当前位置：文档之家 › 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系.ppt

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系.ppt

  • 格式：ppt
  • 大小：5.54 MB
  • 文档页数：25

下载文档原格式

  / 25

合集下载

21.2.4_一元二次方程_根与系数的关系

21.2.4_一元二次方程_根与系数的关系

是2，求它的另一个根及k的值. 2 解：设方程 5x kx 6 0 的两个根 x1 2 。 分别是 x1 、x 2 ，其中 6 x1 x2 2 x2 所以： 5 3 即： x 5 3 k 由于 x1 x2 2 ( 5 ) 5 得：k=-7 3 答：方程的另一个根是 5 ，k=-7
22.2.4 一元二次方程 的根与系数的关系
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax bx c 0(a 0)
2
2.一元二次方程的求根公式是什么？
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
b 2 4ac
b b 4ac 2 x (b 4ac 0) 2a
2
0 有两个不相等的实数根 0 有两个相等的实数根 0 没有实数根
2
1
3 2
猜想： 如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根 分别是 x1 、 x 2 ，那么，你可以发现什么结论？
已知：如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x 2 。
2
b 求证： x1 x2 a
2
解：设方程的两个根是x1 x2，那么
用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值
x1 x2 1 1 1. x1 x2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1
2 1
2 2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2
3.(x1 1)(x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1
1 ∴两根之积2m10 m 且 0,
∴
2 1 m时 ,方程有一根为零. 2

一元二次方程的根与系数的关系课件(1)

一元二次方程的根与系数的关系课件(1)

x1 + x2 = -p， x1·x2 = q
重要发现
方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
猜一猜
（2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别是 x1，x2，那么，你可以发现什么结论？
x1 x2
b， a
x1
x2
c. a
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
证一证：
注：b2 - 4ac≥0
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
↗
b b2 4ac b b2 4ac 2b b .
2a
2a a
b b2 4ac b b2 4ac
归纳 在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判
断是否 Δ≥0，如是则代入 a、b、c 的值即可.
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
例2 已知关于 x 的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另 一个根及 k 的值.
解：所即由设以于方x2程=xx11的·+x253两x=2.=根2x2分2 +=别是6553，x=1，xk52，，其中 x1 = 2.
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的根与系数的关系
21.2.6 一元二次方程的根与系数的关系
1.一元二次方程的一般情势是什么？ ax2 bx c 0(a 0)
2.一元二次方程的求根公式是什么？
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？

人教版数学九年级上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共19张PPT)

人教版数学九年级上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共19张PPT)
的关系进行简单计算。
情感态度与价值观：
1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意
识。
教学重难点
掌握一元二次方程根与系数的关系。
利用一元二次方程根与系数的关系进行简单
计算。
复习引入：
1.一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
b2-6b+4=0，且
A.


B.




a≠b，则 + 的值是( A )

−

C.


D.

−

解：∵ a2-6a+4=0 和 b2-6b+4=0 两个等式的
形式相同，且 a≠b，∴ a，b 可以看成是方
程 x2-6x+4=0 的两个根，∴ a+b=6，ab=4，

∴



+ =


+


=
+
巩固练习：
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1) x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0，
x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
(2)方程化为 3x2＋4x＋1＝0，
2.判断一元二次方程根的情况.
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.

21.2.4(1)一元二次方程的根与系数的关系

21.2.4(1)一元二次方程的根与系数的关系

(1) x 6 x 15 0
2
(2)3 x 7 x 9 0
2
(3)5 x 1 4 x
2
知识源于悟
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
b ⑵在使用X1+X2=－ 时， a
注意“－ ”不要漏写.
二、求关于两根的对称式或代数式的值 2 例2、设 x1 , x2是方程 2x 4x 3 0 的两个
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得x1+x2= ∴
k 1 2 k 3 ( ) 4 1 2 2
解得k1=9,k2= -3
k 1 2
, x 1x2=
k 3 2
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
即
m>0 m-1<0
∴0<m<1
两个正根
△≥0
X1X2＞0 X1+X2＞0
两个负根 一正根，一负根
△≥0
X1X2＞0 X1+X2＜0 △＞0 X1X2＜0
三、构造新方程
例3、求一个一元二次方程，使 它的两个根是2和3，且二 次项系数为1.
变式：且二次项系数为5
三、构造新方程
练习、甲、乙二人解同一个一元二次
2
注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2-4ac≥0
*求未知系数的取值范围
*例题:已知关于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0.
(1)求证:无论k取何值时,方程总有两不相等的实数根. (2)当k取何值时,方程的一根大于1,另一根小于1?

