5一元二次方程的根与系数的关系.pptx

那么列二元一次方程解应用题的步骤呢？你知道吗？
讲授新课
一 利用一元二次方程解决图形问题
如图所示，用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截 去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有 盖的长方体盒子．求截去的小正方形的边长.
x 60
x
80
60-2x 80-2x
解：设截去的小正方形的边长xcm，则长和宽分别为 （80-2x）cm、（60-2x）cm.
方法归纳
列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程 解应用题的步骤类似，即审、找、列、解、答．这里要特 别注意．在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一 般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要 求．
二 利用一元二次方程解决数字问题
问题引导 问题1：连续三个奇数，若第一个为x，则后2个为___x_+_2_，__x_+_4___. 问题2：连续的五个整数，若中间一个数位n， 其余的为___n_+_2_，__n_+_1_，__n_-_1_，__n_-_2___ 问题3：一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，
当堂练习
1.三个连续整数，两两之积的和为587，求这三个数.
解：设这三个连续整数为x-1，x，x+1，
(x-1)x+(x-1)(x+1)+x(x+1)=587 3x2-588=0 x1=14,x2=-14.
x-1 = 13 x+1= 15
x-1= -15 x+1= -13
答：这三个数为13,14,15或-13，-14，-15。
22.3 实践与题
学习目标
1．能列出关于图形、数字问题的一元二次方程；（重点） 2．体会一元二次方程在实际生活中的应用；（重点、难点） 3.经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意 识．

(1) (2) (3)
（1） （2）整理得： （3）整理得：
课堂练习
1．根据一元二次方程根与系数的关系，求下列 方程的两根x1，x2的和与积．
(1)2x2－4x－3＝0； (2)x2－4x＋3＝7； (3)5x2－3＝10x＋4.
2．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋
m2＋5＝0的两实数根．
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个
实数根是x1，x2 那么x1+x2= b，x1·x2= c .
a
a
如果一元二次方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2 那么
x1+x2=- p
x1·x2= q
18
例题
【例1】已知方程 3x2+mx-4=0的一个根是2，求它的另 一个根及m的值.
（2）3x2-2x=2 （4）3x2=2
（1）（3，1） （2）（ 2， ）2
33
（3）（ 3，0）
2
（4）（0，
）2
3
21
2.利用根与系数的关系，判断下列各方程后面的两个 数是不是它的两个根?（口答）
（1）x2-6x-7=0（-1，7）
（2）3x2+5x-2=0（ 5 ， 2 ）
33 （3）2x2-3x+1=0（3，1）
程无解，∴m＝6；
(2)①当7为底边时，此时方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两 个相等的实数根，∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，解得：m ＝2.∴方程变为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3.∵3＋3＜7， ∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1＝7，代入方程得： 49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得：m＝10或4.当m＝10时， 方程变为x2－22x＋105＝0，解得：x＝7或15.∵7＋7＜15， 不能组成三角形；当m＝4时方程变为x2－10x＋21＝0，解 得：x＝3或7，此时三角形的周长为7＋7＋3＝17.

新课讲解
例2 已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的 一个根是2，求方程的另一个根和p的值．
导引：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之 和可求出另一根，再运用两根之积求出常数 项中p的值．
新课讲解
解： 设方程的两根为x1和x2，
∵x1＋x2＝
b a
＝ 6，x1＝2，
∴x2＝4.
又∵x1x2＝
＝18，则 a ＋ b ba
的值是( D
)
A．3
B．－3
C．5
D．－5
课堂练习
2.若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的两
个实数根分别是x1，x2，且满足x1＋x2＝x1x2，则k
的值为( C )
A．－1或 3 4
B．－1
C. 3 4
D．不存在
课堂练习
3.等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关 于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n 的值为( B )
归纳总结
新课讲解
已知方程两根的关系求待定字母系数的值时，先 根据根与系数的关系用待定的字母表示两根之和与 两根之积，然后将已知两根的关系进行变形，再将 两根的和与积整体代入，列出以待定字母为未知数 的方程，进而求出待定字母的值．
课堂练习
1.若关于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的
两个不相等的实数根分别为a和b，且a2－ab＋b2
再见
b
c
x1 x2 a , x1 x2 a .
新课讲解
例题讲解
例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求 下列方程两个根的和与积： (1) x2－3x－8＝0 (2) 3x2＋4x－7＝0；
解： (1) 这里a＝1，b＝－3，c＝－8，且

x1+x2=-7， x1x2 = 6.
解：(2)这里 a = 2，b = -3，c = -2.
Δ =b2-4ac = (-3)2-4×2×(-2)
= 9+16 = 25 > 0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，那么.
x1+x2=
3 2
， x1x2 = -1.
随堂练习
1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
2. 解下列方程： （1）12x2+7x+1=0；
（2）0.8x2+x=0.3；
解：（1）a=12，b=7，c=1.
∵b²-4ac=7²-4×12×1=1.
∴x=
7 1
.
24
∴x1=
1 4
，x2=

