m 2＋16. 因为0≤m 2≤25，所以152≤L ≤465. 即直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤152，465.。

第七节 函数的图象【考纲下载】1．在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数． 2．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．1．利用描点法作函数图象 基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换：y ＝f (x )――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )； y ＝f (x )――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b .(2)伸缩变换：y ＝f (x )错误!y ＝f (ωx )；y ＝f (x )――→A >1，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A 倍0<A <1，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的A 倍y ＝Af (x )．(3)对称变换：y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； y ＝f (x )――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )； y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )． (4)翻折变换：y ＝f (x )――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝f (|x |)；y ＝f (x )――→保留x 轴上方图将x 轴下方的图象翻折到上方去y ＝|f (x )|.1．函数y ＝f (x )的图象关于原点对称与函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称一致吗？提示：不一致，前者是本身的对称，而后者是两个函数图象间的对称． 2．一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称有何区别？提示：函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称是自身对称，说明该函数为偶函数；而函数y ＝f (x )与函数y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，是两个函数的图象对称．3．若函数y ＝f (x )的图象关于点(a,0)(a >0)对称，那么其图象如何变换才能使它变为奇函数？其解析式变为什么？提示：向左平移a 个单位即可；解析式变为y ＝f (x ＋a )．1．函数y ＝x |x |的图象经描点确定后的形状大致是( )解析：选A y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，0，x ＝0，－x 2，x <0为奇函数，奇函数图象关于原点对称．2．(2013·某某高考)函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )解析：选C 因为函数的定义域是非零实数集，所以A 错；当x <0时，y >0，所以B 错；当x →＋∞时，y →0，所以D 错．3．(2013·高考)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e－x ＋1D ．e－x －1解析：选D 与曲线y ＝e x关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x，函数y ＝e －x的图象向左平移1个单位长度即可得到函数f (x )的图象，即f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.4．函数y ＝f (x )在x ∈[－2,2]的图象如图所示，则当x ∈[－2，2]时，f (x )＋f (－x )＝________.解析：由图象可知，函数f (x )为奇函数，所以f (x )＋f (－x )＝0. 答案：05．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值X 围是________． 解析：方程|x |＝a －x 只有一个解，即函数f (x )＝|x |与g (x )＝a －x 的图象有且只有一个公共点，在同一坐标系内画出两函数的图象可知a >0.答案：(0，＋∞)考点一作函数的图象[例1] 作出下列函数的图象：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝2x －1x －1； (4)y ＝x 2－2|x |－1.[自主解答] (1)作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，加上y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图．(3)∵y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图．(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数图象如图．【方法规律】 函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出．分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2；(3)y ＝x ＋2x ＋3； (4)y ＝|log 2x －1|. 解：(1)∵y ＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1.∴函数y ＝|lg x |的图象如图(1)．图(1) 图(2)(2)将函数y ＝2x的图象向左平移2个单位即可得到函数y ＝2x ＋2的图象，如图(2)．(3)∵y ＝x ＋2x ＋3＝1－1x ＋3，可见原函数图象可由y ＝－1x图象向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到，如图(3)．图(3)图(4)(4)先作出y ＝log 2x 的图象，再将其图象向下平移1个单位，保留x 轴上方的部分，将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，即得y ＝|log 2x －1|的图象，如图(4).高频考点考点二识图与辨图1．高考对函数图象的考查主要有识图和辨图两个方面，其中识图是每年高考的热点内容，题型多为选择题，难度适中．2．高考对识图问题的考查主要有以下几个命题角度： (1)借助实际情景探究函数图象； (2)已知解析式确定函数图象；(3)已知函数解析式(或图象)确定相关函数的图象； (4)借助动点探究函数图象．[例2] (1)(2013·某某高考)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )(2)(2013·某某高考)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )A B C D(3)(2012·某某高考)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )A BC D(4)(2013·某某高考)如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1 m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cos x，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为( )A B C D[自主解答] (1)小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.(2)先判断函数y ＝x cos x ＋sin x 是奇函数，所以排除B ；再判断其零点，令y ＝x cos x ＋sin x ＝0，得tan x ＝－x ，画图知其在(0，π)上有且仅有一个零点，故排除A 、C.(3)法一：由y ＝f (x )的图象知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 0≤x ≤1，11<x ≤2.当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10≤x ≤1，2－x 1<x ≤2，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－10≤x ≤1，x －21<x ≤2.故其对应的图象应为B.法二：当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1.观察各选项，可知应选B.(4)如图，设∠MON ＝α，由弧长公式知x ＝α，在Rt △AOM 中，|AO |＝1－t ，cos x 2＝|OA ||OM |＝1－t ，∴y ＝cos x ＝2cos 2x 2－1＝2(t －1)2－1(0≤t ≤1)．故其对应的图象应为B.[答案] (1)C (2)D (3)B (4)B识图问题的常见类型及解题策略(1)由实际情景探究函数图象．关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．(2)由解析式确定函数图象．此类问题往往化简函数解析式，利用函数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断，常用排除法．(3)已知函数图象确定相关函数的图象．此类问题主要考查函数图象的变换(如平移变换、对称变换等)，要注意函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|等的相互关系．(4)借助动点探究函数图象．解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．1．如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不．正确的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：选A 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来；图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化规律是先快后慢再快，正确；④中的变化规律是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．2．若log a2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝log a(x＋1)的图象大致是( )解析：选B 由log a2<0，得0<a<1，故函数f(x)＝log a(x＋1)为减函数，故排除选项A、D.由图象平移可知f(x)＝log a(x＋1)的图象可由y＝log a x的图象向左平移1个单位得到，故选B.3．已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是( )解析：选A 观察图象可知，y ＝f (x )有两个零点x 1＝－π2，x 2＝π2，且y ＝g (x )在x ＝0时，函数值不存在，所以函数y ＝f (x )·g (x )在x ＝0时，函数值也不存在，故可以排除选项C ，D ；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝f (x )·g (x )的函数值为负，故排除选项B.4．已知有四个平面图形，分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x 轴的直线l ：x ＝t (0≤t ≤a )经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y (选项中阴影部分)，若函数y ＝f (t )的大致图象如图所示，那么平面图形的形状不可能是( )解析：选C 观察函数图象可得函数y ＝f (t )在[0，a ]上是增函数，即说明随着直线l 的右移，扫过图形的面积不断增大，从这个角度讲，四个图象都适合．再对图象作进一步分析，图象首先是向下凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越快，然后是由上凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越慢．根据这一点很容易判定C 项不适合．这是因为在C 项中直线l 扫到矩形部分时，面积会呈直线上升．考点三函数图象的应用[例3] 已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)某某数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集；(5)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有三个不相等的实根}．[自主解答] (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)∵f (x )＝x |m －x |＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －4，x ≥4，－x x －4，x <4.∴函数f (x )的图象如图：由图象知f (x )有两个零点．(3)从图象上观察可知：f (x )的单调递减区间为[2,4]．(4)从图象上观察可知：不等式f (x )>0的解集为{x |0<x <4或x >4}．(5)由图象可知若y ＝f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则0<m <4，故集合M ＝{m |0<m <4}．【互动探究】保持本例条件不变，求函数f (x )在[1,5]上的值域．解：f (1)＝3，f (5)＝5，借助函数图象可知，函数f (x )在[1,5]上的值域为[0,5]． 【方法规律】1．利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标．2．利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．1．(2013·某某高考)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 在同一直角坐标系下画出函数f (x )＝2ln x 与函数g (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1的图象，如图所示．∵f (2)＝2ln 2>g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图象的交点个数为2，故选B. 2．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值X 围是________．解析：先去掉绝对值符号，在同一直角坐标系中作出函数的图象，利用数形结合求解．根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x >1或x <－1，－x －1－1≤x <1.在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．答案：(0,1)∪(1,4)————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个注意点——图象变换中的易错点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x ，y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．2个区别——函数图象的对称问题(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数图象对称．(2)一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数图象的对称关系．3个关键点——正确作出函数图象的三个关键点 (1)正确求出函数的定义域；(2)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数；(3)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．易误警示(二)函数图象问题题干信息提取有误[典例] (2013·某某高考)函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f x 1x 1＝f x 2x 2＝…＝f x nx n，则n 的取值X 围是( )A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3} [解题指导] 利用f xx的几何意义，将所求转化为直线与曲线的交点个数问题，并利用数形结合求解．[解析] 由题意，函数y ＝f (x )图象上的任一点坐标为(x ，f (x ))，故f xx表示曲线上任一点与坐标原点连线的斜率．若f x 1x 1＝f x 2x 2＝…＝f x nx n，则曲线上存在n 个点与原点连线的斜率相等，即过原点的直线与曲线y ＝f (x )就有n 个交点．借助图形可知，n 的取值可为2,3,4.[答案] B[名师点评] 1.解决本题的易错点有两处：(1)不能将f xx转化为点(x ，f (x ))与坐标原点连线的斜率；(2)不能将f x 1x 1＝f x 2x 2＝…＝f x nx n转化为过原点的直线与曲线y ＝f (x )有n 个交点．以上两处错误均由不能正确提取题干信息而致．2．利用图象信息分析解决函数性质和参数取值问题的常用方法有：(1)定性分析法：根据图象对称性，上升、下降的趋势等特征分析、解决问题． (2)定量计算法：通过图象所过特殊点等有关量的条件，进行相应计算来分析解决问题． (3)函数模型法：根据所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用函数模型来分析解决问题．已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，对于满足0<x 1<x 2<1的任意x 1，x 2，给出下列结论：①f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1；②x 2f (x 1)>x 1f (x 2)；③f x 1＋f x 22<f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.其中正确结论的序号是________．解析：由图象给出的信息得f (x )在[0,1]上单调递增，故由x 2>x 1得x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)>0，故①即为f x 2－f x 1x 2－x 1>1，表示图象上任意两点的连线斜率均大于1，观察图象显然不对，故①不正确；由函数图象在每一点处的切线的倾斜角都是递减的，知f x 2x 2<f x 1x 1，故②正确；作出f x 1＋f x 22与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22对应的点发现，③也正确(注：③实际是说f (x )是“凸函数”)．故正确结论的序号是②③.答案：②③[全盘巩固]1．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|的大致图象为( )解析：选B 该函数图象可以看作偶函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象向左平移1个单位得到的．2．函数y ＝log 2|x |x的大致图象是( )A B C D解析：选C 由于log 2|－x |－x ＝－log 2|x |x ，所以函数y ＝log 2|x |x 是奇函数，其图象关于原点对称．当x >0时，对函数求导可知函数图象先增后减，结合选项可知选C.3．在同一坐标系内，函数y ＝x a(a ≠0)和y ＝ax －1a的图象可能是( )A B C D解析：选C 当幂指数a <0时，函数图象不过坐标原点，且在(0，＋∞)上单调递减，选项A ，B 中的图象符合幂指数a <0，但此时一次函数y ＝ax －1a是单调递减的，选项A 不符合要求；选项B 中，一次函数图象的斜率与其在y 轴上的截距的符号相同，不符合题意；当a >0时，幂函数的图象过坐标原点，且在(0，＋∞)上单调递增，选项C ，D 中的幂函数图象符合要求，但选项D 中的一次函数y ＝ax －1a中a <0，所以只有选项C 中的图象是可能的．4．(2014·抚州模拟)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可能是( ) A ．f (x )＝x 2－2ln|x |B ．f (x )＝x 2－ln|x | C ．f (x )＝|x |－2ln|x |D ．f (x )＝|x |－ln|x |解析：选B 由函数图象可得，函数f (x )为偶函数，且x >0时，函数f (x )的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，22，2,1，由此可得仅函数f (x )＝x 2－ln|x |符合条件． 5．(2014·某某模拟)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是( )解析：选C 由函数y ＝f (x )的图象知，当x ∈(0,2)时，f (x )≥1，所以log 12f (x )≤0.又函数f (x )在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以y ＝log 12f (x )在(0,1)上是增函数，在(1,2)上是减函数．6．(2014·某某模拟)f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1x ≤0，f x －1x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值X 围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)解析：选A x ≤0时，f (x )＝2－x－1.0＜x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1，故x >0时，f (x )是周期函数．如图．欲使方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数解，即函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同的交点，故a <1.7．如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的图象可能是________(填入正确图象的序号)．解析：由三视图可知此几何体为一底朝上的圆锥，向容器中匀速注水，说明单位时间内注入水的体积相等，故容器中水面的高度h 随时间t 的变化呈越来越慢的递增趋势，故应填②.答案：②8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，x >0的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝________.解析：由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2.又函数y ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.答案：1339．已知m ，n 分别是方程10x＋x ＝10与lg x ＋x ＝10的根，则m ＋n ＝________.解析：在同一坐标系中作出y ＝lg x ，y ＝10x，y ＝10－x 的图象，设其交点为A ，B ，如图所示．设直线y ＝x 与直线y ＝10－x 的交点为M ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝10－x ，解得M (5,5)．∵函数y ＝lg x 和y ＝10x的图象关于直线y ＝x 对称． ∴m ＋n ＝x A ＋x B ＝2x M ＝10. 答案：1010．已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，试求f (x )在R 上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．解：∵f (x )的图象关于原点对称，∴f (－x )＝－f (x )，∴当x ＝0时，f (x )＝0. 又当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，∴当x <0时，f (x )＝－x 2－2x －3.∴函数的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0.作出函数的图象如图．根据图象可以得函数的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；函数的减区间为(－1,0)，(0,1)． 11．设函数f (x )＝x ＋1x(x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞))的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求函数y ＝g (x )的解析式，并确定其定义域；(2)若直线y ＝b 与C 2只有一个交点，求b 的值，并求出交点的坐标．解：(1)设P (u ，v )是y ＝x ＋1x 上任意一点，∴v ＝u ＋1u①.设P 关于A (2,1)对称的点为Q (x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧u ＋x ＝4，v ＋y ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧u ＝4－x ，v ＝2－y ，代入①得2－y ＝4－x ＋14－x ⇒y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4(x ∈(－∞，4)∪(4，＋∞))． (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ，y ＝x －2＋1x －4⇒x 2－(b ＋6)x ＋4b ＋9＝0，∴Δ＝(b ＋6)2－4×(4b ＋9)＝b 2－4b ＝0⇒b ＝0或b ＝4.∴当b ＝0时，交点为(3,0)；当b ＝4时，交点为(5,4)．12．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝mx 有四个不相等的实根}．解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －22－1，x ∈－∞，1]∪[3，＋∞，－x －22＋1，x ∈1，3.作出图象如图所示．(1)单调递增区间为(1,2]，(3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1]，(2,3]．(2)由图象可知当y ＝f (x )与y ＝mx 的图象有四个不同的交点时，直线y ＝mx 应介于x 轴与切线l 1之间．⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ，y ＝－x －22＋1⇒x 2＋(m －4)x ＋3＝0.由Δ＝0，得m ＝4±2 3.当m ＝4＋23时，x ＝－3∉(1,3)，舍去．所以m ＝4－23，故直线l 1的方程为y ＝(4－23)x .所以m ∈(0,4－23)．即集合M ＝{m |0<m <4－23}．[冲击名校]1．函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选D 由题意知y ＝11－x ＝－1x －1的图象是双曲线，且关于点(1,0)成中心对称，又y＝2sin πx 的周期为T ＝2ππ＝2，且也关于点(1,0)成中心对称，因此两图象的交点也一定关于点(1,0)成中心对称，再结合图象(如图所示)可知两图象在[－2,4]上有8个交点，因此8个交点的横坐标之和x 1＋x 2＋…＋x 8＝4×2＝8.2．已知a >0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值X 围是________．解析：由题知，当x ∈(－1,1)时，f (x )＝x 2－a x <12，即x 2－12<a x .在同一坐标系中分别作出二次函数y ＝x 2－12，指数函数y ＝a x的图象，如图，当x ∈(－1,1)时，要使指数函数的图象均在二次函数图象的上方，需⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥12，a 1≥12，a ≠1，所以12≤a ≤2且a ≠1.故实数a 的取值X 围是12≤a <1或1<a ≤2. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,2] [高频滚动]1．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c解析：选A 如图，在同一坐标系中，作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝2x，y ＝log 2x 和log 12x 的图象．由图象可知a <b <c .2．若不等式x 2－log a x <0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，则a 的取值X 围是________．解析：∵不等式x 2－log a x <0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，∴0<a <1，且14<log a 12.∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 14>12，解得116<a <1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1。