21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 课件(共17张PPT) 人教版数学九年级上册

21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 课件(共17张PPT) 人教版数学九年级上册

求 a 的值及该方程的另一个根.
解：由方程有两个实数根，得 Δ = a2 - 4 ≥0，
即 a ≥ 2或a ≤ -2.
由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2a，x1 x2 = 16.
∴
x1 x2
x1 x2
1
1



1
x1
x2
x1 x2
16
解得 a = 8
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
x1 x2 x12 x22 ( x1 x2 )2 2 x1 x2
3.


;
x2 x1
x1 x2
x1 x2
4.( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 .
21.2.4 一元二次方程
的根与系数的关系
九年级上
学习目标
目
录
新课引入
新知学习
随堂练习
课堂小结
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系. （2022年版课标将*删除）
2. 会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
21.2.4 一元二次方程Βιβλιοθήκη 与系数的关系7－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝ ＝－3.
3
3
(3)方程化为 4x2－5x＋1＝0，∴
x1＋x2＝－
1
5 5
= ， x1 x2＝ .
4
4 4
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系
1
1

人教版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》赛课课件

人教版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》赛课课件

A．5
B．－5
C．1
D．－1
15．方程 x2－(m＋6)x＋m2＝0 有两个相等的实数根，且满足 x1＋x2
＝x1x2，则 m 的值是( C )
A．－2 或 3 B．3
C．－2
D．－3 或 2
16．(2014·呼和浩特)已知 m，n 是方程 x2＋2x－5＝0 的两个实数根， 则 m2－mn＋3m＋n＝____8____． 17．在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－8， －1；乙看错了常数项，得出的两个根为 8，1，则这个方程为 __x_2_－__9_x_＋__8_＝__0____． 18．已知 x1，x2 是一元二次方程 x2－4x＋1＝0 的两个实数根，求(x1 ＋x2)2÷(x11＋x12)的值．
－2，x2＝4，则 b＋c 的值是( A )
A．－10
B．10
C．－6
D．－1
10．(2014·烟台)关于 x 的方程 x2－ax＋2a＝0 的两根的平方和是 5，
则 a 的值是( D )
A．－1 或 5
B．1
C．5
D．－1
11．若关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋k－3＝0 的两个实数根为 x1，
解：x1＋x2＝－13，x1x2＝－1
6．已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，不解方程求下 列各式的值：
(1)x12＋x22；
(2)x11＋x12.
解：(1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝11 (2)x11＋x12＝x1x＋1x2x2＝－3
知识点2：利用根与系数的关系求方程中待定字母的值
1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两根，则x1＋x2的

一元二次方程的根与系数的关系 课件 (共20张PPT) 2024-205学年数学人教版九年级上册

一元二次方程的根与系数的关系 课件 (共20张PPT) 2024-205学年数学人教版九年级上册
第21章
一元二次方程
21.2.4一元二次方程的根与
系数的关系
教 学 目 标 / Te a c h i n g a i m s
1
2
熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系；
灵活运用一元二次方程的根与系数的关
系解决实际问题；
经历探索一元二次方程的根与系数的关系，
3
发展学生的逻辑推理和数学运算的核心素养
，培养学生观察、分析、归纳和判断的能力
( D )
A．－2
B．2
C．－5
D．5
3．如果 x1，x2是一元二次方程 2x2－kx＋1－k＝0 的两个实数根，
6
且 x1＋x2＝3，那么 k＝_________.
课堂练习
4．已知关于 x 的一元二次方程 x2 ＋5x－p2 ＝0 的两个实数根为
x1，x2，当 x1＋x2＝x1x2 时，求 p 的值．
课堂总结
如果一元二次方程
内容
根与系数的关
系（韦达定理）
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是
x1、 x2，那么x1 x2
x12 x22
应用
( x1 x2 ) 2
1
x1
1
x2
b
x1 x2
a
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2
( x1 x2 ) 2 4 x1 x2
x1 x2
x1 x2
c
a
一元二次方程
2
3 5
(2) (1－a)(1－b)＝1－a－b＋ab＝1－(a＋b)＋ab＝1－ － ＝－3.
2 2
课堂练习
1．已知方程 2－5x＝x2 的两个实数根分别为 x1，x2，则 x1x2 的值为