1 3
.
（2）原方程变形为8x²+10x-3=0.
这里a=8，b=10，c=-3.
∵b²-4ac=10²-4×8×(-3)=196，
(1) x2-3x-1=0；
(2) 3x2+2x-5=0.
解：(1)这里 a = 1，b = -3，c = -1. 解：(2)这里 a = 3，b = 2，c = -5.
Δ =b2-4ac = (-3)2-4×1×(-1)
Δ =b2-4ac = 22-4×3×(-5) = 4+60 = 64＞0，
= 9+4 = 13＞0，
新课引入 新课讲授 随堂练习 课堂小结
学习目标
01 探索一元二次方程的根与系数的关系. 02 不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
经历观察、猜想、验证一元二次方程根与系数的关系的 03 过程，体会从特殊到一般的思想.

x1, x2
,则,
x1 x2
b a
,
x1x2
c a
13
当堂训练
1.（1）已知关于x的方程x2 - p x+q=0的两 个根是0和-3，求p和q的值。
2）已知关于x的方程x2-6x+p2-2p+5=0 的一个根是2，求方程的另一个根和p的值。 讨论上述两个问题有几种解法？
14
数学就是这样一种学问；她 要求我们扎扎实实地学习，勤勤 恳恳地探索。她提醒你有无形的 灵魂，她赋予她所发现的真理以 生命；她唤起心神，澄清智能； 她给我们的内心思想添辉，她涤 尽我们有生以来的蒙昧与无知。
第一课时
1
学
习 1 .经历和体验数学发现的过 程 ，
目
提高学生的思维品质和进行探究 学习的能力。
标 2.掌握一元二次方程的根与系数
的关系；
3.会用一元二次方程的根与系数 的关系解决简单的问题。
2
计算并填表
方程
x1 x2 x1+x x1x
2
2
1. x2-2x=0
0220
2. x2+3x-4=0
1 -4 -3 -4
(4) x2 x1 x1 x2
11 (2)
x1 x2
(3) 1 1 x12 x22
(5) x1 x2 2
(6) x1 x2
11
例1：已知方程：5x2 kx 6 0,的一个根是2， 求它的另一个根及k的值
解：设方程的另一个根为x1，那么
2 x1
6 5
x1
3 5
又
3 5
2
k 5
3. x2-5x+6=0
2356
4. x2+2x-48=0 -8 6 -2 -48

E. 氧化还原反应 F. 非氧化还原反应
【课前练习】
4. 某化工厂按如下步骤进行生产：①以煤为燃料煅烧石灰石；②
用饱和Na2CO3溶液吸收步骤①中产生的CO2 (转化NaHCO3)；③使 步骤①中产生的CaO跟水反应；④消石灰跟Na2CO3溶液反应。生产
过程中未涉及到的化学反应类型有_________。
如果一元二次方程
ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且
a=0 b2 4ac 0
）的两根为x1、x2，则
x1 x2 x1.x2与系数a，b，c 的关系。
b x1 x2 a
x1 x2
c a
x1 x2
x1. x2
x1=
-b+
b2-4ac 2a
x2=
-b-
b2-4ac 2a
x1+x2= -b+
A. 化合反应
B. 分解反应
C. 置换反应
D. 复分解反应
E. 氧化还原反应 F. 非氧化还原反应
C、E
【小结】
四、氧化还原反应与基本反应类型的关系
【小结】
四、氧化还原反应与基本反应类型的关系
① 置换反应都是氧化还 原反应；
② 复分解反应都不是氧 化还原反应；
③ 有单质生成的分解反 应是氧化还原反应；
步水解；C中的两物质反应，除生成了BaSO4沉淀，还应生成了难电离的醋酸；D中 的两物质反应，还应生成了难溶的Mg(OH)2。答案是A。
【课前练习】
1. 下列反应中不属于氧化还原反应的是:
A. 3CuS+8HNO3== 3Cu(NO3)2+2NO+3S +4H2O
B. 3Cl2+6KOH== 5KCl+KClO3+3H2O

解： 设这个方程的另一个根为t，则 t＋2＝，2t＝. ∴ t＝， k＝-7. 当k＝-7时，Δ=(-7)2-4×5×(-6)=169＞0， ∴另一个根为，k的值为-7.
还有其他的做法吗？
随堂演练
1. 若x1，x2 是方程x2－2mx+m2－m－1=0 的两个根，且x1+x2=1－x1x2，则m的值为( )A. －1 或2 B. 1 或－2 C. －2 D. 1
5
6
由求根公式可知
归纳
方程的两个根 x1，x2 和系数 a，b，c 有如下关系：
注意一元二次方程的根与系数的关系存在的前提是a ≠ 0，b2-4ac ≥ 0
例1
根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积. (1) x2-3x-8=0 ； (2) 3x2+4x-7=0 .
解：(1)这里a=1，b=-3，c=-8，且b2-4ac=（-3）2-×1×（-8）=41>0，所以xΒιβλιοθήκη +x2=3, x1x2=-8.
(2)这里a=3，b=4，c=-7，且b2-4ac=42-4×3×（-7）=100>0，所以x1+x2= , x1x2= .
巩固练习
归纳
常见的关系：
3.
4.
课堂小结
根与系数的关系
内容
应用
求字母或代数式的值
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
2.一元二次方程的求根公式是什么？
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
导入新知
知识点1
一元二次方程的根与系数的关系
①
探究
1.由因式分解法可知，方程（x-2）（x-3）=0的两根为x1=2,x2=3，而方程（x-2）（x-3）=0 可化为x2-5x+6=0的形式，则x1+x2= ，x1x2= . 2.设方程2x2+3x-9=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2= ，x1x2= . 3.对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，设方程的两根分别为x1，x2，请你猜想x1+x2，x1x2与方程系数之间的关系，并利用求根公式验证你的结论.