第十一节导数的应用(一)【考纲下载】1．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．函数的单调性与导数2．函数的极值(1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．(2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．(3)极值：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．3．函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0吗？f′(x)>0是否是f(x)在(a ，b )内单调递增的充要条件？提示：函数f (x )在(a ，b )内单调递增，则f ′(x )≥0，f ′(x )>0是f (x )在(a ，b )内单调递增的充分不必要条件．2．导数值为0的点一定是函数的极值点吗？“导数为0”是函数在该点取得极值的什么条件？提示：不一定．可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点；如函数f (x )＝x 3，在x ＝0处，有f ′(0)＝0，但x ＝0不是函数f (x )＝x 3的极值点；其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件．3．函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？提示：极值是局部概念，指某一点附近函数值的比较，因此，函数的极大(小)值，可以比极小(大)值小(大)；最值是整体概念，最大、最小值是指闭区间[a ，b ]上所有函数值的比较．因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a ，b )内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．1．如图所示是函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下列判断中正确的是( ) A ．函数f (x )在区间(－3,0)上是减函数 B ．函数f (x )在区间(－3,2)上是减函数 C ．函数f (x )在区间(0,2)上是减函数 D ．函数f (x )在区间(－3,2)上是单调函数解析：选A 当x ∈(－3,0)时，f ′(x )<0，则f (x )在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．2．函数f (x )＝e x－x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，1] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(0，＋∞)解析：选D ∵f (x )＝e x－x ，∴f ′(x )＝e x－1，由f ′(x )>0，得e x－1>0，即x >0. 3．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D f (x )＝2x ＋ln x ，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2，当x >2时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数；当x <2时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数，据此知x ＝2为f (x )的极小值点．4．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的最大值是________．解析：f ′(x )＝3x 2－a ≥0，即a ≤3x 2，又∵x ∈[1，＋∞)，∴a ≤3，即a 的最大值是3. 答案：35．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________．解析：f ′(x )＝x 2＋2x －3，令f ′(x )＝0得x ＝1(x ＝－3舍去)，又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0,2]上的最小值是f (1)＝－173. 答案：－173[例1] (2013·重庆高考改编)设f (x ) ＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．[自主解答] (1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝ x －2 x －3 x .令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．故函数f (x )的单调递增区间为(0,2)和(3，＋∞)，单调递减区间为(2,3)．【互动探究】若函数f (x )＝2x －k x ＋k3在(1，＋∞)上是增函数，求k 的取值范围．解：由题意知f ′(x )＝2＋k x2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ≥(－2x 2)max ，又y ＝－2x 2在(1，＋∞)上单调递减，所以(－2x 2)max ＝－2，所以k ≥－2，即k 的取值范围是[－2，＋∞)．【方法规律】利用导数研究函数的单调性应注意三点(1)在区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是：∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒为零．(3)由函数f (x )在(a ，b )上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x ) ≤0 )恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．已知函数f (x )＝3x a－2x 2＋ln x ，其中a 为常数．(1)若a ＝1，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围．解：(1)若a ＝1，则f (x )＝3x －2x 2＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－4x ＋3＝－4x 2＋3x ＋1x ＝－ 4x ＋1 x －1 x(x >0)．当x ∈(0,1)，f ′(x )>0时，函数f (x )＝3x －2x2＋ln x 单调递增．当x ∈(1，＋∞)，f ′(x )<0时，函数f (x )＝3x －2x 2＋ln x 单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)f ′(x )＝3a －4x ＋1x，若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0，即3a －4x ＋1x ≥0或3a －4x ＋1x≤0在[1,2]上恒成立．即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x .令h (x )＝4x －1x ，因为函数h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，解得a <0或0<a ≤25或a ≥1.1．函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题．2．高考对函数极值的考查主要有以下几个命题角度：(1)知图判断函数极值的情况；(2)已知函数求极值；(3)已知极值求参数．[例2] (1)(2012·重庆高考)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)(2)(2014·鹰潭模拟)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )A．2 B．3 C．6 D．9(3)(2013·福建高考)已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)．①当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；②求函数f(x)的极值．[自主解答] (1)①当x<－2时，1－x>0.∵(1－x)f′(x)>0，∴f′(x)>0，即f(x)在(－∞，－2)上是增函数．②当－2<x<1时，1－x>0.∵(1－x)f′(x)<0，∴f′(x)<0，即f(x)在(－2,1)上是减函数．③当1<x<2时，1－x<0.∵(1－x)f′(x)>0，∴f′(x)<0，即f(x)在(1,2)上是减函数．④当x>2时，1－x<0.∵(1－x)f′(x)<0，∴f′(x)>0，即f(x)在(2，＋∞)上是增函数．综上：f(－2)为极大值，f(2)为极小值．(2)∵f′(x)＝12x2－2ax－2b，f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b ＝6，又a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立，∴ab 的最大值为9.(3)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x. ①当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.②由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a lna ，无极大值．[答案] (1)D (2)D函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况．先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．(2)已知函数求极值．求f ′(x )―→求方程f ′(x )＝0的根―→列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根的附近两侧的符号―→下结论．(3)已知极值求参数．若函数f (x )在点(x 0，y 0)处取得极值，则f ′(x 0)＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反．1．(2013·浙江高考)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x－1)(x －1)k(k ＝1,2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1 处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值解析：选C 当k ＝1时，f (x )＝(e x－1)(x －1)，0,1是函数f (x )的零点．当0<x <1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)<0，当x >1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)>0,1不会是极值点．当k ＝2时，f (x )＝(e x －1)(x －1)2，零点还是0,1，但是当0<x <1，x >1时，f (x )>0，由极值的概念，知选C.2．已知函数f (x )＝ax －1－ln x (a ∈R )． (1)讨论函数f (x )在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，且对任意的x ∈(0，＋∞)，f (x )≥bx －2恒成立，求实数b 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x，x >0，①当a ≤0时，f ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f (x )在(0，＋∞)单调递减，∴f (x )在(0，＋∞)上没有极值点； ②当a >0时，令f ′(x )<0得0<x <1a ，令f ′(x )>0得x >1a，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，即f (x )在x ＝1a处有极小值．综上所述，当a ≤0时f (x )在(0，＋∞)上没有极值点；当a >0时，f (x )在(0，＋∞)上有一个极值点．(2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极值，∴由(1)可知a ＝1，∴f (x )＝x －1－ln x . 又∵f (x )≥bx －2，∴x －1－ln x ≥bx －2，即1＋1x －ln x x ≥b .令g (x )＝1＋1x －ln xx，g ′(x )＝ln x －2x2，∴当0<x <e 2时，g ′(x )<0，即g (x )在(0，e 2)上为减函数；当x >e 2时，g ′(x )>0，即g (x )在(e 2，＋∞)上为增函数，∴g (x )在x ＝e 2处取得最小值，∴g (x )min ＝g (e 2)＝1－1e 2，即b ≤1－1e 2.故实数b 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－1e 2.[例3] (2013·广东高考)设函数f (x )＝(x －1)·e x－kx 2(k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，求函数f (x )在[0，k ]上的最大值M .[自主解答] (1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x－x 2，f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x e x－2x ＝x (e x－2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表：(2)f ′(x )＝e x＋(x －1)e x－2kx ＝x e x－2kx ＝x (e x－2k )，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln(2k )，令g (k )＝ln(2k )－k ，则g ′(k )＝1k －1＝1－k k ≥0，所以g (k )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上递增，所以g (k )≤ln 2－1＝ln 2－ln e<0，从而ln(2k )<k ，所以ln (2k )∈[0，k ]，所以当x ∈(0，ln(2k ))时，f ′(x )<0；当x ∈(ln (2k )，＋∞)时，f ′(x )>0；所以M ＝max{f (0)，f (k )}＝max{－1，(k －1)e k－k 3}．令h (k )＝(k －1)e k －k 3＋1，则h ′(k )＝k (e k－3k )，令φ(k )＝e k －3k ，则φ′(k )＝e k－3≤e －3<0，所以φ(k )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上递减，而φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·φ(1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e －32(e －3)<0，所以存在x 0∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1使得φ(x 0)＝0，且当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x 0时，φ(k )>0，当k ∈(x 0,1)时，φ(k )<0，所以φ(k )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x 0上单调递增，在(x 0,1)上单调递减．因为h (12)＝－12 e ＋78>0，h (1)＝0，所以h (k )≥0在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上恒成立，当且仅当k ＝1时等号成立．综上，函数f (x )在[0，k ]上的最大值M ＝(k －1)e k－k 3.【方法规律】求函数f (x )在[a ，b ]上最值的方法(1)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数f (x )在区间(a ，b )内有极值，先求出函数f (x )在区间(a ，b )上的极值，与f (a )、f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(3)函数f (x )在区间(a ，b )上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．已知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax .(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若|a |>1，求f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值．解：(1)当a ＝1时，f ′(x )＝6x 2－12x ＋6，所以f ′(2)＝6.又因为f (2)＝4，所以切线方程为y ＝6x －8.(2)记g (a )为f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值．f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )．令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝a . 当a >1时，比较f (0)＝0和f (a )＝a 2(3－a )的大小可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1<a ≤3，a 23－a ，a >3.当a <－1时，＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1，a <－1，0，－1<a ≤3，a 2 3－a ，a >3.————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个流程——解决函数极值问题的一般流程 求定义域用极值验根左右f ′ x 的符号极值 参数值 范围 2个关系——导数与单调性、极值的关系(1)f ′(x )>0在(a ，b )上成立，是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分不必要条件． (2)对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件．3个注意点——利用导数求极值应注意三点(1)求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则； (2)f ′(x 0)＝0时，x 0不一定是极值点；(3)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论.压轴大题巧突破(一)利用导数研究函数的极值、最值问题[典例] (2013·浙江高考)(14分)已知a ∈R ，函数f (x )＝x 3－3x 2＋3ax －3a ＋3. (1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)当x ∈[0,2]时，求|f (x )|的最大值． [化整为零破难题](1)切点处的导数值即为切线的斜率，求导后计算出斜率，写出切线方程即可； (2)基础问题1：|f (x )|的最大值与f (x )的最值之间有什么关系？如果函数f (x )的最大值为M ，最小值为m ，则|f (x )|的最大值必定是|M |和|m |中的一个．因此要求|f (x )|的最大值，应求f (x )的最值．基础问题2：如何求函数y ＝f (x )，x ∈[0,2]的最值？由于f (x )是关于x 的三次函数，因此，f (x )在[0,2]上的最值为函数f (x )在[0,2]上的端点值或极值．从而只要求出f (x )在[0,2]上的端点值f (0)，f (2)及其极值，然后比较其绝对值的大小即可．基础问题3：如何求f (x )在[0,2]上的极值？要求f (x )在[0,2]上的极值，应利用导数研究函数f (x )在区间[0,2]上的单调性，即研究f ′(x )＝3(x －1)2＋3(a －1)(0≤x ≤2)的函数值符号，由于0≤x ≤2，所以0≤3(x －1)2≤3.故应分3(a －1)≥0,3(a －1)≤－3，－3<3(a －1)<0，即a ≥1，a ≤0,0<a <1三种情况讨论．当a ≥1或a ≤0时，函数f (x )为单调函数，故只需比较|f (0)|与|f (2)|的大小即可；当0<a <1时，f (x )在区间[0,2]上存在极大值和极小值．基础问题4：如何比较|f (0)|、|f (2)|、|f (x )极大值|与|f (x )极小值|的大小？计算f (x )极大值＋f (x )极小值＝2>0，f (x )极大值－f (x )极小值>0，从而可确定f (x )极大值>|f (x )极小值|.因此|f (x )|max ＝max {}|f 0 |，|f 2 |，f x 极大值，由于0<a <23时，|f (0)|>|f (2)|，23≤a <1时，|f (2)|＝f (2)≥|f (0)|.故当0<a <23时，只需比较|f (0)|与f (x )极大值的大小即可；当23≤a <1时，只需比较f (2)与f (x )极大值的大小即可． [规范解答不失分](1)由题意得f ′(x )＝3x 2－6x ＋3a ，故f ′(1)＝3a －3. 2分又f (1)＝1，所以所求的切线方程为y ＝(3a －3)x －3a ＋4. 4分 (2)由于f ′(x )＝3(x －1)2＋3(a －1)，0≤x ≤2，故 (ⅰ)当a ≤0时①，有f ′(x )≤0，此时f (x )在[0,2]上单调递减，故|f (x )|max ＝max{|f (0)|，|f (2)|}＝3－3a .5分(ⅱ)当a ≥1时①，有f ′(x )≥0，此时f (x )在[0,2]上单调递增，故|f (x )|max ＝max{|f (0)|，|f (2)|}＝3a－1.6分(ⅲ)当0<a <1时，设x 1＝1－1－a ，x 2＝1＋1－a ，则0<x 1<x 2<2，f ′(x )＝3(x －x 1)(x －x 2)．列表如下：由于f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a ，f (x 2)＝1－2(1－a )·1－a ，8分故f (x 1)＋f (x 2)＝2>0，f (x 1)－f (x 2)＝4(1－a )· 1－a >0，从而f (x 1)>|f (x 2)|.②所以|f (x )|max＝max{f (0)，|f (2)|，f (x 1)}.10分a .当0<a <23时③，f (0)>|f (2)|.又f (x 1)－f (0)＝2(1－a )1－a －(2－3a )＝a 2 3－4a2 1－a 1－a ＋2－3a>0，故|f (x )|max ＝f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a .11分b .当23≤a <1时③，|f (2)|＝f (2)，且f (2)≥f (0)．又f (x 1)－|f (2)|＝2(1－a )1－a －(3a －2)＝a 2 3－4a 2 1－a 1－a ＋3a －2，所以当23≤a <34时④，f (x 1)>|f (2)|.故f (x )max ＝f (x 1)＝1＋2(1－a )1－a .12分 当34≤a <1时④，f (x 1)≤|f (2)|.故f (x )max ＝|f (2)|＝3a － 1.13分综上所述，|f (x )|max ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－3a ， a ≤0，1＋2 1－a 1－a ，0<a <34，3a －1， a ≥34.14分易错警示要牢记][全盘巩固]1．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )解析：选C 依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数，又a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )．2．(2014·淄博模拟)若函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 有极值，则导函数f ′(x )的图象不可能是( )解析：选 D 若函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 有极值，则此函数在某点两侧的单调性相反，也就是说导函数f ′(x )在此点两侧的导函数值的符号相反，所以导函数的图象要穿过x 轴，观察四个选项中的图象只有D 项是不符合要求的，即f ′(x )的图象不可能是D.3．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选B 函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝ x －1 x ＋1x ，令y ′≤0，可得0<x ≤1.4．(2013·福建高考)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点 解析：选D 取函数f (x )＝x 3－x ，则x ＝－33为f (x )的极大值点，但f (3)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，排除A ；取函数f (x )＝－(x －1)2，则x ＝1是f (x )的极大值点，但－1不是f (－x )的极小值点，排除B ；－f (x )＝(x －1)2，－1不是－f (x )的极小值点，排除C.5．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( ) A ．－2或2 B ．－9或3 C ．－1或1 D ．－3或1解析：选A ∵y ′＝3x 2－3，∴当y ′＝0时，x ＝±1.则x ，y ′，y 的变化情况如下表：2或c ＝2.6．(2013·湖北高考)已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，则( )A ．f (x 1)>0，f (x 2)>－12B ．f (x 1)<0，f (x 2)<－12C ．f (x 1)>0，f (x 2)<－12D ．f (x 1)<0，f (x 2)>－12解析：选D f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，依题意知f ′(x )＝0有两个不等实根x 1，x 2. 即曲线y 1＝1＋ln x 与y 2＝2ax 有两个不同交点，如图．由直线y ＝x 是曲线y 1＝1＋ln x的切线，可知：0<2a <1，且0<x 1<1<x 2.∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.由0<x 1<1，得f (x 1)＝x 1(ln x 1－ax 1)<0，当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0，当x >x 2时，f ′(x )<0，∴f (x 2)>f (1)＝－a >－12.7．(2014·赣州模拟)若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a的值为________．解析：∵f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a .又函数f (x )恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f ′(x )＝0的两根，∴a ＝－1×4＝－4.答案：－48．已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝________. 解析：∵f ′(x )＝3x2＋6mx＋n ，∴由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f －1 ＝ －1 3＋3m －1 2＋n －1 ＋m 2＝0，f ′ －1 ＝3× －1 2＋6m －1 ＋n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝9，当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0恒成立与x ＝－1是极值点矛盾，当⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)，显然x ＝－1是极值点，符合题意，∴m ＋n ＝11.答案：119．已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如表，f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，下列是关于函数f (x )的命题： ①函数f (x )的值域为[1,2]； ②函数f (x )在[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点． 其中真命题的是________(填写序号)．解析：由题意可知函数f (x )的单调增区间为(－1,0)，(2,4)；单调减区间为(0,2)，(4,5)，且f (x )的极小值为f (2)，由于f (2)未知，故①④均错误，又因为f (x )的最大值为f (0)＝f (4)＝2，故③错误．答案：②10．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x(ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．解：(1)f ′(x )＝e x(ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4. 故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎪⎫e x －12.令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．11.已知函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x在[0,1]上单调递减且满足f (0)＝1，f (1)＝0. (1)求a 的取值范围；(2)设g (x )＝f (x )－f ′(x )，求g (x )在[0,1]上的最大值和最小值．解：(1)由f (0)＝1，f (1)＝0得c ＝1，a ＋b ＝－1，则f (x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x，f ′(x )＝[ax 2＋(a －1)x －a ]e x .依题意须对于任意x ∈(0,1)，有f ′(x )<0.当a >0时，因为二次函数y ＝ax 2＋(a －1)x －a 的图象开口向上，而f ′(0)＝－a <0，所以须f ′(1)＝(a －1)e<0，即0<a <1；当a ＝1时，对任意x ∈(0,1)有f ′(x )＝(x 2－1)e x<0，f (x )符合条件； 当a ＝0时，对于任意x ∈(0,1)，f ′(x )＝－x e x<0，f (x )符合条件； 当a <0时，因f ′(0)＝－a >0，f (x )不符合条件． 故a 的取值范围为[0,1]．(2)因为g (x )＝(－2ax ＋1＋a )e x，所以g ′(x )＝(－2ax ＋1－a )e x.①当a ＝0时，g ′(x )＝e x>0，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1，在x ＝1处取得最大值g (1)＝e.②当a ＝1时，对于任意x ∈(0,1)有g ′(x )＝－2x e x<0，g (x )在x ＝0处取得最大值g (0)＝2，在x ＝1处取得最小值g (1)＝0.③当0<a <1时，由g ′(x )＝0得x ＝1－a2a>0.(ⅰ)若1－a 2a ≥1，即0<a ≤13时，g (x )在[0,1]上单调递增，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ，在x ＝1处取得最大值g (1)＝(1－a )e.(ⅱ)若1－a 2a <1，即13<a <1时，g (x )在x ＝1－a 2a 处取得最大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2a ＝2a e 1－a 2a ，在x ＝0或x ＝1处取得最小值，而g (0)＝1＋a ，g (1)＝(1－a )e ，则当13<a ≤e －1e ＋1时，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ；当e －1e ＋1<a <1时，g (x )在x ＝1处取得最小值g (1)＝(1－a )e. 12．已知函数f (x )＝ln x －12ax 2＋x ，a ∈R .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )的极值大于0？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意得，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax ＋1＝－ax 2－x －1x.①当a ＝0时，f ′(x )＝1＋x x，∵x >0，∴f ′(x )>0.∴函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a ≠0时，令f ′(x )＝0，得－ax 2－x －1x＝0，∵x >0，∴ax 2－x －1＝0，Δ＝1＋4a .(ⅰ)当Δ≤0，即a ≤－14时，得ax 2－x －1≤0，故f ′(x )≥0，∴函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．(ⅱ)当Δ>0，即a >－14时，方程ax 2－x －1＝0的两个实根分别为x 1＝1－1＋4a 2a ，x 2＝1＋1＋4a 2a .若－14<a <0，则x 1<0，x 2<0，此时，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，若a >0，则x 1<0，x 2>0，此时，当x ∈(0，x 2)时，f ′(x )>0，当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )<0.∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋4a 2a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2a ，＋∞.综上所述，当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋4a 2a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2a ，＋∞；当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．(2)由(1)得，当a ≤0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋4a 2a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2a ，＋∞，则f (x )有极大值，极大值为f (x 2)＝ln x 2－12ax 22＋x 2，其中x 2＝1＋1＋4a2a. 而ax 22－x 2－1＝0，即ax 22＝x 2＋1，∴f (x 2)＝ln x 2＋x 2－12.设函数h (x )＝ln x ＋x －12(x >0)，则h ′(x )＝1x ＋12>0，则h (x )＝ln x ＋x －12在(0，＋∞)上为增函数．又h (1)＝0，则h (x )>0等价于x >1.∴f (x 2)＝ln x 2＋x 2－12>0等价于x 2>1.即当a >0时，方程ax 2－x －1＝0的正根大于1.设φ(x )＝ax 2－x －1，由于φ(x )的图象是开口向上的抛物线，且经过点(0，－1)，对称轴x ＝12a>0，则只需φ(1)<0，即a －1－1<0，解得a <2，又a >0，所以0<a <2.故存在满足条件的实数a ，且实数a 的取值范围为(0,2)． [冲击名校] 设函数f (x )＝x e x .(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)(2)是否存在实数a ，使得对任意的x 1、x 2∈(a ，＋∞)，当x 1<x 2时恒有f x 2 －f a x 2－a >f x 1 －f ax 1－a成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)f ′(x )＝(1＋x )e x.令f ′(x )＝0，得x ＝－1.f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下：∴f (x )f (x )极小值＝f (－1)＝－1e.(2)设g (x )＝f x －f ax －a，由题意，对任意的x 1、x 2∈(a ，＋∞)，当x 1<x 2时恒有g (x 2)>g (x 1)，即y ＝g (x )在(a ，＋∞)上是单调递增函数．(3)又g ′(x )＝f ′ x x －a －[f x －f a ] x －a 2＝ 1＋x e x x －a －x e x ＋a e ax －a2＝ x 2＋x －ax －a e x －x e x ＋a e a x －a 2＝x 2e x －ax e x －a e x ＋a eax －a2，∴∀x ∈(a ，＋∞)，g ′(x )≥0. 令h (x )＝x 2e x－ax e x －a e x ＋a e a ，h ′(x )＝2x e x ＋x 2e x －a (1＋x )e x －a e x ＝x (x ＋2)e x－a (x ＋2)e x ＝(x ＋2)(x －a )e x.若a ≥－2，当x >a 时，h ′(x )>0，h (x )为(a ，＋∞)上的单调递增函数，∴h (x )>h (a )＝0，不等式成立．若a <－2，当x ∈(a ，－2)时，h ′(x )<0，h (x )为(a ，－2)上的单调递减函数，∴∃x 0∈(a ，－2)，h (x 0)<h (a )＝0，与∀x ∈(a ，＋∞)，h (x )≥0矛盾．综上，a 的取值范围为[－2，＋∞)．[高频滚动]1．过点A (2,1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有( ) A ．3条 B ．2条 C ．1条 D ．0条解析：选A 由题意得，f ′(x )＝3x 2－3，设切点为(x 0，x 30－3x 0)，那么切线的斜率为k ＝3x 20－3，利用点斜式方程可知切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，将点A (2,1)代入可得关于x 0的一元三次方程，利用导数的思想可知方程有三个解，故过点A (2,1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有3条．2．已知函数f (x )＝x 3＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，则函数f (x )的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23处的切线方程是________．解析：由f (x )＝x 3＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，可得f ′(x )＝3x 2＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23－1，解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－1，即f (x )＝x 3－x 2－x .则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233－⎝ ⎛⎭⎪⎫232－23＝－2227，故函数f (x )的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23处的切线方程是y ＋2227＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23，即27x ＋27y ＋4＝0.答案：27x ＋27y ＋4＝0。