一元二次方程根与系数的关系ppt课件

一元二次方程根与系数的关系ppt课件

一. 第一章 教学内容分析
●猜想一元二次方程的根与系数的关系
教学 内容
一元二次方程的
●证明一元二次方程的根与系数的关系 ●应用一元二次方程的根与系数的关系
根与系数的关系 教学
●探究一元二次方程的根与系数的关系
重点 ●应用一元二次方程的根与系数的关系
二. 第三章 学情分析
推理与 计算基础
推理 证明
3.通过问题情境、观察、猜想、证明、应用等数学活动过程， 激发学生的求知欲望，培养学生思考、表达和解决问题的能 力。体验数学学习中充满着探索与成功感，建立自信心。
四. 第三章 教学方法
兴趣点 难点
四点 突破
重点
目标达 成点
四. 第一章 教学方法
重点:
一元二次方程根与系
兴趣点:
数的关系以及应用
原生兴趣: 一元二次方程的根到底和
人教版九年级数学上册第二十一章
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
CONTENTS 目录页
PAGE
1.教学内容分析 2. 学情分析
3.教学目标 4.教学方法 5.教学过程
一. 第一章 教学内容分析
一元二次方程的解法
一元二次方程的求根公式 准备知识
一元二次方程的根与系数的关系
揭示了一元二次方程的两根与系数之间的关系
方程之间有什么样的关系？
伴生兴趣: 求根、观察、猜想、推理； 衍生兴趣：根与系数关系的作用？
四点突破 分析
难点:
发现并表达一
目标达成点：
元二次方程根
通过观察、发现和推理一元二次方程根与
与系数之间的
系数的关系，获得学习数学新知识的方法，
关系;求两根的
并灵活应用一元二次方程根与系数的关系
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
21.2.4根与系数的关系
解下列方程，并填写表格：
方
2
程
x
1
x 5 x 6 0
x 3 x 4 0
2
x 2 x 0
2
2 -4 0
x 3 1 2
2
x x x1 x2
1 2
5 -3 2
6 -4 0
观察上面的表格，你有什么发现？
根与系数关系 如果关于x的方程 的两根是
1 2
若、 是方程x 2 x 2011 0的两根，
2
求 3 的值
2
已知、 是关于x的一元二次方程 x (2m 3) x m =0的两实根，且
2 2
1