∵方程的一个根为2,∴方程的另一个根为4.
∴ m2-2m+5=8，解得m=3或-1.
6.已知关于x的一元二次方程2x2+4x-3=0的 两个解为x1和x2.
（1）求x12 x22的值；
（2）求
11 x1 x2
的值.
解:由方程根与系数之间的关系得
x1+x2=
b a
=-2,
x1x2=
c a
=-3 .
1.若x1, x2是一元二次方程
检测反馈
x2-4x+1=0的两个根,则x1·x2的值是( C )
A.-4 B.-1 C.1
D.4
解析:考查根与系数之间的关系, x1, x2是一 元二次方程x2-4x+1=0的两个根,则x1·x2=1. 故选C.
2.一元二次方程x2+x-2=0的两根之和是( A)
A.-1 B.-2 C.1
九年级数学上 新课标 [冀教]
第二十四章 一元二次方程
学习新知
检测反馈
学习新知
1.解一元二次方程的方法有几种?如何选择解 一元二次方程的方法?
2.由因式分解法可知,方程(x-2)(x-3)=0的两根
为
,而方程(x-2)(x-3)=0可化为x2-
5x+6=0的形式,所以方程x2-5x+6=0的两根
为
D.2
解析:根据根与系数之间的关系可得x1+x2=-1. 故选A.
3.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为x1, x2,则 x1+x2-x1·x2的值为 ( D ) A.-7 B.-3 C.7 D.3
解析:根据根与系数之间的关系可得
x1+x2

推导 小竞赛
例1
例2
小结
小测验
结论
探究
知识小竞赛
设 x1 、 x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表
一元二次方程 x1 + x2
x1 ·x2
x2 5x 6 0
5
6
2x2 5x 3 0
5 2
3 2
6x2 x 2 0
1 6
1 3
1、根据所填写的表格，你能发现x1 + x2 ， x1 ·x2与方 程 的系数有什么关系？
返回
结论
如果ax2 bx c 0, a 0的两个根是x1, x2
那么x1

x2


b a
,
x1
•
x2

c a
特例
如果x2 px q 0, a 0的两个根是x1, x2
那么x1 x2 p, x1 • x2 q
返回
公式的特例
如果x2 px q 0, a 0的两个根是x1, x2



3
2


2



1


13
2 2 4
2 1 1 x1 x2 3 1 3
x1 x2 x1x2 2 2
返回
1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
1.x2 3x 1 0 2.3x2 2x 2
3.2x2 3x 0
4.4x2 1 2x
2、已知方程 3x2 19x m 0 的一个根是 1，
求它的另一个根和m的值。
3、设 x1 、 x2是方程 2x2 4x 3 0 利用

-5 2
(3) x1－x2. 41
2
《一元二次方程的根与系数的关系》 上课实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
《一元二次方程的根与系数的关系》 上课实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
巩固练习
练 习 8 关于x的一元二次方程x2+3x+m-
1=0的两个实数根分别为x1，x2.
(1)求m的取值范围；
Δ≥0，即32－4(m－1)≥0，解得m≤
x1x2
c a
自主探究
3.典型例题
例4 根据一元二次方程的根与系数的关系， 求下列方程两个根 x1，x2 的和与积：
（1） x 2 - 6x - 15 = 0 x1 + x2 = 6
7 （2）3x 2 + 7x - 9 = 0 x1 + x2 = 3
（3）5x - 1 = 4x 2
5 x1 + x2 = 4
m=8
《一元二次方程的根与系数的关系》 上课实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
《一元二次方程的根与系数的关系》 上课实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
师生小结
(1)通过本节课的学习，你有哪些收获？ (2)你还有什么疑惑？说给大家听听.
《一元二次方程的根与系数的关系》 上课实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
x1 x2 = -15 x1 x2 = -3
1 x1 x2 = 4
《一元二次方程的根与系数的关系》 上课实 用课件 （PPT优 秀课件 ）
巩固练习
4.巩固练习
练习1 不解方程，求下列方程两个根的和与积：
（1） x 2 - 3x = 15
x1 + x2 = 3
（2） 3x 2 + 2 = 1- 4x