第四节 数 列 求 和1．熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式． 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．1．公式法与分组求和法 (1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和． ①等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d .②等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1－q n1－q ，q ≠1.(2)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．(2)并项求和法在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.3．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．1．求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．你认为该说法正确吗？为什么？提示：不正确．当a ≠0，且a ≠1时，可用错位相减法求解．2．如果数列{a n }是周期为k (k 为大于1的正整数)的周期数列，那么S km ＝mS k .你认为该说法正确吗？提示：正确．3．如果数列{a n }是公差为d (d ≠0)的等差数列，则1a n a n ＋1与1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1相等吗？提示：相等．1．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，前n 项和为9，则n ＝( )A ．9B ．99C ．10D ．100解析：选B ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1. ∴n ＋1－1＝9，即n ＋1＝10，∴n ＝99.2．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( )A ．2n ＋n 2－1B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n＋n －2 解析：选C S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n －1)＝(2＋22＋ (2))＋2(1＋2＋3＋…＋n )－n＝－2n 1－2＋2×n n ＋2－n ＝2(2n －1)＋n 2＋n －n ＝2n ＋1＋n 2－2.3．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15解析：选A ∵a n ＝(－1)n(3n －2)．∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋(－13＋16)＋(－19＋22)＋(－25＋28)＝3×5＝15. 4．一个数列{a n }，当n 是奇数时，a n ＝5n ＋1；当n 为偶数时，a n ＝2n2，则这个数列的前2m 项的和是________．解析：当n 为奇数时，{a n }是以6为首项，以10为公差的等差数列；当n 为偶数时，{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以，S 2m ＝S 奇＋S 偶＝ma 1＋m m －2×10＋a 2－2m1－2＝6m ＋5m (m －1)＋2(2m－1)＝6m ＋5m 2－5m ＋2m ＋1－2＝2m ＋1＋5m 2＋m －2.答案：2m ＋1＋5m 2＋m －25．已知数列{a n }的前n 项和为S n 且a n ＝n ·2n，则S n ＝________.解析：∵a n ＝n ·2n ，∴S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n.①∴2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.② ①－②，得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2n 1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2.∴S n ＝(n －1)2n ＋1＋2.答案：(n －1)2n ＋1＋2[例1] (2013·浙江高考)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.[自主解答] (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2，即d 2－3d －4＝0.故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *. (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n|＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.【方法规律】三类可以使用公式求和的数列(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解．(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式求解．(3)等差数列各项加上绝对值，等差数列的通项公式乘以(－1)n已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2·3n －1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)nn ln 3，求其前n 项和S n .解：S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn ]ln 3，所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n1－3＋n 2ln 3＝3n＋n 2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n1－3－(ln 2－ln 3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－n ln 3＝3n －n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n＋n2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1，n 为奇数.[例2] 已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，n ∈N *，证明T n －8＝a n －1b n ＋1(n ∈N *，n ≥2)．[自主解答] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .由条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2＋3d ＋2q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2. 所以a n ＝3n －1，b n ＝2n ，n ∈N *. (2)证明：由(1)，得T n ＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n －1)×2n ，①2T n ＝2×22＋5×23＋…＋(3n －4)×2n ＋(3n －1)×2n ＋1.② 由①－②，得－T n ＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n －(3n －1)×2n ＋1＝－2n1－2－(3n －1)×2n ＋1－2＝－(3n －4)×2n ＋1－8，即T n －8＝(3n －4)×2n ＋1.而当n ≥2时，a n －1b n ＋1＝(3n －4)×2n ＋1，所以T n －8＝a n －1b n ＋1，n ∈N *，n ≥2. 【互动探究】在本例(2)中，若T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋…＋a 1b n ，n ∈N *，求证：T n ＋12＝－2a n ＋10b n (n ∈N *)． 证明：由(1)，得T n ＝2a n ＋22a n －1＋23a n －2＋…＋2n a 1，①2T n ＝22a n ＋23a n －1＋…＋2n a 2＋2n ＋1a 1.②②－①，得T n ＝－2(3n －1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n ＋2n ＋2＝－2n －11－2＋2n ＋2－6n ＋2＝10×2n－6n －10.而－2a n ＋10b n －12＝－2(3n －1)＋10×2n －12＝10×2n－6n －10，故T n ＋12＝－2a n ＋10b n ，n ∈N *.【方法规律】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．已知函数f (x )＝x 2＋bx 为偶函数，数列{a n }满足a n ＋1＝2f (a n －1)＋1，且a 1＝3，a n >1. (1)设b n ＝log 2(a n －1)，求证：数列{b n ＋1}为等比数列； (2)设c n ＝nb n ，求数列{c n }的前n 项和S n .解：(1)证明：∵函数f (x )＝x 2＋bx 为偶函数，∴b ＝0，∴f (x )＝x 2，∴a n ＋1＝2f (a n －1)＋1＝2(a n －1)2＋1，∴a n ＋1－1＝2(a n －1)2. 又a 1＝3，a n >1，b n ＝log 2(a n －1)，∴b 1＝log 2(a 1－1)＝1， ∴b n ＋1＋1b n ＋1＝log 2a n ＋1－＋1log 2a n －＋1＝log 2a n －2]＋1log 2a n －＋1＝2＋2log 2a n －log 2a n －＋1＝2， ∴数列{b n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．(2)由(1)，得b n ＋1＝2n ，∴b n ＝2n －1，∴c n ＝nb n ＝n 2n－n ，设A n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n，则2A n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，∴－A n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝－2n 1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－n ×2n ＋1－2，∴A n ＝(n －1)2n ＋1＋2.设B n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ，则B n ＝n n ＋2，∴S n ＝A n －B n ＝(n －1)2n ＋1＋2－n n ＋2.1．裂项相消法求和是每年高考的热点，题型多为解答题，难度适中，属中档题． 2．高考对裂项相消法的考查常有以下两个命题角度：(1)直接考查裂项相消法求和；(2)与不等式相结合考查裂项相消法求和．[例3] (2013·广东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.[自主解答] (1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减，得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1， 又a 22－a 11＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1，公差为1的等差数列， 所以a nn＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2.(3)证明：当n ＝1时，1a 1＝1<74；当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14＝54<74；当n ≥3时，1a n ＝1n 2<1n －n ＝1n －1－1n，此时1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1＋122＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n <74. 综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.裂项相消法求和问题的常见类型及解题策略(1)直接考查裂项相消法求和．解决此类问题常用的裂项有：1nn ＋＝1n －1n ＋1；1n －n ＋＝12⎝⎛ 12n －1－⎭⎪⎫12n ＋1；1n ＋n ＋1＝n ＋1－n . (2)与不等式相结合考查裂项相消法求和．解决此类问题应分两步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式．1．正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝1n ＋a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n )(a n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n .(2)已知a n ＝2n ，b n ＝1n ＋a n ，则b n ＝12n n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n n ＋. 2．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1log 12a n ，c n ＝b n b n ＋1n ＋1＋n ，记S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，证明：S n <1.解：(1)由题意a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＋2n －1a n ＝n2，n ∈N *，当n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝n －12.两式相减，得2n －1a n ＝n 2－n －12＝12.所以，当n ≥2时，a n ＝12n .当n ＝1时，a 1＝12也满足上式，所求通项公式a n ＝12n (n ∈N *)．(2)证明：b n ＝1log 12a n ＝1log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1n ，c n ＝n ＋1－nn n ＋＝1n－1n ＋1，S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1<1.——————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————种思路——解决非等差、等比数列求和问题的两种思路(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．(2)不能转化为等差或等比数列的，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和．个注意点——应用“裂项相消法”和“错位相减法”应注 意的问题 (1)裂项相消法，分裂通项是否恰好等于相应的两项之差．(2)在正负项抵消后，是否只剩下第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项，未消去的项有前后对称的特点．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比含有参数，应分q ＝1和q ≠1两种情况求解．答题模板(四)利用错位相减法解决数列求和[典例] (2013·山东高考)(12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n .[快速规范审题]第(1)问1．审结论，明解题方向观察所求结论：求{a n }的通项公式――→由于{a n }为等差数列应求a 1和d . 2．审条件，挖解题信息观察条件：{a n }为等差数列，S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1――→建立关于a 1和d 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋n －d ＝2a 1＋n －d ＋1. 3．建联系，找解题突破口由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1建立关于a 1和d 的方程组――→可求a 1和d a 1＝1，d ＝2――→利用公式a n ＝2n －1.第(2)问1．审结论，明解题方向观察所求结论：求{b n }的前n 项和T n ―→应求{b n }的通项公式b n . 2．审条件，挖解题信息观察条件：b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n＝1－12n即⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 的前n 项和为nn A 211-=利用b n a n ＝A n －A n －1可求b n a n――→由知a n可求b n .3．建联系，找解题突破口 由b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n 求b n a n bn an =An －An －1b n a n ＝12n――→由知a n ＝2n －1可求b n ＝2n －12n――→利用错位相减法求T n ., [准确规范答题](1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1，得 ⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋n －d ＝2a 1＋n －d ＋1， ⇨2分 解得a 1＝1，d ＝2 ⇨4分因此a n ＝2n －1，n ∈N *. ⇨5分(2)由已知b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *，此处易忽视对n ＝1的讨论当n ＝1时，b 1a 1＝12； ⇨6分当n ≥2时，b n a n ＝1－12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1＝12n ，⇨7分所以b n a n ＝12n ，n ∈N *. ⇨8分由(1)知a n ＝2n －1，n ∈N *，所以b n ＝2n －12n ，n ∈N *. ⇨9分又T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ，12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1，⇨10分两式相减，得此处易搞错作差后的第1项和最后项而致误12T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1， ⇨11分 所以T n ＝3－2n ＋32n . ⇨12分[答题模板速成]用错位相减法解决数列求和的步骤：[全盘巩固]1．(2014·西安模拟)设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若－a m <a 1<－a m ＋1(m ∈N *，且m ≥2)，则必定有( )A ．S m >0，且S m ＋1<0B ．S m <0，且S m ＋1>0C ．S m >0，且S m ＋1>0D ．S m <0，且S m ＋1<0解析：选A ∵－a m < a 1<－a m ＋1，∴a 1＋a m >0，a 1＋a m ＋1<0，∴S m >0，且S m ＋1<0.2．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5B.3116或5C.3116D.158解析：选C 设{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由题意得－q31－q＝1－q 61－q ，所以1＋q 3＝9，得q ＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.3．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )A ．n 2＋1－12nB ．2n 2－n ＋1－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12n解析：选A 该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n. 4．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14nB ．1－12n C.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n D.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n解析：选C a n ＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n . 5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，设S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 014＝( )A ．22 014－1B ．3×21 007－3C ．3×21 007－1D ．3×21 007－2解析：选B 由a n ＋2a n ＋1a n ＋1a n ＝a n ＋2a n ＝2n ＋12n ＝2，且a 2＝2，得数列{a n }的奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列，故S 2 014＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 014)＝1－21 0071－2＋－21 0071－2＝3×21 007－3.6．设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1fn (n ∈N *)的前n 项和是( )A.nn ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n解析：选A ∵f ′(x )＝mx m －1＋a ，∴m ＝2，a ＝1.∴f (x )＝x 2＋x ，f (n )＝n 2＋n .∴1f n ＝1n 2＋n ＝1n n ＋＝1n －1n ＋1， 令S n ＝1f ＋1f ＋1f ＋…＋1f n －＋1f n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 7．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以q ＝－2；等比数列{|a n |}的公比为|q |＝2，则|a n |＝12×2n －1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝12(2n －1)＝2n －1－12.答案：－2 2n －1－128．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：∵a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n.∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－29．(2013·湖南高考)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________.解析：(1)当n ＝1时，S 1＝(－1)a 1－12，得a 1＝－14.当n ≥2时，S n ＝(－1)n(S n －S n －1)－12n .当n 为偶数时，S n －1＝－12n ，从而S 1＝－14，S 3＝－116，当n 为奇数时，S n ＝12S n －1－12n ＋1，所以S 3＝12S 2－124＝－116，得S 2＝0，则S 3＝S 2＋a 3＝a 3＝－116.(2)由(1)得S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 99＝－122－124－126－…－12100，S 101＝－12102，又S 2＋S 4＋S 6＋…＋S 100＝2S 3＋123＋2S 5＋125＋2S 7＋127＋…＋2S 101＋12101＝0，故S 1＋S 2＋…＋S 100＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1. 答案：－116 13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1 10．设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)由题设可得，f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x ．对任意n ∈N *，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列．由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得{a n }的公差d ＝1， 所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1.(2)由b n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n n ＋2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n .11．已知数列{a n }的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成等差数列{S 5＝15.(1)若数阵中从第3且公比相等，已知a 9＝16，求a 50的值；(2)设T n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n，求T n .解：(1)设等差数列{b n }的公差为d .∵b 1＝1，S 5＝15，∴S 5＝5＋10d ＝15，d ＝1， ∴b n ＝1＋(n －1)×1＝n .设从第3行起，每行的公比都是q ，且q >0，则a 9＝b 4q 2，即4q 2＝16，q ＝2，又1＋2＋3＋…＋9＝45，故a 50是数阵中第10行的第5个数，a 50＝b 10q 4＝10×24＝160.(2)∵S n ＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋2，∴T n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ＝2n ＋n ＋＋2n ＋n ＋＋…＋22n n ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－12n ＋1＝2nn ＋n ＋.12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2.设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n ＝λ(λ为常数)．令c n ＝b 2n (n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n .解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝1满足上式．∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．故T n ＝λ－n2n －1，所以n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－n2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1. 故c n ＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，n ∈N *，所以R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫140＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，则14R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n， 两式相减，得34R n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝13－1＋3n 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ， 整理，得R n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.所以数列{c n }的前n 项和R n ＝19⎝⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.[冲击名校]1．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3 690 B ．3 660 C ．1 845 D ．1 830解析：选D 当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1，当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k －1＝4k －3， ∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，∴a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2，∴a 2k －1＝a 2k ＋3，∴a 1＝a 5＝…＝a 61.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61)＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1)＝＋2＝30×61＝1 830.2．设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．(1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.证明：由题设，S n ＝na ＋n n －2d .(1)由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12d .又b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .(2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS nn 2＋c＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有⎝⎛⎭⎪⎫d 1－12d n 3＋⎝⎛⎭⎪⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c (d 1－b 1)．令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c (d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D .(*)在(*)式中分别取n ＝1,2,3,4，得 A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ 7A ＋3B ＋cd 1＝0，19A ＋5B ＋cd 1＝0，21A ＋5B ＋cd 1＝0，①②③由②③，得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0.即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0.若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.又cd 1＝0，所以c ＝0. [高频滚动]1．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29解析：选C 设数列{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×54，∴a 7＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2×54－a 4＝14.∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12.∴a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2，∴a 1＝16，∴S 5＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31.2．已知数列{a n }是等比数列，若a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n )解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q .∵a 2＝2，a 5＝14，∴q 3＝a 5a 2＝18，∴a 1＝4，q ＝12，∴a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3，∴a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －5＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝323(1－4－n)．。