1

1，
则m的值是 A、3或 1 B、3 C、 1 D、 3或1
1 2
x , x2 ,则:
1
韦达是法国十六世纪最有影响的 数学家之一。第一个引进系统的代数 符号，并对方程论做了改进。 他生于法国的普瓦图。年青时学 习法律当过律师，后从事政治活动， 当过议会的议员，在对西班牙的战争 中曾为政府破译敌军的密码。韦达还 致力于数学研究，第一个有意识地和 系统地使用字母来表示已知数、未知 数及其乘幂，带来了代数学理论研究 的重大进步。韦达讨论了方程根的各 种有理变换，发现了方程根与系数之 间的关系（所以人们把叙述一元二次 韦达（1540－1603） 方程根与系数关系的结论称为“韦达 定理”）。 韦达在欧洲被尊称为“代数学之 父”。
当k=4时， △＜0
当k=-2时，△＞0
即(X1+ X2)2 -2X1X2=4
K2- 2(k+2）=4
K2-2k-8=0
∴ k=-2
设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
4(k 1) 2 4k 2 0
2 1 2 2
2、x x ( x1 x2 ) 2x1x2
2 1 2 2 2
3、 ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 4x1x2
2 2
2 1 2 2 2
1 1 x1 x2 4、 x1 x2 x1 x2
x1 x2 x x ( x1 x2 ) 2 x1 x2 5. x2 x1 x1 x2 x1 x2
试一试
已知方程x2-5x+k=0的一个根比另一根 大1, 求它的两根及k的值。
已知两根求作新的方程
以x1、x2 为两根的一元二次方程(二次项系数为1)为:
x ( x1 x2 ) x x1x2 0
2
已知x1 2 5, x2 2 5,试求做一个一元二次 方程，使该方程的两根分别为x1，x2
已知两个数的和为 7，积为12，求这两个数
已知方程 x 2 kx k 2 0 的两个实数根 2 是 x1, x2 且 x12 x2 4 求k的值。 解：由根与系数的关系得 X1+X2=-k， X1．X2=k+2 解得：k=4 或k=－2 ∵ △= K2-4k-8又X2+ X2 2 = 4
x px q 0
2
x x p x x q
1 2
x
1
,
x
2
,则 :
如果方程二次项系数不为1呢?
根与系数关系
如果关于x的一元二次方程
ax bx c 0(a 0)
2
的两根是
1 2
c b x x x x a a
1 2
x , x2 ,则:
1
一元二次方程根与系数关系的证明：
2 3
答：方程的另一个根是
2 3
, c的值是1.
试一试
已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
解：设方程的另一个根为x1.
把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0
解这方程，得 k= - 2 由根与系数关系，得x1●2＝3k 即 2 x1 ＝－6
∴ x1 ＝－3
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
试一试
已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
解二： 设方程的另一个根为x1. x1 ＋2= k+1 由根与系数的关系，得 x1 ●2= 3k
解这方程组，得 x1 =－3 k =－ 2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
X 1 x 2=
b b 2 4ac 2a
●
b b 2 4ac 2a
2 ( b 2 4ac) 2 ( b ) = 4a 2
4ac = 2 4a
c a
根与系数关系
如果关于x的一元二次方程
ax bx c 0(a 0)
2
的两根是
1 2
c b x x x x a a
x1 =2
m =2
答：方程的另一个根是2 , m的值是2。
已知一根求另一根及待定系数
2.（2004辽宁）已知方程x2-4x+c=0
的一个根为
2 ，求另一根及 3 c的值.
3
3 =4 3 ）= c
解： 设方程的另一个根为x1. 则两根为:x1、 2 x1 ＋ 2 x1 ● （ 2 解得 x1 = c =1
不解方程，求两根和、两根积
例1：不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：
(1) x 3 x 1 0
(2)2 x 3 x 50
1 2 ( 3) x 2 x 0 3
2
2
(4) 2 x 6 x 3
2
(5) x 1 0
(6) x 2 x 2 0
2
2
4．如果 x1、x2 是两个不相等的实数，且满足 x2 1－2x1＝1，
利用根与系数的关系，求下列各式的值。
1、x x
2 1
2 2
2、x x x x
2 1 2
2 1 2
1 1 3、 x1 x2
4、 ( x1 x2 )
2
x1 x2 5. x2 x1
6.( x1 2)( x2 2)
7. x1 x2
另外几种常见的求值的变形
1、x x2 x1 x x1x2 ( x1 x2 )
2 2 b b 4ac b b 4ac x2 x1 2a 2a
b b 2 4ac b b 2 4ac X1+x2= + 2a 2a
2b b = = 2a a
一元二次方程根与系数关系的证明：
2 4ac 2 b b b b 4ac x2 x1 2a 2a
2 x2 －2x2＝1, 那么 x1x2 等于( D )
A．2
B．－2
C．1
D．－1
2 解析：∵x1、x2 满足 x2 － 2 x ＝ 1 ， x 1 1 2－2x2＝1，∴x1、x2 是方
程 x2－2x－1＝0 的两根，∴x1x2＝－1.
不解方程，求两根代数式的值 例2、设x1.x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，
6.( x1 2)( x2 2) x1x2 2( x1 x2 ) 4
7. x1 x2
x1 x2
2
( x1 x2 ) 4 x1 x2
2
已知一根求另一根及待定系数
1.已知方程 x2-3x+m=0 的一个根是1， 求另一根及m的值.
解： 设方程的另一个根为x1. 则两根为:x1、1 x1 ＋1= 3 x1 ●1= m 解得
即-8k+4≥0
k
由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4
1 2
解得k1=0 , k2=4
经检验， k2=4不合题意，舍去。 ∴ k=0