第五节 数列的综合问题【考纲下载】能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识 解决相应的问题．1．数列综合应用题的解题步骤(1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题． (2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等．(3)求解——分别求解这些小题或这些“步骤”，从而得到整个问题的解答． 2．常见的数列模型(1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解决问题．(2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数列，利用等比数列有关知识解决问题．(3)递推公式模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推式表达出来，然后通过分析递推关系式求解．1．设本金为a ，每期利率为r ，存期为n ，若按单利计算，本利和是多少？此模型是等差数列模型还是等比数列模型？提示：本利和为a (1＋rn )，属等差数列模型．2．设本金为a ，每期利率为r ，存期为n ，若按复利计算，本利和是多少？此模型是等差数列模型还是等比数列模型？提示：本利和为a (1＋r )n，属等比数列模型．1．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4B.n 23＋5n 3C.n 22＋3n 4D ．n 2＋n 解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d .∵a 1，a 3，a 6成等比数列， ∴a 23＝a 1·a 6，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋5d )．又a 1＝2，∴(2＋2d )2＝2×(2＋5d )，解之得d ＝12或d ＝0(舍)．∴S n ＝na 1＋n n －1 2d ＝2n ＋n n －1 4＝n 24＋7n4.2．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则 a ＋b2cd的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D ∵x ，a ，b ，y 成等差数列，∴a ＋b ＝x ＋y ，又x ，c ，d ，y 成等比数列，∴cd ＝xy .∴ a ＋b 2cd ＝ x ＋y 2xy ＝2＋x 2＋y 2xy ≥2＋2xyxy＝4.当且仅当x ＝y 时取等号，所以a ＋b2cd的最小值是4.3.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题意知，第三列各数成等比数列，故x ＝1；第一行第五个数为6，第二行第五个数为3，故z ＝34；第一行第四个数为5，第二行第四个数为52，故y ＝54，从而x ＋y ＋z＝3.4．已知正项等差数列{a n }满足：a n ＋1＋a n －1＝a 2n (n ≥2)，等比数列{b n }满足：b n ＋1b n －1＝2b n (n ≥2)，则log 2(a 2＋b 2)＝________.解析：由题意可知a n ＋1＋a n －1＝2a n ＝a 2n ，解得a n ＝2(n ≥2)(由于数列{a n }每项都是正数，故a n ＝0舍去)，又b n ＋1b n －1＝b 2n ＝2b n (n ≥2)，所以b n ＝2(n ≥2)，所以log 2(a 2＋b 2)＝log 24＝2.答案：25．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝ 23a n －13，若1＜S k ＜9(k ∈N *)，则k 的值为________． 解析：由S n ＝23a n －13，得当n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1－13，则a 1＝－1.当n ≥2时，S n ＝23(S n －S n －1)－13，即S n ＝－2S n －1－1.令S n ＋p ＝－2(S n －1＋p )，得S n ＝－2S n －1－3p ，可知p ＝13.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋13是以－23为首项，－2为公比的等比数列．则S n ＋13＝－23×(－2)n －1，即S n ＝－23×(－2)n －1－13.由1＜－23×(－2)k －1－13＜9，k ∈N *，得k ＝4.答案：4考点一等差、等比数列的综合问题[例1] 在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2，q ≠0)．(1)设b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，证明：{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若a 3是a 6与a 9的等差中项，求q 的值，并证明：此时对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n＋6的等差中项．[自主解答] (1)证明：由题设a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2)，得a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)，即b n ＝qb n －1，n ≥2.又b 1＝a 2－a 1＝1，q ≠0，所以{b n }是首项为1，公比为q 的等比数列．(2)由(1)，得a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝q ，…，a n －a n －1＝q n －2(n ≥2)．将以上各式相加，得a n －a 1＝1＋q ＋q 2＋…＋q n －2(n ≥2)．所以当n ≥2时，有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，q ＝1，1＋1－q n －11－q ，q ≠1.上式对n ＝1也成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，q ＝1，1＋1－q n －11－q ，q ≠1.(3)由(2)，得当q ＝1时，显然a 3不是a 6与a 9的等差中项，故q ≠1.由a 3是a 6与a 9的等差中项，即2a 3＝a 6＋a 9，可得2q 2＝q 5＋q 8，由q ≠0，得q 6＋q 3－2＝0，整理，得(q 3)2＋q 3－2＝0，解得q 3＝－2或q 3＝1(舍去)．于是q ＝－32.而a n ＝1＋1－q n －11－q ，a n ＋3＝1＋1－q n ＋21－q ，a n ＋6＝1＋1－qn ＋51－q，所以a n ＋3＋a n ＋6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－q n ＋21－q ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－q n ＋51－q ＝2＋2－q n ＋2－q n ＋51－q ＝2＋2－q 3×q n －1－q 6×q n －11－q ＝2＋2－ －2 q n －1－ －2 2q n －11－q ＝2＋2－2q n －11－q ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋1－q n －11－q ＝2a n . 所以对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．【方法规律】解决等差、等比数列的综合问题的方法对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项，前n 项和以及等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013.解：(1)由已知有a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ，∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )，解得d ＝2(∵d >0)．∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3，∴b n ＝3·3n －2＝3n －1.(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n ＝a n ＋1，得当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n .两式相减得：n ≥2时，c n b n＝a n ＋1－a n ＝2.∴c n ＝2b n ＝2·3n －1(n ≥2)．又当n ＝1时，c 1b 1＝a 2，∴c 1＝3.∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013＝3＋6－2×32 0131－3＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.[例2] 某工业城市按照“十二五”(2011年至2015年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污．现以降低SO 2的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨，已知该城市2011年SO 2的年排放量约为9.3万吨．(1)按原计划，“十二五”期间该城市共排放SO 2约多少万吨？(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度．在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自2013年起，SO 2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p ，为使2020年这一年SO 2的年排放量控制在6万吨以内，求p 的取值范围．⎝ ⎛⎭⎪⎫参考数据： 823≈0.950 5， 923≈0.955 9[自主解答] (1)设“十二五”期间，该城市共排放SO 2约y 万吨，依题意，2011年至2015年SO 2的年排放量构成首项为9.3，公差为－0.3的等差数列，所以y ＝5×9.3＋5× 5－12×(－0.3)＝43.5(万吨)．所以按原计划“十二五”期间该城市共排放SO 2约43.5万吨． (2)由已知得， 2012年的SO 2年排放量为9.3－0.3＝9(万吨)，所以2012年至2020年SO 2的年排放量构成首项为9，公比为1－p 的等比数列． 由题意得9×(1－p )8＜6，由于0<p <1，所以1－p < 823，所以1－p <0.950 5，解得p >4.95%.所以SO 2的年排放量每年减少的百分率p 的取值范围为(4.95%,1)．【方法规律】解决数列应用题应注意的问题解决数列应用问题，要明确问题属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，是求a n 还是S n ，特别是要弄清项数．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．解：(1)由题意得a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4 500－52d .a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d .(2)由(1)得a n ＝32a n －1－d(3)＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32a n －2－d －d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322a n －2－32d －d…＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1a 1－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2.整理得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－d )－2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－3d )＋2d .由题意，a m ＝4 000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000.解得d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －2×1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1＝1 000 3m －2m ＋13m －2m. 故该企业每年上缴资金d 的值为1 000 3m －2m ＋13m －2m时，经过m (m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．1．数列与函数、 不等式的综合问题是每年高考的重点，多为解答题，难度偏大，属中高档题．2．高考对数列与函数、不等式的综合问题的考查常有以下两个命题角度： (1)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题； (2)考查与数列问题有关的不等式的证明问题．[例3] (2013·江西高考)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1 n ＋2 2a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. [自主解答] (1)由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n .于是a 1＝S 1＝2， n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)证明：由于a n ＝2n ，故b n ＝n ＋1 n ＋2 2a 2n ＝n ＋14n 2 n ＋2 2＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1 n ＋2 2. T n ＝1161－132＋122－142＋132－152＋…＋1 n －1 2－1 n ＋1 2＋1n 2－1 n ＋22＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1 n ＋1 2－1 n ＋2 2<116⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝564.数列与函数、不等式的综合问题的常见类型及解题策略(1)数列与不等式的恒成立问题．此类问题常构造函数，通过函数的单调性、极值等解决问题．(2)与数列有关的不等式证明问题．解决此类问题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等．1．已知函数f (x )＝ln x －x ，数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝12－a n.(1)求证：f (x )≤－1；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (3)求证不等式a 1＋a 2＋…＋a n <n ＋ln 2－ln(n ＋2)．证明：(1)令g (x )＝f (x )＋1＝ln x －x ＋1，g ′(x )＝1x －1＝1－xx，当0<x <1时，g ′(x )>0，当x >1时g ′(x )<0，故g (x )在x ＝1处取得极大值，也是最大值，所以g (x )≤g (1)＝0，故f (x )≤－1.(2)因为a n ＋1＝12－a n ，∴a n ＋1－1＝12－a n －1＝a n －12－a n，∴1a n ＋1－1＝1a n －1－1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为1a 1－1＝－2，公差d ＝－1的等差数列，∴1a n －1＝－n －1，∴a n ＝n n ＋1. (3)∵a n ＝1－1n ＋1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝1－12＋1－13＋…＋1－1n ＋1＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋…＋1n ＋1.由(1)知当x >1时，f (x )＋1<0，即ln x <x －1，令x ＝n ＋2n ＋1＝1n ＋1＋1，得ln n ＋2n ＋1<1n ＋1＋1－1＝1n ＋1，∴ln 32＋ln 43＋…＋ln n ＋2n ＋1<12＋13＋…＋1n ＋1，∴ln(n ＋2)－ln 2<12＋13＋…＋1n ＋1，∴n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋…＋1n ＋1<n ＋ln 2－ln(n ＋2)，∴a 1＋a 2＋…＋a n <n ＋ln 2－ln(n ＋2)．2．已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，已知a 1＋a 4＝－716，且对于任意的n ∈N *，有S n ，S n ＋2，S n ＋1成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知b n ＝n (n ∈N *)，记T n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 1a 1＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2a 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 3a 3＋…＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b n a n ，若(n －1)2≤m (T n －n －1)对于n ≥2恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)设数列{a n }的公比为q .∵S 1，S 3，S 2成等差数列，∴2S 3＝S 1＋S 2，∴2a 1(1＋q ＋q 2)＝a 1(2＋q )，解得q ＝－12，又a 1＋a 4＝a 1(1＋q 3)＝－716，∴a 1＝－12，∴a n ＝a 1q n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .(2)∵b n ＝n ，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪b n a n ＝n ·2n，∴T n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n，①2T n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，②①－②，得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1，∴T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2n ＋11－2－n ·2n ＋1＝(n －1)·2n ＋1＋2. 若(n －1)2≤m (T n －n －1)对于n ≥2恒成立，则(n －1)2≤m [(n －1)·2n ＋1＋2－n －1]，(n －1)2≤m (n －1)·(2n ＋1－1)，∴m ≥n －12n ＋1－1，令f (x )＝x －12x ＋1－1，可判断f (x )在x ∈[2，＋∞)上是减函数．则f (n )＝n －12n ＋1－1的最大值为f (2)＝17，∴m ≥17.故实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，＋∞.——————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————2种思想——函数思想与转化化归思想(1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)．(2)转化化归思想，a n与S n转化，一般数列与特殊数列的转化等．3个注意点——数列与函数、不等式、解析几何相结合应注意的问题(1)数列与解析几何结合时注意递推．(2)数列与不等式相结合时注意对不等式进行放缩．(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.前沿热点(八)数列中的三类探索性问题1．条件探索性问题此类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探求，或条件增删需确定，或条件正误需判定；解决此类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件，在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意．[典例1] 已知数列{a n}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和S n满足S n＋2＋S n＝2S n＋1＋1(n∈N*)；数列{b n}中，b1＝a1，b n＋1＝4b n＋6(n∈N*)．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设c n＝b n＋2＋(－1)n－1λ·2a n(λ为非零整数，n∈N*)，试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有c n＋1>c n成立．[解题指导] 处理第(2)问中的c n＋1>c n恒成立问题，可通过构造函数将问题转化为函数的最值问题，再来研究所构造的函数的最值．[解] (1)由已知得S n＋2－S n＋1－(S n＋1－S n)＝1，所以a n＋2－a n＋1＝1(n≥1)．又a2－a1＝1，所以数列{a n}是以a1＝2为首项，1为公差的等差数列．所以a n＝n＋1.因为b n＋1＝4b n＋6，即b n＋1＋2＝4(b n＋2)，又b1＋2＝a1＋2＝4，所以数列{b2＋2}是以4为首项，4为公比的等比数列．所以b n＝4n－2.(2)因为a n＝n＋1，b n＝4n－2，所以c n＝4n＋(－1)n－1λ·2n＋1.要使c n＋1>c n成立，需c n＋1－c n＝4n＋1－4n＋(－1)nλ·2n＋2－(－1)n－1λ·2n＋1>0恒成立，化简得3·4n－3λ(－1)n－12n＋1>0恒成立，即(－1)n－1λ<2n－1恒成立，①当n为奇数时，即λ<2n－1恒成立，当且仅当n＝1时，2n－1有最小值1，所以λ<1；②当n为偶数时，即λ>－2n－1恒成立，当且仅当n＝2时，－2n－1有最大值－2，所以λ>－2，即－2<λ<1.又λ为非零整数，则λ＝－1.综上所述，存在λ＝－1，使得对任意n∈N*，都有c n＋1>c n成立．[名师点评] 对于数列问题，一般要先求出数列的通项，不是等差数列和等比数列的要转化为等差数列或等比数列．遇到S n要注意利用S n与a n的关系将其转化为a n，再研究其具体性质．遇到(－1)n型的问题要注意分n为奇数与偶数两种情况进行讨论，本题易忘掉对n的奇偶性的讨论而致误．2．结论探索性问题此类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定；解决此类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论，在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．[典例2] 已知各项均为正数的数列{a n}满足：a2n＋1＝2a2n＋a n a n＋1，且a2＋a4＝2a3＋4，其中n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n }满足：b n ＝na n2n ＋1 2n ，是否存在正整数m ，n (1<m <n )，使得b 1，b m ，b n成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值，若不存在，请说明理由．[解题指导] 处理第(2)问中的是否存在问题，可先假设存在正整数m ，n ，把m ，n 转化为一个变量求出这个变量的范围，根据正整数求其值，若在所求范围内能够得到适合题目的值，则存在，否则就不存在．[解] (1)因为a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1，即(a n ＋a n ＋1)(2a n －a n ＋1)＝0.又a n >0，所以2a n －a n ＋1＝0，即2a n ＝a n ＋1.所以数列{a n }是公比为2的等比数列． 由a 2＋a 4＝2a 3＋4，得2a 1＋8a 1＝8a 1＋4，解得a 1＝2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)．(2)因为b n ＝na n 2n ＋1 2n ＝n 2n ＋1，所以b 1＝13，b m ＝m 2m ＋1，b n ＝n2n ＋1. 若b 1，b m ，b n 成等比数列，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＋12＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2n ＋1，即m 24m 2＋4m ＋1＝n 6n ＋3. 由m 24m 2＋4m ＋1＝n 6n ＋3，可得3n ＝－2m 2＋4m ＋1m 2，所以－2m 2＋4m ＋1>0，从而1－62<m <1＋62.又n ∈N *，且m >1，所以m ＝2，此时n ＝12.故当且仅当m ＝2，n ＝12时，b 1，b m ，b n 成等比数列．[名师点评] 对于结论探索性问题，需要先得出一个结论，再进行证明．注意含有两个变量的问题，变量归一是常用的解题思想，一般把其中的一个变量转化为另一个变量，根据题目条件，确定变量的值．遇到数列中的比较大小问题可以采用构造函数，根据函数的单调性进行证明，这是解决复杂问题常用的方法．3．存在探索性问题此类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立；解决此类问题的一般方法是：假定题中的数学对象存在或结论成立或暂且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用．[典例3] 已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ∈N *.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1为等比数列；(2)是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列，且a m －1，a s －1，a n－1成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由．[解题指导] 第(1)问中a n ＋1与a n 的关系以分式形式给出，可以通过取倒数处理，目的仍然是变为等差数列或等比数列；第(2)问可先假设所探求问题存在再去求解，注意应用重要不等式进行判断．[解] (1)证明：因为1a n ＋1＝23＋13a n ，所以1a n ＋1－1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1. 又因为1a 1－1≠0，所以1a n－1≠0(n ∈N *)．所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1为等比数列．(2)假设存在，则m ＋n ＝2s ，(a m －1)(a n －1)＝(a s －1)2，由(1)知1a n －1＝(a 1－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n ，则a n ＝3n3n ＋2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3n 3n ＋2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫3m 3m ＋2－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3s3s ＋2－12，化简得3m ＋3n ＝2×3s.因为3m＋3n≥2×3m ＋n＝2×3s，当且仅当m ＝n 时等号成立，又m ，s ，n 互不相等，所以不存在．[名师点评] 数列问题是以分式形式给出条件的，一般采用取倒数，再转化为等差数列或等比数列，通过等差数列与等比数列的桥梁作用求出通项．遇到多个变量的存在性问题，一般假设存在，求出满足的关系，再寻找满足的条件，一般可以利用重要不等式、值域或范围等判断是否存在．[全盘巩固]1．已知各项均不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：选D 因为{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7，所以已知等式可化为4a 7－a 27＝0，解得a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又{b n }为等比数列，所以b 6b 8＝b 27＝a 27＝16.2．已知等比数列{a n }中的各项都是正数，且5a 1，12a 3,4a 2成等差数列，则a 2n ＋1＋a 2n ＋2a 1＋a 2＝( )A ．－1B ．1C ．52nD ．52n －1解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，则依题意有a 3＝5a 1＋4a 2，即a 1q 2＝5a 1＋4a 1q ，q 2－4q －5＝0，解得q ＝－1或q ＝5.又q >0，因此q ＝5，所以a 2n ＋1＋a 2n ＋2a 1＋a 2＝a 1q 2n ＋a 2q 2n a 1＋a 2＝q 2n ＝52n .3．在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 根据等差、等比数列的性质，可知x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4.∴P 1(2,2)，P 2(3,4)．∴S △OP 1P 2＝1.4．已知函数y ＝log a (x －1)＋3(a >0，a ≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第二项与第三项，若b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10等于( )A.911 B.1011 C.811 D.1211解析：选B 由y ＝log a (x －1)＋3恒过定点(2,3)，即a 2＝2，a 3＝3，又{a n }为等差数列，∴a n ＝n ，n ∈N *.∴b n ＝1n n ＋1 ，∴T 10＝11－12＋12－13＋…＋110－111＝1－111＝1011.5．已知数列{a n }满足a 1＝23，且对任意的正整数m ，n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( )A ．2－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1B ．2－⎝ ⎛⎭⎪⎫23nC ．2－2n 3n ＋1D ．2－2n ＋13n解析：选D 令m ＝1，得a n ＋1＝a 1·a n ，即a n ＋1a n ＝a 1＝23，可知数列{a n }是首项为a 1＝23，公比为q ＝23的等比数列，于是S n ＝a 1 1－q n 1－q ＝23×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－23＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＝2－2n ＋13n .6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋cos 2n π2a n ＋sin 2n π2，则该数列的前18项之和为( )A ．2 101B ．1 067C ．1 012D ．2 012解析：选B 当n 为正奇数时，a n ＋2＝(1＋0)a n ＋1＝a n ＋1；当n 为正偶数时，a n ＋2＝(1＋1)a n ＋0＝2a n .∴a n 是奇数项为等差数列，偶数项为等比数列的一个数列．∴{a n }的前18项和为9× 1＋9 2＋2× 1－291－2＝1 067.7．(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解析：由题意知第n 天植树2n 棵，则前n 天共植树2＋22＋…＋2n ＝(2n ＋1－2)棵，令2n ＋1－2≥100，则2n ＋1≥102，又25＋1＝26＝64,26＋1＝27＝128，∴n ≥6.∴n 的最小值为6.答案：68．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为________．解析：由题意知a 23＝a 1·a 7，即(a 1＋2d )2＝a 1·(a 1＋6d )，∴a 1＝2d ，∴等比数列{b n }的公比q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝2.答案：29．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________.解析：依题意得，函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程是y －a 2k ＝2a k (x －a k )．令y ＝0，得x ＝12a k ，即a k ＋1＝12a k ，因此数列{a k }是以16为首项，12为公比的等比数列，所以a k＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1＝25－k，a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.答案：2110．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a 2＝3，S 6＝36. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }是等比数列且满足b 1＋b 2＝3，b 4＋b 5＝24.设数列{a n ·b n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)∵数列{a n }是等差数列，∴S 6＝3(a 1＋a 6)＝3(a 2＋a 5)＝36，则a 2＋a 5＝12， 由于a 2＝3，所以a 5＝9，从而d ＝2，a 1＝a 2－d ＝1，∴a n ＝2n －1.(2)设数列{b n }的公比为q .∵b 1＋b 2＝3，b 4＋b 5＝24，∴b 4＋b 5b 1＋b 2＝q 3＝8，则q ＝2.从而b 1＋b 2＝b 1(1＋q )＝3b 1＝3，∴b 1＝1，b n ＝2n －1，∴a n ·b n ＝(2n －1)·2n －1.∴T n ＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －3)·2n －2＋(2n －1)·2n －1，则2T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n，两式相减，得(1－2)T n ＝1×1＋2×2＋2×22＋…＋2·2n －2＋2·2n －1－(2n －1)·2n，即－T n ＝1＋2(21＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n＝1＋2(2n －2)－(2n －1)·2n ＝(3－2n )·2n －3.∴T n ＝(2n －3)·2n＋3.11．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 2·a 4＝65，a 1＋a 5＝18. (1)若1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 的值； (2)设b n ＝n2n ＋1 S n，是否存在一个最小的常数m 使得b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立？若存在，求出常数m ；若不存在，请说明理由．解：(1)∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2·a 4＝65，∴a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根，又数列{a n }的公差d >0，∴a 2<a 4，∴a 2＝5，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，∴a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3.∵1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，∴a 1·a 21＝a 2i ，即1×81＝(4i －3)2，解得i ＝3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n n －1 2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝1 2n －1 2n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝n 2n ＋1. ∵n 2n ＋1＝12－12 2n ＋1 <12， ∴存在m ＝12使b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切正整数n ，点P n (n ，S n )都在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，且过点P n (n ，S n )的切线的斜率为k n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2k n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)设Q ＝{x |x ＝k n ，n ∈N *}，R ＝{x |x ＝2a n ，n ∈N *}，等差数列{c n }的任一项c n ∈Q ∩R ，其中c 1是Q ∩R 中的最小数，110<c 10<115，求{c n }的通项公式．解：(1)∵点P n (n ，S n )都在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，∴S n ＝n 2＋2n (n ∈N *)． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由f (x )＝x 2＋2x 求导可得f ′(x )＝2x ＋2.∵过点P n (n ，S n )的切线的斜率为k n ，∴k n ＝2n ＋2.∴b n ＝2k n a n ＝4·(2n ＋1)·4n.∴T n ＝4×3×41＋4×5×42＋4×7×43＋…＋4×(2n ＋1)×4n.①4T n ＝4×3×42＋4×5×43＋4×7×44＋…＋4×(2n ＋1)×4n ＋1.② ①－②，得－3T n ＝4[3×4＋2×(42＋43＋…＋4n )－(2n ＋1)×4n ＋1]＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×4＋2×42 1－4n －1 1－4－()2n ＋1×4n ＋1，∴T n ＝6n ＋19·4n ＋2－169. (3)∵Q ＝{x |x ＝2n ＋2，n ∈N *}，R ＝{x |x ＝4n ＋2，n ∈N *}，∴Q ∩R ＝R . 又∵c n ∈Q ∩R ，其中c 1是Q ∩R 中的最小数，∴c 1＝6.∵{c n }的公差是4的倍数，∴c 10＝4m ＋6(m ∈N *)．又∵110<c 10<115， ∴⎩⎪⎨⎪⎧110<4m ＋6<115，m ∈N *，解得m ＝27.∴c 10＝114. 设等差数列的公差为d ，则d ＝c 10－c 110－1＝114－69＝12，∴c n ＝6＋(n －1)×12＝12n －6.∴{c n }的通项公式为c n ＝12n －6. [冲击名校]设函数f (x )＝x 2，过点C 1(1,0)作x 轴的垂线l 1交函数f (x )图象于点A 1，以A 1为切点作函数f (x )图象的切线交x 轴于点C 2，再过C 2作x 轴的垂线l 2交函数f (x )图象于点A 2，…，以此类推得点A n ，记A n 的横坐标为a n ，n ∈N *.(1)证明：数列{a n }为等比数列并求出通项公式；(2)设直线l n 与函数g (x )＝log 12x 的图象相交于点B n ，记b n ＝OA n ·OB n (其中O 为坐标原点)，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)证明：以点A n －1(a n －1，a 2n －1)(n ≥2)为切点的切线方程为y －a 2n －1＝2a n －1(x －a n －1)．当y ＝0时，得x ＝12a n －1，即a n ＝12a n －1.又∵a 1＝1，∴数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列．∴通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)据题意，得B n ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，n －1. ∴b n ＝n ·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1·(n －1)＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1.∵S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫140＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，14S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n，两式相减，得34S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫140＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋…＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n.化简，得S n ＝169－⎝ ⎛⎭⎪⎫4n 3＋169×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝169－3n ＋49×4n －1. [高频滚动]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和为T n .解：(1)证明：因为S n ＋n ＝2a n ，即S n ＝2a n －n ，所以S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2，n ∈N *)．两式相减化简，得a n ＝2a n －1＋1.所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2，n ∈N *)． 所以数列{a n ＋1}为等比数列．因为S n ＋n ＝2a n ，令n ＝1，得a 1＝1.a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2n ，即a n ＝2n－1.(2)因为b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，所以b n ＝(2n ＋1)·2n.所以T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n，①2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，②①－②，得－T n ＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2×22－2n ＋11－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2＋2n ＋2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2－(2n －1)·2n ＋1.所以T n ＝2＋(2n －1)·2n ＋1.。

第五节 古 典 概 型【考纲下载】1．理解古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率．1．古典概型的两个特征(1)试验的所有可能结果只有有限个．每次试验只出现其中的一个结果； (2)每一个试验结果出现的可能性都相同． 2．古典概型的概率公式对于古典概型，通常试验中的某一事件A 是由几个基本事件组成，如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n ，随机事件A 包含的基本事件数为m ，那么事件A 的概率规定为P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数＝m n.3．建立古典概率模型时对基本事件的要求 (1)每次试验有且只有一个基本事件出现；(2)基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的．1．在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的吗？提示：不一定．如试验一粒种子是否发芽，其发芽和不发芽的可能性是不相等的． 2．如何判断一个试验是否为古典概型？提示：关键看这个实验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性．1．一枚硬币连掷2次，恰有一次正面朝上的概率为( ) A.23 B.14 C.13 D.12解析：选D 一枚硬币连掷2次，其结果共有正正，正反，反正，反反四种结果，恰有一次正面朝上的有正反、反正两种结果．因此，恰有一次正面朝上的概率为24＝12.2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( )A.16B.12C.13D.23解析：选C 甲、乙、丙三名同学站成一排共有如下6种情况：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，而甲站在中间的共有乙甲丙，丙甲乙两种情况，因此，甲站在中间的概率为26＝13.3．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是( )A.45B.35C.25D.15解析：选D 依题意可知a ，b 共有如下15种情况：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(1,2)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，其中b >a 的共有3种情况．所以b >a 的概率为315＝15.4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5的下方的概率为________．解析：点P 在直线x ＋y ＝5下方的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6种可能，故P ＝66×6＝16.答案：165．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________．解析：点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6种情况，只有(2,1)，(2,2)这两种情况满足在圆x 2＋y 2＝9内部，所以所求概率为26＝13.答案：13[例1] (1)(2013·江西高考)集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )A.23B.12C.13D.16(2)(2013·新课标全国卷Ⅱ)从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n ＝________.[自主解答] (1)从A ，B 中各任意取一个数，共有6种取法，其中两数之和为4的是(2,2)，(3,1)．所以两数之和等于4的概率为26＝13.(2)因为5＝1＋4＝2＋3，所以2C 2n ＝114，即n (n －1)＝56.解得n ＝8或n ＝－7(舍)．[答案] (1)C (2)8 【互动探究】在本例(1)中，若将“则这两数之和等于4的概率”改为“则这两数之和等于5的概率”，则结果如何？解：由原题知从A ，B 中各任意取一个数共有6种取法，其中两数之和等于5的是(2,3)，(3,2)，故其概率为26＝13.【方法规律】1．求古典概型概率的基本步骤 (1)算出所有基本事件的个数n . (2)求出事件A 包含的所有基本事件数m . (3)代入公式P (A )＝m n，求出P (A )． 2．基本事件个数的确定方法(1)列举法：此法适合于基本事件较少的古典概型．(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法.(2014·重庆模拟)有编号为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6的6位同学，进行100米赛跑，得到下面的成绩：(1)从上述6名同学中，随机抽取一名，求这名同学成绩优秀的概率；(2)从成绩优秀的同学中，随机抽取2名，用同学的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2名同学的成绩都在12.3秒内的概率．解：(1)由所给的成绩可知，优秀的同学有4名，设“从6名同学中随机抽取一名是优秀”为事件A ，则P (A )＝46＝23.(2)优秀的同学编号是A 1，A 2，A 3，A 5，从这4名同学中抽取2名，所有的可能情况是：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 5)，(A 2，A 3)，(A 2，A 5)，(A 3，A 5)；设“这2名同学成绩都在12.3以内”为事件B ，符合要求的情况有：(A 1，A 3)，(A 1，A 5)，(A 3，A 5)，所以P (B )＝36＝12.[例2] (1)(2013·安徽高考)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910(2)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．①求此人被评为优秀的概率； ②求此人被评为良好及以上的概率．[自主解答] (1)记事件A 为“甲或乙被录用”．从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10种可能，而A 的对立事件A －仅有(丙，丁，戊)一种可能，则A 的对立事件A －的概率为P (A －)＝110.故P (A )＝1－P (A －)＝910.(2)将5杯饮料编号为：1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A 饮料，编号4,5表示B 饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共有10种．令D 表示事件“此人被评为优秀”，E 表示事件“此人被评为良好”，F 表示事件“此人被评为良好及以上”，则①P (D )＝110.②因为P (E )＝610＝35，所以P (F )＝P (D )＋P (E )＝710.[答案] (1)D【方法规律】求较复杂事件的概率问题的方法(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．(2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解．为振兴旅游业，四川省面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜景区旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡．(1)在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；(2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．解：(1)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．设事件A 为“采访该团2人，恰有1人持银卡”，则P (A )＝C 16C 130C 236＝27，所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是27.(2)设事件B 为“采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等”，可以分为事件B 1为“采访该团2人，持金卡0人，持银卡0人”，或事件B 2为“采访该团2人，持金卡1人，持银卡1人”两种情况．则P (B )＝P (B 1)＋P (B 2)＝C 221C 236＋C 19C 16C 236＝44105，所以采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是44105.1．古典概型与统计的综合应用，是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对古典概型与统计的综合应用的考查主要有以下几个命题角度： (1)由频率来估计概率；(2)由频率估计部分事件发生的概率； (3)求方差(或均值)等．[例3] (2013·天津高考)某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．若S ≤4, 则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．[自主解答] (1)计算10件产品的综合指标S，如下表：其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为10＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B 发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以P(B)＝615＝25.古典概型与统计综合应用的常见类型及解题策略(1)由频率来估计概率．利用频率与概率的关系来估计．(2)由频率来估计部分事件发生的概率．往往结合题设条件．注意事件的互斥、对立，利用概率的加法公式求解．(3)求方差(或均值)．结合题设中的数据、方差(或均值公式)求解．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：A 类轿车10辆． (1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下： 9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解：(1)依据条件可知，轿车A 、B 的抽样，A 类轿车抽样比为10100＋300.因此本月共生产轿车40010×50＝2 000(辆)．故z ＝2 000－(100＋300＋150＋450＋600)＝400(辆)． (2)设所抽取样本中有a 辆舒适型轿车， 由题意得4001 000＝a5，则a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个．事件E 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个． 故P (E )＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x －＝18×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包含的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7，9.3，9.0，共6个，所以P (D )＝34，即所求概率为34.————————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 4种方法——基本事件个数的确定方法(1)列举法：(见本节考点一[方法规律])；(2)列表法：(见本节考点一[方法规律])；(3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求；(4)计数原理法：如果基本事件的个数较多，列举有一定困难时，可借助于两个计数原理及排列组合知识直接计算出m，n，再运用公式求概率．2个技巧——求解古典概型问题概率的技巧(1)较为简单问题可直接使用古典概型的概率公式计算；(2)较为复杂的概率问题的处理方法：一是转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式进行求解；二是采用间接法，先求事件A的对立事件A的概率，再由P(A)＝1－P(A)求事件A的概率．1个构建——构建不同的概率模型解决问题(1)原则：建立概率模型的一般原则是“结果越少越好”，这就要求选择恰当的观察角度，把问题转化为易解决的古典概型问题；(2)作用：一方面，对于同一个实际问题，我们有时可以通过建立不同“模型”来解决，即“一题多解”，在这“多解”的方法中，再寻求较为“简捷”的解法；另一方面，我们又可以用同一种“模型”去解决很多“不同”的问题，即“多题一解”.答题模板(七)求古典概型的概率[典例] (2013·山东高考)(12分)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：(1) 1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在 1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．[快速规范审题] 第(1)问1．审结论，明解题方向观察所求结论：求选到的2人身高都在1.78以下的概率――→应求2人身高都在1.78以下的选法与2人身高都在1.80以下选法之比2．审条件，挖解题信息观察条件：由表中的数据得出身高1.80以下的有A ，B ，C ，D 4人，身高在1.78以下的有A ，B ，C 3人．3．建联系，找解题突破口身高1.80以下选2人有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6种情况；身高1.78以下选2人有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3种情况，利用公式求解．第(2)问1．审结论，明解题方向观察所求结论：求选到2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率 应求从身高都在 1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的选2――→人的种数与从该小组同学中选2人的种数之比2．审条件，挖解题信息观察条件：如表中数据得出该小组共有5人，其中身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的人有C ，D ，E ，共3人．3．建联系，找解题突破口从该小组中选2人共有10种方法，从C ，D ，E 中选2人共有3种方法，利用公式求解．,[准确规范答题]列举从4人中选2人的可能结果时，易漏掉或重复某种结果(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6种． ⇨2分由于每个人被选到的机会均等，因此这些 基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在1.78以下的事件有：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，共3种． ⇨4分 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P ＝36＝12. ⇨6分所有事件包含的事件数列举不全或重复(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10种． ⇨8分由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3种．⇨10分因此选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P1＝310.⇨12分[答题模板速成]求古典概型概率的一般步骤：[全盘巩固]1．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋n i)(n－m i)为实数的概率为( )A.13B.14C.16D.112解析：选C 复数(m＋n i)(n－m i)＝2mn＋(n2－m2)i为实数，则n2－m2＝0⇒m＝n，而投掷两颗骰子得到点数相同的情况只有6种，所以所求概率为66×6＝16.2．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是( )121025125解析：选D 小正方体三面涂有油漆的有8种情况，故所求概率为81 000＝1125. 3．连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n )与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( )A.512 B.712 C.13 D.12解析：选A 因为(m ，n )·(－1,1)＝－m ＋n <0，所以m >n .基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．故P ＝1536＝512.4．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )A.15B.25C.35D.45解析：选B 语文、数学只有一科的两本书相邻，有2A 22A 22A 23＝48种摆放方法；语文、数学两科的两本书都相邻，有A 22A 22A 33＝24种摆放方法；而五本不同的书排成一排总共有A 55＝120种摆放方法．故所求概率为1－48＋24120＝25.5．已知A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0，a ∈A ，b ∈A }，则A ∩B ＝B 的概率是( ) A.29 B.13 C.89 D ．1 解析：选C 因为A ∩B ＝B ，所以B 可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}，{1,3}．当B ＝∅时，a 2－4b <0，满足条件的a ，b 为a ＝1，b ＝1,2,3；a ＝2，b ＝2,3；a ＝3，b ＝3.当B ＝{1}时，满足条件的a ，b 为a ＝2，b ＝1. 当B ＝{2}，{3}时，没有满足条件的a ，b . 当B ＝{1,2}时，满足条件的a ，b 为a ＝3，b ＝2. 当B ＝{2,3}，{1,3}时，没有满足条件的a ，b . 故A ∩B ＝B 的概率为83×3＝89. ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 336.如图，三行三列的方阵中有九个数a ij(i ＝1,2,3；j ＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )771414解析：选D 从九个数中任取三个数的不同取法共有C 39＝9×8×71×2×3＝84(种)，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C 13·C 12·C 11＝6(种)，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－684＝1314.7．(2013·浙江高考)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．解析：设3名男同学分别为a 1、a 2、a 3,3名女同学分别为b 1、b 2、b 3，则从6名同学中任选2名的结果有a 1a 2，a 1a 3，a 2a 3，a 1b 1，a 1b 2，a 1b 3，a 2b 1，a 2b 2，a 2b 3，a 3b 1，a 3b 2，a 3b 3，b 1b 2，b 1b 3，b 2b 3，共15种，其中都是女同学的有3种，所以概率P ＝315＝15.答案：158．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为________．解析：P ＝C 26C 15C 14＋C 16C 25C 14＋C 16C 15C 24C 415＝15×20＋6×40＋6×3015×13×7＝4891. 答案：48919．(2013·江苏高考)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________．解析：从正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)中任取两数的所有可能的结果有C 17C 19＝63(个)．其中m ，n 都取奇数的结果有C 14C 15＝20(个)．故所求概率为2063. 答案：206310. (2013·江西高考)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X >0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X <0就去下棋．(1)写出数量积X 的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率． 解：(1)X 的所有可能取值为－2，－1,0,1.(2)数量积为－2的有2OA ·5OA，共1种；数量积为－1的有1OA ·5OA ，1OA ·6OA ，2OA ·4OA ，2OA ·6OA ，3OA ·4OA，3OA ·5OA，共6种；数量积为0的有1OA ·3OA ，1OA ·4OA ，3OA ·6OA ，4OA ·6OA，共4种；数量积为1的有1OA ·2OA ，2OA ·3OA ，4OA ·5OA ，5OA ·6OA，共4种．故所有可能的情况共有15种．所以小波去下棋的概率为P 1＝715；因为去唱歌的概率为P 2＝415，所以小波不去唱歌的概率P ＝1－P 2＝1－415＝1115.11．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．(1)求袋中原有白球的个数； (2)求取球2次即终止的概率； (3)求甲取到白球的概率．解：(1)设袋中原有n 个白球，从袋中任取2个球都是白球的结果数为C 2n ＝n n －12，从袋中任取2个球的所有可能的结果数为C 27＝7×62＝21. 由题意知从袋中任取2球都是白球的概率P ＝C 2n C 27＝n n －127×62＝n n －1 7×6＝17，则n (n －1)＝6，解得n ＝3(舍去n ＝－2)，即袋中原有3个白球．(2)设事件A 为“取球2次即终止”．取球2次即终止，即乙第一次取到的是白球而甲取到的是黑球，P (A )＝C 14×C 13C 17×C 16＝4×37×6＝27.(3)设事件B 为“甲取到白球”，“第i 次取到白球”为事件A i ，i ＝1,2,3,4,5，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球．所以P (B )＝P (A 1∪A 3∪A 5)＝P (A 1)＋P (A 3)＋P (A 5)＝37＋4×3×37×6×5＋4×3×2×1×37×6×5×4×3＝37＋635＋135＝2235.12．(2014·雅安模拟)甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(i ，j )表示甲、乙抽到的牌面数字(如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2,3))，写出甲乙两人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲乙约定，若甲抽到的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由．解：(1)方片4用4′表示，则甲乙两人抽到的牌的所有情况为：(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)共12种不同的情况(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为23.(3)甲抽到的牌比乙大，有(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，(3,2)，共5种情况． 甲胜的概率为P 1＝512，乙胜的概率为P 2＝712.因为512<712，所以此游戏不公平．[冲击名校]现有编号分别为1,2,3,4,5的五道不同的政治题和编号分别为6,7,8,9的四道不同的历史题．甲同学从这九道题中一次性随机抽取两道题，每道题被抽到的概率是相等的，用符号(x ，y )表示事件“抽到的两道题的编号分别为x 、y ，且x <y ”．(1)问有多少个基本事件，并列举出来；(2)求甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率． 解：(1)共有36个等可能的基本事件，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,9)．(2)记“甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11”为事件A ， 则事件A 为“x ，y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，且x ＋y ∈[11,17)，其中x <y ”． 由(1)可知事件A 共包含15个基本事件，列举如下：(2,9)，(3,8)，(3,9)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，所以P (A )＝1536＝512.即甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率为512. [高频滚动]一盒中装有大小和质地均相同的12个小球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出的小球是红球或黑球的概率； (2)取出的小球是红球或黑球或白球的概率．解：法一：(1)从12个球中任取1球是红球有5种取法，是黑球有4种取法，是红球或黑球共有5＋4＝9(种)不同取法，而任取1球共有12种取法．所以任取1球是红球或黑球的概率为P 1＝912＝34.(2)从12个球中任取1球是红球有5种取法，是黑球有4种取法，是白球有2种取法． 所以任取1球是红球或黑球或白球的概率为P 2＝5＋4＋212＝1112.法二：记事件A ＝{任取1球为红球)，B ＝{任取1球为黑球}，C ＝{任取1球为白球}，D ＝{任取1球为绿球}，则P (A )＝512，P (B )＝412，P (C )＝212，P (D )＝112.(1)取出1球为红球或黑球的概率为P 1＝P (A )＋P (B )＝512＋412＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P 2＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝512＋412＋212＝1112.或P 2＝1－P (D )＝1－112＝1112.。

第三节 等比数列及其前n 项和【考纲下载】1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的相关概念相关名词 等比数列{a n }的有关概念及公式 定义 a n ＋1a n ＝q (q 是常数且q ≠0，n ∈N ＋)或a na n －1＝q (q 是常数且q ≠0，n ∈N ＋且n ≥2) 通项公式 a n ＝a 1q n －1＝a m ·q n －m前n 项 和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1 q ＝1a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q q ≠1等比中项 设a ，b 为任意两个同号的实数，则a ，b 的等比中项G ＝±ab2．等比数列的性质(1)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q .特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p .(2)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2＝S m (S 3m－S 2m )(m ∈N *，公比q ≠－1)．(3)数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列． (4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k.1．b 2＝ac 是a ，b ，c 成等比数列的充要条件吗？提示：不是．b 2＝ac 是a ，b ，c 成等比数列的必要不充分条件，因为当b ＝0，a ，c 至少有一个为零时，b 2＝ac 成立，但a ，b ，c 不成等比数列；若a ，b ，c 成等比数列，则必有b 2＝ac .2．若a ≠0，则数列a ，a 2，a 3，…，a n，…的前n 项和为S n ＝a 1－a n 1－a 吗？提示：不一定．当a ＝1时，S n ＝na 1＝n ；当a ≠1时，S n ＝a 1－a n1－a.1．(2013·某某高考)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24解析：选A 由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列，知(3x ＋3)2＝x ·(6x ＋6)，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)．所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12.故第四项为－24.2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12解析：选D ∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 5a 2＝142＝18＝q 3，∴q ＝12.3．在等比数列{a n }中，已知a 7·a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11＝( ) A ．10 B ．25 C ．50 D ．75解析：选B ∵a 7a 12＝5，∴a 8a 9a 10a 11＝(a 8a 11)(a 9a 10)＝(a 7a 12)2＝25.4．已知等比数列的前n 项和S n ＝4n＋a ，则a ＝________.解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝4＋a ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(4n ＋a )－(4n －1＋a )＝4n －4n－1＝3×4n －1.又∵该数列为等比数列，∴4＋a ＝3×40，即a ＝－1. 答案：－15．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________. 解析：∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 2＝－a 5，即a 5a 2＝－8.∴q 3＝－8，∴q ＝－2.∴S 5S 2＝a 11－q 51－q a 11－q 21－q＝1－q 51－q 2＝1－－251－－22＝－11.答案：－11考点一等比数列的判定与证明[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列．[自主解答] a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n . b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n ＝2， ∵S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，∴a 2＝5.∴b 1＝a 2－2a 1＝3. ∴数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列． 【互动探究】保持本例条件不变，若＝a n3n －1，证明：{}是等比数列． 证明：由例题知，b n ＝3·2n －1＝a n ＋1－2a n ，∴a n ＋12n －1－a n 2n －2＝3.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －2是首项为2，公差为3的等差数列．∴a n2n －2＝2＋(n －1)×3＝3n －1，∴a n ＝(3n －1)·2n －2，∴＝2n －2.∴＋1＝2n －12n －2＝2.∴数列{}为等比数列．【方法规律】等比数列的判定方法证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{}为等比数列，公比为qm 2D ．数列{}为等比数列，公比为qm m解析：选C b n ＝a m (n －1)＋1·(1＋q ＋q 2＋…＋q m －1)，b n ＋1b n ＝a mn ＋1a mn ＋1－m＝q m，故数列{b n }为等比数列，公比为q m ，选项A 、B 均错误；＝a mmn －1＋1·q 1＋2＋…＋(m －1)，＋1＝a m mn ＋1a m mn ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a mn ＋1a mn ＋1－m m ＝(q m )m ＝qm 2，故数列{}为等比数列，公比为qm 2，D 错误，故选C.高频考点 考点二等比数列的基本运算1．等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中低档题．2．高考对等比数列的基本运算的考查常有以下几个命题角度：(1)化基本量求通项；(2)化基本量求特定项；(3)化基本量求公比；(4)化基本量求和．[例2] (1)(2013·新课标全国卷Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13B ．－13 C.19 D ．－19(2)(2012·某某高考)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.(3)(2013·某某高考)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. ①求数列{a n }的通项公式；②是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．[自主解答] (1)由已知条件及S 3＝a 1＋a 2＋a 3，得a 3＝9a 1，设数列{a n }的公比为q ，则q2＝9.所以a 5＝9＝a 1·q 4＝81a 1，得a 1＝19.(2)由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2作差，可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即2a 4－a 3－3a 2＝0，所以2q2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1(舍)．(3)①设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1.故a n ＝53×3n －1，或a n ＝－5×(－1)n －1.②若a n ＝53×3n －1，则1a n ＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列，从而13115319191111031013m m mn n a =⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==⨯-<<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑.若a n ＝(－5)×(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而11,21(),150,2().mn n m k k N a m k k N **=⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩∑故11m n n a =∑<1. 综上，对任何正整数m ，总有11mn na =∑<1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1成立．[答案] (1)C (2)32等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略(1)化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素a 1和q ，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．(2)化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解． (3)化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．(4)化基本量求和．直接将基本量代入前n 项和公式求解或利用等比数列的性质求解．1．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设首项为1，公比23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n解析：选D 因为a 1＝1，公比q ＝23，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，S n ＝a 11－q n 1－q ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＝3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝3－2a n .2．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ， ∵a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 21·q 8＝a 1·q 9，21＋q 2＝5q ，①② ①得a 1＝q ，由由②知q ＝2或q ＝12，又数列{a n }为递增数列，∴a 1＝q ＝2，从而a n ＝2n.答案：2n3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .解：(1)∵S 1，S 3，S 2成等差数列，∴a 1＋(a 1＋a 1q)＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)．由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0，又q≠0，从而q ＝－12.(2)由已知可得a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝3，故a 1＝4，从而S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .考点三 等比数列的性质[例3] (1)已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20，则前9项之和等于( )A ．50B ．70C ．80D ．90(2)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7[自主解答] (1)∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，∴S 3·(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)2，又S 3＝40，S 6＝40＋20＝60，∴40(S 9－60)＝202，故S 9＝70.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4.当a 4＝4，a 7＝－2时，易得a 1＝－8，a 10＝1，从而a 1＋a 10＝－7； 当a 4＝－2，a 7＝4时，易得a 10＝－8，a 1＝1，从而a 1＋a 10＝－7. [答案] (1)B (2)D【方法规律】等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．1．记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N *)，已知a m －1·a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m 的值为( )A ．4B ．7C ．10D ．12解析：选A 因为{a n }是等比数列，所以a m －1a m ＋1＝a 2m ， 又由a m －1a m ＋1－2a m ＝0，可知a m ＝2.由等比数列的性质可知前(2m －1)项积T 2m －1＝a 2m －1m ，即22m －1＝128，故m ＝4.2．在等比数列{a n }中，若a 1·a 2·a 3·a 4＝1，a 13·a 14·a 15·a 16＝8，则a 41·a 42·a 43·a 44＝________.解析：法一：a 1·a 2·a 3·a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41·q 6＝1，①a 13·a 14·a 15·a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，②由②÷①，得a 41·q 54a 41·q6＝q 48＝8⇒q 16＝2，又a 41·a 42·a 43·a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)·(q 16)10＝1×210＝1 024.法二：由性质可知，依次4项的积为等比数列， 设公比为q ，T 1＝a 1·a 2·a 3·a 4＝1，T 4＝a 13·a 14·a 15·a 16＝8，∴T 4＝T 1·q 3＝1·q 3＝8，即q ＝2.∴T 11＝a 41·a 42·a 43·a 44＝T 1·q 10＝210＝1 024. 答案：1 024———————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 2个注意点——应用等比数列的公比应注意的问题(1)由a n ＋1＝qa n (q ≠0)，并不能断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(2)在应用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1和q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情况而导致错误．4种方法——等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列；(2)等比中项法：在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列；(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列；(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．注意：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．数学思想(八)分类讨论思想在等比数列中的应用分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有： (1)已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种情况． (2)等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1讨论． (3)项数的奇、偶数讨论．(4)等比数列的单调性的判断注意与a 1，q 的取值的讨论．[典例] (2013·某某高考)已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．[解题指导] (1)利用等差数列的性质结合已知条件求出公比q ，进而可求得通项公式； (2)结合数列的单调性求数列的最大项与最小项的值．[解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56.所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.[题后悟道] 1.数列与函数有密切联系，证明与数列有关的不等式，其本质是求数列中的最大项，可以利用图象或者数列的单调性求解，同时注意数列的单调性与函数单调性的区别．2．本题易忽视条件“{a n }不是递减数列”而认为q ＝±12，从而导致解题错误．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n－1(a ≠0)，则{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列解析：选C ∵S n ＝a n－1(a ≠0)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，n ＝1，a －1a n －1，n ≥2.当a ＝1时，a n ＝0，数列{a n }是一个常数列，也是等差数列；当a ≠1时，数列{a n }是一个等比数列．[全盘巩固]1．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝( )A.12B ．－12 C ．1或－12D ．1或12解析：选C 当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝92，符合题意；当q ≠1时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝32，S 3＝a 11－q31－q＝92，解得q ＝－12.故q ＝1或q ＝－12.2．各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．33B ．72C ．84D ．189解析：选C ∵a 1＋a 2＋a 3＝21，∴a 1＋a 1·q ＋a 1·q 2＝21,3＋3×q ＋3×q 2＝21，即1＋q ＋q 2＝7，解得q ＝2或q ＝－3.∵a n >0，∴q ＝2，a 3＋a 4＋a 5＝21×q 2＝21×4＝84.3．已知等比数列{a n }满足a n >0(n ∈N *)，且a 5a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．(n ＋1)2B ．n 2C ．n (2n －1)D ．(n －1)2解析：选B 由等比数列的性质可知a 5a 2n －5＝a 2n ，又a 5a 2n －5＝22n ，所以a n ＝2n.又log 2a 2n －1＝log 222n －1＝2n －1，所以log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[1＋2n －1]n2＝n 2.4．已知数列{a n }满足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n，则a 7a 3＝( ) A ．2 B ．4 C ．5 D.52解析：选B 依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝2n ＋12n ＝2，即a n ＋2a n＝2，故数列a 1，a 3，a 5，a 7，…是一个以5为首项、2为公比的等比数列，因此a 7a 3＝4.5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1解析：选B ∵S n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n .∴a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n .∴3a n ＝2a n ＋1.∴a n ＋1a n ＝32.又∵S 1＝2a 2，∴a 2＝12.∴a 2a 1＝12.∴{a n }从第二项起是以32为公比的等比数列．∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －11－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1⎝⎛也可以先求出n ≥2时，a n ＝3n －22n －1，再利用S n ＝2a n ＋1，⎭⎪⎫求得S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1. 6．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”，现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln|x |. 则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④解析：选C 法一：设{a n }的公比为q .①f (a n )＝a 2n ，∵a 2n ＋1a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2＝q 2，∴{f (a n)}是等比数列．排除B ，D ；③f (a n )＝|a n |，∵|a n ＋1||a n |＝a n ＋1a n ＝|q |，∴{f (a n )}是等比数列．排除A.法二：不妨令a n ＝2n .①因为f (x )＝x 2，所以f (a n )＝4n .显然{f (2n)}是首项为4，公比为4的等比数列．②因为f (x )＝2x ，所以f (a 1)＝f (2)＝22，f (a 2)＝f (4)＝24，f (a 3)＝f (8)＝28，所以f a 2f a 1＝2422＝4≠f a 3f a 2＝2824＝16，所以{f (a n )}不是等比数列．③因为f (x )＝|x |，所以f (a n )＝2n＝(2)n.显然{f (a n )}是首项为2，公比为2的等比数列．④因为f (x )＝ln|x |，所以f (a n )＝ln 2n＝n ln 2.显然{f (a n )}是首项为ln 2，公差为ln 2的等差数列．7．(2013·某某高考)已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________.解析：由a 1，a 2，a 5成等比数列，得(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，即(1＋d )2＝1＋4d ，解得d ＝2(d ＝0舍去)，S 8＝8×1＋8×72×2＝64.答案：648．若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.解析：由等比数列的性质，得a 3＋a 5＝(a 2＋a 4)q ，解得q ＝a 3＋a 5a 2＋a 4＝2，又∵a 2＋a 4＝a 1(q ＋q 3)＝20，∴a 1＝2，∴S n ＝a 11－q n 1－q ＝2n ＋1－2.答案：2 2n ＋1－29．(2013·某某高考)在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．解析：设等比数列的首项为a 1，公比为q >0，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1·q 4＝12，a 1·q 5＋a 1·q 6＝3，得a 1＝132，q ＝2.所以a n ＝2n －6.a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －5－2－5，a 1a 2…a n ＝2n n －112.由a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n ，得2n －5－2－5>2n n －112，由2n －5>2n n －112，得n 2－13n ＋10<0，解得13－1292<n <13＋1292，取n ＝12，可以验证当n ＝12时满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n ，n ≥13时不满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n ，故n 的最大值为12.答案：1210．数列{a n }中，S n ＝1＋ka n (k ≠0，k ≠1)． (1)证明：数列{a n }为等比数列； (2)求通项a n ；(3)当k ＝－1时，求和a 21＋a 22＋…＋a 2n . 解：(1)证明：∵S n ＝1＋ka n ，① S n －1＝1＋ka n －1，②①－②得S n －S n －1＝ka n －ka n －1(n ≥2)，∴(k －1)a n ＝ka n －1，a n a n －1＝k k －1为常数，n ≥2. ∴{a n }是公比为kk －1的等比数列．(2)∵S 1＝a 1＝1＋ka 1，∴a 1＝11－k .∴a n ＝11－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1n －1＝－kn －1k －1n. (3)∵{a n }中a 1＝11－k ，q ＝k k －1，∴{a 2n }是首项为⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －12，公比为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －12的等比数列． 当k ＝－1时，等比数列{a 2n }的首项为14，公比为14，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .11．已知函数f (x )＝bx ＋cx ＋1的图象过原点，且关于点(－1,2)成中心对称．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝f (a n )，证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n －1为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式．解：(1)∵f (0)＝0，∴c ＝0.∵f (x )＝bx ＋cx ＋1的图象关于点(－1,2)成中心对称， ∴f (x )＋f (－2－x )＝4，解得b ＝2.∴f (x )＝2xx ＋1.(2)∵a n ＋1＝f (a n )＝2a na n ＋1，∴当n ≥2时， a n a n －1a n －1a n －1－1＝a n a n －1·a n －1－1a n －1＝2a n －1a n －1＋12a n －1a n －1＋1－1·a n －1－1a n －1＝2a n －1a n －1－1·a n －1－1a n －1＝2. 又a 1a 1－1＝2≠0， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n －1是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n a n －1＝2n，∴a n ＝2n2n －1. 12．已知等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，公比是q ，且满足：a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝12，S 2＝b 2q .(1)求a n 与b n ；(2)设＝3b n －λ·2a n3，若数列{}是递增数列，求λ的取值X 围．解：(1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋3＋a 2＝12，3＋a 2＝q 2，所以q 2＋q －12＝0，解得q ＝3或q ＝－4(舍)，从而a 2＝6，所以a n ＝3n ，b n ＝3n －1.(2)由(1)知，＝3b n －λ·2a n3＝3n －λ·2n.由题意，＋1>对任意的n ∈N *恒成立，即3n ＋1－λ·2n ＋1>3n －λ·2n 恒成立，亦即λ·2n <2·3n恒成立，即λ<2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立．由于函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n min ＝2×32＝3， 故λ<3，即λ的取值X 围为(－∞，3)． [冲击名校]1．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值X 围是________．解析：由已知可得a 1＝f (1)＝12，a 2＝f (2)＝[f (1)]2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，a 3＝f (3)＝f (2)f (1)＝[f (1)]3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，…，a n ＝f (n )＝[f (1)]n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，所以S n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∵n ∈N *，∴12≤S n <1.word - 11 - / 11 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 2．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上，n ∈N *.(1)当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列；(2)在(1)的结论下，设b n ＝log 4a n ＋1，＝a n ＋b n ，T n 是数列{}的前n 项和，求T n . 解：(1)∵点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝3x ＋1上，∴a n ＋1＝3S n ＋1，a n ＝3S n －1＋1(n >1，且n ∈N *)．∴a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ，∴a n ＋1＝4a n (n >1，n ∈N *)，a 2＝3S 1＋1＝3a 1＋1＝3t ＋1，∴当t ＝1时，a 2＝4a 1，数列{a n }是等比数列．(2)在(1)的结论下，a n ＋1＝4a n ，a n ＋1＝4n ，b n ＝log 4a n ＋1＝n ，＝a n ＋b n ＝4n －1＋n ，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n －1＋n )＝(1＋4＋42＋…＋4n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )＝4n －13＋1＋n n 2. [高频滚动]1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( )A ．12B ．14C ．16D ．18解析：选B S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n a 1＋a n 2＝210，得n ＝14. 2．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：因为a n ＝2a n －1＋2n ，所以a n 2n ＝2a n －1＋2n 2n ＝a n －12n －1＋1，即a n 2n －a n －12n －1＝1， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列，且公差d ＝1，其首项a 121＝12，所以a n 2n ＝12＋(n －1)×1＝n －12， 解得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12×2n ＝(2n －1)2n －1. (2)S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －1)×2n －1，①2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，② ①－②，得－S n ＝1×20＋2×21＋2×22＋…＋2×2n －1－(2n －1)2n ＝1＋4×1－2n －11－2－(2n －1)2n ＝(3－2n )2n －3.所以S n ＝(2n －3)2n ＋3.。

第五节 指数与指数函数【考纲下载】1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．1．正整数指数函数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)，叫作正整数指数函数，其中x 是自变量，定义域是正整数集N ＋.2．分数指数幂 (1)分数指数幂：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n＝a m ，我们把b 叫作a 的m n 次幂，记作b ＝a mn.(2)正分数指数幂：a m n＝na m(a ＞0，m 、n ∈N ＋，且n ＞1)． (3)负分数指数幂：a －m n＝1a m n＝1na m(a ＞0，m 、n ∈N ＋，且n ＞1)．(4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． 3．指数幂的运算性质当a >0，b >0时，对任意实数m ，n ，都有： (1) a m a n ＝a m ＋n ；(2)(a m )n ＝a mn ；(3)(ab )n ＝a n b n .4．指数函数的图像与性质y ＝a xa ＞1 0＜a ＜1图 像定义域 R 值域(0，＋∞) 性 质(1)过定点(0,1)(1)过定点(0,1) (2)当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1 (2)当x ＞0时，0＜y ＜1； x ＜0时，y ＞1 (3)在R 上是 增函数(3)在R 上是 减函数1.na n＝a 成立的条件是什么？提示：当n 为奇数时，a ∈R ；当n 为偶数时，a ≥0.2．如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？提示：图中直线x ＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c 1>d 1>1>a 1>b 1，所以，c >d >1>a >b ，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．3．当a >0，且a ≠1时，函数y ＝a x ，y ＝a |x |，y ＝|a x|，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 之间有何关系？提示：y ＝a x与y ＝|a x|是同一个函数的不同表现形式；函数y ＝a |x |与y ＝a x不同，前者是一个偶函数，其图象关于y 轴对称，当x ≥0时两函数图象相同；y ＝a x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax 的图象关于y 轴对称．1．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．－10 C ．9 D ．7解析：选D [(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝8－1＝7. 2．化简416x 8y 4(x <0，y <0)得( ) A ．2x 2y B ．2xy C ．4x 2y D ．－2x 2y 解析：选D416x 8y 4＝2x 2|y |＝－2x 2y .3．函数f (x )＝3x＋1的值域为( ) A ．(－1，＋∞) B．(1，＋∞) C ．(0,1) D ．[1，＋∞)解析：选B ∵3x＞0，∴3x＋1＞1，即函数f (x )＝3x＋1的值域为(1，＋∞)．4．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )＝ax －2－3的图象必过定点________．解析：令x －2＝0，则x ＝2，y ＝1－3＝－2，故函数f (x )＝a x －2－3的图象必过定点(2，－2)．答案：(2，－2)5．若指数函数f (x )＝(a －2)x为减函数，则实数a 的取值X 围为________． 解析：∵f (x )＝(a －2)x为减函数，∴0＜a －2＜1，即2＜a ＜3. 答案：(2,3)考点一指数幂的化简与求值[例1] 化简：(1)a 3b 23ab 2a 14b 124a －13b 13(a ＞0，b ＞0)； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0.[自主解答] (1)原式＝a 3b 2a 13b2312ab 2a －13b13＝a 32＋16－1＋13·b 1＋13－2－13＝ab －1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.【方法规律】 指数幂的运算规律指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行化简，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．计算：(1)3a92a －3÷ 3a －73a 13；(2)(0.027)－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27912－(2－1)0；(3)已知m 12＋m －12＝4，求m 32－m －32m 12－m －12.解：(1)原式＝(a 92a －32)13÷(a －73a 133)12＝(a 3)13÷(a 2)12＝a ÷a ＝1.(2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫271 000－13－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－1＝103－49＋53－1＝－45. (3)∵m 12＋m －12＝4，∴m ＋m －1＋2＝16，∴m ＋m －1＝14，∴m 32－m －32m 12－m －12＝m 12－m －12m ＋m －1＋1m 12－m －12＝m ＋m －1＋1＝14＋1＝15.考点二指数函数的图象[例2] (1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是( )A B C D(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值X围是________．[自主解答] (1)由已知并结合图象可知0<a<1，b<－1.对于函数g(x)＝a x＋b，它一定是单调递减的，排除C、D.且当x＝0时g(0)＝a0＋b＝1＋b<0，即图象与y轴交点在负半轴上，排除B，选A.(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y ＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．[答案] (1)A (2)[－1,1]【互动探究】若将本例(2)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，求b 的取值X围．解：曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值X围是(0,1)．【方法规律】指数函数图象的应用(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．1．若函数y ＝a x＋b －1(a ＞0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a 、b 的取值X 围分别是________．解析：因为函数y ＝a x＋b －1(a ＞0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，b －1＜－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，b ＜0.答案：a ∈(0,1) b ∈(－∞，0)2．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a ＞0，a ≠1)的图象有两个公共点，则实数a 的取值X 围为________．解析：分底数0＜a ＜1与a ＞1两种情况，分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象，如图，图1 图2从图中可以看出，只有当0＜a ＜1，且0＜2a ＜1，即0＜a ＜12时，两函数才有两个交点．所以实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 高频考点考点三指数函数的性质及应用1．高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题． 2．高考对指数函数的性质的考查主要有以下几个命题角度： (1)比较指数式的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)求解指数型函数中参数的取值X 围．[例3] (1)(2012·某某高考)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a(2)(2014·某某模拟)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x ＜－2或x ＞4} B ．{x |x ＜0或x ＞4} C ．{x |x ＜0或x ＞6} D ．{x |x ＜－2或x ＞2}(3)(2012·某某高考)若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.[自主解答] (1)∵a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8，∴a ＞b ＞1.又c ＝2log 52＝log 54＜1，∴a ＞b ＞c .(2)f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝f (－x )＝2－x－4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－4， x ≥0，2－x－4，x ＜0，当f (x －2)＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，2x －2－4＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，2－x ＋2－4＞0，解得x ＞4或x ＜0.(3)g (x )在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m >0，即m <14.若a >1，则函数f (x )在[－1,2]上单调递增，最小值为1a ＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，m ＝12，与m <14矛盾；当0<a <1时，函数f (x )在[－1,2]上单调递减，最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116.所以a＝14. [答案] (1)A (2)B (3)14指数函数的性质及应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值X 围，并在必要时进行分类讨论．(3)指数型函数中参数的取值X 围问题．在解决涉及指数函数的单调性或最值问题时，应注意对底数a 的分类讨论．1．设a ＝40.8，b ＝80.46，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a 解析：选A ∵a ＝40.8＝21.6，b ＝80.46＝21.38，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.2＝21.2，又∵1.6＞1.38＞1.2，∴21.6＞21.38＞21.2.即a ＞b ＞c .2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0，则不等式－13≤f (x )≤13的解集为( )A ．[－1,2)∪[3，＋∞) B．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D ．(1， 3 ]∪[3，＋∞)解析：选B 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0和函数g (x )＝±13的图象如图所示，从图象上可以看出不等式的解集是两个无限区间．当x <0时，是区间(－∞，－3]，当x ≥0时，是区间[1，＋∞)，故不等式－13≤f (x )≤13的解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．3．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为________． 解析：令t ＝a x(a ＞0且a ≠1)，则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t ＞0)．①当0＜a ＜1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，即a ＝－15或a ＝13.又因为a ＞0，所以a ＝13.②当a ＞1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，所以(a ＋1)2＝16，即a ＝－5或a ＝3， 又因为a >0，所以a ＝3.综上得a ＝13或a ＝3.答案：13或3—————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个关系——分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2个注意点——应用指数函数性质时应注意的两点(1)指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a >1与0<a <1来研究．(2)对可化为a 2x＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的取值X 围．3个关键点——指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .前沿热点(三)指数函数与不等式的交汇问题1．高考对指数函数的考查多以指数与指数函数为载体，考查指数的运算和函数图象的应用，且常与函数性质、二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．2．解决此类问题的关键是根据已知(或构造)指数函数或指数型函数的图象或性质建立相关关系式求解．[典例] (2012·某某高考)设a ＞0，b ＞0，( ) A ．若2a＋2a ＝2b＋3b ，则a ＞b B ．若2a＋2a ＝2b＋3b ，则a ＜b C ．若2a－2a ＝2b－3b ，则a ＞b D ．若2a－2a ＝2b－3b ，则a ＜b[解题指导] 分析题目选项的特点，可构造函数f (x )＝2x＋2x ，然后利用其单调性解决． [解析] ∵a >0，b >0，∴2a＋2a ＝2b＋3b >2b＋2b .令f (x )＝2x＋2x (x >0)，则函数f (x )为单调增函数．∴a >b .[答案] A[名师点评] 解决本题的关键有以下两点：(1)通过放缩，将等式问题转化为不等式问题； (2)构造函数，并利用其单调性解决问题．设函数f (x )＝32x－2×3x ＋a 2－a －5，当0≤x ≤1时，f (x )＞0恒成立，则实数a 的取值X 围是________．解析：f (x )＝32x －2×3x ＋a 2－a －5＝(3x －1)2＋a 2－a －6，∵0≤x ≤1，∴1≤3x≤3，∴函数f (x )＝32x－2×3x ＋a 2－a －5在0≤x ≤1上是增函数，f (x )＞0恒成立⇔f (0)＞0，f (0)＝1－2＋a 2－a －5＝a 2－a －6＝(a －3)(a ＋2)＞0，∴a ＞3或a ＜－2.答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)[全盘巩固]1．化简a 23·b －1－12·a －12·b136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2b D.1a解析：选D 原式＝a －13b 12·a －12b13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a.2．函数y ＝a x－a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )A B C D解析：选C 当x ＝1时，y ＝a 1－a ＝0，所以函数y ＝a x－a 的图象过定点(1,0)，结合选项可知选C.3．设函数f (x )＝x 2－4x ＋3，g (x )＝3x－2，集合M ＝{x ∈R |f (g (x ))>0}，N ＝{x ∈R |g (x )<2}，则M ∩N 为( )A ．(1，＋∞) B．(0,1) C ．(－1,1) D ．(－∞，1)解析：选D ∵f (g (x ))>0，∴g 2(x )－4g (x )＋3＞0，∴g (x )＞3或g (x )＜1，∴M ∩N ＝{x |g (x )<1}．∴3x－2＜1,3x＜3，即x <1.4．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a解析：选A 构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x(x ∈R )，由该函数在定义域内单调递减可得b ＜c ；又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x (x ∈R )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x (x ∈R )之间有如下结论：当x ＞0时，有⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3525＞⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，即a ＞c ，故a ＞c ＞b .5．(2014·某某模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －8x ＜0，x 2＋x －1x ≥0，若f (a )＞1，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－2,1)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)解析：选B 由f (a )＞1知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13a－8＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2＋a －1＞1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a ＜－2 或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＜－2或a ＞1，即a ＜－2或a ＞1.6．(2014·瑞金模拟)设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 解析：选B 由题设知，当x ≥1时，f (x )＝3x－1单调递增，因其图象关于直线x ＝1对称，∴当x ≤1时，f (x )单调递减．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13.7．若x ＞0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝________.解析：原式＝(2x 14)2－(332)2－4x 1－12＋4x －12＋12＝4x 12－33－4x 12＋4＝－23.答案：－238．已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x＋5的最大值为________．解析：令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4，又y ＝22x －1－3·2x＋5，∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t－3)2＋12.∵1≤t ≤4，∴当t ＝1时，y max ＝52.答案：529．(2014·某某模拟)已知过点O 的直线与函数y ＝3x的图象交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图象于C 点，当BC 平行于x 轴时，点A 的横坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可得，C (x 1，y 2)，所以有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝3x 1，y 2＝3x 2，y 2＝9x 1.又A ，O ，B 三点共线，所以k AO ＝k BO ，即y 1x 1＝y 2x 2，代入可得3x 13x 2＝x 1x 2＝12，即3x 132x 1＝12，所以x 1＝log 32.答案：log 32 10．函数f (x )＝2＋x x －1的定义域为集合A ，关于x 的不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＞2－a －x (a ∈R )的解集为B ，求使A ∩B ＝B 的实数a 的取值X 围．解：由2＋xx －1≥0，解得x ≤－2或x ＞1，于是A ＝(－∞，－2]∪(1，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＞2－a －x ⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋x ⇔2x ＜a ＋x ⇔x ＜a ，所以B ＝(－∞，a )． 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，所以a ≤－2， 即a 的取值X 围是(－∞，－2]．11．已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x(e ＝2.718 28…)． (1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值； (2)若f (x )f (y )＝4，g (x )g (y )＝8，求g x ＋yg x －y的值．解：(1)[f (x )]2－[g (x )]2＝(e x －e －x )2－(e x＋e －x )2＝(e 2x－2＋e －2x)－(e 2x ＋2＋e－2x)＝－4.(2)f (x )f (y )＝(e x －e －x )(e y －e －y )＝ex ＋y＋e－x －y－ex －y－e－x ＋y＝[e x ＋y＋e－(x ＋y )]－[e x －y＋e－(x －y )]＝g (x ＋y )－g (x －y )，即g (x ＋y )－g (x －y )＝4.① 同理，由g (x )g (y )＝8，可得g (x ＋y )＋g (x －y )＝8.② 由①②解得g (x ＋y )＝6，g (x －y )＝2，故g x ＋yg x －y＝3.12．设函数f (x )＝ka x－a －x(a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f (1)＞0，求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x－4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．解：∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝0，∴k －1＝0，∴k ＝1.故f (x )＝a x－a －x. (1)∵f (1)＞0，∴a －1a＞0，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，而当a ＞1时，y ＝a x 和y ＝－a－x在R 上均为增函数，∴f (x )在R 上为增函数，原不等式化为：f (x 2＋2x )＞f (4－x )，∴x 2＋2x ＞4－x ，即x 2＋3x －4＞0，∴x ＞1或x ＜－4，∴不等式的解集为{x |x ＞1或x ＜－4}．(2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12(舍去)，∴g (x )＝22x＋2－2x－4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x)＋2.令t ＝2x－2－x (x ≥1)，则t ＝h (x )在[1，＋∞)上为增函数(由(1)可知)，即h (x )≥h (1)＝32.∴g (t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2，∴当t ＝2时，g (x )min ＝－2，此时x＝log 2(1＋2)，故当x ＝log 2(1＋2)时，g (x )有最小值－2.[冲击名校]1．若存在负实数使得方程2x－a ＝1x －1成立，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(2，＋∞) B．(0，＋∞) C ．(0,2) D ．(0,1)解析：选C 在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x－a 的图象，则由图知，当a ∈(0,2)时符合要求．2．对于函数f (x )，如果存在函数g (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数)，使得对于区间D 上的一切实数x 都有f (x )≤g (x )成立，则称函数g (x )为函数f (x )在区间D 上的一个“覆盖函数”，设f (x )＝2x ，g (x )＝2x ，若函数g (x )为函数f (x )在区间[m ，n ]上的一个“覆盖函数”，则|m －n |的最大值为________．解析：因为函数f (x )＝2x与g (x )＝2x 的图象相交于点A (1，2)，B (2,4)，由图可知，[m ，n ]⊆[1,2]，故|m－n|max＝2－1＝1.答案：1[高频滚动]1．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，且当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值X围是( ) A．(－1,0)B．(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)解析：选C 由题意f(1－x)＝f(1＋x)，得f(x)图象的对称轴为x＝1，则a＝2.易知f(x)在(－∞，1)上单调递增，当x∈[－1,1]时，f(x)＞0，故只需f(－1)＝b2－b－2＞0，解得b ＞2或b＜－1.2．已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若存在实数a，b，使得f(a)＝g(b)，则b的取值X围为( )A．[2－2，2＋2] B．(2－2，2＋2)C．[1,3] D．(1,3)解析：选B 由题易知，函数f(x)的值域是(－1，＋∞)，要使得f(a)＝g(b)，必须使得－x2＋4x－3＞－1，即x2－4x＋2＜0，解得2－2＜x＜2＋ 2.。

第九节 函数模型及其应用【考纲下载】1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．1．三种函数模型性质比较2.几种常见的函数模型(1)一次函数模型：y ＝ax ＋b ，(a ≠0)； (2)反比例函数模型：y ＝k x(k ≠0)； (3)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(4)指数函数模型：y ＝N (1＋p )x(x >0，p ≠0)(增长率问题)； (5)对数函数模型y ＝b log a x (x >0，a >0且a ≠1)； (6)幂函数模型y ＝ax n＋b (a ，b 为常数，a ≠0)； (7)y ＝x ＋a x型(x ≠0)； (8)分段函数型．1．直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么？提示：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．2．函数y1＝1100e x，y2＝100ln x，y3＝x100，y4＝100×2x中，随x的增大而增大速度最快的函数是哪一个？提示：y1＝1100e x.1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是( )A．一次函数模型 B．幂函数模型C．指数函数模型 D．对数函数模型解析：选A 根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．2．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过( )A．12小时 B．4小时C．3小时 D．2小时解析：选C 由题意知24t＝4 096，即16t＝4 096，解得t＝3.3．据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系是( )A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000)B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000)D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)解析：选D y＝0.2x＋(4 000－x)×0.3＝－0.1x＋1 200.4．(2014·渭南模拟)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品．则获得利润最大时生产产品的档次是________．解析：由题意，第k档次时，每天可获利润为：y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，∴k＝9时，获得利润最大．答案：95．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利________元．解析：九折出售时价格为100×(1＋25%)×90%＝112.5元，此时每件还获利112.5－100＝12.5元．答案：12.51．由于受到新课标中概率模块的冲击，实际应用题被概率问题占据了位置，逐步退出命题的热点，但以二次函数为模型的应用题还是常出现在高考试题中，既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题．2．高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．[例1] (1)(2013·陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为________m.(2)(2011·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．①当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；②当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)[自主解答] (1)设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0<x <40)，当x ＝20时，S max ＝400.(2)①由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13200－x ，20≤x ≤200.②依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x 200－x ，20≤x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋ 200－x 22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时． [答案] (1)20一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略(1)直接考查一次函数、二次函数模型．解决此类问题应注意三点：①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；②确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；③解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．(2)以分段函数的形式考查．解决此类问题应关注以下三点：①实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；②构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏；③分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)．1．(2013·上海高考)甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每一小时可获得的利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元．(1)求证：生产a 千克该产品所获得的利润为100a ·⎝⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2元；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．解：(1)证明：生产a 千克该产品所用的时间是ax小时，∵每一小时可获得的利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元，∴获得的利润为100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ×a x元．因此生产a 千克该产品所获得的利润为100 a ⎝⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2元．(2)生产900千克该产品获得的利润为90 000·⎝⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2元，1≤x ≤10.设f (x )＝－3x 2＋1x ＋5,1≤x ≤10.则f (x )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋112＋5，当且仅当x ＝6取得最大值．故获得最大利润为90 000×6112＝457 500元．因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457 500元．2．据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12，∴s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t2＋70t －550.综上，可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈ 10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈ 20，35].(3)沙尘暴会侵袭到N 城．∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，t ∈(10,20]时，s max＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650.解得t 1＝30，t 2＝40.∵20<t ≤35，∴t ＝30.∴沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城.[例2] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．[自主解答] (1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40，因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．(2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥26x ＋10 8003x ＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5，即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元．【方法规律】把实际问题数学化、建立数学模型一定要过好的三关(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口；(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系； (3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？解：设温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800xm.∴蔬菜种植面积y ＝(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x (4<x <400)．∵x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，∴y ≤808－2×80＝648.当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时取等号，此时800x＝20，y 最大值＝648(m 2)．即当矩形温室的边长各为40 m 、20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m 2.[例3] 已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律是θ＝m ·2t ＋21－t (t ≥0，并且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． [自主解答] (1)若m ＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ，当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，亦m ·2t＋22t ≥2恒成立．亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝y ，则0<y ≤1，∴m ≥2(y －y 2)恒成立，由于y －y 2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.【方法规律】应用指数函数模型应注意的问题(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决；(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型；(3)y ＝a (1＋x )n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，此人至少经过________小时才能开车．(精确到1小时)解析：设经过x 小时才能开车．由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x ≥log 0.750.3≈5.答案：5—————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个防范——实际问题的定义域要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 1个步骤——解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：实际问题答答题模板(一)函数建模在实际问题中的应用[典例] (2012·江苏高考)(12分)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．[快速规范审题] 第(1)问1．审结论，明解题方向观察所求结论：求炮的最大射程――→应求出射程的关系式问题转化为求函数图象与x 轴交点的横坐标的最大值．2．审条件，挖解题信息观察条件：炮弹发射后的轨迹方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)――→令y ＝0，可得图象与x 轴交点的横坐标，即射程x ＝20k 1＋k2.3．建联系，找解题突破口令y ＝0，得x ＝20k 1＋k 2――→利用基本不等式x ＝20k ＋1k≤10，从而可求炮的最大射程． 第(2)问1．审结论，明解题方向观察所求结论：横坐标a 不超过多少时，炮弹可击中目标――→考虑炮弹击中目标的条件炮弹击中目标，即点(a,3.2)满足炮弹发射后的轨迹方程．2．审条件，挖解题信息观察条件：y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)．3．建联系，找解题突破口炮弹击中目标，即3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2(k >0)有解――→即关于k 的方程有正根利用Δ≥0求得结论．[准确规范答题]此处易发生读不懂题意，不能建立x 与k 的关系而造成题目无法求解(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，⇨2分故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米． ⇨5分 此处易发生不能把炮弹击中目标转化为关于k 的一元二次方程有正根问题而致误 (2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3．2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立． ⇨8分即关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根． ⇨10分 此处易发生不能根据判别式列出不等式求解而致误所以判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0，解得a ≤6.所以当a 不超过6千米时，可击中目标． ⇨12分[答题模板速成]解决函数建模问题的一般步骤：[全盘巩固]1．(2014·日照模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )解析：选 B 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大．2．客车从甲地以60 km/h 的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80 km/h 的速度匀速行驶1小时到达丙地．下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s 与时间t 之间的关系式正确的是 ( )A ．s (t )＝60t,0≤t ≤52 B ．s (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤1，80t －60，1<t ≤52C ．s (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤1，0，1<t ≤52 D ．s (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤1，60，1<t ≤32，80t －60，32<t ≤52解析：选D 由题意可得路程s 与时间t 之间的关系式为s (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤1，60，1<t ≤32，80t －60，32<t ≤52.3．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：则下列函数与 ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋b D ．y ＝a ＋bx解析：选B 由数据可知x ，y 之间的函数关系近似为指数型．4．一个人以6 m/s 的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m 时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s 2的加速度匀加速开走，那么( )A ．人可在7 s 内追上汽车B ．人可在10 s 内追上汽车C ．人追不上汽车，其间距最少为5 mD ．人追不上汽车，其间距最少为7 m解析：选D 设汽车经过t 秒行驶的路程为s 米，则s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7，当t ＝6时，d 取得最小值为7.5．图形M (如图所示)是由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成，函数S ＝S (a )(a ≥0)是图形M 介于平行线y ＝0及y ＝a 之间的那一部分面积，则函数S (a )的图象大致是( )解析：选C 法一：依题意，当0≤a ≤1时，S (a )＝a 2－a2＋2a ＝－12a 2＋3a ；当1<a ≤2时，S (a )＝12＋2a ；当2<a ≤3时，S (a )＝12＋2＋a ＝a ＋52；当a >3时，S (a )＝12＋2＋3＝112，于是S (a )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧－12a 2＋3a ，0≤a ≤1，2a ＋12，1<a ≤2，a ＋52，2<a ≤3，112，a >3.由解析式可知选C.法二：直线y ＝a 在[0,1]上平移时S (a )的变化量越来越小，故可排除选项A 、B.而直线y ＝a 在[1,2]上平移时S (a )的变化量比在[2,3]上的变化量大，故可排除选项D.6．(2014·汉中模拟)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为9 3 m 2，且高度不低于 3 m ．记防洪堤横断面的腰长为x m ，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y m ．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5 m ，则其腰长x 的取值范围为( )A ．[2,4]B ．[3,4]C ．[2,5]D ．[3,5]解析：选B 根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，∴93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x2，由⎩⎪⎨⎪⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x2>0，得2≤x <6.由y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2≤10.5，得3≤x ≤4.∵[3,4]⊆[2,6)，∴腰长x 的范围是[3,4]．7．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：依题意有a ·e－b ×8＝12a ，∴b ＝ln 28，∴y ＝a ·e－ ln 28·t 若容器中只有开始时的八分之一，则有a ·e－ln 28·t ＝18a .解得t ＝24，所以再经过的时间为24－8＝16 min. 答案：168．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．解析：设该公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，利润为L (x )＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15⎝⎛⎭⎪⎫x －153152＋0.15×1532225＋30，由于x 为整数，所以当x ＝10时，L (x )取最大值L (10)＝45.6，即能获得的最大利润为45.6万元．答案：45.69．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定： ①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠． 某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．解析：由题意知付款432元，实际标价为432×109＝480元，如果一次购买标价176＋480＝656元的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6元．答案：582.610．设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比．一天购票人数为25时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过100时，该旅游景点须另交保险费200元．设每天的购票人数为x ，盈利额为y 元．(1)求y 与x 之间的函数关系；(2)该旅游景点希望在人数达到20人时就不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元(取整数)？(参考数据： 2≈1.41, 3≈1.73, 5≈2.24)解：(1)根据题意，当购票人数不多于100时，可设y 与x 之间的函数关系为y ＝30x －500－k x (k 为常数，k ∈R 且k ≠0)．∵人数为25时，该旅游景点收支平衡，∴30×25－500－k 25＝0，解得k ＝50.∴y ＝⎩⎨⎧30x －50x －500 x ∈N *，x ≤100 ，30x －50x －700 x ∈N *，x >100 .(2)设每张门票价格提高为m 元，根据题意，得m ×20－5020－500≥0， (3)∴m ≥25＋55≈36.2，故每张门票最少要37元．11．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解：(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x －200≥2 12x ·80 000x －200＝200，当且仅当12x ＝80 000x，即x ＝400时，上式取等号，即当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y ＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x－80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．12．某特许专营店销售西安世界园艺博览会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向世博会管理处交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x (元)．(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y (元)与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；(2)当每枚纪念章销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y (元)最大，并求出这个最大值．解：(1)依题意y ＝⎩⎪⎨⎪⎧[2 000＋400 20－x ] x －7 ，0＜x ≤20，[2 000－100 x －20 ] x －7 ，20<x <40，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400 25－x x －7 ，0＜x ≤20，100 40－x x －7 ，20<x <40.此函数的定义域为(0,40)．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400[－ x －16 2＋81]，0＜x ≤20，100⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎪⎫x －4722＋1 0894，20<x <40.若0＜x ≤20，则当x ＝16时，y max ＝32400(元)．若20<x <40，则当x ＝472时，y max ＝27 225(元)．综上可得当x ＝16时，该特许专营店获得的利润最大为32 400元．[冲击名校]1．某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f (n )＝k (n )·(n －10)，n >10(其中n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f (n )的单位为元)，而k (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 n ≤10 ，100 10<n ≤15 ，200 15<n ≤20 ，300 20<n ≤25 ，400 n >25 .现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多( )A ．600元B ．900元C ．1 600元D ．1 700元解析：选D k (18)＝200，∴f (18)＝200×(18－10)＝1 600.又∵k (21)＝300，∴f (21)＝300×(21－10)＝3 300，∴f (21)－f (18)＝3 300－1 600＝1 700.故乙所得奖励比甲所得奖励多1 700元．2．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过的部分为每吨3.00元．若甲、乙两户某月共交水费y 元，且甲、乙两户该月用水量分别为5x 吨、3x 吨，则y 关于x 的函数关系式为________．解析：依题意可知，当甲、乙两户用水量都不超过4吨，即0≤x ≤45时，y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；当甲户用水量超过4吨，乙户用水量不超过4吨，即45<x ≤43时，y ＝3(5x －4)＋4×1.8＋3x ×1.8＝20.4x －4.8；当甲、乙两户用水量都超过4吨，即x >43时，y ＝3(5x －4＋3x －4)＋4×1.8×2＝24x －9.6.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤45，20.4x －4.8⎝ ⎛⎭⎪⎫45<x ≤43，24x －9.6⎝ ⎛⎭⎪⎫x >43.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤45，20.4x －4.8⎝ ⎛⎭⎪⎫45<x ≤43，24x －9.6⎝ ⎛⎭⎪⎫x >43[高频滚动]1．定义域为R 的奇函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，方程f (x )＝log 2 013x 的实数根的个数为( )A ．1 006B ．1 007C ．2 012D ．2 014解析：选A 因为f (x )在R 上是奇函数，其图象关于直线x ＝1对称，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，所以f (x )在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，且f (x )为周期函数，周期T＝4.令log 2 013x ＝1，得x ＝2 013，故f (x )＝log 2 013x 的实根有2×503＝1 006个．2．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1]解析：选 B 由题设知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x <－1或x >2，画出函数f (x )的图象，如图，A (2,1)、B (2,2)、C (－1，－1)、D (－1，－2)．从图象中可以看出，直线y ＝c 与函数的图象有且只有两个公共点时，实数c 的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．。

2015年高考数学一轮复习总体方案一、全力夯实双基，保证驾轻就熟目前高考数学试卷，基础知识和基本方法的考查占80%左右的份量，即使是创新题或能力题也是建立在双基之上，只有脚踏实地、一丝不苟地巩固双基，才能占领高考阵地。

教材是精品，把握了教材，也就切中了要害。

不仅要深刻理解教材中的知识，更要关注教材中解决问题的思想方法，还要全面把握知识体系，保证：⑴不掌握不放过。

对照《考试说明》，确定考试范围，认真阅读和理解教材中相关内容，包括每个概念、每个例题、每个注释、每个图形，准确理解和记忆知识点，不留空白和隐患。

⑵胸无全书不放过，在掌握知识点的基础上，根据知识的内在联系，构建知识网络，把书学得“由厚变薄”。

不防从课本的章节目录入手，进行串联，形成体系。

⑶有疑难不放过。

为巩固复习效果，发展思维能力，适量的练习是必要的，练习中遇到困难也在所难免，必须找到问题的症结在那里，对照教材，彻底扫除障碍。

回归教材、吃透课本，千万不能眼高手低哟。

二、重视错题病例，实时忘羊补牢错题病例也是财富，它有时暴露我们的知识缺陷，有时暴露我们的思维不足，有时暴露我们方法的不当，毛病暴露出来了，也就有治疗的方向，提供了纠错的机会。

由于题海战术的影响，许多同学，拼命做题，期望以多取胜，但常常事与愿违，不见提高，走访了一些同学，普遍觉得困惑他们的是有些错误很顽固，订正过了，评讲过了，还是重蹈覆辙。

原因是没有重视错误，或没有诊断出错因，没有收到纠错的效果。

建议：建立错题集，特别是那些概念理解不深刻、知识记忆失误、思维不够严谨、方法使用不当等典型错误收集成册，并加以评注，指出错误原因，经常翻阅，常常提醒，警钟长鸣，以绝后患。

注意收集错题也有个度的问题，对于那些一时粗心的偶然失误，或一时情绪波动而产生的失误应另作他论。

三、加强毅力训练，做到持之以恒毅力比热情更重要。

进入高三，同学们都雄心勃勃。

但由于各种因素的影响，有的同学能够坚持不懈，平步青云。

第八节曲线与方程【考纲下载】了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．2．求曲线方程的基本步骤1．若曲线与方程的对应关系中只满足(2)会怎样？提示：若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，则以这个方程的解为坐标的点的集合形成的曲线可能是已知曲线的一部分，也可能是整条曲线．2．动点的轨迹方程和动点的轨迹有什么区别？提示：“求动点的轨迹方程”和“求动点的轨迹”是不同的，前者只需求出轨迹的方程，标出变量x，y的范围；后者除求出方程外，还应指出方程表示的曲线的图形，并说明图形的形状、位置、大小等有关数据．1．已知命题“曲线C上的点的坐标是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题中正确的是( )A．满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上B．方程f(x，y)＝0是曲线C的方程C．方程f(x，y)＝0所表示的曲线不一定是曲线CD．以上说法都正确解析：选C 因为曲线C可能只是方程f(x，y)＝0所表示的曲线上的某一小段，因此只有C 正确．2．已知曲线C 的方程为x 2－xy ＋y －5＝0，则下列各点中，在曲线C 上的点是( ) A ．(－1,2) B ．(1，－2) C ．(2，－3) D ．(3,6)解析：选A 将四个点的坐标一一代入曲线C 的方程，只有A 选项成立，因此(－1,2)在曲线C 上．3．函数y ＝4x 的图象是( )A ．抛物线B ．圆的一部分C ．抛物线的一部分D ．以上都不是解析：选C 函数y ＝4x 的定义域是x ≥0，值域是y ≥0，则y ＝4x ，即y 2＝4x (x ≥0)，所以函数y ＝4x 的图象是顶点在原点，开口向右的抛物线位于x 轴上方的部分．4．已知M (－2,0)，N (2,0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线左支 C ．一条射线 D ．双曲线右支解析：选C 根据双曲线的定义知动点P 的轨迹类似双曲线，但不满足2c >2a >0的条件，故动点P 的轨迹是一条射线．5．设定点F 1(0，－3)，F 2(0,3)，动点P 满足条件|PF 1|＋|PF 2|＝a ＋9a(a >0)，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段解析：选D 当a ＝3时，点P 的轨迹是线段，当a ≠3时，点P 的轨迹是椭圆．[例1] (2014²新余模拟)已知A (－5,0)，B (5,0)，动点P 满足|PB |，12|PA|,8成等差数列．(1)求点P 的轨迹方程；(2)对于x 轴上的点M ，若满足|PA |²|PB |＝PM 2，则称点M 为点P 对应的“比例点”．问：对任意一个确定的点P ，它总能对应几个“比例点”？[自主解答] (1)由已知得|PA |－|PB|＝8，∴点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支，且a ＝4，b ＝3，c ＝5，∴点P 的轨迹方程为x 216－y 29＝1(x ≥4)(2)设P (x 0，y 0)(x 0≥4)，M (m,0)．∵x 2016－y 209＝1，∴y 20＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2016－1；又PA ＝(－5－x 0，－y 0)，PB ＝(5－x 0，－y 0)， 则|PA ||PB |＝ －5－x 0 2＋ －y 0 2² 5－x 0 2＋ －y 0 2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2516x 20－162＝2516x 20－16 又PM 2＝|PM |2＝(x 0－m )2＋(y 0)2＝2516x 20－2mx 0＋m 2－9，由|PA ||PB |＝PM 2得，m 2－2mx 0＋7＝0，(*)．所以Δ＝4x 20－28≥36>0，∴方程(*)恒有两个不等实根．∴对任意一个确定的点P ，它总能对应2个“比例点”． 【互动探究】若将本例中的条件“|PB |，12|PA |,8”改为“|PA |，12|PB|，8”，求点P 的轨迹方程．解：由已知得|PB |－|PA|＝8，∴点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的左支，且a＝4，b ＝3，∴点P 的轨迹方程为x 216－y 29＝1(x ≤－4)．【方法规律】定义法求轨迹方程及其注意点(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．1．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，则椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是什么？解：由题意知|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又∵|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |，∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2， 故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支． 又c ＝7，a ＝1，可得b 2＝48，故点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．2．点P (－3,0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆相内切且过点P ，求圆心M 的轨迹方程．解：已知圆为(x －3)2＋y 2＝64，其圆心C (3,0)，半径为8，由于动圆M 过点P ， 所以|MP |等于动圆的半径r ，即|MP |＝r .又圆M 与已知圆C 相内切，所以圆心距等于半径之差，即|MC |＝8－r . 从而有|MC |＝8－|MP |，即|MC |＋|MP |＝8.根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |，所以动点M 的轨迹是椭圆，并且2a ＝8，a ＝4；2c ＝6，c ＝3；b 2＝16－9＝7，因此圆心M 的轨迹方程为x 216＋y 27＝1.[例2] (1)(2012²辽宁高考改编) 如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左、右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点，则直线AA 1与直线A 2B 的交点M 的轨迹方程为________________．(2)设F (1,0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN ＝2MP ，PM ⊥PF，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．[自主解答] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a (x ＋a )，① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a (x －a )．②由①②得y 2＝－y 21x 21－a 2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b 2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b 2＝1(x <－a ，y <0)．(2)设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )，∵OBAB ⊥PF ，PM ＝(x 0，－y 0)，PF＝(1，－y 0)，∴(x 0，－y 0)²(1，－y 0)＝0，∴x 0＋y 20＝0.由MN ＝2MP，得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝12y .∴－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .故所求的点N 的轨迹方程是y 2＝4x .[答案] (1)x 2a 2－y 2b2＝1(x <－a ，y <0)【方法规律】代入法(相关点法)适用的轨迹类型及使用过程动点所满足的条件不易得出或转化为等式，但形成轨迹的动点P (x ，y )却随另一动点Q (x ′，y ′)的运动而有规律地运动，而且动点Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的，则可先将x ′，y ′表示成关于x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，整理化简即得动点P 的轨迹方程．已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP ＝22PB，求点P 的轨迹C 的方程．解：设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，由题意知AP ＝22PB， 又AP ＝(x －x 0，y )，PB ＝(－x ，y 0－y )，所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )，得x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y . 因为|AB |＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2， 化简得x 2＋y 2＝1.1．直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的一种重要方法，也是高考考查的重要内容． 2．直接法求点的轨迹方程，在高考中有以下两个命题角度： (1)明确给出等式，求轨迹方程；(2)给出已知条件，寻找题设中的等量关系，求轨迹方程．[例3] 已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C 的形状．[自主解答] (1)由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以kPM ²kPN ＝y x ＋1²y x －1＝λ，整理得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)． 即动点P 的轨迹C 的方程为x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．(2)①当λ>0时，轨迹C 为中心在原点、焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)；②当－1<λ<0时，轨迹C 为中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)； ③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆心、1为半径的圆(除去点(－1,0)，(1,0))； ④当λ<－1时，轨迹C 为中心在原点、焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13.求动点P 的轨迹方程．解：因为点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称，所以点B 的坐标为(1，－1)． 设点P 的坐标为(x ，y )，由题设知直线AP 与BP 的斜率存在且均不为零， 则y －1x ＋1²y ＋1x －1＝－13，化简得x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)． 故动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．———————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 1个主题——坐标法求轨迹方程通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何需要完成的两大任务，是解析几何的核心问题，也是高考的热点之一．3种方法——求轨迹方程的三种常用方法明确求轨迹方程的适用条件是求轨迹方程的关键．(1)定义法：求轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的类型，应用定义法，这样可以减少运算量，提高解题速度．(2)代入法(相关点法)：当所求动点P (x ，y )是随着另一动点Q (x ′，y ′)(称之为相关点)而运动，且相关点Q 满足一曲线方程时，就可用代入法求轨迹方程．此时应注意：代入法求轨迹方程是将x ′，y ′表示成关于x ，y 的式子，同时要注意x ′，y ′的限制条件．(3)直接法：如果动点满足的几何条件本身是一些几何量(如距离与角等)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，就可运用直接法求轨迹方程．在运用直接法求轨迹方程时要注意：化简方程的过程中有时破坏了方程的同解性，此时要补上遗漏点或删除多余的点，这是不可忽视的.方法博览(七)利用参数法求轨迹方程在求点的轨迹方程时，有时求动点应满足的几何条件不易求得，也无明显的相关点，但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个或两个变量(如斜率、比值、截距或坐标等)的制约，即动点坐标(x ，y )中的x ，y 分别随另外变量的变化而变化，我们称这些变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法．[典例] (2013²福建高考)如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9，连接OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)．(1)求证：点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程； (2)过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ，N ，若△OCM 与△OCN 的面积比为4∶1，求直线l 的方程．[解题指导] (1)设A i 的坐标为(i,0)，则B i 的坐标为(10，i )，可用i 表示点P 的坐标，得出P 的参数方程．(2)设直线l 的斜率为k ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，寻找M ，N 两点坐标之间的关系，再由面积之比即可求出k 的值．[解] (1)法一：依题意，过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i10x .设P i 的坐标为(x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i10x ，得y ＝110x 2，即x 2＝10y .所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .法二：点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在抛物线E ：x 2＝10y 上．证明如下：过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i10x .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i 10x ，解得P i 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫i ，i 210.因为点P i 的坐标都满足方程x 2＝10y ，所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y . (2)依题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋10，x 2＝10y ，得x 2－10kx －100＝0， 此时Δ＝100k 2＋400>0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N . 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝10k ，x 1x 2＝－100.①②因为S △OCM ＝4S △OCN ，所以|x 1|＝4|x 2|. 又x 1x 2<0，所以x 1＝－4x 2，分别代入①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＝10k ，－4x 22＝－100，解得k ＝±32.所以直线l 的方程为y ＝±32x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0.[点评] 参数法求轨迹方程的步骤：(1)选取参数k ，用k 表示动点M 的坐标；(2)得出动点M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f k ，y ＝g k ；(3)消去参数k ，得M 的轨迹方程； (4)由k 的范围确定x 、y 的范围.[全盘巩固]1．方程(x 2－y 2－1)x －y －1＝0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)( )解析：选B 原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2－1＝0，x －y －1≥0或x －y －1＝0，前者表示等轴双曲线x 2－y 2＝1位于直线x －y －1＝0下方的部分，后者为直线x －y －1＝0，这两部分合起来即为所求．2．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：选B 设P (x ，y )，则 x ＋2 2＋y 2＝2 x －1 2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＝0，又D 2＋E 2－4F ＝16>0，所以动点P 的轨迹是圆．3．(2014²长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1，0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1B.4x 221＋4y225＝1 C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y221＝1 解析：选D ∵M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |， ∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆．∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y221＝1.4．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过B 作垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线解析：选D 由已知得|MF |＝|MB |.由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线．5．|y |－1＝1－ x －1 2表示的曲线是( ) A ．抛物线 B ．一个圆 C ．两个圆 D ．两个半圆解析：选D 原方程|y |－1＝1－ x －1 2等价于⎩⎪⎨⎪⎧|y |－1≥0，1－ x －1 2≥0，|y |－1 2＝1－ x －1 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧|y |－1≥0，x －1 2＋ |y |－1 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1， x －1 2＋ y －1 2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－1， x －1 2＋ y ＋1 2＝1.6．(2014²洛阳模拟)设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP ＝2 PA ，且OQ ²AB＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) B.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0.由BP ＝2PA，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x >0，b ＝3y >0.点Q (－x ，y )，故由OQ ²AB ＝1，得(－x ，y )²(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ，b 代入上式得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．7．设P 是圆x 2＋y 2＝100上的动点，点A (8,0)，线段AP 的垂直平分线交半径OP 于M 点，则点M 的轨迹为________．解析：如图，设M (x ，y )，由于l 是AP 的垂直平分线，于是|AM |＝|PM |，又由于10＝|OP |＝|OM |＋|PM |＝|OM |＋|AM |，即|OM |＋|AM |＝10，也就是说，动点M 到O (0,0)及A (8,0)的距离之和是10，故动点M 的轨迹是以O (0,0)，A (8,0)为焦点，中心在(4,0)，长半轴长是5的椭圆．答案：椭圆8．直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程为________________．解析：设直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点为A (a,0)，B (0，2－a )，A ，B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案：x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)9．点P 是圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4上的动点，定点F (2,0)，线段PF 的垂直平分线与直线CP 的交点为Q ，则点Q 的轨迹方程是________________．解析：依题意有|QP |＝|QF |，∴||QC |－|QF ||＝|CP |＝2，又|CF |＝4>2，故点Q 的轨迹是以C 、F 为焦点的双曲线，a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3，所求轨迹方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝110．(2014²北京模拟)在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，一曲线E 过点C ，动点P 在曲线E 上运动，且保持|PA |＋|PB |的值不变．(1)建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；(2)直线l ：y ＝x ＋t 与曲线E 交于M ，N 两点，求四边形MANB 的面积的最大值． 解：(1)以AB 为x 轴，以AB 中点为原点O 建立直角坐标系，∵|PA |＋|PB |＝|CA |＋|CB |＝22＋ 22＋⎝⎛⎭⎪⎫222＝22， ∴动点P 的轨迹为椭圆，且a ＝2，c ＝1，从而b ＝1.∴曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)将y ＝x ＋t 代入x 22＋y 2＝1，得3x 2＋4tx ＋2t 2－2＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16t 2－4³3³ 2t 2－2 >0， ①x 1＋x 2＝－4t 3， ②x 1x 2＝2t 2－23， ③由①得0≤t 2<3，∴S 四边形MANB ＝12|AB ||y 1－y 2|＝|y 1－y 2|＝|x 1－x 2|＝23 6－2t 2，故当t ＝0时，S 四边形MANB 取得最大值，最大值为263.11．设椭圆方程为x 2＋y 24＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，l上的动点P 满足OP ＝12(OA ＋OB )，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12.当l 绕点M 旋转时，求：(1)动点P 的轨迹方程；(2)|NP|的最小值与最大值．解：(1)直线l 过点M (0,1)，当直线l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题设可得点A 、B 的坐标(x 1，y 1)、(x 2，y 2)是方程组22114y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩①②的解．将①代入②并化简得，(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k4＋k 2，y 1＋y 2＝84＋k2.于是OP ＝12(OA ＋OB )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 4＋k 2，44＋k 2. 设点P 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k4＋k 2，y ＝44＋k 2.消去参数k 得4x 2＋y 2－y ＝0.③当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点坐标为原点(0,0)，也满足方程③， 所以动点P 的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0.(2)由点P 的轨迹方程得x 2＝－y 2＋y 4，知x 2≤116，即－14≤x ≤14.所以|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14－4x 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋162＋712.故当x ＝14时，|NP |取得最小值，最小值为14；当x ＝－16时，|NP |取得最大值，最大值为216.12．(2013²辽宁高考) 如图，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )． 解：(1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12，所以点A 坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，14，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14. 因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上，于是y 0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－ 1－2 22p ＝－3－222p.②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，x 1≠x 2，由N 为线段AB 的中点，知x ＝x 1＋x 22，③ y ＝x 21＋x 228.④切线MA ，MB 的方程为y ＝x 12(x －x 1)＋x 214.⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ，AB 中点N 为O ，坐标满足x 2＝43y .因此线段AB 中点N 的轨迹方程为x 2＝43y .[冲击名校](2013²四川高考)已知椭圆C ： x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A (0,2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且 2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，求点Q 的轨迹方程．解：(1)由椭圆定义知，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝22， 所以a ＝ 2.又由已知c ＝1，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12＝22.(2)由(1)知，椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设点Q 的坐标为(x ，y )．①当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，2－355.②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM |2＝(1＋k 2)x 21，|AN |2＝(1＋k 2)x 22.又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)x 2.由2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，得2 1＋k 2 x 2＝1 1＋k 2 x 21＋1 1＋k2 x 22，即2x 2＝1x 21＋1x 22＝ x 1＋x 2 2－2x 1x 2x 21x 22.①将y ＝kx ＋2代入x 22＋y 2＝1中，得 (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②由Δ＝(8k )2－4³(2k 2＋1)³6＞0，得k 2＞32.由②可知，x 1＋x 2＝－8k 2k 2＋1，x 1x 2＝62k 2＋1，代入①中并化简，得x 2＝1810k 2－3.③因为点Q 在直线y ＝kx ＋2上，所以k ＝y －2x，代入③中并化简，得10(y －2)2－3x 2＝18.由③及k 2＞32，可知0＜x 2＜32，即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62.又⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2－355满足10(y －2)2－3x 2＝18，故x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，62.由题意，Q (x ，y )在椭圆C 内，所以－1≤y ≤1，又由10(y －2)2＝18＋3x 2，有(y －2)2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫95，94，且－1≤y ≤1，则y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2－355.所以点Q 的轨迹方程为10(y －2)2－3x 2＝18，其中x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，62，y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2－355. [高频滚动]已知圆C ：(x －4)2＋(y －m )2＝16(m ∈N *)，直线4x －3y －16＝0过椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，且被圆C 所截得的弦长为325，点A (3,1)在椭圆E 上．(1)求m 的值及椭圆E 的方程；(2)设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AC ²AQ的取值范围．解：(1)因为直线4x －3y －16＝0被圆C 所截得的弦长为325，所以圆心C (4，m )到直线4x －3y －16＝0的距离为42－⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝125，即|4³4－3³m －16|5＝125，解得m ＝4或m ＝－4(舍去)． 又直线4x －3y －16＝0过椭圆E 的右焦点，所以椭圆E 的右焦点F 2的坐标为(4,0)，则其左焦点F 1的坐标为(－4,0)．因为椭圆E 过A 点，所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，所以2a ＝52＋2＝62，所以a ＝32，a 2＝18，b 2＝2，故椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1.(2)由(1)知C (4,4)，又A (3,1)，所以AC＝(1,3)，设Q (x ，y )，则AQ＝(x －3，y －1)，则AC ²AQ ＝x ＋3y －6.令x ＋3y ＝n ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 22＝1，x ＋3y ＝n ，消去x 得18y 2－6ny ＋n 2－18＝0.因为直线x ＋3y ＝n 与椭圆E 有公共点，所以Δ＝(－6n )2－4³18³(n 2－18)≥0，解得－6≤n ≤6，故AC ²AQ＝x ＋3y －6的取值范围为[－12,0].。